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1 ( ). 設 a, b 為平面上的二向量,若 a + b (,), a b (, 6),則 a b 的值 () () 一 單選題 () () (). a + b (,) LL a b (, 6) LL + ( a + 6 b ) + ( a 6 b ) (,) + (, 8) 7 a (7, ) a (, ) 代入 得 (, ) b (, 6) b (, ) (, 6) (6,) b (, ) a b (, ) (, ) ( ). 設一平面上 P (, ),直線 L:x+ y 6,則 P 點到直線 L 的垂直距離長 () () () (). + 6 d( P; L) + ( ). 下列哪一個向量與直線 x+ y 平行? () a (, ) () b (, ) () c (,) () d (, ) () e (, ). b // L c n c // L () 錯. d n d // L e n e // L 直線 L:x+ y 之法向量 n (, ) () 對. a n a // L () 錯. b n () 錯. () 錯. ( ). 設 x, y R,若 () 8 () x + y 7,且 x y 的最大值為 K,則 K 的值 () () 6 () 由柯西不等式知: [( x) + ( y) ][( ) + ( ) ] ( x + y ) 9 77 (x + y )( + ) (x y) 7 (x y) 6 7 x y 7,得最大值 K 二 多選題 ( ). 有一直線 L:x+ y,則下列敘述何者為真? () L 之斜率 () L 之法向量 (, ) () L 之方向 t 向量 (,) () L 之方向向量 (, ) () L 之參數式 :, t R. t a L:x+ y,斜率,法向量 n (,) b (,) n (,),故 (,) 可為方向向量 ()

2 (, )//(,),故 (, ) 亦為方向向量 (, ) //(,),故 (, ) 為 L 之方向向量 + t 又 (,) L,則 L 之參數式:, t R t 三 填充題. 設 A (,), B(, ),動點 P 為直線 x+ y 上之一點,則 PA PB 9 8 A (,), B(, ), P x+ y 令 Pt (, t), t R PA PB ( tt, ) ( t, + t) t( t) + t( + t) 7 t 7t ( t ) 9 有最小值 之最小值 當 t 時, PA PB 8. 設 Aa (,), B (,), Cb (,), D(, c ), a, b, c R,若 ABCD 為一菱形,則 () a. () b. () c. ();()7;() Aa (,), B (,), Cb (,), D (, c ) AB ( a,), DC ( b, c), AC ( b a,), BD (, c ) ABCD 為一菱形 c AC BD ( b a,) (, c ) AB DC a b a+ b 8 LL c 且 a b c 由, 可得 a, b 7. 設 OA (,), OB (,), AOB 之角平分線交 AB 於 P,則 OP () OA+ () OB. () 8 ;() 8 OA (,) OA ; OB (,) OB AP : PB OA : OB :. 設 a (,6), b (,),則 () a 在 b 方向上之投影量. () a 在 b 方向上之投影. 8 6 ();() (, ) a (,6), b (,) OP OA+ OB 8 8, θ 為 a, b 之夾角 a b a b () a 在 b 方向上之投影量 a θ a cos a b b a b 6 LL 8 6 () a 在 b 方向上之投影 (, ) (, ). 設 x, y, z R, x + y + z 9,() 當 ( x, yz, ) 時, () x y+ 6z有最小值.

3 6 9 8 () (,, );() 由柯西不等式 :(x y+ 6 z) [ + ( ) + 6 ]( x + y + z ) 9 9 x y+ 6z x y z 上式 成立 t,代入 x + y + z 9 9t 9 t ± t ( xyz,, ) (,, ) 產生最大值 t ( xyz,, ) (,, ) 產生最小值 設 ABC 中, A(,), B(, ), C(, ),自 A 向 BC 作垂線,垂足為 D,則 D 之坐標為. 7 (, ) 7 7, t R 設 D( xy, ),由 B, D, C 三點共線 BD tbc x y+ 9x y 7 9 又 AD BC AD BC ( x +, y ) (,9) x+ 9 y 6 7 解之得 x, 7 y 7 7. a (, ), b (,), t R,若 c a + t b. ();() a (, ), b (,) c a + t b ( t+, t ),則 () 當 t 時, () c 有最小值 ( + ) + ( ) + ( ) + c t t t t t 當 t 時, c 有最小值,則 8. 平面上, O 為原點, P(,), Q 在直線 x+ y 上, () 若 OP OQ () Q 之坐標為 及. PQ 之長度,最小,此時之 Q 點為. () (, ),(,);(), (,) Q 點在直線 x+ y 上 可令 Qt (, t), t R () OP OQ + t + ( t) t t t t 6 t, t 時, Q(, ) ; t 時, Q(,)

4 () PQ (, t t) (,) ( t, t ) PQ ( t ) + ( t ) t + 8 當 t 時, PQ 有最小值 8,此時 Q(,) 9. 設平面上有三點 A, B, C,已知 AB (,), AC (, ),則 ABC 之周長 AB (,) AB 7, AC (, ) AC BC AC AB (, ) BC ABC 之周長 AB + AC + BC 設 a, b 為二實數, ab, Aa (,), B(, b ),直線 AB 之法向量 N. ( ba, ) 或 tba (, ), t R Aa (,), B(, b ) AB ( a, b) 垂直 可取 N ( ba, ) 或 tba (, ), t R N 與 AB. 設 x, y 是實數, x y,則 x + y 之最小值. 由柯西不等式 (x y) [ + ( ) ]( x + y ) ( x + y ) x + y,即最小值. 設 x, y 是實數, x + 9y,則 x y+ 之最大值. + 6 由柯西不等式 ( x y) [( ) + ( ) ][( x) + ( y) ] ( + ) 9 6 x y x y 最大值 + 6. 設平面上有二直線 L : x y, L :x+ ky, k R, () 若 L L,則 k. () 若 L, L 所夾銳角為,則 k ( 有二解 ). ();() 或 6 L : x y 取 N (, ) L :x+ ky 取 N (, k),設 L, L 所夾銳角為 θ () L L θ 9 N N k ()θ cos N k k N N k N + k k 6k + k 8 6 (k + )( k 6) k + k k + 8 k 或 6. 設有二直線 L : x y, L : x+ y+, θ 為 L, L 所夾之銳角,則 θ.

5 L : x y 取 N (, ) ; L : x+ y+ N (,) θ 為, L 所夾之銳角 L N N 6 N N cosθ θ. 設平面上有二平行線 L :x y, L :x y+ 6 及一點 A(,),則() d( L, L). () d( A; L ). () ;() () L :x y, L :x y+ 6 d( L, L ) () L :x y, A(,) d( A; L ) 6. 與 ( 6,8) 垂直,長為 的向量是. ± (,) 方法 a () 若 a,則 為 a 同方向的單位向量 a () 與 ( 6,8) 垂直的向量,即與 (8, 6) 平行的向量 (8,6) (8,6) () ± 是與 (8,6) 平行的單位向量,故 ± ± (,) 為所求 方法 設 ( ab, ) 為所求 ( 6,8) ( ab, ), ( ab, ) 的長為 6a+ 8b, a + b ( ab, ) ± (,) 7. 設 a (,), b (cos x,sin x),求 a b a b (,) (cos x,sin x) cos x+ sin x 之最大值. ( cos x+ sin x) sin( x+ θ ),其中 θ sin sin( x + θ ) sin( x + θ ) a b 8. 設 a (,), b (, ) (, ) b a b 在 a 上的正射影為 a a,若 b 與 a 垂直且 b 9. 設 a (,),則 b 在 a 上的正射影為. 最大值為 (, ) (,) ( ) ( ) (,) (,) (, ) (,) (,),求 b. ± (, )

6 a b s+ t LL 設 b (,) s t,則 b s + t LL 由 得 t s 代入 得 s ± t m,故 b ± (, ). 設平面上有三點 A (,), B(,), C(6, ), A 之角平分線交 BC 於 D,則 D 之坐標為. (, ) 7 A (,), B(,), C(6, ) AB (, ) AB AC (, ) AC BD : DC AB : AC : O 為原點 OD OB (,) (6, ) (, ) 7 + OC 即 D 點之坐標為 (, 7 ). 設 a (,), b (,), c (, ),求 ( a b ) ( b + c ) ( a b ) ( b + c ) [(,) (,)] [(,) + (, )] (9, ) (,) + ( ). 設 a (6,8), b (8,6),若 ( x a + y b ) a 且 xa+ yb.,,則數對 (, x > x y ). (, ) a (6,8), b (8,6) [(6 x,8 x) + (8 y,6 y)] (6,8) ( xa+ yb) a x + y x a + y b (6x+ 8 y,8x+ 6 y) y x LL xa+ yb (6x+ 8 y) + (8x+ 6 y) 將 代入 7 7 ( x) + ( x) x ±,但 x > x, y. 設 x, y 為實數,且 x + y 6,求 x + y 的最大值為. 由柯西不等式可知 ( + )( x + y ) (x + y) x+ y,故 x + y 的最大值為. 設 P (,), Q (, ), R(, ), S(,) 為平面上四點,且 AB t PQ + RS t. 6 6 (x+ y), t 為實數,則當 AB 有最小值時,

7 9 由已知可得 PQ (,), RS (,6) AB t PQ + RS t(,) + (, 6) ( t +, t + 6) 9 9 AB ( t + ) + ( t + 6) t + 8t + ( t + ) + 9 故當 t 時, AB 有最小值為. OP (, b), OA (,), OP 在 OA 之正射影為 (,),則 b 之值. b ( OP OA) OA ( + b) (,) (,) (,) + OA ( + b) (,) (,) + b + b b 6. 設直線 l : x t, y t, t R, l 過點 (8,97),斜率為,則 l, l 之銳夾角為 度. θ 直線 l 的斜率為,直線 l 的斜率為 tanθ θ + 7. 求一向量 U 使 U,且 U 與 V (,) 反方向,則 U. (, ) 設 U a(, ) ( a, a), a > a 8. 設 a (,), b (, k) k 8 cos a ± ( 負不合 ) u U a + a 6 9 V (, ) a,若 a, b 之夾角為,則 k 之值. a b + k ( + k) a b + k ( + k ) k 6k k 8± ( 正不合 + k < ) 9. 直線 x+ y 與直線 x y+ 6 夾角為 θ,則 sinθ x+ y, n (,), n x y+ 6, n (, ), n n n (,) (, ) ± ± ± n n 6 cosθ 7

8 9 7 6 sinθ cos θ ( ) t. 平面上的直線 L :, t R,與 y 軸的一個夾角為 φ, sinφ 之值為. + t L 的方向向量 a (,), y 軸的方向向量 b (,) a b cosφ sinφ cos φ a b. a ( x,), b (, y), x, y 為實數,若 x + y,則 a b a b ( x,) (, y) x+ y 由柯西不等式可知 ( x + y )( + ) ( x + y) 之最小值為 之最小值為. ( x+ ) y x+ y 故 a b. 設 AB 之長為,其方向角為, ABC 7,且 BC 之長為 6,若 A 為原點,則 C 的坐標為. ( 有兩解 ) ( +, ) 或 (, + ) AB (cos,sin ) (, ) B (, ) uuu 又 ABC 7, BC 6,由上圖知 C 點有 解, C BC (, ) AC AB BC C ( +, ) CB 6(cos,sin ) (, ) C + (, ) + (, ) ( +, ) BC 6(cos,sin ) (,) AC AB+ BC (, ) + (,) (, + ) C (, + ) C 點坐標為 ( +, ) 或 (, + ). 梯形 ABCD 中,已知 AD// BC, A (,), B(,), C(, ), AD 8,則 D 點坐標為. 9 7 (, ) 8

9 直線 + t BC (, ) AD// BC AD 的參數式為, t R t 設 D( + t, t ) AD 8, A(,) ( t) ( t) 8 + t 6 8 t ± ( 負不合 BC 與 AD 同方向 ) 8 t 時, x, y D (, ). 二直線 L :x+ y, L :x+ y 之鈍角平分線為. x 8y+ 8 x+ y x+ y ( 經同號區 ) x 8y 平面上兩點 A (,), B(, ), suur () 若 P 點在 AB 上且 AP : PB :,求 P 點坐標 ( 兩解 ). t () 若甲生求得 AB 的參數式為,則 t 的範圍為何?. y + t suur () Q(9,) 至 AB 的距離為. () ( 7,) 或 (,) ;() t ;() A (,), B(, ),設 Pxy (, ) + 7 x () 若 P 為內分點, AP : PB :,則 ( ) + y 若 P 為外分點, AP : PB :,則 AP : AB : + x ( ) + y y P 點坐標為 7 (,) 或 (,) 9

10 t () AB 參數式 t + t + t t suur () 設 H 為 Q(9, ) 到 AB 的投影點 設 H( t,+ t ), QH ( t,t + ) t t QH ( t ) + (t + ) t + t + 6 (t + ) + 6 suur Q 到 AB 的距離 6 6. 平面上兩平行直線 x+ y 7與 8x+ 6 y+ 之間的距離為. 兩平行直線距離 ( 7) + + t + s 7. 設直線的參數方程式分別為 L :, t R, L :, s R,求 t s () 與 L 的交點為. () 兩線銳夾角為. L () (, ) ;() cos + t + s () L :, t R, L :, s R y t y s + t + s 則 t s t s LL t + s LL 解, t, s,故 L 與 L 的交點為 (,) x y x+ y () L :, L : L 與 L 的交角 θ 就是兩向量 (, ) 與 (, ) 的夾角 + ( )( ) cosθ ± ±,故兩直線的銳夾角為 cos + ( ) + ( ) 8. 兩直線 x y 與 x y+ 所夾之銳角平分線方程式為. 7x 7y+ 如圖 ( ) 則銳角平分線方程式為 x y x y + x y (x y+ ) 7x 7 y + 9. 設向量 a (, ),一單位向量與向量 6 b b a 的夾角為,則此單位向量.

11 (, ), (, ) 方法 設 b ( x, y),則 b 又與之夾角 a b 為 6 cos6 a b x y a b x + y LL x y y x 代入 x x x + + x(x ) x 或 y 或 故 b (, ) 或 (, ) 方法 a (, ) i ( i) (cos + i sin ) 逆時針轉 6,且長度為 即 (cos + isin )(cos6 + isin 6 ) cos9 + isin 9 cos + isin + i b (, ) 順時針轉 6,且長度為 即 (cos + isin )[cos( 6 ) + isin( 6 )] cos7 + isin 7 i b (, ). 已知 x, y 為實數且 9x + y,則 () 6x + y 的最大值為. () 產生最大值時的數對 ( x, y ). ();() (, ) () 利用柯西不等式知: [( x) + ( y) ]( + ) (6x + y) (6x+ y) 6x+ y,即最大值為 x y () 此時令 k,則 x k y k 6x+ y 6 k+ k k k 則 x k, y k. 兩直線 x y, x y 所夾的鈍角平分線為. 9x+ 7y 設 Pxy (, ) 為 L :x y, L :x y 之角平分線上任一點則 d( P; L ) d( P; L )

12 x y x y x y x y (x y) ± (x y) 角平分線分別為 9x+ 7 y 及 7x 9y 而鈍角之角平分線由下圖可知為 9x+ 7y. 直線 x+ y 上的一個動點 S 到定點 T (,) 的線段長最小值為. 方法 + 所求 dtl ( ; ) + 方法 x + t L 之參數式, t R, P L,則 P 之坐標為 ( t, t) t PT (t + ) + [( t) ] 9( t + ) 當 t 時, PT 有最小值 9 9. 設 a (,), b (,), t 是實數,則 a + t b 的最小值為. a + t b (,) + t(,) ( + t, t) a + t b ( + t, t) ( + t) + t ( t+ ) +,當 t 時,有最小值為. 設 θ 為 u (,) 與 (, ) 兩向量之夾角,則 cosθ. u + ( 9) cosθ u. 若 L :x y+, L :x+ y,則 L 與 L 之夾角為. π π 或 取及 L 之法向量,分別為 n (, ), n (,) L n n 6 n n 則 cosθ π θ

13 π π L, L 之夾角為或 6. 設 x, y 為實數且 x + y 8,求 x + y 的最大值為. 利用柯西不等式知 ( x + y )( + ) ( x + y) 8 ( x+ y) x+ y x + y 之最大值為 7. 求二直線 x+ y 與 x+ y 之夾角平分線方程式為. 7x y+ 與 x+ 7y 7 設 Pxy (, ) 為角平分線上任意點 x+ y x+ y 則 d( P; L) d( P; L),即 (x+ y ) ± (x+ y ) 角平分線分別為 l :7x y+ 及 l :x+ 7y 7 8. 設在平面坐標上,賓拉登藏在 (,) 處,布希下令分別分布在 (,),(,), ( 9,), ( 6,), (,),, (, ) 的 架戰機,沿方向向量 a (, ) 沿途轟炸,則賓拉登距轟炸的最近距離為. 沿方向向量 a (,),表此方向之直線斜率 m 過 (,) 且斜率 m 之直線 L: y ( x ) 即 L:x y+ 8,其 x 截距為 7 表其與過 ( 6,) 且斜率 m 的直線 l 之距離為最近 l : y ( x+ 6), l :x y+ 8 所求之最近距離 d( L; l ) + ( ) + t s 9. 平面上二直線 L :, t R, L :, s R, + t + s () L 的斜率為. () 和 L 的夾角為. L () 原點到 L, L 的距離分別為 d, d,則 d 7 ();() 或 ;() () L 上找兩點 A(,) 及 B(,) 則斜率 m ( ) d +.

14 () 和 L 之方向向量分別為 d (, ), d (,) L cosθ d d + 6 ± ± ± d d 則夾角 θ 為 或 + t () L : 消去 t + t L :x y+ s L : 消去 s + s L :x+ y d + d ( ) + ( ) 坐標平面上點 (, ) 到直線 L: x + t, y + t, t R 的距離為. + t L : 消去 t + t 得 L:x y + 6 點 P(, ) 到 L 之距離為 d( P; L) + ( ). 設 ABC 三頂點為 A(, ), B (,), C(, ), 則 ABC 的面積為 平方單位 8 AB (,), AC ( 8, ), 得 AB AC ABC 之面積 AB AC ( AB AC) L :x 6y, L : x+ y,則兩直線的夾角為. 或 L 之法向量 n (, 6), L 之法向量 n (,) 之 L 及 L 夾角 θ 即為及之夾角 n n n n ± ± ± n n cos θ ( ) 故與 L 之夾角為 或 L. 過點 A (,) 而與向量 n (, ) 垂直的直線方程式為. x y+ 7 n (, ) n L L:x y+ k 直線 L 與垂直,故為之法向量,設 A (,) 代入 L,得 k 7 L:x y+ 7. 設 x, y 為實數,且 x+ y,則 x + y 的最小值為. 由柯西不等式知: [( x) + ( y) ][ + ( ) ] ( x+ y ) (x + y )( + ) x + y 最小值為. 設 u (,) 且直線 L:x y+,則 u 在 L 上的正射影為.( 以坐標表示法 )

15 (,6) 在 L:x y+ 上取兩點 A(, ) 及 B (,),則 AB (,) u u AB 在 L 上之正射影 u 在 AB 上之正射影 ( ) (,) (, AB 6) AB 6. 設 a (,), b (, ),若 ( a + k b ) b,則 k 之值為. ) ( a + k b ) b a + k b (,) + ( k, k) (k +,k + ) ( a + k b b 即 ( k +, k + ) (, ) k +,得 k 7. 平面上三直線 L :x y+, L : x y+, L :x y,試求 () 與 L 之夾角為 θ,則 sinθ. () 與 L 兩直線間的距離為. L () ;() L () 及 L 之法向量分別為 n (, ), n (, ) L cosθ n n + n n ± ± ± 6 sinθ cos θ L : x y+ ( ) () L : x y,則 d( L ; L) + 8. L:x y+,求與 L 平行且距離為 的直線方程式.( 有二解 ) x y+ 或 x y 8 設所求直線 L':x y+ k k d( L'; L) + ( ) k k ± k 或 8 L' x y+ 或 x y 8 9. 坐標平面上已知 A (,), B (, ), C(8, ),則 AC 在 AB 上之正射影為. 9 (, ) AB (,), AC (6,) AB AC 所求 ( ) ( )(,) (,) (, AB ) AB 6. 設 a, b 為正實數,則 8 8 ( a + )( b b + a ) 的最小值為. 8 8 利用柯西不等式知: [( a) + ( ) ] + [( ) + ( b) ] ( a + b ) b a a b 8 ( a + )( b ) ( ) b + a + 8 得最小值為 8

16 6. u (, ), (, ), w (, ),則 u ( w) 9 w (, ) (, ) (,8) (, 9) ( ( ),8 ( 9)) (,7) u ( w) (, ) (,7) + ( ) a (,), b (, ),若 c a + t b.,則 c 的最小值為. 8 c a + t b (,) + t(, ) ( + t, t) 6 c ( + t) + ( t) t t+ ( t ) + 當 t 時, c 有最小值為 t 6. P(, ),而 Q 是直線 L :, t R 上一點,則 PQ 距離的最小值為. t 方法 Q L Q( + t, t) PQ (t + ) + ( t) 69t t + 69( t ) + 9 當 t 時, PQ 有最小值為 9 方法 + tll L :, + tll L:x+ y PQ 之最小值 dpl ( ; ) + 6. 已知 x, y R, x + y 6,則 x y 的最大值為 M,最小值為 m,此數對 ( M, m ). (8, ) 由柯西不等式知 ( x + y )[ + ( ) ] (x y) 6 (x y) x y x y 8 可知 M 8, m 6. 設 A (,), B (,),動點 Pxy (, ) 在線段 AB 上,求 x + y 之最大值為. t AB :, t ; P AB y t 設 P( t, t) ( t ) x + y ( t) + ( t) 9( t ) +,其中 t 9 9 當 t 時, x + y 有最大值為 66. ABC 中, A (, ), B(,), C(, x),若 ABC 之面積為,則 x. 9 或 6

17 AB (,), AC (, x ) ABC 之面積 AB AC ( AB AC) ( 8) (9 x x+ x 6 x+ ) ( x + ) x + 或 x 9 或 67. 二直線 L :x+ y, L :x+ y 交角中,則銳角的角平分線方程式為. x+ 7y 7 x+ y x+ y 角平分線: 由下圖可知,銳角角平分線位在 L, L 之異號區 x+ y x+ y 故取 ( ) ( ) x+ 7y OA (,), OB (,), OC OB (, 6), BC // OA 且 OD+ OA OC,則 OD (, ) (,). 設 OC ( x, y) () 由 OC OB xy x+ y x+ y 令 () 由 BC// OA ( x+, y )//(,) t 得 x t, y t+ 代入 (t ) + ( t+ ) t 代入,得 OC (, 7) () 由 OD + OA OC,得 OD OC OA (, 7) (,) (, 6) 69. 坐標平面上三點 A(, ), B(,), C(,),求 ABC 的面積. AB (,), AC (,) ABC 的面積 AB AC ( AB AC) ( + ) 7. 坐標平面上三點 A(, ), B(,), C(,),若直線 x y 交 AB 於 Q 點,求 AQ : BQ. : + 9 AQ : BQ d( A; L): d( B; L) : 6: : t 7. 坐標平面上三點 A(, ), B(,), C(,),若 P 在 AB 上,求 PB PC 6 t t t AB :, t R ; P AB,設 P( t, + t) y + t PB PC ( + t, t) (+ t, t) 7 的最小值.

18 t t ( t ) 6 即最小值為 7. 已知 A(,), B (8,9), C(,8),則 在 AC 上正射影. () AB AC. () AB ();() (6,8) () AB (,), AC (,),則 AB AC + ( AB AC) () 所求 AC (,) (6,8) AC 7. 設平面上有三條直線, L, L 及 L,已知 L :x+ y, L: x+ y,且 L 是 L, L 之交角平分線,則之方程式為. L x+ y+ L :x+ y 取 N (,) ; L: x+ y 取 N (,) 設 L 之法向量 N ( a, b), L 是 L, L 之交角的平分線 N N N N N 與 N 所夾之銳角 N 與 N 所夾之銳角 N N N N N N N N N N a + b a+ b 平方 9( a + b ) ( a+ b) a + b + ab a ab+ b a ab + b ( a b)( a b) 故取 N (, ) 或 (,) 不合,與 N 相同,故 N (, ) 又 L 與 L相交於點 (, ) L : x+ y+ 7. 設 A (,), L:x y+,則 () A 在 L 上之投影坐標為. ()A 關於 L之對稱點為. () A 至直線 L 之距離. () (,) ;() (,) ;() 6 + x A (,), L:x y+ A 在 L 上之投影點 H : + A 關於 L 之對稱點 A': d( A; L ) + 7. 設 O (,), A (,), B(6,),則 AOB 之分角線方程式為. x y 8

19 t t 如上圖, OA 之直線方程式為 x y L ; OB 之直線方程式為 y L x y y AOB 之角平分線 M : d d x y y x 9 y x y 76. 平面上有二直線 L :7x+ 6y, L :x 9y+ 8 及一點 A(,9),則 () L, L 之交角平分線為.( 兩解 ) () 點至 L 之距離. A () x+ y 6, x y+ ;() 8 L :7x+ 6y, L :x 9y+ 8, A(,9) () Pxy (, ) 為 L, L 交角之平分線上任一點 d( P; L ) d( P; L )( dpl ( ; ) 表點 P 至直線 L 之距離 ) 7x+ 6y x 9y+ 8 7x+ 6y ± (x 9y + 8) x+ y 或 9x y+ 6 x+ y 6 或 x y () d( A; L ) 設 u 平行於直線 L: x+ y,且 u,則 u.( 兩解 ) 9 9 (, ) 或 (, ) 直線 L 的一個方向向量為 (, ),設 u ( x, y) x: y :( ) x y x y 又 u x + y u,則 ( xy, )//(, ) x + y 9 ( y) + y y y ±,故 (, ) 或 (, ) 78. 設 A (, ), B(,), Pxy (, ) 是直線 L: x+ y 上之任意點,則 PA PB 之最小值. A (, ), B(,), Pxy (, ) L: x+ y 可令 x t, y t, t R PA ( t, + t) ( t, t ), PB ( t, + t) ( t, t ) PA PB ( t)( t) + ( t )( t ) t t ( t ) 當 t 時, PA PB 有最小值 79. 若 θ 為 L :x+ y 與 L :x y+ 所夾之銳角,則 sinθ. L :x+ y 法向量 n (,) ; L :x y+ 法向量 n (, ) θ 為, L 所夾銳角 L n n 6 n n cosθ sinθ 9

20 8. 試求過點 (,),且與 x+ y 之夾角為 cos x+ y 或 9x y+ 的直線方程式為.( 兩解 ) 設所求直線的方程式為 y m( x ) mx y + ( m) 則此直線的法向量 n ( m, ) 又 x+ y 的法向量為 n (,) 令 θ 為兩直線的夾角 θ cos < θ < 9 m 故 cosθ m + 9 ( m ) m + m 7 ( m + ) ( m+ )(m 9) m 或 m 9 9 所求直線為 x y+ 或 x y+ 即 x+ y 或 9x y+ 8. 設 a, b, c, d R, a ( Mm, ). (, ) + b, c + d 9,若 ad bc 之最大值為 M,最小值為 m,則 ( a + b )[ d + ( c) ] ( ad bc) ( ad bc) 8 ad bc M, m 8. 設 x + xy+ ky + x y, k R,表相交之二直線,則() k. () 又若 θ 為此二直線的交角,則 sinθ. () ;() x + xy+ ky + x y,分離出有關 x 之項 x + x ( x+ )(x ) x + xy+ ky + x y ( x+ ay+ )(x+ by ) a+ b 比較係數 ab k,解之得 a, b, k a + b 又此二直線為 x+ y+, x y θ 為其交角 cosθ ± ± sinθ 8. 已知平面坐標系上三點 A(, ), B(,), C(,), () AB. () AB AC. () 若 AD AB AC,則 D 點坐標為. () ABC 面積. () AC 在 AB 的正射影之長為. (6) AC 在 AB 的正射影為.

21 (7) t R,則 tab+ AC 的最小值為. 8 6 ();();() (,) ;();();(6) (, );(7)6 A(, ), B(,), C(,) AB (,), AC (,6) () () AB AC AB ( ) + (,) (,6) 8+ 8 () AD (,) (, 6) (,) 令 D( xy, ) ( x, y + ) (, ) ( xy, ) (,) () ABC 面積 AB AC ( AB AC) ()( + 6) AC AB AC AB () 正射影長 AB 8 6 (6) 正射影 ( ) (,) (, AB ) AB (7) tab+ AC t(,) + (,6) ( t+,t+ 6) ( t+ ) + (t+ 6) t + t+ ( t+ ) + ( t+ ) + 6 當 t 時, tab+ AC 有最小值 過 (,) 且與二直線 L :x y 7 及 L :x y+ 6 成等角之直線方程式為. 9x 7y 或 7x+ 9y 7 L :x y 7 取法向量 N (, ) L :x y+ 6 N (, ) 設所求直線 L 之法向量為 N ( a, b),由 L 與 L, L 成等角 N N N N N N N N N N N N N N a b a b (a b) ± (a b) 7a+ 9b 或 9a 7 b 取 N (9, 7) 或 (7,9) 過點 (,) L:9x 7y 或 7x+ 9y 7 8. 過點 (,) 且與二定點 A (,), B(8,) 等距之直線方程式為. y 或 x y+ 方法 設所求直線方程式為 L: y mx+ mx y +

22 d( A; L) d( B; L) m+ 8m m + m + m+ ± (8m ) m 或 故所求直線之方程式為 y 或 x y+ 方法 如上圖:與 A, B 等距離之直線有二條,一為其過 AB 之中點,另一為其與 AB 平行故所求直線為 t () A (,), B(8,) AB 之中點 M (6,) P (,), PM : y () AB (,) (,) x y+ 86. 與直線 x y 平行且相距為 之直線方程式為. x y ± 設所求直線為 x y+ k, k R 與 x y 相距為 k + k ± 所求直線為 x y ± 87.() 若點 P(, a) 與直線 y 之距離為 且 P 在第一象限,則 a. () 若點 Pb (, ) 與直線 x 之距離為 6,則 b. () 若點 P(,) 且至直線 x + y c之距離為,則 c. 7 7 () a, ;() b 或 ;() c () 按題意, a a 或 P 在第一象限 a 或 () 按題意, b 6 7 b 或 () 按題意, 6 + c c 88. 一直線 L 通過 L :x y+ 及 L :x y 之交點且到點 (,) 之距離為,則 L 之方程式為. y 設所求直線為 (x y+ ) + k(x y ), k R ( k + ) x ( k + ) y+ k L 由 P (,) 且 d( P; L ) 7 (k + ) ( k + ) + k (k + ) + ( k + ) 7k + k + k + 6k + 9 k 所求直線為 (x y+ ) (x y ) y 89. 設 x, y R,已知 x + ( y+ ) 8,令 x + y 之最大值 M,最小值 m,則 ( Mm, ).

23 ( +, ) x + ( y+ ) 8 [( x) + ( y+ ) ][( ) + ] ( x+ y+ ) 8( ) ( x+ y ) + + ( x+ y+ ) x+ y+ x+ y + 最大值 M +,最小值 m,即 ( M, m ) ( +, ) 9. A (,), B (,), C( + t, +t), C 點之軌跡在一直線 L 上,求 () AB 在 L 上之正射影為. () ABC 周長之最小值為. () (, );() + + t () 直線 L 上一點 C( + t, +t),則參數方程式, t Z y + t 取 u (,) 為 L 之方向向量, A (,), B(,) AB (,) AB u (, )(,) 正射影為 ( ) u (,) (, ) u () AB, L: x+ y x y+ 欲求 ABC 周長之最小值,先求 A 對 L 之對稱點 A ',連線 AB ' 即為所求 x+ y+ 設 A'( x, y), A, A' 中點 (, ) 在 L 上 x+ y+ + y+ x + y ( x, y ) (,) A'(,) AB ' (+ ) ABC 周長之最小值 AB + A' B + 9. 設 P (,),直線 L: x t, y + t,若 L 上與 P 最近的點為 Qab (, ),最近之距離為 d,則序數 ( abd,, ). 7 (,, ) 令 ( t, + t) 為 L 上任一點,與 P(,) 的距離為 8 ( + t) + ( t) t + 6t+ ( t+ ) + 8 當 t 時,有最小值 7 即 Qab (, ) (, ) 時, d

24 7 故 ( abd,, ) (,, ) 9. xy 平面上有一直線 L:x y+ 及二定點 A(, ), B(,),若點 P 在 L 上移動,若 PA 時,則 P 之坐標為. 7 P (, ) 令 Pt (,t+ ) 7 + [( ) + ( + ) ] + [( ) + ( ) ] + ( ) + PA PB t t t t t t t 當 t 時, 7 7 m P (, ) 9. 已知 ABC, A(,), B (,8), C(, ),則 () 重心 G 坐標為. () A 內角平分線交 BC 於 T,則 T 坐標為.,則數對 (, ) () AP BC 於 P,若 AP xab+ yac x y. () ABCD 是等腰梯形,則 D 點坐標為. () BA 在 BC 上的正射影為. () ( 7, );() (, ) ;() (, ) ;() (, 8 ) ;() (, ) 8 7 () 重心 G( + +, + ) (, ) t () AT 為 A 之內角平分線 BT : CT AB : AC : : 由分點公式: OT OB+ OC T( x, y ) (,8) + (, ) (, ) (O 為原點 ) + PB 有最小值 () BC ( ) AB + AC BAC 9 由 ABC ~ PBA,知 AB: PB BC: BA : PB : PB 則 PC PB : PC : 由分點公式,得 AP AB+ AC ( xy, ) (, ) () 如下圖 BP CQ, PQ BC BP CQ AD, AD BC 8 ( x+, y ) (, ) Dxy (, ) (, )

25 () BA (, ), BC (, ) BA BC 所求 ( ) (, ) (, BC ) BC () 已知 a >, b >,則 ( a + )( b b + a ) 有最小值為. () 已知 x + y,則 x + y 有最大值為. ();() 8 8 () 利用柯西不等式知: [( a) + ( ) ][( ) ( b) ] ( 8 8) b a ( a + )( b ) b + a 最小值為 () 利用柯西不等式知: [( x) + ( y) ][( ) + ( ) ] ( x + y ) (x + y ) ( + ) (x + y) (x+ y) x+ y 最大值為 9. L:x+ y 6,求過原點且與 L 夾 角的直線方程式.( 有二解 ) x+ y, x y m ( ) m + 設所求直線之斜率為 m,則 tan + m ( ) m m+ m ( m + ) ± ( m ),得 m 或 故所求為 y ( x ) 或 y ( )( x ) x y 或 x+ y 96.() L :x+ y 7, L :x+ y+,則 L 與 L 的銳夾角平分線方程式為. () L :x y 8且 L, L, L 圍成之三角形 ABC 內心為 I,則 I 的坐標為. 9 () 7x+ 7y ;() (, ) 7 () 求及之角平分線 l L L x+ y 7 x+ y+ (x+ y 7) ± (x+ y+ ) + + 銳角平分線 l 位於 L 及 L 之異號區 l :(x+ y 7) (x+ y+ ),即 l :7x+ 7y () 求及之角平分線 l L L x+ y 7 x y ( ) (x+ y 7) ± (x y 8) 角平分線 l 位於 L 及 L 之同號區 l (x+ y 7) (x y 8),即 l : x 7y : l :7x+ 7y 由,得 9 l : x 7y 9,即內心 I(, ) y 7 7

26 97. x, y R,已知 x y,求 () x + 9y 之最小值. () 當 x + 9y 最小時,數對 ( x, y ). ()6;() ( 9, 8 ) 由柯西不等式知: [( x) + ( y) ][( ) + ( ) ] ( x y) (x + 9 y ) 6 x + 9y 6 x y 即最小值為 6,此時 8 y x 已知 x y, x ( x),得 x 9,則 98. 設 L:x y+,試求過點 (,) 且與 L之一夾角為 x+ y 6或 x y 8 L:x y+ 之斜率為 8 y π 的直線方程式. π m 假設所求直線之斜率為 m,則 tan ± ( ) + m m m + 得 或 + m + m m 或 m 故所求為 ( y ) ( x ) 或 ( y ) ( x ) 即 x+ y 6 或 x y O 為 ABC 重心,若 OA, OB, OC,求 ABC 面積. 7 O 為 ABC 之重心,則 OA+ OB+ OC OA+ OB OC OA+ OB OC OA + OA OB+ OB OC,得 OB OA ABC 之面積 ( AOB 之面積 ) OA OB ( OA OB) ( ) 7 6

27 且 BD. 坐標平面上三點 A(, ), B(,), C(,),若平面上一點 D 滿足 CD // AB. (, ) 9 設 D 之坐標為 ( x, y ) CD ( x, y ), AB (,), BD ( x +, y ), AC (,) x y BD AC ( x, y ) (,) CD // AB 解, Dxy (, ) (, ) 9 四 計算題. 設 a (,), b (, 6), c b + t a () 若 c 8,試求 t 之值.,得 x+ y 8 +,得 x+ y 8, t R, () 當 t t 時, c 有最小值 m,試求 t, m 之值. ()± 7;() t, m a (,), b (, 6), c b + t a ( + t, 6 + t), t R () c ( + t) + ( 6 + t) t t+ 8 t t 6 t ± 7 () c t t+ t + ( ) 當 t 時, c 有最小值,即 t, m,求 r, s 之值.. 設 G 為 ABC 之重心, P 為 AG 上的中點, D AB, E AC, EB 與 DC 交於 P 點, () 若 AP rad+ sae () 若 A(, ), D(,), E(,),則四邊形 ADPE 的面積為何? () r, s ;() 平方單位 6 6 () AG AB AC + AP AG AB+ AC ( x) AB+ xa 6 6 yad+ ( y) AC x, y 6 6 AD AB, AE AC x E y 6 AP AD+ AE 6 6 AC,求 D 點坐標 () AD ( 6,6), AE (,6), DE (6,) 7

28 AD + AE DE cos DAE AD AE 6 6 DAE, ADE AD AE sin 8 AP ( AD+ AE) AM, M 為 DE 中點 四邊形 ADPE ADP + AEP ( ADM + AEM ) ADE 8 ( 平方單位 ). 已知 x + y,求 x + y 的 () 最大值. () 最小值. ();() ( x + y )( + ) (x + y) x+ y 最大值,最小值. 設 x + y, x, y R,求 ( x ) ( y ) ( ) x+ y + 之最小值. + 8 所求為點 (, ) 到直線 x + y 的距離,即. 若點 A (, ) 到直線 L:x+ y k的距離為,求 k. k 或 ( x+ y) + k k k ± k 或 6. 求二平行線 L: x y 與 M :x 6y+ 的距離. L:x 6y 8, M :x 6y+ + 8 所求 若四直線 x y+, x y, x+ y 與 x+ y+ k 圍成一正方形,求 k. 或 6 ( ) x y+ 與 x y 兩直線之距離為 + k + k + x+ y 與 x+ y+ k 兩直線之距離為 + k + k 或 6 8. 求二直線 x+ y 7與 x+ y+ 之交角平分線方程式. x y+ 9 或 7x+ 7y 設此方程式上一動點為 ( x, y ),則 x+ y 7 ± (x+ y+ ) x y+ 9 或 7x+ 7 y x+ y 7 x+ y+ 9. Pt (, t ), L: x y+,則 P 到直線 L 的最小距離為何? 8

29 t t+ ( t ) + dpl ( ; ) 故當 t 時,有最小值為,此時 P(, ). 設 A(,), B (,), C(, ),求 () 點 A 到 BCt 的距離. () 求 ABC 面積. () ;() t BC : y x +,即 x+ y t + d( A; BC) BC + ABC. 設 a (, ), b (,) t, t () 若 ( a + b )//( a b ),求之值. () 若 ( a + b ) ( a b ),求 t 之值. () ;() 7 或 () a + b ( + t,), a b ( t,) ) a + b a b ) ( a + b ) ( a b ) ( a + b )//( a b ( + t) : ( t) : 8 t + 6t t () ( ) ( ( + t)( t) + (t 7)( t+ ). 設 a (,), b (,), () 若 ( t a + b ) ( a b ),求 t 之值. () 求 t 之值,使 ta+ b 為最小. 8 () ;() a b ( t a + b ) ( a b ) () t a + b t(,) + (,) ( t+, t+ ) (,) (,) (, ) ( t+, t+ ) (, ) 8 t t 6, t 8, t () ta+ b ( t+ ) + ( t+ ) t + t+ ( t+ ) + 當 t 時, ta b + 有最小值. 設 u (,), (, ), w (, ),求 u ( + w) (,), 6 7 t 或 t 的坐標表示及其長度. u ( + w) (9,) [(, ) + (, )] (9,) (, 8) (,) 長度 + 6. 設 A (,), B(,), P r AB,若 AP,求 P 點坐標. 9

30 (, + ) r t AB :, t y + t P r AB,可令 P( t, +t), t AP t + + t t [( ) ] [( ) ] 7 t t ( t ) 故 P(, + ). 設 a 8, b (,),與夾角為,求 a (, 8) 或 (,) 設 a ( x, y) + a b a. + x y 6 x+ y a b a b cos 8 x y 6 x 解得 或 x+ y 8 y 8 6. 求二線 x y+ 7 與 x y 的交角平分線方程式. x+ 7y+ 9 或 9x 7y x y+ 7 x y 設交角平分線上任一點 ( x, y ),則 ( x y+ 7) ± (x y ) x+ 7 y+ 9 或 9x 7 y 7. ABC 中, A(, ), B(,), C(,),則 ABC 面積為何? 9 AB (,9), AC (,6) ABC 之面積 ( 以 AB, AC 為相鄰兩邊的平行四邊形面積 ) 9 AB AC ( AB AC) 設 A (8,), B (,8), P L: y kx, k R,若 AP BP,試求 k 之範圍. k 7 7 A (8,), B(,8), P y kx Ptkt (, ), t R AP BP ( t 8, kt ) ( t, kt 8) ( t 8)( t ) + ( kt )( kt 8) ( + k ) t ( + k) t+ t R 判別式 D ( + k) ( + k ) 7k k + 7 k 設 A (,), B(,), P(, ) 且 PA+ PB+ PC,試求 ABC 之面積. 7 A (,), B(,), P(, ) AB (,), AP (, )

31 ABP 又 PA+ PB+ PC P 在 ABC 之內部且 PAB : PBC : PCA :: ABC 7 PAB 7. 設 A(,), B (8,9), C(,8),試求 在 AC 上之投影量.在 AC 上之投影. () AB () AB () B 在 ACt 上之投影坐標. () ABC 的面積. ();() ( 6,8) ;() (,) ;() A(,), B (8,9), C (,8) AB (,), AC (,) () AB 在 AC + 上之投影量 AB cos A ( ) () AB 在 AC 上之投影 (, ) (6,8) () 設 B 在 ACt 之投影坐標為 D( ab, ) 由 AD (6,8) ( a +, b ) (6,8) ( ab, ) (,) () ABC 的面積 AB AC ( AB AC). 設 x, y R, ( x ) + ( y ),試求 x y 之 () 最大值. () 最小值. ()8;() 由柯西不等式: [( x ) + ( )( y )] [ + ( ) ][( x ) + ( y ) ] (x y+ ) x y+ x y 8 即最大值 8,最小值. 設 x, y R, x+ y 8,試求 ( x ) + ( y ) 之最小值. 由柯西不等式: [( x ) + ( y )] (x+ y ) [( x ) + ( y ) ] + + ( )[( x ) ( y ) ] x+ y 8 ( x ) + ( y ),即最小值. 試求過 (, ) 且與直線 x+ y 的夾角為 的直線方程式. 7x+ y 9, x 7y+ x+ y 取 N (, ),設所求直線之法向量 N ( a, b) a+ b 由夾角為 cos a + b a+b a + b 平方之, ( a + b ) (9a + ab+ 6 b ) 7a 8ab 7b ( a 7 b)(7 a + b) () a 7b 取 N (7,),所求直線: 7x + y 9 7 () 7a+ b 取 N (, 7),所求直線: x y+. 設平面上有一直線 L: x+ y 及二點 A (,), B(6,),試在 L 上找一點 P,使 PA PB P(,) 為最大.

32 如下圖 () 作 A 關於 L 之對稱點 A ',連接 BAt ' 交 L 於 P,此 P 即為所求 任取 L 上異於 P 之任一點 Q QA QB QA' QB < A' B PB PA' PB PA PA PB x ( ) () A (,), L: x+ y A 關於 L 之對稱點 A': y ( ) t () A '(,), B(6,) A' B 之方程式為 y y 解,即 P(,) x + y y x y x y. 試求二直線 +, + ( a >, b < ) 的距離. a b a b ab a + b x y x y L : + bx + ay ab ; L : + a b a b bx + ay ab ab ab L// L d( L, L) a + b a + b ( a >, b < ) 6. 過點 (,) 而與直線 x y+ 成 6 角之直線方程式為? x 或 x + y + x y+,則取法向量 n (, ),設所求直線之法向量 n ( a, b) 夾角 6 a b cos6 a + b a ab+ b a + b b ab a b a + b bb ( a) b 或 b a b n (, ),過 (,) x b a n (, ),過 (,) x+ y + 7. 設 x, y 均為正實數,若 + 令 u (, ), ( x, y) x y u +, +,則 x + y 之最小值為何? x y u x + y, x+ y

33 得 ( ) x y 由公式 ( u ) u + +,即 x + y 的最小值為 + 8. 設二直線 L:x+ ay, M : ax+ y+ 之交角 θ,滿足 sinθ,求 a 之值. a ±或 ± ± a+ a sinθ cosθ ; cosθ ± 9+ a a + 平方得 6a 7a + 6 ( a )(6a 9) a ± 或 ± 6+ t + s 9. 兩直線的參數方程式分別為 L :, t R, L :, s R,試求兩直線 y t s () 交點坐標. () 交角平分線的方程式 () (,) ;() x y 及 x+ y 6+ t + s () L : 消去 t,得 L : x+ y 6, L : 消去 s,得 L :x+ y 6 y t s L : x+ y 6 得 得交點坐標 ( xy, ) (,) L :x+ y 6 () 設 Pxy (, ) 為角平分線上任一點,則 d( P; L) d( P; L) x+ y 6 x+ y 6 x+ y 6 x+ y ( x+ y 6) ± (x+ y 6),得角平分線為 x y 及 x+ y. 設直線 L 過點 P(,),若 L 與直線 L :x+ y 7 及 L :x+ y+ 8 交於 A, B 兩點,且直線與直線 L 的 夾角為,則 AB 之長為何? 如圖, L 7 8 d( L, L) AC + ABC 為等腰直角 AB. 三直線 L :x+ y, L :x y 9, L : x y, () 求, L 的交角分角線方程式. () 求此三直線圍成的三角形的內心坐標. L () x+ y+ 6 及 x y+ ;() (,) (x y+ 9) ( x y+ ) () L, L 之角平分線 ± + + x+ y+ 6 及 x y+ () 由 () 可知 L 及 L 之內角角平分線為 l : x y+ 而,之角平分線 l 位於同號區 L L (x+ y ) ( x y+ ) + + 解, l 得交點為內心 I(,) l l : x+ y 6

34 . 設 x, y 為實數,且 x+ y,求 x + y 的最小值,並求當 x 6 當 x, y 8 時, x + y 最小,其值為 考慮兩向量 (, ),( x, y ), 由柯西不等式知 ( + )( x + y ) (x+ y), 即 ( x + y ),亦即 x + y. + y 最小時, x, y 的值. 故 x + y 的最小值為, x y 此時 (, ) //( x, y ),即. + y 解, x 得 x 且 y,即當 x, y 8 時, x + y 最小,其值為.. 設 x + 9y,求 x y 的最小值,並求當 x y 最小時, x, y 的值. 當 ( x, y) (, ) 時, x y 最小 6 由柯西不等式知 [( ) + ( ) ][( x) + ( y) ] [ ( x) + ( )( y)], 即 ( ) x y, 6 即 ( x y) 6, 亦即 x y. 6 6 當 x y 時, ( y) ( )( x), 6 9 即 x y 時,才有最小值. 9 x y 由聯立方程組 得 y ±. x + 9y 當 y 時, x,此時 x y. 6 當 y 時, x,此時 x y. 6 所以,當 ( x, y) (, ) 時, x y 最小. 6. 設 L : x+ y, L : x y+,求 L 與 L 的夾角. o 與 o

35 令 n (, ), n (, ),則 設,的 n n 夾角為 θ, n n 6 cosθ n n 則 n,, o 得 θ. 因此,與 L 的夾角為 o 與 o. L n 分別是 L, L 的法向量,. 坐標平面上一三角形 ABC,已知 A (, ), B(6, ), C(, ),求 AC 在 AB 方向上的投影,並求過 C 的 高在 AB 邊或其延長線上垂足的坐標. (, ) AH AC 在方向上的投影, 設 H 為垂足, 則就是 AB 畫一簡單示意圖,如圖 -7, AB (, ), AC (, ), AC 在 AB 方向上的投影 AH AB AC AB AB 6 (, ) 6 + (, ),即 AC 在 AB 方向上的投影為 (, ),設 H ( x, y ), 則 AH ( x, y ) (, ),可得 x, y,即垂足坐標為 (, ). 6. 設 A(, 6), B(, ), L :x y+,分別求 A, B 到直線 L 的距離. ();() 由點到直線的距離公式可得 6+ () A 到 L 的距離. + ( ) ( ) + () B 到 L 的距離. + ( )

36 7. 已知 A (8, ), B(, ), C(, ) 為坐標平面上三點,求 ABC 中, BC 邊上的高. 直線 BC 的方程式為 y ( x + ),整理得 x+ 7y, + 點 A 到直線 BC 的距離 所以, ABC 中, BC 邊上的高為. 8. 設直線 L : x+ y,求平行 L 且與 L 距離為 的直線. x+ y+ 或 x+ y 87 對直線 L 而言,當 x 時, y,即點 (, ) 在 L 上. 平行 L 的直線 L 的方程式可設為 x+ y+ k, k 為一定數. 欲使 L 與 L 的距離為 時,由兩平行線的距離得 即 + k 6,可得 k 或 87. k +, 所以,所求的直線方程式為 x+ y+ 或 x+ y 設 x, y 為實數,且 x y,求 x + y 的最小值,並求當 x + y 最小時, x, y 值. 最小值, x, y 由柯西不等式得 [ + ( ) ][ x + ( y) ] [ x+ ( )( y)], 即 ( ) ( ) x + y x y,所以 x + y, 當 x:y :( ) 時, x + y 才成立. 由 x y,可得 x, y,即 x, y 時, x + y 最小.. 設 9x + y,求 9x y 的最大值,並求當 9x y 最大時, x, y 的值. 由柯西不等式得 [ + ( ) ][( x) + ( y) ] [( x) + ( )( y )], 即得 (9x y),因此, 9x y 的最大值為. x y 9x y 時,,可得 x, y.. () 設 L : x+ y+, L : x y+ 7,且 θ 是直線與 L 所夾的銳角,求 cosθ 的值. () 求直線 L : x + y 與 y 軸的夾角的正弦值. L () ;() 6 9 () 令 n (, ), n (, ),則 cosθ. () 直線 L 與 y 軸的法向量分別為 n (, ), n (, ), 則夾角 θ 滿足 cosθ n n n n, 因此, sinθ cos θ.. 設 P(, ), L : x+ y,求 P 到 L 的距離. 6 6

37 ( ) + P 到 L 的距離為. +. 已知 A (8, ), B(, ), C(, ) 為坐標平面上三點,求 ABC 中, AC 邊上的高. 直線 AC 的方程式為 y ( x ),即 x+ y, 8 頂點 B(, ) 到邊 AC 的高 設直線 L : x+ y,垂直 L 且與原點距離為 的直線. x y+ 6 或 x y 6 垂直 L 的直線 l 可以 x+ y+ d 表示, +d 此時,原點 (, ) 到 l 的距離,得 d ± 6, + ( ) 所以,兩直線 x y+ 6 與 x y 6 合所求.. 設 x, y 為實數,且 x+ y,求 x + y 的最小值,並求 x + y 最小時, x, y 之值. x + y 最小值, x 6, y 8 由柯西不等式得 :( x + y )( + ) (x+ y ) ( x + y )() x + y. x y " 成立, x y 6 8 由, 得 x, y. x+ y 6. 設 x, y 為實數,且 9x + 6y,求 x + y 的最大值與最小值,並求使 x+y 有最大值時, x, y 之值. 最大值, x, y.最小值 6 8 ( x) + ( y) ( + ) (x+ y ) (x+ y) x+ y x y " 成立, x y ( x, y) (, ),得最大值. x+ y 6 8 x y ( x, y) (, ),得最小值. x+ y t + s 7. 設兩直線 L : 與 L :,且 L與 L所夾的銳角為 θ, t + s 求 cos θ 及 θ. π cos θ, θ L L 的方向向量分別為 與 (, ), (, ), 則 L L 的夾角之一,即為 與 的夾角,故得銳夾角為 與 7

38 + ( ) π cosθ, θ. 8. 設兩直線 L : x y+, L: x+ y+,且 θ是 L與 L的交角, 求 sinθ. 由 cosθ ± ± ±,得 sinθ. + ( ) + u 在 u 方向上的投影. 9. 設 u (, ), (, ), 求在方向上的投影量及 投影量,投影 (, ) u u 8 在上的投影為 ( ) u ( )(, ) (, ), u 投影量 u u.. 設直線 L 過點 (, ) 且斜率為, 求點 P(, ) 到直線 L 的距離. 由 L: y ( x+ ) x y+, 由 d( P, + L). + ( ). 設直線 L 過點 (, ) 且與 B(,) 的距離為,求直線 L 的方程式. y 或 x+ y 7 設 L 的斜率為 m,則 L: y m( x ) mx y+ m, 由 db (, m + m 6m+ L) m+ m+ m + ( ) m + m + m + m+ m + m m 或, 故 L: y 或 y ( x ),即 x+ y 7.. 求兩直線 L: x y+ 與 L: 6x 8y 的距離. 由 L : x y, L : x y ( ) dl (, L). + ( ). 設 ABC 中, A(, ), B(, ), C(, ),且過 C 的高在 AB 邊上的垂足為 H, 求 H 的坐標, 並求高 CH 的 長. 8

39 9 H(, ), CH 如圖, x t 直線 AB : +, t t 為實數,設 H ( + t, t), 由 CH (t ) + ( t ) t 6t 9t t t t 8 96 ( t t) + 8 ( t ) +, 9 得當 t 時,最小值 CH,且 H (, ). + t. 設直線 L :,且 θ 為 L 與 y 軸的一個夾角,求 cosθ. y t 或 L 的方向向量為 L (, ), y軸的方向向量為 j (, ). (, )(, ) 則 cosθ ± ±. + ( ) +. 設 a, b 均為正數且 a+ b,求 a + b 的最小值及其對應的 a, b 值. 6 最小值, a, b 由柯西不等式 a ( b) ( ) + + ( a+ b) ( a + b ) 6 a + b. a b 成立 及 a+ b, 得 a b. 6. 設直線 L: x y+,若直線 l 過點 (, ), 且與 L 夾角 o,求 l 的方程式. 7x y 或 x+ 7y 設 l 的斜率為 m,則 l : y m( x ),即 mx y m, 因夾角為 o o m +,則 cos + ( ) m + ( ) 6 m+ m + 7m 8m 7 m 7或, 7 得 l : 7x y 或 x y,即 x+ 7y. 7 7 五 證明題 ( 小題每小題 分共 分 ). 試證:內接於半圓之圓周角為直角.見 9

40 如上圖,設 Ar (,), B( r,) P 在半圓上 Pr ( cos θ, rsin θ ), θ R PA PB ( r r cos θ, r sin θ) ( r r cos θ, r sinθ) r [( cos θ)( cos θ) + sin θ] r ( + cos θ + sin θ) PB PA,即 APB 9.. 試證: ABC 之面積 AB AC ( AB AC) 更進一步,若 AB ( a, a), AC ( b, b),則 ab ab.見 ABC AB AC sin A AB AC cos A AB AC AB AC ( ) AB AC AB AC ( AB AC) ( AB a a (, ), AC ( b, b) ) ( a + a)( b + b) ( ab + ab ) ( ab ab ) ab ab. 設 u ( a, b), ( a, b),證明: ( aa + bb ) ( a + b )( a + b ).見 u u ( a, b), ( a, b), u u cosθ cosθ u u cosθ u u u ( ) u u ( aa + bb) ( a + b )( a + b ). () 已知平面上一點 Px (, y ) 到直線 L: ax+ by c的垂直距離為 c c L : ax+ by c的距離為. a + b () 求 L :x y 7和 L :6x 8y 的距離. ax + by c a + b,試證明兩平行直線 L: ax+ by c, () 見 ;() 設 Px (, y) L : ax+ by c,則 ax + by c ax + by c c c c c d( L, L) d( P; L) a + b a + b a + b

41 L :x y 7 () L :x y dl L 7 ( ) (, ) + ( )