ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積體積與行列式主題一空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下

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配坡吕
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1 外積體積與行列式陳清海老師

2 ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積體積與行列式主題一空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下圖所示. a a a a a a a a a a a a,,. 外積 a 是一個向量,其性質如下: () 方向: 因為 a a 0且 a 0,所以 a 同時與 a, 都垂直.使用右手法則把右手置放在 a 與所在的平面上,四指彎曲的方向是由 a 到,此時拇指的方向是 a 的方向,如右圖所示. 同時, a a,即 a 與 a 兩個向量. 是大小相等,方向相反的

3 a ok44 外機體積與行列式 p a a = a a () 大小: 由 a sin a a cos a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ` a a a a a a a, 可得外積的長度為 a a sin. 因此,外積的長度 a 即為以 a 與為兩邊所張出之平行四邊形的面積.. 空間中, ABC 的面積為 AB AC. 4. 注意:內積 a 是一個實數;而外積 a 是與 a, 都垂直的一個向量. 5. 平行六面體的體積:空間中,由不共平面的三向量

4 ok44 外機體積與行列式 p a,, c 所張出之平行六面體的體積 V 為 V a c 當 a c 0 時,表示三向量 a,, c 共平面.. c a

5 ok44 外機體積與行列式 p4 例題已知向量 a (,0,), (,,),求 () a 與 a. () 由 a 與所張出之平行四邊形的面積. Ans:() a (,,), a (,,),() () 根據外積的定義,得 0 0 a (,, ) (,, ), 0 0 a (,, ) (,,) () 由 a 與所張出之平行四邊形的面積為 a ( ). 類題已知向量 a (,, ), (,,),求 () a 與 a. () 由 a 與所張出之平行四邊形的面積.

6 ok44 外機體積與行列式 p5 Ans:() a (,4,5), a (,4,5),() 5 () 根據外積的定義,得 a (,, ) (, 4, 5), a (,, ) (,4,5). () 由 a 與所張出之平行四邊形的面積為 a ( 4) ( 5) 5. 例題已知 n 和 a (0,,) 與 (,0, ) 均垂直,且 n 7,求 n. Ans:(,,6) 或 (,,6) 因為 a 和 a 與均垂直,所以 n 與 a 平行, 即 n t( a ), t 是實數. n // a a

7 ok44 外機體積與行列式 p6 計算 0 0 a (,, ) (,,6), 可得 n t(,,6) ( t, t,6 t. ) 因為 n ( t ) ( t ) (6 t ) 7 t,又 n 7,所以, t =,解得 t=±. 故 n 為 (,,6) 或 (,,6). 類題已知 n 和 a (,,0) 與 (,4, 4) 均垂直,且 n,求 n. Ans: (,, ) 或因為 a (,, ) 和 a 與均垂直,所以 n 與 a 平行, 即 n t( a ), t 是實數. n // a a 計算 0 0 a (,, ) (4,4,7), 可得 n t(4,4,7) (4 t,4 t,7 t.)

8 ok44 外機體積與行列式 p7 因為 n (4 t) (4 t) (7 t) 9 t,又 n, 所以, t,解得 t. 故 n 為 (,, ) 或 (,, ). 例題已知 A(,,), B(,,), C(5,4,) 為空間中三點,求 ABC 的面積. Ans: 5 因為 AB (,,), AC (4,,0),所以 AB AC (,, ) (,4,5), 因此由 AB 與 AC 所張出之平行四邊形的面積為 AB AC 又因為 ABC 的面積為平行四邊形面積的一半, 所以 ABC 的面積為 C 5., A B 類題已知 A(,,), B(,0,), C(,,0) 為空間中三點,求 ABC 的面積. Ans:

9 ok44 外機體積與行列式 p8 因為 AB (4,, ), AC (4,0, ),所以 4 4 AB AC (,, ) (,4,4), 因此由 AB 與 AC 所張出之平行四邊形的面積為 AB AC 4 4 6, 又因為 ABC 的面積為平行四邊形面積的一半,所以 ABC 的面積為. C A B 例題 4 已知 A(,,), B(5,6,5), C(5,,) 為空間中三點,以 AB 為底邊, ABC 的高為 h,求 h 的長. Ans: 計算 AB (4,4,), AC (4,, ), 且 AB 6, AB AC ( 6,, ), ABC AB AC 9. AB h 因為 ABC 的面積為 9,又 AB 6,所以 h. C h A B

10 ok44 外機體積與行列式 p9 類題 4 已知 A(0,,8), B(,0,), C(,,7) 為空間中三點,求點 A 到直線 BC 的距離. Ans: 0 因為點 A 到直線 BC 的距離即為以 BC 為底邊, ABC 的高 h.計算 BA (,,7), BC (,,6), 且 BC 7, BA BC (,0, 9), 7 0 ABC BA BC. 因為 ABC 的面積為 BC h 7 0, 又 BC 7,所以 h 0, 即點 A 到直線 BC 的距離為 0. A h B C 例題 5 求由三向量 a (4,, ), (,, ), c (,,) 所張出之平行六面體的體積. Ans:4 利用平行六面體的體積公式,得其體積 V 為 4 4 V ( a ) c (,, ) (,,) (0,7,7) (,,)

11 = =4. ok44 外機體積與行列式 p0 類題 5 已知由三向量 a (,,), (,,), c (, k,) 所張出之平行六面體的體積為 4,求 k 的值. Ans: 或利用平行六面體的體積公式,得其體積 V 為 V ( a ) c (,, ) (, k,) = (4,8,4) (,k,) = 4 +(8) k+4 = 8k+. 由題意可知: 8k+ =4, 即 8k+=±4,解得 k= 或.

12 ok44 外機體積與行列式 p 主題二三階行列式. 三階行列式的展開式: a a a a c a c a c a c a c a c. c c c. 三階行列式的性質: () 行列互換其值不變. () 任意兩行 ( 列 ) 對調,其值變號. : () () () 任一行 ( 列 ) 可以提出同一個數. (4) 兩行 ( 列 ) 成比例,其值為 0. : () (4) (5) 將一行 ( 列 ) 的 k 倍加到另一行 ( 列 ),其值不變. (6) 若某一行 ( 列 ) 之每個元素可分成兩行 ( 列 ) 元素的和, 則此行列式可拆分為兩個行列式的和. (6) : (5) (7) 三階行列式可依某一行 ( 列 ) 降成二階行列式展開.例如:依第一行降成二階行列式展開如下: a a a a a a a c c c c a c.其各項的, c c c 號,可借助右圖來幫助我們記憶.而二階行列式的取法,則是把二階行列式中某個元素所在的行與列劃去,再將剩下的元素按原來的位置關係組成二階行列式.例如:下圖所示為 a 所要乘之二階行列式的取

13 ok44 外機體積與行列式 p 法. : (7) ( 依第一行降階 ) ( 依第二列降階 )

14 ok44 外機體積與行列式 p 例題 6 求下列三階行列式的值: (). () 0. 0 Ans:(),() 根據三階行列式的展開式,得 () () = = =. 0 0 = ()+() ()+0 0 ()- 0 -() () ()-0 () = =. 類題 6 求下列三階行列式的值: (). (). 0 Ans:() 7,() 根據三階行列式的展開式,得

15 ok44 外機體積與行列式 p4 () () = = =7. 0 =() + ()+ 0-() () =()+(6) =. 例題 7 求下列三階行列式的值: () 5 7. () Ans:() 0,() () 先將第一行提出公因數 7,第一列提出公因數, 再將第一行分別乘以 () 及 () 加入第二行及第三行,得 ( 第二三兩行成比例 ) ( ) ( ) () 將第三列分別乘以 ( ) 及 ( 7) 加入第一列及第二列,得 ( 7) =9-4=. ( ) ( 依第一行降階展開 ) 6

16 類題 7- 求下列三階行列式的值: () () ok44 外機體積與行列式 p Ans:() 0,() 7 4 () ( 第一二兩行成比例 ). () 將第二列分別乘以 ( ) 及 4 加入第一列及第三列,得 ( ) ( 依第二行降階展開 ). 0 類題 7- 設 a c a c a c,選出正確的選項: () a a a c c c () a c a c a c () a 4 c a 4 c 4 a 4 c (4) a 4 c c a 4 c c 4 a 4 c c (5) a 4 a a a 4 a a 4. a 4 a a Ans:()()(4) () 行列互換其值不變. () a c a c a c a c a c a c. a c a c a c

17 ok44 外機體積與行列式 p6 a c () 原式 4 a c 4 4. a c (4) a 4 c c a 4 c c a 4 c c a 4 c c a 4 c a 4 c c a 4 c a 4 c c a 4 c a c 4 a c a c ( ) ( ) (5) a c 4 a c 4 4 a c a 4 a a a 4 a a a 4 a a. a 4 a a 4 a 0 a a 4 a a 4 a 0 a 0. a 4 a a 4 a 0 a ( ) ( ) ( ) 由上面的討論可知:正確的選項為 ()()(4). 例題 8 a c a c 已知 d e f, p q r 5,求 l m n l m n a c d p e q f r 的值. l m n Ans:6 a c a c a c a c 原式 d e f p q r d e f 6 p q r l m n l m n l m n l m n

18 ok44 外機體積與行列式 p7 類題 8 a c 已知 p q r 5,求 x y z 4 5c a c c 4q 5r p q r r 的值. 4y 5z x y z z Ans:0 4 5c a c c 4q 5r p q r r 4y 5z x y z z 4 a c a c a c 4q p q r 4 q p q r 4 q p r 4y x y z y x y z y x z ( ) ( 5) a c ( 4) p q r ( 4) 5 0. x y z 例題 9 證明: a a ( a )( c)( c a)( a c). c 證明 c a c a c ( ) ( ) 0 a a a a c a c a 0 a a c a c a ( 依第一行降階 ) a a ( a)( c a) c ac a ( 提出公因式 ) =(-a)(c-a)(c - +ac-a) =(-a)(c-a)((c-)(c+)+a(c-)) =(-a)(c-a)(c-)(a++c) =(a-)(-c)(c-a)(a++c).

19 ok44 外機體積與行列式 p8 類題 9 a c c 證明: a c a 4ac. a c 證明 a c c a c a a c ( ) ( ) 0 a a c a a c 0 a ( ) a c a a c ( ) ( ) 0 a ( ) a c 0 ( )( ac ac) 4ac. 0 c 例題 0 已知實數 x 滿足 x 5 0,求 x 的值. x 5 7 Ans:5, 或 x x x 5 x 5 x x 5 x 7 x x 5 7 x 5 x 7 x ( ) ( ) (5 x)( x) (5 x)( x)( x 6). 5 5x x 9 x x 因為 (5-x)(-x)(x-6)=0, 所以解得 x=5, 或 8. 類題 0 x 已知實數 x 滿足 x 0,求 x 的值 x Ans:0 或 7

20 ok44 外機體積與行列式 p9 x x x 7 x 7 x 7 x x (7 x) x x x 0 0 (7 x) x (7 x) x x 4 0 x ( ) =x (7-x). ( ) 因為 x (7-x)=0,所以解得 x=0 或 7.

21 ok44 外機體積與行列式 p0 主題三三階行列式的應用. 三角形的面積公式: 若 Aa, a, B,, C c, c ABC 的面積為. 平行六面體的體積公式: a a. c c 為平面上不共線的三點,則空間中,由三個向量 a a, a, a,,, 與 c c, c, c a a a 所張出之平行六面體的體積 V 為 V.. 三向量共平面的條件: c c c 設 a a, a, a,,,, c c, c, c 我們有 a,, c 共平面 a a a c c c 0. 為空間中三個向量.

22 ok44 外機體積與行列式 p 例題已知 A(,), B(,), C(,) 為平面上三點,求 ABC 的面積. Ans: 利用三角形的面積公式,得 ABC 的面積類題已知 A(,4), B(,), C(5,k) 為平面上三點, 且 ABC 的面積為,求 k 的值. Ans:9 或依題意及利用三角形的面積公式, 4 得 ABC 的面積, 5 k 即 6 0 k k 4 ( 5), 整理得 5-k =6, 解得 k=9 或. 例題求由三向量 a (4,,), (,,), c (,0,) 所張出之平行六面體的體積. Ans:9 利用平行六面體的體積公式,得體積 V 為

23 ok44 外機體積與行列式 p 4 V ( ) 類題 - 已知由三向量 a (,,), (, k,), c (,,) 所張出之平行六面體的體積為 5,求 k 的值. Ans:7 或 7 依題意及利用平行六面體的體積公式,得 k 5, 即 k+---()-k =5,整理得 k- =5,解得 k=7 或 7. 類題 - a c 已知 a c 6,求的最大值. Ans:4 a c 因為表示由三個向量 (a,,c),(,,),(,,) 所張出之平行六面體體積, 所以當 (a,,c) 與兩向量 (,,),(,,) 所在的平面垂直時, 平行六面體的體積有最大值. 因為 a + +c =6,所以(a,,c) 的長度為 6, 再計算 (,,) (,,)

24 ok44 外機體積與行列式 p = (4,8,4) = ( 4) 8 ( 4) 4 6, 可得由向量 (,,) 與 (,,) 所張出之平行四邊形面積為 4 6. 因此當平行六面體的高為 6 時, 平行六面體有最大的體積 , a c 故的最大值為 4. 例題已知由三向量 a, 及 c 所張出之平行六面體的體積為 5,求由三向量 a c, 4 5 c 及 c 所張出之平行六面體的體積. Ans:0 令 a a a a (,, ), (,, ), c ( c, c, c ),則 a a a 5. c c c 因為 a c a c a c 4 5c 4 5c 4 5 c c c c ( 5) a a a a a a c c c c c c ( ) a a a , c c c 所以所求之平行六面體的體積為 0.

25 ok44 外機體積與行列式 p4 類題 - 已知由三向量 a ( a, a, a), (,, ), c ( c, c, c) 所張出之平行六面體的體積為,求由三向量 a, a, c 所張出之平行六面體的體積. Ans:9 a a a 由題意可知:,而且 c c c a ( a, a, a ), a ( a, a, a ), c ( c, c, c ). 因此由三向量 a, a, c 所張出之平行六面體的體積為 a a a a a a. c c c 因為 a a a a a a c c c a a a a a a a a a a a, a c c c 又 a a a a a a ( ) a a a a a a 0, a a a a a a c c c a a a a a a c c c

26 ok44 外機體積與行列式 p5 a a a a a a c c c ( ) a a a a a a ( ), c c c c c c a a a a a a 所以 a a a 0 ( ). 9 c c c c c c 類題 - 下圖是一個體積為 4 的平行六面體,且 OD OA, OE OB, OF OC, 4 求由三向量 OD, OE 與 OF 所張出之平行六面體的體積. O C F E B D A Ans:4 由題意可知: ( OA OB) OC 4. 因為 OD OA, OE OB, OF OC, 4 所以由三向量 OD, OE 與 OF 所張出之平行六面體的體積為 ( OD OE) OF ( OA OB) OC ( OA OB) OC 例題 4 已知空間中 A(,,), B(,,0), C(,,), D(a,,a) 四點共平面, 求 a 的值. Ans:

27 因為 A, B, C, D 四點共平面, ok44 外機體積與行列式 p6 所以三向量 AB (,, ), AC (,, ), AD ( a,, a ) 共平面, 並得 0. a a a a 將 0 展開得 a a (a-)-(a-)--()-(a-)-()(a-)=0, 整理得 4a-6=0, 解得 a. 類題 4 已知空間中 A(,0,), B(,,0), C(0,,), D(a,a,0) 四點共平面,求 a 的值. Ans: 或因為 A, B, C, D 四點共平面,所以三向量 AB (0,, ), AC (,,0), AD ( a, a, ) 共平面, 並得 a a 展開得 0+0+a -0--()(a-)=0, 整理得 a +a-=0, 解得 a= 或.

28 ok44 外機體積與行列式 p7 重要精選考題基礎題. 下列哪些向量與 a 垂直? () a,() a,() a,(4) 5 4 a,(5) a. Ans:()()()(4) 因為 a 與 a, 均垂直, 所以所有由 a 與的線性組合所表示的向量均與 a 垂直. 又 a ( a ),和 a 平行. 故由上面的討論可知:正確的選項為 ()()()(4).. 設 a (,,), (,,) 為空間中兩向量. () 求 a. () 求由 a 與所張出之平行四邊形的面積. () 設向量 n 滿足 n a, n,且 n,求 n. Ans:() (,,),() 6, () (,, ) 或 (,, ) () a (,,).

29 ok44 外機體積與行列式 p8 () 因為外積 a 的長度為 a ( ), 所以由 a 與所張出之平行四邊形面積是由 a, 所張出之平行四邊形面積的 6 倍, 因此其面積為 6. a a () 因為 n 與 a, 均垂直,所以 n // a, 即 n t(,,), n t. 又因為 n,所以 t,解得 t,因此 n (,, ) 或 (,, ).. 設 A(,,), B(,,), C(,4,a) 為坐標空間中三點.問 a 為下列哪一個選項時, ABC 的面積最接近 5? () a=,() a=,() a=5,(4) a=7,(5) a=9. Ans:(5) 因為 AB (,0, ), AC (,, a ),所以 ABC 的面積為 AB AC (, a,) 8 a 因為 5,又將各個 a 值代入 8 a,分別得 () a=, ABC= 9,

30 () a=, ABC= 7, () a=5, ABC= 4, (4) a=7, ABC= 67, (5) a=9, ABC= 99, ok44 外機體積與行列式 p9 故使得 ABC 的面積最接近 5 的 a 值為 9, 即正確的選項為 (5). 4. 求下列三階行列式的值: () () 4. () Ans:() 0,(),() () ( 6) ( 9) ( 第二三兩列成比例 ). 0 4 () ( ) ( ) () ( ) ( ) ( 00) ( 6) 0 ( ) ( ) (7 0)

31 ok44 外機體積與行列式 p0 5. 下列哪些三階行列式的值為 0? () () () a a 7 (4) 7 c c 7 a c c a (5) a c. c a Ans:()()(4)(5) 0 () 0 0 ( 6) () () a a 7 a a 7 a a (4) c c 7 c c 7 c c a c c a c a (5) a c a c 0. c a c a 由上面的算式可知:正確的選項為 ()()(4)(5). 6. 設 A(x,y), B(x,y), C(x,y) 為坐標平面上三點.已知 ABC 的面積為 5,且 D, E, F 三點的坐標為 D(x+y,4y+5x), E(x+y,4y+5x), F(x+y,4y+5x),求 DEF 的面積. Ans:5 x y x y 因為 x y 5,即 x y 0,所以 x y x y

32 ok44 外機體積與行列式 p 7 7 x y y x y x y 4y 5x 7 7 x y 4y 5x x y y x y x y 4y 5x 7 7 x y y x y 5 ( ) 6 7 x y 7 x y x y 故 DEF 的面積為進階題 c c a a 7. 已知 y z z x x y,求 q r r p p q a c x y z p q r 的值. Ans:6 因為 c c a a ( a c) c a a a c c a a y z z x x y ( x y z) z x x y x y z z x x y q r r p p q ( p q r) r p p q p q r r p p q ( ) ( ) a c c a c a c x y z y z x y z x y z, p q r q r p q r p q r

33 ok44 外機體積與行列式 p a c 所以 x y z 6. p q r 8. 已知實數 x 滿足 6 x x ,求 x 的值 Ans: 5 或 6 因為 6 x x x x ( ) ( ) x x 5 x x 0 6 x 6 x 5x 6(5 x)(6 x) 6 x =6(5+x)(6-x)(6-x-5+x) = 66(x+5)(x-6),所以原式可改寫為 66(x+5)(x-6)=0,解得 x=5 或 6. x 9. 解不等式 x 0. x Ans:x 0 或 x 6 因為 x 6 x x 6 x x x 6 x x ( ) ( ) 6 x 0 x 0 0 x =(6-x)(-x)(x)=x(x-)(x-6),

34 所以原式可改寫為 x(x-)(x-6)>0, ok44 外機體積與行列式 p 即 x(x-)(x-6)<0,解得 x<0 或 <x<6. 0. 下圖中, ABCD EFGH 是一個正六面體,三頂點 A(,,), B(,,), D(,,d).若點 E 在第一卦限,則 E 的坐標為何? H G E F D C A B Ans:(,,) AB (,,), AD (,, d ),且 AB. 因為 ABCD EFGH 是一個正六面體, 所以 AB AD,即 AB AD 0, 可得 (,,) (,,d-)=0, 解得 d=,並得 AD (,, ). 因為 ABCD EFGH 是一個正六面體, 所以 AE 和 AB, AD 均垂直且等長, 因此 AE 和 AB AD 平行. 計算 AB AD( 6,, 6) ( )(,,). 因為 AE 和 AB AD 平行且和 AB, AD 均等長, 可得 AE (,,) 或 (,,), 並得 E 點的坐標為 (,,) 或 (,0,). 因為點 E 在第一卦限,所以 E 的坐標為 (,,).

35 ok44 外機體積與行列式 p4. 設 A(,0,0), B(0,,0), C(0,0,), D 為空間中四個點.已知直線 AD 與 ABC 所在的平面垂直,且 ABD 的面積為 6,求 D 點的坐標. Ans:(5,4,4) 或 (,4,4) 因為直線 AD 與 ABC 所在的平面垂直,所以 AD 與 AB, AC 均垂直, 即 AD 與 AB AC 平行. 計算 AB (,,0), AC (,0,), AB AC (,,), 因此 AD t(,,),且 AD t. 因為 ABD 的面積為 AB AD 6, 又 AB,所以 AD 4, 因此 t 4,解得 t=±4. 因此 AD (4,4,4) 或 (4,4,4), 故 D 點坐標為 (5,4,4) 或 (,4,4). D A C B a ( c). 證明: ( c a) ( a c)( c)( c a)( a ). c ( a ) 證明 a ( c) ( c a) c ( a ) ( ) ( ) a ( c) 0 a ( c a) ( c) 0 c a ( a ) ( c)

36 ok44 外機體積與行列式 p5 a ( c) 0 a ( a c)( a ) ( a)( c a) 0 c a ( a c )( a c) a c a c ( a)( c a) ( a)( c a) c a c a a ( a c) c a ( a c ) a c c c ( a)( c a) ( a c)( a )( c a) a c =(a++c)(-c)(c-a)(a-).. 已知由三向量 a, a, c 所張出之平行六面體的體積為 8, 求由三向量 a,, c 所張出之平行六面體的體積. Ans: 令 a a a a (,, ), (,, ), c ( c, c, c ),則 a a a a a a 8. c c c 因為 a a a a a a a a a a a a c c c c c c a a a a a a a a a 4 a a a c c c c c c ( ) a a a 4 a a a 4 8, c c c c c c

37 ok44 外機體積與行列式 p6 a a a 所以, c c c 即由三向量 a,, c 所張出之平行六面體的體積為.

38 ok44 外機體積與行列式 p7. 已知 n 和 a,,0 與 4,, 均垂直,且 n,求 n. 臺中一中 Ans:(,,) 或 ),,) 因為 n 和 a 與均垂直, 所以 n 與 a 平行. 計算 a,,, a, 可得 n t,,, 且由 n,可得 t, 因此 n,, 或,,. 空間中,已知 a, 4, a 4 5,求 a. 基隆高中 Ans:8 利用 cos a a 得 cos, 並得 5 sin cos. 因此 a a sin 4 8

39 ok44 外機體積與行列式 p8. 如圖所示,一個邊長為的正立方體, B, D 分別為 EF, GH 的中點,則四邊形 ABCD 的面積為何? 6 (). (). (). (4) 5 4. (5). 金門高中 Ans:() 將正立方體放在坐標空間中,如下圖所示: 可得 BA,0,, 0,, BC, 且 ABCD 是一個平行四邊形. 由 ABCD 的面積等於 BA BC,計算得 BA 6 BC,,, 因此正確的選項為 (). 4. 如圖,有一邊長為 a 的正立方體 ABCD EFGH 選出正確的選項: () BH EC 0. () ACDF 0. () AB AF // GC GD. (4) BA BH BA BD. (5) 若在 EH 邊上取一點 P,且 EP : PH :,則四面體 P ABC 的體積為中山女高 Ans:()()(4), a.

40 ok44 外機體積與行列式 p9 將正立方體放在坐標空間中, A 為原點,如下圖所示 () BH EC a a a a a a a,,,, 0. () AC DF a a a a a,,0,, 0. () AB AF a,0,0 a,0, a 0, a,0, 0,0,,0, 0,,0 GC GD a a a a, 因此 AB AF // GC GD. (4) BA BH a,0,0 a, a, a a,,0,0,,0 BA BD a a a a, 因此 BA BH BA BD. (5) 因為四面體 P ABC 的體積等於 ( h 是以 ABC 為底面的高 ),, h a 又 ABC a, ABC h. 6 所以 ABC h a a a 由上面的討論可知:正確的選項為 ()()(4). 5. 設 AB,5, 5, AC,,4,, 8,64 AD,求 () 由 AB, AC, AD 所張出之平行六面體的體積.

41 ok44 外機體積與行列式 p40 () 由 AB, AC 所張出之平行四邊形的面積. () 利用 ()() 的結果,求 D 點到平面 ABC 的距離. 松山高中 Ans:() 90,() 5 6,() 6 () 由 AB, AC, AD 所張出之平行六面體的體積為 ,計算因此體積為 , () 由 AB, AC 所張出之平行四邊形的面積為 AB AC, 計算 AB AC,5,5,,4 0,, 5. 6 () 設 D 點到平面 ABC 的距離為 h.因為由 AB, AC, AD 所張出之平行六面體的體積為由 AB, AC 所張出之平行四邊形的面積乘以 h, 6 所以 h,解得 h. 6. 求的值. 彰化高中 Ans:

42 ok44 外機體積與行列式 p4 7. 設 a,, c 是空間中的向量,則下列哪些選項的敘述是正確的? () a a. () a. () a a a. (4) a,, c 所張出之平行六面體的體積為 a c (5) c a a c. 北一女中. Ans:()()(5) () 因為 a a, a, 所以 a a. () 符號 a 表示由 a, 所張出之平行四邊形的面積,由圖可知 a 與及 a 與 a 所張出之平行四邊形有相同的面積, 因此, a a a () 利用右手法則,可知. a a 和 a 的方向相反, 所以 a a a.

43 ok44 外機體積與行列式 p4 (4) 由 a,, c 所張出之平行六面體的體積為 a c,而非 a c. (5) 因為 c a 與 a c 均表示由 a,, c 所張出之平行六面體的體積,所以 c a a c. 故由上面的討論可知:正確的選項為 ()()(5). 8. 設由 a,, c 三向量所張之平行六面體的體積為 5,求由三向量 a, c, a c 所張的平行六面體體積. 高雄中學 Ans:0 利用行列式的運算性質計算如下: a c a c a c c a c a c a c c a c a c

44 ok44 外機體積與行列式 p4 9. 空間坐標中, O 為原點,設點 A,,, 0,, B,集合 S P OP soa t OB, 其中 s, t,求集合 S 所形成的圖形面積. 松山高中 Ans: 4 4

面積與二階行列式陳清海老師

面積與二階行列式陳清海老師面積與二階行列式陳清海老師 1 主題一二階行列式 1. 二階行列式: 符號即 d 稱為二階行列式,它所代表的數為 d d d.. 二階行列式具有下列性質: (1) 行列互換其值不變,如. d d () 兩行 ( 兩列 ) 對調,其值變號,如 ; d. d d d (3) 任一行 ( 列 ) 可以提出同一個數,如 k k k d d ; k. k kd d (4) 兩行 ( 兩列 ) 成比例,其值為

ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積 體積與行列式 主題一 空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與 的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下

ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積體積與行列式主題一空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下