函數的微分

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励烛祁
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1 函數的極限與微分 f ( ) lim h 0 f ( + h) h f ( ) ( g ( f ( ) )) g ( f ( ) ) f ( ) 姓名

2 函數的微分函數及其圖形. 函數之定義 : 有 A,B 兩個非空集合, 若對應 f 滿足 : A, 必在 B 中恰有一元素 y 與之對應, 即 f () y, 稱此對應為函數稱 y 為應變數或 y 為之函數值 ; f ( A) { f ( ) A} 表 f 之所有函數值之集合, 稱為 f 之值域 ; A 稱為 f 之定義域 ; B 稱為 f 之對應域. 開區間 : 滿足 a < < b 的範圍, 以符號 (a,b) 表之. 閉區間 : 滿足 a b 的範圍, 以符號 [a,b 表之 4. 顯函數 : 若自變數之函數值 f() 已知, 稱 y f () 為顯函數 5. 隱函數 : 以 f(, y ) 0之形式表示 y 為之函數時, 稱 y 為之隱函數例如 : + y, 可化為 y 與 y 6. 反函數 : 若函數 f 為由 A 映至 B 之對函數, 且 g 為由 f(a) 映至 A 之函數, A g f y f ( A), f g y 之性質, 且滿足, ( ( )) 且 ( ( )) y 則稱 f 與 g 互為反函數以 g f 表之注意 : () f 的定義域 f 的值域, f 的值域 f 的定義域 () ( f ) f () f 與 f 的圖形必對稱直線 y ( 例如指數與對數之圖形 ) (4) 反函數之求法 : 將 y f( ) 化為 g( y), 再將,y 對調, 得 y g ( ), 即為所求 7. 合成函數 : 兩個函數 f, g, 若 f : A B, g: B C, 且 A 在 C 中恰有一元素 z g( f ( ) ) 則稱 g ( f ) 為 f 與 g 之合成, 或以 g f 表之, g f 讀作 g circle f 注意 : () g f 有意義 f 之值域 f ( A ) 包含於 g 之定義域 () 合成運算不能滿足交換律, 兩個函數之合成必須注意其前

3 後次序 f g g f () ( ) 說明 : 設 f ( ), 0, g( ), R g()<0 g() 不在 f 的定義域中 f g 沒有意義但是 g f ( ) g( f ( ) ) g( ), 0 f(g()) 沒有意義恆成立, 所以 g f 有意義 f +, R, g, f g f g( ) f 說明 : ( ) ( ) R 有意義 ( ) ( ) 6 + g f 有意義 g ( f ( ) ) g( + ) ( + ) 但是 f g g f 8. 偶函數 : 滿足 f ( ) f ( ) 圖形必對稱於 y 軸 ( 變號 ) 9. 奇函數 : 滿足 f ( ) f ( ) 圖形必對稱原點 (,y 同時變號 ) {( ) } 0. 函數之圖形 : f 為一函數, S, f ( ) A,A 為 f 之定義域, 稱點集合 S 為 f 之圖形特性 : 若為函數之圖形任一鉛直線與圖形至多有一交點. 映成函數 ( 蓋射函數 onto function ) : 設 f 為由 A 至 B 之函數, 若 f ( A) B, 或對 B 中之每一元素 y, 在 A 中至少有一元素, 使得 y f( ) 特性 : b B, 在點 (0,b) 處作水平線, 與 y f( ) 之圖形至少交於一點. 一對一函數 ( 嵌射函數 one - to - one function ) 設 f 為由 A 至 B 之函數, 對所有, A, 若 f ( ) f ( ) 或 f ( ) f ( ) 特性 : b B, 在點 (0,b) 處作水平線與 yf() 之圖形至多交於一點. 一對一且映成函數 ( 對射函數 ) 特性 : b B, 在點 (0,b) 處作水平線與 yf() 之圖形恰交於一點

4 4. 函數的四則運算 : f : A B, g: C D, 加法 f + g : f ( ) + g( ), A C 減法 f g : f ( ) g( ), A C 乘法 f g : f ( ) g( ), A C 除法 f f ( ) : g g ( ), A C, g( ) 0 常見的重要函數 : 多項項式函數指數函數對數函數三角函數絕對值函數高斯函數符號函數例. 求下列各函數之定義域? () f : () f : 6 () f : + [{ > } 或 [ { 4 < 0} [{ > } 或例. 求下列各函數之值域? ( ) +, f [{ 4} () ( )( ) sin + () f ( ) sin, π 7π 4 () f ( ), R [ + + 例. 若 f ( + 5) f ( ), f ( ) f ( ), f ( ) 則 6 f ( ) 9 f ( ) + f 7, ( ) ( ) [ 4 0 < 5 f [,, 0

5 例 4. 設 ( ) 當 < 0 當 f 當 0 g( ) 試求 + > 當 > 0 當 () gf(0) () fg(0) [, () fg() (4) gf() [, [ 作業. f ( ) log, 求 f ( ) [f ( ). f ( ) log, g() +, 求 f ( ) g [ + log. f: A B, n(a)m, n(b)n () 從 A 到 B 的函數, 總共可定義出個 m [n () 當 m n 時, 從 A 到 B 的嵌射 ( 對 ) 函數, 總共可定義出個 [ n! ( n m)! () 當 m n 時, 從 A 到 B 的蓋射 ( 映成 ) 函數, 總共可定義出個 m n n C n m n + C m n n C m n n n C n [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m (4) 當 mn 時, 從 A 到 B 的對射 ( 對且映成 ) 函數, 總共可定義出個 [ n! 4 當 < 4. 若函數 f ( ) 5 當 <, + 當可用 f ( ) a + + b + c+ d 表示求 a, b, c, d [ a, b, c, d0 a + a a a 5. f ( ), g ( ), a > () 試以 g() 表 g(). [ 4( g ( ) ) + g( ) () 試以 f( ), g() 表 a [ f ( ) + g( ), f ( ) g( ) 4 及 a () 試以 f( ), g(), f(y ), g(y) 表 f(+y), [f()f(y)+g()g(y) g(+y) [ f()g(y)+g()f(y) log + log 5 + < log + 5 之解. 6. 求 ( ) ( ) 5 5+ [ < < 或 < < 6

6 7. 曲線 ysin 與 ysin 在 0 π 內有幾個交點? [ 5 8. 設直線 yk 與 y + 恰有 4 個交點, 求 k 之範圍? [ < k < 函數 f()[+[ 的函數值為 5 時, 求之範圍? [ 4 5 < 0. 下列各函數中, 何者為奇函數, 何者為偶函數? [C, ABDE sin (A) f ( ) (B) f ( ) ( + )( cot + csc ) (C) f ( ) (D) f ( ) log( + ) + tan (E) f ( ) ( ) sec. f( ) [ 與 y 有幾個交點? [ 方程式 4sin + 恰有個實根 [ sin + 5π 7π. 設函數 f ( ) 之定義域為, R, sin 求 f 之值域 [ y y sin 4. 函數 f ( ) 的定義域為 R, 求 f 之值域 + cos [ y y + 5. 求下列各函數之定義域? () f ( ) 9 () f ( ) 5 () f ( ) + (4) f ( ) (5) f ( ) 6 [ { < < } [ { ±5} [{ 0 } 或 0 [{ } 4 [{ 4 4, ± 7} 5

7 (6) f ( ) (7) f ( ) [ R-Z [ 0, ± 6. 求下列各函數之值域? () R, f ( ) [ y y R,y + + (), f ( ) [ y 0 y () R, f ( ) [ y y + (4) R, f ( ) + 4 y 4 y + [ { } 7. 若 R, f ( ) f ( ), f(4)5, 則 f(7), f ( 9) f ( ) [ 5, 0 4 6

8 函數的極限. 極限的性質 : 已知 lim f ( ) A, lim g( ) B, c R 則 a a lim f( ) ± g ( ) lim f( ) ± lim g ( ) A± B () ( ) () ( ) a a a lim f ( ) g( ) lim f ( ) lim g( ) A B a a a () lim c f ( ) c lim f ( ) c A a a f ( ) A (4) 若 B 0, g( ) 0 則 lim a g ( ) B. 函數的連續 : () 若當趨近 a 時, f() 會趨近 f(a) 則稱 f() 在 a 點連續 () 若 f() 在定義域中的每一點都連續, 則稱 f() 為一連續函數重點 : () 分式型 ( 有理函數型 ) 型如 f ( ) 者, f(), g() 均為的多項式 g ( ) f( ) 之最高次項係數 f( ) 當 deg f ( ) deg g( ) lim g ( ) 之最高次項係數 g ( ) 0 當 deg f ( ) < deg g( ) p p ap + ap a0 例如 : an q q b + b b q q 0 當 p< q ( 分子的次數 < 分母的次數 ) ap 則 lim an 當 p q ( 分子的次數分母的次數 ) bq 當 p > q ( 分子的次數 > 分母的次數 ) () 根式型 : 型如 a b 之函數要領乘以共軛根式 a + b 有理化之 () 型乘上有理化因式變形 () 0 型分子分母同時乘上有理化因式變形直接代入 : () 將 a 代入 f() 中, 使 f(a) 有義意, 則 lim f ( ) f ( a) a () 若經整理後有公因式, 則先消公因式再代入 7

9 有理函數 f ( ) g ( ) : 先因式分解, 去公因式, 再取極限值 + 例. lim +. [ 根式型 + 例. lim [ + 例. lim + 5. [ 5 合併後再因式分解例 4. lim( ) 5 +. [ 9 拆開後再消公因式 n n 例 5. lim. [ nn ( + ) 利用二項式定理展開後再消公因式例 6. lim ( ) [ 00 利用因式定理餘式定理求多項式 + a+ b 5 例 7. lim, 求 a, b. [, f 例 8. 多項式 f() 滿足 lim ( ) f, lim ( ) f, lim ( ) 4, 求最低次多項式 f() [ ( )( )( )( + ) [ 作業 0. lim ( 0 ). [ 90 π sin( ). lim π 4cos. [ 6 8

10 . lim( log + log log ).[ log lim. [ ( )( )( )...( ) 5. lim 9. [ 0! ( ) 4 6. lim( ) [ m 若 lim ( n+ ) + n 5, 則 m,n [6, a 8. 若 lim b, 則 a,b [, 8 + a+ b 9. 已知 lim k ( 定值 ), ( + ) 則 a,b,k [, 6, 6 0. 已知 f ( ) +, f 求 () lim ( ) f ( ) f,() lim ( ) f ( ) + [ 4, a ( a ). 已知 f ( ), a ( a ) a () 若 lim f ( ) 不存在, 則 a [ () 當 a 時, lim f ( ) b (b>0), b [ 9, + b+ b. 若 ab, R, a> 0, lim 8, 則 a,b [6, 4 a a a + b + c+ d. f ( ), 若 lim f( ) 0 且 lim f( ), + 求 a,b,c,d. [ 0,,, a + b + c+ d 4. f ( ), 若 lim f( ) 且 lim f( ), + 求 a,b,c,d [,,, a + b 5. 已知 lim, 則 a, b [4,8 9

11 6. y 圖形在第一象限部分上面一點 P, 已知 O(0,0), Q 為軸正向上一 PQ 點, 且 OP OQ, 直線交 y 軸於 R, 則 P 趨近 O 時,R 之極限位置為何? [ (0,) 7. lim. [ 5 8. lim [ 6 9. lim( ) [ 4 0. lim + 6. [ lim. [ 4 +. lim( ) [ 5 4. lim( + ) 4 +. [ lim. [ 三角函數的極限 π π 性質 : 若 < < 且 0, 則 sin < < tan sin 性質 : lim 0 性質 : sin 在 0 處的導數 + a + a 性質 4: lim sin sin a;lim cos cosa a a 性質 5: sin 在 a 處的導數為 cosa 例. () sin lim [ () cos lim [ 0 0 0

12 () lim cos 0 5 [ 5 (4) lim 0 tan [ sin (5) tan(sinπ) lim [ π 0 例. () lim ( π ) tan π [ 4 π () lim [ π 4 π sin( ) () lim ( π ) ( tan + ) π [ 4 (4) cos lim [ π π 導數與切線 f 導數的定義 : 若 lim ( ) f ( a ) 存在, 則稱它為函數 f() 在 a 處之導數, a a f 以符號 f ( a) 表之 f ( a) lim ( ) f ( a ) a a f a+ h f 令 a h, 則 f ( a) lim ( ) ( a) h 0 h 若函數 f () 在 a 處有導數, 則稱 f () 在 a 處可微分若函數 f () 在 a 處可微分, 則稱 f () 在 a 處是連續 ( 極限存在 ) < 注意 > 反之不成立! 若函數 f () 在其定義域內的每一點都可微分, 則稱 f () 是個可微分函數 f + h f f () 的導函數 f ( ) lim ( ) ( ) 以 h 0 h d f d ( ) d, d f ( ) 或 f ( ) 表之

13 f () 的第一階導數 f ( ) f () 的第二階導數 f ( ) ( f ( )) 或 f () 的第三階導數 f ( ) ( f ( )) f () 的第四階導數 ( 4 f ( ) d f ( ) d f ( ) 0 羅比達規則 : 若 lim 為或等不定形式且 lim f ( ) lim g ( ) 存在 a g ( ) 0 a a f ( ) f ) 則 lim lim ( a g ( ) a g ( ) 例. f ( ) + 5 在處的導數 f () [ 5 例. f ( ) + 在處的導數 f () [ 4 例. f ( ) 例 4. f ( ) 例 5. f ( ) ( )( )( )( 5), 求 4 ( + )( + )( + ) ( )( )( ) f () [ 8, 求 f (0) [ ( )( )( )... ( n), 求 f (0) [ ( ) n ( + )( + )...( + n) 例 6. 求 f ( ) ( + ) 之導函數 [ 9( + ) 例 7. 設函數 f () 在 a 處可微分, 試以 f(a) 及 f (a) f ( a) a f ( ) 表 lim [ f ( a) a f ( a) a a

14 三角函數的導函數 ( 背 ) d sin a a cos a a d a c d cos sin + a d cos a a sin a a d a c d sin cos + a d tan a a sec a a d a c d sec tan + a d cot a a csc a a d a c d csc cot + a d sec a asecatan a secatan ad seca c d + a d csc a a csc a cot a csc a cot a d csca + c d a sin 例. 利用 lim, 證明 d 0 d sin cos, d cos sin d 例. 承上題, 試導出 : () d tan sec, () d cot csc d d () d sec sec tan, (4) d csc csc cot d d 例. 求下列各導函數 : 4 () y sin ( ) [48 sin ( ) cos( ) () y sin cos4 [ 4sinsin4 + coscos4 () y sin 4 [ sin 4 8 cos 4 sin 4 (4) y sin + cos cos [ sin (5) y cos (5+) [ 5 sin(0+4) (6) y sin cos [ sin cos sin sin

15 (7) y sec sec [ ( tan + ) cos (8) y sin + + cos [ 例 4. 求下列各導函數 : sin cos + cos () y sin(+) [ cos(+) () y sin( ) [ 4cos( ) () y 5cos [ 0 sin (4) y cos( ) [ 6sin( ) (5) y sin 4 [ 4sin8 (6) y cos (5+) [ 45 cos (5+)sin(5+) (7) y sin [ sin + cos (8) y sincos [ sinsin+4coscos (9) y sin [ cos sin cos( ) 4 sin( ) cos( ) (0) y [ () y sin cos [ sin cos + sin () y sin 4 [ 4sin 4cos4 例 5. 求下列各導函數 : () y cos sin [ 4 sin cos 4

16 () y sin sin [ sin sin () y sin + cos sin cos (sin cos ) [ (4) y asin + bcos [ ( a b)sin asin + bcos ( + )cos + + (5) y sin + + [ + + sin (6) y + sin [ + sin 導數的應用切線問題. 幾何意義 ( 圖形 ) : f 在 y f () 的圖形以 P(a,f(a)) 為切點的切線斜率為 lim ( ) f ( a ) f ( a) a a 以 P(a,f(a)) 為切點的切線方程式為 y f ( a) f ( a)( a). 物理意義 : 若 g(t) 表示運動質點的速度函數 ( 瞬時速度 ) gt () ga ( ) 表示在時刻 t 與 a 之間的平均加速度 t a gt lim () ga ( ) 表示在時刻 a 的瞬時加速度 t a t a 若 f (t) 表示某運動質點的位移函數 f () t 表示運動質點的速度函數 ( 瞬時速度 ) f () t 表示運動質點的瞬時加速度函數 4 例. 過曲線 y 上一點 P(,4) 的切線方程式為 [4 + y 0 例. 過曲線 y + 上一點 P(,) 的切線斜率為 [ 例. 有一質點, 隨時間的位移函數為 St () t t, 求其在時刻 t 的位移, 速度, 加速度 [s(),v()6,a()6 5

17 例 4. 有一質點速度函數為 t, 求此質點在時刻 5 的瞬時加速度 [ 49. 例 5. 有一質點在時刻 t 的瞬時速度函數為 vt () 4 t 5, 求在 t 的加速度 [ 0 [ 作業. () f ( ) 在處的導數 f () [ 9 () f ( ) + + 在處的導數 f () [ 9 () f ( ) + 在處的導數 f () [ 4 (4) f ( ) + 5 在處的導數 f () [ 0 5 (5) f ( ) + 4 在處的導數 f ( ) [ 78 (6) f ( ) + 在處的導數 f () [ (7) f ( ) 在 0 處的導數 f (0) [ 0 + (8) f ( ) +, f () [ 5 5 (9) f ( ), f (8) [ f () c c f (). 設 f () 滿足 f(c)a, f (c)b, 求 lim c c [ c( a bc) f. f () 在 a 處的導數存在, 求 lim ( a+ ph ) f ( a+ qh) h 0 h 6

18 [( p q) f ( a) 4. () 求 y + 上以 P(,) 為切點的切線方程式 [4 y 0 () 求 y + 上以 P(,) 為切點的切線方程式 [ y () 求 y 上以 P(0,0) 為切點的切線方程式 [y (4) 求 y 上以 P(5,) 為切點的切線方程式 [ 4y + 0 (5) 過曲線 y 4 上一點 P(,) 的切線方程式為 [ + y 5 0 (6) 求 y 上以 P( 5, ) 為切點的切線方程式 4 4 [5 y 4 4 (7) 求 y 5 5 上以 P(4, 5 ) 為切點的切線方程式 [6+5y00 (8) 求過拋物線 y + + 外的點 P(,) 的切線方程式 [ y, 5 y (9) 求過拋物線 y + 外的點 P(,) 的切線方程式 [ y,8+y P 在軸上, 過 P 分別對曲線 y 與 y 作切線, 已知二切線互相垂直, 求 P [(,0) 6. 設圓之半徑隨時間而變化, 在 t 秒後該圓半徑 r t + t( 公尺 ), 求 t 時, 圓面積之增加率為 [ A () 40π m sec sin 當 0 7. () 設 f( ), 則 f ( ) 在 0 處是否可微分? 0 當 0 sin 當 0 () 設 g ( ) 0 當 0 [ 不可, 則 g ( ) 在 0 處是否可微分? [ 可 7

19 + 當 8. 設 f( ) a + b, 若 f () 存在, 求 a, b 當 > + [6, 9. 已知 f ( ), 則 () f () [ f ( ) 當 > 0 () f ( ) [ f ( ), f (0) 不存在當 < 0 0. 設二函數 f(),g() 滿足 f(+y)f()+g(y),, y R, () 試證 : f () 為定值 [ f ( ) g ( 0 ) 為定值 () 若 f (0), f (0), 求 g(5) [ 0. 有一質點的位移函數為 f () t t 4, 求此質點在時刻 t 的瞬時速度, 及瞬時加速度 [, () 試求函數 f ( ) 的導函數 [ ( + ) () 試求函數 f ( ) + 的導函數 [ + 8

20 微分公式微分公式 : n d n N, n, 即 f( ) f ( ) n d n n n 微分公式 : c 為常數, dc d 0 ; 即 f ( ) c f ( ) 0 微分公式 : n N, d n d n n n 即 f ( ) f ( ) n n n n 或 d n d n n n 或 f ( ) f ( ) n n 微分公式 4 : 若 f () 與 g () 是可微分函數且 f () + g () 也是可微分函數, d 則 d ( f ( ) + g( )) d d f ( ) + d d g ( ) 即 h ( ) f( ) + g ( ) h ( ) f ( ) + g ( ) 微分公式 5 : 若 f () 是可微分函數且 c 為常數, 則 d d ( cf( )) c d d f ( ) 即 g ( ) cf( ) g ( ) c f ( ) 微分公式 6 : 若 f () 與 g () 是可微分函數且 f ( ) g( ) 也是可微分函數, d 則 d ( f ( ) g( )) d d f ( ) d d g ( ) 即 h ( ) f( ) g ( ) h ( ) f ( ) g ( ) 微分公式 7 : 若 f () 與 g () 是可微分函數 d 則 d ( f ( ) g( )) g( ) d d f ( ) + f ( ) d d g ( ) 即 h ( ) f( g ) ( ) h ( ) f ( g ) ( ) + f( g ) ( ) 微分公式 8 : 若則 d ( d f () 與 g () 是可微分函數 d g f d f f d ( ) ( ) ( ) ( ) d g ( ) g ( ) ) ( g ( )) 9

21 f ( ) 即 h ( ) h ( ) g ( ) f ( ) g( ) g ( ) f ( ) ( g ( )) 微分公式 9 : ( 連鎖規則 ) 若 f () 與 g (y) 是可微分函數, 則合成函數 g f 也是可微分函數則 d d g( y) d f ( (( g f )( )) ) 即 ( g f ) ( ) g ( f ( )) f ( ) d dy y f ( ) d 例. 微分下列函數 : () f ( ) ( ). [ () f ( ) ( + ) ( + ) 5 4. [ 7 () f ( ). [ 5 + f 例. 已知 f ( ) + 5, 則 lim ( ) f ( ) [ 4 例. 已知 f ( ) + +, 求 f (), [ 4 4 f () [ 例 4. n N, f ( ) n, 求 ( n) f () f () f () f () f () !!! n! [ n 例 5. 試求下列函數之導函數 f ( ) + + [ () ( )( ) () f ( ) ( )( )( + ) () f ( ) 5 [ [ ( + ) 例 6. f ( ), 求 f () ( ) [ + ( + ) 例 7. f ( ), 求 f () ( 0) [ 當 >0, f (); 當 <0, f () 0

22 連鎖規則 : ( ) 例 8. f ( ) 4+, 求 f () [ ( 4 ) ( ) + 4 例 9. f ( ) ( + ) f [ ( + ) ( + ), 求 () 4 例 0. f ( ) ( + ) 5, 求 0 f () [ ( ) + 切線與法線 : n n 設 f ( ) an + an a+ a0 其圖形上任一點之斜率函數為 f (a) () 過圖形上 P( 0, y0) 之斜率為 m f ( 0 ) 切線為 L : y y0 f ( 0)( 0 ) () 法線為 L': y y0 0 f ( 0 ) ( ) 其中 f ( 0 ) 0 若 f ( 0 ) 0, 則法線為 0 ( 鉛垂線 ) [ 作業. 試求下列函數之導函數 4 4 () f ( ) + [ () f ( ) [4 + 5 () f ( ) + 5+ [ (4) f ( ) ( + )( + ) [ + 0 (5) f ( ) ( + )( + )( + ) 5 4 [ (6) f ( ) ( 4 ) [ 8 ( )

23 (7) f ( ) + [ + ( + ) + (8) f ( ) + + [ + + ( + ) (9) f ( ) ( + + ) [ + + (0) f ( ) + 5 [ ( + ) ( 5). 試求下列函數之導函數 () f ( ) + 5 [6 + 5 () f ( ) [ + 7 () f ( ) 5+ ( ( ) (4) f ( ) + + ) [ ( ) (5) f ( ) ( + + )( + ) [ 46 ( )( ) [ (6) f ( ) ( + )( + + ) (7) f ( ) [ ( ) ( ) [( )( ) (8) f ( ) ( + )( 4 ) [( 4 ) ( 6 ) (9) f ( ) ( + )( )( + ) [ (0) f ( ) ( )( + )( ) 5 7 [

24 () f ( ) [ + ( + ) () f ( ) + + [ ( + + ) () f ( ) [ ( + + ) (4) f ( ) [ ( + ) 7 (5) f ( ) ( ) + 4 ( 7)( + 4+ ) [ ( + 4) (6) f ( ) ( 7 ) [ ( 7) ( 9 49) (7) f ( ) ( ) [ 8 4 (8) f ( ) + + [ (+)( + ) (9) f ( ) [ f ( ) [ (0) ( ) () f ( ) + + [ ( ) + + ( ) () f ( ) [00 + +

25 + + 4 () f ( ) [ [ ( + + ) (4) f ( ) ( + + ). 求過點 P( 6,9), 對曲線 y 所作之切線方程式 [ y 6 4, y 54 08, 7 7 y f 4. f ( ) + +, 求 lim ( + h ) f ( h) h 0 h 0 5. 點 P(, b) 在曲線 Γ : y 上, 過 P 之切線 ym+k, 則 b,m,k [ 8, 509, 求函數 f ( ) 圖形上, 斜率最大之切線方程式, 及切點 [y 9,(,8) 7. 二曲線 y + a+ b 與 y + c ( a, b, c R) 相交於點 P(, ), 且過 P 之切線相同, 求 a, b, c 及此公切線 8. 設直線 y 與曲線 y + a相切, 求 a 值, 及切點 ( + ) ( + )( + ) ( + )( + )( + ) 9. 設 f( ) !! 4! ( + )( + )( + )( + 4) 則 f ( ) [ 5! 5 0. 設 deg f ( ) 5, f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0, f ( 4) 求 f ( 0 ), f () [ 8 8, 4. 試求在 y 的圖形上, 以那些點為切點, 所作的的切線 4

26 可通過 (,0) [(,), (, ), (, ) 8. ( ) 0 f( ) a+ b+ + 4 且 f(0), f (0) 0, 求 f (0), a,b [ a, b, f (0)870 ; a, b, f (0)750. 求曲線 y 與 y + 的公切線方程式 k( ) 4. 設 f ( ) 且 f ( ) ( )( ) ( ) ( ), 求 k() [ 求過曲線 y 上一點 P(,) 的切線方程式 [ y 設 f ( ) 為多項函數, R, f ( ) f ( ) 0 恆成立, 且 f () 0, 求 f ( ) [ 若 f ( ), 求 f () [ f ( ) ( + ) 8. 設 f ( ) + a+ b, 若 f ( f ( )) + f ( f ( )), 求 f ( ) [ t 9. 曲線 y f( ) 的參數式為 + t t y + t dy t t R, 求 [ d t 0. 可微分函數 y f( ) 隱含於方程式 + y+ y 5中, 若 y > 0, 求 f () [ 4 5 5

27 . 求曲線 y + y 48 上, 以 P(4,6) 為切點的切線方程式 [ 6+5y44. 求 f ( ) cos在 π 處之切線方程式 4 π [ + y + 4. 設 f ( ) 為多項式且 α 為 f( ) 0之 k 重根, 求證 α 為 f ( ) 0之 k 重根其他例. 如圖 AB BC 4 AD 7 BAC θ, 點 C 在 AD 上移動, 求 lim CD θ 0 θ 例. 平面上 a b, a 與 b 的夾角為 θ, 則 a + b a + b lim θ 0 θ 例. 面積為的正 n 邊形之周長為 Ln ( ), 則 () Ln ( ),( 用 n 表示 ) () lim L( n ) n, a 與 b 的夾角為例 4. 平面上 a b a + b a lim 0 π, 則 4 [ 例 5. 直角 ABC 中, B 90, AB 7, 自 B 作 BP AC於 P, 設 A 則 BC BP 7 lim [ 0 6

28 例 6. 設 f( ),[ 表高斯函數, 求 f ( ) 之不連續點例 7. 例 8. 例 9. 當 f( ), 求證 f ( ) 在處不連續當 k + 4k 當 f( ), 若 f ( ) 在處連續則 k 當 sin 當 0 f( ), 若 f ( ) 在 0 處連續則 k k 當 0 n + a + b 例 0. ab, R, 若 f( ) lim 為連續函數, n + 求 a,b 7

29 極大值與極小值. 最大值 : 最小值 : 極大值 : 極小值 : 導數的應用說明 :() 最大值又稱為絕對極大值, 最小值又稱為絕對極小值極大值也稱為相對極大值或局部極大值 () 最大值一定是極大值 ; 但極大值不一定是最大值 () 最大值與最小值最多只能各有一個 ; 但極大值與極小值可能有很多個 (4) 最大值一定比最小值大 ; 但極大值卻不一定比極小值大. 定理一 : 若函數 f () 在 a 處有極值, 且 f () 在 a 處可微分, 則 f (a) 0. 函數 f () 的極值只可能出現在下列三種情形 : () 滿足 f (a) 0 的點 a 有水平切線 () f () 不可微分的點例如折點或不連續的點 () f () 的定義域的端點 4. 定理二 : 函數 f () 在 a 點附近的各點都可微分, 且 f (a) 0 () 若在 a 點附近, 當 <a 時, f () >0; 當 >a 時, f () <0, 則 f () 在 a 處有極大值 () 若在 a 點附近, 當 <a 時, f () <0; 當 >a 時, f () >0, 則 f () 在 a 處有極小值 5. f () 是可微分函數, 若 f (a) 是極值, 則 f (a) 0; 但 f (a) 0, f (a) 不一定是極值, 可能是反曲點 8

30 6. f () 是可微分函數, 且 f (a) 存在 () 若 f (a) 0, f (a ) >0 f (a) 是極小值 () 若 f (a) 0, f (a ) <0 f (a) 是極大值 () f (a ) >0 表示凹口向上 (4) f (a) <0 表示凹口向下 () f (a) 0 表示反曲點多項函數的極值例. 求 f ( ) 的極大值與極小值 [ 7, 5 例. 求 f ( ) ( ) 的絕對極大值與絕對極小值 [ 8, 練習題 () 求 f ( ) 9 的極大值與極小值 [ 5, 7 () 求 f ( ) 9 ( 4 4) 絕對值型與離散型函數 : 畫出圖形觀察之注意折點不連續之點端點例. 求函數 f ( ) + 的極值 5 + < 例 4. 函數 f ( ) < + 0 < 4 求 f () 的極大值極小值最大值與最小值的絕對極大值與絕對極小值 [ 5, 76 練習題 () f ( ) + +, 試求 f () 之極值及對應之值 [ 時有極小值 9

31 + 4 < () f ( ) + < 試求 f () 之極值 + 0 < [ 時有極小值, 時有極大值,0 時有極小值有理函數的極值例 5. 求 f ( ) 之極值 [ 極大值, 極小值 + 6 練習題 : () 求 f ( ) 之極值 [ 極大值 + f ( ), 極小值 f ( ) () 求 f ( ) + 之極值 [ 極小值 f ( ), f () () 求 + f ( ) 之極值 [ 無極值無理函數的極值 : 注意之範圍限制例 6. f ( ), 試求 f () 之最大值最小值及對應之值 [ 時最大值為, 時最小值為練習題 : 求下列各函數之極值 () f ( ) [ 時有極小值, 時有極大值 0 () f ( ) + [ 時有極小值 () f ( ) [ 4 時有極大值 0, 4 時有極小值 6 [ 4 時有極小值 0, 4 時有極大值 6 f ( ) 例 7. 三次函數 f (), 在處有極小值 4, 且 lim, 求 f () 0 [ 5 6 0

32 例 8. 三次函數 f () 的圖形在處的切線為 y 4, 在處有極小值 67 7, 求 f () 與極大值 [ f ( ) , 極大值為 7 練習題 : () 三次函數 f ( ) a a + 4a, 在處有極大值, 則 a, 當時, f () 有極小值 [,, 9 () 三次函數 f () 的圖形在處的切線為 8 + y 0, 且在極大值 56, 求 7 [ f () 處有應用問題注意範圍限制例 9. 點 P(,) 到拋物線 y 的最短距離為 [ 6 4 練習題拋物線 y 上一點 P,O 為原點, 當 P 為時,OP 有最小值 [ (, ), 4 45 例 0. 半徑為 r 之球, 其內接直圓錐體之最大體積為 [ r 8 π 例. 半徑為 0cm 之球, 其內接直圓柱體有最大體積時, 此時底半徑為, 高為 [ 0 6 0, 練習題 : () 有一直圓錐, 底半徑為 4, 高為, 其內接直圓柱體之最大體積為. 56 [ π 9 () 邊長 8cm 的正方形硬紙板, 四角各截去一個全等的小正方形, 摺成一個無蓋之紙盒, 求此紙盒之最大容積為 cm [ 4

33 函數圖型的描繪一描繪函數圖形的步驟 :. 求出極大值與極小值. 決定圖形上升下降的變化狀況. 利用圖形彎曲方向的變化情形描繪出圖形的大略形狀二遞增函數與遞減函數 : 函數 f () 在 (a,b) 內的每一點都可微分,. 若 f () 在 (a,b) 內每一點的導數都是負數, 則 f () 在 (a,b) 上為遞減函數. 若 f () 在 (a,b) 內每一點的導數都是正數, 則 f () 在 (a,b) 上為遞增函數三凹口方向 :. a 時, 凹口向上 P 點沿曲線 y f () 運動時, 在 ( a, f ( a)) 處向左彎在 ( a, f ( a)) 處之切線斜率隨 a 之增加而增加 f () 在 a 附近為增函數 f (a) >0. a 時, 凹口向下 P 點沿曲線 y f () 運動時, 在 ( a, f ( a)) 處向右彎在 ( a, f ( a)) 處之切線斜率隨 a 之增加而減少 f () 在 a 附近為減函數 f (a) <0. 反曲點 ( 拐點 ) () 函數 y f () 在 ( a, f ( a)) 處附近, 若 <a 時 f () 的凹向與 >a 時 f () 的凹向相反, 則點 ( a, f ( a )) 稱為 f () 的一個反曲點 () f (a) 0, 則在 a 處為反曲點四判斷極大值與極小值 : 函數 f () 在 a 點附近都可微分, 且 f (a ) 存在 () f (a) 0, f (a ) <0, 則 f () 在 a 處有極大值 () f (a) 0, f (a ) >0, 則 f () 在 a 處有極小值

34 五三次函數的圖形 : f ( ) a + b + c + d () a>0 () a< f ( ) a + b + c + d f ( ) a + b + c f ( ) 6a + b 方程式 f ( ) 0 可能有相異兩實數解, 一實數解或無解方程式 f ( ) 0 恰有一解. 各種情形如下 :( 參考上圖 ) () 方程式 f ( ) 0 有相異兩實數解方程式 f ( ) 0 恰有一解 () 方程式 f ( ) 0 有等根方程式 f ( ) 0 恰有一解 () 方程式 f ( ) 0 無解方程式 f ( ) 0 恰有一解

35 例. 討論下列函數的遞增遞減情形 () f ( ) [ 或遞減遞增 () f ( ) [ 或遞增遞減 () f ( ) + 5 [ 或 0 遞增 0 遞減 (4) f ( ) + + 重點 : 假分式時先化為帶分式導數比較好計算 [ - 或遞增 - <- 或 -< 遞減練習題 :. 試證 : f ( ) + 5 為遞增函數. a 為實數, 試證 : f ( ) a a 為遞減函數 6 例. 討論下列函數的凹向情形 () f ( ) [ >- 凹口向下, <- 凹口向上 () f ( ) + 4 [ <,0 < < 凹口向上, < < 0, > 凹口向下練習題 :. f ( ) [ 凹口向上例. 試描繪下列函數圖形 () f ( ) () f ( ) + 4 4

36 例 4. 設 f ( ) () 求 f () 的定義域 [ { - } () 求 f () 與 f ( ) () 討論 f () 的增減情形與凹向, 並畫出圖形 (4) 求 f () 的極值, 及其對應的值練習題. 設 f ( ) () 求 f () 的定義域 () 求 f () 的極大點坐標 () 求 f () 的反曲點坐標 (4) 討論 f () 的增減情形與凹向, 並畫出圖形重點 : 三次函數的圖形對稱於反曲點即反曲點是三次函數圖形的對稱中心例 5. 曲線 y + 的對稱中心是 [ (/, /7) 重點 :deg f () 若函數 f() 沒有極值方程式 f ()0 沒有兩個相異的實數解方程式 f ()0 的判別式 D 0 例 6. () 函數 f ( ) 8 k 6無極值, 求 k 之範圍 [ k -64/ () 函數 f ( ) + + a 無極值, 求 a 之範圍 [ a () 函數 f ( ) + a + ( a + ) + 有極大值與極小值, 求 a 之範圍 [ a<- 或 a> 5

37 例 7. 三次函數 f ( ) a + b + c + d 的圖形如右試判別 a,b,c,d 之正負 [ a>0,b>0,c<0,d<0 練習題 :. 三次函數 f ( ) a + b + c + d 的圖形如右, 試判別 a,b,c,d 之正負 [ a<0,b<0,c>0,d>0. 三次函數 f ( ) a + b + c + d 的圖形如右, 試判別 a,b,c,d 之正負 [ a>0,b>0,c>0,d>0. 三次函數 f ( ) a + b + c + d 的圖形如右, 試判別 a,b,c,d 之正負 [ a<0,b<0,c<0,d>0 重點 :degf() () 若 f()0 有二正一負根 yf() 的圖形與軸有三個交點, 且有二個交點在正向, 一個在負向 ()f(a) 與 f(b) 為 f() 的極值, 且 f()0 有三個相異實根 f(a)f(b) < 0 6

38 例 k 0 有相異二正一負根, 求 k 之範圍 [ 0<k<8 例 9. 求 + a + b 0 有相異三實根的條件 [ 4a +7b < 0 例 a 0 有相異二實根, 二虛根, 求 a 之範圍 [-8<a<9 或 a<- 例. a 0 有相異二正一負根, 求 a 之範圍 [-4/7<a<0 練習題 : k 0 有相異二正一負根, 求 k 之範圍 [-5<k<0. a 0 有相異二正一負根, 求 a 之範圍 [-4<a< a 0有四個不等的實根, 求 a 之範圍 [-/6<a<0 4. 試判別 a 0 的正根與負根之個數 [ 二正一負 7

39 圓錐曲線的切線與法線. 利用隱函數的微分求切線函數 yg(), 切點 (a.f(a)), 則切線 : y f ( a) f ( a)( a). 已知切點求切線一個變, 一個不變圓錐曲線 : 一般式 a + by + cy + d + ey + f 0 切線 a b y y cy y d e y y f 0 y 規則 : 0, y 0 + y 0 yy 0, y, + 0 y y+ y 0, 常數項不變,. 已知斜率 m, 求切線方法一判別式法設切線 y m + k 相切判別式 D0, 可求得 k 方法二公式法代入二次式中圓拋物線橢圓雙曲線 ( ( ( 曲線方程式切線方程式 +y r y m ± r + m (-h) +(y-k) r y k m( h) ± r + m y 4a 4ay (y-) 4a(-h) (-h) 4a(y-k) a h) a a y m + m y m am a y k m( h) + m y k m( h) am y + y m ± m a + b b ( y k) + b y b y k m( h) ± m a + b y m ± m a b a b h) a k) b y y m ± m a + b a ( y k) b ( h) a y k m( h) ± m a b y y k m( h) ± m a + b 8

40 4. 過曲線外一點 P( 0,y 0 ), 求切線方法一判別式法設切線 y y0 m( 0 ) 代入二次式中相切判別式 D0, 可求得 m 缺點 : 無法得知切點坐標方法二設切線斜率為 m 由公式法可寫出切線方程式 L P 在 L 上,P( 0,y 0 ) 代入, 可求得 m 缺點 : 無法得知切點坐標方法三利用一個變, 一個不變設切點為 A(,y ) 利用一個變, 一個不變, 可寫出切線方程式 L P 在 L 上,A 在曲線上, 代入解聯立, 可求得,y 優點 : 可得知切點坐標 5. 圓錐曲線的光學性質 () 過拋物線上任意點的切線與過此點的焦半徑所夾的銳角等於此切線與過此點而平行於拋物線之軸的直線所夾的銳角 () 橢圓的任意切線與過切點的兩焦半徑所夾的銳角相等 () 雙曲線的任意切線與過切點的兩焦半徑所夾的銳角相等 9

41 例. 求過拋物線 4 y 上一點 P(,-) 的切線方程式 [ +y- 例. 求過 A(,-) 而與圓 + y 5 相切的直線方程式 [ -y5 or +y5 例. 求點 (,-) 關於 y y + y 0 的切線與法線方程式 [ +y-0, -y-0 例 4. 不論 a 為任何實數, 拋物線 y ( a + ) + a + 8a 恆與一條直線 L 相切, 求 L 的方程式為 [y-6 例 5. 求過點 (,-) 且與橢圓 Γ: + y + 4 y 6 0 相切的直線方程式, 切點及法線 [ 4+y-60,(,),-4y+70 ; y+0,(-,-),+0 重點 : 欲求切點, 先設切點, 再利用一個變, 一個不變例 6. 橢圓 + y 4 9 在直線 +y-0 上之射影長為 [ 4 40

42 例 7. 求橢圓 + y 4 與拋物線 y 4 之公切線方程式 [ y +, y 證明題例 8. 設 P ( 0, y0) 為曲線 a + by + cy + d + ey + f 0 上一點, 則過 P 的切線為 a b y y cy y d e y y f 0 例 9. 試證 : 橢圓之兩焦點到其任一切線的距離乘積為一個定值例 0. 過拋物線上任意點的切線與過此點的焦半徑所夾的銳角等於此切線與過此點而平行於拋物線之軸的直線所夾的銳角例. 橢圓的任意切線與過切點的兩焦半徑所夾的銳角相等 4

43 例. 設過雙曲線上任一點 P 的切線與其兩條漸近線相交於 Q R 兩點, 試證 : PQ PR 例. 設過雙曲線上任一點 P 的切線與其兩條漸近線所圍成的三角形的面積為一個定值, 試證之 4

函數的極大極小應用

函數的極大極小應用極大值與極小值第二章導數的應用 1. 最大值 : 最小值 : 極大值 : 極小值 : 說明 :(1) 最大值又稱為絕對極大值, 最小值又稱為絕對極小值極大值也稱為相對極大值或局部極大值 () 最大值一定是極大值 ; 但極大值不一定是最大值 (3) 最大值與最小值最多只能各有一個 ; 但極大值與極小值可能有很多個 (4) 最大值一定比最小值大 ; 但極大值卻不一定比極小值大. 定理一 : 若函數