设 p 则下列命题正确的是 q A 若条件收敛则 p 与都收敛 q B 若绝对收敛则 p 与都收敛 q C 若条件收敛则 p 与敛散性都不定 q D 若绝对收敛则 p 与敛散性都不定 ] 设三阶矩阵 A 若 A 的伴随矩阵的秩为则必有 A 或 + B 或 + C 且 + D 且 +

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殖润郝
5 years ago
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1 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一填空题本题共 6 小题每小题分满分分把答案填在题中横线上设 co 若若其导函数在处连续则的取值范围是已知曲线与轴相切则可以通过表示为若设 > 而 D 表示全平面则其他 I dd D 设维向量 ;E 为阶单位矩阵矩阵 A E B E 其中 A 的逆矩阵为 B 则 5 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 9 若 Z X 则 Y 与 Z 的相关系数为 6 设总体 X 服从参数为的指数分布 X X 为来自总体 X 的简单随机样本则当时 Y 依概率收敛于 X 二选择题本题共 6 小题每小题分满分分每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内设为不恒等于零的奇函数且存在则函数 A 在处左极限不存在 B 有跳跃间断点 C 在处右极限不存在 D 有可去间断点 ] 设可微函数在点取得极小值则下列结论正确的是 A 在处的导数等于零 B 在处的导数大于零 C 在处的导数小于零 D 在处的导数不存在 X ]

2 设 p 则下列命题正确的是 q A 若条件收敛则 p 与都收敛 q B 若绝对收敛则 p 与都收敛 q C 若条件收敛则 p 与敛散性都不定 q D 若绝对收敛则 p 与敛散性都不定 ] 设三阶矩阵 A 若 A 的伴随矩阵的秩为则必有 A 或 + B 或 + C 且 + D 且 + ] 5 设均为维向量下列结论不正确的是 A 若对于任意一组不全为零的数 k k 都有 k k 则线性无关 B 若线性相关则对于任意一组不全为零的数 k k k 都有 k C 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 D 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 ] 6 将一枚硬币独立地掷两次引进事件 : { 掷第一次出现正面 } A { 掷第二次出现正面 } { 正反面各出现一次 } A { 正面出现两次 } 则事件 A A A 相互独立 B A A A 相互独立 C A A 两两独立 D A A A 两两独立 ] 三本题满分 8 分 q k A A A A

3 设试补充定义使得在上连续四本题满分 8 分设具有二阶连续偏导数且满足又求五本题满分 8 分计算二重积分其中积分区域 D 六本题满分 9 分求幂级数的和函数及其极值七本题满分 9 分设 F 其中函数在内满足以下条件 : 且求 F 所满足的一阶微分方程 ; 求出 F 的表达式八本题满分 8 分设函数在 ] 上连续在内可导且 ++ 试证必存在使九本题满分分已知齐次线性方程组其中试讨论和满足何种关系时方程组仅有零解 ; ] ] dd I D } {

4 方程组有非零解在有非零解时求此方程组的一个基础解系十本题满分分设二次型 X AX 中二次型的矩阵 A 的特征值之和为特征值之积为 - 求的值 ; 利用正交变换将二次型化为标准形并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵十一本题满分分设随机变量 X 的概率密度为若 8] 其他 ; F 是 X 的分布函数求随机变量 YFX 的分布函数十二本题满分分设随机变量 X 与 Y 独立其中 X 的概率分布为 X ~ 7 而 Y 的概率密度为求随机变量 UX+Y 的概率密度年考研数学三真题解析一填空题本题共 6 小题每小题分满分分把答案填在题中横线上设 co 若若其导函数在处连续则的取值范围是分析当可直接按公式求导当时要求用定义求导详解当时有 co 显然当时有 lm 即其导函数在处连续 6 已知曲线与轴相切则可以通过表示为分析曲线在切点的斜率为即由此可确定切点的坐标应满足的条件再根据在切点处纵坐标为零即可找到与的关系详解由题设在切点处有有若若

5 又在此点坐标为于是有故 6 评注有关切线问题应注意斜率所满足的条件同时切点还应满足曲线方程若设 > 而 D 表示全平面则其他 I dd D 分析本题积分区域为全平面但只有当时被积函数才不为零因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可详解 I dd dd D d d 评注若被积函数只在某区域内不为零则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可设维向量 ;E 为阶单位矩阵矩阵 A E B E 其中 A 的逆矩阵为 B 则 - 分析这里为阶矩阵而为数直接通过 AB E 进行计算并注意利用乘法的结合律即可详解由题设有 AB E E E E E E E 于是有即解得由于 A< 故 - 5 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 9 若 Z X 则 Y 与 Z 的相关系数为 9 分析利用相关系数的计算公式即可详解因为 co Y Z co Y X E Y X ] E Y E X ] d

6 且 DZ DX E XY E Y E Y E X E Y EXY EXEYcoXY co Y Z 于是有 coyz DY DZ 评注注意以下运算公式 : D X DX co X Y co X Y 6 设总体 X 服从参数为的指数分布 X X 为来自总体 X 的简单随机样本则当时 Y 依概率收敛于 X 分析本题考查大数定律 : 一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量 X X X 当方差一致有界时其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值 : X p 详解这里 X X X 满足大数定律的条件且 EX DX EX Y 因此根据大数定律有 X 依概率收敛于 co X Y DX EX EX DY XY 9 X 二选择题本题共 6 小题每小题分满分分每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内设为不恒等于零的奇函数且存在则函数 A 在处左极限不存在 B 有跳跃间断点 C 在处右极限不存在 D 有可去间断点 D ] 分析由题设可推出再利用在点处的导数定义进行讨论即可详解显然为的间断点且由为不恒等于零的奇函数知于是有 lm lm lm 存在故为可去间断点评注本题也可用反例排除例如则此时 ABC 三项故应选 D 可排除评注若在处连续则 lm A A 设可微函数在点取得极小值则下列结论正确的是

7 A 在处的导数等于零 B 在处的导数大于零 C 在处的导数小于零 D 在处的导数不存在分析可微必有偏导数存在再根据取极值的必要条件即可得结论 A ] 详解可微函数在点取得极小值根据取极值的必要条件知即在处的导数等于零故应选 A 评注本题考查了偏导数的定义在处的导数即 ; 而在处的导数即评注本题也可用排除法分析取在处可微且取得极小值并且有可排除 BCD 故正确选项为 A 设 p 则下列命题正确的是 q A 若条件收敛则 p 与都收敛 q B 若绝对收敛则 p 与都收敛 q C 若条件收敛则 p 与敛散性都不定 q D 若绝对收敛则 p 与敛散性都不定 B ] 分析根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案 q 详解若绝对收敛即收敛当然也有级数收敛再根据 p q 及收敛级数的运算性质知与都收敛故应选 p q B

8 设三阶矩阵 A 若 A 的伴随矩阵的秩为则必有 A 或 + B 或 + C 且 + D 且 + C ] 分析 A 的伴随矩阵的秩为说明 A 的秩为由此可确定应满足的条件详解根据 A 与其伴随矩阵 A* 秩之间的关系知秩 A 故有即有或 5 设均为维向量下列结论不正确的是 A 若对于任意一组不全为零的数 k k 都有 k k 则线性无关 B 若线性相关则对于任意一组不全为零的数 k k k 都有 C 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 D 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关 B ] 分析本题涉及到线性相关线性无关概念的理解以及线性相关线性无关的等价表现形式应注意是寻找不正确的命题详解 A: 若对于任意一组不全为零的数 k k 都有 k k 则必线性无关因为若线性相关则存在一组不全为零的数 k k 使得 k k 矛盾可见 A 成立 B: 若但当时显然秩 A 故必有且 + 应选 C 评注阶矩阵 A 与其伴随矩阵 A* 的秩之间有下列关系 : r A r A* r A r A k k 线性相关则存在一组而不是对任意一组不全为零的数 k k 都有 k k B 不成立

9 C 线性无关则此向量组的秩为 ; 反过来若向量组的秩为则线性无关因此 C 成立 D 线性无关则其任一部分组线性无关当然其中任意两个向量线性无关可见 D 也成立综上所述应选 B 评注原命题与其逆否命题是等价的例如原命题 : 若存在一组不全为零的数 k k 使得 k k 成立则线性相关其逆否命题为 : 若对于任意一组不全为零的数 k k 都有 k k 则价性线性无关在平时的学习过程中应经常注意这种原命题与其逆否命题的等 6 将一枚硬币独立地掷两次引进事件 : { 掷第一次出现正面 } A { 掷第二次出现正面 } { 正反面各出现一次 } A { 正面出现两次 } 则事件 A A A 相互独立 B A A A 相互独立 C A A 两两独立 D A A A 两两独立 C ] 分析按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可注意应先检查两两独立若成立再检验是否相互独立详解因为 P A P A P A P A 且 P A A P A A P A A P A A P A A A 可见有 P A A P A P P A A P A P P A A P A P P A A A P A P A P P A A P A P 故 A A 两两独立但不相互独立 ; A A A 不两两独立更不相互独立应选 C 评注本题严格地说应假定硬币是均匀的否则结论不一定成立三本题满分 8 分设 A A A A A A A A A A

10 试补充定义使得在上连续分析只需求出极限然后定义为此极限值即可详解因为由于在上连续因此定义使在上连续评注本题实质上是一求极限问题但以这种形式表现出来还考查了连续的概念在计算过程中也可先作变量代换 - 转化为求的极限可以适当简化四本题满分 8 分设具有二阶连续偏导数且满足又求分析本题是典型的复合函数求偏导问题 : 直接利用复合函数求偏导公式即可注意利用详解 ] lm lm ] lm lm co co lm co co lm ] ]

11 故所以评注本题考查半抽象复合函数求二阶偏导五本题满分 8 分计算二重积分其中积分区域 D 分析从被积函数与积分区域可以看出应该利用极坐标进行计算详解作极坐标变换 : 有令则记则因此评注本题属常规题型明显地应该选用极坐标进行计算在将二重积分化为定积 dd I D } { co r r dd I D dr r r d r t r tdt I t tdt A t t t d A t ] co tdt t t t co t td ] co tdt t t t A A I

12 分后再通过换元与分步积分均为最基础的要求即可得出结果综合考查了二重积分换元积分与分步积分等多个基础知识点六本题满分 9 分求幂级数的和函数及其极值分析先通过逐项求导后求和再积分即可得和函数注意当时和为求出和函数后再按通常方法求极值详解上式两边从到积分得 t dt l t 由得 l 令求得唯一驻点由于可见在处取得极大值且极大值为评注求和函数一般都是先通过逐项求导逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形然后再通过逐项积分逐项求导等逆运算最终确定和函数七本题满分 9 分设 F 其中函数在内满足以下条件 : 且求 F 所满足的一阶微分方程 ; 求出 F 的表达式分析 F 所满足的微分方程自然应含有其导函数提示应先对 F 求导并将其余部分转化为用 F 表示导出相应的微分方程然后再求解相应的微分方程详解由 F ] -F 可见 F 所满足的一阶微分方程为

13 F F F d C 将 F 代入上式得 C- 于是 F d d C] d C] 评注本题没有直接告知微分方程要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式从题型来说比较新颖但具体到微分方程的求解则并不复杂仍然是基本要求的范围八本题满分 8 分设函数在 ] 上连续在内可导且 ++ 试证必存在使分析根据罗尔定理只需再证明存在一点 c 使得 c 然后在 c] 上应用罗尔定理即可条件 ++ 等价于问题转化为介于的最值之间最终用介值定理可以达到目的详解因为在 ] 上连续所以在 ] 上连续且在 ] 上必有最大值 M 和最小值 m 于是 m M m M m M 故 m M 由介值定理知至少存在一点 c ] 使 c 因为 c 且在 c] 上连续在 c 内可导所以由罗尔定理知必存在 c 使评注介值定理微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点且一般是两两结合起来考本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形九本题满分分已知齐次线性方程组

14 其中试讨论和满足何种关系时方程组仅有零解 ; 方程组有非零解在有非零解时求此方程组的一个基础解系分析方程的个数与未知量的个数相同问题转化为系数矩阵行列式是否为零而系数行列式的计算具有明显的特征 : 所有列对应元素相加后相等可先将所有列对应元素相加然后提出公因式再将第一行的 - 倍加到其余各行即可计算出行列式的值详解方程组的系数行列式当时且时秩 A 方程组仅有零解当时原方程组的同解方程组为由可知不全为零不妨设得原方程组的一个基础解系为当时有原方程组的系数矩阵可化为 A

15 将第行的 - 倍加到其余各行再从第行到第行同乘以倍将第行倍到第行的倍加到第行再将第行移到最后一行由此得原方程组的同解方程组为原方程组的一个基础解系为评注本题的难点在时的讨论事实上也可这样分析 : 此时系数矩阵的秩为 - 存在 - 阶子式不为零且显然为基础解系十本题满分分设二次型 X AX 为方程组的一个非零解即可作中二次型的矩阵 A 的特征值之和为特征值之积为 - 求的值 ; 利用正交变换将二次型化为标准形并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵分析特征值之和为 A 的主对角线上元素之和特征值之积为 A 的行列式由此可求出的值 ; 进一步求出 A 的特征值和特征向量并将相同特征值的特征向量正交化若有必要然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵详解二次型的矩阵为

16 设 A 的特征值为由题设有解得 - 由矩阵 A 的特征多项式得 A 的特征值对于解齐次线性方程组得其基础解系对于解齐次线性方程组得基础解系由于已是正交向量组为了得到规范正交向量组只需将单位化由此得令矩阵则 Q 为正交矩阵在正交变换 XQY 下有 A A E A E A E Q

17 Q AQ 且二次型的标准形为评注本题求也可先计算特征多项式再利用根与系数的关系确定 : 二次型的矩阵 A 对应特征多项式为 E A 设 A 的特征值为则由题设得解得十一本题满分分设随机变量 X 的概率密度为 ] 若 8] 其他 ; F 是 X 的分布函数求随机变量 YFX 的分布函数分析先求出分布函数 F 的具体形式从而可确定 YFX 然后按定义求 Y 的分布函数即可注意应先确定 YFX 的值域范围 F X 再对分段讨论详解易见当 < 时 F; 当 >8 时 F 对于 8] 有 F dt t 设 G 是随机变量 YFX 的分布函数显然当时 G; 当时 G 对于有 G P{ Y } P{ F X } P{ X } P{ X } F ]

18 若于是 YFX 的分布函数为 G 若若评注事实上本题 X 为任意连续型随机变量均可此时 YFX 仍服从均匀分布 : 当 < 时 G; 当时 G; 当时 G P{ Y } P{ F X } P{ X F } F F 十二本题满分分设随机变量 X 与 Y 独立其中 X 的概率分布为 X ~ 7 而 Y 的概率密度为求随机变量 UX+Y 的概率密度分析求二维随机变量函数的分布一般用分布函数法转化为求相应的概率注意 X 只有两个可能的取值求概率时可用全概率公式进行计算详解设 F 是 Y 的分布函数则由全概率公式知 UX+Y 的分布函数为 G P{ X Y } P{ X Y X } 7P{ X Y X } P{ Y X } 7P{ Y X } 由于 X 和 Y 独立可见 G P{ Y } 7P{ Y } F 7F 由此得 U 的概率密度 G F 7F 7 评注本题属新题型求两个随机变量和的分布其中一个是连续型一个是离散型要求用全概率公式进行计算类似问题以前从未出现过具有一定的难度和综合性

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( )

2014 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一选择题 :1~8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 设 lim a = a, 且 a 0, 则当 n 充分大时有 ( ) 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一选择题 :~8 小题, 每小题分, 共分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. () 设 lim, 且, 则当充分大时有 ( ) (A) > (B) < (C) > (D) < + () 下列曲线有渐近线的是 ( ) (A) y + si (B) y + si (C) y +