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于仉
6 years ago
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1 試題下列敘述何者正確? (1) 線段的射影一定是線段 () 線段的射影長不可能比原線段長 () 兩歪斜線在一平面上的投影不會相交 (4) 兩平行線在同一平面的投影,必為兩平行線. 編碼難易易出處康熹自命題解答 (1) ; 可能是一點. () ; 最多與原線段等長. () ; 如圖, L 1 投影成 L, L 投影成 L 4, L 1, L 歪斜,但 L, L 4 有交點. (4) ; 可能是重合的直線. 下列敘述何者正確? (1) 空間中兩條不相交直線稱為歪斜線 () 空間中平行於同一平面的兩直線必互相平行 () 空間中垂直於同一平面的兩直線必互相平行 (4) 過已知平面 E 外一點 P,恰有一平面與平面 E 垂直. 編碼難易易出處康熹自命題解答 (1) 空間中兩條不相交直線可能互相平行或歪斜. () 此兩直線可能為歪斜線. (4) 過已知平面 E 外一點 P,有無限多平面垂直於 E.設空間中點 O 在平面 E 外,且在 E 的投影點為 A,又 A 在 E 上一直線 L 的投影點為 B,且 L 上一點 C 距 B 點為 4,若 OC 1, AB,則 OA 長之值為 (1)9 ()10 ()11 (4)1 (5)1. 編碼難易易出處基隆女中段考題解答 4

2 如圖,由三垂線定理得 OB L, 由直角 OBC 可知 : OB OC BC , 另由直角 OAB 可知 :OA OB AB 若四面體 S - ABC 的底 ABC 不是等邊三角形,側面與底面所成的二面角均等,且頂點在底面的投影點 O 在 ABC 內部,則 O 是 ABC 的 (1) 垂心 () 重心 () 外心 (4) 內心. 編碼難易難出處康熹自命題解答 4 (1) 自頂點 S 向三底邊 AB, BC, CA 分別引垂線,設垂足各為 D, E, F,連接 OD, OE, OF,則因為 O 為 S 在底面 ABC 上的正射影, SO 底面 ABC, OD AB 由三垂線定理知 : OE BC OF CA, SDO, SEO, SFO 分別為三個側面與底面所成的二面角,由題意知它們相等, SDO SEO SFO. () 在 SDO, SEO, SOF 中, SOD SOE SOF 90,( SO 底面 ABC) SO 為公共邊,故由,, 知 SDO SEO SFO, OD OE OF ( 對應邊相等 ) () 由,,, 知點 O 與 ABC 的三邊等距,而 O 又在 ABC 內,故 O 是 ABC 的內心.

3 如圖, AG 為一正立方體的對角線,若 AG a,求正四面體 ACFH 的表面積為何? (1) 1 () a (4) a (5) 4 a. a 6 a () 編碼難易易出處北一女中段考題解答設 AD x,則 x a, AC x a a, a 正四面體 ACFH 的表面積 4 ACH 面積 4[ ( ) ] a. 4 長方體中,互為歪斜線的稜線共有多少對? (1) () 6 () 1 (4) 4 (5) 48. 編碼難易易出處鳳山高中段考題解答 4 1 每一稜邊成歪斜關係有 4 條共有對. 由正立方體的八個頂點所決定的平面共有 (1) 8 () 1 () 0 (4) 8 (5) 56. 編碼 1400 難易中出處康熹自命題解答 8 不共線相異三點決定唯一平面 C 56 個, 又四點共面有 1 個 (ABCD, EFGH, ABFE, DCGH, BCGF, ADHE, ACGE, BDHF, ADGF, BCHE, DCFE, ABGH), 4 則所求 56 1 C 1 0 ( 個 ). 設 A, B, C 為空間中相異的三點,且不在同一直線上.在空間中另取一點 D,欲使 A, B, C, D 成為一平行四邊形的四個頂點,則這樣的 D 點一共有多少個? (1) 1 () () (4) 4 (5) 無窮. 編碼 1400 難易易出處康熹自命題解答

4 此平行四邊形可以是 ABCD, ABDC, ADBC,所以這樣的 D 點一共有個. 下圖為一正立方體, A, B, C 分別為所在的邊之中點,通過 A, B, C 三點的平面與此立方體表面相截,問下列何者為其截痕的形狀? (1) 直角三角形 () 非直角三角形 () 正方形 (4) 非正方形的長方形 (5) 六邊形. 編碼難易易出處康熹自命題解答 4 通過 A, B, C 三點的平面與此立方體表面所截出的截痕為 ABDC, 其中 D 是所在邊的中點,設正立方體的邊長為 a, 則 AC BD a, AB CD a,所以截痕為非正方形的長方形. 如圖,假設一正立方體的邊長為,則 A 點到平面 BCD 的距離為 (1) () () (4) (5) 6. 編碼難易中出處康熹自命題解答設 A 點到平面 BCD 的距離為 h, 1 1 四面體 A - BCD 的體積 ABD AC BCD h, ( ) [ ( ) ] h h =. 4

將一正方形紙 ABCD 沿對角線 BD 摺起,使得 ABC =.若平面 ABD 與平面 CBD 之夾角為 60,則 cos (1) 1 4 () 1 () 1 (4) (5) 4. 編碼 14006 難易中出處康熹自命題解答 5 取 BD 之中點 M, ABD 與 CBD 為等腰直角, AM BD, CM BD AMC 平面 ABD 與平面 CBD 的夾角 = 60.

5 將一正方形紙 ABCD 沿對角線 BD 摺起,使得 ABC =.若平面 ABD 與平面 CBD 之夾角為 60,則 cos (1) 1 4 () 1 () 1 (4) (5) 4. 編碼難易中出處康熹自命題解答 5 取 BD 之中點 M, ABD 與 CBD 為等腰直角, AM BD, CM BD AMC 平面 ABD 與平面 CBD 的夾角 = 60. a 設正方形邊長為 a,則 AM CM,又 AMC = 60, a AMC 為正 AC, a a a ( ) a 在 ABC 中,由餘弦定理得 : cos. a a a 4 一正四面體的稜長為 4,則任二條歪斜關係的稜邊間的距離為 (1) () () 4 (4) 4 (5). 編碼難易易出處康熹自命題解答 1 取 BC, AD 的中點分別為 M, N AM, AN 歪斜線的距離 MN ( ).

6 一正四角錐,其所有邊長皆為 a,若此正四角錐之側面與底面之夾角為,則 sin (1) 1 () () 6 (4) 6 (5). 編碼難易易出處康熹自命題解答 4 作圖如下 PMO ( 兩面角原理 ), 邊長 = a, PM a, OM 1 1 a PO ( a) ( a) a, a 6 sin. a 下列各敘述何者正確? (1) 相異兩點恰有一條直線通過此兩點,相異三點恰有一平面通過此三點 () 作一組兩兩距離為 1 的點,則這組點最少有四點,最多有五點 () L 1 是平面 E 1 上的直線, L 是平面 E 上的直線,若 E 1 // E,則 L 1 // L (4) 設一直線 L 交一平面 E 於 A 點,若在 E 上過 A 點有一直線 L 與 L 垂直,則 L 垂直平面 E 於 A 點 (5) 已知相異二平面 E, F 交於一直線 L,若 L 垂直另一平面 G,則 E, F 均垂直平面 G. 編碼難易易出處康熹自命題解答 5 (1) ; 因不共線相異三點,恰有一平面通過此三點 ; 若相異三點共線,則有無限多平面通過此三點.

7 () ; 因在一平面上要找一組兩兩距離為 1 時,這組點最多只有三點 A, B, C; 在空間中,這組點最多可以有四點 A, B, C, D. () ; 因 L 1 與 L 可能為歪斜線. (4) ; 因在平面 E 上過 A 點必須有二相異直線 L 1, L 與 L 垂直,才會得到 L E. (5) ; 因為 L G,所以包含直線 L 的每一平面均與 G 垂直,故 E, F 均垂直 G. 設 L 1, L, L 為三相異直線, E 為一平面,則下列敘述何者正確? (1) 若 L 1 L 且 L L,則 L 1 L () 若 L 1, L 為一組歪斜線,且 L, L 亦為一組歪斜線,則 L 1, L 亦為一組歪斜線 () 若 L 1 // E, L // E,則 L 1 // L (4) 若 L 1 // L,則 L 1, L 在同一平面上 (5) 設 L 1 與 E 相交,且 L 與 E 也相交,則 L 1, L 不是一組歪斜線. 編碼難易易出處康熹自命題解答 4 (1) ; 不一定,因可能 L 1, L 歪斜, L, L 歪斜,但 L 1, L 平行,如圖一. () ; 理由同 (1). () ; 不一定, 因可能雖然 L 1 // E, L // E,但 L 1, L 為一組歪斜線,如圖二. (4) ; 決定一平面的條件之一. (5) ; 可能歪斜,如圖三, L 1 交 E 於一點, L 在 E 上,則 L 1, L 為歪斜線,但均與 E 相交. 下列敘述何者正確? (1) 設直線 L 在平面 E 上,且直線 L 1 與平面 E 僅相交於一點,若 L L 1,則 L 1 E () 過已知直線外一點,恰有一平面與已知直線平行 () 過已知平面外一點,恰有一平面與已知平面垂直 (4) 過已知平面外一點,恰有一平面與已知平面平行. 編碼難易易出處康熹自命題解答 4 (1) ; 如圖, L 1 與平面 E 之夾角,不是 90. () ; 無限多個. () ; 無限多個. (4).

8 設一球之球心與一正立方體之中心重合,考慮球面與正立方體所有邊的交點,則交點的個數不可能是 (1) 0 () 8 () 1 (4) 16 (5) 4 編碼 1400 難易中出處 90 日大解答 4 一球之球心與一正立方體之中心重合,兩個交點情形如下 : 球包含正立方體或正立方體包含球 0 個交點. 正立方體內接於球 8 個交點. 正立方體的邊與球面相切 1 個交點. 正立方體的頂點突出球面 4 個交點, 交點個數不可能是 16 個. 一正立方體的八個頂點中有四個頂點,各頂點彼此之間的距離都是 1,則此正立方體的體積為 (1) () () 1 (4) 4 編碼 1400 難易易出處 91 指考甲解答正方體有四個頂點,各頂點彼此之間的距離都是 1, 此四頂點位置如圖黑點所示, 1 邊長為,於是體積 1 1 ( ) 4.在坐標空間中,有一邊長為,中心在原點 O 的正立方體,且各稜邊都與三坐標平面平行或垂直,如圖所示.已知 A(1, 1,0), B(0,1, 1), C( 1,0,1) 這三點都是某平面 E 和正立方體稜邊的交點.試問下列哪些點也是平面 E 和正立方體稜邊的交點? (1) ( 1, 1, 1) () ( 1, 1, 0) () (0, 1, 1) (4) (, 1, 1)

9 編碼難易中出處 100 指考甲解答邊長為,中心在原點 O 的正立方體,且 A(1, 1,0), B(0,1, 1), C( 1,0,1),則過 A, B, C 三點的平面 E 必與正立方體交於 P, Q, R 三點,如圖.建立坐標系 P(1,0, 1), Q( 1,1,0), R(0, 1,1). 在空間中,試問哪一選項的條件,恰決定一平面? (1) 相異的三個點 () 一直線及一點 () 不相交的二直線 (4) 同時垂直於平面 E 的兩相異直線編碼難易易出處習作題解答 4 (1) 三點共線時,無法決定一平面. () 點在直線上時,無法決定一平面. () 歪斜時,無法決定一平面. (4) 兩直線必平行.在空間中有平面 E 及 E 外一點 P,試問哪一選項正確? (1) 通過點 P 的直線中,恰有一直線與 E 平行 () 通過點 P 的直線中,恰有一直線與 E 垂直 () 通過點 P 的平面中,恰有一平面與 E 垂直 (4) 通過點 P 的平面中,恰有一平面與 E 相交成一直線編碼難易易出處習作題解答 (1) 無限多條. () 無限多個. (4) 無限多個.在空間中有直線 L 及 L 外一點 Q,試問哪一選項正確? (1) 通過 Q 的平面中,恰有一平面與 L 平行 () 通過 Q 的平面中,恰有一平面與 L 垂直 () 通過 Q 的直線中,恰有一直線與 L 歪斜 (4) 通過 Q 的直線中,恰有一直線與 L 相交於一點編碼難易易出處習作題解答 (1) 無限多個. () 無限多條. (4) 無限多條. 如圖是一個無蓋正立方體的展開圖,將它組合成正立方體時,試問哪一稜邊與 AB 互相歪斜?

10 (1) BC () CD () EC (4) AE 編碼難易中出處習作題解答正立方體的形狀如圖,知 CD 與 AB 互成歪斜. 有一四面體 ABCD,每一個側面和底面 ABC 的兩面角都相等,若頂點 D 在底面 ABC 的投影為 P,試問點 P 是 ABC 的 (1) 重心 () 內心 () 外心 (4) 垂心編碼難易中出處習作題解答自 P 作 AB, BC, CA 的正射影 M, N, K, DPM, DPN, DPK 是直角三角形, 且已知 DMP DNP DKP,得 PM PN PK, 故點 P 是 ABC 的內心. 空間中有一點 P 到平面 E 的距離為 8 公分,試問平面 E 上到點 P 距離為 10 公分的所有點,所構成的圖形為

11 (1) 一點 () 一直線 () 一圓 (4) 一拋物線編碼難易中出處習作題解答設動點為 Q,因 PQ 10, d( P, E) 8, 設 P 對 E 的投影點為 H, HQ 6, 點 Q 所構成的圖形是以 H 為圓心,半徑 r 6 的一圓. 如圖所示,正立方體 ABCD-EFGH 的稜長等於 ( 即 AB ), K 為正方形 ABCD 的中心, M, BF, EF 的中點.試問下列哪一選項是正確的? N 分別為線段 (1) KM AB AD AE () KM AB 1 () KM (4) KMN 為一直角三角形 (5) KMN 之面積為 10 編碼難易中出處課本題解答 4 1 KM KA AM ( AB AD ) ( AB BM ) (1) AB AD AE AB AD AE KM AB ( AB AD AE) AB ( AB AB AD AB AE AB) (4 0 0) 1 (). () 建立坐標系,令 E(0, 0, 0), F(, 0, 0), H(0,, 0), A (0, 0, ), 則 K(1, 1, ), M (, 0, 1), N (1, 0, 0), KM (1, 1, 1) KM. (4) KM (1, 1, 1), KN (0, 1, ), MN ( 1, 0, 1), 因此 KN KM MN,即 KMN 為直角三角形.

12 (5) KMN 的面積 KM KN

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試題空間中決定一平面的條件有四種 :(1), (), (), (4). 編碼 140064 難易易出處康熹自命題解答 (1) 不共線的相異三點 ;() 一線及不在此線上一點 ;() 二相交相異直線 ;(4) 二平行直線空間中任意二直線的相互關係有四種 :(1), (), (), (4). 編碼 140065 難易易出處康熹自命題解答 (1) 平行 ;() 重合 ;() 相交於一點