數學C_I_隨堂講義第四章_答案卷_.doc
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1 98 向量 4- 向量的意義 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 () 反向量 : 若向量 AB PQ 和向量 CD 的長度相等 方向相反 則稱此兩向 CD 表之 零向量的長度為 方向不定 量互為反向量 以 AB QP EF FE 老師講解學生練習 如圖 D E F 為 ABC 三邊的中點 若 AF a DA b 則 圖中尚有哪些向量等於 a? 哪些等於 b? 只要長度相等 方向相同 向量就相等 故 () a FC DE () b BD EF 如圖 正六邊形 ABCDEF 中 設 AB a AG b 則 圖中尚有哪些向量等於 a? 哪些等於 b? () a FG GC ED () b BC GD FE
2 第 4 章向量 99 老師講解學生練習 試問平行四邊形的邊 可決定幾個不同的非零向 量? 如圖 () AB DC () BA CD () AD BC (4) DA CB 共 4 個 試問正六邊形的邊 可決定幾個不同的非零向 量? 如圖 () AB ED () BA DE () AF CD (4) FA DC () BC FE (6) CB EF 共 6 個 向量的坐標表示法 : () 設向量 a ( αβ ) x 分量為 α y 分量為 β a α + β α 方向角 θ : β 則 a 的 a () 設 A( x y ) ( ) a cosθ sinθ B x y 則 AB ( x x y y ) AB ( x ) ( ) x + y y () 設兩向量 b ( α β ) c ( α β ) α 若 b c 則 β α β
3 老師講解學生練習 求 : 設 a ( 4) () a 的 x 分量 y 分量 () a () a 的 x 分量為 y 分量為 4 () ( ) a + 4 求 : 設 b ( ) () b 的 x 分量 y 分量 () b () b 的 x 分量為 y 分量為 () ( ) b + 4 老師講解學生練習 4 且 a 的方向角為 求 a 已知 a 4 a 的 x 分量為 a cos 4 a 的 y 分量為 a sin 4 a ( ) 且 b 的方向角為 求 b 已知 b b 的 x 分量為 b cos b 的 y 分量為 b sin b
4 第 4 章向量 老師講解學生練習 設 A( 7) ( 4) () AB B 二點 求 : () AB () AB ( 4 ( 7) ) ( 4) AB 4 + () ( ) 設 C( ) ( 4) D 二點 求 : () CD () CD () ( ) ( 4 ) ( 6 ) CD CD () ( ) 6 老師講解學生練習 6 設 A( 7) () 若 AB ( ) () 若 CA ( 4) () 設 B ( xy ) 求 B 點坐標 求 C 點坐標 AB ( ) ( x y ( 7) ) ( ) x y + 7 故 B ( 8 ) () 設 C ( xy ) CA ( 4) x 8 y ( x 7 y) ( 4) x 7 y 4 故 C ( 7 ) x 7 y 設一向量 a ( 76) () 若始點在 P( ) 求終點坐標 () 若終點在 Q ( 4) 求始點坐標 () 設終點在 Q( xy ) a ( 76) ( x y ( ) ) ( 76) x 7 y + 6 ( xy ) ( 9) () 設始點在 P( xy ) a ( 76) ( 4 x y) ( 76) 4 x 7 y 6 ( xy ) ( 6)
5 7 老師講解學生練習 7 CD 求 x y 之值 設 A( ) B ( 74) C( 4 ) ( ) 若 AB ( 7 4 ( ) ) ( 7) AB D xy ( ( 4 ) ( ) ) ( 4 ) CD x y x+ y+ AB CD ( 7 ) ( x+ 4 y+ ) x+ 47 y+ x y 設 a ( x y) b ( 8 x+ y) 求 x y 之值 a b x y 8 x + y 若 a b x y 8 老師講解學生練習 8 設有一平行四邊形 ABCD 已知 A( 7) B( ) C( 4) 如圖 設 D 點坐標為 ( xy ) AB DC 求 D 點坐標 又 AB ( ( 7) ) ( 7) ( 4 ) DC x y ( 7) ( 4 x y) 4 x7 y x y 4 故 D 點坐標為 ( 4) 設有一平行四邊形 ABCD 已知 A ( ) C ( 9) D ( 4) 如圖 設 B 點坐標為 ( xy ) AB DC 又 AB ( x y ) 求 B 點坐標 DC ( 9 4) ( ) ( x y ) ( ) x y x y 6 故 B 點坐標為 ( 6)
6 第 4 章向量 4- 向量的加減與實數積 向量的加減法 : () 向量的加法 : 平行四邊形法 : AB+ AD AB+ BC AC 三角形法 : AB+ BC AC AB CA CA AB CB () AB AC CB a x y b ( x y) a + b x + x y + y a b ( x x y y ) () 向量的減法 : AB AC AB + AC + + 說明可當公式背 :() AB+ BC AC () 向量加減的坐標表示法 : 設 ( ) ( ) 老師講解學生練習 ABCD 為平行四邊形? () 圖中哪一個向量等於 AB + AD? () AB+ AD AB+ BC AC () AB AD AB+ ( AD) AB+ DA () 圖中哪一個向量等於 AB AD DA + AB DB 承老師講解?? BA BC BA+ BC BA+ CB () 圖中哪一個向量等於 BA+ BC () 圖中哪一個向量等於 BA BC () BA+ BC BA+ AD BD () ( ) CB + BA CA
7 4 老師講解學生練習 () AC + CD AD () AB + AD DC AB+ DA DC + + DB+ CD 四邊形 ABCD 中 化簡下列各式 : () AC + CD () AB AD DC DA AB DC CD + DB CB () CA CB CA+ CB CA+ BC 四邊形 ABCD 中 化簡下列各式 : () CA CB () AB+ BC + CD+ DA BC + CA BA AC CD DA AD DA () AB+ BC + CD+ DA AC + CD+ DA AA 老師講解學生練習 設 A ( ) B ( 4) C ( ) ( ) () AB CD E ( 67) 求 : () AB+ CD () AB+ CD ( 9) + ( 4) ( + ( 4 ) 9+ ) ( 9 6) () AB CD ( 9) ( 4) ( ( 4 ) 9 ) ( ) D () AB+ AC DE 承老師講解 求 () BC + CD+ DE () BC + CD+ DE BE ( 8 ) () AB+ AC DE ( 9) + ( 6) ( 7) ( ( 6) ) ( )
8 第 4 章向量 4 老師講解學生練習 4 設 a ( y) b ( 4) c ( x) 若 a b c 求 x y 之值 ( 4 ) ( ) ( 4 x ) ( 4 x) b c x a b c ( y) ( 4 x) 4 x y x 7 y 設 a ( y) b ( 4) c ( x) 若 a + b + c 求 x y 之值 ( ) ( 4 ) ( ) ( ( 4 ) xy ) ( x y 7) a + b + c y + + x a + b + c ( x y+ 7) ( ) x y + 7 x y 7 老師講解學生練習 ABC 中 AB ( ) () BC () ABC AC ( ) 的周長 求 : () BC AC AB ( ) ( ) ( ) ( ) () BC AB AB + ( ) ( ) BC + ( ) AC AC + ABC 的周長為 + 設四邊形 ABCD 若 AB ( ) AD ( ) DC ( 6) 求 :() BD () BC () BD AD AB ( ) ( ) ( ) ( ) () BC BD+ DC ( ) + ( 6) ( + + 6) ( 6)
9 6 ) 相加 可寫為 ra 這就是 向量與實數積 r > 時 表 ra與 a 同向 且 ra r a 向量與實數積 : () 向量與實數積 : 若有 r 個 a ( a r 時 表 ra r < 時 表 ra與 a 反向 且 ra r a () 設 a ( xy ) 則 ra ( rx ry) () 單位向量 : 長度為 的向量 稱為單位向量 和 a ( a ) 同向的單位向量為 a a a 和 a ( a ) 反向的單位向量為 a i j a xy x i + y j (4) 規定單位向量 ( ) ( ) 則 ( ) 6 老師講解學生練習 6 如圖 C 為 AB 的一個五等分點 () 試以 AB 表示 AC () 試以 AC 表示 BC () () AC AB 且 AC 和 AB 同向 AC AB BC AC 且 BC 和 AC 反向 BC AC 如圖 A B C 為 DE 之等分點 () 試以 DE 表示 AE () 試以 CB 表示 DE () AE DE 且 AE 和 DE 同向 4 AE DE 4 () DE 4CB 且 DE DE 4CB 和 CB 反向
10 第 4 章向量 7 7 老師講解學生練習 7 圖中有 a b 兩向量 試圖示下列各向量 : () a + b () a b () 圖中有 a b 兩向量 試圖示下列各向量 : () a + b () a b () () () 8 老師講解學生練習 8 設 a ( ) b ( ) c ( ) () 4 b c a b + c () a + b () () a + b ( ) + ( ) 求 : ( ) + ( 6) ( + + ( 6) ) ( 6 ) () 4 b c 4 ( ) ( ) ( 4 8) ( 4 ) ( ( ) ) ( ) () a b + c ( ) ( ) + ( ) ( 9) ( 4) + ( ) ( 9 + ( 4) + ( ) ) ( 9) 設 A( ) B ( ) ( ) C 求 AB BC + AC AB BC+ AC 4 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( 6 ) ( + 6 ( ) + ( ) ) ( 8 )
11 8 9 老師講解學生練習 9 設 a ( ) b ( ) c ( ) c ra + sb 求 r s 之值 c ra + sb ( ) r( ) + s( ) ( rr ) + ( ss) ( r sr + s) r s r + s 7 r s 若 設 a ( 4 ) b ( ) c ( 7) 求 r s 之值 ra sb + c ra sb + c r( 4 ) s( ) + ( 7) ( 4 r r) ( s s) + ( 7) ( s s+ 7) 4r s r s + 7 r s 若 老師講解學生練習 若 x + a b 設 a ( ) b ( ) 若 4 a + b + x 設 a ( ) b ( 4) 求 x x + 6 a b x a + b x 7 a + 7 b x a + b x 7 a 7 b 7( ) 74 ( ) ( 47) ( 8) ( ) 求 x 4 a + 8 b + x a + b x a x a b a + b x + a x a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
12 第 4 章向量 9 老師講解學生練習 設 a ( 4) 求和 a 同向的單位向量 ( ) a + 4 和 a 同向的單位向量為 a ( 4) a 設 b ( ) 求和 b 反向的單位向量 ( ) b + b 和 b 反向的單位向量為 b ( ) 4 老師講解學生練習 的組 將 a + b 將 a ( 4) 表成 i ( ) 合 與 j ( ) a ( 4) ( ) + ( 4) ( ) + 4 ( ) i + 4 j 設 a ( ) b ( 4) i ( ) 與 j ( ) 的組合 ( ) ( ) ( 6 9) + ( 8) ( ) ( 4) a + b i + j 表成
13 分點坐標 : 在第一章曾提及分點坐標的求法 現在再以向量的觀念介紹另一種求法 老師講解學生練習 設二點 A( 4) ( ) B 若 P 點在 AB 上 且 AP : BP :4 求 P 點坐標 如圖 設 P 點坐標為 ( xy ) AP AP 7 7 AB 且 AP 和 AB 同向 AB 7 ( x+ y 4) ( 7 4) ( 6) x + y 4 6 ( xy ) ( ) 設二點 A( ) ( 74) B 若 P 點在 AB 上 且 AP : BP : 求 P 點坐標 如圖 設 P 點坐標為 ( xy ) AP AP 7 7 AB 且 AP 和 AB 同向 AB 7 ( x y+ ) ( 9) x 7 4 y + 7 ( xy) 老師講解學生練習 4 設二點 A( 6) ( 6 9) B 若 P 點在 AB 的延 長線上 且 AP : BP : 求 P 點坐標 如圖 設 P 點坐標為 ( xy ) AP AP AB 且 AP 和 AB 反向 AB ( x+ y 6) ( 9 ) ( 6) x + 6 y 6 ( xy ) ( 96) 設二點 A ( 8) B( ) 若 P 點在 AB 的延長 線上 且 AP : BP : 求 P 點坐標 如圖 設 P 點坐標為 ( xy ) AP AP 4 4 AB 且 AP 和 AB 同向 AB ( x y ) ( ) x y 8 4 ( xy) 7 4
14 第 4 章向量 進階題 老師講解學生練習 設 A B C 為不共線三點 若 x y+ AB+ x+ y 4 AC 則 ( ) ( ) x y AC tac A B C 三點不共線 AB // 不可能設 AB x y AB x y AC 若 x y+ ( x+ y 4) 則 AB AC 矛盾 x y+ 又 ( + ) ( + 4) x y+ 同理 x+ y 4 由 知 x y ABC 中 若 ( ) ( ) x+ y AB+ x y AC 則 x y A B C 三點不共線 x+ y x y 4 x y 老師講解學生練習 設 a ( 48) b ( ) 的最小值 t 為實數 試求 設 a ( 4) b ( ) 的最小值 t 為實數 試求 a + tb ( 4 8 ) a + tb + t + t ( 4 ) ( 8 ) a + tb + t + + t a + tb ( 4 ) a + tb + t + t ( ) ( 4 ) a + tb + t + + t 6+ 4t+ 9t t+ t + + t 4t 8 ( t ) t+ t t+ t + + t t ( t ) + + 的最小值 4 a + tb 的最小值 4 a + tb 的最小值 a + tb 的最小值 a + tb
15 4- 向量的內積與夾角 向量的內積與夾角 : () 設兩個非零向量 a 和 b 的夾角為 θ ( θ 8 ) 當 a 和 b 同向時 θ 當 a 和 b 反向時 θ 8 當 a 和 b 互相垂直時 θ 9 當 a 和 b 不平行時 將 a 和 b 平移至始點重合才有夾角 θ 且 < θ < 8 a a a b b b 且其夾角為 θ 則 a 和 b 的內積 設 ( ) ( ) () 向量的內積 : a b a b cosθ ab + ab 老師講解學生練習 b 試依下列條件 求 a b 設 a 設 a b 6 b 試依下列條件 求 a () a 和 b 的夾角為 () a 和 b 方向相反 () a b a b cos () a b a b cos8 ( ) () a 和 b 的夾角為 () a 和 b 方向相同 利用 a b a b cosθ () a a 4 a a a 6 cos () 6 cos a
16 第 4 章向量 老師講解學生練習 如圖 求 : () AB AC () BA CB () AB AC () BA CB AB AC cos A cos ( ) BA BC BA BC BA BC cos B cos 6 如圖 求 : () AB AC () BA CB () AB AC AB AC cos A BA ( BC) () BA CB BA BC BA BC cos B 9 老師講解學生練習 設 a ( ) b ( ) c ( 4 ) () a + b c () a b () a b ( ) ( ) ( ) () a + b 求 : + ( ) + ( ) ( + + ) ( 4) a + b c ( 4) ( 4 ) 4 4 ( ) + 4 設 a ( ) b ( 4) () a b () a + b a b () a b 求 : ( ) ( 4) ( 4) + ( ) () a + b ( ) + ( 4) ( ) ( ) ( 4) ( 6 4) a b 所求 ( ) ( 6 4) 6+ ( ) ( 4)
17 4 4 老師講解 設 a b 4 學生練習 4 且 a b 6 求 a 和 b 設 a 6 b 6 且 a b 6 求 a 的夾角 設 a 和 b 的夾角為 θ a b a b cosθ 6 4 cosθ cosθ θ 6 和 b 的夾角 設 a 和 b 的夾角為 θ a b a b cosθ cosθ cosθ θ 老師講解學生練習 設 A ( ) B ( 7) ( 94) 數 AB AC 如圖 令 BAC θ AB ( 4) AB + 4 AC ( 7) AC 7 + 又 ( )( ) C 求 BAC 的度 利用 AB AC AB AC cosθ 可得 cosθ cosθ θ 4 b ( ) 設 a ( ) 角 θ a + ( ) b + a 利用 ( ) ( ) ( ) + b a b a b cosθ 可得 cosθ cosθ θ 求 a 和 b 的夾
18 第 4 章向量 向量的平行與垂直 : 設 a ( a a ) b ( b b ) a a () a // b b () a b a b b 6 老師講解學生練習 6 設 A( 4) B ( 6) C( x ) () 若 AB// AC 求 x 值 () 若 AB AC 求 x 值 AB ( ) ( x 7) AC + () AB// AC AB// AC x x () AB AC AB AC AB AC ( x ) x 設 OA ( ) OB ( ) 求 OC 設 OC ( xy ) OC OB BC // OA OC OB x+ y 若 OC OB BC OC OB ( x+ y ) 且 BC // OA x+ y x y+ 7 由 知 x 4 y 7 OC ( 47) 且
19 6 內積的性質 : () a a a () a b b a + + (4) ra b a rb r a b () a b c a b a c 7 老師講解學生練習 7 設 a 設 a b 4 b 且 a 和 b 的夾角為 6 a b a b cos6 求 a + b a + b a + a b + b a + b 9 求 a b a b a b cos 且 a 和 b 的夾角為 4 6 a b a a b + b ( ) ( ) a b 8 老師講解 設 a 學生練習 8 b 且 a 和 b 的夾角為設 a b a 和 b 垂直 求 的長度 求 a b a b a b cos a b 4 a a b + 9 b ( ) a b 4 a + b a b a b a + b a + 4 a b + 4 b a + b
20 第 4 章向量 7 9 老師講解學生練習 設 a b c 7 且設 a b a + 9 b 求 a 和 a + b + c 求 a 和 b 的夾角 θ a + b + c a + b c a + b c a + a b + b c + a b + 7 a b a b cosθ cosθ cosθ θ 6 b 的夾角 θ a + b ( ) a a b b + a b + a b a b cosθ cosθ cosθ θ 內積的應用 : 設 a b 均不為 () 正射影 : a 在 b 上的正射影為 a b b b () 三角形面積 : 以 a b 為兩鄰邊所決定 三角形的面積為 a b a b
21 8 老師講解學生練習 設 a ( ) b ( 4) () 正射影 () 正射影長 a b () 所求 b b 求 a 在 b 上的 又 a b + 4 b 所求 ( ) ( ) () 所求 ( ) 承老師講解 求 b 在 a 上的 () 正射影 () 正射影長 b a () 所求 a a 又 a + 所求 4 ( ) ( ) ( ) () 所求 ( 4) ( ) ( ) 4 + 老師講解學生練習 設 A( 4) B ( ) ( ) 積 ABC AC 又 AB ( ) C 求 ABC 面 面積 AB AC AB AC ( 6 7) AB + ( ) AC ( ) AB AC 6+ 7 所求 8 ( ) ( ) 設 A ( ) B( ) C ( 4) ABCD 的面積 AB AC ( 4 4) ( ) ( ) AB AC ( ) + AB AC ABC 6 面積 求平行四邊形 ( ) ( ) AB AC AB AC 6 4 故所求 ABC 面積 8
22 第 4 章向量 9 進階題 老師講解學生練習 AC BD 如圖 AC BD AB+ BC BC + CD BC + AB BC AB BC BC + BC AB + AB BC + AB AB 平行四邊形 ABCD 中 設 AB BC 則 BC AB 6 AC DB 如圖 AC DB AB+ BC DC + CB AB+ BC AB BC 平行四邊形 ABCD 中 設 AB 4 BC 7 則 AB BC 4 7 老師講解學生練習 () AB AC AB AC cos A ABC 中 設 AB 4 BC CA 6 則 () AB AC () AB BC () BA BC BA BC cos B ABC 中 設 AB BC 6 CA 7 則 () BA BC () CB AC () AB BC BA BC BA BC cos B () CB AC CB CA CB CA CB CA cosc
23 老師講解學生練習 等腰梯形 ABCD 中 設 AD// BC AB CD BC AD 若 E F 分別為 AD CD 中點 則 EF BD 如圖 建立坐標系 令 B ( ) ( ) D E C ( 4 ) F 為 CD 中點 ( 4 ) EF BD 4+ 設 u 為兩非零向量 若 且 θ 為 u 和 的夾 u u + t u + ( t) 角 則 cosθ 令 u u + t > 可知 4 u + u + 9 4t ( ) 4 t + t t cosθ + 9 t 4t 4t cosθ t 7 cosθ 8 如圖 設 AB CE 且 四邊形 ABCD CEFG 均為正 方形 求 AF DE + BG 建立坐標系 令 A ( ) B ( ) D ( ) DE ( ) BG ( ) DE BG E ( 4) F ( 44) G ( 4) AF ( 44) + ( + + ) ( 44) AF DE + BG 老師講解學生練習 4 設 a b 且 a + b a b 求 a 和 b 的夾角 令 a b t > a 和 b 的夾角為 θ a + b a b a + b ( ) a b a + a b + b a a b + b t + t t cosθ + t ( t t t θ t ) cos + 8t cosθ 4t θ 6 cosθ
24 第 4 章向量 4-4 點到直線的距離 點到直線的距離公式 : 設點 ( ) P x y 直線 L : ax+ by+ c 則 P 到 L 的距離 ( ) d PL ax + by + c a + b 老師講解學生練習 求點 ( ) 離 P 到直線 L :x+ y 的距 ( ) d PL ( ) + + 求點 ( ) P 到直線 L : x y+ 的距離 ( ) ( ) + d PL ( ) + 老師講解學生練習 4 到直線 L : y x 的距離 4 L : y x 4x y 4 d PL 4 + 求點 P ( ) ( ) ( ) x y 到直線 L : + 的距離 4 x y L : + x+ 4y 6 4 求點 P ( ) d( PL) 老師講解學生練習 若點 ( ) P k 到直線 L :6x+ 8y 7 的距離為 求 k? d( PL ) k k 或 4 若點 ( ) P 到直線 L : x y+ k 的距離為 求 k? d( PL ) ( ) +k ( ) + k 或
25 二平行直線的距離公式 : 設兩平行線 L : ax+ by+ c 與 L : ax+ by+ c 則 L 與 L 之間的距離 ( ) d L L c c a + b 4 老師講解學生練習 4 求兩平行線 L :x 4y+ 與 L :x 4y 8 之間的距離 ( ) ( ) 8 d L L ( ) + 4 求兩平行線 L : x+ y 與 L : x+ y+ 之間的距離 d( L L) 4 + 老師講解學生練習 求兩平行線 L :x+ y 與 L :6x+ y+ 7 之間的距離 L :6x+ y L :6x+ y+ 7 7 d( L L) 6 + 求兩平行線 L :7 x 4 y 與 L :7x 4y 之間的距離 L :7x 4y L :7x 4y d( L L ) ( ) ( ) 老師講解學生練習 6 若兩平行線 L :x+ 4y+ k 與 L :x+ 4y 6 之間的距離為 求 k? ( ) k ( 6) d L L + 4 k 9或 若兩平行線 L : x+ y 與 L :x+ y+ k 之間的距離為 求 k? L :x+ y 6 L :x+ y+ k ( ) d L L 6 k + k 或
26 第 4 章向量 角平分線方程式 : 兩直線 L ax by c 角平分線方程式為 : + + 與 L : ax + by + c 交角的 ax+ by+ c ax+ by+ c ± a + b a + b 7 老師講解學生練習 7 求兩直線 L : x y 7 與 L :x y+ 6 交角的角平分線方程式 x y 7 x y+ 6 ± + + ( ) ( ) x y 7 x y+ 6 ± x+ y+ 或 x y 求兩直線 L :x 4y 與 L :8x+ 6y+ 交角的角平分線方程式 x 4y 8x+ 6y+ ± ( ) x 4y ± 8x+ 6y+ x+ 4y+ 9 或 4x y+ 綜合練習 表挑戰題 4-. 設 P( 7) Q( 9) () PQ ( ) 則 () PQ () PQ 的方向角為. 設 PQ ( 7) () 若 P 點坐標為 ( ) 則 Q 點坐標為 ( 8 ) () 若 Q 點坐標為 ( 6 ) 則 P 點坐標為 ( ). 設 A( ) B( x ) C ( 6) D( x) 若 AB CD 則 x 8 4. 平行四邊形 ABCD 中 若 A ( ) B( x ) C( 4 y ) ( 4) y D 則 x
27 4. 設 ABC 之三邊 AB BC CA 中點分別為 P ( ) Q( ) R( 4) ( 8 ) 4-6. 平行四邊形 ABCD 中 設 a AB b () AC a + b () BD a + b 7. 正六邊形 ABCDEF 中 設 a AB () FA a b () AE a + b AD 試以 a b 表示 b BC 試以 a b 表示 則 8. ABC 中 D 為 BC 上一點 且 BD :CD : 若 AD mab+ nac m n ( ) AB CD ( 6 67 ) ( ) ( ) a b ( 4) c 則 x 4 α + β 則 α b u u + c a 則 u a + b 47 a b ( 4) 9. 設 A ( 6) B( 4) C ( ) D ( 7) () AB+ CD () 4 () AB+ BC + CD (4) AB+ BC + CD+ DA. 設 ( ) () 若 b x i + y j () 若 c a b () 若 則 則 A 點坐標為 ( ) y ( 其中 i ( ) j ( ) 8 8 β. 若 ( ) 則 a ( ) b ( ). ABC 中 AB ( 86) BC ( ) 則 ABC 的周長為 7. ABC 中 若 AB ( x+ 4) BC ( 89) CA ( y ) y 4. 下列各向量何者為單位向量? (A)( ) (B) 答 : C (C) (D)( ) ) + 則 x 4
28 . 設 a ( 4) 則 第 4 章向量 () 和 a 同向 長度為 的向量為 ( 9) () 和 a 反向 長度為 的向量為 () 和 a 同向的單位向量為 6. 設二點 A( ) ( ) B 且 AP : BP : () 若 P 點在 AB 上 則 P 點坐標為 4 9 () 若 P 點在 AB 的延長線上 則 P 點坐標為 ( 8 ) 7. 如圖 AP: PB : OC: CB : 設 CP roa+ sob 則 r s 4-8. 設正 ABC 的邊長為 求 : () AB AC () BC CA. a ( 4 ) b ( ) AB DC + AG GB 9. 正六邊形 ABCDEF 的邊長為 中心 G 則 則 () a b () a 和 b 的夾角為. ABC 中 設 A( ) B ( 4) C ( 6 ) 則 () AB AC () A. 設 a ( ) b ( ) c ( 8) 則 t 則 t () 若 a // b + tc () 若 a b + tc 7 OA OB ( ) 若 OC OB. 設 ( ) BC // OA 則 OC 為 a 和 b 的夾角為 6 則 4. 設 a 4 b 6 () a + b a 4 b () a b 7
29 6. 設 a b a b 7 則 7 () a 和 b 的夾角 θ 為 6 () a + b 6. 設 a + b a b 則 a b 4 7. 右圖中的網格為二組兩兩平行的直線組合 且每小格都是邊長為 的菱 形已知 a b 則 AB CD 為 8. 已知 a 4 b c 且 a + b + c 則 為 () a b 為 a 與 b 的夾角為 則 a () a + b + c 9. 已知 a b. 設 a ( 4) b ( ) 則 () a 在 b 上的正射影為 ( ) () 以 a b 為相鄰兩邊的三角形面積為 + tb 的最小值為 4-4. 若點 ( ) P 與直線 L :x y+ k 之距離為 則 k 4或 48. 設 x y 滿足 x 4y. 已知 A ( 4) ( ) + 則 ( x ) ( y ) + 之最小值為 B 若直線 L: x y+ 交 AB 於 P 則 AP: BP 4: 4. 兩平行線 : x y x y L + 與 L : + + 的距離為 6 4. 與 x 4y+ 平行且相距 的直線方程式為 x 4y 4 或 x 4y 兩直線 L : x y 7 和 L :7x+ y 交角的角平分線方程式為 x+ 6y+ 或 x 4y 7 66
30 第 4 章向量 7 4- ( B ). 設 A( 9) ( ) 考古觀摩題 與向量 u ( ) B xy 為平面上相異兩點若向量 AB 同方向且 AB 6 則 x 4y (A) (B) 9 (C) 9 (D) [ 統測數 (C)] ( A ). 已知 a ( + x4) b ( 4 ) c ( y) 且 a + b c ( ) 之值為何? (A) (B) (C) (D) 則 x+ y [ 統測數 (B)] ( A ). 已知平面上五個點 A 4 B 4 C D E 4 4- 求 m n 若向量相加 AB+ BC + CD+ DE ( mn ) (D) ( D ) 4. 在坐標平面上 點 A B C 的坐標分別為 ( k ) ( ) ( ) 之值 (A) (B) (C) [ 統測數 (B)] 若向量 AC 與向量 BC 的內積為 則 k (A) (B) (C) (D) [96 統測 ] a b c 且 a b 6 則 a c ( D ). 設 a b c 為平面上的三個向量 若 9 (A) 6 (B) 7 (C)8 (D)9 [97 統測 ] ( C ) 6. 設 u 為平面上的兩個單位向量 若其內積為 則 u 與 的夾角為何? (A) (B) 4 (C)6 (D)9 [97 統測 ] ( A ) 7. 設 a ( ) b ( ) 與 c ( k) 是平面上的三個向量 若 則 k (A) (B) (C) (D) a + b a b + c 7 ( A ) 8. 設 a ( 4) b ( xy ) 為平面上兩向量 且 x 最大值為何? (A) (B) (C)4 (D)6 的 [98 統測數 (B)] + y 4 則此兩向量內積 a b [98 統測數 (C)] ( A ) 9. 在 ABC 中 若 D 為線段 BC 的中點 且 AB 9 AC 則向量內積 AD BC (A) 8 (B) 4 (C)4 (D) 8 [99 統測數 (C)] ( C ). 已知兩向量 a b 互相垂直若 a 4 a + b 則 b (A) (B) (C) (D) 4 [ 統測數 (C)]
31 8 ( B ). 已知向量 u 的長度為 向量 的長度為 且 u 兩向量夾角為 π 則向量 u + 的長度為何? (A) (B) (C) (D) [ 統測數 (B)] u a a w 則下列敘述何者正確? ( B ). 設向量 ( ) ( ) ( ) ( A ). 設 ABC 與 w 平行 則 則 (A) 若 u + a (B) 若 u + w a (C) 若 u + 則 a (D) 若 u + w 則 a [ 統測數 (C)] 是邊長為 9 的正三角形 求 AB 與 BC 兩向量的內積 (C) 4 (D)8 a 4 向量 b // a 且 a b 則 a + b ( A ) 4. 設向量 ( ) 4-4 (C) 6 (D)8 8 (A) (B) 8 [ 統測數 (A)] (A) (B) 4 [ 統測數 (C)] ( C ). 已知直線 L :x 4y L :x y L : x+ y+ 求 L 和 L 之交 點到直線 L 之距離為何? (A) (B) (C) (D) 4 ( C ) 6. 設點 A 坐標為 ( ) [99 統測數 (B)] 且 B C 兩點在直線 L :x 4y 上 若線段 BC 的長為 則 ABC 的面積為何? (A) (B) (C) (D) 6 [ 統測數 (A)] ( D ) 7. 設直線 L 的斜率為 且通過點 ( 4) 敘述何者正確? (A) L 與 L 平行且兩線相距 又直線 L 的 x y 軸截距分別為 則下列 L 相交於點 ( 8) (B) L 與 (D) L 與 L 平行且兩線相距 6 L 相交於點 ( 4 6) (C) L 與 [ 統測數 (C)] ( A ) 8. 設兩直線 L :x+ y 4 與 L : x+ y 4 則 L 與 L 交角為銳角的角平分線方程 式為何? (A) x+ y (B) x y (C)x+ y (D)x y ( B ) 9. 已知直角坐標平面上有三點 A ( ) B( ) C( 7) (A) (B) (C) (D) 4 ( B ). 已知 L L 為與直線 x+ 4y 平行的二直線若 [ 統測數 (C)] 求點 A 到直線 BC t 的距離 L 過點 ( 9) 則此二平行線間的距離為何? (A) (B) 6 (C) 48 (D) 6 [ 統測數 (B)] L 過點 ( ) [ 統測數 (C)]
向量的意義 4 向量 向量的意義 : (1) 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段, 稱為向量 AB (2) 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ), 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同, 則稱此 (3) 向量的相等 : 若向量
98 4- 向量的意義 4 向量 向量的意義 : () 向量的定義 : 由始點 A 向終點 B 連成的有向線段 稱為向量 AB () 向量的長度 : 向量 AB 的長度 ( 即 AB 的長度 ) 以 AB 表之 和向量 CD 的長度相等 方向相同 則稱此 () 向量的相等 : 若向量 AB 兩向量相等 以 AB CD 表之 (4) 零向量 : 始點和終點為同一點的向量稱為零向量 以 表之 零向量的長度為
ok331 向量的幾何表示法
ok 平面向量的幾何表示法 ok 平面向量的幾何表示法 主題一 向量的幾何表示法. 將線段 AB 的 B 點處畫一箭號表示方向,像這種帶有箭頭 的線段,稱為從 A 點到 B 點的有向線段,記作 AB,其中 A 點稱為有向線段 AB 的始點, B 點稱為它的終點. AB 的 長度稱為有向線段 AB 的長度,以 AB 表示.. 我們用有向線段來代表向量,而且有向線段的方向 代表向量的方向;有向線段的長度代表向量的大小..
B3C1
- B(. AB. A( ( 3. AA PP 0 a a a 4. ( 5. Ex. ABCDEF Ans8305 Ex. ABCDE Ans00. a+ b a+ b b. a+ b = b + a a b a ( a+ b + c = a+ ( b + c a+ 0= a = 0+a a + ( a = 0 = ( a + a b a b 3. a b = a+ ( b a 4.(P AB =
3 = 90 - = 5 80 - = 57 5 3 3 3 = 90 = 67 5 3 AN DE M DM BN ABN DM BN BN OE = AD OF = AB OE= AD=AF OF= AB=AE A= 90 AE=AF 30 BF BE BF= BE= a+b =a+ b BF=BC+CF=a+CF CF= b CD=b FD= b AD= FC DFC DM=
2 2 12 12 4 81 = 108 3 2 108 = 72 3 4 72 = 96 3 2 96 = 64 3 12 t = 2 1 2 11 12 12 12 2 l 2 l 2 l 2 12 ò ED = CB DA BA DE
1 2 / 3 1 A (2-1) (2-2) A4 6 A4 7 A4 8 A4 9 A ( () 4 A4, A4 7 ) 1 (2-1) (2-2) ()
(39mm E-Mail ( )( ), : : 1 1 ( ) 2 2 ( ) 29mm) WSK ( 1 2 / 3 1 A4 2 1 3 (2-1) 2-1 4 (2-2) 2-2 5 A4 6 A4 7 A4 8 A4 9 A4 10 11 ( () 4 A4, 5 6 7 8 A4 7 ) 1 (2-1) (2-2) () 1 2 (2-1) 3 (2-2) 4 5 6 7 (8 ) 9
4 / ( / / 5 / / ( / 6 ( / / 7 1 2 / 3 ( 4 ( 2003 8 ( 2
: / ( 6 (2003 8 : ( 1 ( ( / / (,, ( ( - ( - (39mm 29mm 2 ( 1 2 3-6 3 6-24 6-48 12-24 8-12 WSK / WSK WSK 1 4 / ( / / 5 / / ( / 6 ( / / 7 1 2 / 3 ( 4 ( 2003 8 ( 2 9 5 ( 10 3 11 / (600 4 5 AA 710 AB 720 730
Microsoft Word - 第3章_99_.doc
- 平面向量的基本運算 第三章平面向量 第三章平面向量 0 甲 向量的表示法 乁重點整理乁 一 幾何表示法 有向線段 : 如圖 帶有箭頭的線段稱為從 A 點到 B 點的有向線段, 以 表示 A 稱為始點,B 稱為終點 為有向線段, 的長度以 表示, 即 AB= 向量的定義 : 具有大小和方向的量就稱為向量 我們以有向線段來表示向量, 其方向為向量之方向, 長度為向量之大小 向量 :A 為始點,B 為終點,
a( a 0) a a( a 0) a = a ( a) = a a( a 0 ) a = a( a ) 0 a = a 4 f x 1 = x a ai a R sinx + a b ab sin x sinx = sinx sin x = 4 y = sinx + sinx - ysinx 4 = 0 sinx sinx x - 3 3= x x- 3 - x- 3 = 0
= 3 + 1 7 = 22 7 3.14 = 3 + 1 7 + 1 15 +1 = 355 3.1415929 113 221221221221 136136136136 221000000000 221000000 221000 221 = 136000000000 136000000 136000 221 1000000000 1000000 1000 1 = 136 1000000000
50~56 I1. 1 A 2 3 I2. I2a. 1 2 3 4 5 ( ) I2b. 1 2 3 I2b1. 4 5 ( ) I3. 11 12 02 ( ) 1 2 (24 ) A1. 0 1 A2 A1a. ( ) A2. ( ) () () ( ) ------------------------------------------------------------------------------------------
遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
数 学 高 分 的 展 望 一 管 理 类 联 考 分 析 第 一 篇 大 纲 解 析 篇 编 写 : 孙 华 明 1 综 合 能 力 考 试 时 间 :014 年 1 月 4 日 上 午 8:30~11:30 分 值 分 配 : 数 学 :75 分 逻 辑 :60 分 作 文 :65 分 ; 总
目 录 数 学 高 分 的 展 望... 1 第 一 篇 大 纲 解 析 篇... 1 一 管 理 类 联 考 分 析... 1 二 最 新 大 纲 解 析... 1 三 考 前 复 习 资 料 及 方 法... 第 二 篇 总 结 篇... 4 1 应 用 题 考 点 总 结 与 技 巧 归 纳... 4 代 数 模 块 题 型 归 纳 及 考 点 总 结... 9 3 数 列 模 块 题 型 归
( m+ n) a 6 4 4 4 4 7 4 4 4 48 m n m+ n a a = a 4 a 4 3 a a 4 a 4 3 a = a 4 a 4 4 a 4 == 3 = a ma na ( m+ n) a A 0 a m a n m n a m+n 0 B a m a n m n m>n a m-n C 0 (a m ) n m n a mn D (ab) n n a n b n (
例 009 年高考 全国卷Ⅱ 理 8 如 图 直 三 棱 柱 ABC ABC 中 AB AC D E 分 别为 AA BC 的中点 DE 平面 BCC 证明 AB AC 设二面角 A BD C 为 0o 求 BC 与平面 BCD 所 成角的大小 图 - 略 证明 以 D 为坐标原点 DA DC DD
Education Science 教育科学 平面法向量在解立体几何题中的应用探究 梁毅麟 恩平市华侨中学 广东江门 59400 摘 要 几何发展的根本出路是代数化 引入向量研究是几何代数化的需要 随着平面法向量这个概念在新教 材的引入 应用平面法向量解决立体几何中空间线面位置关系的证明 空间角和距离的求解等高考热点问题的方法 更具灵活性和可操作性 其主要特点是用代数方法解决几何问题 无需考虑如何添加辅助线
1 V = h a + ab + b 3 = 1 = 1 + = + = BAC Quod erat demonstrandum Q E D AB p( EF) p = = AB AB CD q( EF) q p q 1 p q, EF = ED BF G G BG = FG EH a = b + c a - b = c FG = BG = HG = a EF = FG - EG = a - b
<4D6963726F736F667420576F7264202D20C1E3B5E3CFC2D4D8C4A3B0E52E646F63>
历 年 MBA MPAcc 联 考 数 学 真 题 及 答 案 详 解 (009-0) 009 年 月 MBA 联 考 数 学 真 题 及 答 案 详 解 一 问 题 求 解 ( 本 大 题 共 小 题, 每 小 题 分, 共 分 下 列 每 题 给 出 的 五 个 选 项 中, 只 有 一 项 是 符 合 试 题 要 求 的 请 在 答 题 卡... 上 将 所 有 选 项 的 字 母 涂 黑 ).
標準 BIG 中文字型碼表 A 0 9 Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ 一 乙 丁 七 乃 九 了 二 人 儿 入 八 几 刀 刁 力 匕 十 卜 又 三 下 丈 上 丫 丸 凡 久 么 也 乞 于 亡 兀 刃 勺 千 叉 口 土 士 夕 大 女 子 孑 孓 寸 小 尢 尸 山 川 工 己 已 巳 巾 干 廾
標準 BIG 中文字型碼表 A 0 9 Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｂ Ｃ Ｄ ± Ｅ Ｆ A 0 9 Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ 兙 兛 兞 兝 兡 兣 嗧 瓩 糎 0 Ｂ 9 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ｃ Ⅷ Ⅸ Ⅹ 〡 〢 〣 〤 〥 〦 〧 〨 〩 十 卄 卅 Ｄ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ Ｉ Ｊ Ｋ Ｌ Ｍ Ｎ Ｏ Ｐ Ｑ Ｅ Ｒ Ｓ Ｔ Ｕ Ｖ Ｗ Ｘ Ｙ Ｚ ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ｇ Ｆ ｈ ｉ
ok313 正餘弦定理
1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 BC 三內角 表示 BC 的面積則 1 1 1 bcsin ca sin B absin C B 和 C 的對邊長 例題 1 在 BC 中已知 B 10 C 8 10 求 BC 的面積 ns: 0 3 1 1 BC 面積 B C sin 108sin10 0 3 Show xes Show 底 10 Show 底 8 C 8 10 10 B 類題
民 國 105 年 大 專 程 度 義 務 役 預 備 軍 官 預 備 士 官 考 選 簡 章 目 錄 壹 考 選 依 據 1 貳 考 ( 甄 ) 選 對 象 1 參 資 格 規 定 1 肆 員 額 及 專 長 類 別 2 伍 報 名 及 選 填 志 願 日 期 方 式 3 陸 選 填 官 科 (
民 國 105 年 大 專 程 度 義 務 役 預 備 軍 官 預 備 士 官 考 選 期 程 表 日 期 執 行 項 目 3 月 1 日 (8 時 起 ) 至 3 月 21 日 (17 時 止 ) 網 路 報 名 並 完 成 列 印 3 月 22 日 (17 時 止 ) 各 校 承 辦 人 員 收 報 名 件 截 止 3 月 30 日 4 月 11 日 5 月 18 日 5 月 27 日 (17
2 1 = 1 2 AOB AOB = 2 2 AB CD CD AB O AB CD O AOC = BOC = 1 2 AOB AOC = BOC = 1 2 AOB OA = OB = = AOC BOD SAS = OA = OB = 1 2 c = a + b - 1 2 4 ab = a + b 2 2 2 2 1.
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民國八十九年台灣地區在校學生性知識、態度與行為研究調查
84 年 台 灣 地 區 在 校 學 生 性 知 識 態 度 與 行 為 研 究 調 查 過 錄 編 碼 簿 題 號 變 項 名 稱 變 項 說 明 選 項 數 值 說 明 備 註 i_no 學 生 編 號 問 卷 流 水 號 location 學 校 所 在 縣 市 編 號 1 台 北 市 2 基 隆 市 3 台 中 市 4 台 南 市 5 高 雄 市 6 新 竹 市 7 嘉 義 市 21 宜 蘭
x y 7 xy = 1 b c a b = x x = 1. 1 x + 17 + x 15 = 16 x + 17 x 15 + 17 15 x + 17 - x 15 = (x x ) ( ). x + 17 + x 15 x + y + 9 x + 4 y = 10 x + 9 y + 4 = 4xy. 9 4 ( x + ) + ( y + ) = 10 x y 9 ( x + )( ).
SIK) 者, 需 實 施 1 年 以 上, 經 體 格 檢 查 無 後 遺 症 者 5. 身 體 任 何 部 分 有 刺 青 紋 身 穿 耳 洞 者, 不 得 報 考, 各 項 檢 查 結 果 須 符 合 體 位 區 分 標 準 常 備 役 體 位 二 在 校 軍 訓 成 績 總 平 均 70 分
民 國 102 年 大 專 程 度 義 務 役 預 備 軍 官 預 備 士 官 考 選 簡 章 壹 依 據 : 依 民 國 102 年 大 專 程 度 義 務 役 預 備 軍 官 預 備 士 官 考 選 計 畫 辦 理 貳 考 ( 甄 ) 選 對 象 : 具 中 華 民 國 國 籍, 尚 未 履 行 兵 役 義 務 之 役 男, 年 齡 在 32 歲 ( 民 國 70 年 1 月 1 日 以 後 出
( ) Wuhan University
Email: huangzh@whueducn, 47 Wuhan Univesity i L A TEX,, : http://affwhueducn/huangzh/ 8 4 49 7 ii : : 4 ; 8 a b c ; a b c 4 4 8 a b c b c a ; c a b x y x + y y x + y x x + y x y 4 + + 8 8 4 4 + 8 + 6 4
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A A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D B C D F G I J A A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D A B C D
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高二立體幾何
008 / 009 學 年 教 學 設 計 獎 勵 計 劃 高 二 立 體 幾 何 參 選 編 號 :C00 學 科 名 稱 : 適 用 程 度 : 高 二 簡 介 一 本 教 學 設 計 的 目 的 高 中 立 體 幾 何 的 學 習 是 學 生 較 難 理 解 而 又 非 常 重 要 的 一 個 部 分, 也 是 高 中 教 學 中 較 難 講 授 的 一 個 部 分. 像 國 內 的 聯 校
He becamea good doctor.. 3 He was a good doctor. ( ). The days get shorter.. 4 The days are shorter.. 102 51 17 1,,. 41 20 7 Θ 102 102 51 102 17 102 51 102 17 =, =, = > > 41 41 20 40 7 42
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CIP ) / :,2006.2 ISBN 7-80702 - 113-6..........G.206 CIP (2006)080133 :8501168mm 1/ 32 : 120 :2000 2006 3 1 : 5000 ISBN 7-80702 - 113-6/ G206 : 348.00 (16 ) ,?, :,,,,,,,,,!,?,,,,,,?,, ,,,,,,,,,,,,,,,!,!,!
2 1 = 1 AOB = 22 2 AB CD CD AB O AB CD O AOC = BOC = 1 AOB 2 AOC = BOC = 1 AOB 2 OA = OB = = AOC BOD SAS = OA = OB = 1 2 c = a + b- 1 2 2 2 2 4 ab = a + b 2 1.
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第 一 章 數 與 坐 標 系 大 學 聯 考 試 題 與 推 薦 甄 選 試 題 第 一 類 大 學 入 學 甄 試 試 題 評 量 1. 下 列 何 者 是 2 100 除 以 10 的 餘 數? (1) 0 (2) 2 (3) 4 (4) 6 (5) 8 88 年 2. 一 個 正 三 角 形 的 面 積 為 36, 今 截 去 三 個 角 ( 如 右 圖 ), 使 成 為 正 六 邊 形,
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2016 160 8 14 8:00 14:00 1 http://zj.sceea.cn www.sceea.cn APP 1 190 180 2 2 6 6 8 15 2016 2016 8 13 3 2016 2016 2016 0382 2 06 1 3300 14 1 3300 0451 5 01 2 7500 02 2 7500 05 ( ) 1 7500 1156 4 15 2 15000
4
練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
遞迴數列
- 空間中的直線方程式 目標 i) 能以參數式或比例式表示出坐標空間中的直線 並能處理直線與直線 直線與平面的關係 ii) 除 i) 之教材外 再進一步能處理點到直線的距離 兩平行線之距離 以及兩歪斜線的距離 討論. 在坐標空間中 設 O 是原點 當 d m n) 是直線 的一個方向向量 且 A ) 是 上一個定點時 動點 P ) 在直線 上的充要條件是 AP d 其中 是一個實數 如圖所示 於是
就 构 成 了 盗 窃 罪 与 破 坏 交 通 设 施 罪 的 想 象 竞 合, 按 照 其 中 处 罚 较 重 的 犯 罪 处 罚 5. 答 案 :B 本 题 主 要 考 察 如 何 区 分 收 买 被 拐 卖 的 妇 女 儿 童 罪 与 拐 卖 妇 女 儿 童 罪 的 共 犯 问 题 ( 对 向
新 东 方 全 国 法 律 硕 士 ( 非 法 学 ) 联 考 模 拟 考 试 专 业 基 础 课 答 案 解 析 一 单 项 选 择 题 1. 答 案 D 本 题 主 要 考 查 刑 法 分 则 中 关 于 亲 告 罪 与 非 亲 告 罪 的 规 定 要 注 意 这 些 亲 告 罪 在 有 特 别 的 情 况 下, 是 公 诉 犯 罪 我 国 刑 法 共 规 定 了 5 种 告 诉 才 处 理 的
_題目卷
東大附中國三數學科 :- 練習卷 年 班座號 : 姓名 : 一 單一選擇題. ( ) 如圖, 中, 分別為 上的點, 則下列哪個條件無法推得 //? () : = : () : = : () : = : () : = : 7. ( ) 如圖, 為直角三角形, 且 分別為 的中點, 已知 =, =4, 則 的面積為多少平方單位? () ( ) 8 () 4 () 48. ( ) 如圖, 中, =, =,
考 查 知 识 点 肝 气 疏 泄 调 畅 气 机 的 作 用, 主 要 表 现 在 以 下 几 个 方 面 :(1) 促 进 血 液 与 津 液 的 运 行 输 布 ;(2) 促 进 脾 胃 的 运 化 功 能 和 胆 汁 分 泌 排 泄 ;(3) 调 畅 情 志 ;(4) 促 进 男 子 排 精
2015 年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试 中 医 综 合 科 目 试 题 解 析 一 A 型 题 :1~80 小 题, 每 小 题 1.5 分, 共 120 分 在 每 小 题 给 出 的 A B C D 四 个 选 项 中, 请 选 出 一 项 最 符 合 题 目 要 求 的 1. 提 出 阳 常 有 余, 阴 常 不 足 观 点 的 医 家 是 A 朱 丹 溪 B 刘 完
72 + + 60 2 4. 72 72 2 + 20 2 + 2.4 20 60 60 8 =.4 22 72 2 + 002 + 0.4 20 60 90 =.4 22 2 + 600 0.44 72 + + 60 72.422 + 2.4 20 + 20 2 60 72 =.4 22 2 + 0 20 + 40 60 72 =.4 40 + 600 + 600 60 72 =.400 + 600
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05 年 入 学 MBA 联 考 综 合 试 卷 参 考 答 案 及 详 解 说 明 : 由 于 05 年 入 学 MBA 联 考 试 题 为 一 题 多 卷, 因 此 现 场 试 卷 中 的 选 择 题 顺 序 及 每 道 题 的 选 项 顺 序, 不 同 考 生 有 所 不 同 请 在 核 对 答 案 时 注 意 题 目 和 选 项 的 具 体 内 容 所 有 解 析 来 自 网 络, 仅 供
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https://sites.google.com/site/hysh4math 高中數學講義 1 10 平面向量 10.1 平面向量的表示法 向量 : 包含方向與大小兩種意義 ( 有方向的量 ) 由 A 點到 B 點的有向線段, 記為 線段 AB 的長度, 以 AB 表示 AB, 其中 A 為起始點,B 為終點, 線段 AB 的長度稱為有向 終點 B 向量 零向量 : 始點與終點重合的向量, 記為
2002 2005 11 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1 2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3 3!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6 4!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10 5!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10 6!!!!!!!!!!!!!!!!
目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 相似三角形的應用 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 外心 內心與重心 3-1 推理證明 三角形與多
給同學的話 1.. 內 3. 內 內 目次 3 ONTNTS 1 相似形 上 國民中學數學第五冊習作 表示為仿會考或特招題 1-1 比例線段 3 1- 相似多邊形 8 1-3 相似三角形的應用 13 1 18 圓形 -1 點 線 圓 4 - 圓心角 圓周角與弦切角 9 34 3 外心 內心與重心 3-1 推理證明 40 3- 三角形與多邊形的心 45 3 51 3 1-1 比例線段 本節性質與公式摘要
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ok332 平面向量的座標表示法
1 ok33 平面向量的坐標表示法 主題一 向量的坐標表示法 1 對於任意一個向量 a,必有唯一的一點 A 使得 a OA 此時 A 點的坐標 xy, 就是向量 a 的坐標表示, 即 a x, y,其中 x 和 y 分別稱為向量 a 的 x 分量 與 y 分量且 a OA x y 設 r 為實數,向量 a x, y, b x, y 1 1 (1) a b x x, y y () r a rx, ry
76 數 學 傳 播 9 卷 1 期 民 94 年 月 H G O 共 線 例. 以 直 角 三 角 形 的 每 邊 為 邊 向 外 作 正 方 形, 則 連 結 直 角 邊 上 正 方 形 中 心 的 線 段 和 連 結 斜 邊 上 的 正 方 形 中 心 與 直 角 頂 點 的 線 段 互 相
用 解 析 法 解 決 平 面 幾 何 問 題 優 勢 多 多 胡 紹 宗 平 面 解 析 幾 何 是 中 學 數 學 課 程 的 重 要 組 成 部 分, 它 是 以 坐 標 系 為 工 具, 用 代 數 方 法 研 究 平 面 幾 何 圖 形, 它 不 僅 是 聯 繫 中 學 數 學 各 部 分 知 識 的 紐 帶, 也 是 進 一 步 學 習 高 等 數 學 和 力 學 等 不 可 缺 少 的
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山东2014第四季新教材《会计基础》冲刺卷第二套
2016 年 会 计 从 业 考 试 会 计 基 础 冲 刺 卷 2 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 在 下 列 每 小 题 的 备 选 项 中, 有 且 只 有 一 个 选 项 是 最 符 合 题 目 要 求 的, 请 将 正 确 答 案 前 的 英 文 字 母 填 入 题 后 的 括 号 内, 不 选 错 选 均 不 得 分 ) 1.
CIP. / ISBN Ⅰ.... Ⅱ.... Ⅲ. Ⅳ. G CIP http / /press. nju. edu. cn
CIP. /. 004. 4 ISBN 7 305 0458 7 Ⅰ.... Ⅱ.... Ⅲ. Ⅳ. G64. 505 CIP 004 0798 0093 05 8359693 05 835937 05 83686347 http / /press. nju. edu. cn nupress@public. ptt. js. cn 787 09 /6. 5 85 004 5 ISBN 7 305 0458
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CIP / 005 ISBN 7-30-08496-X Ⅰ Ⅱ Ⅲ - - Ⅳ G634 603 CIP 004 353 ISBN 7-30-08496-X/G 380 0087 http / /cbs pku edu cn 67505 58874083 67656 xxjs@pup pku edu cn 675490 787 09 6 4 75 383 005 005 9 00 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
序：
序 言 当 接 到 燕 姿 老 师 的 序 言 邀 请 时, 还 是 有 点 受 宠 若 惊 的, 虽 说 这 套 书 是 我 一 点 点 看 着 燕 姿 老 师 编 写 的, 也 知 道 它 的 妙 用 及 优 势 但 是 如 何 写 点 推 荐 的 东 西 还 是 有 些 愁 人, 毕 竟 感 觉 大 家 不 怎 么 看 序 言, 而 且 我 不 太 擅 长 忽 悠 思 来 想 去 莫 不 如
97 04 25 0970002232 97 12 31 1-7 1 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 24 A1. 0 1 ( 6 ) 2 ( 6 ) 3 4 A1a.? 5 6 0 1 A1b.? 0 1 2 A2. 0 1 A2b. A2c. A2a. A2d. 1 A3. 1 A4 2 0 A4 A3a.?? 0 A4 1 A3b. 0 A4 1 A3c.?? 1
第十一單元(圓方程式)
第一章 ( 圓方程式 ) cos ( ). 下列何者為圓 y 6 y =0 的參數式? (A) sin cos 6 cos (D) (E) 0 θ
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1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: ABC 面
正餘弦定理 陳清海 老師 1 主題一 三角形面積公式 若 a b 和 c 分別表 ABC 三內角 表示 ABC 的面積則 A 1 1 1 bcsin A casin B absin C. B和 C的對邊長 例題 1 在 ABC 中已知 AB 10 AC 8 A 10 求 ABC 的面積. Ans: 0 3 1 1 ABC 面積 AB AC sin A 10 8sin10 0 3. Show Axes
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) ,,, :,,,,,,, ( CIP) /. :, 2001. 9 ISBN 7-5624-2368-7.......... TU311 CIP ( 2001) 061075 ( ) : : : : * : : 174 ( A ) : 400030 : ( 023) 65102378 65105781 : ( 023) 65103686 65105565 : http: / / www. cqup.
爱学习
2013 中 建 教 育 二 级 建 造 师 建 设 工 程 施 工 管 理 点 题 班 习 题 ( 一 ) 一 单 项 选 择 题 ( 共 70 题, 每 题 1 分, 每 题 的 备 选 项 中, 只 有 1 个 最 符 合 题 意 ) 1 建 设 工 程 项 目 管 理 就 是 自 项 目 开 始 到 完 成, 通 过 ( ) 使 项 目 目 标 得 以 实 现 A 项 目 策 划 和 项 目
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x a b a a a a a a a a x x x x x x x x x x r G A B D A B C D C A M M G G C C C C A G A B C D E F E E E m m A B A B A B Q x x x x x x x x x x x A B
. 雙曲線 y + y = 0 兩頂點的距離為何? 6 (E) 6. 若 log ( ) = + log, 則 =? 或 (E) +. 若 f ( ) =, 且 f ( a) = f ( b) =, 則 f ( a + b) =? 6 8 (E) =. 求 log ( + + )? (E) π 6.
00 學年度四技新生基礎數學第一次測驗. 已知 f () 為一實係數多項式, 且 f ( ) =, f ( ) = 8 若 f () (6 + ) 的餘式為 a + b, 則 b a =? 8 6 (E) 0. 若 α, β 為方程式 + = 0 的兩根, 則 ( + )( + ) =? α β 9 (E). 求 + + 9 =? 8 (E). 若 + = + A B + C + D +, 則 A
比 賽 表 Competition Schedule 報 到 : 比 賽 開 始 前 15 分 鐘 Reporting : 15 minutes before the scheduled time for the match 各 參 賽 隊 伍 必 須 依 照 大 會 編 定 的 出 場 比 賽,
比 賽 表 Competition Schedule 報 到 : 比 賽 開 始 前 15 分 鐘 Reporting : 15 minutes before the scheduled time for the match 各 參 賽 隊 伍 必 須 依 照 大 會 編 定 的 出 場 比 賽, 每 場 賽 事 於 裁 判 召 集 出 場 5 分 鐘 後 仍 未 能 出 場 作 賽 或 參 2016
北京2014年会计从业资格考试《会计基础》备考机试卷一
更 多 内 容 请 查 看 精 品 文 库 网 www.jingpinwenku.com 北 京 2014 年 会 计 从 业 资 格 考 试 会 计 基 础 备 考 机 试 卷 一 1 单 项 选 择 题 ( 下 列 各 题 的 备 选 答 案 中, 请 从 中 选 出 一 个 最 符 合 题 意 的 答 案 本 类 题 共 20 个 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 多 选 错 选
:,,,, ( CIP ) /,. :, ISBN CIP ( 2001) : : 127, : : : ht t p: / / www. nwpup. com : :
:,,,, ( CIP ) /,. :, 2001. 8 ISBN 7 5612 1363 8............. 0342 CIP ( 2001) 027392 : : 127, : 710072 : 029-8493844 : ht t p: / / www. nwpup. com : : 787mm1 092mm : 19. 75 : 480 : 2001 8 1 2001 8 1 :
A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. A. 4 N B. 18 N C. 40 N D N 1
1 1 3 5 5 8 9 9 11 13 14 16 17 17 19 21 23 25 26 26 29 31 32 32 33 34 35 37 38 1 1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. 5. 1 2 3 1. A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. A. 4 N B. 18 N C. 40 N D. 23. 5 N 1 1 2 3 1. A. B. C. D.
C = C + C C = + + C C C C 1 2 3
C = C + C 1 2 3 1 1 1 1 + C = + + C C C C 1 2 3 17 Q = Q = Q C = Q U C 1 1 2 3 C 1 C 2 C 3 U = 1 1 1 U 1 U 2 U 3 = + + C C C 1 2 3 1) A B U A U B U U = AB A B AB G G R = R U = U U = 0 U = 4 B C BC CB C
山东2014第四季新教材《会计基础》冲刺卷第三套
2016 年 会 计 从 业 考 试 会 计 基 础 冲 刺 卷 3 一 单 项 选 择 题 ( 本 题 共 20 小 题, 每 小 题 1 分, 共 20 分 在 下 列 每 小 题 的 备 选 项 中, 有 且 只 有 一 个 选 项 是 最 符 合 题 目 要 求 的, 请 将 正 确 答 案 前 的 英 文 字 母 填 入 题 后 的 括 号 内, 不 选 错 选 均 不 得 分 ) 1.
ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積 體積與行列式 主題一 空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與 的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下
外積體積與行列式 陳清海 老師 ok44 外機體積與行列式 p ok44 外積 體積與行列式 主題一 空間向量的外積. 設 a a, a, a,,,. a 與 的外積定義為向量 a a a a a, a a., 記法:先將 a a, a, a,,, 各寫兩次,再將左右數去掉, 交叉部分所形成的二階行列式值就是 a 的三個分量,如下圖所示. a a a a a a a a a a a a,,. 外積
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( 0178) ( CIP). 1 /. :, 2004. 7 ISBN 7-80153 - 956-7.... G726. 9 CIP ( 2004) 069175 : 1 : : : : : : 2 : 100733 : 010-65369524 65369530 : : : 880mm 1230mm 1 /32 : 2400 : 150 : 5000 : 2006 8 1 2 : ISBN 7-80153
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門 診 醫 療 服 務 點 數 清 單 媒 體 申 報 格 式 及 填 表 說 明 97.5.1 更 新 版 ( 檔 案 名 稱 : DTLFA, 每 筆 長 度 246 BYTES) 項 次 資 料 名 稱 格 式 中 文 名 稱 / 資 料 說 明 ==== ======================== ==== ================================== *01
E. (A) (B) (C) (D). () () () (A) (B) (C) (D) (E). () () () (A) (B) (C) (D) (E). (A)(B)(C) (D) (E) (A) (B) (C) (D) (E) (A) (B)(C) (D) (E). (A) (B) (C)
. (A) (B) (C) (D) (A) (B) (C)(D)(E). (A) (B) (C) (D) (E) (A) (B) (C) (D). (A) (B) (C) (D) (E) (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) (E). (A) (B) (C) (D) (E) (A) (B) (C) (D) (E). (A)
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第三章平面向量 31 平面向量運算在第一章裡, 我們利用 相似三角形 的概念表達三角形邊與角的關係, 建立三角函數, 進而以 三角函數 為工具, 求 長度 角度 面積 等幾何量, 並證明 正弦定理, 餘弦定理以及海龍公式, 用以解決測量的問題 在第二章裡, 我們利用直角坐標系, 將幾何問題經代數運算求解, 再詮釋幾何意義, 如直線的傾斜程度 聯立方程式與直線交點, 以及圓與直線的關係, 進而研究它們的性質
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台北市立陽明高中高二自然組動手動腦 單元 :- 圓的方程式 () 班級 : 座號 : 姓名 : 一 選擇題 ( 題每題 分共 分 ); 第 題為單選題 第 題為多重選擇題 ( ) x y 為實數且滿足 x y 求 x 的 最小值 ()0 () 0 ()7 () 7 有一圓通過點 P 且與 y 軸相切若此圓的半徑為 試求此圓的方程式為 ( 有兩解 ) ( ) 三直線 x y 9 0 x y 0 及 x
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A B C D E F 3 B C D E F A 3 1995 13 27 299 1993 45 29 301 1995 47 5 12 30 6 12 31 67 17 1 1 4 8 00 2 145 1 1 11 12 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + 2 6 12 20 30 42 56 72 1 1 1 1 2 + + + + 1 3 3 5 5 7
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科 別 : 國 文 科 (A 區 ) 分 發 16 名 1 600110129 黃 毅 潔 國 立 豐 原 高 級 商 業 職 業 學 校 2 600110446 鄭 安 芸 國 立 南 投 高 級 中 學 3 600110632 李 孟 毓 桃 園 市 立 大 園 國 際 高 級 中 學 4 600110492 洪 珮 甄 南 投 縣 立 旭 光 高 級 中 學 5 600110262 柯 懿 芝
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Microsoft Word - ZLI14A0-105
105 年 指 考 趨 勢 預 測 歷 史 考 歷 科 史 科 文 / 朱 詩 堯 老 文 師 / 朱 詩 堯 老 師 1 前 言 大 考 中 心 根 據 101 課 綱, 將 指 考 歷 史 科 測 驗 分 為 四 項 可 相 互 依 存 的 指 標 : 基 礎 知 識 文 本 閱 讀 歷 史 解 釋 資 料 證 據, 每 項 指 標 又 將 記 憶 閱 讀 分 析 推 證 等 能 力 納 入 一
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SGNUM * 6, 8 6, 8 6, 8 8 : : : : ( ) Ø22mm 6, 8 6, 8 6, 8 8 : : : : ( ) 7, 10 7, 9 7, 8 : (2 /3 ) RNS ( SB) : : CES / BKS : ( / ) 10 7, 8 : (2 /3 ) RNS ( 360012K1) : : MR : 7 Ø22mm 16 16 16 16 : : : :
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目次 CONTENTS 1 數列與級數 幾何圖形 三角形的基本性質 平行與四邊形
給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列 本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1
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13 5 5 3 1 2 1 2 3 3 [ ] 1 1 2 3 2 1 2 3 4 5 6 7 3 ( ) ( ) ( ) (1) ()() () () (2) ( () () ) ()() () (() () () (3) ) () ( () ) ()() () ( ( ) ( ) ( ) (3) 1 2 3 4 5 [ ] 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A
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95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 趨 勢 分 析 95 指 定 科 目 考 試 數 學 甲 解 析 大 公 開 4 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 趨 勢 分 析 1 95 指 定 科 目 考 試 數 學 乙 解 析 大 公 開 13 發 行 人 : 李 枝 昌 執 行 編 輯 : 蔡 孟 秀 張 龍 慧 美 術 編 輯 : 蔡 雅 真 發 行 所 : 康 熹 文 化 事 業 股
优合会计考点直击卷子之财经法规答案——第八套
原 题 导 航 基 础 第 一 套 第 1 题 参 考 答 案 : C 试 题 评 析 : 在 社 会 主 义 市 场 经 济 条 件 下, 会 计 的 对 象 是 社 会 再 生 产 过 程 中 主 要 以 货 币 表 现 的 经 济 活 动 第 2 题 参 考 答 案 :B 试 题 评 析 : 在 权 责 发 生 制 下, 本 期 售 货 尚 未 收 到 销 售 货 款 属 于 当 期 收 入
章節
試題空間中四點 A(,,), B(,0,), C(,0, ), D(, k, ), () 過 A, B, C 三點的平面方程式為. () 若 A, B, C, D 四點共平面,則 k. 編碼 40747 難易 中 出處 康熹自命題 解答 ()4x 5y z 5 0;() () 設平面 ABC 的方程式為 ax by cz d 0, 過 A(,,), a b c d 0,過 B(,0,), a c d
2013年3月国家教师资格统一考试
2016 年 导 游 资 格 考 试 导 游 基 础 模 拟 试 题 及 答 案 4 一 单 项 选 择 题 ( 请 选 择 一 个 正 确 答 案, 并 将 正 确 答 案 涂 在 答 题 卡 相 应 的 位 置 上 共 60 小 题, 每 小 题 0.5 分, 共 30 分 ) 1. 马 克 思 列 宁 主 义 同 中 国 实 际 相 结 合 的 第 二 次 历 史 性 飞 跃 的 理 论 成
( CIP. :, 2004. 10 / ISBN 7-5054 - 1005-9.......... D630. 3-44 CIP ( 2004 055306 35 100044 ( 010) 68433166 ( ) ( 010) 68413840 /68433213( ) ( 010) 884
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Microsoft Word - 向量_2015_.docx
向量 重點整理 一 向量的概念 : (1) 基本概念 : (a) 以 為始點, 為終點的有向線段, 稱為向量, 它的方向是由 指向, 大小為, 記為, 即 = 當 = 時, 為零向量, 記為 = 0 ; 注意 : 0 的大小為 0, 但方向為任意 (b) 兩個向量若大小相等, 方向相同, 則稱兩個向量相等 =, 方向相同且 = (c) 與 長度相等, 但方向相反, 記為 := 二 向量的運算 : (1)