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1 数学 三 科目代码 终极预测试卷 题型选择题填空题解答题总计 分值 分 自测 分

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3 年全国硕士研究生招生考试数学 三 终极预测试卷 一 选择题 小题 每小题 分 共 分 下列每题给出的四个选项中 只有一个选项是符合题目要求的 设 表示不超过 的最大整数 则 是 的 跳跃间断点 可去间断点 无穷间断点 振荡间断点 在点 处连续 则 在点 处可偏导是函数在该点可微的 充分必要条件 必要但非充分条件 充分但非必要条件 既非充分又非必要条件 将二重积分 改写成直角坐标形式 为 下列选项中正确的是 若!"# 则 与 有相同敛散性 若正项级数 若正项级数 收敛 则必有!"# 发散 则必有 正项级数 的敛散性与 有关 设 为 阶对称矩阵 下列结论不正确的是 为对称矩阵 设 可逆 则 为对称矩阵 为对称矩阵 为对称矩阵 % 已知 % 是矩阵 属于特征值 的特征向量 是矩阵 % 属于特征值 % 的特征向量 那么矩阵 不能是

4 & 设 分别为随机变量 与 的分布函数 概率密度分别为 两个函数均连续 则必为概率密度的是 设随机变量 与 独立同分布 方差存在且不为零 记! 则与! 必然 不独立 独立 相关系数不为零 相关系数为零 二 填空题 小题 每小题 分 共 分 设函数 二阶连续可导 且 " 则 # 设 二阶连续可导 且 若 " 则 # 设某商品的需求函数是 % & 则需求 % 关于价格 & 的弹性是 差分方程 的通解为 设 阶矩阵 满足 则 设 为独立同分布于参数 的泊松分布 则!"# { } ' 三 解答题 小题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 本题满分 分 假设 求!"# % 本题满分 分!' 设 在 上连续 在 内二阶可导 且!"# 又 证明 存在 使得 " # & 本题满分 分 求 在区域 上的最值 本题满分 分 求级数 的收敛域与和函数

5 本题满分 分! 湖泊含水量为! 每年流入湖中的清水体积为 %! 流入湖中含污染物 的污水体积为 % 混! 合均匀后的湖水以每年的速度排出湖 目前湖中污染物 的含量为 为治理湖泊污染 规 定从现在开始流入湖中的污水浓度为! 问经过多少年湖中污染物 的含量下降为 本题满分 分 设矩阵 有解但不唯一 求 的值 求可逆矩阵 使得 为对角矩阵 求正交矩阵 使得 为对角矩阵 本题满分 分 设实二次型 经过正交变换化为标准形 又设 满足 求 本题满分 分 设随机变量 和 相互独立 服从正态分布 在区间 上服从均匀分布 求随机变量 的概率分布 计算结果用标准正态分布 表示 其中 ( ( 本题满分 分 设总体 的密度函数为 { 其中 是未知参数 其他 是来自总体 的简单随机样本 分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量

6 一 选择题 答案 年全国硕士研究生招生考试 数学 三 终极预测试卷 参考答案及解析 本题考查函数的间断点类型 解析 由于!"#!"# 所以 是 的跳跃间断点 故选 答案!"#!"# 本题考查二元函数可偏导与可微的关系 若多元函数在一点可微 则函数在该点连续且可偏导 但反之不成立 解析 举例证明选项 是正确的 设函数 { 容易验证 在点 处既连续又存在偏导 由于 " " 因此 令 在点 处不可微 故选 答案 图象 " " " " 因为!"# 不存在 所以!"# 本题考查极坐标与直角坐标之间的转化 题目关键是找到原二重积分对应的 解析 极坐标系中的 对应直角坐标系中的直线 极坐标系中的 对应直角坐标系中的直线 因此根据极坐标系下的表达式可画出积分区域如下图 y 2 O 2 x 根据极坐标系与直角坐标系间的关系 "' 可得二重积分化为直角坐标形 式为 答案 故选 本题主要考查级数敛散性的判别 判别的方法有 收敛级数的基本性质 正项级数的比较审敛法 比较审敛法的极限形式 比值审敛法 根值审敛法等 交错级数的莱布尼茨定理 等等

7 解析 比较判别法极限形式仅适合正项级数 故选项 不正确 由反例 收敛 但有!"# 发散 但有 故选项 和 均不正确 在选项 中 当 时 收敛性取决于 时 收敛性取决于 故选 答案 本题考查对称矩阵的性质 注意矩阵乘法不满足交换律 解析 根据 可得 为对称矩阵 根据 得 为对称矩阵 由 得 为对称矩阵 故选 % 答案 本题考查特征值与特征向量的定义与性质 解析 若 则有 即 亦即 可见 是矩阵 属于特征值 的特征向量 又因矩阵 可逆 因此 线性无关 若 是属于特征值 的特征向量 则 仍是属于特征值 的特征向量 故选项 正确 若 是属于特征值 的特征向量 则 的线性组合仍是属于特征值 的特征向量 本题中 是属于 % 的线性无关的特征向量 故 仍是 % 的特征向量 并且 线性无关 故选项 正确 对于选项 因为 均是 % 的特征向量 所以 与 谁在前谁在后均正确 即选项 正确 由于 是不同特征值的特征向量 因此 不再是矩阵 的特征向量 故选 & 答案 本题考查概率密度的性质 可以用排除法解答 解析 设 则 { { 其他 { { 其他

8 即可排除选项 对于选项 满足 且 因此选项 可作为概率密度 故选 答案 本题考查相关系数的概念以及独立同分布的性质 解析 根据独立同分布随机变量的性质 有 )! ) ) ) ) )! ) ) 所以由! )! ) )! 可得相关系数! 故选 二 填空题 答案 解析 答案 本题考查换元积分法和分部积分法 # # # " 本题考查多元函数的偏导数的求解 " " 解析 两边同时对 求导 得 " " 再对 求导 得 由 可得 再 " 两边对 求导 可得 联立 可解得 答案 & & & # % # # # % # # # # 本题考查一元函数微分学在经济学中的应用 解析 根据弹性函数的定义 则需求 % 关于价格 & 的弹性为 & % % & 即 & % % & & & & & & & %

9 答案 % 为任意常数 本题考查差分方程的解法 非齐次差分方程的通解为其对应齐次差分方程的通解 与原差分方程的特解 之和 即 解析 对应的齐次方程的通解为 其中 为任意常数 非奇特解与右端为同名函数 因此设 * * * 代入给定方程 有 * * * * * * 整理得 * * * * * * 比较同次幂的系数得 * * * * * * 故 * * %* 因此 通解为 % 为任意常数 答案 本题主要考查矩阵的运算以及逆矩阵的定义 解析 由 得 分解得 两边除以 可得 [ ] 因此可知 答案 本题主要考查列维 林德伯格中心极限定理的应用 解析 已知 为独立同分布于参数 的泊松分布 因此可得 ) + 从而可知 从 故!"# ' { } 近似服从分布 标准化为近似服 三 解答题 本题考查数列极限存在的判定及极限值的求解 解析 第一步 证明数列 单调有界 从而保证数列的极限存在 由题设可知 故数列 有上界 又 &

10 可知数列 单调递增 由单调有界收敛定理可知数列 是收敛的 第二步 在递推公式两端同时取极限 假设!"# 则在 两边同时取极限可得 解得 或 舍 也即!"# % 本题先利用等价无穷小化简题目所给极限 然后结合积分中值定理和罗尔定理证明最终结果!' 解析 根据!"# 可得 又!'!"#!"#!"# " "' 所以 " 由积分中值定理知 存在一点, 使得, 于是根据罗尔定理 存在, 使得 " 令 " 则 再一次根据罗尔定理 存在 使得 " 而 " " # 且 所以有 & " # 本题主要考查拉格朗日乘数法求条件极值 解析 当 时 函数 对 和 分别求偏导并令其为零 有 " { " 得驻点为 当 时 令 由拉格朗日乘数法可得 得 { " " " 因为 % 因此原函数的最大值 最小值分别为 % 和 本题考查级数收敛域与和函数的求解 收敛域即在确定收敛半径之后验证端点处的敛散性 在求和函数前必须确定收敛域并且需考生熟记常用函数的和函数表达式 解析 令 ( 则级数可化为 ( 由!"# 所以级数

11 ( 的收敛半径为. 由于 ( 且当 ( 时 级数 收敛 所以级数 由 得 故级数 下面求级数 则 / ( 的收敛半径为 的和函数 已知!' 的收敛域为!'!'!' 本题考查微分方程解决实际问题 利用微元法建立所需的微分方程 解析 设从现在开始第 ( 年污染物 的含量为 ( 取时间微元为 ((( 在该时间 微元内流入湖中污染物 的含量为!! % ( ( 排出湖的污染物 的含量为!! ( 于是 % ( ( 整理得微分方程 ( % 解得 ( % ( (0 ( 0 ( 由 得 0 所以 令 ( ( ( ( 解得 (%!' 年 方程组有解不唯一 则系数矩阵行列式值为零 以此判断 的值 后两问考查求解特征向量和施密特正交化方法 解析 因为方程组有解但不唯一 所以 解得 或

12 若 则增广矩阵 系数矩阵和增 广矩阵的秩不相同 方程组无解 因此 由 解得 根据 得对应于特征值 的特征向量为 根据 得对应于特征值 的特征向量为 根据 得对应于特征值 的特征向量为 令 则 由于 分别是属于 的三个不同特征值的特征向量 故正交 将特征向量单位化 因此令 则 % % % % 本题考查了二次型的矩阵与二次型标准形的关系 考查了矩阵与其伴随矩阵的关系以及特征值 特征向量的定义 同时本题还是实对称矩阵相似对角化的逆应用 解析 由于 经过正交变换化为标准形 可知 的特征值为 又由于 等式两边同时左乘 可得 其中 可知 即

13 为矩阵 属于特征值 的特征向量 由于 为实对称矩阵 属于不同特征值的特征向量正交 可知属于特征值 的特征向量满足 解得基础解系为 可知 即为属于特征值 的两个线性无关的特征向量 令 则有 于是有 本题考查两个随机变量和的分布 利用卷积公式求解 解析 和 的概率密度分别为 { 其他 由于 和 相互独立 根据卷积公式 可得 的概率密度 令 ( 则 ( 当 时 ( 当 时 ( 因此 解析 由已知条件 ( ( [ ] 本题考查矩估计法和极大似然估计法对未知数进行参数估计 ) ) 解得 ) 所以 的矩估计量是 其中 样本 的似然函数为

14 { 1 其他 当 时 1 且!'1 令 的极大似然估计量为!'1!'!'1!'!'!' 解得 的极大似然估计值为!'!'

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