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1 绝密 启用前 年全国硕士研究生招生考试 数学 一 试题 一 选择题 小题 每小题 分 共 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求的 设函数 在 内持续 其 阶导函数 的图形如右图所示 则由线 的拐点个数为 设 是二阶常系数非齐次线性微分方程 的一个特解 则 若级数 条件收敛 则 与 依次为幂级数 的 收敛点 收敛点 收敛点 发散点 发散点 收敛点 发散点 发散点 设 是第一象限中由曲线 与直线 围成的平面区域 函数 在 上连续 则!"!"!"!" # 设矩阵 若集合 则线性方程组 有无穷多解的 充分必要条件为 $ 二次型 在正交变换 下的标准形为 其中 若 则 在正交变换 下的标准型为

2 % 若 为任意两个随机事件 则!!!!!!!!!!!! 设随机变量 "# 不相关 且 $"$#" 则 $""# # # 二 填空题 小题 每小题 分 共 分!" '!" % % 若函数 由方程!" 确定 则 % 设 是由平面 与三个坐标平面所围成的空间区域 则 阶行列式 设二维随机变量 "# 服从正态分布 ' 则!"## 三 解答题 小题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 # 本题满分 分 设函数 若 与 在 时为等价无穷小 求 的值 $ 本题满分 分 设函数 在定义域 上的导数大于零 若对任意的 曲线 在点 处的切线与直线 及 轴所围成区域的面积恒为 且 求 的表达式

3 % 本题满分 分 已知函数 曲线 求 在曲线 上的最大方向导数 本题满分 分 设函数 可导 利用导数定义证明 设函数 可导 写出 的求导公式 ' 本题满分 分 已知曲线 ( 的方程为 曲线积分 ( 起点为 终点为 计算 本题满分 分 设向量组 是 的一个基 证明 为 的一个基 当 为何值时 存在非零向量 在基 与基 下的坐标相同 并求所有的

4 本题满分 分 设矩阵 相似于矩阵 求 的值 求可逆矩阵 使 为对角矩阵 本题满分 分 设随机变量 " 的概率密度为 对 " 进行独立重复的观测 直到第 个大于 的观测值出现为止 记 # 的观测次数 求 # 的概率分布 求 $# 本题满分 分 设总体 " 的概率密度为 其中 为未知参数 """ 其他 为随机样本 求 的矩阵估计量 求 的最大似然估计量

5 年全国硕士研究生招生考试数学 一 真题点评 一 选择题 #$% 二 填空题 ' 三 解答题 # $ % 略 ' 略 为任意非零常数 #!# % $#$ ) " ) " " " 题型测评项目 选择题 填空题 ' 解答题 #' 解答题 解答题 合计 建议用时 # 分钟 # 分钟 分钟 # 分钟 # 分钟 分钟 实际用时得 分

6 考点分布表一 高等数学部分 考 点极限一元微分学一元积分学多元微分学多元积分学级数微分方程 分 数 # ' 考点分布表二 线性代数部分 考 点行列式矩阵向量方程组特征值与特征向量二次型 分 数 # 考点分布表三 概率论与数理统计部分 考 点 事件和概率 随机变量及分布 多维随机变量 数字特征大数定律统计量点估计 分 数 % ' # 年数学 一 的试题与往年相比 难度略有降低 基本上没有偏题 怪题 主要考查对基本知识的理解与掌握 同时注重知识点和计算方法的综合运用 命题方式比较灵活 新颖 如高等数学部分的第 题 第 % 题 线性代数部分的第 两题计算量比较大 概率论与数理统计部分题目比近两年考研题的计算量大大减少 同时今年考题覆盖的知识面比较广 注重教材上重要的 基础的知识点的考查 如第 题 高等数学部分 道题 共 分 这部分试题遵循并紧扣考研大纲 体现了以考查基本概念 基本原理 基本方法为主的理念 难度与近几年试题相当 考点的分布与分值搭配比较合理 其中 第 题用比较新颖的命题方式考查了拐点的求法 第 $% 题是两道综合题 特别是 % 题 考查了方向导数 梯度与条件极值 其命题方式比较新颖且有一定难度 题是教材上定理的证明 因此考生对教材上重要定理的证明及基本概念也不应忽略 其他题目均为基本题型 所以考生在复习时要注重基本概念 基本定理和基本方法的学习 并不断总结解题思路 方法 以达到 做一题通一类题 的目的 线性代数部分 # 道题 共 分 试卷难度与往年相当 选择题的第 $ 题将初等变换和二次型的标准化结合起来 填空题的第 题的行列式计算稍有难度 解答题的第 题考查一般矩阵的相似对角化 是常规题型 解答题第 题的第 问稍有难度 但这也是考研数学中的重点和难点 概率论与数理统计部分 # 道题 共 分 整体难度比 年有所降低 总体来说知识点分布比较均匀合理 考查了概率基本性质 概率计算方法 数字特征计算及点估计等知识 注重基本概念 基本公式和基本方法的运用 题目的计算量比 年和 年大大减少 与往年相同的是注重知识点的综合考查 如第 题考查的是间接法求期望 考查了期望性质 方差公式及协方差公式 第 题考查了二维正态分布的两个重要结论 第 题将连续型变量与离散型变量相结合 既考查了连续型变量的概率问题 又考到离散型变量的概率分布及其应用

7 一 选择题 考点定位 曲线的拐点 思路探索 利用二阶导函数 的符号判断曲线的凹凸 再由拐点定义可得结论 由二阶导函数 的图形可知 二阶导数为零的点有两个 而 则是二阶导数不存在的点 在二阶导数为零的点中只有一个点左 右两侧二阶导数的符号相反 因此对应曲线 上一个拐点 在 左侧 为正 在 右侧 为负 因曲线 上点 也是一个拐点 故曲线 共有 个拐点 故应选 连续曲线 拐点的求法 求拐点的可疑点 设 的定义域为 且在 上 的根为 * 使 不存在的点为 * ' 则点 ' ' 为曲线 拐点的可疑点 若 在 + +' 的左 右邻域内变号 则 + + +' 为拐点 否则不是拐点 若 存在且 +! 则 + + +' 为拐点 考点定位 二阶常系数线性微分方程解的性质与结构 思路探索 本题可用不同方法解答 解法一利用二阶常系数线性微分方程解的结构与性质 求得 解法二由解的定义将已知解代入所给微分方程 从而得一个关于 的三元一次线性方程组 解方程组得 的值 解法一 由题设条件知 是已知二阶常系数非齐次线性微分方程所对 应的齐次微分方程的两个特解 由此知 是特征方程 的两个根 由一元二次方程根与系数的关系 得 于是原方程化为 由二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构知 是原方程的一个特解 将 代入 中 得 即 故应选 解法二 将已知解 代入微分方程 中 得 #

8 对比上式两端同类项系数得 " 故应选 # 本题考查的是二阶常系数非齐次线性微分方程的反向问题 即已知微分方程的解 确定微分方程中待定系数 这类问题一般可采用以上两种解法 显然 解法一利用了二阶线性微分方程解的结构与性质 这种方法计算量小 但要求考生对二阶线性微分方程解的结构非常熟悉 第二种解法易于理解 但计算量较大 考点定位 幂级数的收敛区间及收敛域 思路探索 由题设条件可得幂级数 收敛半径及收敛区间 根据幂级数的性质及 阿贝尔定理便可得结果 由于级数 在 处条件收敛 因此该级数的收敛半径, 收敛区间为 根据收敛半径, 的计算定理 知级数 的收敛半径也是, 而其收敛区间为 而幂级数 可视为由 逐项求导所得 根据幂级数的性质知 级数 的收敛区间仍是 因为 所以 是收敛点 而当 时对应数项级数为 又级数 条件收敛 由数项级数收敛与发散的定义知级数 发散 即 是发散点 故应选 关于幂级数 的收敛域的求法 一般先求收敛半径, 由此得收敛区间,, 再由数项级数, 及, 敛散性 可得收敛域为,, 或,, 或,, 或,, 幂级数 的性质 级数 在收敛域内绝对收敛 级数 在收敛区间,, 内可逐项求导或逐项积分 且所得新的幂级数 与! 的收敛区间仍为,, 收敛域可能与 不同 的收敛区间关于 对称 而级数 的收敛区间关于 对称

9 考点定位 二重积分计算 思路探索 在极坐标系中二重积分化为先 后 的二次积分 如图 #- 所示 在极坐标系中积分区域 为 于是有 故应选!" 二重积分的极坐标形式为 #!" 根据积分区域 与极点的关系分以下三种情况 极点在区域 的边界曲线外 即 则!" 极点在区域 的边界曲线上 即 则!" 极点在区域 的边界曲线内 即 则 考点定位 非齐次线性方程组解的判别!" 思路探索 先用克拉默法则求出 的范围 再利用 求出 的范围 ## 由线性方程组有无穷多解 得 ## 即 或 当 时 $

10 由题意 知 即 或 同理 当 时 $ 由题意 知 即 或 故应选 本题的系数行列式是范德蒙德行列式 故先用克拉默法则判别 的范围 若是没有看出这一知识点 直接对增广矩阵进行初等行变换 则会增加计算量 $ 考点定位 二次型的标准形 初等变换 思路探索 先利用初等变换与初等矩阵的关系 写出 和 的关系 再利用二次型的标准化过 程与矩阵合同的关系 进行求解 又因为 所以 故应选 二次型 借助正交变换 化为标准形 等价于实对 称阵 借助正交阵 合同于对角阵 % % 考点定位 事件的独立性和概率性质公式

11 思路探索 利用概率性质和独立性判断各项的正确性 对于 选项 当事件 与 独立时!!! 而当 不独立时! 与!! 没有确定的关系 所以 选项错误 对于 选项 由概率性质 两式相加 得 即!!! 故应选!!!!!!! 本题考查概率的性质 解法多样 常见思路有 利用概率单调性 因为 所以!! 同理!! 因此!!! 即!!! 利用广义加法分式 因为!'!!! 所以!!!!'! 即!!! 故!!! 考点定位 求数学期望 思路探索 利用数学期望的性质 方差公式及不相关求出结果 因为 "# 不相关 所以 "("#$"#$"$# 即 $"#$"$# 则 $""#$" "#"$" $"#$" 二 填空题 "$" $"$#$"# ' 考点定位 未定式的极限 思路探索 本题可用等价无穷小替换求其极限 也可用洛必达法则 解法一 利用等价无穷小代换

12 解法二 利用洛必达法则 故应填!"!"!"!"!"!" 当 时 常用的等价无穷小为 ) *!) *!!" 考点定位 定积分计算 思路探索 利用奇 偶函数的积分性质即可 因为 为奇函数 ## 是偶函数 且积分区间!" 函数在对称区间上的定积分性质得 故应填!" % %!" %% 关于原点对称 所以由奇 偶 本题为基本题型 主要考查了关于原点对称区间上奇偶函数的积分性质 设 在 上连续 则 为奇函数 为偶函数 考点定位 多元函数全微分与隐函数求导法 思路探索 先求隐函数 的偏导数 再求其全微分

13 解法一 令.!" 则... 将 代入已知方程得 " 所以.. 于是由公式得.. 解法二 对方程!" 两端同时微分 得 所以 又当 时 则 故应填 本题属于基本题 考查隐函数求导及多元函数求全微分 这两个知识点是考研的重点 隐函数求导公式 设. 且.! 则有.... 隐函数求导常用的方法为在已知方程两边分别对 或 求导 将 视为 的二元函数 再解出 或 还可用全微分法 如本题解法二 二元函数 的全微分计算公式为 考点定位 三重积分计算 思路探索 在直角坐标系中将三重积分化为三次积分计算 解法一 利用轮换对称性知 / / / 于是

14 $ $ 解法二 直接计算 故应填 # $ # $ 三重积分的计算是高等数学的难点之一 也是基本题 一般是根据积分区域的形状和被积函数的特点 采用直角坐标或柱面坐标或球面坐标 无论采用哪种坐标计算都是将三重积分化为三次 或累次 积分 本题解法一比较简便 但要求考生能由被积函数的特性及积分区域的形状 熟练运用三重积分的轮换对称性 大多数考生是利用解法二 但该方法计算量较大 考点定位 阶行列式的计算 思路探索 利用行列式的性质将行列式化为上三角形行列式 第 + 行的 倍加到第 + 行

15 + % 形如 等形状的行列式 我们可以利用性质化为 三角形行列式 考点定位 连续型随机变量的二维正态分布 事件的独立性 思路探索 利用 "# 的相关参数确定 " 和 # 的独立性和分布 进而求出!"## 由于相关系数为 所以 "# 都服从正态分布 即 且 " 和 # 相互独立 由 "' 可得 "' 所以 "'#'!"##!"#!"#!" #!"!#!"!# + + 本题考查了二维正态分布与一维正态分布的重要结论 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布 即当 ' 时 "' #' 二维正态分布分独立 不相关 即 " 与 # 相互独立 若 "' 则!! 本题中 "'#' 则!"!"!#!# 三 解答题 # 考点定位 等价无穷小的概念 洛必达法则 思路探索 利用等价无穷小的定义写出极限表达式 再由极限

16 逆问题求 的值 解法一 由题设条件 知 由该式 知 则 代入上式知 若使该式成立 则必有!"!"!"!" 分 则 再将 代入 得原式化为 $ 分 $!" $!" 解得 即 解法二 由于 0 0 分 分 根据题意知 $ 分 欲使上式成立 则必有 " 分

17 已知极限存在或已知极限值求其表达式中的待定常数这类问题称为极限的逆问题 解答这类问题的一般思路为 将所给极限式利用洛必达法则或泰勒展开式进行化简 利用 当! 时 必有 与 同时为零式或同时不为零 如若 存在且 则必有 由此建立含有待定常数的关系式或方程组 便可求得参数值 $ 考点定位 导数的几何应用 微分方程求解 思路探索 先求切线方程 再由切线 轴及直线 所围面积得关于 的一阶微分方程 解微方程可得 的表达式 由题意知曲线 在 处的切线方程为 即 该切线与 轴交点的横坐标为 由题设条件 知 即 " 由 的任意性 得 解微分方程得 由 " 故 分 $ 分 分 本题也是一道难度不大的综合题 主要考查了导数的几何应用及一阶微分方程求解等知识点 解该题的关键是由题设条件建立关于函数 的一阶微分方程 解微分方程即可得 的具体表达式 % 考点定位 方向导数 梯度与多元函数的条件极值 思路探索 先求函数 在点 处的梯度 再求梯度的模 ## 最后求 在约束条件 下的最大值 由条件知 于是梯度为 由梯度与方向导数 的关系知 1

18 , ## 1 于是问题转化为求函数 在约束条件 下的最大值 分为计算方便可将问题转化为求函数 在条件 下的最大值 于是由拉格朗日乘法 令 则 解得.... 于是得下列可疑点 所求最大值为,, 故 在曲线 上的最大方向导数为 分 本题是一道综合题 有一定难度 且命题方式很新颖 考查了梯度 方向导数与条件极值等多个知识点 解答本题的关键是利用方向导数与梯度的关系 即梯度方向的方向导数最大 且方向导 数的最大值就是梯度的模 本题中为 ## 于是问题就转化为在约束条件 下求函数 的最大值 该题中为计算方便起见将求 的最大值转化为求 的最大值 一般求函数 在条件 下的最值这类问题是考研中的常考题型 这种题目有相对固定的解题步骤 即 构造拉格朗日函数. 解方程组... 得最值可疑点 * * 这一步是解题的关键 函数 满足要求的最大值为, * * 考点定位 导数定义 函数乘积的求导法则 公式 思路探索 先求函数地增量及变量的增量 再算二者的比值 最后在 时求上述比值的极限

19 因为函数 可导 所以 且 从而 分 % 分 分 本题考查了导数的定义这一重要概念 由此得出函数乘积的求导公式 这个结论在任何一本高等数学教材上都有 因此考生在平时复习时应重视课本 加强基础 而不应该只关心定式 技巧及押题 以免陷入误区 同时本题也为考研数学复习指明了方向 ' 考点定位 第二类曲线积分的计算及斯托克斯公式的应用 思路探索 本题可采用两种方法计算曲线积分 一种方法是直接将曲线积分化为定积分 另一种方法是利用斯托克斯公式将曲线积分转化为曲面积分进行计算 解法一 参数法 由 ( 的方程 知若以 为参数 则 ( 的方程可表示为!" ( 从 到!" 所以 ( 分!"!"!"!"!" 分!"!"!"

20 解法二 设 ( 是从点量的方向余弦为 由斯托克斯公式 到点 的直线段 为平面 上由 ( 与 ( 围成的半圆面下侧 其法向 分 (( % 分 由于曲面 关于 平面对称 被积函数关于 为奇函数 所以 即 (( 又 ( 的参数方程为 从 到 所以 ( 故 分 计算第二类曲线积分常用的方法是 参数法 首先要写出积分路径的参数表达式 特别要注意的是参数的起点对应曲线的起点 将极坐标的曲线积分化为定积分时 定积分的下限对应参数的起点 上限对应参数的终点 下限不一定小于上限 因为极坐标的曲线积分与曲线的方向有关 如果曲线方程是用直角坐标 或极坐标 表示时 可先将其化为参数方程然后再计算 如本题中解法一 利用斯托克斯公式 斯托克斯公式建立了曲面积分与以此曲面的边界为曲线的对坐标的曲线积分之间的联系 利用该公式关键是根据给出的空间曲线适当地选取以此曲线为边界的曲面 以达到使计算简单之目的 大多数情况下可选取空间的平面的一部分 如本题解法二中的 另外 在利用斯托克斯公式时应注意公式成立的条件 当条件不满足时 不能直接利用公式 而应创造条件使其满足公式的要求后再利用公式 考点定位 向量组线性关系的判别 线性方程组的变形考查 思路探索 利用定义法判别线性关系 转化为齐次线性方程组的考查

21 由于 其中 且 ##! 所以 为 的一个基 设 在基 与基 下的坐标向量为 则 $ 分 所以 分 对 施以初等行变换 所以当 时 方程组 有非零解 且所有非零解为 为非零常数 故在两个基下坐标相同的所有非零向量为 为非零常数 分 本题是综合题 大家要注意以下几点 数学 一 中向量空间这一考点 出大题的不多见 但牢牢掌握一点 向量空间中的知识点与向量组中相应知识点是完全一致的 第 问线性关系的判别也可采用以下方法 由 且! 所以 # ###! 故 线性无关 第 问有一些难度 关键在于将问题转化为齐次线性方程组的求解问题 线性方程组的变形考查是考研数学中的热点和难点 请多加关注

22 考点定位 矩阵的相似对角化 思路探索 利用相似矩阵的性质求出 和 利用相似 求出 的特征值即为 的特征值 进而再求出 的线性无关的特征向量 从而求出可逆矩阵 因 和 相似 所以 )*)* 即 解得 # 分 因 和 相似 故有相同的特征值 又 # # 得 的特征值为 # 当 时 解 的基础解系为 当 # 时 解 # 的基础解系为 令 则有 # % 分 分 本题是线性代数中的常规是型 但要注意以下几点 求 的特征值时 不要直接求 计算量大 而是利用相似 求 的特征值 若是直接求 的特征值 可以如下处理 故 的特征值为 进而 的特征值为 # 但是这种方程技巧太强 不易观察 求 的特征向量只能直接求 因为相似矩阵的特征向量并不相同 考点定位 离散型随机变量的分布和数学期望

23 思路探索 先利用 " 的概率密度求出 " 的概率 进而求出 # 相应取值的概率和 # 的数学期望 每次观测中 观测值大于 的概率为 故 # 的概率分布为 由 知!" 0 0!# % $# % % $ % 分 $ 分 分 部分考生将 # 误认为二项分布 导致结论错误 实际上第 次观测时 发 生 而前 次观测中 出现一次 本题将连续型随机变量与离散型随机变量巧妙结合在一起 属于考研中常见的命题方式 先给定一个连续型随机变量的概率密度 然后对该变量进行多次观测 # 表示某事件的出现次数 求 # 的概率分布或数学特征 考点定位 参数的矩估计 最大似然估计 思路探索 利用 $" 与 " 的关系计算 的矩估计量 利用 ( 的表达式求出使其达到最大值时的 ) 由于总体 " 服从区间 上的均匀分布 所以 $" 令 " 其中 " 为样本均值 得 的矩估计量 ) " 记 为样本 " " " 的观测值 则似然函数为 ( 其他 其他 由此可知 当 时 ( 达到最大 故 的最大似然估计量为 分 # 分 ' 分 ) " " " 分

24 许多考生不理解最大似然估计法 只是死记硬背 生搬硬套 对本题似然函数无 难点的特殊情形不会处理而导致失分 例如 常见错误一 因为 (! 或 (! 所以 ) 不存在 常见错误二 令 ( 得出 常见错误三 因为 ( 或 ( 所以 ( 单增而 所以 )

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