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因傅
7 years ago
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1 試題設 A(1,,), B(4,, 1), C(, 1,5),若 ABCD 連成一平行四邊形,則 D 之坐標為何? 編碼難易易出處康熹自命題解答 ( 1,,9) 設 D(x, y, z),則 AD BC (x 1, y, z ) ( 4, 1,5 (1)) x 1 x 1 y 4 y, D( 1,,9). z 6 z 9 設 A(4,,), B(, 1,4), C(1,4,0),若 B-P-C 依序共線,且 BP : PC 1:, A-Q-P 依序共線,且 AQ : QP :,則(1)P 點. ()Q 點的坐標各為何? 編碼難易易出處康熹自命題解答 (1)P( 5,, 8 );()Q( 46 15, 1 15, 4 15 ) (1)P( 1 1, ( 1) 1 4, ) ( ,, 8 ). 5 4 ()Q(, 8, ) ( 46 15, 1 15, 4 15 ). 設 A(4,1,), B(6,,4), C(4,5,6) 為空間中三點,若 ABC 中, A 的分角線交 BC 於 D 點,外角平分線交直線 BC 於 E 點,求 (1) D 點. () E 點之坐標. 編碼難易中出處康熹自命題解答 (1)D( 1 4, 15 4, 19 4 );()E(9, 0, 1) AB (6 4) ( 1) (4 ), AC (4 4) (5 1) (6 ) 5, (1) 設 D 點坐標為 (x 1, y 1, z 1 ), BD AB A 之分角線交 BC 於 D,, DC AC 由內分點公式 x1, y 1, z 1,

2 D(,, ). () 設 E 點坐標為 (x, y, z ), E 是 A 之外角平分線與直線 BC 之交點, BE AB, E-B-C, EB: BC :, CE AC 5 x 4 y 5 z 6 由內分點公式 6,, 4, x 9, y 0, z 1,故 E(9,0,1). 在空間中有三個點 A(0,6, 6), B(6, 6,0), C( 6,0,6),試求以 ABC 為一面的正四面體 ABCD 的另一頂點 D 之坐標 ( 兩解 ). 編碼難易中出處康熹自命題解答 (4, 4, 4 ) 或 ( 4, 4, 4 ) 設 D 點坐標為 (x, y, z),則 DA DB DC AB , DA x y z DB x y z DC x y z 6 6 ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) ( 6) 6 6 x y z ( 6) ( 6) 16 ( x 6) ( y 6) z 16 ( x 6) y ( z 6) 16, 得 1x 4y 1z 0 x y z 0, 得 4x 1y 1z 0 x y z 0, 得 x y 0 x y 代入得 x y z 代入,得 x 144 x 48, x 4 x y z 4,故 D 點坐標為 (4, 4, 4 ) 或 ( 4, 4, 4 ).在空間坐標中,設 xy 平面為一鏡面,有一光線通過點 P(1,,1),射向鏡面上的點 O(0,0,0),經鏡面反射後通過 R,若 OR OP,求 R 的坐標. 編碼難易中出處康熹自命題解答 (, 4,)

3 解法一因入射角等於反射角,故反射線必與入射線的延長線關於鏡面成對稱,設 P 關於 O 之對稱點 P, P 關於 xy 平面的對稱點 Q,則 OR OQ,又 P( 1,, 1), Q( 1,,1), OR OQ (, 4,),即 R 的坐標為 (, 4,). 解法二 P(1,,1) 關於平面 z 0 的對稱點 A(1,, 1),則 OR AO (, 4,). AB 之長為 5,此線段在 xy 平面, yz 平面上之正射影長分別為 19, 1,求此線段在 zx 平面上之正射影長. 編碼 1406 難易中出處康熹自命題解答 10 設 A(0,0,0), B(x, y, z), B 在 xy 平面上之正射影坐標為 B 1 (x, y, 0), B 在 yz 平面上之正射影坐標為 B (0, y, z), B 在 zx 平面上之正射影坐標為 B (x, 0, z), AB 5 19 AB 1 由 AB1 x y z x y y z , 得 y 15,代入得 x z 10, AB 在 zx 平面上之正射影 AB 長 x z 10. 如下圖,一長方體 ABCD-EFGH,已知 AE 1, AB, AD 5,求 : (1) 一隻螞蟻從 F 點爬到 D 點,其爬行所經最短的距離. () 一隻蚊子從 A 點飛到 G 點,其飛行所經最短的距離.

4 編碼 1406 難易中出處康熹自命題解答 (1) 41 ;() 5 (1) 考慮把平面 BCGF 與 CGHD 攤平 ;FGCB 與 CDAB 攤平,如附圖, 則爬行側面之最短路線長為 1 (5 ) 65, 爬行向上之最短路線長為 5 (1 ) 41, 所求最短路線長為 41. () 飛行所經最短路線長就是對角線 AG 之長空間中一 AB 在水平面之正射影長為 6,在一鉛直面上之正射影長為 8,令 AB 的最大值為 M,最小值為 N,則 (M, N) 為何? 編碼難易中出處康熹自命題解答 (M, N) = (10,8) (1) 設 A 表原點 (0,0,0), B(x, y, z),如下圖, AB 在水平面之正射影長為 6,在鉛直面之正射影長為 8, AC 6, AH 8 x y 6, y z 8 x y 6, y z 64, x y z 100. () x 0, y 0, z 0, 6 y 0,64 y 0 0 y 6. () x y z 100, x y z 100 y AB x y z 100 y,

5 0 y 6, y y 10, 8 AB 10,故 AB 長的最大值為 10,最小值為 8,則 (M, N) = (10,8).有一隻小螞蟻在建立了直角坐標系的空間中在斜坡上順著向量 v 爬行,向量 v (, 1,),起始點的位置是 (1,,).在此直角坐標系裡, x, y, z 軸上的一單位皆代表一公分長,小螞蟻每分鐘爬行 99 公分.若爬行方向不變,則小螞蟻 5 分鐘後的位置在哪裡? 以坐標表示,不必寫出單位. 編碼難易中出處北一女中段考題解答 ( 9, 16,) v (, 1, ) 1 (,, v )( 單位向量 ),小螞蟻共爬了公分, 1 所求 (1,,) 495(,, ) ( 9, 16, ). ABC 的三邊 BC, CA, AB 上各取一點 D, E, F 使 BD CD, CE AE, AF BF,已知 A(1,6,8), B( 4,11,), C(5,,0),求 DEF 的重心坐標. 編碼難易中出處康熹自命題 14 解答 (0, 7, ) BD CD, CE AE, AF BF 利用內分點公式, O(0,0,0), BD 1, CE, AF, CD AE 1 BF OD = OB + 1 OC ( 4, 11, ) 1 (5,, 0) ( 1, 8, ), ( 1, 8, ) D, OE = 4 OA OC (1, 6, 8) 1 (5,, 0) (, 5, 6), E (, 5, 6), 4 4 OF OA OB (1, 6, 8) ( 4, 11, ) ( 1, 8, 6), F( 1, 8, 6), 又 OG = 1 ( OD + OE + OF ) (0, 7, ),故 DEF 的重心 G 的坐標為 (0, 7, ).

6 下圖為一平行六面體, DP: PE :, OP 與平面 ABC 交於 Q,若 OQ x OA yob z OC, x, y, z,求 (x, y, z). 編碼難易中出處康熹自命題解答 ( 5 1, 1, 5 1 ) O, Q, P 共線, OQ r OP, r, 又已知 DP: PE :,由內分點公式知: OQ r OP r ( OD OE) r OD r OE ( ) r OA OC r( OA OB OC) r OA r OB r OC, Q, A, B, C 共平面 r 5 r r 1,得 r 5 1, OQ 5 OA OB 5 OC,即(x, y, z) ( 5,, 5 ) 坐標空間中, P( 1,, 5), Q(, 1, 7 ), R(0, 4, ),求 PQR 的最小邊長. 編碼難易易出處教冊題解答 5 PQ ( 1) ( 1 ) ( 7 5) 169 1,

7 QR (0 ) (4 1) ( 7) 45 5, PR (0 1) (4 ) ( 5) 66, 故最小邊長為 QR 5. 已知一正四面體,其三頂點坐標分別為 (0, 0, 0), (, 0, 0), (1, 1, ),試求另一頂點坐標. 編碼難易中出處教冊題解答 (1, 1, ) 或 (1, 5, ) 設另一頂點坐標 (a, b, c),則由正四面體知,它與原有三點的距離都等於, a b c 4 即 ( a ) b c 4,易得(a, b, c) (1, 1, ) 或 (1, 5, ). ( a1) ( b1) ( c ) 4 坐標空間中, O(0, 0, 0), A(, 1, ), B( 1, 4, 7 ), (1) OA, AB, BA 的坐標. () 設 AC (5, 0, ),求點 C 的坐標. 編碼難易易出處教冊題解答 (1) OA (, 1, ), AB (, 5, 4), BA (, 5, 4 );()C(7, 1, 1) 設 a (,, 1), b (4, 1, ), c ( 1, 1, ), (1) 求 a b, a c. () 求 a b, b c. 編碼難易易出處教冊題解答 (1) a, ) b (7, 1, 1), a c (,, 1 );() a b ( 1,, ), b 設 ABCD 為一平行四邊形,且 A ( 1,, ), B (, 1, ), C (1, 1, 0), c (5, (1) 求 D 的坐標. () 求 AC BD.

8 編碼 1407 難易易出處教冊題解答 (1) D(,, 1);()( 4, 0, 4 ) 設 a (,, 1), b ( 5, 6, ), c ( 1, 1, 1), (1) 求 a b 4 c. () 設 A (,, ),且 AB a 4( b c ) 5( a c ),求 B 的坐標. () 設 a ( b c ) 4( a d ) c 0,求 d. (4) 設向量 P (, 5, ) 且 P x a y b z c,求實數 x, y, z 之值. 編碼 1407 難易易出處教冊題解答 (1)( 7, 18, 11);() (, 4, 0);() ( 5, 9 4, 9 8 );(4) x 9, y 4, z 1 設 A(, 1, 4), B(4,, 6), C(6, 5, 4),若 A 的角平分線交 BC 邊於 D,試以 AB, AC 的線性組合表示 AD. 編碼難易中出處教冊題 5 解答 AD AB AC BD : CD AB : AC :5,故 AD AB AC. 8 8 坐標空間中, A(, 1, 0), B(4,, ), C( 1, 5, ), (1) 求 AB 的中點坐標. () 設 D 在 AC 上,且 AD : DC = :,求 D 的坐標. () 求 ABC 重心坐標. 編碼難易中出處教冊題解答 (1)(, 1, 4 );()( 5, 7 5, 4 5 );()( 5, 7, 1 ) (1) AB 的中點坐標 ( 4 1 0,, ) = (, 1, ).

9 () 設 O(0, 0, 0),則 OD OA OC (, 1, 0) ( 1, 5, ) = ( , 7 5, 4 5 ). () ABC 的重心 ( ,, ) = (, 7, 1 ). 設 OA (1, 1, 0), OB (0, 1, 1), OC (1, 0, 1),試以 OA, OB, OC 的線性組合表示向量 p (1, 1, 1). 編碼難易中出處教冊題解答 p OA OB OC 設 p xoa yob zoc,即(1, 1, 1) x (1, 1, 0) y (0, 1, 1) z (1, 0, 1), x z 1 1 可得 x y 1,即 x y z,故 x, y 1, z 1, y z 1 即 p OA OB OC. 設 a (, 0,1), b (,,1), c (, 1, ),試求 a b c. 編碼難易易出處習作題解答 (8, 4,1) a b c (9, 0, ) (,,1) (, 1, ) (8, 4,1). 設 A (5,, 4), B(, 1, 7), P 是 AB 上一點,且 AP : PB :1,試求 P 的坐標. 編碼難易中出處習作題解答 (, 0, 6) 因 AP B 且 AP : PB :1, 設 P( x, y, z ),由分點公式得 15 x, ( 1) 1 y 0, 7 1 z 4 6, 知 P (, 0, 6).

10 設 A (5, 0,1), B( 4,, 0).若 ABC 的重心 G (1,,1),試求 C 的坐標. 編碼難易中出處習作題解答 (,, ) 設 C( x, y, z ),由重心性質可知 54x 0 y 10z 1,, 1,得 C (,, ). 在空間中 A (1,, ), B (, 5, ), C (, 6, 4),已知有 D, E, F 三點分別與 A, B, C 構成一平行四邊形,試求 D, E, F 的坐標. 編碼難易中出處習作題解答 D (1,, 4), E (1,1, ), F (, 9, 4) AD BC,得 D (1,, 4). AE CB,得 E (1,1, ). BF AC,得 F (, 9, 4). 如圖是邊長為的正四面體, P (0, 0, 0), A (1,1, 0), B (1, 0,1), C (0,1,1),試求: (1) AB 中點 M 及 PC 中點 N 的坐標. () 兩歪斜線 AB 與 CP 的距離 MN. 編碼難易中出處習作題解答 (1) M (1,, ), N (0,, ) ;()1

11 1 1 (1) M (1,, ) () MN 1., N 1 1 (0,, ). 如圖是邊長為的正四角錐, P (0, 0,1), A (1, 0, 0), B (0,1, 0), C( 1, 0, 0), D(0, 1, 0),試求: (1) AC 中點 Q 的坐標. () 正四角錐的高 PQ. 編碼 1408 難易中出處習作題解答 (1) Q (0, 0, 0) ;()1 (1) Q (0, 0, 0). () PQ 1. 設 a (, 1, 6), b (1, 0, ), t 為實數,試求 : (1) a t b 的坐標表示法. () a t b 的最小值. 編碼 1408 難易難出處習作題解答 (1) ( t, 1, 6 t) ;() 1 (1) a t b (, 1, 6) t(1, 0, ) ( t, 1, 6 t),得 a t b ( t, 1, 6 t). () a t b ( t) ( 1) ( 6 t) 5( t ) 1 1. 在空間坐標中,設 xy 平面為一鏡面,有一光線通過點 P (1,,1),射向鏡面上的點 O (0, 0, 0),經鏡面反射後通過點 R,若 OR PO,試求 R 點的坐標. 編碼難易中出處習作題解答 (, 4, )

12 P 對 xy 平面的對稱點 P(1,, 1), OR PO ( 1,,1) (, 4, ),知 R (, 4, ). 有一塊邊長為 10 公分的正立方體積木,積木上有兩條對角線 AB 與 CD,試求這兩條線的距離. 編碼難易中出處習作題解答 10 設 A (0, 0, 0), B (10, 0,10), C (10,10, 0), D (0,10,10), AB 的中點 M (5, 0, 5), CD 的中點 N (5,10, 5),得 MN 10 公分. 空間中點 P( a, b, c ),其中 a, b, c 皆為正整數,若 OP,試問所有點 P 的個數. 編碼難易中出處習作題解答 9, OP a b c 因正整數的平方可能為 1,4,9,, 知 1 9, 1 9, 1 9, P (1,, ), P (,1, ), P (,,1),共有個. (1) 空間坐標系中,所有 x 坐標為 1 的點形成的圖形為何? () 空間坐標系中,所有 x 坐標為 1,且 y 坐標為的點形成的圖形為何? 編碼難易易出處課本題解答 (1) 一個平面,此平面過點 (1, 0, 0) 且垂直於 x 軸 ;() x 坐標為 1, y 坐標為的所有點形成的圖形 (1) 由坐標的定義可知,所有 x 坐標為 1 的點形成一個平面, 此平面過點 (1, 0, 0) 且垂直於 x 軸. () x 坐標為 1 的所有點形成垂直 x 軸於點 (1, 0, 0) 的平面, y 坐標為的所有點形成垂直 y 軸於點 (0,, 0) 的平面, 這兩個平面的交線過點 (1,, 0) 且垂直 xy 平面,

13 此直線即 x 坐標為 1,且 y 坐標為的所有點形成的圖形. 空間坐標系中,已知 ABC 中, A(, 1, 4), B( 1,, 8), C( 10,, 0),問 ABC 是否為等腰三角形? 編碼難易易出處課本題解答是 AB ( 1) ( 1 ) (4 8) BC ( 110) ( ) ( 8 0) 146. AC ( 10) ( 1 ) (4 0) AB AC,故 ABC 為等腰三角形. 設 P(, 4, 6),求點 P 到 z 軸的距離. 編碼難易易出處課本題解答 5 點 P 在 z 軸上的投影點為 Q (0, 0, 6), 故點 P 到 z 軸的距離為 PQ ( 0) ( 4 0) (6 6) 5 5. 設坐標空間中三點 A(, 1, ), B(0,, 5), C( 4,, 1),已知 ABCD 是平行四邊形,求點 D 的坐標. 編碼難易中出處課本題解答 ( 1, 6, 8) 設 O 為原點,則 OD OC CD OC BA ( 4,, 1) (,, 7) ( 1, 6, 8), 故點 D 的坐標為 ( 1, 6, 8). 在坐標空間中,設 a (, 5, ), b (6, 1, ), c (0, 4, ),已知 a b c v,求 v 的坐標. 編碼難易易出處課本題

14 解答 (4, 8, 1) 將原等式移項,得 v c a b (0, 4, ) (, 5, ) (6, 1, ) (4, 8, 1). 設 a (1,, ), b (, 1, ),已知 PQ a b. (1) 求 PQ 之長. () 設 P(, 0, 8),求點 Q 的坐標. 編碼 1409 難易易出處課本題解答 (1)1;() (,, 4) PQ a b (1,, ) (, 1, ) (, 6, 6) ( 6,, 6) ( 4,, 1), (1) PQ PQ ( 4) () 令 O 表原點,則 OQ OP PQ (, 0, 8) ( 4,, 1) (,, 4). 故點 Q 的坐標為 (,, 4). 坐標空間中,設 A(, 5, 1), B(, 0, 4),已知點 P 在線段 AB 上,且 AP : PB :5,求點 P 的坐標. 編碼 1409 難易中出處課本題解答 (,, ) 設 O 為原點,則由分點公式可將 OP 表為 OA, OB 的線性組合, 5 5 即 OP OA OB (, 5, 1) (, 0, 4) 故 P 的坐標為 (,, ) (,, ) 坐標空間中, O 為原點,設點 A (1,, ), B(0,, ),令點集合 S { P OP soa t OB,其中 0 s1, 0 t }, 問 S 為何種圖形?

編碼 14094 難易中出處課本題解答 S 為 OA 與 OB 所張開的平行四邊形及其內部的聯集不存在實數 k 使 OA k OB,故 O, A, B 三點不共線. 取點 B(0, 6, 4),即 OB OB, 則 S 為 OA 與 OB 所張開的平行四邊形及其內部的聯集,如圖所示.

15 編碼難易中出處課本題解答 S 為 OA 與 OB 所張開的平行四邊形及其內部的聯集不存在實數 k 使 OA k OB,故 O, A, B 三點不共線. 取點 B(0, 6, 4),即 OB OB, 則 S 為 OA 與 OB 所張開的平行四邊形及其內部的聯集,如圖所示. 設 P 為平面 E 上 ABC 內部一點,且 O 為平面 E 外一點,已知 BPC : CPA : APB 4:5:6,試將 OP 表為 OA, OB, OC 的線性組合. 編碼難易易出處課本題解答 OP OA OB OC 設直線 AP 交 BC 於 Q,分別過 B, C 作 AP 的垂線交 AP 於 B, C, 則 BQ : QC BB: CC APB : CPA 6 :5. 6 又 AP : PQ APB : BPQ 6:(4 ) 11: 由分點公式, 得 OP OA OQ OA ( OB OC) OA OB OC (1) 坐標空間中, y 坐標為的所有點形成的圖形為何?

16 () 坐標空間中, y 坐標為,且 z 坐標為的所有點形成的圖形為何? 編碼難易易出處課本題解答 (1) 一平面 ;() 一直線 (1) ( x,, z ), x, z 為實數,為一平面. () ( x,, ), x 為實數,為一直線. 設點 P( a, b, c ) 在第一卦限,即 a 0, b 0, c 0. (1) 已知點 P 到 x 軸 y 軸 z 軸的距離分別為 4, 41, 5,求 a, b, c 之值. () 已知點 P 到 xy 平面 yz 平面 xz 平面的距離分別為, 4, 5,求 a, b, c 之值. 編碼難易易出處課本題解答 (1) a 4, b, c 5 ;() a 4, b 5, c (1) 由 b c 4, c a 41, a b 5,可解得 ( a, b, c) (4,, 5). () 由投影的定義,可知 ( a, b, c) (4, 5, ). 設空間中三點 A(1,, 4), B(0, 4, ), C(,, 1), (1) 求 ABC 的周長,並判斷 ABC 是否為直角三角形? () 若點 D 在 z 軸上使 AD BD,求 D 的坐標. 編碼難易中出處課本題 1 解答 (1) 周長 6 19,不是直角三角形;() D (0, 0, ) 4 (1) AB 1, AC 1 19, BC 1 1 6,周長為又 AC 19 AB BC,故 ABC 不是直角三角形. () 設點 D(0, 0, z ),則 1 ( z 4) 0 4 ( z ) 4 5 ( z 4) 16 ( z ) z 8z z 4z z z,故 D (0, 0, ) 4 4. 下圖是一個坐標空間中的平行六面體,其中 O 為原點, A(4,, ), B(, 4, 6), C( 1, 6, 5).

17 (1) 求向量 BD, CE, FD 的坐標. () 求點 D, E, F 的坐標. () 若 P 為 AB 中點, Q 在 DF 上,且 DQ : QF :1,試求 PQ 的坐標. 編碼難易中出處課本題解答 (1) BD (4,, ), CE (, 4, 6), FD (1, 6, 5) ;() D (7, 6, 9), E (, 10, 11), F (6, 1, 14) ;() PQ (, 7, ) 6 6 如圖, (1) BD OA (4,, ), CE OB (, 4, 6), FD OC (1, 6, 5). () 設 E( x1, y1, z1) CE ( x1 1, y1 6, z1 5) (, 4, 6) ( x1, y1, z1) (, 10, 11). 設 D( x, y, z) BD ( x, y 4, z 6) (4,, ) ( x, y, z) (7, 6, 9). 設 F( x, y, z) FD (7 x, 6 y, 9 z) (1, 6, 5) ( x, y, z ) (6, 1, 14) () P(,, ) (,, ), Q(,, ) (, 10, ), PQ (, 7, ). 6 6 若平面 E 垂直平分線段 AB,則稱點 A 與點 B 對稱於平面 E.設坐標空間中,點 P 在 xy 平面上的投影為 (,, 0), 在 yz 平面上的投影為 (0,, 4),求 : (1) P 的坐標. () P 對於 xz 平面的對稱點坐標.

18 編碼難易中出處課本題解答 (1) (,, 4) ;() (,, 4) (1) P( x, y, z) (,, z) ( x,, 4) x, y, z 4,故 P(,, 4). ()P 在 zx 平面的投影點坐標為 R(, 0, 4),設對稱點為 Q( a, b, c ), 則 OR OP OQ,即 (, 0, 4) (,, 4) (,, ) a b c, 解得 ( a, b, c) (,, 4). 設 a ( 4,, 1), b (1,, ) 且 PQ a b, PR a b. (1) 求 PQ, PR 的坐標. () 若 Q 的坐標為 ( 1, ),求點 R 的坐標. 編碼難易易出處課本題解答 (1) PQ (, 5, 1), PR ( 14, 0, 7) ;() R( 1,, 5) (1) PQ a b ( 4,, 1) (1,, ) (, 5, 1). PR a b ( 4,, 1) (1,, ) ( 1, 6, ) (, 6, 4) ( 14, 0, 7). () 設 R( x, y, z ),由 QR QP PR a b a b a b QR ( 4,, 1) (1,, ) ( 8, 4, ) (, 9, 6) ( 11, 5, 8) ( x 1, y, z ) ( 11, 5, 8) ( x, y, z) ( 1,, 5). 7 設 ABC 中, A(,, 4), B( 1, 5, 7),且 ABC 的重心 G(,, 1),求點 C 的坐標. 編碼 1400 難易易出處課本題解答 (5, 1, 0) 如圖,

19 設 C( x, y, z) 7 x 1 y 5 z 4 7 (,, 1) (,, ) ( x, y, z) (5, 1, 0). 設空間中三點 A(1,, 4), B(5, 6, 4), C(, 4, 6), BAC 的平分線交 BC 於 D. (1) 將 AD 表為 AB, AC 的線性組合. () 求 D 點坐標. 編碼 1400 難易中出處課本題解答 (1) AD AB AC ;() (,, ) (1) AB (4,, 0), AC (, 1, ), AB 4 0 5, AC 1, 5 又由角平分線性質知, BD : DC AB : AC,則由分點公式可得 AD AB AC () 由 (1) 知, AD AB AC (4,, 0) (, 1, ) (,, ), 設 D( x, y, z ),則有 ( x 1, y, z 4) (,, ),故 D( x, y, z) (,, ) 設向量 a, b, c 線性獨立,且 k( a b ) m( b c ) 4 a b ( n ) c,其中 k, m, n 是實數,求 k, m, n 之值. 編碼難易易出處課本題解答 k 4, m 5, n 7 原式化簡得 ( k 4) a ( k m ) b ( m n ) c 0,又 a, b, c 線性獨立,所以 k 4 k m m n 0,故得 k 4, m 5, n 7.

20 空間坐標中, O 為原點,設點 A(, 0, 1), B(0, 0, 1),已知點 P 滿足 OP moa nob,其中 0 m1, 0 n 1. (1) 點 P 所成的圖形為何? () 當 mn 1時,點 P 所成的圖形為何? 1 () 若 OP OA k OB,且 OAP OAB,則 k 之值為何? 並求 P 點坐標. 編碼難易中出處課本題解答 (1) OA 與 OB 所張開的平行四邊形及其內部 ;() AB ;() 1, 1 (, 0, ) OA (, 0, 1), OB (0, 0, 1), O, A, B 三點不共線. (1) 點 P 所成的圖形即為 OA 與 OB 所張開的平行四邊形及其內部,如下圖所示. () n1 m, OP moa (1 m) OB m( OA OB) OB OP OB m( OA OB),即 BP m BA, A, B, P 三點共線, 當 m 1時, n 0,點 P 落在點 A 的位置, 當 n 1時, m 0,點 P 落在點 B 的位置, 故 0m 1, 0n 1時,所成的圖形即為 AB. () 若 OP OA k OB,則點 P 落在過點 A 且平行於 OB 之邊上,如下圖所示. 1 1 又 OAP OAB,則 AP OB,此時, k 1, 1 1 設 P( x, y, z ),則有 ( x, y, z) (, 0, 1) (0, 0, 1) (, 0, ). 設 P 為平面 E 上 ABC 內部一點,且 O 為平面 E 外一點,已知 BPC : CPA : APB k : m: n ( 面積比 ). k m n (1) 試證 : OP OA OB OC. m n k m n k m n k () 當 P 為 ABC 之重心,求 BPC : CPA : APB,並由此證明: OP OA OB OC.

21 編碼難易難出處課本題解答 (1) 見解析 ;() 見解析 (1) 設直線 AP 交 BC 於 Q,如下圖所示. 分別過 B, C 作直線 AP 的垂線交直線 AP 於 B, C,則 BQ : QC BB: CC APB : CPA n : m,又 AP : PQ APB : BPQ n :( k n ) ( m n) : k, m n k m n 由分點公式,得 OP OA OQ m n k m n k k m n m n OA ( OB OC) m n k m n k m n m n k m n OA OB OC. m n k m n k m n k () 若 P 為 ABC 之重心,則 BPC: CPA: APB 1:1:1, 由 (1) 可得 OP OA OB OC OA OB OC.已知正方體 ABCD-EFGH 邊長為 1 公分,如下圖所示. (1) 設 CFH 的重心 P,試證: AP AG. () 試將 AP 表為 AB, AD, AE 的線性組合. 編碼難易中出處課本題解答 (1) 見解析 ;() AP AB AD AE

22 建立一坐標系,如下圖所示. 令 A (0, 0, 0), B (0, 1, 0), C( 1, 1, 0), D( 1, 0, 0), E (0, 0, 1), F (0, 1, 1), G( 1, 1, 1), H( 1, 0, 1), (1) 證明 : CFH 的重心 P(,, ) (,, ), AP (,, ) ( 1, 1, 1) AG,故得證. () 設 AP x AB y AD z AE,即 (,, ) x(0, 1, 0) y( 1, 0, 0) z(0, 0, 1), 得 x, y, z,故 AP AB AD AE. (1) 設點 P 1 在 x 軸上,且 x 坐標為 a,則點 P 1 的空間坐標為何? () 設點 P 在 xz 平面上,且 x 坐標 z 坐標分別為 a, c,則點 P 的空間坐標為何? 編碼難易易出處課本題解答 (1) Pa 1 (, 0, 0) ;() P ( a, 0, c ) (1) P 1 的 y 與 z 坐標都是 0,故 Pa 1 (, 0, 0). () P 的 y 坐標為 0,故 P ( a, 0, c ). 空間坐標系中,設 P(,, 4),則 (1) 點 P 在 x 軸 y 軸 z 軸上的投影點坐標各為何? () 又點 P 在 xy 平面 yz 平面 xz 平面上的投影點坐標各為何? 編碼難易易出處課本題解答 (1) (, 0, 0) ;() (,, 0) (1)P 在 x 軸的投影點是 x 軸坐標為的點,故 P 在 x 軸的投影點坐標為 (, 0, 0),其餘類推. ()P 在 xy 平面的投影點是 x 坐標為, y 坐標為的點,故 P 在 xy 平面的投影點坐標為 (,, 0),其餘類推. (1) 空間坐標系中,所有 z 坐標為 1的點形成的圖形為何? () 空間坐標系中,所有 y 坐標為,且 z 坐標為 1的點形成的圖形為何? 編碼難易易出處課本題

23 解答 (1) 一平面 ;() 一直線 (1) 一平面,此平面過點 (0, 0, 1),且與 z 軸垂直. () 一直線,此直線過點 (0,, 1) 且與 x 軸平行,亦即過點 (0,, 1) 且與 yz 平面垂直的直線. 空間坐標系中, (1) 點 A(, 4, ) 到原點 O 的距離為何? () 又任意點 P( x, y, z ) 到原點 O 的距離為何? 編碼難易易出處課本題解答 (1) 9 ;() x y z AO 4 ( ) 9, PO x y z. 設 P(, 1, 0), Q(4,, ), R( 1, 5, ),求 PQR 的最大邊長. 編碼 1401 難易中出處課本題解答 6 PQ (4 ) ( 1) ( 0) , QR ( 1 4) (5 ) ( ) , RP ( 1) ( 1 5) (0 ) , PQR 的最大邊長為 QR 6. 設 A( 1, 5, ),則點 A 到三個坐標軸的距離,最小者為何? 編碼 1401 難易易出處課本題解答 5 A 到 x 軸的距離 ( 5) 9, A 到 y 軸的距離 ( 1) 5, A 到 z 軸的距離 ( 1) ( 5) 6,所以最小距離為 5. 設 A(, 1, ), B(6,, 1),求 AB 的中點坐標.

24 編碼難易易出處課本題解答 (, 1, 1) AB 的中點坐標為 (,, ),即(, 1, 1). 設坐標空間中, O 為原點,且 A(, 0, 4), B(, 1, 5),試寫出 OA 及 AB 的坐標. 編碼難易易出處課本題解答 OA (, 0, 4), AB (5, 1, 9) OA (, 0, 4), AB (, 1 0, 5 4) (5, 1, 9). 設坐標空間中三點 A(, 1, ), B(0,, 5), C( 4,, 1),已知 ABEC 是平行四邊形,求點 E 的坐標. 編碼難易中出處課本題解答 ( 7, 0, 6) 設 E( x, y, z ),則由 CE AB,得 ( x 4, y, z 1) (0, 1, 5 ) (,, 7), 即得 x 7, y 0, z 6,故 E 的坐標為 ( 7, 0, 6). 設 a ( 1,, 4), b ( 4,, 0), c (5, 7, 1),已知 v a b c,求 v 的坐標. 編碼難易易出處課本題解答 (8,, 5) v a b c, 即 v c a b (5, 7, 1) ( 1,, 4) ( 4,, 0) (8,, 5), 故 v (8,, 5).

25 設 a (, 5, 1), b (, 4, ),求 a 5 b. 編碼難易易出處課本題解答 155 a 5 b (, 5, 1) 5(, 4, ) (6, 15, ) (15, 0, 10) ( 9, 5, 7), 故 a 5 b ( 9, 5, 7) ( 9) 坐標空間中,設 P( 1,, 0), Q(, 4, 5),已知點 R 在線段 PQ 上,且 PR : RQ 4 :1,求點 R 的坐標. 編碼難易中出處課本題解答 (,, 4) 5 5 設 O (0, 0, 0),則可得 OR OP OQ ( 1,, 0) (, 4, 5) (,, 0) (,, 4) (,, 4) 設 A( 1,, 0), B(4, 7, ), C(5, 4, 8),求 ABC 的重心坐標. 編碼 1400 難易易出處課本題解答 8 (,, 5 ) 由重心公式可得 ABC 的重心坐標為 (,, ) (,, ). 坐標空間中, O 為原點,設 A(1,, ), B(0,, ),令點集合 T { P OP OA t OB,其中 0 t 1},則 T 為何種圖形?

26 編碼 1401 難易中出處課本題解答一線段 T { P OP OA t OB, 0 t 1}, 當 t 0 時, P A; 當 t 1時, P B' ( 如圖 ), AB' // OB 且 AB' OB. T 的圖形為線段 AB'. 設平面 E 上 ABC 的內心為 I,且 O 為平面 E 外一點,已知 BC : CA: AB 5:6:7. (1) 求 BIC : CIA : AIB. () 將 OI 表為 OA, OB, OC 的線性組合. 編碼 140 難易中出處課本題解答 (1) 5: 6 : 7 ;() OI OA OB OC I 為 ABC 的內心, BC : CA: AB 5:6:7, 不失一般性,令 AB 7, BC 5, CA 6. (1) 由內心性質知 : BIC : CIA : AIB BC : CA: AB 5:6:7. () 延長 CI 與 AB 交於 D,則 AD : BD AC : BC 6:5, 6 可得 CI : ID CIA : DIA 6:(7 ) 11:7, 故 OI OD OC ( OA OB) OC OA OB OC

遞迴數列

遞迴數列第三冊 - 向量 - 向量的基本應用應用. 在中分別是兩邊的中點試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與所決定的平面上的每個向量都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s