投稿類別 : 數學類篇名 : 笛卡兒的十三封情書 : 探討任意三角形重心對稱各邊形成之軌跡作者 : 藍崧文國立武陵高中高三 1 班吳玟秀國立武陵高中高三 1 班陳宗蔚國立武陵高中高三 1 班指導老師 : 吳明霞老師

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晟聪奚
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1 投稿類別 : 數學類篇名 : 笛卡兒的十三封情書 : 探討任意三角形重心對稱各邊形成之軌跡作者 : 藍崧文國立武陵高中高三班吳玟秀國立武陵高中高三班陳宗蔚國立武陵高中高三班指導老師 : 吳明霞老師

2 壹前言在此作品笛卡兒的十三封情書中, 我們探討了任意三角形的重心 G 與其對各邊對稱所得到的三點 G,G 2,G 形成的軌跡使三角形二頂點固定, 一頂點於單位圓上繞行, 並探討重心 G,G,G 2,G 這些點形成的軌跡我們發現了許多有趣的性質, 在這些軌跡中我們找出了近似於蚶線心臟線類似彎月等各種奇妙的現象, 我們深感有趣, 因此繼續深入探討下發現了許多有趣的結論貳研究過程或方法一 B 點位於 (,0),C 點在單位圓 O 上繞行 ( 恆為直角三角形 ) ( 一 )G,G,G 2,G 軌跡為圓形 ( 二 ) 證明 G,G,G 2,G 軌跡為圓形 : 不失一般性, 令 A(,0),B(,0),C(cosθ, sinθ), 重心 G 軌跡為圓形 : 由於 A(,0),B(,0),C(cosθ, sinθ), 故重心 G 點座標為 ( cosθ, sinθ ), 顯然重心 G 所形成的軌跡為一圓, 其圓心為 (0,0), 半徑為

3 2 G 軌跡為圓形 :. 已知 G 點軌跡為圓, 由於對稱軸為 x 軸不改變, 故 G 軌跡必定為圓,. 其 G 點座標為 ( cosθ, sinθ ),. 因此重心 G G 之軌跡為同一圓 G 2 軌跡為圓形 :. 已知 G 點座標為 ( cosθ, sinθ ), 且 CG = 2,. 令 GG 2 交 BC 於 H 點,. 則 CH = BC = ( cos θ)2 + sin 2 θ = 2 2cos θ.gh = CG 2 CH 2 = cos θ ( ) 2 =. 故 GG 2 =.. 又 cos θ, AC cos θ+ =( AC, sin θ ), 2+2 cos θ 2+2 cos θ. 則 G 2 點座標 = G 點座標 + GG 2 AC. = ( cosθ, sinθ. = (cos θ + 2, sinθ) AC cos θ ) + ( 2+2 cos θ cos θ+, sin θ ) 2+2 cos θ 2+2 cos θ.. 因此 G 2 點座標為 (cos θ + 2, sinθ),. 顯然 G 2 所形成的軌跡為一圓,. 其圓心為 ( 2, 0), 半徑為 4 G 軌跡為圓形 : 已知 G 點座標為 ( cosθ, sinθ ), 且 CG = 2,. 令 GG 交 AC 於 H 點,.. 則 CH = AC = ( + cos θ)2 + sin 2 θ = 2+2cos θ. GH = CG 2 CH 2 = cos θ ( ) 2 = cos θ

. 故 GG =. 又 2 2 2 cos θ, BC cos θ =( BC, sin θ ), 2 2 cos θ 2 2 cos θ. 則 G 點座標 = G 點座標 + GG BC. = ( cosθ, sinθ. = (cos θ 2, sinθ) BC 2 2 2 cos θ ) + ( cos θ, sin θ ) 2 2 cos θ 2 2 cos θ.

4 . 故 GG =. 又 cos θ, BC cos θ =( BC, sin θ ), 2 2 cos θ 2 2 cos θ. 則 G 點座標 = G 點座標 + GG BC. = ( cosθ, sinθ. = (cos θ 2, sinθ) BC cos θ ) + ( cos θ, sin θ ) 2 2 cos θ 2 2 cos θ.. 因此 G 點座標為 (cos θ 2, sinθ),.. 顯然 G 所形成的軌跡為一圓,.. 其圓心為 ( 2, 0), 半徑為 5 經由上述證明, 發現 G 2,G 所形成的軌跡圓全等 ( 三 )G G 2 中點 F 之軌跡為橢圓 : ( 四 ) 證明 G G 2 中點 F 之軌跡為橢圓 : 不失一般性, 令 A(,0),B(,0),C(cosθ, sinθ), 則由 G 點座標為 ( cosθ, sinθ ),G 2 點座標為 (cos θ + 2, sinθ),

5 可得 F 點座標 = G G 2 2 = [(cosθ, sinθ )+(cos θ+2,sinθ] 2 = ( 2cosθ +, sinθ ) 顯然 F 所形成的軌跡為一橢圓, 其橢圓中心為 (, 0), 兩焦點分別為 ( + 半長軸 a = 2, 半短軸 b =, 0),(, 0), ( 五 ) 同理 G G 中點之軌跡亦為橢圓二 B 點位於 x 軸上且在單位圓 O 內,C 點在圓 O 上繞行 ( 一 ) 觀察重心 G 對 BC 作對稱點 G 2 之軌跡, 發現其近似蚶線 ( 二 ) 反推基圓 : 因為重心 G 對 BC 作對稱點 G 2 之軌跡不是由蚶線標準定義繪圖而成, 所以只能猜測跟蚶線或許有些許關係, 所以我們用軌跡反推基圓, 重新繪出蚶線和先前軌跡進行比較. ( 下圖為反推蚶線之作圖 ) 4

6 2 作法: 軌跡上取與 x 軸相交之點, 由右至左分別為 O Q R, 以 RQ 中點 S 為圓心,RS 為半徑作圓以 SO 中點 B 為圓心,RB 為半徑作圓, 此圓為基圓, 接著以蚶線作圖方式得到的蚶線和原軌跡有極相似的路徑 ( 上圖 ) 紅綠色線段為 G 2 之軌跡, 紫色軌跡為反推基圓所得之蚶線圖形 5

7 ( 三 ) 極座標表示法 : 假設 OB = x BC =y OC = R CBO = θ 由餘弦定理 :R 2 = x 2 + y 2 2xy cos θ y= 2x cos θ± 4x2 cos θ 2 4(x 2 R 2 ) 2 R > x 故 SSA 有唯一 y 值負不合 y= 2x cos θ+ 4x2 cos θ 2 4(x 2 R 2 ) 2 =xcos θ + R 2 x 2 sin θ 2 2 接著 AB 對稱 BC 得 CA, 因為 R X= 定值, 使 θ 與之相符極座標方程 : r=y 2(R x)sin θ = x cos θ 2R cos θ R 2 x 2 sin θ 2 r= x 2R cos θ R2 x 2 sin θ 2 極座標原點 ( R 4x,0) 同理 () 假設 OB = x BC =y OC = R CBD = θ y = xcos θ + R 2 x 2 sin θ 2 (2) 接著 AB 對稱 BC 得 CA, 因為 R+X= 定值, 使 θ 與之相符極座標方程 : r=y 2(R+x)cos θ = xcos θ 2Rcos θ+ R 2 x 2 sin θ 2 r= x 2R cos θ+ R2 x 2 sin θ 2 () 極座標原點 ( R+4x,0) 從以上所得之極座標方程, 我們和蚶線極座標方程 : r = a cos t + b 比較, 因為類蚶線存在 R2 x 2 sin θ 2 中角度的影響, 在 x=0 時, 角度的影響會消失並可將 R 併入前項, 此時圖形即為蚶線, 在 x 0 圖形並不是蚶線, 而是我們所命名與蚶線圖形極為相似的類蚶線, 而且在 R x 時, 圖形會越近似蚶線 6

8 ( 四 ) 反推心臟線之基圓 : 2 作法: 軌跡上取與 x 軸相交之點, 由於根據蚶線的定義知, = 2acos θ +, 最右方為極座標原點, 中間座標與原點距離為 (2a-k), 左方則為 (2a+k), 若為心臟線時,2a=k, 即中間點與右方點重合作圖得 2a 跟 k, 再由蚶線的作圖法得到以此定義出的蚶線, 與原探討的軌跡相異不大 ( 上圖 ) 紅綠色線段為 G 2 之軌跡, 紫色軌跡為反推基圓所得之心臟線圖形 7

9 三 B 點不位於 x 軸上但在單位圓 O 上,C 點在圓 O 上繞行 ( 一 )G,G,G 2,G 之軌跡為圓形 ( 二 ) 證明 G,G,G 2,G 軌跡為圓形 : 證明 : 分三次對稱, 重心 G 座標為圓心加上三分之一的 OA 向量 OB 向量 OC 向量, 其中 A 為動點,O 對 AC 對稱得 O, 又 CO //AO, 故 O 軌跡亦為圓而三分之一的 OA 向量對 AC 對稱得故 O A 只造成 O 軌跡圓平移 8 恆平行 OC ( 因四邊形 OAO C 為菱形 ) O A

10 又最後剩下三分之一的 OB 向量, OC 向量 ( 即三分之一 OB ) 對 AC 對稱, 因 B,C 為定點故向量不變, 當 A 沿著圓 O 移動時,( 不失一般性, 設逆時針走 ) 則 ACO 減少 θ, OB 對稱後的向量逆時針旋轉 2θ, 而 OA 亦逆時針旋轉 2θ, 且 //AO CO, 故加上 OB 對稱後的向量後仍旋轉對稱, 即為圓, 證畢上圖中, 顯然可見 OB 對稱後的向量 O B " 與 CO 恆夾一角度, ( ) 但此圖未取其向量之三分之一以方便說明 9

11 參結論一當 A,B 兩點固定時, 一點 C 繞著一圓之圓周移動, 其重心 G 及分別對 AB,AC 對稱所得的兩點 G,G, 其軌跡皆為圓形, 且重心 G 與 G 之軌跡圓全等二當 A,B,C 三點共圓時, 重心 G,G,G 2,G 之軌跡皆為圓形, 且重心 G 與 G 之軌跡圓全等,G 2,G 之軌跡圓全等三當 B 點位於 x 軸上且在單位圓 O 內,C 點在圓 O 上繞行,G,G,G 之軌跡為圓形,G 2 軌跡為類蚶線四當 B 點位於 x 軸上且在單位圓 O 外,C 點在圓 O 上繞行,G,G,G 之軌跡為圓形,G 2 軌跡為弦月線五當 B 點不位於 x 軸上且在單位圓 O 內,C 點在圓 O 上繞行,G,G,G 之軌跡為圓形,G 2 軌跡為偏類蚶線, 但此類蚶線和前述所提及之稍有不同, 因為受到 AB,x 軸夾角影響, 造成軌跡上下不對稱的偏類蚶線六當 B 點不位於 x 軸上且在單位圓 O 外,C 點在圓 O 上繞行,G,G,G 之軌跡為圓形,G 2 軌跡大多為偏弦月線, 因為受到 AB,x 軸夾角影響, 造成軌跡除了上下不對稱的偏弦月線外, 還有過度內偏而產生軌跡相交的情形肆引註資料一趙文敏何謂心臟線科學月刊第二十一卷第五期 (2000) 二數學知識 - 蚶線 : 三阿波羅尼奧斯圓錐曲線論.. ( 卷 Ⅰ-Ⅳ) 陝西科學技術出版社 (2007) 四張景中彭翕成繞來繞去的向量法科學出版社 (200) 五左銓如初等解析幾何研究九章出版社 (200) 0

二次曲線人們對於曲線的使用及欣賞比曲線被視為一種數學題材來探討要早得多各種曲線中在日常生活常接觸的當然比較容易引起人們的興趣比如投擲籃球的路徑是拋物線盤子的形狀有圓形或橢圓形雙曲線是較不常見的然而根據科學家的研究彗星的運行軌道是雙曲線的一部分我們將拋物線圓與橢圓雙曲

二次曲線人們對於曲線的使用及欣賞比曲線被視為一種數學題材來探討要早得多各種曲線中在日常生活常接觸的當然比較容易引起人們的興趣比如投擲籃球的路徑是拋物線盤子的形狀有圓形或橢圓形雙曲線是較不常見的然而根據科學家的研究彗星的運行軌道是雙曲線的一部分我們將拋物線圓與橢圓雙曲 -1 圓方程式第章二次曲線 38 二次曲線人們對於曲線的使用及欣賞比曲線被視為一種數學題材來探討要早得多各種曲線中在日常生活常接觸的當然比較容易引起人們的興趣比如投擲籃球的路徑是拋物線盤子的形狀有圓形或橢圓形雙曲線是較不常見的然而根據科學家的研究彗星的運行軌道是雙曲線的一部分我們將拋物線圓與橢圓雙曲線合稱為圓錐曲線因為在平面坐標系中其對應的方程式均為二元二次式

投稿類別 : 數學類 篇名 : 笛卡兒的十三封情書 : 探討任意三角形重心對稱各邊形成之軌跡 作者 : 藍崧文 國立武陵高中 高三 1 班 吳玟秀 國立武陵高中 高三 1 班 陳宗蔚 國立武陵高中 高三 1 班 指導老師 : 吳明霞老師

投稿類別 : 數學類篇名 : 笛卡兒的十三封情書 : 探討任意三角形重心對稱各邊形成之軌跡作者 : 藍崧文國立武陵高中高三 1 班吳玟秀國立武陵高中高三 1 班陳宗蔚國立武陵高中高三 1 班指導老師 : 吳明霞老師