Microsoft Word - 2-2空間中直線方程式(2016).doc

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饯梅
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1 空間中直線方程式 ( 甲 ) 空間中直線方程式空間直線的參數式坐標平面上只要給定直線的方向向量與線上的一點, 就可以用參數式來表示直線上的點當直線置於空間坐標中, 仍然可以利用參數式來表示直線空間中, 直線 L 通過點 A(,, ) 且方向向量 v (a,b,c), 如何表示直線 L 呢? 設 P 點在直線 L 上, 且 P A, 由方向向量的意義, 可得 AP 平行 v 反過來說, 若 P 點滿足 AP 平行 v, 且 P A,( 即直線 AP 以 v 為方向向量 ), 因為過 A 點且以 v 為方向向量的直線是唯一的 ( 就是直線 L ), 因此 P 點會落在直線 L 上根據上面的討論, P 點在直線 L 上的充要條件是 AP // v P 為直線 L 上的點 AP// v 存在一個實數 t, 使得 APt v OP-OAt v OPOAt v ( 其中 O 為原點 ) 故 OPOAt v,t 為實數, 為直線 L 的向量表示法 P A L O 將前面的結果用坐標來表示 : P (,, ) 在直線 L 上 OPOAtv ( 其中 O 為原點 ) (,, )(,, )t ( a,b,c ) at 因此直線 L 上的點 (,, ) 都可以表成 bt,t 為實數 ct 反過來說, 型如 ( at,bt,ct ) 的點一定在直線 L 上 at 故我們稱 bt,t 為實數, 為直線 L 的參數方程式, 簡稱參數式, 實數 ct t 稱為參數 ~~ t v

2 根據前面的討論, 可以得到以下的結論 : 直線的參數式直線 L 通過點 A(,,) 且方向向量 v (a,b,c), 則直線 L 的參數式為 at bt,(t 為實數 ) ct [ 例題 ] 設平面 E 的方程式為 6, 過點 A(,,) 對平面 E 做一垂線 L, 寫出 L 的參數式 [ 解法 ]: 因為平面 E 的方程式為 6, 故 n (,,) 為其法向量, 因此垂線 L 的方向向量為 (,,), 又 L 過 A(,,), 因此直線 L 的參數式可以表為 t t (t 為實數 ) t ~~

3 [ 例題 ] 設 A,B 兩點的坐標為 A(,,),B(,,5), 試求 () 求直線 AB 的參數式 ;() 求線段 AB 的參數式 [ 解法 ]: () 設 P(,,) 為直線 AB 上任一點, A L AP //AB AP tab,t 為實數 (,,)t(,,),t 為實數所以直線 AB 的參數式為 t t (t 為實數 ) t () 設 P(,,) 為線段 AB 上任一點 AP tab, 其中 t 當 t 時,P 點所對應的點為 A 點, A 當 t 時,P 點所對應的點為 B 點 O P O B P v B v t 因此, 線段 AB 的參數式為 t t ( t ) 在上例中, 我們也可以取 BA(,,), 點 B(,,) 也落在直線 AB 上, 因此直線 AB 的參數式也可以寫成 t,t,t,(t 為實數 ), 所以當直線用參數式來表示時, 它的表示法並不是只有一種 A ( 練習 ) 根據直線 L 的向量表示法, L 請在右圖中畫出滿足下列條件的 P 點位置 : O () OP OA v () OP OA - v () 設 B 點在直線 L 上, 且 AB v, OB OA tv, 試求 t 值 v ( 練習 ) 設空間坐標中有兩點 A(,,) B(,6,8), 試問下列哪些參數式代表直線 AB: t t () t (t 為實數 ) () t ( t ) t t ~~

4 () (5) s s s (s 為實數 )() 6 s 6s 8 s s 6 s (s ) Ans:()()() 8 6s (s 為實數 ) 空間直線的比例式在坐標平面上, 一直線可以用參數式與點斜式表示, 而空間中的直線除了參數式之外, 還可以用比例式來表示設直線 L 過點 A (,, ) 且 v ( a,b,c ) 為 L 的方向向量, P (,, ) 為直線 L 的點 AP// v ( -,-,- ) // ( a,b,c ).(*) () 若 a,b,c 都不為 : (*) 式可以寫成 - a - b - c ( AP 與 v 分量成比例 ) 因此直線 L 上的點 P(,,) 均滿足上式, 反之, 滿足上式的 P(,,) 都會在直線 L 上此表示形式 - a - b - c 稱為直線的比例式另一方面, 當我們令比值 - a - b ~~ - c t 時, 可以得到直線 L 的 at 參數式 bt,t 為實數 ct [ 例題 ] 設空間中有兩點 A (-,,7 ),B (,-,5 ), 試求 : () 直線 AB 的比例式參數式 () 試判別 C (,-, ),D (,-, ) 兩點是否在直線 AB 上? [ 解法 ]: () P (,, ) 為直線 AB 上的點 AP // AB (,-,-7 ) // (,-7,- ) (AP 與 AB 的分量成比例 ) 故直線的比例式為

5 ( 注意 : 當我們考慮直線 AB 通過 B 點時, 上述的比例式亦可以寫成 : ) - 令比值 t 可得參數式 () 將 C (,-, ) 代入比例式 -t -7t 7-t , ( 三式比值相等 ), 故 C 點在直線 L 上將 D (,-, ) 代入比例式 ,,t 為實數 ( 比值不相等 ), 故 D 點不在直線 L 上 () 若 a,b,c 恰有一個為 : 設 a, 而 b,c 都不為 ( 其它情形比照處理 ) 根據 ( -,-,- ) // (,b,c ), 則得且 - b - c 上式表示直線 L 為平面與平面 (AP 與 v 的, 分量成比例 ), - b - c 的交線 - 若令比值 b - c t, 可以得到 L 的參數式 bt,t 為實數 ct () 若 a,b,c 恰有二個為 : 設 a,b 而 c ( 其它情形比照處理 ) 根據 ( -,-,- ) // ( a,b,c )(,,c ), 可以得到,, 而為任意數, 它表示平面與平面的交線, 因此直線 L 可表為另一方面, 令比值 - c t, 可以得到 L 的參數式,t 為實數 ct 此外, 軸是平面平面的交線, 因此軸可以表示成理可得軸與軸分別用與來表示的形式, 同 ( 練習 ) () 試求通過 A (-,5,8 ) 且方向向量為 v (,-,5 ) ~5~

6 的直線 L 之比例式與參數式 () 試判別 C (,, ),D (,-, ) 是否在直線 L 上? Ans:() 5 8 t 5, 5 t 8 5t ()C 在 L 上,D 不在 L 上,t 為實數 ( 練習 ) 直線 L 有一方向向量 v (,5,), 且 L 上有一點 A(,,), 求 L 的參 t 數式 Ans: 5t,t 為實數 t t ( 練習 5) 設 L: 7t,t 為實數, 求直線 L 上 t 的點坐標, 並寫出此直 5 t 線的一個方向向量 Ans:(,,5),(,7,) ( 練習 6) 設直線 L 通過 A (-,,5 ), 試分別以下列的方向向量 v, 用聯立平面方程式的形式, 來表示直線 L () v (,, ) () v (,, ) Ans:() 5, () ( 練習 7) 設直線 L 有一方向向量 v (,,), 且過點 A(,5,), 則求直線 L 的比例式與參數式 Ans: 5 t, 5 t t,t R ( 乙 ) 空間中平面與平面直線與直線平面與直線的關係平面與平面的關係兩相異平面可能平行或相交於一直線, 利用平面的法向量, 可以判別出兩相異平面的關係 : 當兩法向量平行時, 兩相異平面互相平行當兩法向量不平行時, 兩相異平面相交於一直線在空間坐標系中, 當兩相異平面相交於一直線時, 我們可以用聯立的兩個平面方程式來代表這兩平面交線的方程式 ~6~

7 [ 例題 ] 設坐標空間中, 二平面 E: -, E:5 () 試判別平面 E 與 E 的關係 () 試求平面 E 與 E 交線的參數式與比例式 [ 分析 ]: () 利用法向量來判斷平面 E 與 E 的關係 () 要求交線的參數式, 只要求交線的方向向量與線上的一點即可根據例題的討論, 平面 E: - 與 E:5 之交線, 可用聯立方程式 -, 5 來表示, 稱為直線的兩面式結論 : 掌握方向向量與直線上的一點, 如果牽扯到直線的計算, 通常參數式會派上用場, 而如果只是表示直線的型式, 則三種表示皆可 ( 練習 8) 設兩平面 E:-6-5 與 E:-5, 試求下列兩小題 : () 求 E 與 E 交線的一個方向向量與交線上一點 () 求 E 與 E 之交線的參數式與比例式 Ans:()(,,5) (,,) t () t 5t,t 為實數, 5 ~7~

8 ( 練習 9) 求兩平面的交線 L 的比例式 7 Ans: 7 9 直線與直線的關係如下圖, 第一章中曾討論了空間中兩相異直線的關係 : 平行相交歪斜在坐標空間中, 我們可以依據直線的方向向量來判別空間中兩相異直線的關係若空間中兩直線 L 與 L 的方向向量分別為 v, v, 則當 v 與 v 平行時, 兩直線 L 與 L 可能平行或重合 ; 當 v 與 v 不平行時, 兩直線 L 與 L 可能相交或為歪斜線請注意 : 例如正立方體中, 直線 AB 與直線 CD 的方向向量 AB CD 互相垂直, 但是直線 AB 與直線 CD 為歪斜線 B A C D ~8~

9 [ 例題 5] 請判別兩直線 L: - -,L: 的關係 [ 解法 ]: Q L,L 的方向向量分別為 v (,-, ) 與 v (-,,- ), 而 v // v, L 與 L 平行或是重合點 (,-,- ) 在 L 上, 但是代入 L 的比例式, 得 , 也就是說點 (,-,- ) 並不在 L 上, - 所以 L 平行 L [ 例題 6] 判別兩直線 L: - - 與 L: -5-7 的關係 [ 解法 ]: 因為 L,L 的方向向量分別為 v (,,- ) 與 v (-,, ), 而 v 不平行 v, L 與 L 相交或是歪斜, 若有交點, 那麼 L 與 L 是相交, 否則就是歪斜假設 P 點為 L 與 L 交點, P 點在 L 上, P 點可以表成 (-t,t,--t ),t 為實數 P 點在 L 上, P 點可以表成 ( 5-s,-s,-7s ),s 為實數 ( 注意 : 因為兩相異直線上點的變化各自獨立, 所以要用不同的參數來表示 P 點 ) -t5-s 因此可得知 t-s --t-7s 由式解得 t,s, 代入式得 ---7, 所以聯立方程式的解為 t,s, 故 L 與 L 的交點為 P (-,5,-5 ), 所以 L 與 L 相交於 P (-,5,-5 ) t ( 練習 ) 請判別兩直線 L: -t,t 為實數, - t t L: -6t,t 為實數, 的關係 Ans:L 與 L 重合 -t ( 練習 ) 請判別兩直線 L:t,-5t,-t, L:t,t,-t,t 為實數, 之關係 Ans:L L 為兩歪斜線 ~9~

( 練習 ) 試判別直線 L 相交求交點, L : Ans: 相交,(6,,5) : 的相交情形, 若直線與平面的關係第一章中曾討論過空間中直線與平面的關係 -- 線在面上平行相交於一點利用平面 E 的法向量 n 與直線 L

(c) ) (a) L 與 E 平行 (b) L 落在 E 上 (c) L 與 E 交於一點更進一步來說, 根據直線的參數式或比例式與平面的方程式, 可以判定它們之間的關係舉一個實例來說明 : 5t [ 例題 7] 坐標空間中, 設直線

[ 解法 ]: () 直線 L 的方向向量與平面 E 的法向量並不垂直, ( (,-, ) (,-,-5 ) ) 直線 L 與平面 E 交於一點 () 設 P 為 L 與 E 的交點, 由於 P 在直線 L 上, 故可設 P (

10 ( 練習 ) 試判別直線 L 相交求交點, L : Ans: 相交,(6,,5) : 的相交情形, 若直線與平面的關係第一章中曾討論過空間中直線與平面的關係 -- 線在面上平行相交於一點利用平面 E 的法向量 n 與直線 L 的方向向量 v 可以來判別平面 E 與直線 L 的關係 : 當 n 垂直 v 時, 直線 L 不是落在平面 E 上就是與平面 E 平行 ( 如圖 (a)(b) ) 當 n 不垂直 v 時, 直線 L 與平面 E 會相交於一點 ( 如圖 (c) ) (a) L 與 E 平行 (b) L 落在 E 上 (c) L 與 E 交於一點更進一步來說, 根據直線的參數式或比例式與平面的方程式, 可以判定它們之間的關係舉一個實例來說明 : 5t [ 例題 7] 坐標空間中, 設直線 L: -t,t 為實數, 平面 E:--59, -t 試問直線 L 與平面 E 是否相交? 若相交, 則交點坐標為何? [ 解法 ]: () 直線 L 的方向向量與平面 E 的法向量並不垂直, ( (,-, ) (,-,-5 ) ) 直線 L 與平面 E 交於一點 () 設 P 為 L 與 E 的交點, 由於 P 在直線 L 上, 故可設 P ( 5t,-t,- t ), 將 P 的坐標代入 E 的方程式, 可得 ( 5t )- ( -t )-5 (-t )9, 解得 t-, 因此 L 與 E 的交點為 P (-,9,- ) ( 練習 ) 試判別下列直線與平面的關係 : t () L: -t,t 為實數,E:--59 t t () L: -t,t 為實數,E:--59 t Ans:()L 落在 E 上 ()L 平行平面 E ~~

11 根據例題 7 與練習, 可以得知直線 L 的參數式 ( 參數 t ) 代入平面方程式後, 得到 atb: 若 t 有唯一解, 則 L 與 E 只有一個交點 ; 若 t 無解, 則可知 L 與 E 無交點,L 與 E 平行 ; 若 t 有無限多個解, 則 L 上的點都在平面 E 上, 所以 L 落在 E 上 [ 例題 8] 設平面 E 的方程式為 --, 試求 ()A (-,,-6 ) 在 E 上的投影點 B 的坐標 () A (-,,-6 ) 關於 E 的對稱點坐標 Ans:() (,-,- ) ()(8,,) ( 練習 ) 設直線 L 的方程式為, 則下列那一個平面與 L 平行? (A) (B) (C) (D) (E) Ans:(B) ( 練習 5) 已知平面 E 的方程式為 5, 試判斷下列直線和平面 E 的關係若直線和平面 E 交於一點, 請求出交點坐標 () 直線 L: () 直線 L: t () 直線 L: t,t 為實數 t Ans:()L 與 E 交於一點 (,7 6, 8 ) ()L 平行 E ()L 在平面 E 上 ( 練習 6) 設 A(,,) 在平面 E:8 上的投影點坐標, 並求 A 點對此平 ~~

12 面的對稱點 Ans:(6,,) (9,6,) ( 練習 7) 設 P(,,) 為平面 E: 的點, 則 (6) 的最小值為? Ans:9 ( 練習 8) 已知 A(,,) B(,,), 平面 E:,P 為平面 E 上的動點, () 求 P 點使得 AP BP 最小 () 並求此最小值 Ans:()P( 6 5,9 5, 5 ) () ( 丙 ) 距離問題根據前面的討論, 在空間坐標系中, 利用平面與直線方程式可以判別平面與平面, 直線與直線, 直線與平面的關係, 若它們相交, 可以找出交點交線與交角若兩直線或兩平面不相交的話, 就可以討論它們彼此之間的距離 - 節中從點到平面的距離開始討論, 最後可以求得平行平面間的距離 ; 同樣的, 可以從點到直線的距離開始討論, 求出兩平行線與兩歪斜線的距離點到直線的距離在空間中, 恰有一個平面通過直線 L, 與 L 外一點 P 因此在空間中討論 P 點到直線 L 的距離, 就如同在平面上討論 P 點到直線 L 的距離一樣設 H 點為 P 點對直線 L 的投影點, 則 P 點到 L 的距離是 PH 的長度, 而 PH 的長度亦是 P 點到 L 上各點連線段長度之最小值, 如下圖因此根據這樣的想法, 給定 P 點的坐標與直線 L 的參數式或比例式, 就可以求出 P 點到 L 的距離, 我們用下面的實例來說明 [ 例題 9] 設點 P (-5,,-8 ), 直線 L: () 自 P 點作直線 L 的垂線與直線 L 交於 H, 求 H 點坐標 () 求點 P 到直線 L 的距離 [ 解法 ]: < 方法一 > () 因為 H 點在 L 上, 故令 H 點的坐標為 H ( t,-t,-t ), 由於直線 PH 垂直直線 L, 所以 PH ( 8t,-t,7t ) 與 L 的方向向量 v (,-, ) 垂直, 所以 ( 8t,-t,7t ) (,-,), 故可得 9t8, 解得 t-, 故 H 點的坐標為 (,6,-5 ) () 點 P 到直線 L 的距離 PH (-5- ) ( -6 ) (-85 ) 8 9 ~~

13 < 方法二 > 根據最小距離的原理, 可設 Q ( t,-t,-t ) 為 L 上的任一點 PQ (-5--t ) ( -t ) (-8-t ) 9t 6t7 9 ( t t )8 9 ( t ) 8, 故當 t- 時, PQ 8 9 最小, 此時 Q (,6,-5 ) 即為 H 點而且點 P 到直線 L 的距離 8 9 平行線間的距離空間中, 設直線 L 平行直線 L, 因為 L 與 L 在同一平面上, 因此討論空間中兩平行線的距離就相當於在平面上的情形一樣即平行線的距離為 L 與 L 的公垂線段的長度 ( AB) 換句話說, 平行線 L L 間的距離會等於 L 上任一點到 L 的距離 A L B L 空間坐標中, 給定兩平行直線的參數式或比例式, 利用前面點到直線距離的求法, 就可以求出它們的距離, 接下來用實例來說明 [ 例題 ] 二平行線 L: 與 L:, 求 L 與 L 間的距離解法 : 取 L 上的點 P(,,), 平行線 L 與 L 間的距離等於點 P 到直線 L 的距離設 P 點對 L 的投影點 Q, 因為 Q 在 L 上, 可令 Q(t,t,t) 由此可得 PQ (t,t,t), ~~

14 因為 PQ L 且 (,,) 為 L 的一個方向向量所以 PQ.(,,), 得 (t)(t)(t) 解得 t, 故 Q(,,) 所以 L 與 L 間的距離 PQ () () () Q P L ( 練習 9) 空間中有一點 P(,,6) 直線 L: () 試求 P 點到直線 L 的距離 () 點 P 關於直線 L 的對稱點坐標 Ans:() ()(,7,) 8 6 L ( 練習 ) 設空間中有一點 P(,,6), 直線 L: 8 6 () 在 L 上取點 A(,8,6) B(,,8), 試求 ΔABP 的面積 () 試求點 P 到直線 L 的距離 5 Ans:() () t ( 練習 ) 在空間坐標中, 點 P(,,) 到直線 t,t 為實數的最短距離為 t 多少? 此時之投影點坐標為何? Ans:,(,5,8 ) ( 練習 ) 設直線 L: 與 L: 試說明直線 L 平行直線 L () 試求 L 與 L 間的距離 Ans:() () 兩斜線距離間的距離觀察一個面紙盒, 直線 AD 與 EF 為兩歪斜線, 很顯然 AE 同時垂直直線 AD 與 EF, 即 AE 為歪斜線 AD 與 EF 的公垂線段空間中, 任意兩歪斜線 L 與 L, 他們是否有公垂線段呢? 而兩歪斜線的距離會是公垂線段長度嗎? 這是我們接下來要討論的問題 : ~~

求歪斜線的公垂線 () 先找一個平面 E 通過 L 而與 L 平行 : 在 L 上找一點 D, 過 D 作直線 L 與 L 平行, 因為 L 與 L 歪斜, 故 L 與 L 交於一點

上的投影點 (b) 若 H 在 L 上, 則 KH 即為公垂線段若 H 不在 L 上, 過 H 作直線 L 平行 L,L 即為 L 對平面 E 的投影直線 (c) 設 L 與 L

P,Q 的 A,B 兩點, 設 A 點對平面 E 的投影點為 C, 此時 C 點會落在 L 上, 由於 APQC 為矩形, 所以 AC PQ 因為直線 AC 垂直平面 E, 所以直線

15 求歪斜線的公垂線 () 先找一個平面 E 通過 L 而與 L 平行 : 在 L 上找一點 D, 過 D 作直線 L 與 L 平行, 因為 L 與 L 歪斜, 故 L 與 L 交於一點 D, 因此直線 L 與 L 可以決定一個平面 E, E 通過 L 而且與 L 平行 () 再找 L,L 的公垂線 : (a) 在 L 上取一點 K, 設 H 點為 K 點在 E 上的投影點 (b) 若 H 在 L 上, 則 KH 即為公垂線段若 H 不在 L 上, 過 H 作直線 L 平行 L,L 即為 L 對平面 E 的投影直線 (c) 設 L 與 L 交於 Q 點,Q 點對 L 作垂線, 設垂足為 P 點, 直線 PQ 會垂直 L 與 L, 故 PQ 為 L,L 的公垂線段求兩歪斜線的距離如圖 -, 在 L,L 上分別取異於 P,Q 的 A,B 兩點, 設 A 點對平面 E 的投影點為 C, 此時 C 點會落在 L 上, 由於 APQC 為矩形, 所以 AC PQ 因為直線 AC 垂直平面 E, 所以直線 BC 與 AC 互相垂直, 故 ABC 為直角三角形, 且 AB > AC PQ, 即在歪斜線 L,L 上各取一點的連線段長之最小值 ( L,L 之距離 ) 為 L 與 L 公垂線段的長度 ~5~

16 結論 : 歪斜線 L,L 的距離等於公垂線段長度, 也等於 L 上任取一點 A 到平面 E 的距離, 其中 E 包含 L, 且平行 L [ 例題 ] 坐標空間中, 兩歪斜線 L: - 與 L: - - -, 直線 L 為直線 L 與 L 的公垂線試求 : () 直線 L 與 L,L 的交點坐標 () 直線 L 與 L 的距離 [ 解法 ]: () 設公垂線 L 與 L,L 的交點為 P,Q, 因為 P,Q 分別在直線 L,L 上, 所以可設 P (-t,t,--t ),Q ( -s,-s,s ), ( 注意 : 因為兩相異直線上點的變化各自獨立, 所以 P,Q 要用不同的參數 ) 則 PQ (-s-t,s-t-5,st ) 因為 PQ 為公垂線段, 所以 PQ L 且 PQ L, 故 PQ 為 L 與 L 方向向量 v (,,- ) 與 v (-,, ) 的公垂向量, 於是 PQ // ( v v ), 而 v v ( -, - -, - ) (,5, ), 故 -s-t s-t-5 5 st 則 5 (-s-t ) ( s-t-5 ) ( s-t-5 )5 ( st ), 化簡得 s-t- 7s-6t-, 解此聯立方程式得 s,t-, 故公垂線段兩端點 P (-,,- ),Q (-,, ) () 公垂線段 PQ 長等於 L 與 L 的距離, 因此可得 L 與 L 之距離為 PQ (- ) ( - ) ( ), ~6~

17 [ 例題 ] 承例題, 設平面 E 包含 L 而與 L 平行, 試回答下列各小題 : () 試求平面 E 的方程式 () 在 L 上取點 A (-,,- ), 試求 A 點到平面 E 的距離 () 試求歪斜線 L 與 L 的距離 Ans:() () () ( 練習 ) 設 L:,M:9, () 試判別 L M 的相關位置 () 求 L M 的公垂線方程式 () 求 d(l,m)?ans:() 歪斜 () () 6 7 ( 練習 ) 設二直線 L:,M: () 求包含 L 且與 M 平行的平面 () 求 d(l,m) Ans:()57 () 6 為空間中二直線 ~7~

18 ~8~ B A n ( 丁 ) 由點線決定的平面決定平面的四個條件 : (a) 不共線的相異三點 (b) 一線與其線外一點 (c) 二相交直線 (d) 二平行線 [ 例題 ] 求過點 A(,,) 且包含直線 L: 之平面方程式 Ans:69 [ 例題 ] 試求包含二相交直線 :, : L L 的平面方程式 Ans:5 [ 例題 5] 試求過二平行線 :, : L L 之平面方程式 Ans: A L B n l

19 ~9~ ( 練習 5) 已知直線 L: 與點 P(,,) 試求 () 直線 L 與點 P 所決定的平面方程式 () 包含直線 L 且垂直平面的平面方程式 Ans:()65 ()5 ( 練習 6) 求包含二平行線與 t t t,(t 為實數 ) 的平面方程式 Ans:75 ( 練習 7) 空間中兩相交直線 L:,L: 則求通過 L L 的平面 Ans: ( 補充教材 ) ( 戊 ) 平面族的意義例子 : () 對於任意的實數 a, 二平面 E:,E:5 之交線 t t t (t 為實數 ) 是否在平面 a()(5) 上? () 5 的交線與 ) 5 ( ) ( a 的交線是否代表相同的直線? [ 解法 ]: () 將 5 交線的參數式 t t t 代入平面 a()(5), 可知交線落在該平面上 () ) 5 ( ) ( a 與 5 的交線代表同一條直線從方程組的觀點來看, 這兩個方程組的解相同從 () 可以得知平面 a()(5) 會包含二平面 E:, E:5 之交線, 反過來說, 所有通過 E E 交線的平面是否都能表成平面 a()(5) 的形式呢? () 通過兩平面 E E 交線的平面 : 設 E :a b c d,e :a b c d, 二平面交於一直線 L,

20 則通過此直線的平面可設為 :k (a b c d )k (a b c d ) (k k ) [ 證明 ]: 設 f(,) abcd,f(,) abcd 很容易可以證明交線 L 上的點都會在平面 kf(,)kf(,), 其中 k k 設平面 E 通過交線 L, 再 E 上取一點 A(,,), 且 A 不在 L 上, 取 kf(,),k f(,) 考慮平面 f(,).(abcd) f(,).(abcd) (*) (*) 很明顯會通過 L 上的兩點 B C, 故 (*) 所代表的平面會通過 A B C 三點, 因為通過不共線三點 A B C 的平面只有一個, 即為平面 E 因此平面 E 的方程式為 f(,).(abcd) f(,).(abcd) k(abcd)k(abcd) 代表兩平面 E:abcd, E:abcd 交線 L 的平面, 當 k, 代表平面 E, 當 k, 代表平面 E 當 k 時, 可以將 k(abcd)k(abcd) 化成 abcdk(abcd) 的型式, 其中 k k k 我們可以得到以下的結論 : a b c d 通過直線 L: 的平面 ( 除了平面 abcd 之外 ) 可以 a b c d 表成 abcdk(abcd) 的型式 7 [ 例題 6] 過直線, 且與直線 6 Ans:5 平行的平面方程式 ( 練習 8) () 求包含二平面, 之交線且垂直平面 6 之平面方程式 () 求過直線, 且與軸平行的平面方程式 Ans:() () ( 練習 9) 求包含平面 56 交線的平面, 且與平行的平面方程式 Ans:78685 ~~

21 [ 例題 7] A(5,,) B(,,5) 為空間中二點,P 為軸上的一個動點, 當 AP BP 小時,P 之坐標為何? Ans:P(,,) [ 例題 8] L: 5,L: 5 ()L 與 L 的交點坐標 ()L L 二線交角平分線之方程式 Ans:()(,5,) () 5 或 5 5 ( 練習 ) 求軸與平面 6 交角為 θ, 求 sinθ? Ans: 6 7 ( 練習 ) A(,,5) B(,8,) 為空間中二點,P 是軸上一個動點, 當 AP BP 小時,P 之坐標為何? Ans:(,,) ( 練習 ) 過點 (,,) 與 (,,) 二點的直線與平面 7 之交角為 θ, 求 sinθ? Ans: ~~

22 綜合練習 () 試求符合下列條件之直線方程式 : (a) 過點 (,,) 且平行軸 (b) 過點 (9,8,7) 且平行直線 5 t (c) 過點 (,,6) 且垂直於直線 7 t,t 為實數 t () 空間中, 下列何者代表直線 : t 5 (A) (B) t t 為任意實數 (C) (D) (E) 5 () 空間中一直線 L:, 則下列何者為真? (A)L 的方向向量為 (,,) (B) 點 (,,) 在直線 L 上 (C)L 與 7 重合 (D)L 與垂直 (E)L 在平面上上 () 關於直線 L:, 選出正確的選項 : () 直線 L 與 L: 6 6 平行 () 直線 L 與 L: 平行 () 直線 L 與 L: 交於一點 () 直線 L 與 L: 歪斜 (5) 關於點 P(,,) 點 Q(,,) 及直線 L:, 試問下列選項哪些是正確的? ()P 點在直線 L 上 ()Q 點在直線 L 上 () 直線 PQ 與直線 L 垂直 ()P 點到直線 L 的距離為 6 (5) 包含 L 且與直線 PQ 垂直之平面方程式為 ~~

23 (6) 坐標空間中, 直線 L 上距離點 Q 最近的點稱為 Q 在 L 上的投影點已知 L 為平面上通過點 (,,) 的一直線請問下列哪些選項中的點可能是原點 O 在 L 上的投影點? ()(,,) () (,,) () ( 5, 5,) () ( 5, 5,) (5) ( 8 9, 9, 9 ) ( 年學科能力測驗 ) (7) H: 為坐標空間中一平面,L 為平面 H 上一直線已知點 P(,,) 為 L 上距離原點 O 最近的點, 已知 (,m,n) 為 L 的方向向量, 試求 (m,n)? ( 學科能力測驗 ) (8) 設 A(,,) B(,,) 對稱於平面 abc, 求 (a) (a,b,c)? (b) AB 與此平面的交點 (9) 給予一平面 E: 及一點 P(,5,), 求 P 在 E 上的正射影,P 對於 E 的對稱點 () 設 A(,,) B(,5,) 及平面 E:5, 求 E 上的一點 P 使得 AP BP 最小 () 平面 E 過點 (,,), 且二平面與的交線落在 E 上, 求平面 E 的方程式 () ( 正射影與點到直線的距離 ) 設空間中有一點 A(,, ), 直線 L:, 在 L 上取一點 P(,,) (a) 試求 PA 在方向向量 v (,,) 的正射影 (b) 試求 A 點對直線 L 的投影點坐標 (c) 試求 A 點到直線 L 的距離 () 設空間坐標中有一個金字塔形狀的立體圖形, 其中每個稜長都相等, 底面 ABCD 落在平面上, 其中 A(,,) C(,,) D(,,) 且 E 點在平面上方, 試求下列各小題 : (a) 試求 A 點到平面 BCE 的距離 (b) 試求 D 點到直線 BE 的距離 () 空間中有二直線 L :, L : (a) 求包含 L 且與 L 平行的平面 E 的方程式 (b)l 與 L 的距離 ~~

24 (5) 某次航空展有兩架飛機在空中進行分列式表演, 在某個小範圍的空域中, 兩架飛機直線飛行根據塔台的觀測資料 : 甲飛機一開始在 A(,,), 秒之後飛到 B(5,8,); 乙飛機一開始在 C(,8,), 秒之後飛到 D(,,), 根據這些資料, 請預測這兩架飛機在這個空域內會發生碰撞嗎? (6) 空間中兩直線 L:,L: 試求 : 相交於一點, (a)l 與 L 的交點坐標 (b) 兩線交角 θ,cosθ? (c) 包含 L 與 L 的平面 (7) L: L:, 求過點 (,6,) 且與 L L 均平行的平面方程式 6 (8) 設 L:,L: 軸, 若 L 上一點 P L 上一點 Q, 使得 PQ 分別與 L L 垂直, 求 Q 點坐標及 PQ 之長進階問題 (9) 設二直線 L:,L: 為空間中二直線 (a) 求 L 與 L 的交點 (b) 求交角平分線 (c) 求包含 L 與 L 的平面方程式 () (a) 若 a (,,), b (8,,), c t a b, 若 c 與 a 的夾角等於 c 與 b 的夾角, 求 c (b) 已知直線 L:, 直線 L: 8, 求 L 與 L 的交角平分線的參數式 () 已知正四面體的四個頂點在兩條歪斜線 L 與 L 上, 其中 t L: t,t 為實數 s L: s,s 為實數試求出四個頂點的坐標 ~~

25 () 空間坐標系中, 設 Γ 為空間中之稜長為的一正立方體 ( 如下圖所示 ), 設平面 α 的方程式為 5k, 試求下列各小題 : (a) 當 k 時, 正立方體 Γ 被平面 α 截出一個四面體, 且此四面體包含 E 點, 試求此四面體的體積 (b) 當 k 變動, 而且使得正立方體 Γ 被平面 α 截出一個包含 E 點的四面體, 試求 k 之範圍 () 設空間中直線 L 通過 P 點且方向向量為 v 證明 :Q 點到直線 L 的距離為 PQ v v [ 提示 : 可以令直線 PQ 與直線 L 的交角為 θ, 利用外積與三角的性質 ] t s () 設直線 L: t L: s t s (a) 證明 L L 為歪斜線 (b) 設 P(t,t,t) 在 L 上,Q R 為 L 的兩相異點, 且 ΔPQR 為正三角形時, 試以 t 表示 ΔPQR 的面積 (c) 請問當正 ΔPQR 的面積最小時,P 點坐標為何? (5) 空間中平面 α:, 直線 β: (a) 求直線 β 與平面 α 的交點 A 之坐標 (b) 自直線 β 上之點 P 向平面 α 做垂線, 垂足為 Q, 使 ΔAPQ 之面積為, 求 P 之坐標 ~5~

26 () (a) t (b) 9 7 () (A)(B)(D) () (B)(D)(E) () ()() (5) ()()()(5) 綜合練習解答 8 (6) ()()(5) [ 解法 ]: 如右圖, 令 A(,,), 若點 P 符合條件要求那麼 P 在上且 OP AP 因此可以據此檢查選項中的點是否符合在上且 OP AP 故選 ()()(5) (7) (,) (8) (a)(,,) (b)(,, ) (9) (,,5) (6,7,7) () (,,) () () (a) (,,) (b) (,,) (c) () (a) 6 (b) () (a)575 (b) 7 5 (5) 不會 7 7 (c) 6 A P O (6) (a)(6,,5) (b) ± 6 (c) (7) 6 (8) Q(,,) 6 (9) (a) (,,5 )(b) 5 ~6~ 或 5, (c)5 t 5t () (a) (,,5) (b) t,t 為實數或 t,t 為實數 5t 7t

27 [ 提示 : 因為 c 與 a 的夾角等於 c 與 b 的夾角, 所以 t a b, 且 t>] () (,,) (,,) (,,) (,,) () (a) (b)<k () Q 點到直線 L 的距離為 PQ sinθ PQ v sinθ PQ v v v () (a) 證明 L L 無交點且方向向量不平行 (b) (5t t 7 ) (c)( 5, 5, 5 ) [ 提示 :(b) 先求 P 點到 L 的距離, 此距離為正三角形 PQR 的高, 進一步求面積 ] (5) (a)a(5,5,) (b)p(7,7,6) 或 (,,) [ 解法 ]: (a) 令 A(t,t,t) 代入 α 的方程式, 可得 t A(5,5,) (b) 令 PAl, 去求 β 的方向向量與 α 的法向量的銳夾角為 θ, PAQ9 θ sin( PAQ), 由 ΔAPQ 之面積為 l 設 P(5s,5s,s) 66 因為 AP s± P 點坐標 (7,7,6) 或 (,,) ~7~

遞迴數列

遞迴數列 - 空間中的直線方程式目標 i) 能以參數式或比例式表示出坐標空間中的直線並能處理直線與直線直線與平面的關係 ii) 除 i) 之教材外再進一步能處理點到直線的距離兩平行線之距離以及兩歪斜線的距離討論. 在坐標空間中設 O 是原點當 d m n) 是直線的一個方向向量且 A ) 是上一個定點時動點 P ) 在直線上的充要條件是 AP d 其中是一個實數如圖所示於是