6. 某貨品為避免因成本變動而造成售價波動太過劇烈, 當週售價相對於前一週售價的漲跌幅定為當週成本相對於前一週成本的漲跌幅的一半例如下表中第二週成本上漲 00%, 所以第二週售價上漲 0% 依此定價方式以及下表的資訊, 試選出正確的選項? 當週成本前週成本當週售價前週售價註: 成本漲跌幅,

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宴芮
5 years ago
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1 07 年大學學科能力測驗數學科參考詳解單一選擇題. 給定相異兩點 A B, 試問空間中能使 PAB 成一正三角形的所有點 P 所成集合為下列哪一選項? () 兩個點 () 一線段 () 一直線 (4) 一圓 () 一平面解若在坐標平面上, 滿足 PAB 為正三角形的 P 點應有兩點 P, P 則以 AB 中點 M 為中心, 在空間中, 將 P, P 以 AB 為旋轉軸繞 M 旋轉一圈的所有點均到 A B 等距且長度與 AB 相同故這些點都可為 P 點, 使 PAB 為正三角形所有點 P 所成集合應為一圓, 故選 (4). 一份試卷共有 0 題單選題, 每題有個選項, 其中只有一個選項是正確答案假設小明以隨機猜答的方式回答此試卷, 且各題猜答方式互不影響試估計小明全部答對的機率最接近下列哪一選項? () 0 6 () 0 7 () 0 8 (4) 0 () 0 9 解每一題都有種選擇答案的方式, 全部答對的機率 p log p log log 0log log0 log. 0 7 log(. 0 ) 7 p. 0, 故選 (). 某公司規定員工可在一星期 ( 七天 ) 當中選擇兩天休假若甲乙兩人隨機選擇休假日且兩人的選擇互不相關, 試問一星期當中發生兩人在同一天休假的機率為何? () () 8 () (4) 0 () 7 解所求 P( 兩人均在不同天休假 ) 甲從 7天選天乙從剩下天選天 7 C C C C C C 0, 故選 () 9 x 0 4. 試問有多少個整數 x 滿足 0 9? () 個 () 個 () 個 (4) 4 個 () 0 個 9 x 0 解 log0 log log9 9 x log 0 log9 9 x x 9. x. 整數 x 可為 0 或, 共有個, 故選 () 試問共有幾個角度滿足 0 80, 且 cos( 60 ), cos, cos( 60 ) 依序成一等差數列? () 個 () 個 () 個 (4) 4 個 () 個解利用等差中項: cos cos( 60 ) cos( 60 ) coscos60 sin sin 60 cos cos cos60 sin sin 60 cos cos cos 60 cos cos ( ) cos cos cos 0 又在此範圍內, 餘弦值為 0 的角度有 , 共有個, 故選 ()

2 6. 某貨品為避免因成本變動而造成售價波動太過劇烈, 當週售價相對於前一週售價的漲跌幅定為當週成本相對於前一週成本的漲跌幅的一半例如下表中第二週成本上漲 00%, 所以第二週售價上漲 0% 依此定價方式以及下表的資訊, 試選出正確的選項? 當週成本前週成本當週售價前週售價註: 成本漲跌幅, 售價漲跌幅前週成本前週售價成本售價第一週第二週第三週第四週 x y ()0 x y 80 ()0 x y 80 () x0 y 80 (4)0 x80 y ()0 x80 y % 解第三週的成本漲跌幅為 00% 0% 第三週售價的漲跌幅應為 % 00 推知 : 第三週的售價為 80 ( %) x % 第四週的成本漲跌幅為 00% 80% 第四週售價的漲跌幅應為 40% 0 推知 : 第四週的售價為 x( 40%).4 89 y 89 滿足 0 x80 y, 故選 () 7. ABC 內接於圓心為 O 之單位圓若 OA OB OC 0, 則 BAC 之度數為何? ()0 () 4 () 60 (4) 7 ()90 解 O 為 ABC 外接圓圓心, 且 OA OB OC OB OC OA OB OC OA OB OC OA OB OB OC OC OA OB OC OB OC OB OC 則 cos BOC BOC 0 OB OC 又 BAC 為 BOC 的圓周角 BAC BOC 7, 故選 (4)

3 多重選擇題 8. 某年學科能力測驗小華的成績為 : 國文級分英文級分數學 9 級分自然 9 級分社會級分他考慮申請一些校系, 表為大考中心公布的學測各科成績標準 ; 表是他最有興趣的五個校系規定的申請檢定標準, 依規定申請者需通過該校系所有檢定標準才會被列入篩選例如甲校系規定國文成績須達均標英文須達前標且社會須達均標 ; 丙校系則規定英文須達均標且數學或自然至少有一科達前標表空白者表示該校系對該科成績未規定檢定標準表學測各科成績標準頂標前標均標後標底標國文英文數學自然 9 6 社會表校系篩選規定國文英文數學自然社會甲校系均標前標均標乙校系前標均標前標丙校系均標一科達前標丁校系一科達前標均標均標戊校系均標前標均標前標根據以上資訊, 試問小華可以考慮申請哪些校系 ( 會被列入篩選 )? () 甲校系 () 乙校系 () 丙校系 (4) 丁校系 () 戊校系解若該科達頂標, 則必達前標均標後標底標, 依此類推小華成績分布 : 國文級分, 達到均標, 未達前標 ; 英文級分, 達到前標, 未達頂標 ; 數學 9 級分, 達到均標, 未達前標 ; 自然 9 級分, 達到均標, 未達前標 ; 社會級分, 達到前標, 未達頂標 () 甲校系要求國文須達均標英文須達前標社會須達均標小華國文恰達均標, 英文恰達前標, 社會達前標必達均標, 故可申請甲校系 () 乙校系要求國文須達前標英文須達均標社會須達前標而小華國文僅達均標, 未達前標, 故不可申請乙校系 ( 即不列入篩選 ) () 丙校系要求英文須達均標數學自然至少一科須達前標而小華數學自然都僅達均標, 皆未達前標, 故不可申請丙校系 ( 即不列入篩選 ) (4) 丁校系要求國文英文至少一科須達前標自然須達均標社會須達均標小華英文恰達前標, 自然恰達均標, 社會達前標必達均標, 故可申請丙校系 () 戊校系要求國文須達均標英文須達均標數學須達均標自然須達前標而小華自然僅達均標, 未達前標, 故不可申請戊校系 ( 即不列入篩選 ) 故選 ()(4)

4 9. 已知多項式 f( x ) 除以 x 之餘式為 x 試選出正確的選項 () f (0) () f () () f( x ) 可能為一次式 (4) f( x ) 可能為 4 () f( x ) 可能為 4x x 解利用除法原理知: f ( x) ( x ) Q( x) x, 其中 Qx ( ) 為商式詳解製作 : 林煜家老師校稿 : 陳瑋岳老師 4 4x x () f (0) (0 ) Q(0) Q(0), 未知多項式 Qx ( ) 為何, 並無從得知 Q (0), 故無法推知 f (0) f () () 由餘式定理 : f ( x) ( x ) Q( x) x ( x )( x ) Q( x) x f ( ) ( ) () 若 Qx ( ) 為零多項式, 則 f ( x) x, 故 f( x ) 可為一次式由 () 知, 若多項式 f( x ) 滿足 f () f ( ), 則都可為題意所述的多項式 f( x ) (4) () 4 f () f ( ) 4 ( ) ( ) f( x) 不可能為 4x x 4 f () 4 4 f ( ) 4 ( ) ( ) f( x) 故選 ()()() 0. 已知坐標平面上 ABC, 其中 AB ( 4, ), 且 AC 4 可能為 4x x 4 (, ) () BC () ABC 是直角三角形 () ABC () cos A cos B 試選出正確的選項的面積為 (4) sin B sin C 4 解 AB AB ( 4), AC AC ( ) ( ) 4 () BC AC AB (, ) ( 4, ) (, ) BC BC ( ) ( ) ( ) () BC AC (, ) (, ) ( ) 0 BC AC C 90, 即 ABC 為直角 () C 90 ABC 面積 AC BC (4) C 90 sin C B 為銳角 sin B sin 90 sin B, 故 sin B sin C () 利用樞紐定理 ( 大角對大邊, 小角對小邊 ) BC AC, 且 BC 為 A 的對邊, AC 為 B 的對邊, 故知 A B 且 A B 均為銳角, 再利用角度越大, 餘弦值越小的概念知 : cos A cos B 故選 ()()

5 x y z. 坐標空間中, 設直線 L :, 平面 E : x y z 0, 平面 E : x y z 0 試選出正確的選項 () 點 (, 0, ) 在直線 L 上 () 點 (,, ) 在平面 E 上 () 直線 L 與平面 E 垂直 (4) 直線 L 在平面 E 上 () 平面 E 與 E 交於一直線解 () (, 0, ) 代入直線 L 得 : 0, 故 (, 0, ) 不在 L 上 () (,, ) 代入 E 得 : 0 (,, ) 不在 E 上 () L 的方向向量 (,, ), E 的法向量 n (,, ), // n, 表可作為 E 的法向量, 即 L E (4) L 的方向向量 (,, ), E 的法向量 n (,, ) n (,, ) (,, ) 0, 表示 L// E 或 L 落在平面 E 上又 L 上有一點 (,, 0), 代入 E 得 : 0 0, 故 L// E () E 的法向量 n (,, ), E 的法向量 n (,, ), // 故兩平面交於一直線故選 ()(). 試問下列哪些選項中的二次曲線, 其焦點 ( 之一 ) 是拋物線 y n n x的焦點? x y 4y () y ( x ) () () x (4) 8x 8y () 4x 4y 4 4 解拋物線 y x y 4 ( ) x, 頂點為 (0, 0), c 0 為右拋焦點坐標為 (, 0) () ( x ) y ( x ) 4 ( ) ( y ) 為頂點在 (, ), c 且開口向上的拋物線焦點坐標為 (, c) (, 0) 4 () a 4, b c a b c, 為中心在 (0, 0), c 的橫向型橢圓焦點坐標為 (0 c, 0) (, 0) 或 (, 0) x y (), a, b c c, 為中心在 (0, 0), c 的橫向型橢圓焦點坐標為 (0 c, 0) (, 0) 或 (, 0) x y (4), a, b c c, 為中心在 (0, 0), c 的左右型雙曲線焦點坐標為 (0 c, 0) (, 0) 或 (, 0) x y (), a, b c c, 為中心在 (0, 0), c 的左右型雙曲線焦點坐標為 (0 c, 0) (, 0) 或 (, 0) 故選 ()()(4)

log 6 6 6 6 y log log 6 log log 6 log 4 log 6 log(4 6) log 4 B.

AB 4k 4k cos 60 k k k 8k 0 k 0 k 4 故梯長 AB k 4 70 公分 C.

6 選填題 A. 已知坐標平面上三點 (, log) (6, log 6) 與 (, y ) 在同一直線上, 則 y 解三點共線任兩點斜率相同 6 log log 6 log y log 6 y log 6 log y log 6 log y log y log log 6 log log 6 log 4 log 6 log(4 6) log 4 B. 如右圖所示 ( 只是示意圖 ), 將梯子 AB 靠在地面垂直的牆 AC 上, 測得與水平地面的夾角 ABC 為 60 將在地面上的底 B 沿著地面向外拉公分到點 F ( 即 FB 公分 ), 此時梯子 EF 與地面的夾角 EFC 之正弦值為 sin EFC 0.6, 則梯子長 AB 公分 4 解 sin EFC cos EFC 可設 EF k, FC 4k ( k 0 ) 則 BC 4k, 且 AB EF k ( 梯長兩長度相同 ), 如右圖 BC 又 ABC 60, 則 cosabc AB 4k 4k cos 60 k k k 8k 0 k 0 k 4 故梯長 AB k 4 70 公分 C. 平面上兩點 A B 之距離為, 以 A 為圓心作一半徑為 r ( 0r ) 的圓, 過 B 作圓的切線, 切點 ( 之一 ) 為 P 當 r 變動時, PAB 的面積最大可能值為 ( 化成最簡分數 ) 解設切線段長 PB 又 PAB 為直角三角形 x, 圓半徑為 AP r, 則圓半徑必垂直於切線段長 PAB AB PA PB r x x r 面積為利用算幾不等式知 : x r x r xr xr PAB 最大面積為 4 D. 坐標平面上, 圓落在四個不等式 : x y 4 x y 8 x y x y 4 所圍成的區域內則最大可能面積為 ( 化成最簡分數 ) 解將四個不等式所形成的不等式組繪圖如右: 右圖中, 灰色區域為可行解區域在灰色區域中的最大之圓為同時與 L L 相切之圓故最大之圓直徑即 L 與 L 之距離最大之圓半徑即 L 與 L 之距離的一半 4 6 d( L, L) 最大圓半徑為 ( ) 9 所求之最大圓面積 ( ) x r 4

7 E. 坐標平面上, 若拋物線 y x x 的頂點為 C, 與 x 軸的交點為 A B, 則 cos ACB ( 化成最簡分數 ) 解 y x x ( x ) 4 拋物線頂點 C(, 4) y x x A, B 坐標 x x 0 y 0 ( x )( x ) 0 x 或可令 A(, 0) B (, 0), 如右圖 AB 4, 利用拋物線對稱性 : CB CA ( ( )) ( 4 0) 0 CA CB AB cosacb CACB 另解 ( 0) ( 0) 4 4 AH 設 C 到 x 軸的垂足為 H, 則 H (, 0), 此時 tan ACH CH 4 ( ) tan ACH 則 cos ACB cos( ACH ) 4 tan ACH ( ) 4 a b x 7 7 F. 設 a, b, c, d, e, x, y, z 皆為實數, 考慮矩陣相乘 : c d 0 y e, z 則 y ( 化成最簡分數 ) a b 解設 A c d 7 B x e C 0 y 7, 則 A B C z 由 c a b a b 7 e e 6 e 8 c a b a b 0 c ( ) d ( 4) c 4d 0 再由 c 7, d c a b a b 7 c 7 d 8 7c 8d 又 c a b a b y c d 6 7 ( ) 6, 故所求 y 4 G. 設 D 為 ABC 中 BC 邊上的一點, 已知 ABC 7 ACB 4 ADB 60 若 AD s AB t AC, 則 s,t ( 化成最簡分數 ) BD AD AD sin 4 解由 ABD 知 : BD sin 4 sin 7 sin 7 CD AD AD sin 由 ACD 知 : CD sin sin 4 sin 4 AD sin 4 ( ) BD sin 7 (sin 4 ) CD AD sin sin 7sin 6 6 ( ) ( ) sin 即 BD : DC :, 由分點公式知 : AC AB AD AB AC, 故 s, t

利用餘弦定理知 : HC BH BC BH BC cos DBC BD HC 9 0 90 8400 88 9 4 故所求 AC AH HC 44 9 7 另解長方形鐵片的對角線 BD 長為 0 如右圖, 自空間中一點 A 作平面 CBD 之垂足 H 落在 BD

8 H. 將一塊邊長 AB 公分 BC 0 公分的長方形鐵片 ABCD 沿對角線 BD 對摺後豎立, 使得平面 ABD 與平面 CBD 垂直, 則 A C 兩點 ( 在空間 ) 的距離 AC 公分 ( 化成最簡根式 ) 解如右圖, 自空間中一點 A 作平面 CBD 之垂足 H 平面 ABD 平面 CBD 垂足 H 落在對角線 BD 上且 AH HC 又 BA AD, 且 BA, AD 0 BD 0 0 此時, AH 為直角三角形 ABD 斜邊上的高 AH 且 BH AB AH 9 BC 0 4 而 cos DBC, 利用餘弦定理知 : HC BH BC BH BC cos DBC BD HC 故所求 AC AH HC 另解長方形鐵片的對角線 BD 長為 0 如右圖, 自空間中一點 A 作平面 CBD 之垂足 H 落在 BD 上另自 C 作 BD 的垂足 M 0 則 AH CM 均為斜邊上的高, 即 AH CM 故 BH MD AB AH 9, 此時 HM AM 7 9 又 AH 平面 BCD, HM CM, 利用三垂線定理知 : AM CM 故所求 AC AM CM

Microsoft Word - 107年學測試題詳解與分析

Microsoft Word - 107年學測試題詳解與分析國立鳳山高中 / 張簡瑞璨老師一題型及試題內容分布題目冊別單元內容單選題多選題選填題配分總分第一冊第二冊第三冊第四冊第一章數與式第二章多項式函數 9 E 0 第三章指數與對數函數 4 第一章數列與級數第二章排列與組合 8 第三章機率 3 0 第四章數據分析 6 第一章三角 B 0 第二章直線與圓 A C 0 第三章平面向量 7 0 D G 0 第一章空間向量 H 0 第二章空間中的平面與直線