vector_R2.dvi

Transcription

1 高中數學講義 1 10 平面向量 10.1 平面向量的表示法 向量 : 包含方向與大小兩種意義 ( 有方向的量 ) 由 A 點到 B 點的有向線段, 記為 線段 AB 的長度, 以 AB 表示 AB, 其中 A 為起始點,B 為終點, 線段 AB 的長度稱為有向 終點 B 向量 零向量 : 始點與終點重合的向量, 記為 0, 其大小為 0, 方向可視為任意方向 始點 A u 單位向量 u : 任給向量 u, 與其同方向且長度為 1 單位的向量, 稱為 u u 的單位向量 u ( 不同的向量雖然方向不同, 但長度為 1 單位 若表為 (cosθ,sinθ) 則 θ 為此向量的方向角 ) a ae = θ a a = (cosθ,sinθ) AB α ue = u u = (cosα,sinα) 向量坐標上表示法 : 坐標平面上任意一個向量 v, 將始點平移至原點 O(0,0), 終點坐標為 P(a,b) 時, 則 v = OP = (a,b) 為向量坐標表示法 不妨令 i = (1,0), j = (0,1), 若點 P(a,b) 則 稱 i, j 分別為 若 OP 的水平方向單位分量及鉛直方向的單位分量 OP = a i +b j = a(1,0)+b(0,1) = (a,b), OP = a i + b j, 其中 i j 為兩非互相垂直單位向量, 則將點 P(a,b) ij 稱為在 i,j 系統的斜坐標 因此若平面上 A,B 兩點坐標為 (a 1,a ),(b 1,b ) 則由起點 A 到終點 B 的方向與大小, 記為 AB = (b 1 a 1,b a ), 即兩點的向量坐標 = ( 終點坐標 ) ( 起始點坐標 ) AB 長度 = AB = (b 1 a 1 ) +(b a ) 順伯的窩 平面向量 [ 第 1 頁 / 共 34 頁 ]

2 高中數學講義平面向量的表示法 y a a a O A(a, b) OA = a = (a,b) x a 這幾個向量方向相同 大小相同都是 OA 向量的加減法 : 可利用平行四邊形法 三角形法 ((Tip-to-tail method) 或坐標法 平行四邊形法 : 平移兩向量至相同起始點, 以兩向量為平行四邊形 OACB 的兩鄰邊, 則兩對角線分別為兩向量和及兩向量差 如圖 : OA+ OB = OC, OA OB = OC = BA C(x 1 +x,y 1 +y ) b B O C a A OA = BC OB = AC B(x,y ) A(x 1,y 1 ) O C (x 1 x,y 1 y ) B OA+ OB = OC OA OB = OC = BA 向量相加三角形法 : q p p + q q q p q p 三角形法 : 向量相加 p 向量相減 代數 ( 向量坐標的加減法 ): a = (x1,y 1 ), b = (x,y ), 則兩向量和 a + b = (x1 +x,y 1 + y ), 兩向量差 a b = (x1 x,y 1 y ) 順伯的窩 平面向量 [ 第 頁 / 共 34 頁 ]

3 高中數學講義 3 1. AB + AD= AB + BC= AC. AB AD= AB + DA= DA+ AB = DB = AB + AD = AB + BC = AC 向量的加法在物理上的意義為力的合成 向量的實係數積 : α AB = AB + AB + + AB 表 α 個 度是 AB 的 α 倍 向量係數積代數表示法為 : k a = k(x 1,y 1 ) = (kx 1,ky 1 ) 向量加法 係數積的性質 : 1. 向量加法交換律 : a + b = b + a. 向量加法結合律 :( a + b )+ c = a +( b + c ) 3. a + 0 = 0 + a = a 4. 向量加法消去律 : 若 a + c = b + c 則 a = b 5. 1 a = a,( 1) a = a 6. r( a + b ) = r a +r b 7. (r +s) a = r a +s a 8. r(s a ) = (rs) a AB 的和 方向仍然與 AB 相同, 長 a a a 3 a a 向量的線性組合 : 若 OA, OB 為平面上兩不平行的非零向量, 則平面上任一向量 OP 必能唯一表示成 x OA+y OB 其中 x,y 為實數, 稱為 OA, OB 的線性組合 OP = 平面上任一向量 OP = x e x +y e y 可表示成兩不平行向量的線性組合 平面直角坐標點 P(a,b) = x(1,0)+y(0,1) 即是由 (1,0),(0,1) 兩互相垂直的單位向量組成 此時點 P(a,b), 坐標 x = a,y = b 的位置位於兩坐標軸單位向量線性組合 a(1,0)+b(0,1) = OP 的終點上 順伯的窩 平面向量 [ 第 3 頁 / 共 34 頁 ]

4 4 高中數學講義平面向量的表示法 向量 點坐標 P OP = (a,b) 的坐標表示法與點坐標 P(a,b) 表示法相同, 因此找出 OP 就可找出終 為了區別 (a,b) 是點坐標還是一個向量 v, 一般題目都會說明 點坐標 或 向量坐標 P B OP = x OA+y OB O A 向量的線性組合在物理上的意義為力的分解 : 方向大小為 OA, OB 力的 x 倍及 y 倍 OP 的力, 可分解為方向大小為 內分點公式 : 若 P 是 AB 的內分點, 且 AP : BP = m : n, 則 OP = n OA+m OB m+n 因 OP = OA+ AP = OA+ m AB = OA+ m m+n m+n ( AO + OB) = OA+ m m+n ( OA+ OB) = n OA+m OB = n OA+ m OB m+n m+n m+n 特別是 A,B 兩點的坐標為 A(a 1,a ),B(b 1,b ) 時, 則 OP = n OA+m OB = ( na 1 +mb 1 m+n m+n, na +mb m+n ) O AB 中,m : n 的內分點 P 坐標為 ( na 1 +mb 1 m+n, na +mb m+n ) A P B 向量 OP = x OA+y OB, 若係數和 x+y = 1 三點 P,A,B 共線 OP = x OA+y OB, 且 x+y = 1 則 OP = x OA+(1 x) OB = OB+x( OA ( ) : 若 OB) = OB +x BA 因此, 可得 OP OB = x BA 即 BP = x BA 表 P,A,B 三點共線 ( ) : 若 P,A,B 三點共線, 不失普遍性, 令 PA : PB = m : n 依分點公式 : n OA+ m OB, 其中取 x = n m+n m+n m+n,y = m m+n, 可得 x+y = 1 兩向量 u, v 共線 (collinear) 存在非零實數 k, 滿足 u = k v 向量 x, u 和 v 共平面 (coplanar) 存在非零實數 a,b, 滿足 x = a u +b v OP = 向量解題應用 : 1. 平行向量 :( 方向相同 長度大小不同, 與係數積有關 ) 即 a // b, 則 a = t b. 若 OP = OA+t OB,t R 則 P 點必位於過 A 點平行 OB 的直線上 若 OP = s OA+ OB,s R 則 P 點必位於過 B 點平行 OA 的直線上 順伯的窩 平面向量 [ 第 4 頁 / 共 34 頁 ]

5 高中數學講義 5 若 OP = s OA+t OB,0 < s,t < 1 則 P 點落於 OA,OB 為兩鄰邊的平行四邊形內部 O B P A P t < 0 OP = OA+t OB P t > 0 P s < 0 B OP = s a +t b,0 < s,t < 1 P s > 0 P A O OP = s OA+1 OB OB = b OP OA = a OP w = s a + b b v = a +t b u = a +3 b 3. a = (x,y) 的單位向量 : e a = 為 a 與水平線的標準角 O a a a = (cosθ,sinθ) = ( x y x +y, x +y ) 其中 θ (a) 若 v = a i + b j, 其中 i, j 為單位向量, 則 v 的單位向量為 1 a +b (a i +b j ) 4. A,B,C 三點共線問題 : (a) 若 A,B,C 三點共線 AB = k AC,k R (b) 若 A,B,C 三點共線 α,β R, 且 α+β = 1, 使得 (c) 向量內積 a i +b j v OC = α OA+βOB AB AC = AB AC 或 AB AC 外積長度值 AB AC = 0 (d) A,B,C 三點坐標在同一直線方程式 y = ax+b 上 (e) 斜率 m AB = m AC (f) 代入 ABC 面積公式的值為 0 5. 內分點公式 : 若 P 是 AB 的內分點, 且 AP : BP = m : n, 則 OP = n OA+m OB m+n 6. 外分點公式 : 若 P 是 AB 的外分點, 且 AP : BP = m : n, 則 OP = n OA m OB n m 7. 正 N 邊形的外接圓圓心 O, 則 O 到所有頂點向量和為 0, (z n = 1 的根之和為 0) 向量線性相依與線性獨立 : 若兩向量為共線或平行關係, 稱兩向量為線性相依 三向量若共平面, 稱三 向量為線性相依 順伯的窩 平面向量 [ 第 5 頁 / 共 34 頁 ] =

6 6 高中數學講義平面向量的表示法若兩非平行向量 u, v, 稱兩向量為線性獨立 即滿足 a u +b v = 0 向量線性組合, 僅有 a = b = 0 的解時, 向量 u, v 為線性獨立 非零向量 u, v, w, 為線性獨立 向量的線性組合 a u +b v +c w + = 0, 實係數 a,b,c, 僅有零解 例題 範例 1: 在圓 O 的內接正六邊形 ABCDEF 中, 令 1. AC =?, AD =?, AE =? AC = a + b, AD = b, AE = b a. AB + AC + AD + AE + AF =? AB = a, BC = b 如圖所示 : 用 a, b 表示 6 AO = 6 b E D F O C A B 演練 1a : 已知向量 u, v, 如圖 : 試作出 u v 及 u 1 u + v 1 u + v v u u u v u v v 1 u ( 解 :) v B A F G K H C D E 演練 1b : 已知平面向量如圖 : 選出下列正確選項? 1. A + B = F. K + G = F 3. C = D E + F 順伯的窩 平面向量 [ 第 6 頁 / 共 34 頁 ]

7 高中數學講義 7 4. G + H + E = D 5. E + D = G + H 6. H C = G F 7. A + B + K + G = 0 8. A + B + C + H + G = 0 1,4,5,7,8 演練 1c : 用單一向量表示下列向量的結果 : 1. PT + TS + SQ =?. AC GE + CE =? 3. EA CB + DB + AD =? 4. PT QT + SR SQ =? PQ AG EC PR 演練 1d : 已知在 P 點的施力大小方向如圖示 : 若 P 點必須保持靜態平衡, 則必須在 P 點加一外力 F 5, F F F 1 P F 3 F 1 F 5 P F 3 請在圖中用紅色向量表示施力大小方向? F 4 F 4 演練 1e : 若已知 u = (1,3), v = (3,), w = (, ), 求 u + v w =? 及 v +3 w =? (9,9);(0, ) 演練 1f : 若已知向量 v = i +3 j = (,3) 及 w = 3 i 4 j = (3, 4), 求 v + w =? 及 v (5, 1);( 1,7) w =? 演練 1g : 若已知向量 v = i +3 j = (,3) 及 w = 3 i 4 j = (3, 4), 求 i, j =? 及 5 i 1 j =? i = (1,0); j = (0,1);13 範例 : 若向量 v = 10, 且向量 v 與水平線正向夾角為 30, 求 v 及其單位向量? v = (5 3,5);( 3, 1 ) 演練 a : 若 r = v, 將向量 v 表示成 r(cosθ,sinθ) 型式? 1. 向量 v = (3, 3 3). 向量 v = ( 3,) v = 6(cos 5π 3,sin 5π 3 ) r = 4,θ = 向量 v = ( 1, 3 ) r = 1,θ = 40 順伯的窩 平面向量 [ 第 7 頁 / 共 34 頁 ]

8 8 高中數學講義平面向量的表示法 4. 向量 v = (0, 5) 演練 b : 若向量 v = (4, 4), 求此向量與水平線的夾角? r = 5,θ = 演練 c : 若一球以每小時 30 英里的速度朝與水平線夾角 30 的方向投擲出去, 分別求水平方向與鉛 (15 3,15) 直方向的初速度為何? 3 i 4 j 5 演練 d : 若 v = 3 i 4 j, 其中 i, j 為互相垂直的單位向量, 則 v 的單位向量為何? 演練 e : 向量 v = 3 i 4 j 及 w = 1 i + 5 j, 其中 i, j 為單位向量, 求 3 v + w, v w, v w 演練 f : 已知點 P( 3,1),Q(x,4) 且向量長 PQ = 5, 求實數 x 及 PQ =? 演練 g : 已知點 P( 3,), 現依向量 v = (5,) 平移後的點坐標 P, 求 P 坐標? 1 i 7 j ;9 ; 8 x = 1, 7; PQ = (±4,3) (,4) 演練 h : 若向量 v = 6, 且向量 v 與水平線正向夾角為 10, 求 ( 3,3 3) v =? 演練 i : 若向量 v = (sin60,cos60 ), 求此向量的單位向量? 範例 3: 兩向量 4 7 AB, CD 之間的夾角為 10, 且長度分別為 1,8 求 (cos10,sin10 ) AB + CD 的長度大小? 演練 3a : 已知兩單位向量 19; 97 a, b 之間的夾角為 60, 求 3 a 5 b =? 及 8 a + 3 b =? 演練 3b : 向量 u, v 之間的夾角為 60, 且長度分別為 5,8 求 u + v 及 u v =? 演練 3c : 已知向量 u = 6, v = 10 且兩向量的夾角為 60, 求 u + v =? 演練 3d : 已知向量 u = 11, v = 3 且 u v = 30, 求 u + v =? 19 ; 演練 3e : 兩非零向量 u, v 下列敘述何者恆真?(1) u + v = u v () u + v u + v (3) u = u (4) 3 u = 3 u (5) 3 u +4 v = 3 u +4,3,4 v 範例 4: 已知 a 和 b 是兩個不平行的向量, 且 s( a + b )+t(3 a b ) = 7 a, 求實數 s,t s =,t = 1 之值? 演練 4a : 已知 b = (6,3) 和 c = ( 4,8) 求 1. a = 6 b +4 c =?. a = b +4 c =? 3. a = 1 3 ( b 5 c ) =? (0, 50) (, 9) ( 3 3, 34 3 ) 演練 4b : 已知 b = (1,) 和 c = ( 1,3) 且 a = x b +y c, 順伯的窩 平面向量 [ 第 8 頁 / 共 34 頁 ]

9 高中數學講義 9 1. 若 a = ( 1,13), 求數對 (x,y) =?. 若 a = ( 3,4), 求數對 (x,y) =? 3. 若 a = (5,0), 求數對 (x,y) =? 演練 4c : 解 5 v [ v +(1, )] = 0 範例 5: 設 A(,1),B(, 1),C(4,) 為平面坐標上的三點, 求 否共線? AB = ( 4, ), BC = (6,3),yes (,3) ( 1, ) (3, ) v = ( 3, 4 3 ) AB, BC =? 且問 A,B,C 三點是 演練 5a : 頂點 A,B,C,D 坐標分別為 ( 3,0),( 1, ),(3,1),(1,3), 四邊形 ABCD 是否為平行四 yes, AB = DC 邊形? 演練 5b : 平行四邊形的三頂點坐標為 ( 5,3),(5,),(7, 8), 求另一頂點坐標? ( 3, 7),( 7,13),(17, 9) 演練 5c : 兩非平行向量 v, w, 試證 : ( v + w ) = v + w + v w 演練 5d : 設平面坐標上的三點 A(5, 1),B( 3,4),C(13, 6), 問 A,B,C 三點是否共線? 範例 6: 若 i = (1,0), j = (0,1), 將下列向量表示成 i, j 的線性組合? 平行四邊形定理 yes 1. p = ( 4,5). 方向角為 30, 長度為 6 的向量 3. 方向角為 150, 長度為 3 的向量 4 i +5 j 3 3 i +3 j 3 i + 3 j 演練 6a : 向量 u = (,1), v = ( 1,7), 及 w = ( 4,3), 若 a u +b v +c w = 0, 求實係數 (a,b,c) = t(5,,3) a,b,c? 演練 6b : 將向量 w = ( 4,3) 表示成 u = (,1), 5 3 u + 3 v v = ( 1,7) 的線性組合? 演練 6c : 將向量 x = (11,19) 表示成 u = (1,), v = (3,5) 的線性組合? u +3 v 演練 6d : 將向量 x = (1,9) 可否表示成 u = (3,5), v = ( 6, 10) 的線性組合? u, v 為線性 no, 線性相依獨立或線性相依? 範例 7: 如圖所示 :D 在 ABC 之 BC 邊上, 且 CD = BD, G 為 AC 之中點, 若將 GD 向量 寫為 GD = r AB +s 1 AC, 其中 r 及 s 為實數, 則 r +s 之值等於? 順伯的窩 平面向量 [ 第 9 頁 / 共 34 頁 ]

10 10 高中數學講義平面向量的表示法 A B D G C 演練 7a : 平行四邊形 ABCD 中, AE = 3 EC, F 為 BC 的中點, 設 EF = r AB +s AD, 求實數 x,y,r,s 的值? ( 3 4, 3 4 );( 1 4, 1 4 ) A AE = x AB + y AD ; D E 演練 7b : 若 G 為 ABC 的重心, 且 AG = x AB +y (x,y) = ( 1 3 AC, 求實數 x,y 之值?, 1) 3 演練 7c : ABC 中, 點 P,Q 將 BC 邊三等分, 若 AP + AQ = x AB + y AC, x,y 為實數求 x+y = 1+1 = x+y =? 演練 7d : 梯形 ABCD 中, 已知 AB = 3 DC, 對角線 AC,BD 相交於 K, 若 AK = x AD+y AB (x,y) = ( 3 4, 求實數 x,y 之值?, 1) 4 範例 8: 利用斜坐標 ( 非直角坐標 ) 系統, 在 ABC 中, 如圖 : AD : DB = : 3,AE : EC = 3 : 5 設 BE 與 CD 相交於 P 點, 且 AP = x AB +y x = 5 17 AC, 求 x,y 值?,y = 9 34 C B F C A E D P B 演練 8a : 在 ABC 中, 點 E 在 BC 上, 且 BE : EC = 1 :, 點 F 在 AC 上, 且 AF : FC = 3 :, 設 AE 與 BF 相交於 P 點, 求 AP : PE =?, 又若四邊形 CEPF 的面積為 ABC 面 3 : ;k = 3 75 積的 k 倍, 求 k 值? 演練 8b : ABC 中,D 為 AB 中點,E 在 AC 上, 且 AE : EC = : 1,, BE 與 CD 相交於 P 點, 若 AP = x AB +y x = 1 4 AC, 求實數 x,y 值?,y = 1 範例 9: 坐標平面上, 點 P 是 A(6, 3),B( 4,) 兩點連線段上的點, 且 PA : PB = : 3, 求 P P(, 1) 點坐標? 演練 9a : 若 OE = OD+ 7 OF, 試描述 D,E,F 三點位置距離關係? 5 5 三點共線 ;F 為 D,E 兩點 5 : 的內分點 演練 9b : 若 OP = 1 OA+ 4 OB, 試描述 P,A,B 三點位置距離關係? 5 5 三點共線 ;P 為 A,B 兩點 4 : 1 的內分點 順伯的窩 平面向量 [ 第 10 頁 / 共 34 頁 ]

11 高中數學講義 11 演練 9c : 在坐標平面上 ABC 中, P 為 BC 邊的中點, Q 在 AC 邊上, 且 AQ = QC, 已知 PA = (4,3), ( 1, 1) PQ = (1,5) 則 BC 的向量坐標表示為何? 演練 9d : 坐標平面上, 點 P 是 A( 6,3),B(9, 7) 兩點連線段上的點, 且 PA : PB = 3 :, 求 P P( 3,3) 點坐標? 演練 9e : 平行四邊形 ABCD 中, DE = 3 DC, 且 AE 交 BC 於 F 點, 求 BF : FC =? : 1 演練 9f : 正六邊形 ABCDEF 中, 若 AC,BE 相交於 P 點, 求 AP : PC =? 及 BP : PE =? 1 : 1;1 : 3 範例 10: 設 OA = (,1), OB = (1,), 若 OP = x OA+y OB, 且 0 x 1,0 y 1, x,y 均為實數, 在平面上標示所有 P 點所形成的區域? O ( 解 :) y B A C 演練 10a : 坐標平面上, 已知 x P 落於平行四邊形 OACB 內 ( 含邊界 ) OA = (,3), OB = (1, 1) 1. 若 OC = 1 OA+ OB 試描述 C 點的位置? 3. 若 OD = OA+ OB 試描述 D 點的位置? 3. 若 OP = OA+t OB,0 t 1 試描述 P 點位置所形成的圖形? 平行四邊形 OAMB 的線段 AM 上 OC = ( 5 3, 5 6 ) OD = (4,1) 4. 若 OP = s OA + t OB,0 s 1,0 t 試描述 P 點位置所形成的圖形? 平行四邊形 OANE( 含邊界 ) p = s a + b OB O B OA E A N p = 1 a + b M OP = OA+t OB 習題 10-1 平面向量的運算 1. 設 AB = (3, 5),A(1,3), 則 B 點坐標為?. 設 a = (x 1,3), b = (1 3x, 1), 若 a // b, 則 x =? 順伯的窩 平面向量 [ 第 11 頁 / 共 34 頁 ]

12 1 高中數學講義平面向量的表示法 3. 已知 ABCD 為平行四邊形, 且坐標為 A(,1),B( 3,),C( 1,3), 求 D 點坐標? 4. 設平面坐標上的三點 A(15,10),B(6,4),C(x, 8) 共線, 求 x 值? 5. 若 AB = (6,1), BC = (a,b), CD = (, 3), 且 BC// DA, 則 a,b 之關係式為? 6. 平面上三點 A(1,3),B(4,),C( 1,1) 求向量 求 D 點坐標? 7. 設 G 是 ABC 的重心, 試證 AB 及 AG = 1 3 ( AB + AC) BC? 又若 ABCD 為一平行四邊形, 8. 三角形 ABC 中, 若 O 為 ABC 的重心, 且 AB,BC,CA 的中點分別為 D,E,F, (a) 求證 : OD = 1 ( OA+ OB) (b) 求證 : OD+ OC = OA+ OB + OC 9. 平面上兩向量 a, b 滿足 a = 1, b =, a + b = 7, 則 a 與 b 之夾角 θ =? 10. 直線 AB 上有一點 P, 滿足 AP : BP = 8 : 3 試以 OA, OB 表示 OP 11. 設 A,B,O 不共線,P 在 AB 線段上,PA : PB = 3 : 4, 且 OP = x OA+y OB, 則 x =?,y =? 1. 設 ABCDE 為正五邊形, 問以 A B C D E 為始點與終點所決定之相異向量 ( 含零向量 ) 共有 幾個? 13. u, v 為平面上兩非零向量, 若 u + v = u v 則 u, v 的夾角為何? 14. 設 a = (1,1), b = (7,1), 求平分 a b 夾角的單位向量? 15. 試證明 : 三角形 ABC, 兩腰 AB,AC 中點的連線段 DE 必平行底邊 BC 且其長度為 1 底邊 (hint: 證明 DE = 1 BC) 16. 試證明 : 平面上 ABC 三點不共線, OC 必可表示為 s OA+t OB,s,t R 且這種表示法為唯 一 17. 將 OP = (4,3) 表示成 OA = (1,) 和 OB = (, 1) 的線性組合? 18. 若向量 u = (3,5), v = ( 6, 10), 則滿足 a u +b v = 0 的實係數 a,b 的解為何? 19. 如圖 : 若 O 為平行四邊形 ABCD 對角線交點,E 在 AB 上, 且 AE = EB, 設 F D O a = AB, b = C BC 若 OE = x a +y b 表示之則數對 (x,y) =? A E B 順伯的窩 平面向量 [ 第 1 頁 / 共 34 頁 ]

13 高中數學講義 如圖 : 在 ABC 中,AD : BD = : 1,AE : EC = 3 :,BE 與 CD 交於 P 點, 若 A AP = x AB +y AC 則數對 (x,y) =? 1. 設 A(1,),B( 3,4), P 在射線 B D P AB 上, 若 AP : PB = 7 : 5, 求 P 點坐標?. 連接兩點 A(1,0),B( 1, ) 的線段, 被一直線 L : x+4y +4 = 0 分成兩段, 試求此兩線段 長之比? 及此 AB 與直線 L 的交點坐標? 3. ABC 中, 設 AB = 6,BC = 13,AC = 8, O 為外心, 若 4. 設 (x,y) =? OA = (,1), OB = (1,), 且 OP = x OA+y OB, E C AO = x AB + y AC, 求 (1). 若 0 x 1,0 y 1, x,y 均為實數, 在平面上標示所有 P 點所形成的區域? (). 若 0 x,0 y,x+y = 1, x,y 均為實數, 在平面上標示所有 P 點所形成的區域? 習題 x = 4,y =. x = 7 3. Ans:D(4, ) 10. OP = 3/11 OA + 8/11 OB, 3/5 OA+8/5 OB 11. 4/7,3/ ( 1 6, 1 ) 0. ( 4 9, 1 3 ) 1. ( 4/3, 19/6),( 13, 9). 1 : 1,(0, 1) e = ( 5 5, 5 5 ) 3. x = /9,y = 5/1 5. a+b = 0 6. AB = (3, 1), BC = ( 5, 1),D( 4,) 9. θ = 利用向量 16. 略 17. OP = OA+ OB 18. a = t,b = t,t R y C B O A x 4. (1) 平行四邊形 OACB 內 ( 含邊界 );()P 在 AB 上 10. 平面向量的內積 向量內積定義 : a b = a b cosθ = (x 1,y 1 ) (x,y ) = x 1 x +y 1 y, θ 為兩向量的夾角 內積在物理上的意義為作功 而係數積是一個向量的實數倍 順伯的窩 平面向量 [ 第 13 頁 / 共 34 頁 ]

14 14 高中數學講義平面向量的內積 將兩向量平移起始點疊合在一起所張開的角度為兩向量的夾角 θ, 其中 0 θ 180 b θ a U V = ( U V ) ( U V ) = U U V + V 即 U V = 1 ( U + V U V ) 和餘弦定理有密切關係 求夾角 : 向量內積是一個實用的工具 cosθ = a b a b 向量的內積基本性質 : 向量內積值為一純量 ( 其值為實數只有大小, 沒有方向 ) 1. 內積具有交換律 : a b = b a. 內積與係數乘法關係 : (α a ) b = a (α b ) = α( b c ) 3. 內積對加法的分配律 : a ( b + c ) = a b + a c 4. 自己內積值為其長度大小的平方 : a a = a 柯西不等式 : 設 a 1,a,b 1,b 為實數, 則 (a 1 +a )(b 1 +b ) (a 1 b 1 +a b ), 當 利用 a b = a b cosθ a b a b a b, 令 a = (x1,x,,x n ), b = (y 1,y,,y n ) 代入 (x 1 y 1 +x y + +x n y n ) (x 1 +x + +x n)(y1 +y + +yn) 當 cosθ = ±1 即 a // b 時, x 1 = x = = x n = k, 上式等號成立 y 1 y y n 向量的正射影 ( 投影 ): a b b a b a 在 b 的正射影 = ( ) b b = ( b ) b a 在 b 上的投影 = ( a 在 b 的投影長 ) ( b 的單位向量 ) b b = ( a b b ) b, 為一向量 a 在 b 的正射影 = ( a b ) b a 在 b 的投影長 = a b b, 為一正實數 a 1 b 1 = a b 時為等式 a θ b a 在 b 的正射影 = ( a b b ) b b a θ b a 在 b 的正射影 若 a b = c b 表示 a 在 b 的正射影長與 c 在 b 的正射影長相等 順伯的窩 平面向量 [ 第 14 頁 / 共 34 頁 ]

15 高中數學講義 15 d a c b a, c, d 在 b 上相等的正射影 向量分解成兩正交向量的和 : 若非零向量 v 及兩互相垂直向量 a, b, 則存在實數 α,β 使得 v = α a +β b, 其中 α = v a a, β = v b b 若向量 v 分解成兩垂直向量的和 v = α a +β b 則 α a 為 v 在 a 的正射影 ( v a a ) a, β b 為 v 在 b 的正射影 ( v b b ) b 兩向量 a, b 稱為一個正交向量的基底 y α a v = α a +β b a O b β b x 將 v = α a +β b 分別對 a b 取內積 ( a b = 0) v a = (α a +β b ) a = α a v b = (α, 可得 α = v a a +β b ) b = β b a, β = v b b 向量的正射影與 高的關係 : ABC 中, 底邊 BC 上的高 AH, 則 BH 為 BA 在 BC 的正射影, 故 HA = BA BH = BA BC BA ( ) BC BC A B H C 順伯的窩 平面向量 [ 第 15 頁 / 共 34 頁 ]

16 16 高中數學講義平面向量的內積注意 : 1. 向量內積未具有消去律 : a b = a c 未必 b = c ( 表示 b, c 在 a 上有相同的投影長 ). 向量零因子 : a b = 0 未必 a = 0 或 b = 0 ( 表示 a b ) 3. a b a b = 0, 兩非零向量垂直則內積值為 0 4. a // b a = t b, 兩向量平行則兩向量為係數積關係 例題 範例 1: 若 a = (, 3), b = (5,3) 分別求出 1;1;13;34; 13; 34 a b, b a, a a, b b, a, b 值? 演練 1a : 若已知向量 a = (, 3), b = (3,4), c = ( 1,5), 求 1. ( a + b ) ( a + b ) 值?. a a + a b + b b 值? 3. ( a + b ) ( a b ) 值? 4. a ( b + c ) 值? 演練 1b : 已知 k 為實數, 若向量 3 a = (1,k + 1) 與向量 b = (k,3) 的內積為 18, 則 k =? 範例 : 已知 ABC 是邊長為 10 的正三角形, 分別求 演練 a : 求兩向量 a = (, 1), b = (3,6) 的夾角? 演練 b : 求兩向量 a = (1,), b = ( 1,3) 的夾角? 演練 c : 求兩向量 AB AC 與 AB BC 的內積值? a = (cos π 4,sin π 4 ), b = (cos 3π,sin 3π ) 的夾角? 50; 50 演練 d : 若已知 a = 6, b = 8 且兩向量夾角為 10, 求 4 a b 的內積值? 演練 e : 已知三角形 ABC 的三個對應邊分別為 a = 5,b = 6,c = 7, 求 AB AC 的內積值? 30 π π 4 3π 4 演練 f : 將一質點 P 施予方向大小為 (,5) 的力, 使質點 P 從原點位移至 (4,1) 的位置, 問此過程 13 做了多少功? 順伯的窩 平面向量 [ 第 16 頁 / 共 34 頁 ]

17 高中數學講義 17 範例 3: 如圖,ABCDEF 為一正六邊形 那麼下列向量內積中何者最大?(A) AB (B) AB AC E D (C) AB AD (D) AB AE (E) AB B AF A B 演練 3a : 下列哪些選項表示平面上 A,B,C 三點共線?(1) OA = 3 OB+ 1 OC () OA = 5 OB OC (3) OC = 3 OA+ OB (4) OA+ OB + OC = 0 (5) AB AC = AB AC 5 5 (6) AB = k AC,k R (7) OA 5 OB +3 OC = 1,3,5,6,7 0 範例 4: 已知 a =, b = 3 且 a 與 b 的夾角為 60 求 ( a + b ) ( a b ) 之值? 與 3 a -5,6 b 之值? 演練 4a : 設向量 a 與 b 之夾角為 60, 且 a = b = 1, 則向量 a 和 ( a + b ) 之夾角 90 為何? 演練 4b : 設平面上兩向量 a 與 b 的夾角為 θ, 若 cosθ = 33 65, 且 a = 5, b = 13, 則 (4 a b ) ( a + 97 b ) =? 演練 4c : 證明 : 若向量 a + b 與 a b 互相垂直, 則 a = b 演練 4d : 證明 : 向量 a + b + a b = ( a + b ) F C 利用向量內積 利用向量內積 演練 4e : 設平面向量 a = (cosα,sinα), b = (cosβ,sinβ),(0 < α < β < π) 求證 : a + b 與 向量內積值為零 a b 垂直 範例 5: 設 ABCD 是一正四面體, 其每一面都是正三角形, 證明 AB 與 CD 互相垂直 證明 AB ( CB + BD) = 0 演練 5a : 圓 C 的一直徑兩端點坐標為 A(6,0),B(0,8) 求此圓的方程式?( 圓的直徑式 ) (x 6,y) (x,y 8) = 0 演練 5b : 一圓過三點 A(1,1),B(1, 1),C(,1), 求此圓的方程式?( 過圓心垂直平分弦 ) (x 3) +(y 4) = 5 演練 5c : 若 ABCD 為矩形, 試證 : OA OC = OB OD 演練 5d : 若 ABCD 為矩形, 試證 : OA + OC = OB + OD 演練 5e : 在 ABC 中, A = 90, B = 30,AC =,AD 為斜邊 BC 上的高, 設 AB = a, BC = b, AC = c, AD = d, 求 1. a 1 b 值?. b 4 c 值? 順伯的窩 平面向量 [ 第 17 頁 / 共 34 頁 ]

18 18 高中數學講義平面向量的內積 3. b d 值? 4. c d 值? 範例 6: 已知平行四邊形兩鄰邊邊長分別為 4,7, 若一對角線長為 7, 求另一對角線長? 範例 7: 已知 ABCD 為平行四邊形, 試證 : AC +BD = (AB +AD ) 演練 7a : 已知平行四邊形兩鄰邊邊長分別為 3,5 有一對角線長為 7, 求另一對角線長? 利用向量 演練 7b : 若平面上點 P 與 ABC 滿足 : PA+ PB+ PC = AB 試找出定點 P 與 ABC 的位 置關係? P 在線段 AC 的 1 : 內分點上 19 範例 8: 設 a,b,x,y 都是實數且 a + b = 4,x + y = 9, 求 ax + by 的最大值與最小值? 6,-6 演練 8a : 設 x,y 為實數且 x +y = 10, 則 x,y 為何值時使得 x+3y 有最大值多少? 又 x,y 為何 值時使得 x+3y 有最小值多少? (1,3),M = 10;( 1, 3),m = 10 演練 8b : 設 x,y 為實數, 已知 8x 3y = 15, 求 x,y 分別為多少時, 使 4x + y 有最小值為何? ( 6 5, 9 5 ),m = 9 演練 8c : 設 x,y 為實數且 (x ) +(y+3) = 9, 求 3x+4y+6 的最大值與最小值分別為多少? M = 15;m = 15 範例 9: 已知 a = (7,4), b = (1,), 求 a 在 b 上的正射影及正射影長? (3,6),3 5 演練 9a : 求向量 a = (4, 3) 的單位向量? 演練 9b : 坐標平面上 O 為原點, 若點 P(3,4),Q(,1), 求 P 在 OQ 上的投影點 H 坐標? ( 4 5, 3 5 ) H(4, ) 演練 9c : 若已知向量 a = (,3), b = (3,4), c = ( 6,6), 求 1. 求 a 在 b 上的正射影及正射影長?. 求 b 在 a 上的正射影及正射影長? 3. 求 c 在 b 上的正射影及正射影長? 4. 比較兩內積值 a b 與 c b 是否相等? 演練 9d : 求向量 u = (6,) 在向量 v = (5, 5) 的投影長及正射影? 演練 9e : 求向量 u = (3,1) 在向量 v = (1, 1) 的投影長及正射影? 6 ; 6 (3,4) ; 6 13 (,3) 6 ; 6 (3,4) 5 5 yes,(, ),(1, 1) 順伯的窩 平面向量 [ 第 18 頁 / 共 34 頁 ]

19 高中數學講義 19 演練 9f : 若已知 u = 17, u v = 10, 且 v = (,3), 求 u 在 v 上的正射影? 並求向量坐標 u =? 10 (,3); 1 u = ( 1,4) 或 (53,8) 範例 10: 將向量 v = (7,4) 分解成與 a = (1,) 垂直及平行的兩分量和? y v = 3(1,)+(, 1) v a O b x 演練 10a : 將向量 u = (6,) 分解成與 v = (1, 1) 垂直及平行的兩分量和? 演練 10b : 將向量 v = (1,3) 分解成與 a = (1,1) 垂直及平行的兩分量和? 演練 10c : 求向量 (3,4) 在向量 (,1) 方向上的分量與垂直 (,1) 方向上的分量? 演練 10d : 若向量 v = (,3) = α(3,1)+β(1, 3), 求實數 α,β 值? 演練 10e : 坐標平面上, 已知 u = 4(1,1)+(1, 1) v = (1,1)+( 1,1) 5; ; 7 10 OA = (,3), OB = (1, 1) (hint: 代數法或向量幾何圖形意義 ) 參考 : 第 11 頁,10.1 演練 10a 1. 當 a +k b 為最小值時求實數 k 值?. 求 3. 當 a +k b t a + b 的最小值? 為最小值時求實數 t 值? 習題 10- 平面向量的內積 k = 1 k = 1;5 t = 設 A(,5),B(4,3),C(4, 5),D(3,),E(6,8),F( 1,9) 求 (1) AB CD =? () CB DF =? (3)(AB +3 CE) AF =?. 已知 a = (7,1), b = (3,4), 求 a b 的值及 a, b 的夾角? 3. 已知 a = 3, b = 4, 且 a, b 的夾角為 10, 求 ( a + b ) ( a b ) 的值及 3 a b 的值? 4. ABC 中, A(1,1),B(4,5),C(8,) 試求 (1) AB AC =? () 內角 A =? 5. ABC 中, AB = 4,BC = 5,AC = 6, 求 6. 邊長為 a 的正方形 ABCD, 若 BC 邊中點 M, 則 AB AC =? AM AC =? 順伯的窩 平面向量 [ 第 19 頁 / 共 34 頁 ]

20 0 高中數學講義平面向量的內積 7. 平行四邊形 ABCD, AB = 7,BC = 5, 則 DB AC =? D E C 8. 設 ABCDE 是邊長為 的正五邊形, 問 9. 設 ABCDEF 是邊長為 的正六邊形, 問 AB AD =? AB AD =? A B 10. 設 a =, b = 3, c = 5, 且 a + b + c = 0, 則 a b =? 11. ABC 的垂心為 H, 且 AB = 4,BC = 6,CA = 5 求 AB AH 與 AC AH 之值? 1. 已知平行四邊形兩鄰邊邊長為 3,5 其中一對角線長為 19, 求另一對角線長? 13. 設 a = ( 3, 1), b = 4, 且 a, b 夾角為 60, 求 b =? 14. 設 x = 3, y =, 且 x + y = 19 則 x y =? 15. 已知 a = (1, 3), b = (, 1) 且 ( a +t b ) b, 求實數 t 的值? 16. 設 a = (,6), b = (1,1),k R, 當 k =? 會使得 a + k b 為最小?( 幾何意義 : ( a 設 k b ) b 時, a +k b 為最小 ) AB = (,3), AC = (1,k), 求 k 值, 使 ABC 為一直角三角形? 18. 設 a = 7, b = 8, a 與 b 的夾角為 π 3, 求 a + b, a b =? 19. 設 A( 3,1),B(,5),C(4, 6), 求 AB 在 AC 方向的投影長與正射影? 0. 已知向量 a = (4,7), b = (,1), 求 a 在 b 上的正射影長與正射影? 1. 將向量 v = ( 5,5) 分解成與 a = ( 1,) 垂直及平行的兩分量和 ( 任意其中一解 )?. 將向量 v = (, 3) 分解成與 a = (1, 1) 垂直及平行的兩分量和? 3. 已知向量 a = (18, 1), v1 = (4, 3), v = (3,4), 若 e1, e 分別為 v1, v 的單位向量 ; 且 a = x e1 +y e 求實數對 (x,y) =? 4. 設 a,b R, 且 a+3b = 13, 求 a +b 之最小值, 並求此時 a,b 之值? 5. 設 x,y R, 且滿足 3x+y = 4, 求 9x +y 之最小值, 並求此時 x,y 之值? 6. 設 x,y 為實數且 x +y = 5, 當 x,y 分別為何值時會使得 x+y 有最大值及最小值分別為 多少?( 代數 : 柯西不等式 ) 7. 設 x,y 為實數且 (x ) +(y+3) = 9, 求 3x+4y 的最大值與最小值分別為多少?( 柯西不 等式 ) 順伯的窩 平面向量 [ 第 0 頁 / 共 34 頁 ]

21 高中數學講義 1 習題 (1) 16 ()56 (3)0. 5;θ = /,5/ (6,3); Ans: v = (, 1) + ( 3, 6) 3. 7;9 13. (0, 4),( 3,). v = 5 1 (1, 1)+ (1,1) 4. 5; (15,10) 5. 7/ 6. 3a / = t = k = k = 11 3, 3, 3± , ,( 1, 1 ) 4. 13;a =,b = ;x = 4,y = 1 6. (x,y) = (,1),M = 5;(x,y) = (, 1),m = 5 7. M = 9;m = 平面上的直線 直線的方向向量 : 若直線 L 上任意兩點 A,B 此時稱 直線 L 上, 任兩點的向量 L nl = 0 AB 或 BA 為直線 L 的一個方向向量 L = kab 與直線 L 垂直的向量稱為直線 L 的法向量 n L, 即 直線向量參數式 : 直線 L 過點 A(x 0,y 0 ) 且直線方向 L//(b, a), 若 P(x,y) 為直線 L 上的任意 一點, 由 AP = (x x 0,y y 0 )//(b, a) 化簡可得 x,y 的關係式為 ax+by (ax 0 +by 0 ) = 0 O t < 0 v = (b, a) P(x,y) t > 0 A(x,y 0 ) t = 0 L : ax+by +c = 0 因此若點 (x 0,y 0 ) 在直線 L : ax + by + c = 0 上, 則直線上任一點可以表示成 OP= OA + t x = x 0 +bt v =(x 0,y 0 )+t(b, a) 即 L : y = y 0 at,t R, 稱為直線 L 的參數式 其中直線方向 L//(b, a), 直線法向量 n L //(a,b) 直線方程式的方向向量與法向量 : 若直線方程式 L : ax+by +c = 0 則直線方向 L//(b, a), 法向量方向 n 為垂直 L 的向量, 即 n //(a,b) 順伯的窩 平面向量 [ 第 1 頁 / 共 34 頁 ]

22 高中數學講義平面上的直線 a 1 a +b 1 b 兩直線之交角 θ 或 π θ : 兩直線夾角 cosθ = ± 或 tanθ = m 1 m a 1 +b 1 a +b 1+m 1 m L 1 : a 1 x+b 1 y+c 1 = 0, L : a x+b y+c = 0 則兩直線法向量 n1 //(a 1,b 1 ), n //(a,b ) 兩直線法向量的夾角 θ, 恰為兩直線夾角 θ,π θ 之一 我們可利用向量內積來求兩直線夾角 : n1 θ n L 1 cosθ = L1 L L 1 = L n1 n n 1 a 1 a +b 1 b = n a 1 +b 1 a +b 180 θ θ θ θ 1 L 或利用直線斜率 m 1 = a 1 = tanθ 1,m = a = tanθ, θ = (π θ)+θ 1 則 tan(θ π) = b 1 b tanθ = tan(θ 1 θ ) = m 1 m 1+m 1 m 點 P(x 0,y 0 ) 到線 L : ax+by +c = 0 的距離公式 : d(p,l) = ax 0 +by 0 +c a +b P(x 0,y 0 ) H L : ax+by +c = 0 Q n d(p,l) = QP 在 QP n n 上的正射影長 = = ax 0 +by 0 +c n a +b 若 P 點在直線 L 的右側 (a > 0), 則滿足不等式 ax 0 +by 0 +c > 0, 即上式分子 ax 0 +by 0 +c > 0 若 P 點在直線 L 的左側 (a > 0), 則滿足不等式 ax 0 +by 0 +c < 0, 即上式分子 ax 0 +by 0 +c < 0 兩平行線的距離 : 兩平行線 L 1 : ax+by +c 1 = 0,L : ax+by +c = 0 的距離 d = c 1 c a +b 考慮任意一點 P 與兩平行線 L 1 : ax+by +c 1 = 0,L : ax+by +c = 0 的距離 P 在兩平行線同側 : d(l 1,L ) = d 1 d = ax 0 +by 0 +c 1 ax 0 +by 0 +c c 1 c = a +b a +b a +b P 在兩平行線異側 : d = d 1 +d = ax 0 +by 0 +c 1 + ax 0 +by 0 +c c 1 c = a +b a +b a +b,( d 1,d 異號 ) c 故兩平行線的距離 1 c d(l 1,L ) = a +b 例題 範例 1: (1). 設 L 為通過 A(,1),B( 1,3) 兩點的直線, 求 L 的參數式? ( 解 :)Ans: x = 3t y = 1+t, t R 順伯的窩 平面向量 [ 第 頁 / 共 34 頁 ]

23 高中數學講義 3 (). 已知直線 L : 3x y = 5 求直線 L 的參數式? ( 解 :) x = 1+t y = 1+3t, t R x = +5t 演練 1a : 求通過 A(,3),B(3,6) 兩點的直線 L 參數式?,t R y = 3+3t x = +5t 演練 1b : 求通過 A(,3),B(3,6) 兩點的線段 AB 參數式?,0 t 1 y = 3+3t x = 3+t x y +5 = 0 演練 1c : 已知一直線參數式為,t R, 求此直線方程式的一般式? y = 4+t 演練 1d : 已知一直線過點 (11, 4), 且直線方向平行 (3,7), 求此直線參數式? 及斜率 m =? x = 11+3t y = 4+7t,t R;m = 7 3 演練 1e : 求過點 (3,4) 且法向量為 (3,4) 的直線方程式? 演練 1f : 切線問題 : 1. 求斜率為 3 與圓 C : x +y = 10 相切的直線方程式? 4x 3y = 0 y = 3x±10. 求過圓 C : x + y = 5 外一點 P(5,10) 的切線方程式?( 代數 D = 0, 解析法 ) x = 5,y 10 = 3 4 (x 5) 3. 求過圓 C : (x 3) +(y ) = 8 外一點 P( 1,) 的切線方程式? 4. 求過圓 C : x +y = 10 上一點 P(3,1) 的切線方程式?( 解析法 ) y = ±(x+1) 3x+y = 10 範例 : 設直線 L 1,L,L 3,L 4 的參數式分別為 x = 1+t L 1 : y = 4 3t, t R L x = 3+t : y = 1 3t x = 1+4t L 4 : y = 4 6t, t R, t R L 3 : x = +4t y = 8 6t, t R 試比較這四條直線有何相關? 演練 a : 比較下列兩參數式是否為同一關係式? 相同 x 1 = t 1 y 1 = 3t+1, t R ; x = 3 t 4 3 y = t L 1 = L = L 4 //L 3, t R 順伯的窩 平面向量 [ 第 3 頁 / 共 34 頁 ]

24 4 高中數學講義平面上的直線 演練 b : 下列哪些選項為等義關係式 ( 同一關係式 )? (A) 直線過點 (1,), 直線方向為 (3,) (B) x 1 = y (C) x 1 = y x = 3t+1 (D) y = t+, t R(E) x = 4 3t, t y = 4 t ABCDE R.(F) 直線過點 (1,), 直線法向量為 (,3) x = at+b 演練 c : 若點坐標 P(x,y) 的參數式為 y = ct+d, t R, 其中 a,b,c,d 為常數且 a,c 不同 時為 0, 1. 若 a =,b = 3,c = 1,d = 時, 點 P 所形成的軌跡圖形為何? 若為直線求此直線 的斜率 m, 及與兩坐標軸的交點坐標分別為何? 直線 ;m = 1;(7,0),(0,. 求 a,b,c,d 在何種條件下, 點 P 所形成的軌跡圖形為一鉛直線? a = 0 3. 求 a,b,c,d 在何種條件下, 點 P 所形成的軌跡圖形為一水平線? c = 0 範例 3: 在直線 L : x+y = 4 上找一點 P, 使點 P 到兩點 A(4,5),B(0,4) 等距離? 演練 3a : 在直線 L : 3x 4y = 上找一點 P, 使點 P 到點 A(,1) 的距離為 5 x = t+ 演練 3b : 兩直線參數式分別為 L 1 : y = 3t, t R,L x = +t : y = 1 t 線的交點坐標? P(3, 1 ) P(6,4) 或 P(, ), t R, 求兩直 (1, 5) 演練 3c : 已知原點到直線 L 的距離為 p = 10, 且此直線的法線與 x 軸正向夾角 φ = 30, 求此直線 xcosφ+sinφ p = 0 方程式? 演練 3d : 直線 L : 3x y+4 3 = 0, 求原點到直線 L 的距離? 並求此直線的法線與 x 軸正向夾 3;φ = 5π 6 角 φ =? 45,135 範例 4: 求兩直線 L 1 : 3x+y 3 = 0,L : x y +1 = 0 的交角? 演練 4a : 直線 L : 3x 4y = 1, 點 A(4,0) 為直線上一點, 若 AP 垂直直線 L, 且 AP = 1, 求 ±( 3, 4 ) 5 5 向量 AP =? 演練 4b : 兩直線參數式分別為 L 1 : 線的交角? x = t+ y = 3t, t R,L : x = +t y = 1 t 演練 4c : 求兩相交直線 3x+4y = 10,5x 1y = 6 交角的角平分線方程式? x+8y = 0,16x y 65 = 0, t R, 求兩直 π 4, 3π 4 範例 5: 直線 L : x+5y = 10 及線外一點 P(1,3) 順伯的窩 平面向量 [ 第 4 頁 / 共 34 頁 ]

25 高中數學講義 5 1. 求直線 L 與 x 軸交點 A 坐標, 及 y 軸交點 B 坐標?. 若向量 3. 求向量 AP 在直線 L 上的正射影為 AH, 求 AH 及點 H 坐標? HP 及 HP? 4. 求點 P 到直線的最短距離 d 及直線 L 上與 P 點的最近點坐標? A(5,0),B(0,) (5, );H(10, ) (,5); 9 d = 9;H(10, ) 演練 5a : 求直線 L : 1x 5y+5 = 0 與圓 C : x +y 4x+4y 8 = 0 相交所截出的弦線段長? 7 演練 5b : 就直線 L : x y +k = 0 與圓 C : x +y = 1 相交情形, 求實數 k 的範圍? 1. 直線 L 與圓 C 相切. 直線 L 為圓 C 割線 3. 直線 L 與圓 C 不相交 演練 5c : 就實數 k 的範圍, 討論直線 L : y = mx+ 與圓 C : x +y = 1 相交情形? m > 3,m < 3 交兩點 ;m = ± 3 相切 ; 3 < m < 3 不相交 k = ± < k < k <,k > 演練 5d : 已知三角形 ABC 三頂點坐標 A(,5),B(5,4),C(9,7), 求 1. ABC 底邊 BC 的高所在直線方程式?. ABC 底邊 BC 的高 h 線段長多少? 3. 點 A 在底邊 BC 直線上的投影點 H ( 垂足點 ) 坐標? 4x+3y 7 = 0 h = 5 H(1, 1) 演練 5e : 求點 P(, 6) 到直線 L : 4x + 3y + 1 = 0 的最短距離, 此時直線上的點坐標為何? H(, 3),d = 5 演練 5f : 坐標平面上, 若點 P(3,4), 求 P 在直線 x y = 0 上的投影點 H 坐標? H(4, ) 演練 5g : 直線 y = 6 3x 上一點 A 到點 P(7,5) 有最短距離 d, 求點 A 坐標及距離為多少? A(1,3);d = 10 演練 5h : 求兩平行直線 L 1 : 6x y = 1,L : y = 3x+4 的距離? 10 範例 6: (1) 在直線 L : x+y = 4 上找一點 P, 使點 P 到兩點 A(4,5),B(0,4) 距離和 l = PA+PB P(0,),l min = 7 最短? () 設 x,y 為實數且 x +y = 5, 當 x,y 分別為何值時會使得 x+y 有最大值及最小值分別 為多少?( 幾何 : 圓與直線關係 代數 : 柯西不等式 ) (x,y) = (,1),M = 5;(x,y) = (, 1),m = 5 (3) 若點 P(a,b) 在直線 x y = 1 上, 順伯的窩 平面向量 [ 第 5 頁 / 共 34 頁 ]

26 6 高中數學講義平面上的直線 1. 求 a +(b 1) 的最小值?( 柯西不等式 ). 求 a +4b 的最小值?( 柯西不等式 ) 3. 求 a b 的最大值?( 直線參數式 ) 4. 求 a +b 的最小值?( 直線參數式 ) 5. 求 ab 的最小值?( 直線參數式 ) 演練 6a : 求點 P(1, 3) 關於直線 L : x+y = 0 的對稱點坐標? 演練 6b : 求與圓 C : x +y = 5 相切於點 P(3,4) 的切線方程式? P (3,1) 3x+4y = 5 演練 6c : 求過點 P(3, 1) 的直線且與圓 C : x +y = 5 相切, 求切點坐標? 並求其切線段長 l? (,1),(1, );l = 5 演練 6d : 設 x,y 為實數且 (x ) +(y +3) = 9, 求 3x+4y 的最大值與最小值分別為多少?( 幾 何 : 圓與直線關係 代數 : 柯西不等式 ) M = 9;m = 1 習題 10-3 平面上的直線 1. 已知平面上點 A(, 3),B( 5,),O 為原點 (a) 若 OP = s OA+ OB, 1 s 1, 求點 P 的軌跡? (b) 若 OP = OA+t OB, 1 t 1, 求點 P 的軌跡? (c) 若 OP = s OA+t OB, 且 s+t = 1, 求點 P 的軌跡? (d) 若 OP = s OA+t OB, 1 s,t 1, 求點 P 的軌跡?. 已知直線 L : 3x y = 5, 求 L 的參數式? x = 5+t 3. 設兩直線 L 1,L 的參數式分別為 L 1 : y = 1 t 則兩直線是否相交? 若相交, 求其交點坐標? 4. 兩直線 L 1,L 的參數式分別為 L 1 : 是否為同一直線? x = 1+t y = 4 3t, t R; L : x = 1+t, t R; L : y = 3 t x = 3+4t y = 1 6t, t R,, t R, 5. 試求點 (,1) 到直線 4x 3y +5 = 0 的距離? 6. 已知一點 A( 7,5) 及一直線 L : 3x y+5 = 0, 試求 (1)A 到直線 L 的距離? ()A 在 L 上的正射影? (3)A 對於 L 的對稱點? 順伯的窩 平面向量 [ 第 6 頁 / 共 34 頁 ]

27 高中數學講義 7 7. 直線過 A(,1),B(3,3) 兩點, 求直線上到點 P(6,4) 的最近點及其最短距離? 8. 已知點 P(6,4),A(,1),B(3,3) 求點 P 在直線 AB 上的投影點坐標? 及向量 正射影? 9. 求兩平行線 L 1 : 3x 4y 10 = 0,L : 6x 8y +15 = 0, 的距離? AP 在 AB 的 10. 已知兩直線方程式 L 1 : x+y 4 = 0,L : x y +3 = 0, 試求 L 1,L 的交角及角平分線 方程式? 11. 求兩直線 L 1 : 3x+y 6 = 0,L : x+ 3y = 0 的交角? 1. 在直線 L : x+y = 4 上找一點 P, 使點 P 到兩點 A(4,5),B(0,4) 距離平方和 PA +PB 最小值, 求 P 點坐標並求其最小值? 13. 已知圓 C : x +y = 5 與直線 L : 3x+4y = k 有相交, 求實數 k 的範圍? 14. 就圓心到直線距離與半徑關係討論直線 L : x y +k = 0 與圓 C : x +y = 1 相交情形, 求 實數 k 的範圍? (a) 直線 L 與圓 C 相切 (b) 直線 L 與圓 C 相割 (c) 直線 L 與圓 C 不相交 15. 已知直線 L : kx y k 1 = 0, 圓 C : x +y 4x y +1 = 0, 問 k 為何值時, 使直線 與圓交兩點, 相切, 不相交? 習題 a. ( 3, 1),( 7,5) 的線段 1b. ( 3, 1),(7, 5) 的線段 1c. 直線 AB 4. yes ,( 1,1),(5, 3) 7. H(4,5);d = 5 1. P( 3, ),min = k 5 14a. k = ± 1d. ( 3, 1),( 7,5),(3,1),(7, 5) 8. H(4,5);(,4) 的為頂點的平行四邊形 x = 1+t. L : y = 1+3t, t R 3. yes;(1,3) π/;3x+y 1 = 0,x 3y +7 = ,150 14b. < k < 14c. k <,k > 15. k > 0,k < 4/3 交兩點, k = 0, 4/3 時相切, 4/3 < k < 0 不相交 順伯的窩 平面向量 [ 第 7 頁 / 共 34 頁 ]

28 8 高中數學講義面積與二階行列式 10.4 面積與二階行列式 二階行列式定義 : 以 a ij 表示第 i 列, 第 j 行的元素 a 11 a 1 a 1 a = a 11a a 1 a 1 平面上三角形面積公式 : = 1 AB AC sinθ = 1 AB AC 1 cos θ 故 ABC = 1 AB AC ( AB AC) y c a+c (a+c,b+d) AC θ AB b θ a b+d d (c,d) a a+c (a,b) x 如圖示 : 由兩向量所張開的平行四邊形面積 A = 大長方形面積 兩個小長方形面積 4 個三 角形面積 即 A = (a+c)(b+d) 1 ab 1 cd bc = ad bc 若 AB = (a,b), AC = (c,d), 則 ABC 面積 = 1 ad bc = 1 a b c d 平行四邊形的面積公式 : 以非零向量 a = (a1,a ), b = (b 1,b ) 所張開的平行四邊形面積 A = a b ( a a b ) = 1 a b 1 b 向量在幾何上的應用 : 平行四邊形 ABCD 邊長定理 : 平行四邊形的對角線平方和 = ( 兩鄰邊平方和 ) ( AB + AD ) = AC + BD 利用內積求夾角 : cosθ = a b a b PP L 對稱點坐標 : 點 P 在直線 L 上的對稱點 P P,P 中點在直線 L 上 ABC 中, AB AC = AB AC cosθ = AB +AC BC AC = AC AC = ( AB + BC) ( AB + BC) = AB + BC + AB BC 順伯的窩 平面向量 [ 第 8 頁 / 共 34 頁 ]

29 高中數學講義 9 直線向量參數式 : 若 L : ax+by +c = 0 上, 則直線上任一點可以表示成 x = x 0 +bt y = y 0 at,t R 兩直線之交角 : L 1 : a 1 x+b 1 y = c 1, L : a x+b y = c 則直線法向量 n1 = (a 1,b 1 ), n = (a,b ) cosθ = L1 L L 1 = n 1 n L n 1 = a 1a +b 1 b n a 1 +b 1 a +b tanθ = m 1 m 1+m 1 m 點 P(x 0,y 0 ) 到線 ax+by +c = 0 的距離公式 : d(p,l) = ax 0 +by 0 +c a +b 三角形面積向量公式 : = 1 a b ( a b ) 若 AB = (a,b), AC = (c,d) 則 ABC 面積 = 1 ad bc 行列式的性質 : 橫為列, 直為行 行列式裡面的數稱為元素 a ij 表第 i 列第 j 行的元素 第 1 行第 行 第一列 a b 第二列 c d 1. 將行的元素與列的元素互換, 其值不變 a b c d = a c b d. 將某兩行 ( 列 ) 對調位置, 其值變號 a b c d = c d a b 3. 任一行 ( 列 ) 之數可提出公因數 a b kc kd = k a b c d 4. 若某行 ( 列 ) 之數均為 0, 則其行列式值為 0 a b 0 0 = 0 5. 任兩行 ( 列 ) 之數成比例, 其行列式值為 0 a b ak bk = 0 6. 將某行 ( 列 ) 的各數乘上一非 0 的數加至另一行 ( 列 ), 則其行列式值不變 a b c d = a+ck b+dk c d = a+bt b c+dt d 順伯的窩 平面向量 [ 第 9 頁 / 共 34 頁 ]

30 30 高中數學講義面積與二階行列式 7. 行列式的加法性質 : 可依任一行 ( 列 ) 拆成兩個行列式 a±x b c±y d = a b c d ± x b y d, a±x b±y c d = a b c d ± x y c d 二元一次方程組的克拉瑪 (Cramer s rule) 公式解 : a 1 x+b 1 y = c 1 二元一次聯立方程組, 利用加減消去法可求得 a x+b y = c x = b c 1 b 1 c,y = a 1c a c 1 a, 若規定 = 1 b 1 a 1 b a b 1 a 1 b a b 1 a b, x = a 1 c 1 a c, 則二元一次聯立方程組的解為 : c 1 b 1 c b, y = x = x 1. 若 0, 則方程組恰有一解, 其解為克拉瑪 (Cramer s rule) 公式解 y = y. 若 = 0 時, (1) x = y = 0, 則方程組無限多組解 () x, y 中有一不為 0, 則方程組無解 a 1 x+b 1 y = c 1 二元一次方程組的代數解與幾何意義 ( 圖形意義 ): a x+b y = c 1. 0 時, 則方程組恰有一解 即 點 a 1 a b 1 b 表兩直線法向量不平行, 此時兩直線必相交一. = x = y = 0, 則方程組無限多組解 即 a = b 1 = b c 1 c 兩直線 L 1 : a 1 x+b 1 y = c 1, L : a x+b y = c 關係為 L 1 = kl, 此時兩直線重合 3. = 0 但 x, y 中有一不為 0, 則方程組無解 即 a 1 a = b 1 b c 1 c 表兩直線法向量平行, c 但 x = 1 b 1 c b 0, a 或 y = 1 c 1 a c 0,L 1 與 L 不重合, 此時兩直線平行不相交 a 1 例題 範例 1: 設三角形三頂點坐標為 A(3,1),B(,3),C( 3, 1), 求此三角形面積? 演練 1a : 坐標平面上 ABC 三頂點坐標 A(1, ),B( 1,5),C(4,3) 求此三角形面積? 演練 1b : 求兩向量 a = ( 3,1), b = (4,3) 所張開的平行四邊形面積? 順伯的窩 平面向量 [ 第 30 頁 / 共 34 頁 ]

31 高中數學講義 31 表 1: 二元一次方程組的代數解與幾何意義 行列式, x, y 之值方程組的代數解幾何意義 0 = 0, 但 x, y 有不為 0 直線斜率 恰有一解 ( x, 兩直線相交一點斜率不相等 a 1 y ) b 1 a b 無解兩直線平行斜率相等,y 截距不相等 a 1 b a, 1 b c 1 b c 1 b = x = y = 0 無限多組解兩直線重合斜率相等,y 截距相等 a 1 = b a, 1 b c 1 = b c 1 b 演練 1c : 已知平面上平行四邊形 ABCD 的三個頂點坐標分別為 A(,1),B(8,),C(1,9), 求點 D D(6,8);38 坐標及此四邊形面積? 演練 1d : 已知平面上凸四邊形的面積為 40, 其四個頂點坐標按逆時針方向依序為 (0,0),(4,),(x,x), x = 10 及 (,6), 則 x =? 3x+11y = 15 x = 148,y = 39 範例 : 利用克拉瑪公式解解方程組 4x+15y = 7 5x+3y = 1 (, 3) 演練 a : 利用克拉瑪公式解聯立方程式 : 4x 7y = 9 x y = 1 14 演練 b : 設實數 a > 0, 若 x,y 的方程組 x y = a 有解, 則 a =? z ay = 1 3x y = 5 x+3y = 1 演練 c : 聯立方程組 : 與聯立方程組 : 有相同解, 求聯立 ax+by = 1 ax by = 4 (1, 1);a =,b = 1 方程組的解及 a,b 值分別為多少? 演練 d : 解聯立方程組 : x + 3x y = 1 x = 1,y = 3 x + x 1 y = 4 範例 3: 計算行列式值 =? 演練 3a : 求行列式值 =? 演練 3b : 求行列式值 8 8 =? 30 順伯的窩 平面向量 [ 第 31 頁 / 共 34 頁 ]

32 3 高中數學講義面積與二階行列式 演練 3c : 求行列式值 sinθ cosθ cosθ sinθ =? -1 x 1 演練 3d : 若行列式值 3 x =, 求 x =? x = ±1 a b 範例 4: 若行列式 c d = 3, e b f d = 5, a+3e b 求的行列式值? c+3f d 36 a b 演練 4a : 若行列式 c d = 3, 5b 10d 求的行列式值? a c -30 演練 4b : 若行列式 a b c d =, a b e f = 3, 求 a c b d + e f a b + a b 的行列 c+e d+f 式值? 1 範例 5: 已知一二次函數 f(x) = ax +bx+c 的函數圖形經過 (1,1),(,1),( 1, 9) 三點, 求出 x +5x 6 此二次函數? 80x+79y = 77 x =,y = 3 演練 5a : 聯立方程組 : 78x+81y = 87 演練 5b : 已知兩向量 a, b 所張開的平行四邊形面積為 10, 則 a +3 b, a 兩向量所張開的平行 30 四邊形面積為? t = 5 演練 5c : 平面上三點 A(1, 1),B(3,3),C(t 1,t) 共線, 求實數 t 值? ax+by = e bx ay = e 演練 5d : 若聯立方程組 : 的解為 x = α,y = β, 則聯立方程組 : cx+dy = f dx cy = f x = β,y = α 的解應為? 範例 6: 就實數 k, 討論聯立方程組的解 : kx+4y = k + x+ky = k ( 解 :)k, 恰一解 ( k, k+1);k = 無解 ;k = 無限多解 ( t,t),t R k+ k+ L 1 : x+ky = 1 演練 6a : 就實數 k, 討論兩直線幾何關係 ( 聯立方程組的解 ): L : kx+9y = 3 ( 解 :)k 3, 3 兩直線相交一點 ( 恰一解 ( 3, 1 ));k = 3 兩平行直線 ( 無解 );k = 3 兩 k+3 k+3 直線重合 ( 無限多解 (1 3t,t),t R) ax+y = b a = 1,b = 演練 6b : 聯立方程組 : 除了 (0,0) 外還有其他解, 求常數 a,b 值? (a 1)x+y = 0 順伯的窩 平面向量 [ 第 3 頁 / 共 34 頁 ]

33 高中數學講義 33 演練 6c : 聯立方程組 : 1. 求行列式值 : x+ay = 6 bx y = 3 習題 10-4 面積與二階行列式 =? a b. 設 c d = 3, 3a 4b 5a+3b 則 3c 4d 5c+3d =? 有無限多組解, 則行列式 a b 1 =? 0 3. 平面上三點 A(3,3),B( 1,1),C(k,k 1), 若三角形 ABC 面積為 3 時, 求 k 值? 又若 A B C 三點共線時, k 值為何? 4. 已知 ABC 三頂點坐標為 A(,1),B(,),C( 1, ), 求 ABC 的面積? 5. ABC 中, AB = AC = 1, AB AC = 1 3, 則 ABC 之面積為? 6. 求由向量 a = (,1), b = (4,5) 所張開的平行四邊形面積 A 為何? 又 a 與 a b 所張 開的平行四邊形面積 A 又為何? 6x 8 = 7y 7. 解方程組 : 15x 0 = y 8. 解方程組 : 47x+3y = 1 35x+17y = 9 9. 利用克拉瑪公式解聯立方程式 : 79x+80y = 77 81x+78y = 就實數 k, 討論兩直線的幾何意義 ( 圖形意義 ): 11. 就實數 a, 討論聯立方程組的解 : x ay = a 1 (a+1)x y = 0 a 1 x+b 1 y = c 1 1. 若聯立方程式 : 的解為 x = 3,y =, a x+b y = c a 1 x+b 1 y = 3c 1 求聯立方程式 : 的解 a x+b y = 3c 習題 10-4 L 1 : kx+y = 1 L : 9x+ky = 3? k =,8 ; 共線時 k = 順伯的窩 平面向量 [ 第 33 頁 / 共 34 頁 ]

34 34 高中數學講義面積與二階行列式 /3 6. A = 6;A = A = 1 7. (4/3,0) 8. (1/, 1/) 9. (3, ) 10. k 3, 3 相交一點 ( 1 k+3, 3 k+3 );k = 3 平行不相交 ;k = 3, 時 L 1,L 重合 11. a 1, 恰一解 ( a+, a+1 a+ );a = 無解 ;a = 1 無限多解 (t,t),t R 1. (3 3, 3 ) = (9,3)... 教用版附答案... 順伯的窩 - End - [ 第 34 頁 / 共 34 頁 ]