ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積 體積與行列式 主題一 空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與 的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下
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1 外積體積與行列式 陳清海 老師
2 ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積 體積與行列式 主題一 空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與 的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下圖所示. a a a a a a a a a a a a,,. 外積 a 是一個向量,其性質如下: () 方向: 因為 a a 0且 a 0,所以 a 同時與 a, 都垂 直.使用 右手法則 把右手置放在 a 與 所在的平面上,四指彎曲 的方向是由 a 到,此時拇指的方向是 a 的方向,如右圖所示. 同時, a a,即 a 與 a 兩個向量. 是大小相等,方向相反的
3 a ok44 外機體積與行列式 p a a = a a () 大小: 由 a sin a a cos a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ` a a a a a a a, 可得外積的長度為 a a sin. 因此,外積的長度 a 即為以 a 與 為兩邊所張出之平行四邊形的面積.. 空間中, ABC 的面積為 AB AC. 4. 注意:內積 a 是一個實數;而 外積 a 是與 a, 都垂直的一個向量. 5. 平行六面體的體積:空間中,由不共平面的三向量
4 ok44 外機體積與行列式 p a,, c 所張出之平行六面體的體積 V 為 V a c 當 a c 0 時,表示三向量 a,, c 共平面.. c a
5 ok44 外機體積與行列式 p4 例題 已知向量 a (,0,), (,,),求 () a 與 a. () 由 a 與 所張出之平行四邊形的面積. Ans:() a (,,), a (,,),() () 根據外積的定義,得 0 0 a (,, ) (,, ), 0 0 a (,, ) (,,) () 由 a 與 所張出之平行四邊形的面積為 a ( ). 類題 已知向量 a (,, ), (,,),求 () a 與 a. () 由 a 與 所張出之平行四邊形的面積.
6 ok44 外機體積與行列式 p5 Ans:() a (,4,5), a (,4,5),() 5 () 根據外積的定義,得 a (,, ) (, 4, 5), a (,, ) (,4,5). () 由 a 與 所張出之平行四邊形的面積為 a ( 4) ( 5) 5. 例題 已知 n 和 a (0,,) 與 (,0, ) 均垂直,且 n 7,求 n. Ans:(,,6) 或 (,,6) 因為 a 和 a 與 均垂直,所以 n 與 a 平行, 即 n t( a ), t 是實數. n // a a
7 ok44 外機體積與行列式 p6 計算 0 0 a (,, ) (,,6), 可得 n t(,,6) ( t, t,6 t. ) 因為 n ( t ) ( t ) (6 t ) 7 t,又 n 7,所以, t =,解得 t=±. 故 n 為 (,,6) 或 (,,6). 類題 已知 n 和 a (,,0) 與 (,4, 4) 均垂直,且 n,求 n. Ans: (,, ) 或 因為 a (,, ) 和 a 與 均垂直,所以 n 與 a 平行, 即 n t( a ), t 是實數. n // a a 計算 0 0 a (,, ) (4,4,7), 可得 n t(4,4,7) (4 t,4 t,7 t.)
8 ok44 外機體積與行列式 p7 因為 n (4 t) (4 t) (7 t) 9 t,又 n, 所以, t,解得 t. 故 n 為 (,, ) 或 (,, ). 例題 已知 A(,,), B(,,), C(5,4,) 為空間中三點,求 ABC 的面積. Ans: 5 因為 AB (,,), AC (4,,0),所以 AB AC (,, ) (,4,5), 因此由 AB 與 AC 所張出之平行四邊形的面積為 AB AC 又因為 ABC 的面積為平行四邊形面積的一半, 所以 ABC 的面積為 C 5., A B 類題 已知 A(,,), B(,0,), C(,,0) 為空間中三點,求 ABC 的面積. Ans:
9 ok44 外機體積與行列式 p8 因為 AB (4,, ), AC (4,0, ),所以 4 4 AB AC (,, ) (,4,4), 因此由 AB 與 AC 所張出之平行四邊形的面積為 AB AC 4 4 6, 又因為 ABC 的面積為平行四邊形面積的一半,所以 ABC 的面積為. C A B 例題 4 已知 A(,,), B(5,6,5), C(5,,) 為空間中三點,以 AB 為底邊, ABC 的高為 h,求 h 的長. Ans: 計算 AB (4,4,), AC (4,, ), 且 AB 6, AB AC ( 6,, ), ABC AB AC 9. AB h 因為 ABC 的面積為 9,又 AB 6,所以 h. C h A B
10 ok44 外機體積與行列式 p9 類題 4 已知 A(0,,8), B(,0,), C(,,7) 為空間中三點,求點 A 到直線 BC 的距離. Ans: 0 因為點 A 到直線 BC 的距離即為以 BC 為底邊, ABC 的高 h.計算 BA (,,7), BC (,,6), 且 BC 7, BA BC (,0, 9), 7 0 ABC BA BC. 因為 ABC 的面積為 BC h 7 0, 又 BC 7,所以 h 0, 即點 A 到直線 BC 的距離為 0. A h B C 例題 5 求由三向量 a (4,, ), (,, ), c (,,) 所張出之平行六面體的體積. Ans:4 利用平行六面體的體積公式,得其體積 V 為 4 4 V ( a ) c (,, ) (,,) (0,7,7) (,,)
11 = =4. ok44 外機體積與行列式 p0 類題 5 已知由三向量 a (,,), (,,), c (, k,) 所張出之平行六面體的體積為 4,求 k 的值. Ans: 或 利用平行六面體的體積公式,得其體積 V 為 V ( a ) c (,, ) (, k,) = (4,8,4) (,k,) = 4 +(8) k+4 = 8k+. 由題意可知: 8k+ =4, 即 8k+=±4,解得 k= 或.
12 ok44 外機體積與行列式 p 主題二 三階行列式. 三階行列式的展開式: a a a a c a c a c a c a c a c. c c c. 三階行列式的性質: () 行列互換其值不變. () 任意兩行 ( 列 ) 對調,其值變號. : () () () 任一行 ( 列 ) 可以提出同一個數. (4) 兩行 ( 列 ) 成比例,其值為 0. : () (4) (5) 將一行 ( 列 ) 的 k 倍加到另一行 ( 列 ),其值不變. (6) 若某一行 ( 列 ) 之每個元素可分成兩行 ( 列 ) 元素的和, 則此行列式可拆分為兩個行列式的和. (6) : (5) (7) 三階行列式可依某一行 ( 列 ) 降成二階行列式展開.例如:依第一 行降成二階行列式展開如下: a a a a a a a c c c c a c.其各項的, c c c 號,可借助右圖來幫助我們記憶.而二階行列式的取法,則是把二階 行列式中某個元素所在的行與列劃去,再將剩下的元素按原來的位置 關係組成二階行列式.例如:下圖所示為 a 所要乘之二階行列式的取
13 ok44 外機體積與行列式 p 法. : (7) ( 依第一行降階 ) ( 依第二列降階 )
14 ok44 外機體積與行列式 p 例題 6 求下列三階行列式的值: (). () 0. 0 Ans:(),() 根據三階行列式的展開式,得 () () = = =. 0 0 = ()+() ()+0 0 ()- 0 -() () ()-0 () = =. 類題 6 求下列三階行列式的值: (). (). 0 Ans:() 7,() 根據三階行列式的展開式,得
15 ok44 外機體積與行列式 p4 () () = = =7. 0 =() + ()+ 0-() () =()+(6) =. 例題 7 求下列三階行列式的值: () 5 7. () Ans:() 0,() () 先將第一行提出公因數 7,第一列提出公因數, 再將第一行分別乘以 () 及 () 加入第二行及第三行,得 ( 第二 三兩行成比例 ) ( ) ( ) () 將第三列分別乘以 ( ) 及 ( 7) 加入第一列及第二列,得 ( 7) =9-4=. ( ) ( 依第一行降階展開 ) 6
16 類題 7- 求下列三階行列式的值: () () ok44 外機體積與行列式 p Ans:() 0,() 7 4 () ( 第一 二兩行成比例 ). () 將第二列分別乘以 ( ) 及 4 加入第一列及第三列,得 ( ) ( 依第二行降階展開 ). 0 類題 7- 設 a c a c a c,選出正確的選項: () a a a c c c () a c a c a c () a 4 c a 4 c 4 a 4 c (4) a 4 c c a 4 c c 4 a 4 c c (5) a 4 a a a 4 a a 4. a 4 a a Ans:()()(4) () 行列互換其值不變. () a c a c a c a c a c a c. a c a c a c
17 ok44 外機體積與行列式 p6 a c () 原式 4 a c 4 4. a c (4) a 4 c c a 4 c c a 4 c c a 4 c c a 4 c a 4 c c a 4 c a 4 c c a 4 c a c 4 a c a c ( ) ( ) (5) a c 4 a c 4 4 a c a 4 a a a 4 a a a 4 a a. a 4 a a 4 a 0 a a 4 a a 4 a 0 a 0. a 4 a a 4 a 0 a ( ) ( ) ( ) 由上面的討論可知:正確的選項為 ()()(4). 例題 8 a c a c 已知 d e f, p q r 5,求 l m n l m n a c d p e q f r 的值. l m n Ans:6 a c a c a c a c 原式 d e f p q r d e f 6 p q r l m n l m n l m n l m n
18 ok44 外機體積與行列式 p7 類題 8 a c 已知 p q r 5,求 x y z 4 5c a c c 4q 5r p q r r 的值. 4y 5z x y z z Ans:0 4 5c a c c 4q 5r p q r r 4y 5z x y z z 4 a c a c a c 4q p q r 4 q p q r 4 q p r 4y x y z y x y z y x z ( ) ( 5) a c ( 4) p q r ( 4) 5 0. x y z 例題 9 證明: a a ( a )( c)( c a)( a c). c 證明 c a c a c ( ) ( ) 0 a a a a c a c a 0 a a c a c a ( 依第一行降階 ) a a ( a)( c a) c ac a ( 提出公因式 ) =(-a)(c-a)(c - +ac-a) =(-a)(c-a)((c-)(c+)+a(c-)) =(-a)(c-a)(c-)(a++c) =(a-)(-c)(c-a)(a++c).
19 ok44 外機體積與行列式 p8 類題 9 a c c 證明: a c a 4ac. a c 證明 a c c a c a a c ( ) ( ) 0 a a c a a c 0 a ( ) a c a a c ( ) ( ) 0 a ( ) a c 0 ( )( ac ac) 4ac. 0 c 例題 0 已知實數 x 滿足 x 5 0,求 x 的值. x 5 7 Ans:5, 或 x x x 5 x 5 x x 5 x 7 x x 5 7 x 5 x 7 x ( ) ( ) (5 x)( x) (5 x)( x)( x 6). 5 5x x 9 x x 因為 (5-x)(-x)(x-6)=0, 所以解得 x=5, 或 8. 類題 0 x 已知實數 x 滿足 x 0,求 x 的值 x Ans:0 或 7
20 ok44 外機體積與行列式 p9 x x x 7 x 7 x 7 x x (7 x) x x x 0 0 (7 x) x (7 x) x x 4 0 x ( ) =x (7-x). ( ) 因為 x (7-x)=0,所以解得 x=0 或 7.
21 ok44 外機體積與行列式 p0 主題三 三階行列式的應用. 三角形的面積公式: 若 Aa, a, B,, C c, c ABC 的面積 為. 平行六面體的體積公式: a a. c c 為平面上不共線的三點,則 空間中,由三個向量 a a, a, a,,, 與 c c, c, c a a a 所張出之平行六面體的體積 V 為 V.. 三向量共平面的條件: c c c 設 a a, a, a,,,, c c, c, c 我們有 a,, c 共平面 a a a c c c 0. 為空間中三個向量.
22 ok44 外機體積與行列式 p 例題 已知 A(,), B(,), C(,) 為平面上三點,求 ABC 的面積. Ans: 利用三角形的面積公式,得 ABC 的面積 類題 已知 A(,4), B(,), C(5,k) 為平面上三點, 且 ABC 的面積為,求 k 的值. Ans:9 或 依題意及利用三角形的面積公式, 4 得 ABC 的面積, 5 k 即 6 0 k k 4 ( 5), 整理得 5-k =6, 解得 k=9 或. 例題 求由三向量 a (4,,), (,,), c (,0,) 所張出之平行六面體的體積. Ans:9 利用平行六面體的體積公式,得體積 V 為
23 ok44 外機體積與行列式 p 4 V ( ) 類題 - 已知由三向量 a (,,), (, k,), c (,,) 所張出之 平行六面體的體積為 5,求 k 的值. Ans:7 或 7 依題意及利用平行六面體的體積公式,得 k 5, 即 k+---()-k =5,整理得 k- =5,解得 k=7 或 7. 類題 - a c 已知 a c 6,求 的最大值. Ans:4 a c 因為 表示由三個向量 (a,,c),(,,),(,,) 所張出之平行六面體體積, 所以當 (a,,c) 與兩向量 (,,),(,,) 所在的平面垂直時, 平行六面體的體積有最大值. 因為 a + +c =6,所以(a,,c) 的長度為 6, 再計算 (,,) (,,)
24 ok44 外機體積與行列式 p = (4,8,4) = ( 4) 8 ( 4) 4 6, 可得由向量 (,,) 與 (,,) 所張出之平行四邊形面積為 4 6. 因此當平行六面體的高為 6 時, 平行六面體有最大的體積 , a c 故 的最大值為 4. 例題 已知由三向量 a, 及 c 所張出之平行六面體的體積為 5,求由三向量 a c, 4 5 c 及 c 所張出之平行六面體的體積. Ans:0 令 a a a a (,, ), (,, ), c ( c, c, c ),則 a a a 5. c c c 因為 a c a c a c 4 5c 4 5c 4 5 c c c c ( 5) a a a a a a c c c c c c ( ) a a a , c c c 所以所求之平行六面體的體積為 0.
25 ok44 外機體積與行列式 p4 類題 - 已知由三向量 a ( a, a, a), (,, ), c ( c, c, c) 所張出之平行六面體的 體積為,求由三向量 a, a, c 所張出之平行六面體的體積. Ans:9 a a a 由題意可知:,而且 c c c a ( a, a, a ), a ( a, a, a ), c ( c, c, c ). 因此由三向量 a, a, c 所張出之平行六面體的體積為 a a a a a a. c c c 因為 a a a a a a c c c a a a a a a a a a a a, a c c c 又 a a a a a a ( ) a a a a a a 0, a a a a a a c c c a a a a a a c c c
26 ok44 外機體積與行列式 p5 a a a a a a c c c ( ) a a a a a a ( ), c c c c c c a a a a a a 所以 a a a 0 ( ). 9 c c c c c c 類題 - 下圖是一個體積為 4 的平行六面體,且 OD OA, OE OB, OF OC, 4 求由三向量 OD, OE 與 OF 所張出之平行六面體的體積. O C F E B D A Ans:4 由題意可知: ( OA OB) OC 4. 因為 OD OA, OE OB, OF OC, 4 所以由三向量 OD, OE 與 OF 所張出之平行六面體的體積為 ( OD OE) OF ( OA OB) OC ( OA OB) OC 例題 4 已知空間中 A(,,), B(,,0), C(,,), D(a,,a) 四點共平面, 求 a 的值. Ans:
27 因為 A, B, C, D 四點共平面, ok44 外機體積與行列式 p6 所以三向量 AB (,, ), AC (,, ), AD ( a,, a ) 共平面, 並得 0. a a a a 將 0 展開得 a a (a-)-(a-)--()-(a-)-()(a-)=0, 整理得 4a-6=0, 解得 a. 類題 4 已知空間中 A(,0,), B(,,0), C(0,,), D(a,a,0) 四點共平面,求 a 的值. Ans: 或 因為 A, B, C, D 四點共平面,所以三向量 AB (0,, ), AC (,,0), AD ( a, a, ) 共平面, 並得 a a 展開得 0+0+a -0--()(a-)=0, 整理得 a +a-=0, 解得 a= 或.
28 ok44 外機體積與行列式 p7 重要精選考題 基礎題. 下列哪些向量與 a 垂直? () a,() a,() a,(4) 5 4 a,(5) a. Ans:()()()(4) 因為 a 與 a, 均垂直, 所以所有由 a 與 的線性組合所表示的向量均與 a 垂直. 又 a ( a ),和 a 平行. 故由上面的討論可知:正確的選項為 ()()()(4).. 設 a (,,), (,,) 為空間中兩向量. () 求 a. () 求由 a 與 所張出之平行四邊形的面積. () 設向量 n 滿足 n a, n,且 n,求 n. Ans:() (,,),() 6, () (,, ) 或 (,, ) () a (,,).
29 ok44 外機體積與行列式 p8 () 因為外積 a 的長度為 a ( ), 所以由 a 與 所張出之平行四邊形面積 是由 a, 所張出之平行四邊形面積的 6 倍, 因此其面積為 6. a a () 因為 n 與 a, 均垂直,所以 n // a, 即 n t(,,), n t. 又因為 n,所以 t,解得 t,因此 n (,, ) 或 (,, ).. 設 A(,,), B(,,), C(,4,a) 為坐標空間中三點.問 a 為下列哪一個選項時, ABC 的面積最接近 5? () a=,() a=,() a=5,(4) a=7,(5) a=9. Ans:(5) 因為 AB (,0, ), AC (,, a ),所以 ABC 的面積為 AB AC (, a,) 8 a 因為 5,又將各個 a 值代入 8 a,分別得 () a=, ABC= 9,
30 () a=, ABC= 7, () a=5, ABC= 4, (4) a=7, ABC= 67, (5) a=9, ABC= 99, ok44 外機體積與行列式 p9 故使得 ABC 的面積最接近 5 的 a 值為 9, 即正確的選項為 (5). 4. 求下列三階行列式的值: () () 4. () Ans:() 0,(),() () ( 6) ( 9) ( 第二 三兩列成比例 ). 0 4 () ( ) ( ) () ( ) ( ) ( 00) ( 6) 0 ( ) ( ) (7 0)
31 ok44 外機體積與行列式 p0 5. 下列哪些三階行列式的值為 0? () () () a a 7 (4) 7 c c 7 a c c a (5) a c. c a Ans:()()(4)(5) 0 () 0 0 ( 6) () () a a 7 a a 7 a a (4) c c 7 c c 7 c c a c c a c a (5) a c a c 0. c a c a 由上面的算式可知:正確的選項為 ()()(4)(5). 6. 設 A(x,y), B(x,y), C(x,y) 為坐標平面上三點.已知 ABC 的面積為 5,且 D, E, F 三點的坐標為 D(x+y,4y+5x), E(x+y,4y+5x), F(x+y,4y+5x),求 DEF 的面積. Ans:5 x y x y 因為 x y 5,即 x y 0,所以 x y x y
32 ok44 外機體積與行列式 p 7 7 x y y x y x y 4y 5x 7 7 x y 4y 5x x y y x y x y 4y 5x 7 7 x y y x y 5 ( ) 6 7 x y 7 x y x y 故 DEF 的面積為 進階題 c c a a 7. 已知 y z z x x y,求 q r r p p q a c x y z p q r 的值. Ans:6 因為 c c a a ( a c) c a a a c c a a y z z x x y ( x y z) z x x y x y z z x x y q r r p p q ( p q r) r p p q p q r r p p q ( ) ( ) a c c a c a c x y z y z x y z x y z, p q r q r p q r p q r
33 ok44 外機體積與行列式 p a c 所以 x y z 6. p q r 8. 已知實數 x 滿足 6 x x ,求 x 的值 Ans: 5 或 6 因為 6 x x x x ( ) ( ) x x 5 x x 0 6 x 6 x 5x 6(5 x)(6 x) 6 x =6(5+x)(6-x)(6-x-5+x) = 66(x+5)(x-6),所以原式可改寫為 66(x+5)(x-6)=0,解得 x=5 或 6. x 9. 解不等式 x 0. x Ans:x 0 或 x 6 因為 x 6 x x 6 x x x 6 x x ( ) ( ) 6 x 0 x 0 0 x =(6-x)(-x)(x)=x(x-)(x-6),
34 所以原式可改寫為 x(x-)(x-6)>0, ok44 外機體積與行列式 p 即 x(x-)(x-6)<0,解得 x<0 或 <x<6. 0. 下圖中, ABCD EFGH 是一個正六面體,三頂點 A(,,), B(,,), D(,,d).若點 E 在第一卦限,則 E 的坐標為何? H G E F D C A B Ans:(,,) AB (,,), AD (,, d ),且 AB. 因為 ABCD EFGH 是一個正六面體, 所以 AB AD,即 AB AD 0, 可得 (,,) (,,d-)=0, 解得 d=,並得 AD (,, ). 因為 ABCD EFGH 是一個正六面體, 所以 AE 和 AB, AD 均垂直且等長, 因此 AE 和 AB AD 平行. 計算 AB AD( 6,, 6) ( )(,,). 因為 AE 和 AB AD 平行且和 AB, AD 均等長, 可得 AE (,,) 或 (,,), 並得 E 點的坐標為 (,,) 或 (,0,). 因為點 E 在第一卦限,所以 E 的坐標為 (,,).
35 ok44 外機體積與行列式 p4. 設 A(,0,0), B(0,,0), C(0,0,), D 為空間中四個點.已知直線 AD 與 ABC 所在的平面垂直,且 ABD 的面積為 6,求 D 點的坐標. Ans:(5,4,4) 或 (,4,4) 因為直線 AD 與 ABC 所在的平面垂直,所以 AD 與 AB, AC 均垂直, 即 AD 與 AB AC 平行. 計算 AB (,,0), AC (,0,), AB AC (,,), 因此 AD t(,,),且 AD t. 因為 ABD 的面積為 AB AD 6, 又 AB,所以 AD 4, 因此 t 4,解得 t=±4. 因此 AD (4,4,4) 或 (4,4,4), 故 D 點坐標為 (5,4,4) 或 (,4,4). D A C B a ( c). 證明: ( c a) ( a c)( c)( c a)( a ). c ( a ) 證明 a ( c) ( c a) c ( a ) ( ) ( ) a ( c) 0 a ( c a) ( c) 0 c a ( a ) ( c)
36 ok44 外機體積與行列式 p5 a ( c) 0 a ( a c)( a ) ( a)( c a) 0 c a ( a c )( a c) a c a c ( a)( c a) ( a)( c a) c a c a a ( a c) c a ( a c ) a c c c ( a)( c a) ( a c)( a )( c a) a c =(a++c)(-c)(c-a)(a-).. 已知由三向量 a, a, c 所張出之平行六面體的體積為 8, 求由三向量 a,, c 所張出之平行六面體的體積. Ans: 令 a a a a (,, ), (,, ), c ( c, c, c ),則 a a a a a a 8. c c c 因為 a a a a a a a a a a a a c c c c c c a a a a a a a a a 4 a a a c c c c c c ( ) a a a 4 a a a 4 8, c c c c c c
37 ok44 外機體積與行列式 p6 a a a 所以, c c c 即由三向量 a,, c 所張出之平行六面體的體積為.
38 ok44 外機體積與行列式 p7. 已知 n 和 a,,0 與 4,, 均垂直,且 n,求 n. 臺中一中 Ans:(,,) 或 ),,) 因為 n 和 a 與 均垂直, 所以 n 與 a 平行. 計算 a,,, a, 可得 n t,,, 且由 n,可得 t, 因此 n,, 或,,. 空間中,已知 a, 4, a 4 5,求 a. 基隆高中 Ans:8 利用 cos a a 得 cos, 並得 5 sin cos. 因此 a a sin 4 8
39 ok44 外機體積與行列式 p8. 如圖所示,一個邊長為 的正立方體, B, D 分別為 EF, GH 的中 點,則四邊形 ABCD 的面積為何? 6 (). (). (). (4) 5 4. (5). 金門高中 Ans:() 將正立方體放在坐標空間中,如下圖所示: 可得 BA,0,, 0,, BC, 且 ABCD 是一個平行四邊形. 由 ABCD 的面積等於 BA BC,計算得 BA 6 BC,,, 因此正確的選項為 (). 4. 如圖,有一邊長為 a 的正立方體 ABCD EFGH 選出正確的選項: () BH EC 0. () ACDF 0. () AB AF // GC GD. (4) BA BH BA BD. (5) 若在 EH 邊上取一點 P,且 EP : PH :,則四面體 P ABC 的體積為 中山女高 Ans:()()(4), a.
40 ok44 外機體積與行列式 p9 將正立方體放在坐標空間中, A 為原點,如下圖所示 () BH EC a a a a a a a,,,, 0. () AC DF a a a a a,,0,, 0. () AB AF a,0,0 a,0, a 0, a,0, 0,0,,0, 0,,0 GC GD a a a a, 因此 AB AF // GC GD. (4) BA BH a,0,0 a, a, a a,,0,0,,0 BA BD a a a a, 因此 BA BH BA BD. (5) 因為四面體 P ABC 的體積等於 ( h 是以 ABC 為底面的高 ),, h a 又 ABC a, ABC h. 6 所以 ABC h a a a 由上面的討論可知:正確的選項為 ()()(4). 5. 設 AB,5, 5, AC,,4,, 8,64 AD,求 () 由 AB, AC, AD 所張出之平行六面體的體積.
41 ok44 外機體積與行列式 p40 () 由 AB, AC 所張出之平行四邊形的面積. () 利用 ()() 的結果,求 D 點到平面 ABC 的距離. 松山高中 Ans:() 90,() 5 6,() 6 () 由 AB, AC, AD 所張出之平行六面體的體積為 ,計算 因此體積為 , () 由 AB, AC 所張出之平行四邊形的面積為 AB AC, 計算 AB AC,5,5,,4 0,, 5. 6 () 設 D 點到平面 ABC 的距離為 h.因為由 AB, AC, AD 所張出之平行六面體的體積 為由 AB, AC 所張出之平行四邊形的面積乘以 h, 6 所以 h,解得 h. 6. 求 的值. 彰化高中 Ans:
42 ok44 外機體積與行列式 p4 7. 設 a,, c 是空間中的向量,則下列哪些選項的敘述是正確的? () a a. () a. () a a a. (4) a,, c 所張出之平行六面體的體積為 a c (5) c a a c. 北一女中. Ans:()()(5) () 因為 a a, a, 所以 a a. () 符號 a 表示由 a, 所張出之平行四邊形的面積,由圖可知 a 與 及 a 與 a 所張出之平行四邊形有相同的面積, 因此, a a a () 利用右手法則,可知. a a 和 a 的方向相反, 所以 a a a.
43 ok44 外機體積與行列式 p4 (4) 由 a,, c 所張出之平行六面體的體積為 a c,而非 a c. (5) 因為 c a 與 a c 均表示由 a,, c 所張出之平行六面體的體積,所以 c a a c. 故由上面的討論可知:正確的選項為 ()()(5). 8. 設由 a,, c 三向量所張之平行六面體的體積為 5,求由三向量 a, c, a c 所張的平行六面體體積. 高雄中學 Ans:0 利用行列式的運算性質計算如下: a c a c a c c a c a c a c c a c a c
44 ok44 外機體積與行列式 p4 9. 空間坐標中, O 為原點,設點 A,,, 0,, B,集合 S P OP soa t OB, 其中 s, t,求集合 S 所形成的圖形面積. 松山高中 Ans: 4 4
面積與二階行列式 陳清海 老師
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數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc
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考试大2011年高考试题答案
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( 甲 ) 空間向量的外積 第三十單元外積 體積與三階行列式 在物理學中, 設力 F 作用在位移 r 的終點上, 它的力矩定義為一個向量 M, 其大小 為 F r sinθ, 方向垂直 F 與 r, 且 M 與 r F 構成右手系, 符號寫成 : M r F 這樣的概念抽象化之後, 形成 外積 的定義 () 外積的定義 : F 設空間中兩向量 與 的外積為一個向量, 符號記為, 設空間中兩向量 與
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B3C1
- B(. AB. A( ( 3. AA PP 0 a a a 4. ( 5. Ex. ABCDEF Ans8305 Ex. ABCDE Ans00. a+ b a+ b b. a+ b = b + a a b a ( a+ b + c = a+ ( b + c a+ 0= a = 0+a a + ( a = 0 = ( a + a b a b 3. a b = a+ ( b a 4.(P AB =
ok313 正餘弦定理
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. (A) (B) (C) A (D) (E). (A)(B)(C)(D)(E) A
. () () () () () (A) (B) (C) B (D) (E). (A) (B) (C) E (D) (E) (A) (B) (C) (D). () () () () E (A) (B) (C) (D) (E). C (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) D (E). () - () - () - () - () - D (A) (B) (C) (D)
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《侵权法》综合练习题
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2 A
1 2 A 3 AB 8 11 12 13 14 15 16 4 5 6 21 200 (l)20 (2)15 (3)10 7 8 9 10 11 11 12 14 15 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17 18 203500 1500 500 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
業主立案法團索引 – 香港及九龍區
一 洲 大 廈 香 港 德 輔 道 中 262 號 4553 一 盛 大 廈 九 龍 惠 安 街 2-6 號 及 大 角 咀 道 171 號 4012 第 1 頁 十 九 號 清 風 街 香 港 清 風 街 19 號 8472 七 姊 妹 道 天 順 樓 香 港 七 姊 妹 道 100-104 號 2211 七 姊 妹 道 兆 景 大 廈 香 港 北 角 七 姊 妹 道 14-16 號 2170 七
2002 2005 11 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3 3!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6 4!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10 5!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10 6!!!!!!!!!!!!!!!!
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正餘弦定理 陳清海 老師 1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A 1 1 1 bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: 0 3 1 1 ABC 面積 AB AC sin A 10 8sin10 0 3. Show Axes
3 = 90 - = 5 80 - = 57 5 3 3 3 = 90 = 67 5 3 AN DE M DM BN ABN DM BN BN OE = AD OF = AB OE= AD=AF OF= AB=AE A= 90 AE=AF 30 BF BE BF= BE= a+b =a+ b BF=BC+CF=a+CF CF= b CD=b FD= b AD= FC DFC DM=
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0146) : 2 /. :, 2004. 7 ISBN 7-80153 - 957-5.... G726. 9 CIP ( 2004) 069174 : 2 : : : : : : 2 : 100733 : 010-65369524 65369530 : : : 880mm 1230mm 1 /32 : 2800 : 122 : 5000 : 2006 8 1 2 : ISBN 7-80153 -
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2016 160 8 14 8:00 14:00 1 http://zj.sceea.cn www.sceea.cn APP 1 190 180 2 2 6 6 8 15 2016 2016 8 13 3 2016 2016 2016 0382 2 06 1 3300 14 1 3300 0451 5 01 2 7500 02 2 7500 05 ( ) 1 7500 1156 4 15 2 15000
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1 V = h a + ab + b 3 = 1 = 1 + = + = BAC Quod erat demonstrandum Q E D AB p( EF) p = = AB AB CD q( EF) q p q 1 p q, EF = ED BF G G BG = FG EH a = b + c a - b = c FG = BG = HG = a EF = FG - EG = a - b
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2016 148 1 8 7 08:00 16:00 http://zj.sceea.cn www.sceea.cn APP 1 2 2 6 6 2016 2016 8 6 3 2016 2016 2016 0366 1 03 1 0391 2 54 ( ) 2 1256 7 02 1 03 1 07 2 18 2 21 1 1314 1 36 1 14000 / 20 1316 7 00 1 09
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2017 12 2 24 1 2 17 2 000 20 2 500 2 400 25 100 3 80 2 17 A B 80 C D 2 2 17 25 000 3 1 2 000 5 5 800 5 30 800 2 17 A B C D 3 2 17 2 16 20 20 2 17 2 16 2 17 20 000 18 000 A B C D 4 2 17 500 800 350 120
钢铁金相图谱
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高二立體幾何
008 / 009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 高 二 立 體 幾 何 參 選 編 號 :C00 學 科 名 稱 : 適 用 程 度 : 高 二 簡 介 一 本 教 學 設 計 的 目 的 高 中 立 體 幾 何 的 學 習 是 學 生 較 難 理 解 而 又 非 常 重 要 的 一 個 部 分, 也 是 高 中 教 學 中 較 難 講 授 的 一 個 部 分. 像 國 內 的 聯 校
CIP. / ISBN Ⅰ.... Ⅱ.... Ⅲ. Ⅳ. G CIP http / /press. nju. edu. cn
CIP. /. 004. 4 ISBN 7 305 0458 7 Ⅰ.... Ⅱ.... Ⅲ. Ⅳ. G64. 505 CIP 004 0798 0093 05 8359693 05 835937 05 83686347 http / /press. nju. edu. cn nupress@public. ptt. js. cn 787 09 /6. 5 85 004 5 ISBN 7 305 0458
( ) A B C D ( ) A B C D A B C D A B C D A 8750 B C 6250 D 5000 A B C D A B C D
1 A B C D A B C D A B C D 1000 1200 900 A B C D ( ) A B C D ( ) A B C D A B C D A B C D 5000 6250 A 8750 B 11250 C 6250 D 5000 A B C D A B C D A B C D 1 200000 400 10 A 1000 B 1600 C 2000 D 2300 1 A B
实 信 用 的 原 则 " 其 中, 诚 实 信 用 原 则 是 指 民 事 主 体 进 行 民 事 活 动 时, 均 应 诚 实, 不 作 假, 不 欺 诈, 不 损 害 他 人 利 益 和 社 会 利 益, 正 当 地 行 使 权 利 和 履 行 义 务 甲 将 平 房 售 与 丙 而 未 告
2012 年 司 法 考 试 模 拟 试 题 及 习 题 详 细 解 析 一 单 项 选 择 题, 每 题 所 给 的 选 项 中 只 有 一 个 正 确 答 案 本 部 分 1-50 题, 每 题 1 分, 共 50 分 1 甲 有 平 房 一 间 某 日, 甲 得 知 乙 将 于 该 平 房 南 建 高 楼 一 栋, 一 旦 高 楼 建 成, 该 平 房 即 无 阳 光 可 见 次 日, 甲 将
科別
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章節
試題 設 A(1,,), B(4,, 1), C(, 1,5),若 ABCD 連成一平行四邊形,則 D 之坐標為何? 編碼 14057 難易 易 出處 康熹自命題 解答 ( 1,,9) 設 D(x, y, z),則 AD BC (x 1, y, z ) ( 4, 1,5 (1)) x 1 x 1 y 4 y, D( 1,,9). z 6 z 9 設 A(4,,), B(, 1,4), C(1,4,0),若
遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
2013年国家司法考试模拟试卷与答案
更 多 内 容 请 查 看 精 品 文 库 网 www.jingpinwenku.com 2013 年 国 家 司 法 考 试 模 拟 试 卷 与 答 案 一 单 项 选 择 题 每 题 所 设 选 项 中 只 有 一 个 正 确 答 案, 多 选 错 选 或 不 选 均 不 得 分 本 部 分 含 1 50 题, 每 题 1 分, 共 50 分 第 1 题 张 某 从 银 行 贷 得 80 万 元
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精 品 库 我 们 的 都 是 精 品 _www.jingpinwenku.com 7. 根 据 中 华 人 民 共 和 国 会 计 法 的 规 定, 对 登 记 会 计 账 簿 不 符 合 规 定 的 单 位 县 级 以 上 人 民 政 府 财 政 部 门 责 令 限 期 改 正, 并 可 以 处
北 京 市 会 计 从 业 资 格 无 纸 化 考 试 财 经 法 规 与 会 计 职 业 道 德 上 机 考 试 题 库 ( 五 ) 考 试 时 间 :60 分 钟 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 分, 每 小 题 1 分 每 小 题 只 有 一 个 正 确 答 案, 多 选 错 选 漏 选, 不 得 分 ) 1. 纳 税 人 生 产 规 模 较 小 产 品 零 星 税 源 分 散
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宇 宙 生 灵 学 妙 航 法 师 的 宇 宙 生 命 学 和 宇 宙 生 灵 学 是 关 于 修 行 修 炼 的 两 部 奇 书, 书 的 内 容 包 罗 万 象, 涉 及 神 学 宗 教 学 气 功 学 以 及 现 代 边 缘 科 学 他 从 浩 如 烟 海 的 古 代 宗 教 著 作 中 找 寻 到 了 修 行 修 炼 的 核 心 三 部 圣 典 : 古 印 度 薄 迦 梵 歌 印 度 佛 教
對數函數 陳清海 老師
對數函數 陳清海 老師 p ok 對數函數 一 對數函數. 定義:設 0,, 0,稱 為以 為底數的對數函數.. 圖形與基本性質 對數函數 yf log y log 在 與 0 時的圖形如下: 函數圖形通過點 且 y 軸為其漸近線.,0,整個圖形在 y 軸右方, p 範例 y log 在下列的方格紙中作出 y log 與 的圖形. 演練 已知 y log 的圖形與 y log 方格紙中作出 y log
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1500 CIP 1500 /. 2006. 8 ISBN 7 5625 2128X Ⅰ. Ⅱ. Ⅲ. Ⅳ. D920. 5 44 CIP 2006 087648 1500 388 430074 027 87482760 027 87481537 E-mail cbb@cug. edu. cn 2006 8 1 2006 8 1 850 1 168 1 /32 8. 625 220 26. 00 1.
例 009 年高考 全国卷Ⅱ 理 8 如 图 直 三 棱 柱 ABC ABC 中 AB AC D E 分 别为 AA BC 的中点 DE 平面 BCC 证明 AB AC 设二面角 A BD C 为 0o 求 BC 与平面 BCD 所 成角的大小 图 - 略 证明 以 D 为坐标原点 DA DC DD
Education Science 教育科学 平面法向量在解立体几何题中的应用探究 梁毅麟 恩平市华侨中学 广东江门 59400 摘 要 几何发展的根本出路是代数化 引入向量研究是几何代数化的需要 随着平面法向量这个概念在新教 材的引入 应用平面法向量解决立体几何中空间线面位置关系的证明 空间角和距离的求解等高考热点问题的方法 更具灵活性和可操作性 其主要特点是用代数方法解决几何问题 无需考虑如何添加辅助线
A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. A. 4 N B. 18 N C. 40 N D N 1
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第 一 章 數 與 坐 標 系 大 學 聯 考 試 題 與 推 薦 甄 選 試 題 第 一 類 大 學 入 學 甄 試 試 題 評 量 1. 下 列 何 者 是 2 100 除 以 10 的 餘 數? (1) 0 (2) 2 (3) 4 (4) 6 (5) 8 88 年 2. 一 個 正 三 角 形 的 面 積 為 36, 今 截 去 三 個 角 ( 如 右 圖 ), 使 成 為 正 六 邊 形,
比 賽 表 Competition Schedule 報 到 : 比 賽 開 始 前 15 分 鐘 Reporting : 15 minutes before the scheduled time for the match 各 參 賽 隊 伍 必 須 依 照 大 會 編 定 的 出 場 比 賽,
比 賽 表 Competition Schedule 報 到 : 比 賽 開 始 前 15 分 鐘 Reporting : 15 minutes before the scheduled time for the match 各 參 賽 隊 伍 必 須 依 照 大 會 編 定 的 出 場 比 賽, 每 場 賽 事 於 裁 判 召 集 出 場 5 分 鐘 後 仍 未 能 出 場 作 賽 或 參 2016
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05 年 入 学 MBA 联 考 综 合 试 卷 参 考 答 案 及 详 解 说 明 : 由 于 05 年 入 学 MBA 联 考 试 题 为 一 题 多 卷, 因 此 现 场 试 卷 中 的 选 择 题 顺 序 及 每 道 题 的 选 项 顺 序, 不 同 考 生 有 所 不 同 请 在 核 对 答 案 时 注 意 题 目 和 选 项 的 具 体 内 容 所 有 解 析 来 自 网 络, 仅 供
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优合会计考点直击卷子之财经法规答案——第八套
原 题 导 航 基 础 第 一 套 第 1 题 参 考 答 案 : C 试 题 评 析 : 在 社 会 主 义 市 场 经 济 条 件 下, 会 计 的 对 象 是 社 会 再 生 产 过 程 中 主 要 以 货 币 表 现 的 经 济 活 动 第 2 题 参 考 答 案 :B 试 题 评 析 : 在 权 责 发 生 制 下, 本 期 售 货 尚 未 收 到 销 售 货 款 属 于 当 期 收 入
校园之星
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76 數 學 傳 播 9 卷 1 期 民 94 年 月 H G O 共 線 例. 以 直 角 三 角 形 的 每 邊 為 邊 向 外 作 正 方 形, 則 連 結 直 角 邊 上 正 方 形 中 心 的 線 段 和 連 結 斜 邊 上 的 正 方 形 中 心 與 直 角 頂 點 的 線 段 互 相
用 解 析 法 解 決 平 面 幾 何 問 題 優 勢 多 多 胡 紹 宗 平 面 解 析 幾 何 是 中 學 數 學 課 程 的 重 要 組 成 部 分, 它 是 以 坐 標 系 為 工 具, 用 代 數 方 法 研 究 平 面 幾 何 圖 形, 它 不 僅 是 聯 繫 中 學 數 學 各 部 分 知 識 的 紐 帶, 也 是 進 一 步 學 習 高 等 數 學 和 力 學 等 不 可 缺 少 的
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章節
試題空間中四點 A(,,), B(,0,), C(,0, ), D(, k, ), () 過 A, B, C 三點的平面方程式為. () 若 A, B, C, D 四點共平面,則 k. 編碼 40747 難易 中 出處 康熹自命題 解答 ()4x 5y z 5 0;() () 設平面 ABC 的方程式為 ax by cz d 0, 過 A(,,), a b c d 0,過 B(,0,), a c d
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注 : P3 表 示 考 点 在 教 材 第 3 页 ( 对 应 2016 版 教 材 ) 2016 年 初 级 会 计 实 务 考 点 精 华 第 一 章 资 产 第 一 节 : 货 币 资 金 资 产 的 定 义 分 类 ( 流 动 资 产 非 流 动 资 产 等 ) P1 库 存 现 金 : 是 指 存 放 于 企 业 财 会 部 门 由 出 纳 人 员 经 管 的 货 币 P1 现 金 结
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( 0531) ( CIP). /. :, 2004. 7 ISBN 7-80153 - 959-1.... G726. 9 CIP ( 2004) 069172 : : : : : : : 2 : 100733 : 010-65369524 65369530 : : : 880mm 1230mm 1 /32 : 3300 : 150 : 5000 : 2006 8 1 2 : ISBN 7-80153
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点 考 题 精 讲 精 品 库 我 们 的 都 是 精 品 _www.jingpinwenku.com
第 四 章 基 金 管 理 人 本 文 来 自 精 品 文 库 网 www.jingpinwenku.com 点 考 题 精 讲 精 品 库 我 们 的 都 是 精 品 _www.jingpinwenku.com 依 据 最 新 颁 布 的 考 试 大 纲 的 要 求, 需 要 明 确 以 下 考 点 : 熟 悉 基 金 管 理 公 司 的 市 场 准 入 规 定 ; 熟 悉 基 金 管 理 人 的
第一次段考 二年級社會領域試題 郭玉華 (A)(B) (C)(D)
五 福 二 社 p1 高 雄 市 立 五 福 國 民 中 學 97 學 年 度 第 1 學 期 第 1 次 段 考 二 年 級 社 會 學 習 領 域 試 題 卷 代 號 :30 答 案 卡 塗 寫 注 意 事 項 1. 答 案 卡 劃 記 時, 必 須 用 黑 色 2B 鉛 筆 塗 黑 塗 滿, 但 不 可 超 出 圈 外 2. 年 班 級 座 號 科 目 請 劃 記 正 確 若 劃 記 錯 誤,
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香 海 正 覺 蓮 社 佛 教 馬 錦 燦 紀 念 英 文 中 學 通 告 第 一 五 三 一 號 (A) 中 四 級 補 課 安 排 敬 啟 者 : 為 延 續 學 生 的 學 習, 校 方 已 為 同 學 安 排 課 後 補 課 所 有 同 學 必 須 準 時 出 席 各 項 研 習 課 程, 請 學 生 家 長 留 意 下 列 各 項, 並 督 促 貴 子 弟 依 時 上 學 1. 補 課 不