直角座標與二元一次方程式的圖形直角座標與二元一次方程式的圖形一二元一次方程式的圖形 : 二元一次方程式的標準式為 ax +by = c, 則 : ax +by = c by =- ax + c y =- a x + c b b 令 m =- a b, k = c b, 則原式可改寫為 : y

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卉房
5 years ago
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1 一二元一次方程式的圖形 : 二元一次方程式的標準式為 +b = c, 則 : +b = c b =- + c =- + c b b 令 m =- b, k = c b, 則原式可改寫為 : = m + k 稱此式為直線方程式, 其中 m 即是直線方程式之斜率 m =0 的圖形 : 直線方程式 m =0 的圖形是一條平行軸的水平直線, 如右圖所示 : o (0, k) = k m >0 的圖形 : 直線方程式 = m + k, 當 m >0 時為一條由左而右向上傾斜的直線, 如右圖 : =+k, k>0 = =+k,k<0 m <0 的圖形 : 直線方程式 = m + k, 當 m <0 時為一條由左而右向下傾斜的直線, 如右圖 : =+k, k>0 = 二二元一次方程式的圖解 : + b = c 設二元一次方程式為 + b = c, 則 : =+k,k<0 b () 兩直線相交 : 當 b 時, 此聯立方程式有唯一解, 且圖形相交於一直線 b () 兩直線重合 : 當 = c = b c 時, 此聯立方程式有無限多解, 且兩條直線重合 b () 兩直線平行 : 當 = c b c 時, 此聯立方程式無實數解, 且兩條直線平行 9

2 如附圖, 四邊形為矩形, 已知點坐標為 (, ), 點坐標為 (, ), 點坐標為 (, ), 則下列四個選項 (-,) (,) 中, 何者為直線的方程式? 90 年第一次基測 () = 0 () + = 0 () = 0 () = 0 (-,-) 重點 : 直角坐標與直線為矩形, 點的橫坐標與點橫坐標相等而點的縱坐標與點縱坐標相等, 故 (, ) 故直線的方程式為 = 答案選 () 如附圖, 玉山在坐標平面上的位置為 (, ) ; 已知軸的正向指向東方, 軸的正向指向北方, 且每個方程的邊長均為個單位如果飛機從玉山上空向西飛行 0 個單位, 再向北飛行個單位, 到達 P 點上空, 則 P 點最接近下列哪一個位置? () (, ) () ( 0, ) () (, ) () (, ) 玉山 N 重點 : 直角坐標與直線 90 年第二次基測依題意移動, 東北為正, 西南為負 [ + ( 0 ), + ( ) ] = ( 0, ) 向西向北答案選 () 若要坐標平面上的相異三條直線 L : = L : L : + 6 有共同的交點, 則 =? () () () () 重點 : 直線的交點皆滿足其直線方程式 = = 9 年第一次基測將 L 代入 L = =, 所以有共同交點為 (, ), 並將 (, ) 代入 L + = 6 = = 答案選 () 96

3 + = 9 已知二元一次聯立方程式的解為 =, = b, 則 b =? + = 7 () () () () 6 9 年第二次基測重點 : 解二元一次聯立方程式 + = + = 7 Λ Λ ( ) ( ) + = 6 由 ( ) 與 ( ) 可得 + = 8 Λ Λ ( ) ( ) 又 ( ) ( ) 可得 9 = 0 = 6 代回 ( ) 得 = = = b = 6 = = 6 = b 答案選 () 如附圖, 在坐標平面上, 直線 L 的方程式為 + =, 為原點, 軸的單位長均為公分若點在第四象限且在 L 上, 與軸的距離為公分, 則點與軸的距離為多少公分? () () 8 () 8 () 重點 : 直角坐標與直線 ( ) 由第四象限屬性 ( +, ) 9 年第一次基測而與軸距離公分, 所以 (, ) 為 (, ), 如下圖 ( ) 而 (, ) 滿足 + = 的關係即 + = 96 + = 96 = = 8 = 8 ( 點的坐標 ) ( ) 所以點距離軸為 8 = 8 答案選 () L : += (, ) L : += 6 小英的家在坐標平面上的位置為 P (, ) 軸的正向指向東方, 軸的正向指向北方, 如果從小英的家向東走單位, 再向南走單位, 就到達小華的家, 那麼下列哪一個點表示小華家的位置? 9 年第二次基測 97

4 () (, ) () (, ) () G (, ) () H (, ) 重點 : 直角坐標與直線 (, ) [ +, + ( )] (, ) 7 如附圖, 直線 L 的方程式為 + = 0 請問 P Q R S, 哪一個點的坐標是此方程式的解? () P () Q () R () S 重點 : 直角坐標與直線 9 年第二次基測 R L S P Q 若要為直線 L 的方程式之解, 則其點必在其直線上而 P 點在直線 L 上, 因此 P 點為此方程式的解答案選 () 8 附圖為一平面圖若以學校為原點作一坐標平面, 其中學校到游泳池的方向為軸的正向, 學校新生大樓學校到新生大樓的方向為軸的負向, 則圖書館在此平面的第幾象限? 9 年第一次基測 () 一 () 二 () 三 () 四游泳池圖書館重點 : 象限的應用與轉換由右圖可知, 圖書館在此平面的第一象限答案選 () 新生大樓學校圖書館游泳池 9 如附圖, 若坐標平面上 P 點的坐標為 (, b ), 則 b = () 8 () () () 8 重點 : 坐標平面上的位置 ( 點 ) P (, b ) = P (, ) b = ( ) = 8 答案選 ()? 9 年第二次基測 P(,b) 98

5 0 坐標平面上, 若點 (,) 在直線 + = 上, 則 =? () 8 () () () 8 9 年第一次基測重點 : 將點代入直線方程式中求解將 (, ) 代入 + = 得 ( )+ =, + =, = 6, = 8 如圖 ( 九 ), 坐標平面上, 兩點均在軸上, = 67 公分, 且軸為的中垂線若在平面上找一點, 使得 = 公分 = 公分, 則點可能在下列何處? () 軸 () 軸 () 第一象限 () 第三象限 9 年第二次基測重點 : 三角形的兩邊和大於第三邊 Θ P = P 且 + = ( P + P ) = P + P > 0 點是在第二象限或第三象限 67 公分 67 公分 P 圖 ( 九 ) 在坐標平面上, 直線 L 的方程式為 = + 若 > 0, 則 L 不通過第幾象限? () 一 () 二 () 三 () 四 9 年第一次基測重點 : 圖形的平移 = +, > 0 如右圖可知, L 不通過第三象限答案選 () 係數為負 99

6 如圖 ( 五 ), 坐標平面上有 (,) (,-) 兩點 96 年第二次基測過兩點作直線 L 後, 判斷下列哪一點與直線 L 的距離最短? ()(,-) ()(,) ()(0,- ) ()(0,-) 重點 : 直角座標與函數圖形設直線 L 的方程式為 = + b, 通過與兩點則 + b = Λ Λ () + b = Λ Λ = 6 6 = () 利用加減消去法, 將 ()-() 可得 : 6 6, 將 = 代入 (), 得 b = 直線 L 方程式為 = 因 (,-) (,) 與 (0,- ) 都在直線 L 外, 只有 (0,-) 在直線 L 上所以 (0,-) 與直線 L 的距離最短請閱讀下列的敘述後, 回答第 9 題和第 0 題如右圖, 坐標平面有一正方形, 的坐標分別為 (,) (, ) 已知甲乙兩人在點第次相遇後, 甲自點方向以每秒公尺的速率, 甲 (,) 乙沿著正方形的邊以逆時針方向等速行走 ; 乙自點以每秒 b 公尺的速率, 沿著正方形的邊以順時針方向等速行走 9 年第二次基測 (-,-) 若 = 7 b, 則甲乙第次相遇在何處? () (, 0 ) () ( 0, ) () ( 0, ) () (, ) 重點 : 平面直角座標綜合性質與推理甲走 7 步, 乙走步, 以點為出發點, 走一次要 8 步甲走 7 步到達 (, 0 ), 乙走步到達 (, 0 ) 因此甲乙第次相遇在 (, 0 ) 7 步 7 步 7 步甲 (,) (,0) (,-) (0,-) (-,-) (-,0) (-,) (0,) (,) 乙 (,) (,0) (,-) (0,-) (-,-) (-,0) (-,) (0,) (,) 步步步答案選 () 00

7 若 7 b, 且甲乙第次相遇在點, 則此兩人第 9 次相遇在何處? () 點 () 點 () 點 () 點重點 : 平面直角座標綜合性質與推理甲乙第次相遇在點且甲乙第次相遇在點可推得甲乙的速率比為 : 甲乙第次相遇在點甲乙第次相遇在點步步步甲乙 (,) (,) (,-) (,-) (-,-) (-,-) (-,) (-,) (,) (,) (,-) (,-) 步步步甲乙第次相遇在點甲乙第 6 次相遇在點 Μ Μ Μ 9 = K, 因此可知兩人第 9 次相遇在何處點答案選 () 6 坐標平面上, 若點 (, ) 在直線 = 上, 則 =? 模擬 9 年第一次基測 7 9 () () () () 6 重點 : 二元一次方程式的圖形將 (, ) 代入 = ( ) = = = = = 9 = 答案選 () 7 附圖為五個點在 L : = 的直線方程式之上今有一點 P (, ) 亦在直線 L 上且距離點單位, 距離站單位, 則下列何者表示正確? () < < () < < 0 () 0 < < 0 () 0 < < 重點 : 坐標平面的距離因為 L : = + 所以若由與的距離為, 則坐標距離為, 點 P 的坐標可能位置為 0 ± = 或點 P 的坐標可能位置為 ± = 或所以 P 的坐標位置應該是 < < 0 答案選 () (-,0) (0,) (,) (,) (,) G G : G : = : : L: = + 0

8 8 在坐標平面上, 已知直線 L 的方程式為 = m + 且 L 不通過第四象限則下列何者為真? 模擬 9 年第一次基測 () m < 0, < 0 () m < 0, > 0 () m > 0, < 0 () m > 0, > 0 重點 : 圖形的平移 L 不通過第四象限且 L : = m + 如右圖可知, m > 0, > 0 係數為正 9 如附圖, 兩點在軸上今甲乙兩車分別從兩點同時出發, 且分別以逆時針與順時針方向分別遶著大小兩圓周行駛若甲車每分鐘繞一圈, 乙車每 0 分鐘繞一圈, 則當乙車剛好繞完第五圈時, 甲車位於第幾象限? 模擬 9 年第一次基測 () 一 () 二 () 三 () 四 ( 乙 ) ( 甲 ) 重點 : 平面直角座標綜合性質與推理 0 0 乙車 0 = 0 分, = ( 圈 ) 6 0 = = 又 =, =, = ( 如右圖 ) < <, 甲車在第三象限內 0 0 答案選 () 請閱讀下列的敘述後, 回答第題和第 6 題如附圖, 坐標平面有一正六邊形已知甲乙兩人在點第次相遇後, 甲自點方向以每秒公尺的速率, 沿著正六邊形的邊以逆時針方向等速行走 ; 乙自點以每秒 b 公尺的速率, 沿著正方形的邊以順時針方向等速行走模擬 9 年第二次基測甲乙 0 若 = b, 則甲乙第次相遇在哪一點? () () () () 重點 : 平面直角座標綜合性質與推理甲走步, 乙走步, 以點為出發點, 走一次要步 0

9 甲走 9 步到達, 乙走步到達, 因此甲乙第次相遇在甲再走 9 步到達, 乙再走步到達, 此甲乙第次相遇在答案選 () 甲乙若 b, 且甲乙第次相遇在點, 則此兩人第 88 次相遇在何處? () 點 () 點 () 點 () 點重點 : 平面直角座標綜合性質與推理甲乙第次相遇在點且甲乙第次相遇在點可推得甲乙的速率比為 : 甲乙第次相遇在點甲乙第次相遇在點甲乙第次相遇在點甲乙第 6 次相遇在點甲乙第 7 次相遇在點甲乙第 8 次相遇在點步步步甲乙步步步步步步甲乙步步步 Μ Μ Μ 88 6 = Κ, 因此可知兩人第 88 次相遇在何處點 ( 如右表, 甲與乙的速率比也可為 : 7 : Λ 等 ) (, ) (-,b ) 在直線 - =0 上, 則 (b, ) 在第幾象限? () 一 () 二 () 三 () 四重點 : 直角座標系 (, ) 代入 8- =0, = 8 (-,b ) 代入 --b =0,b =- (b, )=(-, 8 ), (b, ) 在第二象限答案選 () 0

10 = m - n 的函數圖形, 通過 (-6,8) (-,-) 兩點, 則 m =?, n =? 重點 : 通過直線圖形的點之幾何意義 (-6,8) 代入 -6 m - n =8 (-,-) 代入 - m - n =- - - m =, m =- 代入 - n =-, n = += 答 : m =-, n = = -, =- +8 兩函數圖形與軸所圍成的三角形面積 =? 重點 : 直線圖形的應用 = - = =- =-+8, - 0= -, = 代入, = -= P 面積 = 8-(-) = 答 : 平方單位如附圖, 直線 L 平行直線 M, 且通過 (0,) (,0 ), 直線 M 通過 (,0), 求直線 M 的方程式為何? 重點 : 兩直線平行的幾何意義設 L 的方程式為 = + b, ( 0, ) 代入 =b, (,0 ) 代入 0=-+ b, 0=-+ =, L 的方程式為 = + 直線 L 平行直線 M, 直線 M 的方程式為 = +k, (,0) 代入 0=+k k=-, 直線 M 的方程式為 = - 答 : 直線 M 的方程式為 = - 0

11 6 下列何者最可能是 = 與 +=0 在坐標平面上之圖形? () () () () 重點 : 直線圖形的判別 = 與 +=0, 其交點為 (,-) 落在第四象限, 所以選 () 答案選 () + = + = 7 若二元一次方程式與有相同的解, 請問(,b )為何? = b = 7 ( )(,- )( )(,- )( )( -,)( )(, ) 重點 : 兩直線相交的應用有相同的解四個方程式會相交於一點解 = + =, 可得 : =, = 代入 + = b = 7 則 =, 可得 : =, b =, 所以 + b = 7 8 如下圖, 是坐標平面上的一個方格圖, 圖中線段 ( 縱橫各 8 條 ) 的交點稱為格子點為給定的格子點, 在方格圖中選擇三個格子點, 使得四邊形的面積為最大試問下列哪一條直線與此四邊形的一邊疊合? () + 7 = 0 () + = 0 () + 8 = 0 () + = 0 重點 : 直線方程式的圖形與解的意義四頂點依序為 (, ),( 7,7 ),( 7,0 ),( 0,0 ) 四邊形的面積為最大直線方程式 + = 0 經過 (, ),( 7,7 ) 與此四邊形的一邊疊合答案選 () 0

12 9 設點 (-,b) 在第四象限, 下列四個點 (-,b) (b,b) (-b,) (,-b), 有幾個點在第一象限? () 一 () 二 () 三 () 四重點 : 正負號的判別與象限的位置因為點 (-,b) 在第四象限, 所以 <0,b >0 則 : (-,b) (+,+) 在第一象限 (b,b) (+,-) 在第四象限 (-b,) (-,-) 在第三象限 (,-b) (+,+) 在第一象限答案選 () 0 設 b 為常數, 在坐標平面上, 若點 ( b, + b ) 在第四象限內, 且直線 L 的方程式為 + b + = 0, 則直線 L 不經過第幾象限? () 一 () 二 () 三 () 四重點 : 直線方程式截距的應用解 : (b, + b) 在第四象限 b>0, + b<0 <0,b<0 因為 + b=, 所以 0 0 b 但 - >0,- >0 ( 因為 <0,b<0) b 圖形 ( 直線 L ) 不經過第三象限答案選 () 06

遞迴數列

遞迴數列第三冊 - 向量 - 向量的基本應用應用. 在中分別是兩邊的中點試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與所決定的平面上的每個向量都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s

直角座標與二元一次方程式的圖形 直角座標與二元一次方程式的圖形 一 二元一次方程式的圖形 : 二元一次方程式的標準式為 ax +by = c, 則 : ax +by = c by =- ax + c y =- a x + c b b 令 m =- a b, k = c b, 則原式可改寫為 : y

直角座標與二元一次方程式的圖形直角座標與二元一次方程式的圖形一二元一次方程式的圖形 : 二元一次方程式的標準式為 ax +by = c, 則 : ax +by = c by =- ax + c y =- a x + c b b 令 m =- a b, k = c b, 則原式可改寫為 : y