遞迴數列

Size: px

Start display at page:

Download "遞迴數列"

屯僻蒲
5 years ago
Views:

(99 課綱 ) 第四冊第四章二次曲線 4-1 拋物線目標首先由拋物線的定義及拋物線的尺規描點作圖來認識拋物線 ; 再以解析法推導出拋物線的標準式及經過平移伸縮後的拋物線方程式作為進一步探討拋物線的基礎討論在西元十五世紀之前人們一直相信地球是宇宙的中心直到十六世紀哥白尼 ( 波蘭 1473~1543) 首先提出日心學說認為所有行星都是循著圓形軌道繞太陽運行之後伽利略 (

且可以二次方程式描述統稱為二次曲線定義 1. 直圓錐面 : 空間中兩不互相垂直的直線 L M 相交於一點 V 固定直線 L 為軸將直線 M 繞點 V 在空間中旋轉一周所得的圖形稱為直圓錐面其中直線 L 稱為主軸點 V 稱為頂點變動的直線 M 在空間中的每一個位置都稱為母線.

1 (99 課綱 ) 第四冊第四章二次曲線 4-1 拋物線目標首先由拋物線的定義及拋物線的尺規描點作圖來認識拋物線 ; 再以解析法推導出拋物線的標準式及經過平移伸縮後的拋物線方程式作為進一步探討拋物線的基礎討論在西元十五世紀之前人們一直相信地球是宇宙的中心直到十六世紀哥白尼 ( 波蘭 1473~1543) 首先提出日心學說認為所有行星都是循著圓形軌道繞太陽運行之後伽利略 ( 義大利 1564~164) 改良了傳統望遠鏡用來觀察行星軌跡而大力支持日心學說另一方面克卜勒 ( 德國 1571~1630) 也根據對火星的長期觀測修正了哥白尼圓形軌道的理論著名的克卜勒定律指出行星循橢圓軌道繞行太陽最終牛頓 ( 英國 1643~177) 提出萬有引力定律並用數學證明在單一重力源的作用下天體的運行軌道有且只有三種即拋物線橢圓雙曲線這三種曲線都是平面曲線且可以二次方程式描述統稱為二次曲線定義 1. 直圓錐面 : 空間中兩不互相垂直的直線 L M 相交於一點 V 固定直線 L 為軸將直線 M 繞點 V 在空間中旋轉一周所得的圖形稱為直圓錐面其中直線 L 稱為主軸點 V 稱為頂點變動的直線 M 在空間中的每一個位置都稱為母線. 直圓錐面與不過頂點的平面之截痕 : 設 L M 是相交於 V 點的兩條直線讓 M 以 L 為軸旋轉所得的曲面就是一個直圓錐面 Ω 再用一個不過 V 點的平面 E 去切割 Ω 所得的曲線稱為圓錐曲線設 L M 的夾角為 α 割平面和軸線 L 的夾角為 β 則 π (1) 當 β = 時即平面與主軸垂直截痕為圓 π () 當 > β > α 時即平面稍傾斜時截痕為橢圓 (3) 當 β = α 時即平面再稍傾斜使它與一母線平行時截痕為拋物線 (4) 當 0 β < α 時即平面再傾斜使它與直圓錐面的上下兩部分都相交時截痕為雙曲線 1

2 問題 x y z 1. 直線 L : = = L 與 z 軸交於 ( 000) 將 z 軸固定而 L 繞 z 軸旋轉一周所得的直圓錐面 Ω 試判別下列各題分別為何種圖形 : (1) 平面 E : z = 3 E 與 Ω 的交線 () 平面 F : x y z = 3 F 與 Ω 的交線 (3) 平面 G : x + y + z = 1 G 與 Ω 的交線 (4) 平面 H : x y z 4 = 0 H 與 Ω 的交線. 平面與直圓錐面 Ω 的截痕還有哪些圖形? ( 解 : 直圓錐面與過頂點的平面之截痕有一點一直線兩相交直直線 ) 3. 若將直圓錐面 Ω 改成直圓柱面後則截痕有哪些可能圖形? 4. 直圓錐面方程式如 x + y = z ; 直圓柱面方程式如 x + y = c

3 圖形圓錐曲線 (conic section) 常見圖形 : 1. 圓 (circle):. 橢圓 (ellipse): 3. 拋物線 (parabola): 4. 雙曲線 (hyperbola): 3

4 討論設在平面上給定一直線 L 及不在 L 上的定點 F 則所有到點 F 的距離等於到直線 L 距離的動點 P 所形成的圖形稱為拋物線如圖所示其中直線 L 稱為準線點 F 稱為焦點當拋物線 Γ 以 L 為準線 F 為焦點時過 F 且垂直於 L 的直線 N 稱為對稱軸 ( 簡稱軸 ) N 與 Γ 的交點 A 稱為頂點頂點 A 到焦點 F 的距離 AF 稱為焦距如圖所示給定拋物線 Γ 的準線 L 及焦點 F 時可以利用直尺及圓規作圖 ( 尺規作圖 ) 描畫出 Γ 上的一些點再以圓滑曲線連接就可以呈現 Γ 的圖形首先在 L 上取任意點 Q 過 Q 作 L 的垂線 M 再作 QF 的中垂線交直線 M 於 P 則 PF = PQ =d( P L ) 故點 P 在拋物線 Γ 上如圖所示 ; 逐次改變點 Q 的位置並作出對應的點 P 再將這些點 P 以平滑曲線連接就得到 Γ 的近似圖形如圖 4

5 定義 1. 拋物線 ( 截痕 ): 當 β = α 時則割平面 E 和 Ω 交於開口的一支這時我們只能塞進一個球它和 Ω 相切於圓 C 和割平面相切於 F 點另外圓 C 所在的平面和割平面交於一條直線 L 稱為準線. 拋物線 (parabola): 在一平面上設 F 為一定點 L 為不過 F 的一條固定直線則到定點 F 與到直線 L 的距離相等的所有點所形成的圖形稱為拋物線定點 F 稱為焦點 (focus)) 定直線 L 稱為準線 (directrix) 3. 對稱軸 (axis of symmetry): 過焦點且垂直準線的直線稱為對稱軸 ( 或軸 ) 4. 頂點 : 拋物線與對稱軸的交點 5. 焦距 (focal length): 焦點到頂點的距離一般以 c 表示 6. 弦 : 拋物線上任意兩相異點的連線段 7. 焦半徑 : 拋物線上任一點與焦點的連線段 8. 焦弦 : 通過焦點的弦 9. 正焦弦 (latus rectum): 垂直對稱軸的焦弦一般以 4 c 表示註 :( 正焦弦長 ) = 4 ( 焦距 ) 證明 : ( 正焦弦長 ) = AB = AF = FM = ( OF) = 4 ( 焦距 ) = 4 c 10. 內部外部 : (1) 拋物線含焦點的區域內的任意點 I 恆有 IF < IQ 即 I 到焦點的距離恆小於 I 到準線的距離稱這一部份為內部 ( 註 : IF < FP + PI = QP + PI = IQ ) () 拋物線不含焦點的區域內的任意點 E 恆有 EF < EH 即 E 到焦點的距離恆大於 E 到準線的距離稱這一部份為外部 ( 註 : EH < EQ < EP + PQ = EP + PF = EF ) 內部外部 5

6 11. 開口大小 : 拋物線的焦距越大它的開口就越大 ( 註 : PQ ' = PQ + QQ' = PQ + RR' = PF + FF' > PF' 即 PF ' > PQ' 也就是 : 拋物線 Γ 上除頂點 O 之外的任意點 P 到拋物線 Γ ' 的焦點 F ' 的距離恆小於 P 到準線 L' 的距離換句話說就是 : 拋物線 Γ 除了頂點之外其餘的點都在拋物線 Γ ' 的內部因此拋物線的焦距越大它的開口就越大 ) 6

7 討論 1. 在坐標平面上將一個焦距為 c ( c > 0 ) 的拋物線 Γ 擺放在適當位置可以使其方程式簡單一些今取原點為頂點 x 軸為對稱軸焦點為 Fc (0) 則準線為 L: x+ c= 0( 即 x = c ) 如圖則由定義知 : 點 Px ( y) 在 Γ 上的充要條件為 ( x c) + y = x+ c 這就是拋物線 Γ 的方程式再兩邊平方去根號及絕對值符號 ( 仍為充要條件 ) 成為 ( x c) + y = ( x+ c) x cx + c + y = x + cx + c 得到 y = 4cx 故 Γ 的方程式可表為 y = 4cx 由於當點 ( x0 y0) 在 Γ 上時 y0 = 4cx0 也就有 ( y0) = 4cx0 即點 ( x0 y0) 在 Γ 上故拋物線 Γ 的確對於它的對稱軸 ( 此時為 x 軸 ) 對稱上述推導方程式的過程中並未用到焦點 Fc (0) 的 c > 0 故 c < 0 時方程式仍為 y = 4cx其圖形如之前圖形所示若拋物線的頂點在原點對稱軸為 y 軸焦點為 F(0 c ) ( c 0 ) 則準線為 L: y+ c= 0 仿前述過程可導出方程式為 x = 4cy 其圖形如圖方程式 x = 4cy 及 y = 4cx 都稱為拋物線的標準式. 頂點為原點焦距為 1 開口向右的拋物線為 y = 4x 若將此拋物線以原點為中心伸縮 c 倍 ( c > 0 ); 換言之將 x 坐標 y 坐標都伸縮 c 倍則拋物線 y = 4x上的點 ( x0 y 0) 變換成 ( cx0 cy 0) 由於點 ( 0 ) x y0 在 y = 4x上故 y0 = 4x0 於是 ( cy ) = c y = c 4x = 4 c( cx ) 表示點 ( cx0 cy0) 在拋物線 y = 4cx上原焦點為 (1 0) 新焦點為 (0) c 如圖因此焦距為 c 的拋物線只是把焦距為 1 的拋物線伸縮 c 倍而已 7

8 3. 將頂點在原點對稱軸為 x 軸的拋物線 y = 4cx平移向量 ( h k) 即原拋物線 y = 4cx上的點 ( x0 y 0) 移至點 ( x0 + h y0 + k) 由於點 ( x0 y 0) 在 y = 4cx上故 y0 = 4cx0 於是 [( y0 + k) k] = 4 c[( x0 + h) h] 表示點 ( x0 + h y0 + k) 滿足方程式 ( y k) = 4 c( x h) 又拋物線 y = 4cx平移後仍為拋物線且頂點由 (0 0) 移至 ( h k ) 焦點由 (0 c ) 移至 ( h+ c k) 準線由 x = c 移至 x = h c 對稱軸由 y = 0 移至 y = k 其開口方向不變如圖 ( 其中 c > 0 ) 仿此將頂點在原點對稱軸為 y 軸的拋物線 x = 4cy 平移向量 ( h k) 即得拋物線 ( x h) = 4 c( y k ) 其頂點在 ( h k) 開口方向不變如圖 4-9( 其中 c > 0 ) 4. 一般而言開口向左右的拋物線方程式 ( y k) = 4 c( x h) 都可以化為 y + Dx+ Ey+ F = 0 ( D 0 ); 而開口向上下的拋物線方程式 ( x h) = 4 c( y k) 都可以化為 x + Dx+ Ey+ F = 0 ( E 0 ) 以上兩種情形可以合併成一般化的形式 Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 其中 A C有一為 0 ( AC = 0 ) 但不皆為 0 反之一個方程式形如上式時可用配方法判定其圖形是否為拋物線 8

9 公式 1. 拋物線的標準式 : c 0 方程式 y = 4cx及 x = 4cy 的圖形都是拋物線頂點在原點焦距為 c (1) y = 4cx: 對稱軸是 x 軸 c > 0 時開口向右 ; c < 0 時開口向左 () x = 4cy : 對稱軸是 y 軸 c > 0 時開口向上 ; c < 0 時開口向下. 對稱軸為 x 軸的拋物線標準式 : 設拋物線 Γ 的頂點 O(00) 對稱軸為 x 軸焦點 F ( c0)( c 0) 準線 L : x = c ( 即 x + c = 0 ) 則 Γ 的方程式為 y = 4cx 證明 : 設 P( x y) 為拋物線上的任一點則 PF = d( P L) ( x c) + ( y 0) = x + c y = 4cx 3. 對稱軸為 y 軸的拋物線標準式 : 設拋物線 Γ 的頂點 O(00) 對稱軸為 y 軸焦點 F ( 0 c)( c 0) 準線 L : y = c ( 即 y + c = 0) 則 Γ 的方程式為 x = 4cy 證明 : 設 P( x y) 為拋物線上的任一點則 PF = d( P L) ( x 0) + ( y c) = y + c x = 4cy 4. 拋物線的標準式 ( c 0 ): 方程式頂點焦距對稱軸焦點準線開口方向 c > 0 向右 y = 4cx y = 0 ( x 軸 ) (0) c x+ c= 0 c < 0 向左 (0 0) c c > 0 向上 x = 4cy x = 0 ( y 軸 ) (0 c) y+ c= 0 c < 0 向下 5. 拋物線的平移 : (1) 將 y = 4cx 平移 ) ( h k 得 ( y k) x h) () 將 x = 4cy 平移 ) ( h k 得 ( x h) y k) 6. 頂點在 ( h k) 的拋物線 : 方程式 c > 0 c < 0 ( ) 4 ( y k = c x h) ( x h) = 4 c( y k ) 7. 拋物線方程式的表法 : (1) ( y k) = 4 c( x h) 可表為 y + Dx+ Ey+ F = 0 其中 D 0 () ( x h) = 4 c( y k ) 可表為 x + Dx+ Ey+ F = 0 其中 E 0 9

10 類型 1. 頂點在原點 ( 標準式 ): 方程式 y = 4cx ( 左右型 ) x = 4cy ( 上下型 ) 類型 c > 0 c < 0 c > 0 c < 0 開口方向向右向左向上向下圖形 Γ 範圍 x 0 x 0 y 0 y 0 頂點 O ( 00) ( 00) 焦點 F (c0) ( 0 c ) 準線 L x = c y = c 對稱軸 M y = 0 x = 0 焦距 c c 正焦弦長 4 c 4 c 離心率 e c e = = 1 a c e = = 1 a. 頂點不在原點 : 方程式 ( y k) x h) ( x h) y k) 類型 c > 0 c < 0 c > 0 c < 0 開口方向向右向左向上向下圖形 Γ 範圍 x h 0 x h 0 y k 0 y k 0 頂點 O ( h k) ( h k) 焦點 F ( h + c k) ( h k + c) 準線 L x h = c y k = c 對稱軸 M y k = 0 x h = 0 焦距 c c 正焦弦長 4 c 4 c 離心率 e c e = = 1 a c e = = 1 a 註 : 1. 到焦點距離 c 離心率 e = = 到準線距離 a. ( 二次式 ) = 0 可得對稱軸 ( 想成對稱需要有兩個 ) 3. ( 一次式 ) = c 可得準線 ( 想成線為一次函數 ) 4. 與 x 軸有兩個交點則 x 有二次 ; 與 y 軸有兩個交點則 y 有二次 10

11 方法 1. 求拋物線方程式的解題步驟 : (1) 先判別拋物線為上下型或左右型 (a) 若為上下型則方程式為 ( x h) y k) 形式 ; (b) 若為左右型則方程式為 ( y k) x h) 形式 () 求出頂點以及 c ( 由開口方向判別正負 ) 註 : (1) 若為上下型則方程式為 ( x h) y k) 可化為 x + dx + ey + f = 0 或 y = ax + bx + c 形式 () 若為左右型則方程式為 ( y k) x h) 可化為 y + dx + ey + f = 0或 x = ay + by + c 形式. 拋物線的參數式 : (1) y t 4cx 上點的參數式可設為 P( t) t 4c R () t x = 4cy 上點的參數式可設為 P( t ) t R 4c (3) t ( y k) x h) 上點的參數式可設為 P( h + k + t) t R 4c (4) t ( x h) y k) 上點的參數式可設為 P( k + h + t) t R 4c (5) y = ax + bx + c 上點的參數式可設為 P( t at + bt + c) t R (6) x = ay + by + c 上點的參數式可設為 P( at + bt + c t) t R 11

12 問題 1. ax + by + c 若方程式為 = ( x h) + ( y k) 形式則其圖形為斜拋物線 a + b 依照定義求出拋物線的頂點焦點準線對稱軸焦距正焦弦長等. 設 a b c是實數其中 a 0 求拋物線 y = ax + bx+ c的頂點坐標焦點坐標準線方程式及軸方程式解答 : b 1 4ac b 由配方法可將 y = ax + bx+ c化為 ( x+ ) = 4 ( y ) a 4a 4a b 4ac b b 4ac b 1 b 4ac b + 1 故頂點為 ( ) 焦點為 ( + ) 即 ( ); a 4a a 4a 4a a 4a 4ac b 1 4ac b 1 準線為水平線 y = 即 y = ; 4a 4a 4a b 軸為過頂點的鉛直線故為 x = a 3. 試問幾個獨立條件可以決定拋物線方程式? 4. 給定拋物線 Γ 及其對稱軸試找出此拋物線的焦點與準線? 5. 給定拋物線 Γ 的準線 L 及拋物線上的兩相異點 P Q 試找出此拋物線的焦點 F 位置? 6. 給定拋物線 Γ 的焦點 F 及拋物線上的兩相異點 P Q 試找出此拋物線的準線 L? 7. 給定拋物線 Γ 的準線 L 焦點 F 及拋物線上的一點 P 試證明此 P 點為過此點切線的切點? 8. 將一圓柱體沿著與軸成 45 角之平面截開再延一母線剪開後展開成平面則此截口曲線為何種形狀? 9. 給定一個拋物線的圖形是否可用作圖方法求出此拋物線的焦點? 1

13 性質 1. 設拋物線的頂點 A 焦點 F 焦點在準線 L 上的投影點為 R 拋物線上的點 P 在準線上的投影點 Q 若 Q 離 R 越遠則 P 離 A 越遠. 試證拋物線的一組平行弦中點的軌跡為一直線且與對稱軸平行證明 : 設拋物線為 y = 4cx 一組平行弦為 y = mx + k 且交拋物線於兩點 x y )( x ) ( 1 1 y y k 則 y ) m my 4cy + 4ck = 0 y1 + y c 得 = 為一定值 m 即平行弦中點的軌跡為一直線且與對稱軸平行 3. 設圓 C' 與直線 L 不相交 (1) 若圓 C 與圓 C' 外切且與直線 L 相切則其圓心軌跡為拋物線 () 若圓 C 與圓 C' 內切且與直線 L 相切則其圓心軌跡為拋物線 ( 註 : 圖中 L' 為拋物線的準線 ) 4. 過拋物線上一點 P 的切線上除了切點 P 以外的點都落在拋物線的外部 5. 對稱性 : 可用變數變換或幾何方法說明拋物線對對稱軸對稱 13

14 作圖 1. 我們應該如何畫出拋物線? (1) 方法一 : 可用如下方法 : 給定一個定點 F 與一條直線 L ( 其中 F L ) 設 Q 在直線 L 上取 FQ 的中點 R 過點 R 作 FQ 的中垂線過 Q 作直線 L 的垂線兩線的交點 P 就是滿足到定點與定直線等距離 ( 即 PF = d( P L) ) 的點所有動點 P 所組成的軌跡即為拋物線其中定點 F 稱為拋物線的焦點定直線 L 稱為拋物線的準線 () 方法二 : 以一定點為圓心作同心圓半徑分別為 1 3L 並作多組平行線以其中一條當準線可作出拋物線 14

15 (3) 方法三 : 設拋物線 Γ 以 L 為準線 F 為焦點過點 F 作直線 L 的垂線即得對稱軸令垂足為 M 則 MF 的中點 A 為點點在軸上取一點 X 使點 O 介於 M 與 X 之間過 X 作軸的垂線 N 再以點 F 為圓心 MX 為半徑作圓交直線 N 於 P P' 兩點則 P P' 都是拋物線上的點 15

16 作圖 1. 給定一個拋物線的圖形如何用尺規作圖方法求出此拋物線的焦點對稱軸準線頂點正焦弦長作法 : (1) 給定一個拋物線 () 作出平行弦中點軌跡為一平行於對稱軸的直線 (3) 作出一垂直於平行弦中點軌跡的直線也會垂直於對稱軸 (4) 過垂直線中點作垂線得對稱軸及頂點 (5) 畫出過頂點及一斜率為的直線交拋物線於一點 (6) 從此點作對稱軸的垂線交於一點 ( 即焦點 ) 直線 PF P P F. 給定一個拋物線的圖形如何用尺規作圖方法求出此拋物線的焦點對稱軸準線頂點正焦弦長過某拋物線一定點之切線 (1) 過頂點作焦點的對 () 連接 PF 並過 P 作 (3) 連接 QF 並作中垂稱點並作對稱軸的垂線 ( 即準線 ) 準線的垂線交於 Q 點線 ( 即過 P 點之切線 ) P Q P Q P F F F 16

二次曲線人們對於曲線的使用及欣賞比曲線被視為一種數學題材來探討要早得多各種曲線中在日常生活常接觸的當然比較容易引起人們的興趣比如投擲籃球的路徑是拋物線盤子的形狀有圓形或橢圓形雙曲線是較不常見的然而根據科學家的研究彗星的運行軌道是雙曲線的一部分我們將拋物線圓與橢圓雙曲

二次曲線人們對於曲線的使用及欣賞比曲線被視為一種數學題材來探討要早得多各種曲線中在日常生活常接觸的當然比較容易引起人們的興趣比如投擲籃球的路徑是拋物線盤子的形狀有圓形或橢圓形雙曲線是較不常見的然而根據科學家的研究彗星的運行軌道是雙曲線的一部分我們將拋物線圓與橢圓雙曲 -1 圓方程式第章二次曲線 38 二次曲線人們對於曲線的使用及欣賞比曲線被視為一種數學題材來探討要早得多各種曲線中在日常生活常接觸的當然比較容易引起人們的興趣比如投擲籃球的路徑是拋物線盤子的形狀有圓形或橢圓形雙曲線是較不常見的然而根據科學家的研究彗星的運行軌道是雙曲線的一部分我們將拋物線圓與橢圓雙曲線合稱為圓錐曲線因為在平面坐標系中其對應的方程式均為二元二次式