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1 高中數學學習講義 ( 配合龍騰選修數甲下 ) -1 微分 ( 第 1 頁 / 共 9 頁 ) 1 微分本節課程學習重點 : 了解導數導數的定義能使用函數的和差積及 k 次方的微分公式微分公式能求多項式函數的導函數導函數能求過多項式函數圖形上一點或過圖形外一點的切線方程式切線方程式能知道曲線上的切線並不是都與該曲線恰交於一點曲線上的切線並不是都與該曲線恰交於一點了解導數在運動學運動學上的意義一導數與切線 : 曲線的切線定義 : 設 f ( x ) 為一函數, P( a, f ( a )) 是 y = 圖形上的一定點, 而 Q( x, f ( x )) 是圖形上異於 P 的任一點, 連接 P 與 Q 可得一割線 PQ 當 Q 點沿著圖形向 P 點靠近時, 割線 PQ 也跟著轉動若過 P 點有一直線 L, 使得當 Q 點非常接近 P 點時, 割線 PQ 會被帶動到非常接近 L, 則稱直線 L 為 y = 圖形上過 P 點的切線, 稱 P 點為切點切點導數與切線的斜率 : f ( a) (1) 導數的定義 : 設函數 f ( x ) 在 x = a 處及 a 附近有意義, 當極限 lim 存在時, 稱函數 f ( x ) 在 x = a 處可微分, 並將這個極限值稱為 f ( x ) 在 x = a 處的導數, 以符號 f ( a) 表示, f ( a) 即 f ( a) = lim () 導數與切線的斜率 : 若函數 f ( x ) 在 x = a 處可微分, 則在 f ( x ) 的圖形上, 以點 P( a, f ( a )) 為切點的切線之斜率為導數 f ( a) 說明由函數圖形的特徵知道: 割線不可能為鉛直線, 因此割線的斜率必定存在割線的斜率必定存在 f ( a) 利用斜率的定義, 得割線 PQ 的斜率為當 Q 點沿著 f ( x ) 的圖形逐漸趨近 P 點時, 割線 PQ 會逐漸趨近切線 L, 即割線 PQ 的斜率也會 f ( a) 趨近切線 L 的斜率當極限 lim 存在時, 此極限就是切線 L 的斜率, 稱這個極限為函數 f ( x ) 在 x = a 處的導數, 並以符號 f ( a) 表示觀念釐清由直線的點斜式直線的點斜式知道 : 以點 P( a, f ( a )) 為切點的切線方程式切線方程式為 y f ( a) = f ( a)( ) 練習 1: 設函數 = x (1) 求 f ( x ) 在 x = 處的導數 f () ;() 在 f ( x ) 的圖形上, 求以點 P (,4) 為切點的切線方程式 Ans:(1) 4;() 4x y = 4 練習 : 設函數 = x + x (1) 求 f ( x ) 在 x = 1處的導數 f (1) ;() 在 f ( x ) 的圖形上, 求以點 P (1,) 為切點的切線方程式 Ans:(1) ;()x y = 1

2 高中數學學習講義 ( 配合龍騰選修數甲下 ) -1 微分 ( 第頁 / 共 9 頁 ) 練習 : 求函數 = x + 1的圖形上, 以點 P (1,) 為切點的切線方程式練習 4: 求函數 = x 的圖形上, 以點 P (,8) 為切點的切線方程式 Ans: x y = 1 觀念釐清 (1) 並非所有函數在其定義域中的每一個數都有導數 () 當函數 f ( x ) 在 x = a 處的導數 f ( a) 不存在時, 稱 f ( x ) 在 x = a 處不可微分不可微分練習 5: 討論函數 (Hint: lim + x 0 x 0 = x 在 x = 0 處的導數是否存在? x x lim ) x x Ans:1x y = 16 練習 6: 函數 = x 在 x = 處可微分還是不可微分? Ans: 不存在二導函數 : 以函數 = x 為例說明如下 : Ans: 可微分 f ( a) 設 a 為任意實數, 由導數的定義得 f ( a) = lim = lim = lim( ) x + a = a, 即函數 f ( x ) 定義域內的每一個數 a 之導數 f ( a) 均存在, 且 f ( a) = a 這個從 a 對應到 f ( a) = a 的對應關係構成了另一個函數, 稱為 f ( x ) 的導函數, 通常以 f ( x) 表示, 即 f ( x) = x 一般而言, 給定函數 f ( x ), 當 f ( x ) 定義域中的每一個數 a 其導數 f ( a) 均存在時, 稱 f ( x) 為 f ( x ) 的導函數, 並稱 f ( x ) 為可微分函數可微分函數練習 7: 求函數 x x = + 的導函數練習 8: 求函數 x 4x = + 的導函數 Ans: = + x 4x Ans: f ( x) = 6x + 4 觀念釐清若 f ( x ) 為可微分函數, 則求函數 f ( x ) 的導函數導函數的過程也稱為將函數 f ( x ) 微分

3 高中數學學習講義 ( 配合龍騰選修數甲下 ) -1 微分 ( 第頁 / 共 9 頁 ) 三多項式函數的導函數 : 多項式函數的導函數公式 : (1) 若常數函數 = c ( c 為常數 ), 則 f ( x) = 0 ( 常數函數對任意實數的導數均為 0 ) f ( a) c c 說明設 a 為實數, 則 f ( a) = lim = lim = lim 0 = 0, 即 f ( x) = 0 n n 1 () 若單項函數 = cx ( c 為非零常數, n 為正整數 ), 則 f ( x) = ncx n n f ( a) cx ca 說明設 a 為實數, 則 f ( a) = lim = lim n 1 n n n n 1 ( )( x + ax + a x + + a x + a ) = c lim n n n n n n = c lim( x + ax + a x + + a x + a ) = nca n 1, 即 f ( x) = ncx () 若函數 f ( x ) 與 g( x ) 是可微分函數, 則 h( x) = + g( x) 也是可微分函數, 且 h ( x) = f ( x) + g ( x) ( 兩個可微分函數之和的導函數等於個別導函數的和 ) 說明設 a 是 f ( x ) 與 g( x ) 共同定義域中的實數, h( x) h( a) ( + g( x)) ( f ( a) + g( a)) f ( a) g( x) g( a) 則 h ( a) = lim = lim = lim( + ) f ( a) g( x) g( a) = lim + lim = f ( a) + g ( a), 所以 h( x) = + g( x) 是可微分函數, 且 h ( x) = f ( x) + g ( x) 綜合上述三個公式, 可推得底下的結論 : n n 1 實係數多項式函數 = a x + a x + + a x + a x + a ( n 為正整數 ) 為可微分函數, 且其導函數 n n n 1 n 為 f ( x) = nanx + ( n 1) an 1x + + ax + a1 (4) 若 f ( x ) 與 g( x ) 為兩多項式函數, 且 h( x) = g( x), 則 h ( x) = f ( x) g( x) + g ( x) ( 兩多項式乘積的微分 = 微前乘後加微後乘前 ) 說明設 a 為實數, 因為 g( x ) 為多項式函數, 所以 lim g( x) = g( a) h( x) h( a) g( x) f ( a) g( a) 則 h ( a) = lim = lim g( x) f ( a) g( x) + f ( a) g( x) f ( a) g( a) = lim x a ( f ( a)) g( x) + f ( a) ( g( x) g( a)) f ( a) g( x) g( a) = lim = lim( g( x) + f ( a) ) f ( a) g( x) g( a) = lim lim g( x) + lim f ( a) lim = f ( a) g( a) + f ( a) g ( a), 所以 h ( x) = f ( x) g( x) + g ( x) 在公式 (4) 中, 若 = g( x), 即 h( x) = ( ), 則 h ( x) = f ( x) + f ( x) = f ( x) 同理, 因為 ( ) = ( ), 則 ( f ( x )) 的導函數為 ( f ( x)) + ( ) f ( x) = ( ) f ( x) + ( ) f ( x) = ( ) f ( x) 依此類推可得 : (5) 若 n 為正整數, f ( x ) 為多項式函數, 則 ( f ( x )) n n 1 的導函數為 n( ) f ( x) ( 連鎖律 ) 練習 9: 求函數 = x x 5x + 4 的導函數 Ans: ( ) = f x x x

4 高中數學學習講義 ( 配合龍騰選修數甲下 ) -1 微分 ( 第 4 頁 / 共 9 頁 ) 觀念釐清多項式函數 f ( x ) 的導函數 f ( x) 仍是多項式函數, 可繼續再求 f ( x) 的導函數將 f ( x) 稱為 f ( x ) 的第一階導函數 ; 將 f ( x) 的導函數稱為 f ( x ) 的第二階導函數, 以符號 f ( x) 表示練習 10: 設函數 4 = x + x x + 4x 8, 求 (1) 導函數 f ( x) ;() 第二階導函數 f ( x) 練習 11: 求函數 h( x) = ( x 1)( x + x ) 的導函數 Ans:(1) 8x + x 6x + 4 ;() 4x + 6x 6 練習 1: 已知函數 h( x) = ( x + x)( x + x x + ), 求 h (1) 的值 Ans: 4x + x 8x 練習 1:(1) 已知函數 = ( x x + 1), g( x) = ( x ), 求 f (1) 與 g (1) 的值 10 0 () 已知函數 h( x) = ( x x + 1) ( x ), 求 h (1) 的值 Ans:49 10 練習 14:(1) 已知函數 = ( x + x 1), 求 f (1) 的值 10 0 () 已知函數 = ( x 1) (x 5), 求 f () 的值 Ans:(1) 10, 0 ;() 10 練習 15: 求函數 Ans:(1) 0;() 50 = ( x 1)( x 5) 的圖形上, 以點 P(, 1) 為切點的切線方程式練習 16: 求函數 ( ) 5 = x x 的圖形上, 以點 (, ) P 為切點的切線方程式 Ans: 5x y = 11 Ans: 9x y = 0

5 高中數學學習講義 ( 配合龍騰選修數甲下 ) -1 微分 ( 第 5 頁 / 共 9 頁 ) 練習 17: 在函數 = x + x 9x + 5 的圖形上, 已知以點 P 為切點的切線斜率為, 求切點 P 的坐標練習 18: 在函數 Ans: (1,1) 或 (,19) = x + x 的圖形上, 已知以點 P 為切點的切線斜率為 5, 求切點 P 的坐標練習 19: 若 P(, ) 為二次函數 = x x + 的圖形外一點, 求通過 P 點的切線方程式 Ans: (,4) 練習 0: 已知 P (1,1) 為二次函數 f x ( ) x 1 Ans: x + y = 或 6x y = 14 = + 的圖形外一點, 求通過 P 點的切線方程式 Ans: y = 1或 4x + y = 5 練習 1: 已知 P( 1,1) 為函數 = x x 圖形上一點, 且直線 L 為圖形上以 P 為切點的切線, 求直線 L 與 f ( x ) 圖形的所有交點坐標觀念釐清通常, 切線方程式與曲線方程式聯立的解, 在切點處有重根 Ans: ( 1,1), (,4)

6 高中數學學習講義 ( 配合龍騰選修數甲下 ) -1 微分 ( 第 6 頁 / 共 9 頁 ) 練習 : 已知 P (1,) 為函數 = x + 4x 圖形上一點, 且直線 L 為圖形上以 P 為切點的切線, 求直線 L 與 f ( x ) 圖形的所有交點坐標練習 : 在坐標平面上, 假設有一高牆的邊界是函數 = x + 9 ( 6 x 6 ) 的圖形, 且有一蜘蛛沿著此邊界覓食已知該蜘蛛爬到 P 點時, 剛好可看到一隻停在點 Q (5,0) 處的蒼蠅, 求 P 點的坐標 Ans: (1,), (,0) y P Q x O 練習 4: 在坐標平面上, 假設有一高牆的邊界是函數 = x + 4 ( x ) 的圖形, 甲站在點 (0,5) 處, 乙從原點向東走, 請問 : 乙最少要走多少單位長才會看到甲? Ans: P (1,8) Ans: 5 四導數的應用 : 導數在運動學上的意義 : 設 f ( t ) 表示一個在直線上運動的質點之位移位移函數, 則 (1) 若導函數 f ( t) 存在, 則此質點的速度速度函數為 f ( t) () 若第二階導函數 f ( t) 存在, 則此質點的加速度加速度函數為 f ( t) 說明設函數 f ( t ) 表示一個在直線上運動的質點於時刻 t 的位移函數, 則此質點從時刻 a 到時刻 t f ( t) f ( a) 之間 (t a ) 的平均速度為 t a 因為運動中的質點在某一時刻的速度稱為瞬時速度, 直觀上, 時間差趨近 0 時的平均速度可 f ( t) f ( a) 趨近於瞬時速度, 所以當 f ( t ) 在 t = a 處可微分時, f ( a) = lim 就是這個運動質點 t a t a 在時刻 a 的瞬時速度, 即 f ( t ) 的導函數 f ( t) 就是此質點的速度函數 f ( t) f ( a) 同理, 因為表示此質點從時刻 a 到時刻 t 之間 (t a ) 的平均加速度, 所以當 f ( t) t a f ( t) f ( a) 在 t = a 處可微分時, f ( a) = lim 就表示此運動質點在時刻 a 的瞬時加速度, t a t a 即 f ( t ) 的第二階導函數 f ( t) 就是此質點的加速度函數

7 高中數學學習講義 ( 配合龍騰選修數甲下 ) -1 微分 ( 第 7 頁 / 共 9 頁 ) 練習 5: 已知有一個在直線上運動的質點之位移函數是 f ( t) = 50t 4.9t, 求此質點在時刻 t = 的瞬時速度及瞬時加速度 Ans:0.4; 練習 6: 小明在一百公尺比賽中, 測得起跑 t 秒後前進的距離為 f ( t) = t + 8t 公尺 5 (1) 求小明在 t = 秒時的瞬時速度及瞬時加速度 ;() 求小明衝過終點線時的瞬時速度 Ans:(1) 46 5 ( 公尺 / 秒 ), 5 ( 公尺 / 秒 );() 1( 公尺 / 秒 ) 導數的另一種另一種定義 :( 變數變換 ) f ( a) 在導數的定義 f ( a) = lim 中, 若將 x 值的變化量記為 h, 即 h =, 則當 h 趨近 0 時, 就相當於 x 會趨近 a f ( a + h) f ( a) f ( a + h) f ( a) 因此函數 f ( x ) 在 x = a 處的導數也可寫為 f ( a) = lim = lim h 0 ( a + h ) a h 0 h 說明以求函數 x = 在 x = 的導數為例, 將兩種定義的解法過程說明如下 : f () x 4 f () = lim = lim = lim( x + ) = 4 x x x x x f ( + h) f () ( + h) 4 f () = lim = lim = lim(4 + h) = 4 h 0 h h 0 h h 0 補充 :(1) 可微分必連續 ; 不連續必不可微分不可微分 ( 若 P 則 Q 代表若非 Q 則非 P ) () 連續不一定可微分 ( 若 P 則 Q 成立時, 若非 P 則非 Q 不一定成立 ) 習題 1. 關於函數 = x + x 及其圖形, 選出正確的選項 : (1) 點 (,) 在 f ( x ) 的圖形上 f () () lim = 5 x x () f () = 5 (4) 以點 (, f ()) 為切點的切線斜率為 5 (5) 以點 (, f ()) 為切點的切線方程式為 5x y 7 = 0. 已知 = x x + 5x 4, 求 f ( x) 與 f ( x) Ans:(1)()()(4)(5) Ans: f ( x) = x 4x + 5 ; f ( x) = 6x 4

8 高中數學學習講義 ( 配合龍騰選修數甲下 ) -1 微分 ( 第 8 頁 / 共 9 頁 ). (1) 已知函數 = ( x + 1)( x + x 1), 求 f (1) 的值 5 () 已知函數 = ( x ) ( x 5), 求 f () 的值 4. 求函數 = + 的圖形上, 以點 P (0,1) (1 x)(1 x) 為切點的切線方程式 Ans:(1) 1;() 求函數 = x x + 圖形上斜率為的切線方程式 Ans: x + y = 1 6. 已知 P (,5) 為函數 x x = + 圖形外一點, 求過 P 點的切線方程式 Ans: x y + 1 = 0, x y + 5 = 0 7. 已知二次函數 f ( x ) 的導函數 f ( x) = x +, 且 f (1) =, 求 f ( x ) Ans: x y = 1, 7x y = 9 Ans: x + x 8. 已知多項式 f ( x ) 滿足 f () =, f () = 1, g( x) = ( x 5 x) x, 求 g () 的值 Ans:0 9. 設函數 = x + 4x 的圖形在 x = 1, k, 處的點分別為 A, B, C 已知以 B 點為切點的切線與直線 AC 平行, 求實數 k 的值 Ans:1

9 高中數學學習講義 ( 配合龍騰選修數甲下 ) -1 微分 ( 第 9 頁 / 共 9 頁 ) 10. 如右圖, 已知 A (0,) 為函數 = x + 1的圖形外一點, 直線 L 為過 A 點且以圖形上 B 為切點的切線, 試求 : (1) 直線 L 的方程式 () 切點 B 的坐標 () 函數 f ( x ) 的圖形與 L 的所有交點坐標 L y y=f(x) A O B x Ans:(1)x + y = ;() (1,0) ;() (1,0), (,9) 11. 在筆直公路上行駛的一輛汽車, 從煞車到停車這段時間內, 測得煞車後在 t 秒內前進的距離為 1 f ( t) = t + t 公尺, 試問此輛汽車在煞車後前進多少公尺才停止? Ans: 公尺 1. 已知在函數 = x + ax 5x + b 圖形上所有切線的斜率中, 以 P( 1,5) 為切點的切線斜率最小, 求實數 a, b 的值類題補充 1. 設 = x x + 5x 1, 求 lim x f ( x) f () 的值 x Ans: a =, b = Ans:14. 已知兩曲線 y = x + ax + b 與 y = x + c 均通過點 A(1, ), 且在 A 點處兩曲線有共同切線 L, 求實數 a, b, c 的值與切線 L 的方程式 Ans: a = 5, b =, c = 1;x + y = 1

10 高中數學學習講義 ( 配合龍騰選修數甲下 ) -1 微分 ( 第 10 頁 / 共 9 頁 ). 設 = x x + x 7, 求 f (1) 的值 4. 設 ( x 5)( x 6)( x 7)( x 8) = ( x 9)( x 10), 求 f (7) 的值 Ans:4 Ans: 1 5. 求在函數 = x x + 4 的圖形上, 斜率最小的切線方程式 6. 設函數 = ax + bx + 在 x = 1的切線為 y = x +, 求實數 a, b 的值 Ans: x + y = 5 7. 已知函數 x = ax, 若 x + bx, 若 x > 在 x = 處可微分, 求實數 a, b 的值 Ans: a = 1, b = Ans: a =, b = 8. 設 f ( x ) 為三次多項式函數, 且 f (1) = f (1) = 0, f () = 0, f (0) = 5, 求 f ( x ) Ans: = ( x 1) ( x ) 9. 設二次函數 f ( x ) 的導函數為 f ( x) = x 7, 且在點 (, f ()) 的切線方程式為 y = x + 7, 求 f ( x ) Ans: = x 7x + 11

11 高中數學學習講義 ( 配合龍騰選修數甲下 ) -1 微分 ( 第 11 頁 / 共 9 頁 ) 10. 若通過函數 = x x + k 的圖形外一點 P (1,1) 的兩條切線互相垂直, 求實數 k 的值 Ans: 11. 如右圖, 設 f ( x ) 為二次函數, 直線 L 為拋物線 y = 在 x = 1處的切線, 且此拋物線通過 (0,) 與 ( 1,0) 兩點, 若 L 的斜率為 1, 求 f ( x ) 及 L 的方程式 Ans: = x + x + ; x + y = 1. 設 p( x ) 為三次實係數多項式函數, 其圖形通過 (1,), ( 1,5) 兩點若 p( x ) 的圖形在點 (1,) 的切線斜率為 7, 而在點 ( 1,5) 的切線斜率為 5, 試求 p( x ) Ans: x + x x + 1 n n n n n 1 n 1 1. (1) 設 x 為實數, n 為正整數, 試證明 : C C x C x nc x = n(1 + x) 1 () 利用 (1 + x) = C + C x + C x + + C x + C x n, 求 C + C + C + + 9C + 10C 的值 14. 已知多項式 f ( x ) 滿足 f (1) =, 求 (1) lim h 0 f (1 + 4 h) f (1) ;() lim h h 0 Ans:(1) 略 ;() 510 f (1 + h) f (1 h) 的值 h Ans:(1) 8;() 10

12 高中數學學習講義 ( 配合龍騰選修數甲下 ) -1 微分 ( 第 1 頁 / 共 9 頁 ) 加強練習 f () f ( x) f ( 1) 1. 已知 = x x +, 求 (1) lim ;() lim x x x 1 x 求函數 = (x 1) + 的圖形上, 以 (1,4) 為切點的切線方程式 P. 已知平行於直線 9x + y = 0, 且與曲線 y = = x 1x + 相切的直線有兩條, 求此兩條平行直線的距離 4. 下列哪些函數在 x=0 處可微分? (1) = x () = x () x x x x 表高斯符號 = (4) = [ ], 其中 [ ] 5. 設 f ( x ), g( x ) 為可微分函數, 且 f ( x) = g ( x), f () = g() +, f (0) = g(0) + k, 求實數 k 的值 6. 已知多項式 f ( x ) 滿足 f (1) = 0 及 f (1) = 15, 求 7. 已知多項式 f ( x ) 滿足 f (1) =, (1) 5 8. 設 f ( x ) 為多項式函數, f (1 + h) lim 的值 h 0 h f = f ( x ), 求 lim 的值 x 1 x 1 f ( x) = x + 4x 7, 且 f ( x ) 的圖形通過點 (1, 1), 求 f ( x ) 9. 求函數 = x + 6x 的圖形之所有切線中, 斜率最大的切線方程式 f ( + h) f ( 4 h) 10. 已知 = x 4x + x 1, 求 lim 的值 h 0 h 11. 設直線 x + y = 與三次函數 = kx 的圖形相切, 求實數 k 的值 1. 設二次函數 f ( x ) 滿足 lim =, f (0) =, 求 f ( x ) x x 1. 設 = x( x 1)( x )( x ), 求 f (0) 的值 14. 汽車測試中心測試某新款汽車, 發現從煞車到停止的這段時間內, 此新車的位移函數為 4 f ( t) = t + 8t ( 公尺 ), 試問這輛汽車在煞車後前進多少公尺才停止? f ( x ) f (1) x f (1) f ( x ) 15. 設 f ( x ) 為多項式函數, 且 f (1) = f (1) =, 求 (1) lim ;() lim x 1 x 1 x 1 x 已知曲線 y = x + 4 與直線 y = x + k 有三個相異交點, 求實數 k 的值 17. 設 = ax + bx + cx +, 且 lim = 4, 求 a, b, c 的值 x 1 ( x 1) 18. 設 p( x ) 為五次多項式, 若 p(1) = p() = p() = p () = p () = 0, p (0) = 1, 求 p (0) 與 p (1) 設函數 = x +, 求 f ()

13 高中數學學習講義 ( 配合龍騰選修數甲下 ) -1 微分 ( 第 1 頁 / 共 9 頁 ) Ans:1.(1) 8,() 8 ;. 8x y = 4 ;. 8 ;4.(1)();5. ; ;7. 10;8. x + x 7x + 5 ; 1 9.1x y = 8; ;11. ;1. x x ;1. 6 ;14. 16;15.(1),() 0;16. 4 或 5; 7 心得筆記 17. a = 1, b = 1, c = 5 ;18.(1),() ;

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Microsoft PowerPoint 曲線之切線、曲率及紐率.ppt 4-5 曲線之切線曲率及紐率 .1. 曲線切向量切線曲率 z r r y 曲線 L 的切線方程式 x ρ λ r + λ r 其中 λ 為切線的參數 L ρ λ r + λr ρ λ < x, y, z >+ λ< x, y, z > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > ρ λ < x + λx, y + λy, z + λz > 切線的參數式方程式 x x + λx