Microsoft Word - 2-3åœﬁè‹⁄çł´ç·ıçı—éŠœä¿‡(ä¿®æﬂ¹).docx

Size: px

Start display at page:

Download "Microsoft Word - 2-3åœﬁè‹⁄çł´ç·ıçı—éŠœä¿‡(ä¿®æﬂ¹).docx"

绸孟
5 years ago
Views:

1 3 圓與直線的關係在國中時, 曾學過在平面上圓與直線的位置關係, 有下列三種情形 : (1) 若圓 C 與直線 L 交於相異兩點, 如圖 (a), 則稱直線 L 為圓 C 的割線 () 若圓 C 與直線 L 恰交於一點 P, 如圖 (b), 則稱直線 L 為圓 C 的切線, P 為切點 (3) 若圓 C 與直線 L 沒有交點, 如圖 (c), 則稱直線 L 和圓 C 不相交 ( 相離 ) (a) 交於相異兩點 (b) 恰交於一點 (c) 沒有交點這個單元想要透過坐標幾何的方法, 將它們的關係轉化為方程式來處理, 前面已學過直線的方程式, 現在我們再探討圓的方程式 ( 甲 ) 圓的軌跡方程式 (1) 圓的方程式 : (a) 圓的定義 : 平面上與定點 O 等距離 r 的點所形成的軌跡稱為圓其中 O 稱為圓心,r 稱為半徑從坐標幾何的觀點來看, 給定圓心 O(h,k), 半徑 r, 如何用方程式來描述圓呢? (b) 圓的標準式 : 若設圓心 O(h,k), 半徑為 r, 則此圓的方程式為 (xh) +(yk) =r [ 推導 ]: 設 P(x,y) 為圓上的點, PO = r (xh) +(yk) =r (xh) +(yk) =r 從圓的標準式可以得知 : (1) 已知圓心 Q(h,k), 半徑為 r, 即可得圓的方程式 (xh) +(yk) =r () 方程式 (xh) +(yk) =A (A>0) 代表圓心 (h,k), 半徑 A 的圓換句話說 : (1) 給定圓心與半徑, 就可以寫出圓的方程式 () 給定標準式, 就可以直接看出圓心與半徑結論 : 求一個圓的方程式主要是要求得圓心與半徑 ~31~

2 ( 練習 1) 試求合乎下列各條件的圓方程式 : (1) 圓心在 (-1,), 半徑為 3 () 圓心在 (-1,), 並且通過點 (,-) Ans:(1) (x+1) +(y) =9 ()(x+1) +(y) =5 ( 練習 ) 設圓 C 的圓心在原點上, 且其半徑與圓 C':(x+1) +(y+) =6 的半徑相等, 求圓 C 的方程式 Ans:x +y =6 ( 練習 3) 設圓 C 與圓 C':(x-1) +(y-7) =16 為同心圓, 且其面積為圓 C' 面積的一半, 求圓 C 的方程式 Ans:(x1) +(y7) =8 (c) 圓的外部與內部在平面上, 設圓 C 的圓心為 Q, 半徑為 r, 則一切滿足 PQ =r 的點 P 都在圓 C 上, 而滿足 PQ r 的點 P 都不在圓 C 上 (1) 當 PQ <r 時, 稱點 P 在圓 C 的內部, 簡稱 P 點在圓內顯然地, 圓心在圓內, 如右圖 () 當 PQ >r 時, 稱點 P 在圓 C 的外部, 簡稱 P 點在圓外 ( 練習 4) 在坐標平面上, 圓 C 的方程式 (x-3) +(y+4) =5, 試判斷下列各點是在圓 C 上, 或圓 C 的內部, 或圓 C 的外部? (1) P1(0,3) () P(-1,10) (3) P3(0,0) (4)P4(4,-6) Ans:(1) 外部 () 外部 (3) 圓上 (4) 內部 ~3~

3 (c) 圓的一般式 : 圓的方程式 (xh) +(yk) =r 可化成二元二次方程式 x +y +Cx+Dy+E=0 的形式反過來說, 一個二元二次方程式 x +y +Cx+Dy+E=0, 是否就代表圓呢? 例如 : x +y 4x+6y+1=0 (x x+1)+(y +3y+(( 3 ) )=1++ 9 (x1) +(y+ 3 ) = 11 (x1) +(y+ 3 ) = 11 4 圓心 (1, 3 ), 11 半徑 = 一般而言 : 二元二次方程式 :x +y +Cx+Dy+E=0 配方成 (x+ C ) +(y+ D ) = C +D 4E 4 當 C +D 4E>0 時,x +y +Cx+Dy+E=0 代表一圓, 圓心 ( C,D ) 半徑 = C +D 4E 4 當 C +D 4E=0 時,x +y +Cx+Dy+E=0 代表一點 ( C,D ) 當 C +D 4E<0 時,x +y +Cx+Dy+E=0 沒有實數解, 沒有圖形 [ 補充 ]: 求圓方程式的幾種想法 : (a) 坐標幾何的觀點 : 令圓心 O(a,b), 試著找出兩個獨立的條件求出 a,b 的關係式 ( 方程式 ), 再聯立解出 a,b 的值 (b) 幾何作圖的觀點 : 要找到一個點無非是直線與直線直線與圓圓與圓交出點來, 因此先依據作圖的觀念找交點 ( 圓心 ), 即解一些圓與圓圓與直線直線與直線的方程式, 加以聯立求出其解 ( 圓心 ), 然後再求出半徑下列所指出的關係或許會對於求圓的方程式有幫助 : 圓心到圓上的點之距離 = 圓心到切線的距離 = 圓心到切點之距離 = 半徑圓與兩軸相切 : 圓心 (a,b), a = b = 半徑圓心到弦中點的連線垂直平分弦 ~33~

4 [ 例題 1] 設 A(-1,),B(3,4), 求以 AB 為直徑之圓的方程式解 :< 法一 > 直徑的中點就是圓心, 直徑的半長就是半徑因 AB 為直徑, 故圓心 Q 是 AB 的中點, 所以 Q 點的坐標為 ( ), 即 Q(1,3) 又半徑 r 是直徑 AB 之長的一半, 即 r= 1 3-(-1 ) +( 4- ) = 5, 於是由標準式得此圓的方程式為 (x-1) +(y-3) =5 < 法二 > 半圓的圓周角為直角如圖 -47, 點 P(x,y) 在所求之圓上的充要條件為 AP + BP = AB ( 當 P=A 或 P=B 時仍成立 ), 即 (x+1) +(y-) + (x-3) +(y-4) =(3+1) +(4-), 展開整理得 x +y -4x-1y+10=0, 即 x +y -x-6y+5=0, 所以此圓的方程式為 x +y -x-6y+5=0, 一般而言, 在平面上, 給定不共線的三點 A,B,C, 恰可決定一圓, 其中 AB 與 AC 中垂線的交點就是圓心 Q( ABC 的外心 ), 而 QA( QA = QB = QC ) 就是半徑, 如此就可求得該圓的標準式另一方面, 將三點 A,B,C 的坐標分別代入圓的一般式 x +y +dx+ey+f=0, 可得三個方程式, 解此三個聯立方程式, 求出 d,e,f, 即可得此圓的一般式 ~34~

5 [ 例題 ] 設圓 C 通過 P(1,1),Q(4,0),R(5,1), 試求圓 C 的方程式解 :< 法一 > 利用幾何觀點求圓心與半徑因為 PQ 與 PR 都是圓 C 的弦, 所以它們的中垂線的交點就是圓心而 PQ 的中垂線方程式為 y- 1 =3(x- 5 ), 即 3x-y=7; PR 的中垂線方程式為 x=3, 3x-y=7 解 x=3, 得 (x,y)=(3,) 故圓心為 K(3,), 又半徑 r= KP = 5, 所以圓 C 方程式為 (x-3) +(y-) =5, 亦可表為 x +y -6x-4y+8=0 < 法二 > 利用代數方法設圓 C 方程式為 x +y +dx+ey+f=0, 因為 P,Q,R 三點都在圓 C 上, 所以 d+e+f=0, d+0e+f=0, 即 d+e+f=0 d+e+f=-, 4d+f=-16, 5d+e+f=-6 用加減消去法解得 d=-6,e=-4,f=8, 所以圓 C 的方程式為 x +y -6x-4y+8=0 [ 例題 3] 試就實數 k 值的範圍, 討論二元二次方程式 x +y +x-ky+k+3=0 的圖形 Ans: (1) 當 k<-1 或 k>, 圖形為圓 () 當 k=-1 或 k=, 圖形為一點 (3) 當 -1<k<, 此方程式沒有圖形 [ 例題 4] 設 P1(1,4) P(3,) 為座標平面上兩點, 若 P1P 為圓上的一弦, 且距離圓心為 10, 則圓 C 的方程式為何?Ans:(x+1) +y =0 或 (x5) +(y) =0 ~35~

6 ( 練習 5) 試求下列各圓的圓心與半徑 : (1) x +y -x+4y-11=0 () x +y -8x-1y+1=0 Ans:(1) 圓心是 (1,-), 半徑是 4 () 圓心是 (,3), 半徑是 5 ( 練習 6) 求過三點 A(0,0) B(0,4) C(3,3) 的圓方程式 Ans:x +y x4y=0 ( 練習 7) 將下列方程式化為 (xa) +(yb) =r, 並說明幾何意義? (1) x +y +x+4y31=0 Ans: 圓心 (1,) 半徑為 6 的圓 () x +y +x+4y+5=0 Ans: 點 (1,) (3)x +y +x+4y+8=0 Ans: 無圖形 ( 練習 8) 設點 P(x0,y0) 是圓 C:x +y +dx+ey+f=0 外一點, 試證明 : x0 +y0 +dx0+ey0+f>0 ( 練習 9) 設 C:x +y +x6y+k=0 (1) 若 C 代表一圓, 則 k 之範圍為何? () 若 C 代表一點, 則 k 之範圍為何? Ans:(1)k<10 ()k=10 ( 練習 10) x +y +(m+1)xmy+3m =0 表一圓, (1) 求 m 範圍 () 求此圓最大面積 Ans:(1)1m3 ()r=4 ( 練習 11) 設一圓通過二點 (5,1) (3,1), 而圓心在直線 x+y3=0 上, 則此圓的方程式為何?Ans:(x4) +(y+ 1 ) = 13 4 ( 練習 1) 設 P1(,0) P(8,0) 且 P1P 為圓 O 上一弦, 且弦心距為 4, 則圓 O 的方程式為何?Ans:(x5) +(y4) =5 或 (x5) +(y+4) =5 ~36~

7 ( 乙 ) 圓與直線的關係 (1) 圓與直線相交情況 : C O C O C O L L L 不相交 ( 相離 ) 相交於一點 ( 相切 ) 相交於相異兩點 ( 相割 ) () 圓與直線的關係之判別 ( 代數觀點 ): (a) 原理 : 利用圖形的交點就是聯立方程式的實數解的觀念判別之 x y dx ey f (b) 方法 : 已知聯立方程式 ax by c 0 一元二次方程式, 令其判別式為 D 0 將一次式代入二次式中, 得到結論 : 相離 D<0 相切 D=0 相割 D>0 (3) 圓與直線的關係之判別 ( 幾何觀點 ): (a) 原理 : 利用圓心到直線的距離與半徑的關係判別之 (b) 方法 : 設圓 C 的圓心為 O, 半徑為 r, 由 O 到直線 L 的距離為 d, 則相離 d>r 相切 d=r 相割 d<r 結論 : O L O L O L 圓與直線的關係相離 d(o,l)>r 相切 d(o,l)=r 相割 d(o,l)<r 交點數 0 1 坐標幾何 x y dx ey f 0 x y dx ey f 0 x y dx ey ax by c 0 ax by c 0 ax by c 0 無解恰有一解有兩組相異解 f 0 (3) 點到平面的距離 : ( 法一 ) 如圖, ~37~

8 tan= a b by c P 點到直線 AB 的距離為 PA sin= 0 a ax0 by0 c x0 = a a b a b ( 法二 ) 給定一點 A(x0,y0), 直線 L 的方程式 ax+by+c=0, 令 d 代表 A 點到 L 的距離不失一般性, 可以先假設 ab0,a 不在 L 上 (1) 先令 (x0,y0)=(0,0), 直線 L 的 x,y 截距分別為 c a c b 如右圖, 可以得知 MN d= OM ON c c ( ) ( ) d = c a b a c b c 化簡可得 d= a b () (x0,y0)(0,0) 將 L 沿著 A 至原點 O 方向來移動至 L / L / 的方程式為 a(x+x0)+b(y+y0)+c=0 ax+by+(ax0+by0+c)=0 如右圖, 可以得知, d= 原點 O 到 L / 的距離 ax0 by0 c 由 (1) 的結果,d= a b 結論 : 點 A(x0,y0) 到直線 L:ax+by+c=0 的距離 ax0 by0 c 為 a b ~38~

9 ( 練習 13) 設直線 L:3x4y+10=0, 試就下列各點到 L 的距離 (1)A(,5) ()B(,) Ans:(1) 16 5 () [ 例題 5] 設圓 C:(x+1) +y =8, 直線 L:y=mx+3, 試就實數 m 值的範圍討論圓 C 與直線 L 的相交狀況 [ 代數觀點 ]: 聯立圓 C 與直線 L 方程式, 利用解的個數來討論圓 C 與直線 L 的相交狀況 ( x+1 ) +y =8 1 解 : y=mx+3 代入 1 得 (x+1) +(mx+3) =8, 展開整理得 (m +1)x +(3m+1)x+=0 3 二次方程式 3 的判別式 D= (3m+1) -4 (m +1) =4(7m +6m-1) =4(m+1)(7m-1) (1) 當 D>0, 即 (m+1)(7m-1)>0, 得 m<-1 或 m> 1 7, 此時圓 C 與直線 L 交於相異兩點 () 當 D=0, 即 (m+1)(7m-1)=0, 得 m=-1 或此時圓 C 與直線 L 相切於一點 1 7, (3) 當 D<0, 即 (m+1)(7m-1)<0, 得 -1<m< 1 7, 此時圓 C 與直線 L 不相交 [ 幾何觀點 ]: 利用圓心到直線 L 的距離與半徑的關係討論圓 C 與直線 L 的相交狀況 m+3 圓心 C(1,0) 到直線 L 的距離為 m +1 (1) m+3 m +1 < m<-1 或 m> 1 7, 此時圓 C 與直線 L 交於相異兩點 () m+3 m +1 = m=-1 或 1 7, 此時圓 C 與直線 L 相切於一點 (3) m+3 1 m > -1<m< +1 7, 此時圓 C 與直線 L 不相交 ~39~

10 [ 例題 6] 設直線 y=mx 與圓 :x +y 4x+y+1=0 交於 A B 兩點, 若 AB= 6, 則 m=? Ans:m= 1 3 或 3 ( 練習 14) 試判斷圓 C:x +y -x-9=0 與下列各直線的相交狀況, 若有交點, 請求出其交點坐標 (1) L1:y=3x-3 () L:y=3x+7 (3) L3:y=3x+1 Ans:(1) 交於 (0,-3) 和 (,3) 兩點 ( 相交 ) () 恰交於一點 (-,1) ( 相切 ) (3) 不相交 ( 練習 15) 試就實數 k 值討論直線 L:kx+y3=0 與圓 C:x +y =3 的相交情況 Ans:(1) 相離, k () 相切,k=, 或 k= (3) 相交,k 或 k ( 練習 16) 求直線 L:4x3y+1=0 與圓 x +y =41 的交弦弦長 Ans: 3 5 ( 練習 17) 設直線 y=mx+4m 與圓 :x +y =5 交於 A B 兩點, 若 AB=6, 則 m=? 8 Ans:0 或 15 ( 練習 18) 設 P(a,b) 為圓 C:(x3) +(y4) =3 上的動點, 則使得 a +b 為整數的點共有個 Ans:70 ~310~

11 ( 丙 ) 圓的切線 (1) 切線的定義 : 國中時圓的切線是這樣定義的 : 與圓恰有一個交點的直線稱為圓的切線, 該交點稱為切點 () 圓切線的性質 : (a) 圓心與切點的連線必垂直於切線 (b) 圓心到切線的距離等於半徑 (3) 切線的求法 : 求圓切線之型態分成三類 : 過已知點求切線已知切線斜率求切線通過圓外一點求切線不管是那一種型態, 求圓的切線均可利用圓心到切線的距離等於半徑圓心與切點的連線必垂直於切線這些觀念去解決 (a) 過圓上一點求切線的方法 : 設 T(x1,y1) 為圓 C:x +y +dx+ey+f=0 上給定的一點, 求以 T 為切點的直線, 可以利用圓心與切點的連線必垂直於切線這個觀念去解決 (b) 過圓外一點求切線的方法 : 設 P(x1,y1) 在圓 x +y +dx+ey+f=0 外, 則過此點之切線方程式求法 : 設所求切線方程式為 yy1=m(xx1), 利用圓心到切線的距離等於半徑, 求斜率 m ( 注意 : 當 m 只有一個值時, 還有另一切線為鉛直線 xx1=0) (c) 已知切線斜率 (m) 求切線 : 設切線斜率為 y=mx+k, 利用圓心到切線的距離等於半徑, 求 y 截距 k [ 例題 7] (1) 求通過 x +y =5 上一點 A(3,4) 的切線方程式 () 已知點 B(,7) 在圓 x +y +x6y15=0 上, 試求過 B 點的切線方程式 Ans:(1)3x+4y=5 ()3x+4y34=0 ~311~

12 [ 例題 8] 求通過 A(4,) 與圓 x +y 4x+4y=0 相切的直線 Ans:y= 1 3 (x4) 或 y=3(x4) ~31~

13 [ 例題 9] 已知圓的切點求切線設 T(x0,y0) 為圓 C:(x-h) +(y-k) =r 上給定的一點, 則以 T 為切點的切線方程式為 (x0-h)(xh)+(y0-k)(yk)=r [ 證明 ]: 設圓 C 的方程式為 (x-h) +(y-k) =r, 其中圓心為 Q(h,k), 半徑為 r 令 T(x0,y0) 為圓上一點, 且 L 是以 T 為切點的切線, 則 QT L (1) 若 QT 平行 y 軸, 如下圖 (a), 則切線 L 垂直 y 軸, 此時 x0=h,y0 k, 而切線 L 的方程式是 y=y0 () 若 QT 平行 x 軸, 如下圖 (b), 則切線 L 垂直 x 軸, 此時 x0 h,y0=k, 而切線 L 的方程式是 x=x0 (3) 若 QT 不平行 y 軸, 也不平行 x 軸, 如下圖 (c), 因直線 QT 的斜率是 y0-k x0-h, 故切線 L 的斜率為 - x0-h y0-k, 由點斜式, 得切線 L 的方程式為 y-y0=- x0-h y0-k (x-x0) 整理得 (x0-h)(x-x0)+(y0-k)(y-y0)=0 就 (1) 的情況而言, 由 1 式亦可得 L 的方程式為 y=y0; 就 () 的情況而言, 由 1 式亦可得 L 的方程式為 x=x0 又因為 A(x0,y0) 在圓 C 上, 所以 (x0-h) +(y0-k) =r 1 (a) (b) (c) 將 1 兩式相加並整理, 得切線 L 的方程式為 (x0-h)(xh)+(y0-k)(yk)=r 於是我們可得過圓上一點的切線方程式 : (x0-h)(xh)+(y0-k)(yk)=r 3 ~313~

14 [ 例題 10] x +y =r, 則斜率為 m 的切線為 y=mxr 1+m 根據上面的例題, 可以得知圓 x +y =r 沿向量 ( h, k ) 平移圓 (xh) +(yk) =r 斜率 m 的切線 y=mxr 1+m 沿向量 ( h, k ) 平移 yk=m(xh)r 1+m (4) 切線公式整理 : (a) 圓上一點求切線設 T(x0,y0) 為圓 C:(x-h) +(y-k) =r 上給定的一點, 則以 T 為切點的切線方程式為 (x0-h)(xh)+(y0-k)(yk)=r 特殊情形, 當圓 C 的圓心為原點 O(0,0), 則圓 C 的方程式為 x +y =r, 此時過圓 C 上一點 A(x0,y0) 的切線方程式為 x0 x+y0 y=r (b) 已知斜率求切線 : 設圓 C:x +y =r, 則斜率為 m 的切線為 y=mxr 1+m 設圓 C:(xx0) +(yy0) =r, 則斜率為 m 的切線為 yy0=m(xx0)r 1+m ~314~

15 [ 例題 11] 設 R 代表坐標平面上 x +y 所成的圓區域, 試求 x+y 在圓區域 R 上的最大值與最小值 [ 分析 ]: 因為要求 x+y 的最大值與最小值, 可令 x+y=k, 則 x+y=k 代表一組斜率為 -1 的平行線, 而這組平行線的 y 截距是 k, 觀察 y 截距的變化, 可知 k 值的大小我們發現當這組平行線 x+y=k 與 y 軸的交點愈向上方移動, 其 y 截距愈大, 所以 k 值也就愈大 [ 例題 1] 設 f()= sin+3 的最大值與最小值 cos ~315~

16 [ 例題 13] 自點 A(3,3) 發出的光線 L 射到 x 軸上, 被 x 軸反射, 其反射光線所在直線與圓 +y 4x4y+3=0 相切, 求光線 L 所在的直線方程式 Ans:x+y+3=0 A y O x ( 練習 19) 圓 C:(x3) +(y) =1 及一點 P(4,5), 求過 P 點而與圓 C 相切之切線方程式 Ans:4x3y1=0 或 x=4 ( 練習 0) 求過圓 C:(x-3) +(y-4) =5 外一點 P(,1) 且與圓 C 相切的直線方程式 Ans:x+y-5=0 或 x-y=0 ( 練習 1) 試求斜率為 1, 圓 x +y 6x4y+5=0 的切線 Ans:y=x+1 或 y=x+9 ( 練習 ) 直線 5xya=0 與圓 3x +3y x+4y+b=0 相切於 (c,1), 求實數 a,b,c 之值 Ans: a=11,b=7,c= ( 練習 3) 設 x(4x) =mx+4 有兩相異實數解, 求 m 的範圍 Ans:1m< 3 4 y m( x 3) ( 練習 4) 設有兩解, 求 m 的範圍 Ans: x y 4 5 <m< 5 ( 丁 ) 求軌跡方程式如何求動點的軌跡方程式 : 設所求的動點 P(x,y), 透過題目的條件, 找出 x,y 的關係式 f(x,y)=0, 再檢查滿足 f(x,y)=0 的點都具有題設的條件 ~316~

17 [ 例題 14] 設 A(0,0),B(6,0), 試求滿足 PA = PB 的 P 點軌跡方程式, 並作出它的圖形 Ans:(x8) +(y0) =4 [ 坐標幾何 ]: 設點 P(x,y), 滿足 PA= PB x +y = (x6) +y x +y =4[(x6) +y ] (x8) +(y0) =4 A [ 綜合法 ]: 在直線 AB 上找兩點 P1 P, 其中 P1A= P1B 且 PA= PB 設 P 為滿足 PA = PB 且不在直線 AB 上的點 PP1 為 PAB 中 P 的內角平分線,PP 為 PAB 中 P 的外角平分線 PP1 PP P 落在以 P1P 為直徑的圓上 y P P 1 B P [ 例題 15] 設 A(0,0) 為圓 (x1) +(y) =16 內部一點, 求過點 A 所有弦的中點軌跡方程式 Ans:x +y xy=0 B O P A x [ 例題 16] ( 坐標方法配合作圖的精神 ) 圓 x +y x+4y+1=0 之圓心為 C, 過 A(3,0) 作此圓之切線, 切點為 P,Q, 試求 APQ 之外接圓方程式 Ans:x +y +x+y3=0 C ~317~

18 [ 例題 17] ( 不容易作圖, 坐標方法較有用 ) 求過點 A(1,4) B(3,) 且與直線 L:x+y+11=0 相切之圓方程式 Ans:(x+1) +y =0 或 (x3) +(y8) =500 下面的練習你可以使用 GeoGebra 先做出圖形, 再與練習中坐標化的結果比較 : ( 練習 5) 平面上, 已知 A B 為相異兩定點,P 為滿足 PA 與 PB 之比值為定數 k 的動點,k 為不等於 1 之正數, 試證 : 點 P 之軌跡為一圓 ( 練習 6) 自定點 A(6,0) 作線段 AP, 當 P 點繞原點繞一圈圓, 且此圓的半徑為, 則 AP 之中點所形成的圖形之方程式為何?Ans:(x3) +y =1 ( 練習 7) 試求切於直線 y=x, 並過 (,0),(4,0) 兩點的圓方程式 Ans:(x3) +(y+7) =50 或 (x3) +(y1) = ( 練習 8) 設圓 C:(x+) +y =4 外一點 A(6,), 過 A 作兩切線切點為 P Q, 試求 APQ 的外接圓方程式 Ans:(x+4) +(y1) =5 ~318~

19 綜合練習 (1) 求合乎下列所予條件的圓方程式 : (a) 圓心在點 (-,5), 半徑為的圓 (b) 圓心在點 (4,-1), 且通過點 (0,) 的圓 (c) 以 A(5,-3),B(3,7) 為直徑兩端點的圓 (d) 通過 A(3,6),B(8,1),C(11,10) 三點的圓 () 下列哪一方程式所表圖形為一圓? (A)y= 9-x (B)x=1+ 9-y (C) x +y = (D)x +y 6x+4y+15=0 (E)x +y +x8y+3=0 (3) 試就 k 值, 討論方程式 x +y +(k+1)x+ky+3k =0 的圖形 (4) x +y +(m1)xmy+3m =0 表一圓, (a) 求 m 範圍 (b) 當 m 為何值時此圓有最大面積? (5) 請就實數 k 值討論方程組 x x y k 0 的解的個數 y x 6y 6 0 (6) 在坐標平面上, 一圓通過點 (,7), 且與直線 4x+3y14=0 相切於點 (1,6), 若此圓的方程式為 x +y +ax+by+c=0, 則 (a,b,c)= (007 指定甲 ) (7) 一圓的方程式為 x +y 8x+4y5=0, 考慮此圓之任意兩條互相垂直切線的交點, 則所有這種交點所成圖形的方程式為 (87 大學社 ) (8) 設圓 C 通過 (,0),(-4,0), 且圓心在直線 y=4 上, 求圓 C 的方程式 (9) 設 :x +y 10x+9=0 為坐標平面上的圓試問下列哪些選項是正確的? (1) 的圓心坐標為 (5,0) () 上的點與直線 L:3x+4y15=0 的最遠距離等於 4 (3) 直線 L1:3x+4y+15=0 與相切 (4) 上恰有兩個點與直線 L:3x+4y=0 的距離等於 (5) 上恰有四個點與直線 L3:3x+4y5=0 的距離等於 (008 學科能力測驗 ) (10) 試問坐標平面上共有幾條直線, 會使得點 O(0 0), 到此直線之距離為 1, 且點 A(3 0), 到此直線之距離為? (1) 1 條 () 條 (3) 3 條 (4) 4 條 (5) 無窮多條 (009 學科能力測驗 ) (11) 試判斷下列直線 L 與圓 C 是否相交, 如果相交, 求其交點坐標 (a) 直線 L:x-y+1=0, 圓 C:x +y = (b) 直線 L:x+y+3=0, 圓 C:x +y +4x-6y+11=0 (1) 坐標平面上, 一圓與直線 x y 1以及直線 x y 5 所截的弦長皆為 14 則此圓的面積為 (013 學科能力測驗 ) ~319~

20 (13) 在坐標平面上, 以 (1,1), ( 1,1), ( 1, 1) 及 (1, 1) 等四個點為頂點的正方形, 與圓 x +y +x+y+1=0 有幾個交點? (1) 1 個 () 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 0 個 (014 學科能力測驗 ) (14) 設圓 C:x +y +dx+ey+f=0 上一點 T(x0,y0), 試證明以 T 為切點的切線方程式為 x0x+y0y+ d (x+x0)+e (y+y0)+f=0 (15) 求過 A 點且與圓 C 相切的直線方程式 : (a) A(4,), 圓 C:x +y =0 (b) A(-1,3), 圓 C:(x+3) +(y-) =5 (16) 設圓 C:x +(y-3) = 及圓外一點 P(,7) (a) 求過 P 點且與圓 C 相切的直線方程式 (b) 若在坐標平面上 P 處有一光源, 將圓 C 投射到 x 軸上, 如右圖, 求圓 C 在 x 軸上的影長 ( 即求 AB 之長 ) (17) 求平行直線 x+y=1 且與圓 x +y =5 相切的直線方程式 (18) 一圓過兩點 A(1,) B(3,4) 且被 x 軸所截線段長為 6, 求此圓之方程式 (19) xy 平面上有一定點 A(1,) 及一圓 :x +y x+4y3=0 試求 (a) 點 A 到圓 C 的切線段長 (b) 過 A 的直線與圓 C 相交於 P,Q 兩點, 求 AP AQ 之值 x +y 4 (0) 設 R 代表坐標平面上由下列兩個不等式所定義的區域, y 1 試求 x+y 在區域 R 的最大值與最小值 (1) 設 m 為實數若圓 x +y +4x7y+10=0 與直線 y=m(x+3) 在坐標平面上的兩個交點位於不同象限, 而滿足此條件的 m 之最大範圍為 a<m<b, 則 a=,b= (013 指考甲 ) () 設 P,A,B 為坐標平面上以原點為圓心的單位圓上三點, 其中 P 點坐標為 (1,0),A 點坐標為 (- 7 5, 4 5 ), 且 APB 為直角, 求 B 點坐標 (3) 試求過 A(1,) 且與 x 軸,y 軸均相切的圓方程式 (4) L1:x+3y=1 與 L:xy+1=0 之交點 A, 自 P(1,0) 到二直線之垂線分別交於 B,C, 求過 P,A,B,C 之圓方程式 (5) 求 P(6,8) 到圓 (x3) +(y4) =1 之 (a) 最近距離 m=, 此時點坐標為 (b) 最遠距離 M=, 此時點坐標為 ~30~

21 (6) 過 P(1,) 對圓 x +y 4x+y4=0 作兩切線, 若切點為 Q R, 則 (a) 請問 PQR 的外接圓方程式 (b) 直線 QR 的方程式 (c) 兩切線的方程式 (7) 坐標平面上, 已知點 P(9, 17) 在圓 C:x + y 1x+ 6y180 = 0 外, 今過點 P 作圓 C 的切線可有二解, 若二切點分別是 A 與 B, 求 (a) 切線段 PA 之長 ;(b) 弦 AB 之長 ;(c) 直線 AB 的方程式 (8) 已知 A(1,5) 與 B(3,3) 兩定點 (a) 試求 AB 的垂直平分線方程式 (b) 若 P 是直線 3x-y=0 上一點, 且 PA = PB, 求 P 點坐標 (c) 若圓 C 通過 A,B 兩點, 且其圓心在直線 3x-y=0 上, 求圓 C 的方程式進階問題 (9) 設 C1:x +y 6x+4y+9=0,C:x +y 0x+84=0 之外公切線之交角, 求 sin 之值 (30) 試坐 y 36x 之圖形並求此圖形區域的面積 (31) 已知單位圓上的動點可以用 P(cos,sin) 表示, 8sin (a) 試解釋的幾何意義 9cos (b) 試求當 0360 變動時, 8sin 的範圍 9cos (3) 已知圓 C:x + y 1x+10y +36 = 0 與圓外部一點 P(0, ), 若直線 L 經過點 P 而交圓 C 於 A B 二點, 且 PA : PB = :3, 試求 (a) 線段 AB 之長 ;(b) 直線 L 之方程式 (33) 若點 P(x,y) 在圓 :(x1) +(y1) = 上移動, 則點 ( x, y ) 所成圖形的面積為何? (34) 設拋物線 y=ax +bx+c 與 x 軸交於 A B 兩點, 求以 AB 為直徑的圓方程式 C1 : x y x 6y 10 0 (35) 設 C : x y x y 6 0 交於 A,B, 則以 AB 為直徑之圓方程式 (36) 已知圓心 (4,) 的圓 C 與 x 軸相切, 若自點 A(,1) 發射光線 L 經 x 軸反射後與此圓相切 (L 不可在與 x 軸接觸前先碰到圓 C), 則光線 L 所在的直線斜率為何? (37) 設直線 L:x+y4=0 與圓 C:x +y +xy14=0 相交於 A,B 二點, 試求 (a) 通過 A,B 二點及原點的圓方程式 (b) 通過 A,B 二點且與直線 x+y+=0 相切的圓方程式 ~31~

22 (38) 設 P,Q 為 y 軸上兩定點且 Q(0,3), 若 P 到圓 C:4x +4y 3x+0y+53=0 的切線段長等於 PQ 長, 求 P 坐標及切線段長 (39) 坐標平面上, 已知 ΔABC 之外接圓方程式為 x +y +4x y 0 = 0, 其中 A 點在第三象限內若固定 AB 以 A 點為旋轉中心, 將 AC 旋轉 90 成為 AD, 則 ΔABD 之外接圓方程式為 x +y +8x 14y 0 = 0, 試求 (a) 線段 AB 之長 ;(b)δabc 之面積 (40) 坐標平面上, 已知點 P(6,5 ) 為圓 C:x + y 10x 6y 3 = 0 上一弦 AB 的一個三等分點,(a) 求弦 AB 之長 ;(b) 求直線 AB 之方程式 (41) 右圖中, 已知直線 EDC 垂直圓 O 的直徑 BA 的延長線於 C,P Q 為圓 O 上二點, PD QE 各垂直直線 EDC 於 D E, 而且 AP = PD, AQ =QE, E D C A P Q O B 試證 : AP + AQ = AB (4) 已知圓 S: x + y x + 10y + 6 = 0 及圓 S 外一點 A(7, 3), 今過點 A 作圓 S 的切線, 設二切點 P Q 分別在第三第四象限內, 且 AP AQ 與 x 軸分別交於點 B C, F 為線段 PQ 上任一點, 直線 AF 交圓 S 於 D E 兩點, 試作下列各題 : (a) 求 P 點坐標 ; (b) 求切點弦 PQ 所在的直線方程式 ; (c) 求四邊形 APSQ 的面積 ; (d) 設 ABC =, ACB =, 求 tan( ) 之值 ; P y O B D C A x 1 1 (e) 試證 : + = AD AE AF S F j Q E ~3~

23 綜合練習解答 (1)(a)(x+) +(y5) =4 (b)(x4) +(y+1) =5 (c)(x4) +(y) =6 (d)x +y 16x1y+75=0 () (C)(E) (3) (a) 當 1k3 時, 圖形為一圓 (b)k=3 或 1 時, 圖形為一點 (c)k3 或 k1 時, 圖形為空集合 (4) (a)3m1 (b)m=1,4 (5) 54 5 <k<5+4 5 兩組解,k=54 5 一組解,k>5+4 5 或 k<54 5 無實數解 (6) a=10,b=6,c=9 (7) (x4) +(y+) =50 (8) (x+1) +(y4) =5 (9) (1)()(4) [ 解法 ]::x +y 10x+9=0 (x5) +y =16, 圓心 (5,0) 半徑 4 可透過畫圖與計算圓心到直線 L L1 L L3 的距離來判斷 ()(3)(4)(5) 各選項故選 (1)()(4) (10) (3) 如右圖 : 以 O 及 A 為圓心, 分別作半徑為 1 與的圓, 則一條內公切線及兩條外公切線為所有滿足條件的三條直線 Y 4 (11) (a) ( 1 5, 7 5 ) (1,1) (b) 沒有交點 O A 5 X (1) 51 - (13) () (14) 圓 C 可配方成 (x+ d ) +(y+ e ) = d +e 4f 4, 然後再參考 P39 切線公式的證明, 即可得證 (15) (a)x+y=10 (b)x+y=1 (16) (a)xy+5=0 或 7xy7=0 (b)6 (17) x+y=5 x+y=5 (18) x +y +1xy+7=0 或 x +y 8x+y+7=0 (19) (a) 3 (b)1 (0) 最大值最小值 1 3 (1) a= 3 b= 3 5 ~33~

24 () ( 7 5,4 5 ) (3) (x1) +(y1) =1 及 (x5) +(y5) =5 (4) (x1)(x3)+(y0)(y)=0 (5)(a) m=4,( 18 5,4 5 ) (b) M=6,(1 5,16 5 ) (6) (a)x +y 3xy=0 (b)x3y+4=0 (c)y= 或 y= 3 4 (x1) (7) (a) 0;(b) 4;(c) 3x 4y +15 = 0 (8) (a)xy+=0 (b)(4,6) (c)(x4) +(y6) =10 (9) 38 53, [ 解法 ]: 圓 C 1 之心為 O 1(3, ), r 1, 圓 C 之心為 O (10,0), r 4 如圖 : O1C OB O C, 又 O 1O O 1C 7, CO1O sin sin cos (30) sin (31)(a) 設點 A(9,8) P(cos,sin), 直線 AP 的斜率為 9cos 3 (b) 4 8sin 9cos 1 0 (3) (a) 10 ;(b) x+3y 6 = 0 或 53x+9y 18 = 0 ~34~

25 (33) 4 [ 提示 : 考慮點 P(x,y) 在各象限的情形, 若 (x,y) 在第一象限, 點 ( x, y ) 為 (x,y) 所以所求圖形與圓 C 在第一象限相同 ; 若 (x,y) 在第二象限,x<0 y>0, 點 ( x, y ) 為 (x,y), 而 (x,y) 與 (x,y) 對稱 y 軸, 因此將圓 C 在第二象限的圖形對稱 y 軸可得所求圖形的部分圖形.] (34) ax +ay +bx+c=0 [ 提示 : 設 A(,0) B(,0), 其中為 ax +bx+c=0 的兩相異實根, 所以 += b a, = c a, 以 AB 為直徑的圓方程式為 (x)(x)+y =0 x (+)x++y =0x + b a x+c a +y =0 ax +ay +bx+c=0] (35) x y 3x y (36) 16 (37) (a)x +y 3x11y=0 (b)3x +3y x13y14=0 (38) P(0, 17 4 ) 9 切線段長 4 (39)(a) 3 10 ;(b) 1 (40) (a) 1; (b) x 6 = 0 或 3x 4y + = 0 (41) 如右圖,P Q 兩點分別對直徑 AB 作垂線, 垂足分別為 F G AB 為直徑, AP = AF AB, AQ = AG AB AQ AP =( AG AF) AB AQ+ AG AF AP=( ) AB= AB( 因為 AP = PD, AQ = QE ) AQ AP E D C A P F Q G O B ~35~

26 (4) (a)p(1,1) (b)3x+4y+7=0 (c)40 (d) 4 7 (e) [ 想法 ]: 如右圖, 過圓心 S 作一直線交圓於 G H 過 S 作直線 ADE 的垂線, 垂足為 K, PQ 與 AS 垂直於 R 1 1 AG AH 先考慮特殊狀況 : + = AG AH AG AH 若是要證明那麼只需證明 [ 解法 ]: 考慮 AG AD AK = 1 + AD AE 1 1 AD AE + = AD AE AD AE AG AH AD AH AS = AE AK AS AR AP = AF AF 1 AD AE = AD AE AE AF = AR AS AS = = = AP AR AS AR, 而且 AG AH = AD AE = AP, AF 即可 AS AF = = (AKS 與 ARF 相似 ) AK AR AD AE = AP AK = AP AF = P y O S B R G K F D j Q C A x H E ~36~

27 圓的補充問題 [ 例題 18] 已知圓 C1:x + y +x 8y 3 = 0, 點 A(, 0), 點 B(7, 10), 試判定 (1) A 點在圓 C1 的內部或外部, 並求圓 C1 上與 A 距離最近的點坐標 ; () B 點在圓 C1 的內部或外部, 並求圓 C1 上與 B 距離最遠的點坐標 [ 解答 ]: (1) 圓 C1:x + y +x 8y 3 = 0, 點 A(,0), = = 4<0, 點 A(, 0) 在圓 C1 內部 C 圓 C1 之圓心為 C( 1, 4), 半徑為 7 由圓的性質, 可知圓上距離 A 最近的點為過 A 之直徑的一個端點, 如右圖所示即圖中 D 點, AC = 5, AD = 設 D(a,b), 則依據分點公式, AC 5 5a 5b 8, (,0) = (, AD 故圓 C1 上與 A 點距離最近的點坐標為 (, ) ) a =,b =, 5 5 E A D B () 圓 C1:x + y +x 8y 3 = 0, 點 B(7, 10), = = 51> 0, 點 B(7, 10) 在圓 C1 外部由圓的性質, 可知圓 C1 上距離 B 最遠的點在過圓心 C 與 B 點的直線上, 如上圖所示即圖中 E 點設 E 點坐標為 ( p, q), 則 CB = 10,CE = 7, CB :CE = 10:7, 依據分點公式, 10 p 49 10q ( 1, 4) = (, ) p =,q =, 故圓 C1 上與 B 點距離最遠的點坐標為 (, ) 5 5 ( 練習 9) 已知圓 C:x + y +x+6y 10 = 0, 點 A(9, ), 若 P 為圓 C 上動點, 則 (1) 滿足 AP 之長為整數的 P 點共有幾個? () AP 之長最大時之 P 點坐標為何? AP 之長最小時之 P 點坐標為何? Ans:(1) 18 個 ;() AP 最大時,P( 5, 5); AP 最小時,P(3, 1) ( 練習 30) 設 x + y +10x+0y +80 = 0,x + y = k, x, y R, 求 k 值的範圍 ; 並求 k 最小時 x+ y 之值 Ans:0 k 30,k 最小時 x+ y = 6 ~37~

28 [ 例題 19] 試求通過圓 x +y +x4y+1=0 與直線 xy+4=0 的交點, 且切於 x 軸的圓方程式 Ans:x +y +x4y+1=0 或 x +y +6x6y+9=0 [ 解法 ]: 可以令圓方程式為 x +y +x4y+1+k(xy+4)=0 圓與 x 軸相切, x y x 4y 1 k(x y 4) 0 恰有一組解 y 0 x +(k+)x+(4k+1)=0 有重根 (k+) 4(4k+1)=0k=0 或故可得圓方程式為 x +y +14x10y+5=0 或 x +y +6x6y+9=0 ( 練習 31) 試求通過圓 x +y +x4y+1=0 與直線 xy+4=0 的交點, 且切於 y 軸的圓方程式 Ans:x +y +x4y+1=0 或 x +y +6x6y+9=0 [ 例題 0] ( 弦的求法 ) (1) 已知圓 C1:x + y +10x 6y +17 = 0, 直線 L1:x 3y +3=0, 若直線 L1 交圓 C1 於 A B 兩點, 求弦 AB 之長 () 已知圓 C:x + y +x 6y 16 = 0, 直線 L:x+y +9=0, 若直線 L 交圓 C 於 C D 兩點, 求弦 CD 之長 [ 解答 ]: (1) x 3y +3 = 0 x=3y 3, 代入圓 C1 之方程式消去 x, 得 (3y 3) + y +10(3y 3) 6y +17 = 0 5y +3y = (5y )(y+1) = 0 y =,x =, 或 y = 1,x = 6, 取 A 為 (, ),B 為 ( 6, 1), 得弦 AB 之長為 [ ( 6)] [ ( 1)] = ( ) ( ) = () x+y 9 = 0 y= x 9, 代入圓 C 之方程式消去 y, 得 x +( x 9) +x 6( x 9) 16 = 0 5x +50x +119 = 0, 此處 x 之解非有理數, 直接表出將帶有根號, 型式較為複雜, 為簡化計算, 可藉由韋達定理 ( 根與係數的關係 ) 處理如下 : 設 C(x 1, y 1 ) D(x, y ), 則 x 1 + x = 50 5 = 10, x x = 119, 1 5 又因 y 1 = x 1 9,y = x 9, 得 y 1 y = (x 1 x ), 故弦 CD 之長為 1 x ) ( y1 ) ( x y = 1 ) 119 = 5[( 10) 4 ] = 4 = x 5( x x = [( x x ) 4x ] ~38~

29 ( 練習 3) (1) 設圓 (x+3) +(y ) =0 交直線 x y+3=0 於 A B 二點, 求弦 AB 之長 () 設圓 x + y 16x 6y 196 = 0 交直線 3x y 11 = 0 於 A B 二點, 求弦 AB 之長 Ans:(1) 6 ;() 8 6 [ 例題 1] ( 圓冪問題 ) (1) 已知點 P(x0, y0) 為圓 C1:(x h) + (y k) = r 外一點, 今自 P 點任引一直線切圓 C1 於點 T 或交圓 C1 於點 A 與點 B, 試證 : PT = PA PB = (x0 h) + (y0 k) r () 圓 C:(x ) + (y 9) = 16, 過 Q(3, 1) 作 C 之切線, 求切線段長 (3) 圓 C3:(x 3) +(y ) = 5, 過 R( 3, 5) 引一直線交 C3 於 H K 二點, 若 5 RH = RK, 求弦 HK 之長 [ 解法 ]: (1) 設 P 為圓 C1 外一點, 自 P 任引一直線交圓 C1 於點 A 與 B, 再任引一直線交圓 C1 於點 D 與 E, T 又引一直線切圓 C1 於點 T, 如右圖所示,C 為圓心, 則 P D C E PA PB = PD PE = PT, 即 PA PB 為定值, 此值只與定點及定圓有關, 與所引之直線 PAB A B 無關, 特別是 A 與 B 重叠為一點 ( 即所引直線為切線 ) 時亦然因此, 要求 PA PB 之值, 可選用特別的直線, 如 : 切線 PT 或過圓心之直線 PDE 進行推算由 P(x0, y0), C(h, k), 圓 C1 之半徑為 r, 可知 PT = PC CT = [(x0 h) + (y0 k) ] r ; 或 PD PE = ( PC r)( PC r) = PC r = [(x0 h) + (y0 k) ] r, 得證 : PT = PA PB = (x0 h) + (y0 k) r () 圓 C:(x ) +(y 9) =16, 點 Q(3,1), 過點 Q 作圓 C 之切線, 設切線段長為 t, 則 t = (3 ) + (1 9) 16 = 49 t = 7, 故所求切線段之長為 7 (3) 如右圖所示, 圓 C3:(x 3) +(y ) = 5, 點 R( 3, 5), 今過 R 引直線 RHK 交 C3 於點 H K, 則 R RH RK = ( 3 3) +(5 ) 5 = 0, R H H 5 RH = RK, 設 RK = 5p, 則 K K RH = p, HK = 3p (p)(5p) = 0, 得 p =,p =, 故弦 HK 之長為 3 ( 練習 33) 設直線 L 經過點 P(, 11) 且交圓 C:x +y +6x 1y 61 = 0 於 A B 二點, 試在下列各條件下分別求弦 AB 之長 : (1) 線段 AP PB 之長都是自然數 ;() 線段 AP PB 滿足 AP = PB ; (3) P 為線段 AB 之中點 Ans:(1) 18; () 6 10 ;(3) 8 5 ~39~

30 [ 例題 ] ( 切點弦 ) (1) 已知點 P(x 0, y 0) 為圓 C1:x + y + dx + ey + f = 0 外部一點, 今過 P 作圓 C1 之切線, 若二切點分別為 A 與 B, 試證 : 直線 AB 之方程式為 x 0x + y 0 y + d (x+x0) + e ( y+y0) + f = 0 () 經過 P 點作圓 C:x + y 10x+6y+1 = 0 的切線, 若切點弦所在直線方程式為 x+y +1 = 0, 求 P 點坐標 [ 解法 ]: (1) 如右圖, 過圓外點 P 作圓之切線有二解, 設二切點為 A(x 1, y 1) 與 B(x, y ), 則 A 過 A B 的切線方程式分別是 P x 1x + y 1 y + d (x+x1) + e ( y+y1) + f = 0 與 x x + y y + d (x+x) + e ( y+y) + f = 0, B 此二線皆過 P(x 0, y 0), 故 x 0x 1+y 0 y 1+ d (x1+x 0)+ e ( y1+y 0)+f=0 與 x 0x + y 0 y + d (x+x 0)+ e ( y+y 0)+f = 0 都成立, 即 A(x 1, y 1) 與 B(x, y ) 都滿足 x 0x + y 0 y + d (x+x0) + e ( y+y0) + f = 0, 而知此式即直線 AB 之方程式得證 () 設 P 點坐標為 (p, q), 則過 P 點作圓 C:x + y 10x+6y+1 = 0 的切線其切點弦所在直線方程式為 px+qy 5(x+p)+3( y+q)+1 = 0, 依題意知此式即 x+y +1 = 0, 故 (p 5)x+(q+3)y+( 5p+3q+1) = 0 與 x+y +1 = 0 相依, 得 p 5 q 3 5p 3q 1 p q p 6q 34 p, q 9 故 P 點坐標為 (, 9) ( 練習 34) 設圓 C:x + y +1x 10y +1 = 0, 點 A(9, ),B(a, b), 試作下列二題 : (1) 過點 A 作圓 C 的切線, 求切點弦所在直線方程式 ; () 過點 B 作圓 C 的切線, 若切點弦在直線 x 11y+1=0 上, 求 (a, b) Ans:(1) 5x y +15 = 0;() (a, b) = ( 5, 6) ( 練習 35) 已知點 P(x 0, y 0) 為圓 C:x + y + dx + ey + f = 0 之內部圓心外一點, 過 P 任引一直線分別交圓 C 於 A B, 若 L1 L 各是過 A B 之圓 C 的切線, 且 L1 L 相交於 Q 點, 試證 : 所有 Q 點之軌跡方程式為 x 0x + y 0 y + d (x+x0) + e ( y+y0) + f = 0 ~330~

Microsoft Word - 3-1動手動腦2.doc

Microsoft Word - 3-1動手動腦2.doc 台北市立陽明高中高二自然組動手動腦單元 :- 圓的方程式 () 班級 : 座號 : 姓名 : 一選擇題 ( 題每題分共分 ); 第題為單選題第題為多重選擇題 ( ) x y 為實數且滿足 x y 求 x 的最小值 ()0 () 0 ()7 () 7 有一圓通過點 P 且與 y 軸相切若此圓的半徑為試求此圓的方程式為 ( 有兩解 ) ( ) 三直線 x y 9 0 x y 0 及 x