數學

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1 一 單選題 AB y ( ). 設 A, B, C 三點不共線,點 P 與 A, B, C 三點在同一平面上,且 AP= AB+,令 AP 與 BC 之 交點為 M,若 AM = x + AM// AP, x, y R,則 x = () 8 AM = t AP = t( AB+ ) = t AB+ t 又 M, B, C 三點共線 t+ t =, AM = AB+ 7 7 x =, y = 7 7 t = 7 () 7 () () (). ( ). ABC 中,若 AB BC= BCCA 形 () 直角三角形 () 鈍角三角形. AB BC= BCCA,則 ABC 的形狀為何? () 等腰三角形 () 正三角形 () 銳角三角 AB BC BC CA = 0 BC ( AB CA) = 0 ( AB) ( + AB) = 0 AB = 0 = AB ABC 為等腰三角形, x, y R, ( ). ABC 中, AB =, BC =, CA = 6, A 之角平分線交 BC 於 D,若 AD= xab+ y 則 x = () () () () () 9 9. C BD : CD BA: CA :6 : AD= AB+ A + + x =, ( ). ABC 中, D 為 BC 上一點,且 CD = BD, E 為 中點,若 ED= r AB+ s (,) rs = () (, ) () (, ) () (, ) () (, ) () (, ) BD : DC = : AD= AB+ 又 AE : EC = : AE = ED= AD AE = ( AB+ ) = AB 6 故 (,) rs = (, ) 6 ( ). 設 PA PB PC = α + β, α, β R,若 () 不能確定. PA = α PB + β PC α β PA = PB+ PC r, s R,則數對 A, B, C 共線,則 α + β 之值為 () () () ()

2 A, B, C 三點共線 α β + = α + β = ( ( ) 6. xy 平面上, A, B, C 三點不共線,則向量 α AB+ β α + β, α 0, β 0 ) 的所有終點之集合為 () 一個三角形 () 一個三角形及其內部區域 () 一個平行四邊形 () 一個平行四邊形及其內部區域 () 一線段. 其圖形為,則 ABP ( ) 7. 如下圖,已知 AP= AB+ 倍. 面積是 P 面積的 () 9 () () () () 9 t t () 如題目之圖,令 AD = t AP = AB+ t t B, D, C 共線 + = t = = 9 AD= AB+ A C BD : DC = : 9 9 () ABD : D = :,又 PBD : PCD = : 二 多選題 ABP : P = :=,則 () O 為 ( ). 設在平面上 ABC 中,若 BC = 7, CA =, AB = 6, AO= xab+ y 時, x y= () O 為 ABC 重心時, x y = 0 () O 為 ABC 垂心時, x 8 ( + 7) 內心時, x y = () ABC 的面積為 AB = ( AB + BC ) = [6 + ( 7) ] = () 若 O 為外心時, 則有 AO AB = AB = 6 = 8, AO = = = 8 AO AB = ( x AB+ y ) AB = x AB + y AB = 6x + y = 8LL AO = ( x AB+ y ) = x AB + y = x + 6y = 8LL ABC 外心 9 y= () O 為 ABC

3 由 x =, y = x y= = () 若 O 為重心時,則有 AO= AB+ x =, y = () 若 O 為垂心時,則有 AO AB = AO = AB = LL AO AB = ( x AB+ y ) AB = x AB + y AB = 6x + y = AO = ( x AB+ y ) = x AB + y = x + 6y = LL 由 x =, y = x y= = () () 設 A 之內角平分線交 BC 於 D 點 則 BD : CD = AB : = 6:= : 6 BD = BC = 7 = 7 () 又 B 之內角平分線交 AD 於 O, O 即為內心 6 則 AO : DO = BA: BD = 6: 7 =: 7 () AO = ( ) ( ) ( ) 7 AD = 7 AB + = 7 AB x =, y = ( 7) x y = = x y = 0 = () ABC = AB ( AB ) = 6 6 6,則下列何者為真? ( ). 設在平面上如下圖,若 AD= AB, AE =,且 AP= xab+ y y 9 () AP= ( x) AD+ y () AP= xab+ AE () x = () y = () x+ y > 0.

4 AD = AB 由 AD : AB = :,得 AE = AE : CE = : AP = x AD+ y LL AP = x AB+ y = x AB+ y( AE) y AP = x AB+ AELL () AP = x AB+ y = x( AD) + y () ( ) D, P, C三點共線, 由 可知 x+ y= ()(),得 x P, E, B三點共線, 由 可知 x+ y= =, y = () x+ y= + = > 0 三 填充題,,. 設 G 為 ABC 之重心, P 為 AG 之中點,若 AP= x+ ybg (, ) G 為 ABC 之重心 AG+ BG+ ( AG ) = 0 AG+ BG+ CG = 0 AG = BG AG= BG G 又 P 為 AG 之中點 AP= AG= ( BG) = B 故 ( xy=, ) (, ). ABC 中, AB =, =, BC =,若 BC 的高為 AD,且 AD = x AB+ y ( x, y ) =. xy R,則數對 ( x, y ) =., x, y R,則數對 (, ) AD BC + AB = AB cos A = = AD BC = 0

5 ) 0 ( x AB+ y ) ( AB = x AB x AB + y y AB = 0 x x+ 9y+ y=0 x+ y= 0 x y = 0LL 又 B, D, C 三點共線 x+ y= LL 由 y = y = + x = x =. 設 a =, b =, a + b =,則向量 a, b 所圍的平行四邊形面積為. a + b = ( a + b ) ( a + b ) = a + a b + b = + a b + = a b = a b ( a b ) = ( ) = =, α, β R,則數對 平行四邊形面積為. ABC 中, AB =, BC =, 6 ( α, β ) =. CA =,若 I 為其內心,且 AI = α AB+ β (, ) b c 6 AI = AB+ = AB+ a+ b+ c a+ b+ c = AB+ A C ( αβ, ) = (, ). 正三角形 ABC 之邊長為,又 D, E 為 BC 上的三等分點,且 BD = DE = EC,則 AD AE =. 6 9 AD= AB+ BE : EC = : AE = AB+ AD AE= ( AB+ ) ( AB+ ) = AB + AB + AB = + cos BD : DC = :

6 = = 過 ABC 之重心 G 的一直線與邊 AB, BC 分別交於 P, Q,且 AP : PB = :,則 BQ: QC =. : 6 BP : PA = : BA= BP G 為 ABC 之重心 6 t 令 BC = tbq BG = BA+ BC = ( BP) + ( t BQ) = BP+ BQ t 9 G, P, Q 三點共線 + = t = BQ : QC = : 7. 正六邊形 ABCDEF, P 為 AB 之中點,對角線 AE 與 CF 相交於 Q,若 PQ= xpc+ ypf ( x, y ) =., x, y R,則數對 (, ) 四邊形 AOEF 為一平行四邊形 FQ FO = = FC 即 FQ : QC = : PQ = PC + PF = PC PF ( xy=, ) (, ), x, 8. 設 ABCD 為一平行四邊形, BE : EC = :,如下圖所示, AF = xab+ yad ( x, y ) =. y R,則數對 (, ) BE : EC = : AE = AB+ = AB+ ( AB+ AD ) t 又 AF// AE 令 AF = tae = tab+ AD t F, B, D 三點共線 t + = 故 AF = AB+ A D,即 ( xy=, ) (, ),且 AP 9. ABC 內有一點 P,滿足 PA+ PB+ PC = 0 對 ( ab, ) =. = AB+ AD 6 t = t 交 BC 於 D,若 AD= aab+ b, a, b R,則數

7 (, ) 9 9 : = BD DC = : PA+ PB+ PC = 0 : AD= AB+ = AB 故 ( ab, ) = (, ) 9 9 ABP P : AD 與 BC 相交於 E,若 OE = xoa+ y OB, x, y 0. 設 O, A, B 不共線, OC = OA, OD = OB,且數對 ( x, y ) =. 6 (, ) 9 9 OE = xoa+ y OB = x( OC) + y OB x E, C, B 三點共線 + y = LL 又 OE = xoa+ y OB = xoa+ y( OD) E, A, D 三點共線 y x + = LL 9 x = 6 x = 9 9 y = y = 9 6 故 ( xy=, ) (, ) 9 9 R,則. 已知 ABC 之重心為 G,過 G 點之直線與兩邊 AB, 分別交於 P, Q 兩點,若 AP= hab + 之值為. h k G 為重心 AG= AB+ = ( AP) + ( A Q ) h k = AP+ A Q h k 又 G, P, Q 三點共線 = h k + = h k 7, AQ = k,則

8 . 如圖, AB// CD, BC = CD = DA =, A= B = 60, M 為 BC 之中點, AB= a xy, R,則數對 ( x, y ) =., AD = b,若 AM = x a + y b, (, ) 如圖,作 CE // DA,則四邊形 ABCD 為平行四邊形 EBC 為正, BC = CD = DA = AE = EB = M 為 BC 之中點 AM = AB+ = AB+ ( AE+ AD ) = AB+ ( AB) + AD = AB+ AD= a + b 故 ( xy, ) = (, ). ABC 中,若 AB =, BC =, CA = AB = AB cos A +,則 AB =. = =. 設 ABC 之 A = 60, =, AB =,今在 BC 上取一點 D,使得 BD : DC = :,則 AD =. BD : DC = : AD= AB+ A C AD = ( AB+ ) ( AB+ ) ] = AB + AB = 9 + cos = + + = 9 9 8

9 AD =. 如右圖,平行四邊形 ABCD, E 為 AD 中點, F 在 BC 上,且 CF : FB = :,若 P 為 CE 與 DF 交點,若,,,則數對 AP= r AB+ sad r s R (,) rs =. 7 (, ) 9 9 CF : FB = : AE : ED = : 令 CP = t CE = t CD+ t CF CB = CF CE = CD+ DE = CD+ CB = CD+ ( CF) = CD+ CF P, D, F 三點共線 t + t = t =,即 CP : PE = : 9 AP= + AE = ( AB+ AD) + ( AD) = AB+ AD (,) rs = (, ) 設 ABC 之 A = 60, AB =, =,今在 BC 上取一點 D,使得 BD= BC,則 AD 長為. 7 AB = AB cos A = = BD= BC BD : DC = : AD= AB+ A C AD = AB + AB = + + 9= 故 AD =, 7. ABC 中, D AB 且 AD : DB = :, E 在 上且 AE : EC = :,又 BE 交 CD 於 P 點,若 AP= xab+ y x, y R,則數對 ( x, y ) =. 9

10 (, ) AD : DB = : AB= AD 8 AE : EC = : = AE AP= xab+ y = x( AD) + y P, D, C 三點共線 x + y = LL 8 又 AP = x AB+ y = x AB+ y( AE) 8 P, B, E 三點共線 x+ y= LL 6 y = y =, x = 6 ( xy, ) = (, ) 8. 已知:三向量 PA PB+ PC = 0,且 PA = PC =, PB =,則四邊形 PABC 面積 =. PA+ PC = PB,如圖 四邊形 PABC 之面積 = PAB 之面積 + PBC 之面積而 PAB 之面積 : PBC 之面積 = : PA PA= PB PC PB PC PA = PB PB PC+ 9 PC = 9 PB PC+ 9 6 PB PC = 7 由 PA = PB PC ( ) ( ) 6 PBC 之面積 = PB PC ( PB PC) = 四邊形 PABC 之面積 = PBC 之面積 = = 9. ABC 中, D AB 且 AD = DB, E 且 AE : EC = :,若 BE 與 CD 相交於 P,則 AP = () AB () ;() +() BC. = 如圖 0

11 C, P, D 三點共線 AP = rad+ ( r) = r AB+ ( r) AE r ( r) = AB+ A E 又 E, P, B 三點亦共線 r ( r) + = r = 故 AP= AD+ A = AB+ AB+ BC C ( ) = AB+ BC +() BC. 0. G 為 ABC 之重心,則 AG = () AB () ;() G 為 ABC 重心 AG = AB+ = AB+ ( AB+ BC) = AB+ B C. ABC 之三邊 AB =, BC =, =, I 為 ABC 之內心, O 為任意點,則 OI = () OA+ () AB+ () BC. ();() ;() 9 ABC 中, a =, b =, c =, I 為 ABC 之內心, O 為任意點 OI = OA+ OB+ OC 9 9 = OA+ ( OA+ AB) + ( OA+ AB+ BC ) 9 9 = OA+ AB+ BC 9. 設四邊形 ABCD 中, P AB且 AP : PB = :, Q CD且 CQ : QD = :,則 PQ = () AD+ () BC. () ;() PQ = PA+ AD+ DQ = BA+ AD+ DC = ( BC+ CA) + AD+ ( DA+ ) = BC+ AD. ABC 及內部一點 P,若 PA+ PB+ PC = AB,且 ABC 之面積為,則 PBC 之面積 =. PA+ PB+ PC = AB = PB PA PA+ PB+ PC = 0 PAB : PBC : PCA = :: PBC = ABC = = l 中之. 有四點 A, B, C, O,若 A, B, C 三點共線,則 OA+ mob+ noc = 0 l + m+ n=.

12 0, t R OC = ( t) OA+ t OB t) OA+ t OB OC = 0 A, B, C 三點共線 = t AB ( 取 l = k( t), m = kt, n= k, k R l + m+ n= 0. 在 ABC 中 AB =, BC =, CA = 0 方法 由三角形的中線定理得, AB + BC = ( BE + AE ) + 9= BE + 8, ( AE = = ) 0 BE = BE = 方法 且 BE 為 上之中線,則 BE 之長為. r 利用平行四邊形定理,如圖延長 BE,使得 BE = EF 則 ABCF 為平行四邊形 ( 對角線互相平分 ) 設中線 BE = x ( x ) + = ( + ) x = 0,則數對 (, ) 6. 設 ABC 中, E 在 上且 AE : EC = : ; F 在 AB 上且 AF : FB = :, BE 與 CF 交於點 P,若 AP = x AB+ y x y =. 9 8 (, ) 9 9 ( B P E) 7 7α ( α) AP = α AB+ ( α) AELL = α( AF) + ( α)( ) = AF+ 7α ( α) 其中 + = ( F P C ) 9 α = 代入 則 AP= AB+ AE = AB+ ( ) = AB+ A C 數對 ( xy=, ) (, ) 9 9, 7. ABC 中, AB =, =, CAB = π,滿足 AP= α AB+ β α, 0 β,求 P 點所在區域

13 面積為. 9 π ABC = AB sin = = 所求之面積 = [ ( )] ( 0) ( ABC) = = 圓內接正五邊形 ABCDE, O 為其圓心,若 OA =,則 AB+ + AD+ AE+ AO = 6 9. 設 H 為 ( OB OC OD OE) OA ( OA) OA ( OA + OB + OC+ OD+ OE = 0 ) 6OA 6 OA 6 ABC AB =,則 AB AH=. AH AB = AH = AB = GA =, GB =, GC =,則 GB GC =. 之重心,則 GA+ GB+ GC = 0 GB + GC = GA GB+ GC = GA GB + GC + GB GC = GA + + GB GC = GB GC =,求 ABC AB+ + AD+ AE+ AO = ( OB OA) + ( OC OA) + ( OD OA) + ( OE OA) + ( OA) = = = = = 之垂心,若 8 8 若 H 為垂心,則 8 0. 若 G 是 ABC 的重心,且 6 若 G 為 ABC 6. A, B, C 三點, AB =, =,若 AB+ = = + + AB AB+ = AB + + AB ABC AB = 面積 = AB ( AB ) = 9 ( ) =. ABC 中, D 為 BC 上一點且 CD = BD, G 為 中點,若 GD = r AB+ s (,) rs =. (, ) 6 的面積.,, s,則數對 r R

14 GD = GB+ GC = ( GA+ AB) + ( ) = ( AG+ AB) + 6 = AB ( ) + = AB (,) rs = (, ) 設 ABC 中, AB =, BC = 6, CA = 7,則 = () AB () H 為., (, ), (, ) ABC 之垂心,且 AH = xab+ y x y =. ()T 為 ABC 之外心,且 AT = xab+ y x y =. 9 9 ()9 ;() (, );() 9 (, ) () a= BC = 6, b= = 7, c= AB = b + c a 由餘弦定理: cos A = = = bc 隨之, AB = AB cos A = 7 = 9 7 = AB x+ 9y= 9 AH = AB 9x+ y = () H 為垂心, AH = xab+ y 由 AH AB 解之得 x =, 9 AT AB = AB () T 為外心, AT = xab+ y 由 9 解之得 x =, y = 註 如圖 x+ 9y= ; AT = 9 9x+ 9y= ABC 中,垂心為 H,重心為 G,外心為 T H, G, T 三點共線且 HG : GT = : 9 9 故若已知: AH = AB+, AG= AB+ 由 AG= AH+ AT AT AG AH = AT = ( AB+ ) ( AB+ ) = AB

15 . 設 ABC 之外心為 O,外接圓之半徑為,若 A = 60, B =,則() OA+ OB OC = () ABC 之面積 =. () ;()+. 按題意: OA = OB = OC = A = 60 BOC = 0 B = AOC = 90 OA OC = 0 C = 7 AOB = 0 OA OB = ( ) = () OA+ OB OC OB OC = ( ) = = OA + OB + OC + OA OB OA OC OB OC = ( ) 0 ( ) = 6 = ( ) OA+ OB+ OC = () ABC 為銳角三角形 外心 O 在 ABC 之內部 OBC = sin0 =, OCA = sin90 = OAB = sin0 = ABC = OBC + OCA + OAB = +. ABC 中, AB =, =, A = 60,若 G 為 ABC 8 9 之重心,則 GA GB = AB =, =, A = 60 AB = cos60 = 6 G 為 ABC 之重心 AG = AB + 7 AG = AG AG = ( AB + + AB ) = 9 9. 隨之, GA GB = ( AG) ( AB AG) = AG AG AB = AG ( AB+ ) AB = AG ( AB + AB ) 7 8 = (9 + 6) = ABC 中,已知 AB = 6, BC = 7, =,則. () AB =

16 ,則 (, ) = +,則 x y = +,則 (, ),則 (, ) () G 為 ABC 之重心,且 AG = xab+ y () I 為 () H 為 ABC 之內心,且 AI xab y ABC 之垂心,且 AH xab y x y =. + =. x y =. ()T 為 ABC 之外心,且 AT = xab+ y x y =. ()6;() (, );() 8 ;() 9 9 (, );() (, 88 8 ) () AB = 6, BC = 7, = AB = AB cos A = 6 = 6 6 () G 為 ABC 之重心 AG= AD+, D 為 AB 之中點 AG= AB+ = AB+ x =, y = () 方法 CD 平分 C AD : DB = : BC = :7 AI 平分 A CI : ID CA: AD : = = = : 故 AI = AD+ = AB+ = AB+ 8 x =, y = x+ y= 8 8 方法 代公式: a = 7, b =, c = 6 b c 6 AI = AB+ = AB+ a+ b+ c a+ b+ c 8 8 x =, y = 6 = 8 8 x+ y= 8 AD = AB = 6 = 6

17 () 由 () AB = 6,設 AH = xab+ y 由 AH AB= AB 6x + 6y = 6 AH = AB 6x+ y=6 9 解之得 x =, () 方法 y = AT AB = AB 6x 6y 8 設 AT = xab+ y 由 6x+ y= 解之得 x =, y = 方法 + = ; AT = = 利用尤拉線 ( 如上圖 ), AG= AT+ AH AG AT AH AT = ( AG AH) = ( AB+ AB ) = AB x =, y = ,若 7. 設 P 在 ABC 之內部且 PA+ PB+ PC = 0 8 : : : P ABC 之內部 PA+ PB+ PC = 0 PAB PBC PCA = : 又 ABC = PAB + PBC + PCA ABC : PAB = : PAB 之面積為 0,則 ABC 之面積 =. 7

18 ABC = PAB = 0 = 8, 8. ABC 的面積 =,則點集合{ P AP= α AB+ β 60, () 點集合 { P AP = α AB+ β α, β } 所表示區域的面積為. α, β 的區域為一個平行四邊形如下圖 () 其面積為 [ ( )][ ( )]( ABC) = ( ABC) = = 若 ABC 中, AB =, =, BC = 且 A 的角平分線 AD 交 BC 於 D 點,求 AD = 6 AD= AB+ AD = AB+ = (9AB + AB + ) AB = cosa = 6 = 6 AB =, =, BC =, BD : DC = AB : =: 又 故 AD = (9 + ( ) + 9) =,即 AD =. 0. 設 a =, b =, a + b =,則向量 a, b 所圍平行四邊形面積 =. = a + b = a + b + a b = + 9+ a b 平行四邊形面積 = 9 ( ) = a b =. ABC 之三邊 AB =, BC =, CA =,又平面上一點 P,且 xpa+ ypb+ zpc= 0 x, y, z 互質, () 若 P 為 ABC 之內心,則 ( x, yz, ) =. () 若 P 為 ABC 之垂心,則 ( x, yz, ) =. () 若 P 為 ABC 之外心,則 ( x, yz, ) =. () 若 P 為 ABC 之重心,則 ( x, yz, ) =. () (,,) ;() (,0,0) ;() (0,,) ;() (,,) () a = BC =, b= =, c= AB = I 為內心 IAB : IBC : ICA = :: IA+ IB + IC = 0 x =, y =, z = () ABC 為一直角三角形, A = 90,斜邊 BC 如下圖: ABC 之垂心 H = A, ABC 之外心為斜邊之中點 T 8,其中 x, y, z N {0},

19 H 為 ABC 之垂心 HA = 0 x =, y = 0, z = 0 xpa+ ypb+ zpc= LL () T 為 ABC 之外心 TB+ TC = 0 x = 0, y =, z = () P 為 ABC 之重心 PA+ PB+ PC = 0 xpa+ xpb+ xpc= 0 LL 已知 0 PC 由, 相減 ( x y) PB+ ( x z) PC = 0 但 PB // x y = 0, x z = 0 x = y= z 但 x, y, z N {0}, x, y, z 互質 x = y = z =,則 (, ). 設 ABC 中, D, E, F 三點分別在 AB, BC, CA 上, AD = DB, BC = BE, CF = AF 且 G 是 DEF 的 重心,若 AG = xab+ y x y =. 7 (, ) 6 G 為 DEF 的重心 AG= ( AD+ AE+ AF) = [ AB+ ( AB+ ) + ] 7 7 = ( AB+ ) = AB+ 6 7 ( xy=, ) (, ) 6,則數對 ( α, β ) =.,則數對 (, ). 平行四邊形 ABCD 中, E 為 AB 中點, F 在 BC 上,且 BF : FC = :, () 若 EF = α AB+ β () 若 CE 和 DF 交於 P,且 BP = xba+ ybc () (, 6 (, ) 7 7 () x y =. EF = EB+ BF = AB+ BC = AB+ ( AB) = AB+ 6 9

20 () 數對 ( αβ, ) = (, ) 6 BP = x BA+ y BC = x( BD+ DA) + y BC = x( BD BC) + y BC BP= xba+ ybc= x( BE) + ybc= xbe+ ybc E, P, C 三點共線 x + y = LL = x BD+ ( y x) BC = x BD+ ( y x) BF D, P, F 三點共線 x + ( y x) = x+ y= LL 由 得 ( xy=, ) (, ) 7 7 時,. 設 ABC 中, AB = 6, BC = 7, = 8, I 為 ABC 之內心,直線 CI 交 AB 於 D,則 CI = k CD k = CD 為角平分線, AD : BD = CA: CB =8:7 AD = AB = 6 = 6 AI 為角平分線, CI : DI = : AD = 8: = : 故 CI = CD,得 k = 7 7. ABC 中, D 在 AB 上,且 AD : DB = :, E 在 CA 上,且 CE : EA = :,若 BE 交 CD 於 P 點,則,則有序數對 (, ) () 求 CP : PD =. () 設 AP= xab+ y () : ;() 0 (, ) 7 7 x y =. AP = x AB+ y = x( AD) + y LL 0

21 D, P, C 三點共線 x + y = LL 9 AP = x AB+ y = x AB+ y( AE) 9 B, P, E 三點共線 x+ y= LL 0 解, 得數對 ( xy=, ) (, ) 代入 7 7 AP = AD A C ( CP CA) = ( CD CA) + ( CA) 7 7 CP = CD,得 CP : PD = : 7,則數對 6. ABC 中 AB = 6, = 8, BC =,又 H 為 ABC 的垂心,若 AH = xab+ y ( x, y ) =. (, ) 9 6 AB = ( AB + BC ) = (6+ 6 ) = H 為垂心 AH AB = AH = AB = AH AB = ( x AB+ y ) AB = x AB + y AB = 6x y AH = ( x AB+ y ) = x AB + y = x 6y 解, 得數對 ( xy=, ) (, ) = LL + = LL,則實數對 7. 平行四邊形 ABCD 中, E 在 CD 上,且 CD = DE, AE 與 BD 交於 P 點,若 AP= xab+ yad ( x, y ) =. (, ) 8 8 由 CD = DE,可知 DE = CD AP= k AE = k( AD+ ) ( 由分點公式 ) k k = AD+ k k ( = AD+ AB+ AD ) k = kad+ ABLL D P B共線,得 則 AP= AB+ AD 8 8 k k + =,得 k = 代入 8 ( xy=, ) (, ) 8 8

22 8. ABC 中,已知 BC =, CA =, AB = 6, A 0 的分角線交 BC 於 T 點,求 AT 之長. 8 BT : CT = AB : = 6:= :, BT = BC = ( ) AT 於 ABT 中, cos B = LL 又於 ABC 中, cos B = LL 6 0 由 = 得 AT = 9. ABC 中, D 是 AB 中點, E 點在 上,且 AE : EC = :, CD 與 BE 交於 P 點, () 設,求數對 (, ) AP= xab+ y x y =. () 求 BP: PE =. () (, );() : () AP= xab+ y= xab+ yae ( : AE EC = :) x + y = LL B, P, E 三點共線 ( : AP = x AB+ y = x AD+ y AD DB = :) D, P, C 三點共線 x+ y = LL 由 得 ( xy=, ) (, ) () 由 (), AP = AB A + C AP= AB+ AE ( BP BA) = ( BA) + ( BE BA) BP= BE BP : PE = : 0. A, B, C 三點, AB =, =,若 AP= AB+ 且 AP 交 BC 於 D,則 : BD CD=. :

23 AD= k AP ( A, D, P 三點共線 ) AD = k AP = ( k) AB+ ( k) LL B, D, C 三點共線 k + k =,即 k = 代入 7 AD= AB+ ( BD BA) = ( BA) + ( BC BA) BD= BC BD : CD = : 7,求 (, ). 已知 ABC 中, AB =, BC = 6, =, K 為外心,若 AK = xab+ y x y =. 6 (, ) 7 AB = ( AB + BC ) = ( + 6 ) = AK AB = AB =8 AK = = AK AB = ( x AB+ y ) AB = x AB + y AB = 8 6x+ y= 8LL AK = ( x AB+ y ) = x AB + y = 6 解, 得 ( xy=, ) (, ) 7. 一直線過 OAB 的重心 G 且分別交 OA, OB 於 P, Q,設 OP = aoa a + b =. x+ y= LL, OQ = bob,且已知 OPQ OAB =,求 OP OQ sin θ ( aoa)( bob)sinθ OPQ = = = ab = LL OAB OA OB sinθ OA OBsinθ G 為重心,則 OG = OA + OB = a OP + b OQ P, G, Q 三點共線 + = LL a b 同乘 ab 得 a+ b= ab= = a 0 + b = ( a + b) ab= =

24 . ABCD 平行四邊形,已知 BE = BC ( x, y ) =. 9 (, ), CF = CD,若 BF 與 DE 交於,求 P 點,且 AP= xab+ y AD y AP = x AB+ y AD = x AB+ y( AF+ FD) = x AB+ y( AF AB) = ( x ) AB+ y AF y B, P, F 三點共線 ( x ) y + = x + y = LL AP = x AB+ y AD = x( AE+ EB) + y AD = x( AE AD) + y AD = x AE+ ( y x) AD D, P, E 三點共線 x+ ( y x) = x + y = LL 9 解, 得 ( xy=, ) (, ). ABC 中, M 為 BC 之中點, AD = AB (), AE = r,延長 AM 交 DE 於 AP = k AM k = = α + β E ( α, β ) =. () AP AD A () 7 ;() (, ) 7 7 P,則 M 為 BC 之中點 AM = AB+ ( M 為 AB, 所形成的平行四邊形對角線之中點 ) k k k k k k 設 AP = k AM = AB+ = AD+ AE = AD+ AE 8 6 k k D, P, E 三點共線 + = k = 隨之, AP= AD+ AE = AD+ AE ( αβ, ) = (, ) 設 G 為 ABC 之重心, GA =, GB =, GC =,則 AB =. 7

25 G 為 ABC 之重心 + = GA+ GB = GC ( GA GB) ( GA GB) GA GA GB GB GA + GB + GC = 0 GA GB GC + + = + + = 9 + GA GB cosθ + = 9 cosθ = cosθ = (θ 為 GA 與 GB 之夾角 ) 又 AB = AG + GB AG GB cosθ = + ( ) =7 AB = 7 6. O 為 ABC 內部一點, OA =, OB =, OC = 7,且 OA+ OB+ OC = 0 ()OA 與 OB 夾角. () ABC 面積. () π ;() () O 為 () ABC 內部一點,且 OA+ OB+ OC = 0 OA =, OB =, OC = 7,求,則 O 為重心 OA+ OB = OC OA+ OB = OC 9+ OA OB+ = 9 OA OB = 又 = cosθ cosθ = OA OB = OA OB cosθ sinθ = ABC 面積 = OAB 面積 = =,則四邊形 = = LL + = + OD = OB OC 7. 對於四邊形 ABCD,若 OA+ OC = OB+ OD 平行四邊形 OA+ OC = OB+ OD OA OB OD OC BA CD OA OC OB OD OA DA = CBLL ABCD 的形狀為. π θ =

26 由 可知四邊形 ABCD 為平行四邊形 四 計算題. 若 G 為 ABC 之重心,且 GA =, GB =, GC =,則: = () GA GB? () ABC 之面積為何? () ;() GA+ = ( GA+ GB) ( GA+ GB) = ( GC) ( GC) GA + GA GB+ GB = GC GA GB = () 若 G 為 ABC 之重心,則 GA + GB + GC = 0 GB GC () GA B 之面積 = GA GB ( GA GB) = = ABC 之面積 = 倍 GAB 之面積 =. 若 ABC 中, AB =, =, BC =, A 的角平分線 AD 交 BC 於 D,則: () AD =? () 若 I 為 ABC 的內心, CI = xca+ ycb, x, y R,則數對 (, ) x y 為何? () 6 ;() (, ) 9 () AD 為 B 之平分線 BD : DC = BA: =: AD= AB+ AD = ( AB+ ) ( AB+ ) 9 = AB + AB + 9 = + cosa = = 6

27 6 AD = = () CI 為 B 之平分線 DI : IA = CD : CA = := : ( CI = CA+ CD = CA+ CB ) = CA+ CB 9 x =, y = 9 ( xy=, ) (, ) 9, x, = l + C, l, r. 在 ABC 中, AB =, =, BC = 6, H 是 ABC 的垂心,且 AH 交 BC 於 D,求: () 若 AH = xab+ y () 若 AD AB ma () (, ) 7 ;() (, 8 8 ) () y R,則數對 ( xy=, )? m R,則數對 (, l m ) =? AH AB = AB x + AB y = AB + 6 AB = AB cosa = = AH = AB x + y = AB x+ y = y =, x = ( xy=, ) (, ) 7 7 x+ 6y = t t () AD// AH 令 AD= t AH = t( AB+ ) = AB+ 7 7 t t D, B, C 三點共線 + = t = 7 8 AD= AB+ A C 8 8 即 (, l m ) = (, ) 8 8. () 利用向量證明平行四邊形 ABCD 中, ( AB + BC ) = + BD. () ABC 中,且 AB =, BC =, CA = 6, D 為 之中點,則 BD 長為何? () 見詳解 ;() = AB+ BC BD= BC+ CD= BC AB = AB+ BC = ( AB+ BC) ( AB+ BC) () 如圖,平行四邊形 ABCD 中, = AB + AB BC+ BC LL 7

28 = ( BC AB) ( BC AB) = BC BC AB+ AB LL BD = BC AB + 即 (AB + BC ) = + BD + BD = ( BC + AB ) () 令 BD = x,由 () 得 ( x ) + 6 = ( + ) x + 6= 68 x = x =. 若 O 為 DEF 內部一點, OD+ OE+OF = 0, OD =, OE =, OF =,則: () 求 DEF 面積為何?, x, y () 若 O 為 DEF 重心, DC = BD, AE = EC, AF = FB, AO= xab+ y R,則數對 ( x, y ) =? () 9 ;() (, 6 ) O DEF + = OD+ OE OD+ OE = OF OF OD + OD OE+ OE = OF + OD OE+ = OD OE = () OD+ OE+ OF = 0 為 之重心 又 OD OE OF ( ) ( ) ( ) ( ) 9 6 ODE 之面積 = OD OE ( OD OE) = = = 9 ( ) 9( ) 9 DEF 之面積 = ODE 之面積 = 8

29 () O 為 DEF 之重心 AO= AD+ AE+ AF DC 又 BD = AD= AB+ A C AE = AE = A C AF AB = AF = AB AO= ( AB+ ) + ( ) + ( A B ) = AB+ + + AB= AB+ A C x =, y = ( xy=, ) (, ) 設 O 為 ABC 之外心, = 8, BC =, AB = 6,若 AO= xab+ y () AB =? () 數對 ( xy=, )? ();() (, ) ( ) () AB = AB cosa = 6 8 = 86 () AO AB = AB x + AB y = AB AO = AB x + y =, x, 6x+ y = 8 x =, y = x+ 6y = 9 ( xy=, ) (, ) 9 7. 設有一點 P 及一三角形 ABC,若 AP= AB+,試求 PAB : PBC : PCA. :: AP= AB+,改為以為起點 P PA = ( PB PA) + ( PC PA) ( ) PA+ PB+ PC = 0 PA+ PB+ PC = 0 PAB : PBC : PCA = :: y R,則:, 8. () 如圖:梯形 ABCD 中, AB// DC, AB =, AD = DC =, BAD = 60,若 = xab+ yad 試求 x, y 之值.,試求 x, () 承上題, BC = xab+ yad () x =, y =;() x =, y = y 之值. () 如下圖:過 C 作直線 CE,使 CE // DA 交 AB 於 E 9

30 = AE+ EC = AB+ AD () BC = AB= AB+ AD AB= AB+ AD, EC = AE, FB = AF,若, O 為任意點,試求 x,,之值. 9. ABC 之三邊 BC, CA, AB 上分別各取一點 D, E, F,使 DC = BD 之重心,且 OG = xoa+ y OB+ z OC x =, y = 7, z = 8 9 y z G 為 DEF EC = A E D BC, DC = BD BD : DC = : E CA, CE : EA = : F AB, FB = AF AF : FB = : G 為 DEF 之重心, O 為任意點 OG = OD+ OE+ OF = ( OB+ OC) + ( OA+ OC) + ( OA+ OB) 7 8 = OA+ OB+ OC 9 故 x =, y = 7, z = 8 9,其中 α, 0 0. 設 A, B, C 為不共線之三點, P 為平面 ABC 上之動點且滿足 α PA+ β PB+ γ PC = 0 0 γ, () 試求動點 P 所形成的區域是什麼? () 以圖形表示之. () 梯形區域 () 見,以 C 為起點 α CA CP + β CB CP + γ CC CP = ( α + β + γ)cp = αca + βcb α + β = ( + γ) CP = αca+ βcb γ = CP = α AB+ βcb 表 AB CP = ( αca+ βcb ) 表二邊中點之連線 DE CP ( = αca+ βcb ) 表 α PA+ β PB+ γ PC = 0 ( ) ( ) ( ) 0 α, β 0, () 0 () γ = () γ = PQ 且 CP : PA = CQ : QB =: 0 β, α + β =,

31 故於 0 γ 之條件下,動點 P 所形成的區域是一梯形區域 ( 如下圖 ). 設 A, B, C 三點不共線, AP= AB+ x =, y =, 則 kad= AB+ 設 AP= k AD AD = AB A k + k C D, B, C 三點共線 k + k =, k = 故 AD= AB+ 即 x =, y = t,令 AP 交 BC 於 D,若 AD = x AB+ y,求 x, y 之值.,求 x,. 四邊形 ABCD 中, P 在 AB 上,且 PA: PB = :, Q 在 CD 上,且 DQ: CQ = :,若 PQ = x AD+ y BC y 之值. x =, y = PQ = PD PC + PD = PA + AD = BA AD + PC = PB+ BC = AB+ BC 6 PQ = ( BA+ AD ) + ( AB+ BC) = ( BA+ AB) + AD+ BC = AD+ BC x =, y =,求 x,. 平行四邊形 ABCD 中, P 在 BC 上且 BP : CP = :, Q 在 CD 上且 DQ : CQ = :,若 = xap+ yaq y 之值.

32 8 x =, y = 9 = AB+ AD= AP+ PB+ AQ+ QD= AP+ CP+ AQ+ CQ = AP+ ( CA+ AP) + AQ+ ( CA+ AQ) = AP+ AQ+ CA 6 CA= AP+ AQ 6 AP A 6 = + Q = AP+ AQ x =, y = 9,求 x,.. 設 x, y, z R,且 A, B, C 為不共線三點,若 ( x y+ ) AB+ ( x+ y ) = 0 x =, y = x y+ = 0,解得 x =, y = x + y = 0. 於 ABC 中, AB =, = 7, M, N 在 BC 上,且 BM = MN = NC =,求 AM AN 7 AM = AB+, AN AB = + AM AN = ( AB+ ) ( AB+ ) = AB + + AB cos B = = = y 之值. 6. ABCD 為平行四邊形,若 7 AB =, BC = = ( BC+ AB)( BC AB) BD = ( AB+ BC) ( BA+ AD) = BC AB = = 7,求 BD之值.

33 , 7. ABC 中, D 在 AB 上, AD : DB = :, E 在 CA 上, CE : EA = :,且 BE 交 CD 於 P 點,若 AP= xab+ y 求 x, y 之值. 0 x =, y = AP= xab+ y= xab+ yae= xad+ y 9 由 B, P, E 三點共線得 x+ y= LL 由 D, P, C 三點共線得 x + y = LL 0 解, 得 x =, y = 7 7 且 8. 設 I 為 ABC 之內心,若 IA+ IB + IC = 0 96 a: b: c= :: IA+ IB + IC = 0 ABC 周長為 8,求 ABC 之面積. 又周長為 8 a =, b = 6, c = 0,故 ABC = 8 = ABC 的三邊 BC, CA, AB 上,分別取 D, E, F 三點,使 DC = BD, EC = AE, FB= AF, G 為 DEF 的重心,,求 x, AG = xab+ y y 的值. 7 x =, y = 7 0 G 為 DEF 的重心 7 7 AG = AD+ AE+ AF = ( AB+ ) + ( ) + ( AB) = AB AG= AB x =, y = 0 0. ABC 中, E 在 AB 上,且 AE : EB = :, F 在 上且 AF : FC = :, H 為 BC 的中點, G 為 EF 與 AH 的,求 p, q, 交點, O 為另一點.若 OG = poa+ qob+ r OC r 之值. 7 P =, q =, r = AH = AB+ = ( AE) + ( AF) = AE+ AF 9 EG : GF = : = 9: AG= AE+ AF 6 AG= AH = AH AG : GH = 6:7

34 OG = OA+ OH = OA+ ( OB+ OC) 7 = OA+ OB+ OC 7 p =, q =, r =. ABC 中, AB = 6, BC =, CA =, () H 是,試求 x,,試求 x, ABC 之垂心且 AH = xab+ y y 之值 ()T 是 ABC 之外心且 AT = xab+ y y 之值. () x =, 7 y = ;() x =, y = 7 7 AB = 6, BC =, CA = AB = AB cosa = 6( ) = 6 () 由 H 是垂心,且 AH = xab+ y AH = AB x+ y= 9x+ 0y= 9 AH AB= AB 6x+ y= 8x+ y= 解之得 x =, y = 7 7 () T 是外心,且 AT = x AB + y AT AB = AB AT = 解之得 x =, 7 y = 6x+ y= 8 8x+ y= x+ y= 9x+ 0y= 之值.. 設 O 為 ABC 之外心,且 A = 0, B = 7,且外接圓半徑為,試求 OA+ OB+ OC 8 A = 0, B = 7 C = 7 BOC = A = 60 OB OC = cos60 =

35 OA OB = COA = B = 0 OC OA = cos0 = AOB = C = 0 OA+ OB+ OC = OA + OB + OC + OA OB+ OB OC+ OC OA OA+ OB+ OC = 8. ABC 中,若 6 () BC. () ABC = = AB =, BC CA =, CB BA = 之面積. () 7 ;() (),試求 BA = BA ( BC+ CA) = + 6= BA = ABC BA BC BA BC BC = BC BC = BC ( BA+ ) = BC BA+ BC = + =7 BC = 7 () 同法:,試求 x, ON 之值. = ( ) = 7 =. OAB 是邊長為 之正三角形, M, N 為 AB 上之三等分點,且 AM = MN = NB, () OM = xoa+ y OB () 試求 OM () 試求 OM. y 之值. () x =, y = ;() 8 ;() 7 如下圖 OM = OA+ OB OA OB cos60 OM = OA+ OB, ON OA OB = + OM ON OA OB OA OB () 由分點公式 AM : MB = : () OAB 為正 且 AB = () 而 OM = = = + + = + + = 8 = OM OM = ( OA+ OB) ( OA+ OB) x =, y =

36 = OA 9 + OB 9 + OA OB 9 = = 7 9 OM = 7,. ABC 之外接圓之圓心為 O,半徑為,令 k = OA OB+ OB OC+ OC OA () 若 ABC 為正三角形,試求 k 之值. () 若 ABC 為直角三角形,試求 k 之值. () 若 ABC 為等腰三角形,且 k =,試求底邊上之高. () 6 ;() ;() () ABC 為正三角形,如下圖 π AOB = BOC = COA =, OA OB OC = = = k = 6 OA OB = OB OC = OC OA = cos0 = () ABC 為直角三角形,如下圖 令 B = π, OA OC = cos80 = 令 AOB = θ BOC = π θ k = + 0= OA OB+ OB OC = [cosθ + cos( π θ)] = 0 () ABC 為等腰三角形,如下圖, = cos( ) = cos AB = 可令 AOB = AOC = θ BOC = π θ OA OB = OA OC = cosθ = cosθ 由 k = OA OB+ OB OC+ OC OA= cosθ + cosθ + cosθ = (cos θ ) + 8cosθ = + cosθ = ( cosθ ) cosθ > 0 A 為鈍角,如下圖 OB OC π θ θ 8cos θ + 8cosθ = 7 6

37 + AH = OA OH = cosθ = =, α, β R, 6. ABC 中, AB = 6, BC = 7, CA =, E 為外心,且 AE = α AB+ β () 求 AB () 求 α, β 之值. () 證明 AE AB= AB () ;() 見 ;() (, ) 9 6 c + b a () AB = AB A = cb = c + b a = cb () 方法 AE AB = AE AB cosθ AM = AE AB AE = AB AM = AB( AB ) = AB QED.. cos ( ) ( ) 方法 AE AB= ( AM+ ME) AB = AM AB+ ME AB = AM AB cos = AB () AE = α AB + β 且 ( ) 且 AB AE= AB ( α AB+ β ) AE = α AB+ β AB ( AB) AB A AB 8 = 6α + β 且 8= α + 6β α =, β = ABC 中, AB = 6, BC = 7, CA =, H 為垂心且 AH = α AB+ β () 證明 AH AB= AB () 見 ;() (, ) 9 () 求 α, β 之值. 7, α, β R,

38 AB =,由 AH = α AB+ β AB AH= AB ( α AB+ β ) 且 AH = ( α AB+ β ) 且 () AH AB= ( + CH) AB= AB+ CH AB= AB + 0= AB QED.. () AB = αab + β AB AB = α AB + β = 6α + β 且 = α + 6β α =, 9 β = 8. 設 A, B, C 為相異三點,若 GA+ GB+ GC = 0,且 GA =, GB = 6, GC = 7,求 () AB =? () ABC 面積 =? () ;()9 GA+ GB+ GC = 0 G 為 ABC 之重心 GA+ GB = GC GA+ GB = GC + GA GB+ 6 = 8 GA GB = 6 又 GA GB = GA GB cosθ = 6 cosθ = 6 cos θ = θ = 0 AB = AG+ GB = AG + AG GB+ GB = + 6 cos = AB =,又 sinθ = sin0 = ABC 面積 = GAB 面積 = 6 = 9 9. 設 P 在 ABC 的 BC 邊上,且 BP : PC = :,若 AP = x AB+ y,求 x, y 之值. x =, y = 7 7 如圖 - 所示, 由 BP : PC = 因此, : 可知 BP = AP = AB+ BP 7 B C, 8

39 = AB+ BC 7 ( = AB+ AB ) 7 = AB+ A B 7 7 = AB+, 7 7 故 x =, y = ABC 中, D 為 AB 中點, E 點在 上,且 AE : EC = :, CD 與 BE 交於 P, () 試以 AB 與 表示 AP. : C;() () 求 BP PE. () AP = AB+ A 如圖 -6, : () 點 P 在直線 BE 上的充要條件為存在一實數 x 使 AP = x AB+ ( x) AE. 由 AB = AD,且 AE = A C, 得 AP = x( AD) + ( x)( ) = x AD+ ( x), 又因為 P 在直線 CD 上,所以 x + ( ) x =,即 x =. 因此 AP = AB+ AE = AB+ ( ) = AB+, 即 AP = AB+ A C. () 由 () 知, AP = AB+ A E,所以 BP : PE = :.. ABC 中,已知 BC = 8, CA = 6, AB =, A 的分角線交 BC 於 T, 求 AT 之長. 0 AT = 如圖 -, 9

40 , 因為 BT : TC = :6= :, 所以 AT = AB+ = ( AB+ ) 即 AT = AB+ 9 ). = ( AB + AB + 9, = 6, BC = 8, 由 AB = 得 AB = 6 cos A = 6 = 8, 6 故 AT = AT = ( ) = 0 即 AT =.. 平行四邊形 ABCD 中, E 為 AB 中點, F 點在 AD 上,且 AF : FD = :,若 BF 與 CE 交於 P,如圖 -7, 0, 9 9 () 若 AP = ( t) AE+ t,求實數 t. () 求 CP : PE. () t = ;(): 6 () AP = ( t) AE+ t = ( t)( AB) + t( AB+ AD) t + t t = AB+ t AB+ t AD = AB+ AF, 可知 : + t t + =,即 t =, 6 所以 AP = AE+ A C. 6 6 () CP : PE = :.. 設 ABC 中, AB =, BC =, CA = 6,且 M 為 BC 邊的中點,求中線 AM 之長. 0

41 79. ABC 中,已知 BC = 8, CA = 6, AB =, A 的分角線交 BC 於 T,若 B 的分角線交 於 P,求 BP 之長. 6 如圖 C BP = BA+ BC = BA+ BC = BA + BA BC+ BC BA BC = 8 = BP = ( ) = AP : PC = AB : CB = : 所以 BP = BA+ B 因此, 又 即 所以, BP = ( 9 ) 6. 設 ABC 中, M, N 分別在 BC, CA 邊上,且. BM = MC, CN = NA,如圖, 若 AB = b, = c,試以 b, c 表示下列兩向量. () AM. () NM. () AM = b + c ;() NM = b + c 如圖, ( ) () AM = AB+ BM = AB+ BC = AB+ BA+ = AB+ = b + c.

42 () NM = NA+ AM = + AB+ = AB+ = b + c. 6. 設 ABC 中, D, E 分別在 AB 與 邊上,且 AD : DB = :, CP PD AE: EC = :,且 BE 與 CD 交於 P,試作下列兩問題: () 設 AP = x AB+ y,求 x, y. () 求 0 () x =, y = ;() : 7 7 如圖, :. 9 () AP = x AB+ y = x AB+ y( AE) 9 B P E三點共線,得 x + y = AP = xab+ y= xad+ y, D P C 三點共線,得 x + y = 0 由 解得 x =, y =. 7 7 () 由 AP = xad + y = 7 AD + 7 A C CP : PD = :. uuu 7. 設 P 是 ABC 內部一點,且直線 AP 交 BC 於 D,如圖所示. 已知 BPC, CPA, APB 的面積比為 :6:7,求: () BD: DC. () AP: AD. () 當 AP = x AB+ y 時, x, y 之值為何? 7 ()7:6;():8;() x =, y = 8 如圖,

43 () ABD = BPD = BD = ABD PBD D CPD CD D CPD APB 7 = = BD : DC = 7 : 6. APC 6 7 () BPD = BPC, 7 故 AP : AD = APB : ABD = APB : ( ABP + BPC) 7 = 7 : (7 + ) 9:6 :8 = = () AP = AD = ( AB+ ) = AB+, 得 x =, y =. 8 o 8. 設 ABC 中, A = 60, AB =, =,且 D 在 BC 邊上使 BD= BC, AD. () 若 AD = x AB+ y,求 x, y 之值. () 利用 () 的結果,求 () x =, y = ;() 如圖, 9 B,得 () AD = + A x =, y = () AD = + AB = + AB + AB = + ( + BC ) 由餘弦定理得 BC = + o cos 60 = 9,代入上式得 ( 0 9 AD = + + 9) + = + + = + = () 求 GA GB. 9. 設 AB C 中, G 為重心,且 GA =, GB =, GC =, () 求 GA+ GB+ GC. AD = 9. () 0;() GA+ GB = GC GA + GA GB+ GB = GC. ()G 為 ABC 的重心,得 GA+ GB+ GC = 0, 得 GA+ GB+ GC = 0. () 由 + GA GB+ = GA GB =

44 x, y.( 以, b, c 表示 ). 0. 設 ABC 中, AB= c, BC = a, CA = b,且 I 為 ABC 的內心, () 若 AI = x AB+ y,求 a a b c () 設 O 為任意點,證明 : OI = OA+ OB+ OC a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c b c () x =, y = ;() 見詳解 a + b + c a + b + c 如圖, c ac () BD: DC= c: b, BD = a = b + c b +, c AI : ID = c : ac = ( b+ c) a b+ c :, b+ c b+ c b c 故 AI = AD = ( AB+ ) a+ b+ c a+ b+ c b+ c b+ c b c = AB+, a+ b+ c a+ b+ c b c 得 x =, y a + b + c = a + b + c. b c () 由 () AI = AB+ a+ b+ c a+ b+ c b c AO+ OI = ( AO+ OB) + ( AO+ OC) a+ b+ c a+ b+ c b c b c OI = OA+ AO+ AO+ OB+ OC a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c a b b = OA+ OB+ OC. a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c o. 設 ABC 中, A = 60, D, E 在 BC 邊上,且 BD : DE : EC = ::,如圖, 若 AB =, =,求 AD AE. 97 如圖, AD AE = ( AB+ ) ( AB+ ) 6 6 = AB + ( + ) AB +

45 五 證明題 6 o = 9 + AB cos = + + = + + =.. 於一平面上有一四邊形 ABCD, P 為其內一點,滿足 BP+ CP= AD+ CD 一平行四邊形.見 AP AB + AP = AD+ AD AP AB AD = LL BP+ CP= PA AP AB + AP = AP 6AP AB = LL AP + AD = 0 AP= AD= DC 把所有向量均化為以 A 為起點 BP+ CP= AD+ CD ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 得 APCD 為一平行四邊形. G 為 ABC 的重心, O 為任意點,證明:. GA + GB + GC =. OA+ OB+ OC =,則 O 為 ABC 見 ( OM = OB+ OC ) OA+ OM 在 OMA 中, () OA + OB + OC = OG () 0 () 若 0 () 在 OBC 中, OA+ OB+ OC = OG 的重心. OG = = ( OA+ OB+ OC ), BP + CP = PA,試證: APCD 為. 設 P 為 OA+ OB+ OC =,但由 () OA+ OB+ OC = OG O = G,即 O 為 ABC 的重心,試證: () 由 (),令 O= G GA + GB + GC = GG = 0 () 若 0 OG = 0 ABC 內部一點, x, y, z 為三正數使 xpa+ ypb+ zpc= 0 PBC : P : PAB = x : y : z. 見 x PA = ypb zpc y z AP= PB+ PC x x z y BD: CD : z: y x x PAB : P = z : y,同理 PAB : PBC = z : x

46 PBC : P : PAB = x : y : z. () 利用向量證明平行四邊形之對角線互相平分.,求數對 (, ) () 下圖中, D, E, F 分別為 ABC 三邊中點, BE, DF 交於 O,若 AO= xab+ y x y. () 見 ;() (, ) () AE = α = α( AB+ AD) = α AB+ α AD α = B, E, D 三點共線 α + α =, C 即 E 為 之中點 AE =, BE = β BD= β( BA+ BC) = β BA+ β B A, E, C 三點共線 β = β + β =, BE = B D,即 E 為 BD 之中點 由 可知平行四邊形之對角線互相平分 () D, E, F 分別為 ABC 三邊之中點 BDEF 為平行四邊形 由 () 可知 O 為 BE 之中點 AO= AB+ AE = AB+ ( ) = AB+ 數對 ( xy=, ) (, ). 設 A, B, C 為平面上之三點,試證: A, B, C 三點共線的主要條件為:可找到三實數 x, y, z, x+ y+ z = 0,,其中 O 為任意點. 使得 xoa+ yob+ zoc = 0 見 A, B, C 三點共線 6

47 = t AB, t R OC OA = t( OB OA), O 為任意點 ( t ) OA t OB+ OC = 0 kt ( ) OA ktob+ koc= 0, k R 取 x= k( t ), y = kt, z = k xoa+ yob+ zoc = 0,而 x+ y+ z = k( t ) kt+ k = 0 xoa+ yob+ zoc = 且 x+ y+ z = 0 O 為任意點,可取 O = A yab+ z= 0 若 y = 0,則 z = 0,隨之 x = 0,則此題變得沒有什麼意義 z 故 y 0,隨之, AB= A, B, C 三點共線 y P PA PB = PB PC = PC PA,試證: P 為 ABC 之垂心. PA PB PB PC = PB PA PC =0 PB CA = AB, AP BC P 為 ABC 之垂心中, O 為其外心, AO AB = AB., α, β R,求 α, β 之值. 反之,若 0 6. ABC 及一點,若見 由 PA PB = PB PC 0 ( ) 0 BP 同理可得: CP 7. 設 ABC () 試證: () 若 AB = 6, BC =, 8 CA = 且 AO= α AB+ β () 見 () α =, β = 9 () O 為 ABC 之外心 OA = OB = OC 作 OM AB 於 M OA = OB AM = MB AO AB = AO AB cosα = AB AB = AB, 8, () AB = AO AB = AO = 6α + β = 8LL α =, β = α + 6β = LL 9 8. 在三角形 ABC 中, M, N 分別是 AB, 兩邊的中點,試證 : MN// BC,且 MN = BC. 7

48 見詳解 如圖 -9, ( M, MN = MA+ AN = BA+ ( = BA ) + = BC, N 為 AB, 中點 ) 所以, MN// BC 且 MN = BC. 9. 試證 : 三角形的三中線交於一點 ( 三角形的重心 ).見詳解 在 ABC 中, 設 M 是 BC 中點, M 是 中點, M 是 AB 中點, 且兩中線 AM, BM 交於 G 點,如圖 -8, 則存在實數 t 使 AG = t AM,因此 t t AG = t = t AB AB AM ( + ) = + AB ( AM) AB t AM, = t + t = t + G, B, M 三點共線的充要條件為 + t =, 即 t =, 故 AG = AM. 同理,若兩中線 AM, CM 交於 G,則 AG = AM 於是 G = G,故三中線交於一點. 0. 證明 : 平行四邊形中,兩對角線的平方和等於四邊的平方和. ( 平行四邊形定理 ) 見詳解 t 8,

49 如圖 -0 所示,,, = a + b = a + b a + b = a + a b + b, BD = a b = a b a b, 設 a = AB, b = AD 則 = a + b, DB = a b 由內積性質可得 = a a b + b ( ) ( ) ( ) ( ) 因此, + BD = a + b = AB + AD = AB + BC + CD + DA 即兩對角線的平方和等於四邊的平方和.. 試證 : 三角形的三高交於一點 ( 三角形的垂心 ).見詳解 當 ABC 不是直角三角形時,設過 A 點的高與過 B 點的高交於 H,如圖 -(a) 與 (b) 所示,, C 且 BH CA.須再證明 CH AB. = ( + ) ( ) = CA CB CA CA AH CA ( AH CB = 0 ) = CA CB CA ( CA+ AH ) = CA CB CA CH = CA ( CB CH ) 則 AH B 只 CH AB CA AH CB CA = CA HB 9

50 0 = CA ( BH ) =,. 任一四邊形 ABCD,若 P, Q, R, S 分別是 AB, BC, CD, DA 四邊的中點, 如圖 -0 所示,試證 : 四邊形 PQRS 是一個平行四邊形.見詳解 在 ADC 中,知 SR =,又在 ABC 中,亦可得 PQ =, 所以 SR = PQ,即 SR = PQ 且 SR // PQ ; 所以,四邊形 PQRS 為平行四邊形... 設 O, A, B 三點不共線,點 P 為 AB 中點, 如圖 -,試證: OP = OA+ OB 見詳解 ( 本題可稱為向量的中點公式 ) OP = OA+ AP = OA+ AB = OA+ ( OB OA ) = OA+ OB.. 設 G 是 ABC 的重心,如圖 -9(a) 所示, () O 為任一定點,如圖 -9(b),證明: OG = OA+ OB+ OC () 證明 : GA+ GB+ GC = 0. () 見詳解 ;() 見詳解 () 設 AD 為過 A 的中線交 BC 於 D,則 AG : GD = :,因此, OG = OA+ OD = OA+ ( OB+ OC) 0

51 . C, CG = CA+ CB, AG+ BG+ CG = 0,即 GA+ GB+ GC = 0. = OA + OB OC + () AG = AB+ A C, BG = BA B + 所以,. 由 ABC 的兩邊 AB 與 各作一矩形,如圖 -, 使矩形 ABMN 中, AB= AN,而矩形 EF 中, AF =,證明:CN BF.見詳解 uuu 由圖 - 可得 CN = uuu CA + uuu uuu uuu uuu AN, BF = BA+ AF, 因此, CN BF = ( CA+ AN) ( BA+ AF) = CA BA+ CA AF+ AN BA+ AN AF = CA BA+ AN AF = AB+ AN AF = AB (cos B + cos NAF) = 0 即 CN BF,所以 CN BF.. = AB cos B + AB cos NAF 6. 設四邊形 ABCD 中, M 為 AD 中點, N 為 BC 中點, 證明 : MN = ( AB+ DC ) 見詳解 如圖,, = DA+ AB+ BC = AB+ DA+ BC = AB+ DC+ BA. MN = MA+ AB+ BN ( ) ( ) = AB+ DC = ( AB+ DC ) 7. 設 ABC 中, E, F 分別在 AB, 兩邊上,且 AE = AB, AF 7 證明 : 線段 EF 通過 ABC 的重心.見詳解設 G 為 ABC 的重心,則 7 AG = AB+ = AE+ A F =,

52 7 7 AG = AE+ AF,又 + =, 故得 E G F 三點共線,得證. 8. 在平面上,有一三角形 ABC,以 AB, 兩邊各作一正方形 ABEF 與 GH,如圖所示.. AD BC = ( AF+ FD) ( BA+ ) = ( AF+ FH) ( BA+ ) AF ( FA AH) ( BA ) ( AF AH) ( BA ) AF BA AF AH BA AH ( AF BA = 0, AH = 0 ) AF AH AB = AF cos CAF AB AH cos BAH 0 ( =, = AH, CAF = BAH ). 若 D 為 FH 的中點,證明 : AD BC 見詳解 由 = = + + = = = AF AB