圓錐曲線

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1 圓錐曲線 ( x h) ( y k) = ( ) x h ( y k ) = ( y k) = 4 c( x h) 姓名 :

2 二元二次方程式 二元二次方程式的圖形與圓錐截痕 x xy cy d x ey f = 直圓錐面 :( 如圖 ) 設 L 與 M 為兩相交但不垂直的直線, 的圖形稱為二次曲線 將 L 固定而 M 繞 L 旋轉一周, 則直線 M 旋轉所成的曲面, 就是直圓錐面 L 其中 : 交點 V 稱為頂點 L 稱為中心軸 M 稱為母線 二元二次方程式在坐標平面上的圖形有 : 圓 拋物線 橢圓 雙曲線 平行兩直線 相交兩直線 一直線 一點 沒有圖形 非退化的二次曲線 : 圓 拋物線 橢圓 雙曲線退化的二次曲線 : 平行兩直線 相交兩直線 一直線 一點 沒有圖形非退化的二次曲線 : V M 為一圓 ( L E) 為一橢圓為一拋物線為一雙曲線 判定圖形之方法 : 圓 第三冊教過了! 拋物線 橢圓 雙曲線 ( 後面才教, 先不要管它!) 平行兩直線 雙十字交乘法, 化成 k(xyc)(xyd) = 相交兩直線 雙十字交乘法, 化成 (xyc)(dxeyf) = 交點就是聯立方程組的解 一直線 雙十字交乘法 ( 或配方法 ), 化成 x y c = 一點 ( ) 配方法, 化成 ( x y c) ( dx ey f ) (x y c) ( x y c) ( dx ey f ) < 沒有圖形配方法, 化成 < 或 =

3 例. 試判定下列之圖形為何? () x 4xy 4y x 4y 3=. [ 平行兩直線 ] () x 5xy 6y y =. [ 相交兩直線 ] (3) x 4xy 4y x 4y =. [ 一直線 ] (4) x 3xy 4y =. [ 一點 ] (5) x y x y 3=. [ 沒有圖形 ] 例. 二元二次方程式 5x 6 xy 5y 4x 4y k = 圖形為一點, 求 k =, 此點坐標為. [ 4, (,) ] 例 3. 二元二次方程式 6x xy y 3x y k = 表兩相交直線, 求 k =, 此兩直線之交點為. 若兩直線的交角為 θ, 則 sinθ =. [ 6, (,), ] 例 4. 方程式 x 4xy my 3x ny 4 = 表兩平行直線, 求 m =, n =, 兩平行直線間之距離 = [ m=4, n=6, 5 ] [ 作業 ]. 試判定下列之圖形為何? () 9x xy 4y x 8y 5 =. [ 平行兩直線 ] () 3x 5xy y x 9y 4 =. [ 相交兩直線 ] (3) 4x 4xy y x y 5 =. [ 一直線 ] (4) x y 6x 4y 3=. [ 一點 ] (5) x xy y 4x 4y =. [ 沒有圖形 ]. 試判定下列之圖形為何? () x 4xy 4y 6x y 5=. [ 平行兩直線 ] () x xy 3y x y 6=. [ 相交兩直線 ] (3) x y x =. [ 一點 ] (4) x 6xy 9y x 6y 3=. [ 沒有圖形 ] 3. 試判定下列之圖形為何? () x y =. [ 沒有圖形 ]

4 () x y x =. [ 一點 ] (3) x xy y =. [ 一直線 ] (4) x y =. [ 相交兩直線 ] (5) x xy y 4 =. [ 平行兩直線 ] 4. 方程式 x xy y x 3y = 圖形為一點, 此點坐標為. [ (, ) ] 5. 方程式 x xy 6y x ky 3= 表兩相交直線, 求 k =, 此兩直線方程式為. [ k=9, x y =, x 3y 3= ] [ k=, x y 3=, x 3y = ] 6. 方程式 x 4xy 4y x y 3= 表兩平行直線, 兩平行直線間之距離 =. [ ] 二次曲線圖形的判別 ( 課外補充, 僅供參考 ) 二次曲線 Ax Bxy Cy Dx Ey F = A B D 判別式 : H = A C ; δ = B 4AC ; = B C E D E F δ < δ = δ > Δ= 一點. 兩平行直線. 兩重合直線 兩相交直線 3. 空集合 Δ H Δ > 空集合 H Δ < 圓或橢圓 拋物線 雙曲線 說明 : 當 δ = 時 Ax Bxy Cy Dx Ey F = 的二次項可化為完全平方式. 即 x Ey F = ( qy) Dx Ey F 不可表為 m( px qy), 即 ( Dx Ey m( px qy) Ax Bxy Cy D px 此時若 Dx Ey 則為拋物線 ) 3

5 若 Dx Ey 可表為 m( px qy), 即 ( Dx Ey m( px qy) 則圖形為退化曲線. = ) Ax Cy Dx = ( ) ( Bxy Ey F px qy m px qy) F 若 m 4 F > 表兩平行直線 若 m 4 F = 表兩重合直線 若 m 4 F < 表空集合 4

6 橢圓 定義 : 相異兩定點 F, F, 及定長, ( 其中 FF < ), 滿足 PF PF = 的動點 P 所形成的圖形, 稱為一個橢圓 B P 焦點 : F, F 中心 : FF 之中點 A A F O F 焦半徑 : PF, PF B 說明 : () 若 > FF 軌跡表一橢圓 () 若 = FF 軌跡表一線段 FF (3) 若 < FF 軌跡表空集合 作圖 : 取長度為 之細線一條, 兩端固定在 F, F 上, 用筆尖將線拉緊, 再滑動一圈, 所描出之圖形即為一橢圓 名稱介紹 : 焦點 : F, F 中心 : FF 之中點焦半徑 : PF, PF 長軸與頂點 : 直線 FF 交橢圓於 A,A', A,A' 稱為頂點,AA 稱為長軸 長軸 AA 長 = 短軸與頂點 : 過中心且垂直長軸的直線交橢圓於 B,B',B,B' 稱為頂點, BB 稱為短軸 短軸 BB 長 = FF =c, AA =, BB =, 則 c = 弦 : 連接橢圓上兩相異點的線段 焦弦 : 過焦點的弦 正焦弦 : 與長軸垂直的焦弦 正焦弦長 = 橢圓的標準式 : 規則 : 長軸平行 x 軸 躺著長軸平行 y 軸 站著 5

7 長軸平行 x 軸 ( 扁的橢圓 ) 方程式 : x y =, ( x h) ( y k) = 圖 形 中心 (,) (h,k) 焦點 (±c,) (h±c,k) 頂點 (±,) (h±,k) 長軸長 短軸長 正焦弦長 長軸平行 y 軸 ( 直立的橢圓 ) = ( x h) ( y k) = 中心 (,) (h,k) 焦點 (,±c) (h,k±c) 頂點 (, ±) (h,k±) 長軸長 短軸長 正焦弦長 6

8 說明 : () 若橢圓長軸平行 x 軸或 y 軸 利用標準式求方程式 () 若橢圓圖形為 歪歪的 利用 PF PF = ( 橢圓的定義 ), (3) 橢圓面積 = π (4),, c 之意義 : = c 再平方之 c = ( 兩焦點的距離 ) = 中心到焦點的距離 = ( 長軸上兩頂點的距離 ) = 長軸長之半 = ( 短軸上兩頂點的距離 ) = 短軸長之半 (5) 正焦弦長 = (6) = x 以 x 代入, 方程式不變 y 以 y 代入, 方程式不變所以圖形對稱原點 圖形對稱 y 軸 圖形對稱 x 軸 橢圓的參數式 : x = cosθ () 橢圓 = 的參數式, θ R y = sinθ () 橢圓 ( ) ( ) x h y k = 的參數式 x = h cosθ y = k sinθ, θ R 主題一橢圓的方程式 例. 焦點為 ( 3,),( 3,), 且過點 (, ) 的橢圓方程式為. [ x y =] 6 3 例. 橢圓過點 (3,), 且與 = 共焦點的橢圓方程式為 9 4. [ x y = ] 5 7

9 例 3. AP 的長為定值 L, B 為 AP 之中點, A 在 x 軸上移動, B 在 y 軸上移動, 試求 P 的軌跡方程式為. [4 x y = L ] 例 4. 若圓 C 與二定圓 : C ( x ) y =, : C ( x ) y = 6 相切 () 當 C 與 C 外切時,C 的圓心軌跡方程式為. [ 4 x 5 () 當 C 與 C 內切時,C 的圓心軌跡方程式為. [ 4 x 9 4 y = ] 4y 5 = ] [ 作業 ] 求橢圓的方程式 ( ) ( ). [ x 3 y. 焦點 (,),(7,), 長軸的兩端點 (,),(8,) 5 9 = ] 3. 長軸在直線 x = 5上, 短軸在直線 y =上, 短軸長為長軸長的倍, 中心到焦點 5 ( ) ( ) 的距離為. [ x 5 y 8 5 = ] 3. 中心為 (,), 二焦點間的距離為 6, 長軸長為 8, 軸與坐標軸平行. ( ) ( ) [ x y 6 7 = 或 ( x ) ( y ) 7 6 = ] 4. 中心為原點, 軸為坐標軸, 通過 ( 3, 3 ),(, 4 ). [ x y = ] 長軸, 短軸之半長分別為 5, 3, 兩焦點 (c,),( c,). [ x y = ] 中心為原點, 焦點在 y 軸, 長軸, 短軸之半長分別為 8, 4. [ x y = ] 中心為原點, 焦點在 x 軸, 長軸之半長為 6, 正焦弦長為 3. [ x y = ]

10 8 8. 中心為原點, 一頂點 ( 長軸端點 ) 為 (5,), 正焦弦長為 5. [ x y = ] 過 (3,) 且與 ( x 3) ( y 3) = 36 相切之圓的圓心軌跡方程式為.. 過 (3,) 且與 ( x 3) y = 64相切之圓的圓心軌跡方程式為. 若圓 C 與二定圓 : C ( x ) y = 外切, : C ( x ) ( x 3 ) ( y ) [ 5 y = 6 內切 則圓 C 的圓心軌跡方程式為. [ 4 x 5 9 = ]. [ x y =] 6 7 4y = ] 主題二橢圓的重要諸元 例 5. 橢圓 : x y 4x 4y = () 中心為. [(, ) ] () 焦點為. [(, ± ) ] (3) 頂點為. [(±, ),(,),(,-4) ] (4) 軸為. [ x =, y = ] (5) 正焦弦長為. [ ] (6) 正焦弦的兩端點為. [ (, ± ),(, ± ) ] (7) 面積為. [ π ] 例 6. 橢圓 : x y x y x y x y = 4 () 焦點為. [ (,), (, ) ] () 中心為. [ (,) ] (3) 長軸為. [x y = ] (4) 短軸為. [ x y = ] (5) 長軸長為. [ 4 ] (6) 短軸長為. [ ] (7) 正焦弦長為. [ ] 9

11 [ 作業 ]. 橢圓 : x 4y x 6y 3= () 中心為. [(, ) ] () 長軸長為. [ 4 ] (3) 短軸長為. [ ] (4) 正焦弦長為. [ ]. 橢圓 : 9x 4y 8x 8y 3 = () 中心為. [(,) ] () 長軸長為. [ 6 ] (3) 短軸長為. [ 4 ] (4) 正焦弦長為. [ 8 3 ] 3. 橢圓 : ( x 3) ( y ) ( x ) ( y ) = 6 () 焦點為. [( 3,), (, ) ] () 中心為. [ (, ) ] (3) 長軸長為. [ 6 ] (4) 短軸長為. [ ] (5) 正焦弦長為. [ 6 ] (6) 面積為. [ 3 π ] (7) 對稱軸為. [3x 4y 5= or8 x 6y 5 = ] 焦半徑 : 設點 P( x, y) 為橢圓 = (>>) 上任一點, 二焦點是 F(c,), F'( c,), () PF = c x, () PF = c x 焦半徑和 : 橢圓上任一點到二焦點的距離和等於長軸的長 PF PF = 例 7. 橢圓 : 5x 9y 5x 36y 64 = 二焦點 F, F', P 為橢圓上一點, 若 PF = 3, 則 PF =. [ 7 ]

12 [ 作業 ] ( ) ( ). 橢圓 : x y 9 5 = 上一點 P(, 3 ) 到其二焦點的距離和 3 為. [ 6 ]. 在右圖中, 圓 O 的半徑為 6,F 的坐標為 (4,), Q 在圓 O 上,P 為 FQ 的中垂線與 OQ 的交點 當 Q 在圓 O 上移動時, 動點 P 的軌跡方程式為. ( x ) y y [ = ] 9 5 主題三圖形的判別 ( ) ( ). Γ: x h Q y k P = A B x O F () Γ 為橢圓 A>, B>, A B () Γ 為圓 A>, B>, A=B (3) Γ 沒有圖形 A<, B< 說明 : A B< 雙曲線. F 與 F' 是二定點, 是定值, P 是動點 () 若 > FF PF PF = 的圖形為橢圓 () 若 = FF PF PF = 的圖形為線段 FF (3) 若 < FF PF PF = 沒有圖形 例 8. Γ: () 若 Γ 為橢圓, 則 之範圍. [ >, 3] () 若 Γ 沒有圖形, 則 之範圍. [ < ] 例 9. Γ: x y 6x y x y x 4y 5 = k () 若 Γ 為橢圓, 則 k 之範圍. [ k>5 ] () 若 Γ 為一線段, 則 k 之範圍. [ k=5 ] (3) 若 Γ 沒有圖形, 則 k 之範圍. [ k<5 ]

13 主題四橢圓與直線 將直線代入橢圓中得一元二次方程式 () D> 時, 相交於相異兩點 () D = 時, 相切於一點 (3) D< 時, 不相交 例. 設橢圓 Γ: x y =, 一直線 L: y = mx 3, 9 4 試由 m 值討論 Γ 與 L 相交情形 [ 作業 ]. 設橢圓 Γ: x y = 與直線 L: y = x k 交於相異兩點, 求 k 之範圍 [ < k < ] 3 3. 設橢圓 Γ: x y = 與直線 L: y 5 = m( x 3) 交於相異兩點, 9 4 求 m 之範圍. [m < 7 ] 主題五 弦. 求一點 P 到橢圓的最短距離, 可利用參數式代入. 求弦長 : 將直線代入橢圓中得二交點, 再由距離公式得弦長 但有時二交點較繁雜, 代入距離公式內不易計算, 則利用 根與係數關係 例. 直線 x y = 與橢圓 x 4y = 4相交於 P,Q 二點, () PQ 之中點坐標. [(, ) ] 4 35 () PQ 之長為. [ ]

14 例. 若 P(,) 為橢圓 = 之一弦 AB 中點, 則弦 AB =. [ 7 ] 9 36 例 3. 橢圓 = 有一弦 AB, 若 AB 中點 M(,), 則直線 AB 的方程式 9 4 為. [8x 9 y = 5] [ 作業 ]. 直線 y = x 與橢圓 x 4y x 8y = 相交於 A,B 二點, 則弦 AB =.. 橢圓 x 4y 4x 3y 3= 有一弦 AB, 若 AB 中點 M(6, ), 則直線 AB 方程式為. [ x 3y = 3] 3. ( 聯考題 ) 橢圓 5x 4y = 有一弦 AB, 若 AB 中點 M(, 4), 則直線 AB 方程式為. [5x 6y = 89] 4. 直線 y = x 與橢圓 = 相交於 P,Q 二點, 8 ()PQ 之中點坐標. [ ( 4 ()PQ 之長為. [ 5 3 ], ) ] 主題六橢圓的切線方程式有三種題型. 已知切點. 已知斜率 3. 已知橢圓外一點 () 已知切點 P( x, y ) x 橢圓 y = 切線 ( x h) ( y k) xx yy = x h x h 橢圓 = 切線 一般式 x xy cy dx ey f = ( )( ) ( y k)( y k) = 3

15 切線 x x xy yx cy y d x x e y y f = xy 規則 : x xx, y yx yy, xy, x x x y y y, 常數項 不變, () 已知切線斜率為 m 時 ( 斜截式 ) 設切線 y = mx k, 代入橢圓中, 相切 兩個交點重合 D =, 可求出 k 公式 : ( 僅供參考, 不需要背 ) 橢圓 = 切線 y = mx± m ( ) ( ) 橢圓 x h y k = 切線 y k = m ( x k) ± m (3) P( x, y) 不在橢圓上時方法 ( 點斜式 ) ( 計算時較繁 ) 設切線 y y = m( x x ) 與橢圓聯立相切 兩個交點重合 D =, 可求出 m 方法 設切線斜率為 m, 由 () 的公式, L: y = mx± m 再代入 ( x, y ), 可求出 m 切點弦 : P( x, y) 不在橢圓上時, 過 P 作橢圓之兩切線, 切點 A,B, 直線 AB 稱為切點弦 橢圓 : x y = 直線 AB : xx yy = 當 P( x, y) 不在橢圓 x xy cy dx ey f = 上時, 直線 x x xy yx cy y d x x e y y f = 為對應於 P 的極線. 例 4. 下列哪些選項中的資訊當作已知條件時, 可以在坐標平面上求出橢圓的方程式? (A) 橢圓四個頂點的坐標 (B) 橢圓兩個焦點坐標及橢圓上一點的坐標 (C) 橢圓的長短軸長度 (D) 橢圓兩個焦點坐標及長軸的長度 4

16 (E) 橢圓的中心坐標及長短軸長度比值 [ABD] 例 5. 橢圓 x y = 9, 在 A(,) 處的切線方程式為. [ 4x y = 9] 例 6. 過點 (, ) 與橢圓 = 相切的兩切線, 切點為 A,B 5 () 切線方程式為. [ y = x 3, x 3y 7=] () 直線 AB 方程式為. [x y 5= ] 例 7. 橢圓 3x y x y =, 試求與直線 4x y = 3 垂直且與橢圓相切的切線方程式為. [ x y =,3x 6y 3= ] 例 8. 橢圓 = 在直線 x y = 上射影的長為. [4 ] 4 9 例 9. 設 A,B,C 為橢圓 = 上三點, 過 C 點的切線與過 A,B 兩點的兩切線 9 4 皆垂直, 若 C( , ), 則 A=,B=. [ (, ),(, )] [ 作業 ]. 橢圓 4x y = 8, 在 A(, ) 處的切線方程式為. [ x y 4=]. 過點 (3,) 與橢圓 4x y = 8相切的切線方程式為.[x7y=, x y = 4 ] 7 3. 過點 (,4) 與橢圓 = 相切的切線方程式為 [ y =± x 4] 橢圓 x y = 3, 試求與直線 x y 5= 垂直且與橢圓相切的切線方程式為. [x y ± 3= ] 5. 平行於直線 y = x 3且與橢圓 = 相切的切線方程式為. 5 [x y ± = ] 5

17 6. 橢圓 = 在直線 x y = 上射影的長為. [ ] 4 橢圓的直徑方程式 : 一組平行弦中點的軌跡, 稱為直徑 橢圓 x y = 平行弦斜率為 m 的直徑 x my = 主題七橢圓的內接矩形之面積與周長 橢圓 = () 內接矩形最大面積 = () 內接正方形面積 = 4 (3) 內接矩形最大周長 = 4 (4) 以正焦弦的四個端點為頂點的矩形面積 = 4 (5) 由長軸, 短軸的四個頂點所成的菱形面積 = 8 (7) 內接正方形周長 = (6) 通過四個頂點的外切矩形在對角線上的弦長 = ( ) ( ) ( ) 例. 橢圓 x 3 y 5 9 = [ 作業 ]. 橢圓 = 之內接正方形面積為. [ 48 7 ]. 設 ( p,) 為橢圓 y 3 = 的長軸上一定點, 且 < p < 若點 (, ) 為橢圓上 4 距離 ( p,) 最近之點, 則 = ( 以 p 的函數表示 ) 4 p [ ] 3 之內接正方形面積為. [ 45 7 ] 6

18 主題八極值 例. 橢圓 = 上任一點 P 到直線 x y 4= 的最大距離為 M, 4 9 最小距離為 m, 則 M m =. [ 6 ] 例. 橢圓 = 上一點 P(x,y), 又 A(,) 9 4 () 求 k = x y 的範圍為. [ k ] () 求 AP 之最大值為. [ ] [ 作業 ]. 橢圓 = 上任一點 P 到直線 x y 5= 的最小距離為. [ 5] 4 9. 橢圓 = 上任一點 P 到直線 x 4y 5= 的最大距離為 M, 4 3 最小距離為 m, 則 (M, m)=. [( 3 5, ) ] 3. 橢圓 x 4y =上一點 P(x, y), 則 x 5y 的最大值為. [ 9 ] 4. 橢圓 = 上一點 P(x, y), 又 A(,), 求 AP 之最小值為. [ ] 若 =, 則 x y 之最大值為, 最小值為. [ 3, 3 ] 已知一橢圓的長軸平行於 x 軸, 中心為 (,) 且通過點 (4,6) 試問下列哪些點一定會在這橢圓上? [ABC] (A) (, ) (B) (,6) (C)( 4, ) (D)( 5,6) (E)( 3,4) 7

19 拋物線 定義 : 設在同一平面上有一定點 F 及一定直線 L (F 不在 L 上 ), 如果一個動點 P, 滿足 PF =d(p,l) ( 即到定點的距離等於到定直線的距離 ), 則動 P 點的軌跡叫做拋物線 其中 F 叫做焦點, 直線 L 叫做準線 軸 : 過 F 作準線 L 的垂直線 L', L' 叫做對稱軸, 簡稱軸 4 頂點 : L' 與拋物線之交點 V, 稱為頂點 焦距 : 頂點與焦點的距離,VF 稱為焦距 弦 : 拋物線上任兩點連成的線段叫做弦 焦弦 : 過焦點的弦, 叫做焦弦 正焦弦 : 如果焦弦與軸垂直則稱為正焦弦, 如 HH, 正焦弦長 = 4 倍頂點與焦點的距離, HH = 4 VF L V - y H H F x 5 拋物線的標準式 : y = 4cx x = 4cy 對稱軸 : y = 對稱軸 : x = 頂點 : V(,) 頂點 : V(,) 焦點 : F(c,) 焦點 : F(,c) 準線 : x = c 準線 : y = c 正焦弦長 = 4 c 正焦弦長 = 4 c -4 ( y k) = 4 c( x h) ( x h) = 4 c( y k) 對稱軸 : y = k 對稱軸 : x = h 頂點 : V(h,k) 頂點 : V(h,k) 焦點 : F(hc,k) 焦點 : F(h,kc) 準線 :x = h c 準線 : y = k c 正焦弦長 = 4 c 正焦弦長 = 4 c 二次函數的圖形 :. y = x x c配方後 頂點 (, 4c ) 4 ( x ) = 4 ( ) ( y 4 4c ) 4 8

20 4c 焦點 (, ) 4 4 4c 準線 y = 4 4 軸 x = 正焦弦長 =. >, 開口向上 ; <, 開口向下 與 y 軸交於 (, c) ; 與 x 軸交於 A(α,), B( β,) α, β 為 x x c = 之二根 α β = ; α β = c 判別式 D = 4 c; D> 與 x 軸交於相異二點 D= 與 x 軸切於一點 D< 與 x 軸沒有交點 3. 由圖形判斷,, c, D 之正負 開口方向 軸 x = c 與 y 軸交點 (, c) D 與 x 軸交點個數 練習 : 拋物線 y = x x c, 在下列條件下, 其頂點在第幾象限? () <, >, 4c> [ ] () <, <, 4c< [ 3 ] (3) >, >, c< [ 3 ] (4) >, <, c< [ 4 ] 拋物線的一般式 :. 拋物線一般情形可以寫成 x xy cy dx ey f =, 其中 4c=. 如果拋物線的軸為水平線, 則方程式可設為 x = y y c 3. 如果拋物線的軸為鉛垂線, 則方程式可設為 y = x x c 9

21 參數式 : 參數式之目的是為了動點坐標的表示 其表示法並非唯一 y = 4cx 可設為 x = ct, y = ct, t R x = 4cy 可設為 y = ct, x = ct, t R ( y k) = c( x h) ( x h) = c( y k) 4 可設為 x = h ct, y = k ct, t R 4 可設為 y = k ct, x = h ct, t R 主題一 拋物線的方程式 拋物線的方程式之求法有下列數法 : 方法 由定義, 已知焦點 F, 準線 L 利用 d(p,l) = PF, 再平方之 y k = 4 c x h, 方法 已知頂點 (h,k), 及 c 利用標準式 ( ) ( 或 ( x h) = 4 c( y k) 方法 3 如果拋物線的軸為水平線, 則方程式可設為如果拋物線的軸為鉛垂線, 則方程式可設為 x = y y c y = x x c ) [ 作業 ] 求滿足下列條件之拋物線方程式. 焦點 F(,), 準線 L: x = [y = 8x]. 焦點 F(,4), 準線 L: y5= [ x = 8y 9 ] 3. 頂點 V(3, ), 焦點 F(3, 4) [( x 3) ( 4. 軸 x=, 且過 (,),(5,3) [( x ) = 5y 5. 焦點 F(3,), 準線 L: x3= [ y = x] = y ] 6. 頂點 V(,), 焦點 F(,3) [( x ) = 8( y ) 7. 焦點 F(,), 準線平行 x 軸, 正焦弦長為 8 [ x = 8y 或 x = 8 y )] ( ) ( ) ( 4 8. 正焦弦兩端點 A(4,8),B(4, 4), 頂點 V(,) [( y ) = ( x )] 6] ] ) 例. 以 (,) 為焦點, xy= 為準線的拋物線方程式為, 軸為, 頂點為, 正焦弦長為. [x y 8x 8y =, x = y,(,), 4 ]

22 例. 拋物線焦點為 (,), 準線平行於 y 軸, 正焦弦長為 4, 拋物線方程式為. [( y ) ( x ) ( y ) = 4, = 4x] 例 3. 若將拋物線 x = y y 之圖形沿直線 xy= 向右下方移動 5 單位, 所得方程式為. [x = y y 3] 例 4. 若一動圓與定圓 C :( x ) ( y ) = 求此動圓之圓心的軌跡方程式為. [( y ) 6( 9 外切, 且與直線 L : x=3 相切, = x ) ] 例 5. 拋物線 x = 4y的焦點為 F, 過 F 之弦 AB, 求 AB 中點 M 的軌跡方程式 為. [x = y ] [ 作業 ]. 一拋物線之軸平行 y 軸, 且過 (,),(,9),(,), 拋物線方程式為. [y = x x ]. 一拋物線之軸平行 x 軸, 且過 (,),(,),(,3), 拋物線方程式為. 焦點坐標為. [x = y 4y 3,( 3 ] 4, ) 3. 一拋物線之軸平行 x 軸, 且過 (,),(, 4),(,), 拋物線方程式為. 準線為. [x = y y, x = 3 ] 4 4. <,>, 4c<, 則拋物線 y = x x c的頂點在第 象限. [ 四 ] 5. 一拋物線之軸平行 y 軸, 且過 (,6), 頂點 (,), 拋物線方程式為. [( x ) = y ] 6. y = x x c 有極大值之充要條件是. [ < ] 7. y = x x c, y 恆大於 之充要條件是 [ E ]

23 (A) > (B) < (C) >, 4c> (D) <, 4c< (E) >, 4c< 8. 拋物線 y = x x, 正焦弦長為 3, 開口向下, 其焦點為 ( k, 9 ) 4, 又 k>, 則對稱軸方程式為. [ x = 3 ] 9. 拋物線 y = x, 求其焦半徑中點所成的軌跡方程式為. [y = x 5 ]. 以 (,) 為頂點,(,3) 為焦點的拋物線, 軸為, 準線方程式為, 拋物線方程式為. [ x y =, x y 3=, 4x 4xy y 6x 4y 4= ] 主題二拋物線的頂點, 焦點及正焦弦長. 對於拋物線 ( y k) = 4 c( x h) 軸 : y=k ; 頂點 (h,k) ; 焦點 (hc,k) ; 正焦弦長 = 4 c ; 正焦弦的兩個端點 (hc,k ± c). 對於拋物線 ( x h) = 4 c( y k) 軸 : x=h ; 頂點 (h,k) ; 焦點 (h,kc) ; 正焦弦長 =4 c ; 正焦弦的兩個端點 (h ± c,kc) 例 6. 試證 : 拋物線的正焦弦長 = 焦距的 4 倍 例 7. 拋物線 x 4x y = () 頂點. [(, ) ] () 焦點. [(, ) ] (3) 正焦弦長為. [ ]

24 (4) 正焦弦的二端點為. [ (, ), (3, ) ] (5) 對稱軸. [ x= ] (6) 準線. [ y= 3 ] 例 8. 拋物線 ( x 3) ( y ) = x y () 頂點. [(, ) ] () 焦點. [( 3), ] (3) 正焦弦長為. [ 5] (4) 對稱軸. [x y = ] (5) 準線. [x y = ] 例 9. 拋物線 y = x x 5 9 的頂點在另一拋物線 y = 4x 4x 則 =. [ 5 6 ] [ 作業 ]. 拋物線 x x y 9 =, () 頂點. [ (, ) ] () 焦點. [ (, 9 ) ] (3) 正焦弦長為. [ ] (4) 對稱軸. [ x= ] (5) 準線. [ y= ]. 拋物線 y = x( x ) 之焦點為 (4, 3), 求 (,)=. [ (, ),(, )] 設二拋物線 y = x x 8 5與 y = 5x x 8 5 有相同的頂點, 上, 則頂點, (, ) =. [ (3,8), ( 8 5, 3) ] 3

25 主題三拋物線與直線將直線代入拋物線中得一元二次方程式 () D> 時, 相交於相異兩點 () D = 時, 相切於一點 (3) D< 時, 不相交. 求一點 P 到拋物線的最短距離, 可利用參數式代入. 求弦長 : 將直線代入拋物線中得二交點, 再由距離公式得弦長 但有時二交點較繁雜, 代入距離公式內不易計算, 則可利用 根與係數關係 步驟 將直線代入拋物線, 得二根 α, β, 但 α, β 不易求得, 可先利用 根與係數關係 求 α β 與 αβ 再求弦長 ( ) ( ) ( x ) x x ( ) AB = x x y y = x 4 y y 4 y y 例. Γ : y = 8x, L: y=xk () L 與 Γ 不相交, 則 k 之範圍為. [ k< ] () L 與 Γ 相切於一點, 則 k =. [ k= ] (3) L 與 Γ 相交於相異兩點, 則 k 之範圍為. [ k> ] (4) 若 k =5, 則 L 被 Γ 截出的弦長為. [ 3 ] 例. () 試作 y = x x 3 之圖形 () 方程式 x x 3= 有四個相異實根, 則 之範圍為. [ <<3 ] 例. 設 P 在拋物線 y = x 上, 且其至直線 x y = 的距離為最小, 則 P 坐標為. [ (,), (,) ] 例 3. 拋物線 : y = 8x上有一弦 AB, 若 M(,3) 為 AB 之中點, 則直線 AB 的方程式為. [ 4x 3y = ] 例 4. 拋物線 y = x x 與直線 x y = 交於 A,B 兩點, AB =. [ 85 ] 例 5. 拋物線 y = x 4x 與直線 x y = 交於 A,B 兩點, 當 AB =8 時, 4

26 =. [ 4 5 ] 例 6. 拋物線 y = x 4x 與直線 x y = 交於 A,B 兩點, 則以 AB 為直徑之圓的方程式為. [x y 5x y = ] [ 作業 ]. 拋物線 y = x 4x 與 x 軸交於 P,Q 兩點, 當 PQ =6 時, =. [ 5]. 拋物線 : y = 6x上有一弦 AB, 若 C(3,) 為 AB 之中點, 則直線 AB 的方程式 為, AB 長為. [ 4x y =, 87 ] AB 3. 拋物線 y = 8x 上有一弦 AB, 若 M(, 3) 為 AB 之中點, 則直線的方程式為. [ 4x3y= ] 4. 設 P 在拋物線 ( y ) = ( x 3) 上, 其至直線 x y = 的距離最小為. [ 5 4 ] 主題四拋物線的切線 有三種題型. 已知切點. 已知斜率 3. 已知拋物線外一點 () 已知切點 P( x, y) 拋物線 y = 4cx 切線 yy = cx ( x) 拋物線 x = 4cy 切線 xx = cy ( y) 一般式 x xy cy dx ey f = 切線 xy yx x x cy y d x x e y y f = xy 規則 : x xx, y yx yy, xy, x x x, y y y, 常數項 不變 () 已知切線斜率為 m 時 ( 斜截式 ) 設切線 y=mxk, 代入拋物線中, 5

27 相切 兩個交點重合 D =, 可求出 k c 拋物線 y = 4cx 切線 y = mx m 拋物線 x = 4cy 切線 y = mx cm (3) P( x, y ) 不在拋物線上時 方法 ( 點斜式 ) 設切線 y y = m( x x ) 與拋物線聯立 相切 兩個交點重合 D=, 可求出 m 方法 設切線斜率為 m, 由 () 的公式 切線 再代入 ( x, y ), 可求出 m c y = mx m c 例 7. 拋物線 y = 4cx, 試證 : 斜率為 m 的切線方程式為 y = mx m 例 8. 設 A(,) 在拋物線 y 3x y 4 = 上, 則以 A 為切點的切線方程式 為. [ y=x ] 例 9. 拋物線 y x 4y = 之切線斜率為 之切線方程式為. [ y=x ] 例. 設 P(, ), 拋物線 y = 8x, 則過 P 之切線方程式為. 例. 二拋物線 y [ y=x or xy= ] = 4x與 x = y 3之公切線方程式為. [ y=x or 4xy= ] 例. 拋物線的軸平行於 x 軸, 且過點 (,), 與直線 y=x3 相切於 (, ), 方程式為. [x = 3y y 9] 例 3. Γ: y = 4cx, 求 Γ 之兩兩互相垂直切線之交點的軌跡方程式為. 又當 c = 4 時, 若 P(,) 向 Γ 所作二切線互相垂直, 則 = [ xc= ]. [ 4] [ 作業 ] 6

28 . 拋物線 y = x x ) 相切於 x, y ), 之頂點為 (, 3 ), 且與直線 y=mx,(m< ( 則 (,, m, x, y) =. [,, 3,, 6]. 與拋物線 y = 3x x 相切, 且與 x 4y 3= 相垂直之直線為. [ y=4x ] 3. 設 P(,), 拋物線 y = x x 4, 則過 P 之切線方程式為. [ y=6x or x y=4 ] 拋物線的直徑方程式 : 一組平行弦中點的軌跡, 稱為直徑 c. 拋物線 ( y k) = 4 c( x h) 且平行弦斜率 m y k = m. 拋物線 ( x h) = 4 c( y k) 且平行弦斜率 m x h = cm 3. 拋物線 y = 4cx 且平行弦斜率 m y = c m 4. 拋物線 x = 4cy 且平行弦斜率 m x = cm 例 4. y = 3x 8 x 9, 斜率為 m 之諸平行弦中點的軌跡所在之直線方程式為. [x = 8 m ] 6 極線 : ( 切點弦 ) P ( x, y) 不在拋物線上時, 過 P 作拋物線之兩切線, 切點 A,B, 直線 AB 稱為極線 當 P( x, y) 不在拋物線 x xy cy dx ey f = 上時, 直線 x x xy yx cy y d x x e y y f = 為對應於 P 的極線. 例 5. 自 A(, ) 作 x = 4y 的二切線, 切點為 P,Q, 則直線 PQ 方程式為. [xy=4] 例 6. 設 L 為通過拋物線 Γ: y 3x x 4 = 與 Γ : y x x = 之 7

29 5 6 二交點的直線, 求 Γ 的焦點 F 至 L 的距離. [ 366 ] 例 7. 有兩拋物線 Γ 與 Γ', 對於直線 x y = 成對稱, 已知 Γ : y = x 4x 3, 若 Γ' : x = y y c 則 (,Γ' 之焦點坐標為 ( x, y ),,, c, x, y) =. [, 4, 3, 3, ] 4 例 8. 拋物線 Γ : x = y 4與 Γ : y = x 8交於 A,B,C,D, 則四點所在之圓 半徑為 [ 5 ] 例 9. 某慧星之軌道為一拋物線, 以太陽為焦點, 當此星由遠處而來與太陽距離為 d 時, 兩者聯線與拋物線之軸成 45 之夾角, 則 () 當兩者聯線與軸垂直時, 其距離為. () 兩者最接近時, 其距離為. [ d, d ] 4 例 3. 拋物線 y = f (x) 的圖形過 (,),( 9,) 及 (,9) 三點, () 試求 f(x)=. () 頂點焦點準線 [y = x x9,( 5, 6 ),( 5, ), y = 4 4 ] 例 3. 有兩變數 x, y, 各取對數, 得到兩個新的變數 X = log x, Y = log y 如果 X, Y 的關係如圖之 斜線所示, 則 x, y 的關係若以圖表示, 應為下列那一種圖形的一部分? (A) 直線 (B) 拋物線 形.5 3 (C) 雙曲線 (D) 對數函數之圖形 (E) 指數函數之圖 例 3. 設拋物線 y = x x c, 與直線 7x y 8= 相切於點 (,6), 而且與直線 x y = 相切, 試求,, c 之值 [ 3, 5, 4] Y X 8

30 雙曲線 定義 : 相異兩定點 F, F, 及定長, ( 其中 < FF ), 滿足 PF PF = 的動點 P 所形成的圖形, 稱為一個雙曲線 說明 : () 若 < FF () 若 = (3) 若 > 名稱介紹 : 焦點 : F, F 中心 : FF 之中點 FF FF 軌跡表一雙曲線 軌跡表二射線 軌跡表空集合 貫軸與頂點 : 直線 FF 交雙曲線於 A,A', A,A' 稱為頂點,AA 稱為貫軸 貫軸 AA = 共軛軸 : 過中心且垂直貫軸的直線上取二點 B,B', 使 OB = OB =, BB 稱 為共軛軸 FF =c, AA =, BB =, 則 c = 正焦弦 : 與貫軸垂直的焦弦 正焦弦長 = 漸近線 : 一直線 L 與一曲線 Γ, 如果 L 與 Γ 不相交, 且 Γ 延伸至無窮遠處時, 與 L 的距離愈來愈小而趨近於, 則 L 稱為曲線 Γ 的漸近線 雙曲線的漸近線有二條 ( ) ( ). 雙曲線 x h y k ( =± 之漸近線為 x h) ( y k ). 雙曲線 ( x y c)( x y c) ( x y c) ( x y c) = = = k, (k ) 之漸近線為 3. 雙曲線 x xy cy dx ey f = 與漸近線方程式之積僅差一常數, 故漸近線可設為 x xy cy dx ey f =, ( f f ) 4. 兩漸近線之交角平分線就是雙曲線的貫軸與共軛軸 5. 共軛雙曲線 : 有共同中心的兩雙曲線, 若其中一個的貫軸及共軛軸為另一個雙曲線的共軛軸及貫軸, 則此兩雙曲線互稱為共軛雙曲線. 6. 等軸雙曲線 : 貫軸長等於共軛軸長的雙曲線稱為等軸雙曲線等軸雙曲線 漸近線互相垂直 9

31 例如 : 下列何者表等軸雙曲線 :. (A) xy = ( B) xy = (C) xy = x3 (D) x y = (E) xy6 = x3y [ A,B,C,D ] 雙曲線的標準式 : 規則 : 貫軸平行 x 軸 左右 y 係數為負貫軸平行 y 軸 上下 x 係數為負 貫軸平行 x 軸 ( 左右 ) ( x h) ( y k) 方程式 : = = 中心 (, ) ( h, k ) 焦點 (± c, ) ( h ± c, k ) 貫軸長 共軛軸長 正焦弦長 ( x h) y k 漸近線 = ( ) = 貫軸平行 y 軸 ( 上下 ) 方程式 : y x ( y k) ( x h) = = 中心 (, ) ( h, k ) 焦點 (,± c ) ( h, k ± c ) 貫軸長 共軛軸長 正焦弦長 y 漸近線 x = ( ) ( ) y k x h = 3

32 雙曲線的參數式 : = 的參數式 ( x h) ( y k) = 的參數式 x = secθ, θ R y = tnθ x = h secθ y = k tnθ θ, R 主題一雙曲線的方程式雙曲線方程式的求法. 先求出中心 (h, k). 再求出貫軸與共軛軸長之半 與 3. 若貫軸平行 x 軸 ( 左右型 ) 若貫軸平行 y 軸 ( 上下型 ) ( ) ( ) x h y k ( y k) ( x h) = = 例. 求下列雙曲線的方程式 () 一頂點 (,), 中心 (,), 共軛軸長為. [ = ] 44 5 () 中心 (,), 貫軸在 x 軸上, 且過 A(4,),B(6, 3 ). x 5y [ = ] 6 3 (3) 漸近線 y 3x=, y3x=, 一頂點 (,). [ =] 4 36 (4) 二焦點 F(,),F'(, ), 貫軸長 =. [x 4xy y 6= ] 例. 二定點 F(, ),F'(, 5), P 為平面上任一點, 滿足 PF PF = 4, 令 P 的軌跡為 Γ, 則 ( ) ( ) () Γ 的方程式為. [ y x () Γ 的正焦弦長為. [ 5 ] 4 5 = ] 例 3. 雙曲線 : 9x 6y 36x 3y 64 = 的共軛雙曲線為 G, 則 G 的焦點 坐標為. [(7,), ( 3, ) ] 3

33 例 4. 若橢圓 : k 7 k = 與雙曲線 : x y = 共焦點, 則 k = 4 4. [ 9] 例 5. 設 F,F' 為雙曲線 : = (>,>) 二焦點, FF =, P 在雙曲線 上, 且 FPF'= 9, PF = PF, 則雙曲線的二漸近線為, 共軛雙曲線為. [ =, x y x ± y = ] 5 例 6. 雙曲線的二漸近線為 y x =, yx=, 一焦點為 (,), 則雙曲線為 ( x ) y. [ = ] 9 9 例 7. 過 (,) 的等軸雙曲線, 其中心為 (,), 漸近線為 x y 3=, 則雙曲線為 x y 3 x y = 3]. [( )( ) 例 8. F(3,),L: y =, 動點 P 滿足 PF = d( P, L), 則 P 的軌跡方程式為 3 ( ) ( ). [ x 3 y = ] 3 例 9. 求雙曲線 ( )( ) 6 = 4 之共軛雙曲線為. [ ( y 4 ) ( x ) 4 = ] 例. 一動圓與 ( x ) y = 9 相切, 並過 (4,), 求動圓的圓心所成的軌跡方程式 為. 3 ( x ) y [ = ] 例. 過原點的一直線與 xy=, x y = 交於 P,Q 兩點, 試求 PQ 的中點軌跡方 程式為. [x y = x] 3

34 [ 作業 ] 求下列雙曲線的方程式. 二焦點 F(3,),F'( 3,), 貫軸長 =. [ x y =] 8 3y 3x. 漸近線 3x y=, 3 xy=, 焦點 (,3). [ = ] 8 36 一頂點 (,3), 焦點 (,5), 中心 (,) [ y x 3.. =] 9 6 ( ) ( ) 4. 貫軸長 =, 二點 ( ),F'(, [ x y ). 焦 F 5, 5 44 = ] 5. 漸近線 x y=,xy=4, 且過 (6,). [( y)( 4) x = 36] 6. 中心 (, ), 一漸近線 x3y =, 且過 (,) 之等軸雙曲線. x 3y 3x y 8 = 5] [( )( ) 3 7. 二頂點 A (,-),A'( 8, ), 一漸近線之斜率為 4 ( ) ( ) [ x 5 6 y 9 8. = ] 8. F(,),L: x=, 動點 P 滿足 PF = d( P, L), 則 P 的軌跡方程式為. x [3 y 4x y 4 = ] 9. 求雙曲線 4x 6y 4x 6y = 之共軛雙曲線為. [4x 6y 4x 6y 7 = ]. 有一動圓與兩圓 ( ) ( ) x 3 y = 4, x y = 均外切或均內切, y 求動圓的圓心所成的軌跡方程式為. [4( x ) = ] 6 33

35 . 求橢圓 : = 與雙曲線 : =的交點坐標為 [(, ± ),( ),± ] = 36 相切, 並過 (3,), 求動圓的圓心所成的軌跡方. 一動圓與 ( x 5) ( y ) ( ) ( y ) 程式為. [ x 9 7 = ] 3. 若雙曲線與橢圓 : = 共焦點, 且共軛軸長為 3, 則雙曲線為 [ y x = ] 7 3 ( ) ( ) 4. 若雙曲線與橢圓 : x y 9 4 = 共焦點, 且貫軸長為, ( ) ( ) 則雙曲線為. [ x y 4 = ] 5. 動圓在 x 軸上截取的線段定長為, 在 y 軸上截取的線段定長為, ( ), 求動圓的圓心所成的軌跡方程式為. [ x y = ] 6. 在右圖中, 圓 O 的半徑為 6,F 的坐標為 (8,), Q 在圓 O 上,P 為 FQ 的中垂線與 OQ 的交點 當 Q 在圓 O 上移動時, y Q P 動點 P 的軌跡方程式為. ( x 4) y [ = ] 9 7 O F x 7. A (,),B(4,), 圓 C : x y = 64, 直線 L: x=, () 求過 A 且與圓 C 相切之動圓的圓心所成的軌跡方程式為. [ ( x ) 5 y = ]

36 () 求過 B 且與圓 C 相切之動圓的圓心所成的軌跡方程式為. [ ( ) y = 6 ] (3) 切直線 L 且與圓 C 外切之動圓的圓心所成的軌跡方程式為. [y = 4( x )] 主題二雙曲線的重要諸元 例. 雙曲線 Γ:4x y 8x 4y 4 = () 貫軸長 = [ 4 ] () 共軛軸長 = [ ] (3) 焦點坐標為 [(, ± 5 ) ] (4) 正焦弦長為 [ ] (5) 漸近線方程式為 [ xy=, y4=x] 例 3. 雙曲線 ( x ) ( y ) ( x ) ( y ) =, () 焦點坐標為 [(,),(, ) ] () 中心為 (3) 貫軸所在直線方程式為 [ (,) ] (4) 貫軸長 = [ ] (5) 正焦弦長為 [ ] 焦半徑 : 設點 P( x, y) 為雙曲線 = (>,>) 上任一點, 二焦點是 F(c,), F'( c, ), c = c c ()PF = PF = x x () [ x = y ] [ 作業 ]. 雙曲線 ( x ) y ( x ) ( y ) =, () 焦點坐標為 [ (,), (,) ] 35

37 () 中心為 [(, ) ] (3) 貫軸長 = [ ] (4) 正焦弦長為 [ ]. 雙曲線 ( x 4) ( y ) ( x ) ( y 3) = 6, () 焦點坐標為 [( 4,), (, 3) ] () 中心為 [(, )] (3) 貫軸長 = [6] (4) 共軛軸長 = [4] (5) 正焦弦長為 [ 8 ] 3 主題三漸近線 ( x h) ( y k) ( x h) ( y k). 雙曲線 = ± 之漸近線為 =. 雙曲線 ( x y c)( x y c) = k,(k ) 之漸近線為 x y c x y c = ( )( ) 3. 雙曲線 x xy cy dx ey f = 與漸近線方程式之積僅差一常數, 故漸近線可設為 x xy cy dx ey f =, ( f f ) 4. 兩漸近線之交角平分線就是雙曲線的貫軸與共軛軸 例 4. 求下列雙曲線之漸近線 : ( x ) y () = 4 [x ± y = ] () 9x 4y 36x = [3x ± y 6= ] (3) x xy y x y 3= [ x=y, xy=] 例 5. 雙曲線 x xy x y = 之漸近線為, 又中心為. [ x=, x = y, (, ) ] 36

38 例 6. 已知曲線 x y 3x y 3= 有兩漸近線, 求此兩漸近線之夾角為. [9 ] x 性質 : 雙曲線 y = 上任一點到兩漸近線之距離乘積為 ( 定值 ) 例 7. 試證雙曲線 = 上任一點到兩漸近線之距離乘積為 ( 定值 ) 例 8. P 是雙曲線 ( x ) ( y ) = 上任一點, 則 P 到兩漸近線之距離乘積 4 9 為. [ 36 3 ] x 性質 : 雙曲線 y = 上任一點 P, 過 P 作兩漸近線之平行線, 則與兩漸近線所圍成之平行四邊形面積為 ( 定值 ) 性質 : 雙曲線 = 之任一切線與兩漸近線所圍之三角形面積為 ( 定值 ) 性質 : 設一直線與雙曲線之一葉交於 P,Q, 與兩漸近線交於 R, S 則 () PQ 與 RS 的中點一致 () PR = QS 性質 : 雙曲線 = 上任一點 P, 過 P 作貫軸之垂直線, 與兩漸近線交於 Q,R 則 PQ PR 是定值 性質 : 過一焦點與一漸近線垂直之直線至雙曲線中心之距離等於貫軸長之半 [ 作業 ]. 求下列雙曲線之漸近線 : () 4x y = 4 [x ± y = ] 37

39 () ( )( ) = [ x=y, xy= ] (3) 3x 4xy 4y 8x 4y 8 = [3x y 3=, x y 5= ] (4) xy 3x y = [ x=, y=3 ]. 雙曲線 xy = x 3y 之中心為. [( 3, ) ] 雙曲線 = 上任一點到兩漸近線之距離乘積為. [ ] 雙曲線 7x y y = 上任一點到兩漸近線之距離乘積為. [ 8 ] 9 5. 雙曲線 = 上任一點到兩漸近線之距離乘積為. [ 35 ] 7 5 主題四圖形的判別 例 9. 相異兩定點 F,F', 一動點 P, FF =5 ( 注意 : 有沒有絕對值 ) () 滿足 PF PF = 4, 則 P 的軌跡圖形是 [ 雙曲線的一支 ] () 滿足 PF PF = 3, 則 P 的軌跡圖形是 [ 雙曲線 ] (3) 滿足 PF PF = 5, 則 P 的軌跡圖形是 [ 二射線 ] (4) 滿足 PF PF = 5, 則 P 的軌跡圖形是 [ 一射線 ] (5) 滿足 PF PF = 8, 則 P 的軌跡圖形是沒有圖形 ] 例. 若 ( x ) ( y ) = k k x y 例. 作圖 : y x 的圖形是雙曲線, 則 k 的範圍是. [ < k < ] = [ 雙曲線的右支, 或點 (,) ] 例. 作圖 : y = x 6x 3 38

40 [ 作業 ]. F(, ),F'(3,), 一動點 P, 令 Γ 為 PF PF = k 的圖形, () 若 Γ 是雙曲線, 則 k 的範圍是 () 若 Γ 是二射線, 則 k 的範圍是 (3) 若 Γ 沒有圖形, 則 k 的範圍是. 設 Γ: =, k R 5 k k 3 () 若 Γ 的圖形是一橢圓, 則 k 的範圍是. [ 3 < k < 5 ] () 若 Γ 的圖形是一雙曲線, 則 k 的範圍是.[ 5< k < 3 or k > 5 ] 3. 作圖 : () y = x 4 () y = 3 x 9 (3) log x log y = (4) y = 9 x 4. 試定 k 值, 使方程式 y 5 4 k = 的圖形表 x () 橢圓 [ k>, k ] () 雙曲線 [ k<, k 5 4 ] (3) 圓 [ k= ] 5. 設 Γ: y = x ( k) x () 若 Γ 的圖形是一雙曲線, 則 k 的範圍是 () 若 Γ 的圖形是一橢圓, 則 k 的範圍是 [ k< ] [ k>, k ] 6. y = x ( k) x 之圖形為 G, (A) k <,G 為雙曲線 (B) k=,g 為拋物線 (C) <k<,g 為橢圓 (D) k=,g 為圓 (E) k<,g 為二直線 [ A,B,C,D ] 39

41 主題五 雙曲線與直線 將直線代入雙曲線中得一元二次方程式 () D> 時, 相交於相異兩點 () D= 時, 相切於一點 (3) D< 時, 不相交 例 3. 雙曲線 Γ: x y =, 一直線 L : y=mx, 試討論 Γ與 L 相交情形 [ 相交於相異兩點 5 < m < 5, m ± ] [ 相切於一點 m= ± 5 ] [ 不相交 m> 5或 m< 5] 例 4. 設直線過 (5,) 與雙曲線 x 9y = 4交於 P,Q 兩點, 若 (5,) 為 PQ 之中點, 求直線 PQ 方程式. [ 5x 9y 6 = ] 例 5. 設直線 L 過 (,3) 與雙曲線 = 交於 P,Q 兩相異點, 求 L 之斜率 m 之範圍為. [ < m<, m ± ] 5 例 6. 直線 y=mx 與雙曲線 xy = 交於相異兩點, () 若兩交點都在第一象限, 則 m 之範圍為. [ < m < ] () 若兩交點分別在第一象限與第三象限, 則 m 之範圍為.[ m > ] [ 作業 ]. 雙曲線 Γ: x y =, 一直線 L : y=mx, 試討論 Γ 與 L 相交情形 [ 相交於相異兩點 3 < m< 3, m ± ] [ 相交於一點 m = ± 3 或 m = ± ] [ 不相交 m > 3或 m < 3 ] 4

42 . 設直線 L 與雙曲線 9x 6y 7x = 交於 P,Q 兩點, 若 (,) 為 PQ 之中點, 求直線 L 方程式. [7x8y46=] 主題六弦與切線. 求一點 P 到雙曲線的最短距離, 可利用參數式代入. 求弦長 : 將直線代入雙曲線中得二交點, 再由距離公式得弦長 但有時二交點較繁雜, 代入距離公式內不易計算, 則利用 根與係數關係 切線有三種題型. 已知切點. 已知斜率 3. 已知雙曲線外一點規則及求法與圓完全相同 () 已知切點 P( x, y) xx yy 雙曲線 = 切線 = ( x h) ( y k) ( x h)( x h) ( y k)( y k) 雙曲線 = 切線 = 一般式 x xy cy dx ey f = 切線 x x xy yx cy y d x x e y y f = xy 規則 : x xx, y yx yy, xy x x, x, y y y, 常數項 不變 () 已知切線斜率為 m 時 ( 斜截式 ) 設切線 y=mxk, 代入雙曲線中, 相切 兩個交點重合 D=, 可求出 k 公式 : ( 僅供參考, 不需要背 ) 雙曲線 = 切線 y = mx± m 雙曲線 = 切線 y = mx± m 4

43 (3) P( x, y) 不在雙曲線上時 方法 ( 點斜式 ) ( 計算時較繁 ) 設切線 y y = m( x x ) 與雙曲線聯立 相切 兩個交點重合 D=, 可求出 m 方法 設切線斜率為 m, 由 () 的公式, L: 再代入 ( x, y ), 可求出 m 方法 3 設切點 ( α, β ) 切線 ( 一個變, 一個不變 ) P( x, y) 代入切線中 () 切點 (α, β ) 代入雙曲線中 () 由 (),() 聯立可解出 α, β y = mx± m 切點弦 : AB, ) 不在雙曲線上時, 過 P 作雙曲線之切線, 切點 A,B, 直線稱為切點弦. xx yy 雙曲線 : = 直線 AB : = 當 P( x, y) 不在雙曲線 x xy cy dx ey f = 上時, xy yx 直線 xx cy y d x x e y y f = 為對應於 P 的極線. P( 例 7. 求過 (, ) 且與雙曲線 x 4y x 3y = 相切之直線方程式. [ 6xy=] 例 8. 求與直線 y=x 平行且與雙曲線 x y 4x 6y 7 = 相切之直線方程式. [ y = x ± 6 ] 例 9. 求過 (,) 與雙曲線 x y = 4 相切之直線方程式, 並求出對應之切點 8. [ x=, (,) ; 5x 4y 6=,(, ) ] 3 3 例 3. 求 9 6 x y = 44 與雙曲線 7x 3y = 4 的公切線方程式. [y = x ± 5, y = x ± 5] 4

44 [ 作業 ]. 求過 (,3) 與雙曲線 x y x 6= 相切之直線方程式. [ 5x 6y 3= ]. 求與 x y5= 平行且與 x y 4x 6y 7 = 相切之直線方程式. [ xy=, xy=4 ] 3. 求與 xy=3 垂直且與 7x 3y = 4 相切之直線方程式. [x y ± 5= ] 4. 求過 (, ) 與雙曲線 4x y 6x 8y = 相切之直線方程式. [ x y = ] 5. 求過 (3,) 與雙曲線 x 4y 4 = 相切之直線方程式, 並求出對應之切點 4 3. [ y=, (,) ; 6x 3y 5=,(, )] 5 5 主題七參數式與極值雙曲線的參數式 : = 的參數式 y x = 的參數式 x = secθ y = tnθ x = tnθ y = secθ, θ R, θ R 例 3. 求點 A(3,) 與雙曲線 x 4y = 4上任一動點 P 之最短距離為. 此時 P 之坐標為. [ 5, (,± ) ] 例 3. x, y R, 若 P 為 y = x 4 上任一點, 則 P 至 x y = 之最短距 離為 [. ] 例 33. 設 A,B 為直線 4xy =5 與雙曲線 xy= 的兩交點, 顯然 A,B 位於雙曲線 的同一分支上, 在該分支上求一點 C, 使雙曲線在 C 的切線與 AB 平行, 則 43

45 坐標為 [ (, ), 3 C, ABC 的面積為. ] 8 ( ) ( ) 例 34. 雙曲線 x h y k A B 3 = 二頂點 ( 3,3),(5,3), 一漸近線之斜率為 4 () h = (A) (B) (C) 3 (D) 3 (E) 5 [ A ] () k = (A) (B) (C) 3 (D) 3 (E) 5 [ C ] (3) A = (A) 6 (B) 6 (C) 9 (D) 9 (E) [ A ] (4) B = (A) 6 ( B) 6 (C) 9 (D) 9 (E) [ C ] 例 35. 設 H : = 為一雙曲線, 其中 >, > 設 < α < π, 則 H 上以 ( sec α, tnα ) 為切點之切線, () 斜率為. [ sinα ] () 此切線與 H 之兩漸近線相交, 而圍成一三角形, 其面積為. [ ] 例 36. 已知平面上一橢圓的兩焦點為 (6,) 及 (,8), 長軸長為, 則下列敘述哪些是正確的? 3 (A )(3,4) 為橢圓的中心 (B) 短軸的斜率為 (C)(9, 4 ) 為長軸上的一個頂點 4 (D) 橢圓與正 x 軸只有一個交點 (E) 短軸之長為 3 [ABCE] 例 37. 將連接 (,,) 與 (,,) 兩點的直線, 繞 z 軸旋轉而得一直圓錐面, 則此直圓 錐面與平面 x = 相交而得的圖形為一. (A) 直線 (B) 圓 (C) 橢圓 (D) 拋物線 (E) 雙曲線 例 38. 雙曲線 = 的頂點為 A B, 且 F 為其中一個焦點,P 是雙曲線上 任意一點, 若分別以 PF AB 為直徑作兩圓, 則此兩圓的關係可能為. (A) 外離 ( B ) 外切 (C) 交兩點 (D) 內切 (E) 內離 44

46 綜合練習 :. 有一條拋物線位於坐標平面之上半面 ( 即其 y 坐標 ), 並與 x 軸 直線 y = x 直線 y = x 相切 下列敘述何者正確 :. () 此拋物線的對稱軸必為 y 軸 () 若此拋物線對稱軸為 y 軸, 則其焦距為 ( 註 : 拋物線的焦距為焦點到頂點的距離 ) (3) 此拋物線的頂點必在 x 軸上 (4) 有不只一條拋物線滿足此條件 y. 考慮雙曲線 y x = 圖形的上半部 ( 如右圖 ), 取此雙曲線上坐標為 n 的點與漸近線 y = x的距離, 記為 d n, 其中 n 為正整數 則 lim( nd n ) =. ( 以四捨五入取到小數兩位 ) n 3. 平面上有一橢圓, 已知其焦點為 (, ) 和 (4, 4 ), 且 y = x 為此橢圓的切 線 (). 求此橢圓的半長軸長 (). 設此橢圓方程式為 Ax Bxy Cy Dx Ey =, 求 A B C D E 之 值 4. 試問在坐標平面上, 下列有關拋物線的敘述哪些是正確的? () 能夠找到拋物線以 x 軸為準線, x y = 為對稱軸 () 能夠找到拋物線以 x 軸為準線, 頂點是 (,), 焦點是 (,) (3) 能夠找到拋物線以 x 軸為準線, 焦點是 (,), 且通過 (3,3) (4) 能夠找到拋物線以 x 軸為準線, 且通過 (3,3), ( 3,4) (5) 能夠找到拋物線以 x 軸為準線,y 軸為對稱軸, 且通過 (3,3),( 3,3) n d n x 45