第12章

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1 第十二章微分方程教学目的 : 了解微分方程及其解阶通解初始条件和特等概念熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法会解齐次微分方程伯努利方程和全微分方程会用简单的变量代换解某些微分方程 4 会用降阶法解下列微分方程 : ( n ) f( ) + f( ) 和 f( ) 5 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理 6 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程 7 求自由项为多项式指数函数余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解 8 会解欧拉方程会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组 9 会解微分方程组 ( 或方程组 ) 解决一些简单的应用问题教学重点 : 可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法可降阶的高阶微分方程 ( n) f( ) + f( ) 和 f( ) 二阶常系数齐次线性微分方程 ; 4 自由项为多项式指数函数余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程 ; 教学难点 : 齐次微分方程伯努利方程和全微分方程; 线性微分方程解的性质及解的结构定理; 自由项为多项式指数函数余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解欧拉方程忻州师范学院高等数学课程建设组

2 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程例一曲线通过点 ( ) 且在该曲线上任一点 M( ) 处的切线的斜率为求这曲线的方程解设所求曲线的方程为 () 根据导数的几何意义可知未知函数 () 应满足关系式 ( 称为微分方程 ) d () 此外未知函数 () 还应满足下列条件 : 时简记为 () 把 () 式两端积分得 ( 称为微分方程的通解 ) 即 +C () 其中 C 是任意常数把条件时代入 () 式得 +C 由此定出 C 把 C 代入 () 式得所求曲线方程 ( 称为微分方程满足条件的解 ): + 例列车在平直线路上以 0m/s( 相当于 7km/h) 的速度行驶 ; 当制动时列车获得加速度 04m/s 问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解设列车在开始制动后 t 秒时行驶了 s 米根据题意反映制动阶段列车运动规律的函数 ss(t) 应满足关系式忻州师范学院高等数学课程建设组

3 d s 04 (4) 此外未知函数 ss(t) 还应满足下列条件 : t0 时 s0 v ds 0 简记为 s t0 0 s t0 0 (5) 把 (4) 式两端积分一次得再积分一次得 v ds 04t + C ; (6) s 0t +C t +C (7) 这里 C C 都是任意常数把条件 v t0 0 代入 (6) 得 0C ; 把条件 s t0 0 代入 (7) 得 0C 把 C C 的值代入 (6) 及 (7) 式得 v 04t +0 (8) s 0t +0t (9) 在 (8) 式中令 v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 t 0 50 (s) 04 再把 t50 代入 (9) 得到列车在制动阶段行驶的路程 s (m) 解设列车在开始制动后 t 秒时行驶了 s 米 s 04 并且 s t0 0 s t0 0 把等式 s 04 两端积分一次得 s 04t+C 即 v 04t+C (C 是任意常数 ) 再积分一次得 s 0t +C t +C (C C 都 C 是任意常数 ) 由 v t0 0 得 0C 于是 v 04t +0; 由 s t0 0 得 0C 于是 s 0t +0t 忻州师范学院高等数学课程建设组

4 令 v0 得 t50(s) 于是列车在制动阶段行驶的路程 s (m) 几个概念 : 微分方程 : 表示未知函数未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程 : 未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程偏微分方程 : 未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程微分方程的阶 : 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶 + 4 (4) sin (n) +0 一般 n 阶微分方程 : F( (n) )0 (n) f( (n ) ) 微分方程的解 : 满足微分方程的函数 ( 把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式 ) 叫做该微分方程的解确切地说设函数 ϕ() 在区间 I 上有 n 阶连续导数如果在区间 I 上 F[ ϕ() ϕ () ϕ (n) ()]0 那么函数 ϕ() 就叫做微分方程 F( (n) )0 在区间 I 上的解通解 : 如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解初始条件 : 用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如 0 时 0 0 一般写成特解 : 确定了通解中的任意常数以后就得到微分方程的特解即不含任意常数的解忻州师范学院高等数学课程建设组 4

5 初值问题 : 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题如求微分方程 f( ) 满足初始条件 0 的解的问题记为 f ( ) 0 0 积分曲线 : 微分方程的解的图形是一条曲线叫做微分方程的积分曲线例验证 : 函数 C cos kt+c sin kt 是微分方程 d + k 0 的解解求所给函数的导数 : kc sin kt + kc coskt d k C coskt k C sin kt k ( C coskt + C sinkt) d 将及的表达式代入所给方程得 k (C cos kt+c sin kt)+ k (C cos kt+c sin kt) 0 d 这表明函数 C coskt+c sinkt 满足方程 + k 0 因此所给函数是所给方程的解 d 例 4 已知函数 C coskt+c sinkt(k 0) 是微分方程 + k 0 的通解求满足初始条件 t0 A t0 0 的特解 0 解由条件 t0 A 及 C cos kt+c sin kt 得 C A 再由条件 t0 0 及 (t) kc sin kt+kc cos kt 得忻州师范学院高等数学课程建设组 5

6 C 0 把 C C 的值代入 C cos kt+c sin kt 中得 Acos kt 忻州师范学院高等数学课程建设组 6

7 可分离变量的微分方程观察与分析 : 求微分方程的通解为此把方程两边积分得 +C ) 一般地方程 f() 的通解为 f ( + C ( 此处积分后不再加任意常数 ) 求微分方程的通解因为是未知的所以积分无法进行方程两边直接积分不能求出通解为求通解可将方程变为 d 两边积分得 + C 或可以验证函数 + C 是原方程的通解 + C 一般地如果一阶微分方程 ϕ( ) 能写成 g()df() 形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G()F()+C 由方程 G()F()+C 所确定的隐函数就是原方程的通解对称形式的一阶微分方程 : 一阶微分方程有时也写成如下对称形式 : P( )+Q( )d0 在这种方程中变量与是对称的若把看作自变量看作未知函数则当 Q() 0 时有 d P( ) Q( ) 若把看作自变量看作未知函数则当 P() 0 时有 Q( ) d P( ) 忻州师范学院高等数学课程建设组 7

8 可分离变量的微分方程 : 如果一个一阶微分方程能写成 g()df() ( 或写成 ϕ()ψ()) 的形式就是说能把微分方程写成一端只含的函数和 d 另一端只含的函数和那么原方程就称为可分离变量的微分方程讨论 : 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程? () 是 d () +5 0 是 d( +5) ()( + ) d0 不是 (4) ++ + 是 (+)(+ ) (5) 0 + 是 0 d0 (6) + 不是可分离变量的微分方程的解法 : 第一步分离变量将方程写成 g()d f() 的形式 ; 第二步两端积分 : g ( ) d f ( ) 设积分后得 G()F()+C; 第三步求出由 G()F()+C 所确定的隐函数 Φ() 或 Ψ() G()F()+C Φ () 或 Ψ() 都是方程的通解其中 G()F()+C 称为隐式 ( 通 ) 解例求微分方程解两边积分得 d 的通解此方程为可分离变量方程分离变量后得 d d 即 ln +C + C 从而 C ± e ± e e 因为 ±e C 仍是任意常数把它记作 C 便得所给方程的通解忻州师范学院高等数学课程建设组 8

9 解两边积分得即 Ce 此方程为可分离变量方程分离变量后得 d d ln +lnc 从而 Ce 例铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M 成正比已知 t0 时铀的含量为 M 0 求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 变化的规律解铀的衰变速度就是 M(t) 对时间 t 的导数 dm 由于铀的衰变速度与其含量成正比故得微分方程 dm λ M 其中 λ(λ>0) 是常数 λ 前的曲面号表示当 t 增加时 M 单调减少即 dm < 0 由题意初始条件为 M t0 M 0 将方程分离变量得两边积分得 dm λ M dm M ( λ ) 即 lnm λt+lnc 也即 MCe λt 由初始条件得 M 0 Ce 0 C 所以铀含量 M(t) 随时间 t 变化的规律 MM 0 e λt 例设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系忻州师范学院高等数学课程建设组 9

10 解设降落伞下落速度为 v(t) 降落伞所受外力为 Fmg kv( k 为比例系数 ) 根据牛顿第二运动定律 Fma 得函数 v(t) 应满足的方程为 m dv mg kv 初始条件为 v t0 0 方程分离变量得 dv mg kv m dv 两边积分得 mg kv m ln( mg kv) t + C k m k t m mg kc 即 v + Ce e ( C ) k k mg 将初始条件 v t0 0 代入通解得 C k mg t 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为 v ( e m ) k d 例 4 求微分方程的通解解方程可化为 d ( + )( + ) 分离变量得 d (+ ) + 两边积分得 + d ( + ) 即 arctan + + C 于是原方程的通解为 tan( + + C) 例 4 有高为 m 的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为 cm 开始时容器内盛满了水求水从小孔流出过程中容器里水面高度 h 随时间 t 变忻州师范学院高等数学课程建设组 0 k

11 化的规律解由水力学知道水从孔口流出的流量 Q 可用下列公式计算 : Q dv 06S gh 其中 0 6 为流量系数 S 为孔口横截面面积 g 为重力加速度现在孔口横截面面积 Scm 故得到 dv 06 gh 或 dv 06 gh 另一方面设在微小时间间隔 [t t+] 内水面高度由 h 降至 h+dh(dh<0) 则又可 dv πr dh 其中 r 是时刻 t 的水面半径右端置负号是由于 dh<0 而 dv>0 的缘故又因 r (00 h) h h 所以 dv π(00h h )dh 通过比较得到 06 gh π (00h h ) dh 这就是未知函数 hh(t) 应满足的微分方程此外开始时容器内的水是满的所以未知函数 hh(t) 还应满足下列初始条件 : h t0 00 将方程 06 gh π (00h h ) dh 分离变量后得两端积分得 π (00h h dh 06 g ) t π (00h h dh 06 g ) 即 5 t π ( 400 h h ) + C 06 g 5 忻州师范学院高等数学课程建设组

12 其中 C 是任意常数由初始条件得 t π ( ) + C 06 g 5 C π ( ) π g 5 06 g 5 5 π 5 因此 t (7 0 0 h + h ) 06 g 5 上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度 h 与时间 t 之间的函数关系忻州师范学院高等数学课程建设组

13 齐次方程齐次方程 : d 如果一阶微分方程 f ( ) 中的函数 f( ) 可写成的函数即 f ( ) ϕ( ) 则称这方程为齐次方程下列方程哪些是齐次方程? () 0 是齐次方程 d + d + ( ) () d 不是齐次方程 ()( + ) d0 是齐次方程 d + d + (4)(+ 4)+(+ )d0 不是齐次方程 d (5)( sh + ch ) ch d 0 是齐次方程 d sh + ch ch d th 齐次方程的解法 : d 在齐次方程 ϕ ( ) 中令 u 即 u 有分离变量得 u+ du ϕ(u) 忻州师范学院高等数学课程建设组

14 两端积分得 du ϕ( u) u du ϕ( u) u 求出积分后再用例解代替 u 便得所给齐次方程的通解 d d 解方程 + 原方程可写成 d ( ) 因此原方程是齐次方程令 u 则 u 于是原方程变为即分离变量得 d u+ du u + du u u du u u ( ) du u 两边积分得 u ln u +Cln 或写成 ln u u+c 以代上式中的 u 便得所给方程的通解 ln + C 例有旋转曲面形状的凹镜假设由旋转轴上一点 O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行求这旋转曲面的方程忻州师范学院高等数学课程建设组 4

15 解设此凹镜是由 O 面上曲线 L: ()(>0) 绕轴旋转而成光源在原点在 L 上任取一点 M( ) 作 L 的切线交轴于 A 点 O 发出的光线经点 M 反射后是一条平行于轴射线由光学及几何原理可以证明 OAOM 因为 OA AP OP PM cot α OP OM + 而于是得微分方程 + 整理得 + ( ) + 这是齐次方程 d 问题归结为解齐次方程 + ( ) + d 令 v 即 v 得 v + dv v+ v + d 即 dv v + d 分离变量得 dv d v + 两边积分得 ln( v+ v + ) ln lnc v + v + C ( v) v + C C v C 以 v 代入上式得 C( + ) C 这是以轴为轴焦点在原点的抛物线它绕轴旋转所得旋转曲面的方程为 + z C( + ) C 这就是所求的旋转曲面方程例设河边点 O 的正对岸为点 A 河宽 OAh 两岸为平行直线水流速度为 a 有一鸭子从点 A 游向点 O 设鸭子的游速为 b(b>a) 且鸭子游动方向始终朝着点 O 忻州师范学院高等数学课程建设组 5

16 求鸭子游过的迹线的方程例设一条河的两岸为平行直线水流速度为 a 有一鸭子从岸边点 A 游向正对岸点 O 设鸭子的游速为 b(b>a) 且鸭子游动方向始终朝着点 O 已知 OAh 求鸭子游过的迹线的方程解取 O 为坐标原点河岸朝顺水方向为轴轴指向对岸设在时刻 t 鸭子位于点 P( ) 则鸭子运动速度 d v ( v ) ( v ) v 故有 d v 另一方面 ( 0) ( v a+ b a + b ) + + b v ( a b ) + + v a 因此 ( ) + d v b + a 即 ( ) + + d b a 问题归结为解齐次方程 ( ) + + d b 令 u 即 u 得 du a u + d b 分离变量得 du u + a b d 两边积分得 arshu b (ln + lnc) a 将 u 代入上式并整理得 [( ) ( ) + C b C b ] C 以 h 0 代入上式得 C 故鸭子游过的轨迹方程为 h a a 忻州师范学院高等数学课程建设组 6

17 a h + [( ) b ( ) b ] 0 h h h 将 u 代入 arshu b (ln + lnc) 后的整理过程 : a arsh b (ln + lnc) a b a sh ln( C) [( C) a ( C) ] a [( C) b a b a a b b + b ( C) ] [( C) a ( C) a ] C b 忻州师范学院高等数学课程建设组 7

18 4 线性微分方程一线性方程线性方程 : d 方程 + P( ) Q( ) 叫做一阶线性微分方程如果 Q() 0 则方程称为齐次线性方程否则方程称为非齐次线性方程方程 d d 方程 + P( ) 0 叫做对应于非齐次线性方程 + P( ) Q( ) 的齐次线性下列方程各是什么类型方程? d d ()( ) 0 是齐次线性方程 () 是非齐次线性方程 () + cos e sin 是非齐次线性方程 d + (4) 0 不是线性方程 (5)( ) d + + d 0 0 ( + ) 或不是线性方程 ( + ) d 齐次线性方程的解法 : d 齐次线性方程 + P( ) 0 是变量可分离方程分离变量后得 d P( ) 两边积分得 ln P( ) + C P( ) C 或 Ce ( C ± e ) 这就是齐次线性方程的通解 ( 积分中不再加任意常数 ) d 例求方程 ( ) 的通解忻州师范学院高等数学课程建设组 8

19 解这是齐次线性方程分离变量得 d 两边积分得 ln ln +lnc 方程的通解为 C( ) 非齐次线性方程的解法 : 将齐次线性方程通解中的常数换成的未知函数 u() 把 u( ) e P( ) 设想成非齐次线性方程的通解代入非齐次线性方程求得 u ( ) e P( ) u( ) e 化简得 P( ) u ( ) Q( ) e P( ) u Q e P( ) ( ) ( ) + C 于是非齐次线性方程的通解为 P( ) e [ Q( ) e P( ) P( ) + P( ) u( ) e + C] 或 Ce P( ) P P e ( ) + Q e ( ) ( ) P( ) Q( ) 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和 d 例求方程 ( + ) 的通解 + 解这是一个非齐次线性方程 d 先求对应的齐次线性方程 0 的通解 + 分离变量得 d + 5 忻州师范学院高等数学课程建设组 9

20 两边积分得 ln ln (+)+ln C 齐次线性方程的通解为 C(+) 用常数变易法把 C 换成 u 即令 u (+) 代入所给非齐次线性方程得两边积分得 5 + u ( + ) u ( + ) ( ) u ( + ) + + u ( +) u ( + ) + C 再把上式代入 u(+) 中即得所求方程的通解为 ( + ) [ ( + ) + C] 解 : 这里 P ( ) Q ( ) ( + ) + 因为 P ( ) ( ) ln( + ) + e 所以通解为 P( ) ln( + ) e ( +) 5 ( ) ( ) P ( + ) ( + ) ( + ) + Q e P( ) P( ) e [ Q( ) e + C] ( + ) [ ( + ) 5 ( + C] 例有一个电路如图所示其中电源电动势为 EE m sinωt(e m ω 都是常数 ) 电阻 R 和电感 L 都是常量求电流 i(t) 出解由电学知道当电流变化时 L 上有感应电动势 L di 由回路电压定律得 E L di ir0 ) 忻州师范学院高等数学课程建设组 0

21 即 di + R i E L L 把 EE m sinω t 代入上式得初始条件为 di E + R i m sinω t L L i t0 0 方程 di E + R i m sinω t 为非齐次线性方程其中 L L R Em P ( t) Q( t) sinω t L L 由通解公式得其中 C 为任意常数 P( t) P( t) i( t) e [ Q( t) e Em + C] e L ( sin te L ω + C) L E m R R t t e L ( sin te L C) L ω + R Em t ( Rsinω t ω Lcosω t) + Ce L R + ω L ω LEm 将初始条件 i t0 0 代入通解得 C R + ω L 因此所求函数 i(t) 为 ( ω LEm t Em i t) e L + R + ω L R + ω L 二伯努利方程伯努利方程 : 方程叫做伯努利方程 R R ( Rsinω t ω Lcosω ) t d + P( ) Q( ) n (n 0 ) 下列方程是什么类型方程? d 4 () + ( ) 是伯努利方程 d () 5 d 5 + 是伯努利方程忻州师范学院高等数学课程建设组 R

22 () + 是伯努利方程 d (4) 4 是线性方程不是伯努利方程伯努利方程的解法 : 以 n 除方程的两边得 d n + 令 z n 得线性方程即 n P( ) Q( ) dz + ( n) P( ) z ( n) Q( ) d 例 4 求方程 + a(ln ) 的通解解以除方程的两端得 d + d ) + ( 令 z 则上述方程成为 dz z aln aln aln 这是一个线性方程它的通解为 z [ C a (ln ) ] 以代 z 得所求方程的通解为的方程 [ C a (ln ) ] 经过变量代换某些方程可以化为变量可分离的方程或化为已知其求解方法 d 例 5 解方程 + 解若把所给方程变形为 + d 即为一阶线性方程则按一阶线性方程的解法可求得通解但这里用变量代换来解忻州师范学院高等数学课程建设组

23 所给方程令 +u 则原方程化为 du du 即 u+ u u 分离变量得 u du u+ 两端积分得 u ln u+ ln C 以 u+ 代入上式得 ln ++ ln C 或 Ce 附 : 贝努利简介 Bernoulli( 贝努利 ) 家族这是一个生产数学家和物理学家的部落有着十几位优秀的科学家都拥有这个令人骄傲的姓氏雅各布贝努利 (Jacobi Bernoulli )654 年月出生于瑞士巴塞尔的一个商人世家他毕业于巴塞尔大学 67 年获艺术硕士学位后来遵照父亲的意愿又取得神学硕士学位但他却不顾父亲的反对自学了数学和天文学雅各布伯努利在 678 年和 68 年的两次学习旅行使他接触了许多数学家和科学家丰富了他的知识拓宽了他的兴趣 687 年雅各布成为巴塞尔大学的数学教授直到 705 年去世雅各布伯努利是在 7 8 世纪期间欧洲大陆在数学方面做过特殊贡献的伯努利家族 ( 共产生过位数学家 ) 的重要成员之一他在数学上的贡献涉及微积分微分方程解析几何概率论以及变分法等领域雅各布伯努利一生最有创造力的著作就是 7 年出版的猜度术在这部著作中他提出了概率论中的伯努利定理该定理是大数定律的最早形式由于大数定律的极端重要性 9 年月彼得堡科学院曾举行庆祝大会纪念大数定律诞生 00 周年由于伯努利兄弟在科学问题上的过于激烈的争论致使双方的家庭也被卷入以至于雅各布死后他的猜度术手稿被他的遗孀和儿子在外藏匿多年直到 7 年才得以出版几乎使这部经典著作的价值受到损害 John Bernoulli( 约翰伯努利 ) 在 696 年把最速降线问题在一个叫做教师学报的杂志上面提出公开挑战主要是针对他的哥哥 Jacobi Bernoulli( 加可比伯努利 ) 这两个人在学术上一直相互不忿据说当年 John 求悬链线的方程熬了一夜就搞定了 Jacobi( 加可比伯努利 ) 做了一年还认为悬链线应该是抛物忻州师范学院高等数学课程建设组

24 线实在是很没面子那个杂志好像是 Leibniz( 莱布尼兹 ) 搞得很牛欧洲的牛人们都来做这个东西到最后 John 收到了 5 份答案有他自己的 Leibniz 的还有一个 LHospital( 洛比塔 ) 侯爵的 ( 我们比较喜欢的那个 LHospital 法则好像是他雇人做的是个有钱人 ) 然后是他哥哥 Jacobi 的最后一份是盖着英国邮戳的必然是 Newton( 牛顿 ) 的 John 自己说我从它的利爪上认出了这头狮子据说当年 Newton 从造币厂回去看到了 Bernoulli 的题感觉浑身不爽熬夜到凌晨 4 点就搞定了这么多解答当中 John 的应该是最漂亮的类比了 Fermat( 费马 ) 原理用光学一下做了出来但是从影响来说 Jacobi 的做法真正体现了变分思想 Bernoulli 一家在欧洲享有盛誉有一个传说讲的是 Daniel Bernoulli( 丹尼尔伯努利 )( 他是 John Bernoulli 的儿子 ) 有一次正在做穿过欧洲的旅行他与一个陌生人聊天他很谦虚的自我介绍 : 我是 Daniel Bernoulli " 那个人当时就怒了说 : 我是还是 Issac Newton( 牛顿 ) 呢 Daniel 从此之后在很多的场合深情的回忆起这一次经历把它当作自己曾经听过的最衷心的赞扬 John & Jacobi 这两个 Bernoulli 人都算不出来自然数倒数的平方和这个级数 Euler 从他老师 John 那里知道的并且给出了 π /6 这个正确的答案法国有一个哲学家叫做 Denis Diderot( 丹尼斯狄德罗 ) 中文的名字叫做狄德罗是个无神论者这个让叶卡捷琳娜女皇不爽于是他请 Euler 来教育一下 Diderot( 丹尼斯狄德罗 ) 其实 Euler 本来是弄神学的他老爸就是的后来是好几个叫 Bernoulli 的去劝他父亲才让 Euler 做数学了 Euler 邀请 Diderot 来了皇宫他这次的工作是证明上帝的存在性然后在众人面前说 : 先生 ( a + bn ) / n 因此上帝存在 ; 请回答! Diderot 自然不懂代数于是被羞辱显然他面对的是欧洲最伟大的数学家他不得不离开圣彼得堡回到了巴黎忻州师范学院高等数学课程建设组 4

25 5 全微分方程全微分方程 : 一个一阶微分方程写成 P( )+Q( )d0 形式后如果它的左端恰好是某一个函数 uu( ) 的全微分 : du( )P( )+Q( )d 那么方程 P( )+Q( )d0 就叫做全微分方程这里 u P( ) u Q( ) 而方程可写为 du( )0 全微分方程的判定 : 若 P( ) Q( ) 在单连通域 G 内具有一阶连续偏导数且 P Q 则方程 P( )+Q( )d0 是全微分方程全微分方程的通解 : 若方程 P( )+Q( )d0 是全微分方程且 du( )P( )+Q( )d 则 u( )C ( 即 P ) Q( ) C (( ) G) 是方程 P( )+Q( )d0 的通解例求解 (5 4 + )+( + )d0 解这里 P Q 6 所以这是全微分方程取 ( 0 0 )(0 0) 有 u( ) 4 (5 + ) 于是方程的通解为忻州师范学院高等数学课程建设组 5 0 d

26 5 + + C 积分因子 : 若方程 P( )+Q( )d0 不是全微分方程但存在一函数 μμ( ) (μ( ) 0) 使方程 μ( )P( )+μ( )Q( )d0 是全微分方程则函数 μ( ) 叫做方程 P( )+Q( )d0 的积分因子所以例通过观察求方程的积分因子并求其通解 : () d0; ()(+)+( )d0 解 () 方程 d0 不是全微分方程因为 ( d d ) 是方程 d0 的积分因子于是 d 0 是全微分方程所给方程的通解为 C () 方程 (+)+( )d0 不是全微分方程将方程的各项重新合并得再把它改写成 (+d)+( d)0 d d ( ) + ( ) 0 这时容易看出 ( ) 为积分因子乘以该积分因子后方程就变为积分得通解 d( ) + d ( ) 0 忻州师范学院高等数学课程建设组 6

27 + ln lnc 即 Ce 我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程 +P()Q() 可以验证 μ( ) e P( ) 线性方程的两边乘以 μ( ) e e P( ) + P( ) e 是一阶线性方程 +P()Q() 的一个积分因子在一阶 P( ) P( ) 得 Q( ) e P( ) 即 P( ) + P( ) P( ) e [ e ] Q( ) e 亦即 P( ) P( ) [ e ] Q( ) e 两边积分便得通解 e P( ) Q e P( ) ( ) + C P( ) P( ) 或 e [ Q( ) e + C] d 例用积分因子求 + 4 的通解解方程的积分因子为 μ ( ) e e 方程两边乘以 e 得 e + e 4e 即 ( e ) 4e 于是 e 4 e e + C 因此原方程的通解为 4e + Ce 忻州师范学院高等数学课程建设组 7

28 6 可降阶的高阶微分方程一 (n) f () 型的微分方程解法 : 积分 n 次 ( ) f ( ) C n + ( ) [ f ( ) + C ] C n + 例求微分方程 e cos 的通解解对所给方程接连积分三次得 e sin + C e + cos + C + C 4 sin C 8 e + + C + C+ 这就是所给方程的通解或 e sin + C e + cos + C + C 4 sin C 8 e + + C + C+ 这就是所给方程的通解例质量为 m 的质点受力 F 的作用沿 O 轴作直线运动设力 F 仅是时间 t 的函数 :FF(t) 在开始时刻 t0 时 F(0)F 0 随着时间 t 的增大此力 F 均匀地减小直到 tt 时 F(T)0 如果开始时质点位于原点且初速度为零求这质点的运动规律解设 (t) 表示在时刻 t 时质点的位置根据牛顿第二定律质点运动的微分方程为 m d F( t) 由题设力 F(t) 随 t 增大而均匀地减小且 t0 时 F(0)F 0 所以 F(t)F 0 kt; 又当 tt 时 F(T)0 从而忻州师范学院高等数学课程建设组 8

29 F( t) F0 ( t ) T 于是质点运动的微分方程又写为 d F0 ( t ) m T 其初始条件为 t 0 0 t 0 0 把微分方程两边积分得 F0 ( t t ) + C m T 再积分一次得 F 0 ( t t ) + Ct + C m 6T 由初始条件 t0 0 t 0 0 得 C C 0 于是所求质点的运动规律为 F 0 ( t t ) 0 t T m 6T 解设 (t) 表示在时刻 t 时质点的位置根据牛顿第二定律质点运动的微分方程为 m F(t) 由题设 F(t) 是线性函数且过点 (0 F 0 ) 和 (T 0) F( t) 故 + t 即 F( t) F ( t ) F T 0 T 0 于是质点运动的微分方程又写为 F0 ( t ) m T 其初始条件为 t0 0 t0 0 把微分方程两边积分得 F 0 ( t t ) + C m T 再积分一次得 F 0 ( t t ) + C m 6T 由初始条件 t0 0 t0 0 忻州师范学院高等数学课程建设组 9

30 得 C C 0 于是所求质点的运动规律为 F 0 ( t t ) 0 t T m 6T 二 f( ) 型的微分方程解法 : 设 p 则方程化为 p f( p) 设 p f( p) 的通解为 pϕ(c ) 则 d ϕ ( C) 原方程的通解为 ϕ ( C) + C 例求微分方程 (+ ) 满足初始条件 0 0 的特解解所给方程是 f( ) 型的设 p 代入方程并分离变量后有 dp p + 两边积分得 ln p ln(+ )+C 即 p C (+ ) (C ±e C ) 由条件 0 得 C 所以 (+ ) 两边再积分得 ++C 又由条件 0 得 C 于是所求的特解为 ++ 例 4 设有一均匀柔软的绳索两端固定绳索仅受重力的作用而下垂试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线? 三 f( ) 型的微分方程解法 : 设 p 有忻州师范学院高等数学课程建设组 0

31 dp dp d dp p d d 原方程化为 dp p f ( p) d dp 设方程 p f ( p) 的通解为 pϕ( C ) 则原方程的通解为 d d ( C) + C ϕ 例 5 求微分 0 的通解 dp 解设 p 则 p d 代入方程得 dp p p 0 d 在 0 p 0 时约去 p 并分离变量得 dp d p 两边积分得即 ln p ln +lnc pc 或 C(C±c) 再分离变量并两边积分便得原方程的通解为 ln C+lnc 或 C e C (C ±c ) 例 5 求微分 0 的通解解设 p 则原方程化为 dp p p 0 d 当 0 p 0 时有 dp p 0 d 于是即 d p e C C 0 从而原方程的通解为忻州师范学院高等数学课程建设组

32 C e C e C C 例 6 一个离地面很高的物体受地球引力的作用由静止开始落向地面求它落到地面时的速度和所需的时间 ( 不计空气阻力 ) 忻州师范学院高等数学课程建设组

33 一二阶线性微分方程举例 7 高阶线性微分方程例设有一个弹簧上端固定下端挂一个质量为 m 的物体取轴铅直向下并取物体的平衡位置为坐标原点给物体一个初始速度 v 0 0 后物体在平衡位置附近作上下振动在振动过程中物体的位置是 t 的函数 : (t) 设弹簧的弹性系数为 c 则恢复力 f c 又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比比例系数为 μ 则 R μ 由牛顿第二定律得 m d c μ 移项并记 n μ k c m m d 则上式化为 + n + k 0 这就是在有阻尼的情况下物体自由振动的微分方程如果振动物体还受到铅直扰力的作用则有 FHsin pt d + n + k hsin pt 其中 h H 这就是强迫振动的微分方程 m 例设有一个由电阻 R 自感 L 电容 C 和电源 E 串联组成的电路其中 R L 及 C 为常数电源电动势是时间 t 的函数 : EE m sinωt 这里 E m 及 ω 也是常数设电路中的电流为 i(t) 电容器极板上的电量为 q(t) 两极板间的电压为 u c 自感电动势为 E L 由电学知道 dq i q u c C E di L L 忻州师范学院高等数学课程建设组

34 根据回路电压定律得 q E L di Ri0 C d u 即 LC 或写成 d u 其中 β R L c duc + RC + uc Em sinωt duc Em + β + ω uc sinωt 0 LC ω 0 这就是串联电路的振荡方程 LC c 如果电容器经充电后撤去外电源 (E0) 则上述成为 d u duc β + ω u 0 c + 0 c 二阶线性微分方程 : 二阶线性微分方程的一般形式为 +P() +Q()f() 若方程右端 f() 0 时方程称为齐次的否则称为非齐次的二线性微分方程的解的结构先讨论二阶齐次线性方程 d d +P() +Q()0 即 + P( ) + Q( ) 0 定理如果函数 () 与 () 是方程 +P() +Q()0 的两个解那么 C ()+C () 也是方程的解其中 C C 是任意常数齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理证明 [C +C ] C +C [C +C ] C +C 因为与是方程 +P() +Q()0 所以有 +P() +Q() 0 及 +P() +Q() 0 从而 [C +C ] +P()[ C +C ] +Q()[ C +C ] 忻州师范学院高等数学课程建设组 4

35 C [ +P() +Q() ]+C [ +P() +Q() ]0+00 这就证明了 C ()+C () 也是方程 +P() +Q()0 的解函数的线性相关与线性无关 : 设 () () n () 为定义在区间 I 上的 n 个函数如果存在 n 个不全为零的常数 k k k n 使得当 I 时有恒等式 k ()+k ()+ + k n n () 0 成立那么称这 n 个函数在区间 I 上线性相关 ; 否则称为线性无关判别两个函数线性相关性的方法 : 对于两个函数它们线性相关与否只要看它们的比是否为常数如果比为常数那么它们就线性相关否则就线性无关例如 cos sin 在整个数轴上是线性相关的函数在任何区间 (a b) 内是线性无关的定理如果如果函数 () 与 () 是方程 +P() +Q()0 的两个线性无关的解那么 C ()+C () (C C 是任意常数 ) 是方程的通解例验证 cos 与 sin 是方程 +0 的线性无关解并写出其通解解因为 + cos +cos 0 + sin +sin 0 所以 cos 与 sin 都是方程的解因为对于任意两个常数 k k 要使 k cos +k sin 0 只有 k k 0 所以 cos 与 sin 在 ( + ) 内是线性无关的因此 cos 与 sin 是方程 +0 的线性无关解方程的通解为 C cos +C sin 例 4 验证与 e 是方程 ( ) +0 的线性无关解并写出其通解解因为忻州师范学院高等数学课程建设组 5

36 ( ) ( ) + ( )e e +e 0 所以与 e 都是方程的解因为比值 e / 不恒为常数所以与 e 在 ( + ) 内是线性无关的因此与 e 是方程 ( ) +0 的线性无关解方程的通解为 C +C e 推论如果 () () n () 是方程 (n) +a () (n ) + +a n () + a n ()0 的 n 个线性无关的解那么此方程的通解为 C ()+C ()+ + C n n () 其中 C C C n 为任意常数二阶非齐次线性方程解的结构 : 我们把方程 +P() +Q()0 叫做与非齐次方程 +P() +Q()f() 对应的齐次方程定理设 *() 是二阶非齐次线性方程 +P() +Q()f() 的一个特解 Y() 是对应的齐次方程的通解那么 Y()+*() 是二阶非齐次线性微分方程的通解证明提示 : [Y()+*()] +P()[ Y()+*()] +Q()[ Y()+*()] [Y +P()Y +Q()Y ]+[ * +P()* +Q()*] 0+ f() f() 例如 YC cos +C sin 是齐次方程 +0 的通解 * 是 + 的一个特解因此 C cos +C sin + 忻州师范学院高等数学课程建设组 6

37 是方程 + 的通解定理 4 设非齐次线性微分方程 +P() +Q()f() 的右端 f() 几个函数之和如 +P() +Q()f ()+ f () 而 *() 与 *() 分别是方程 +P() +Q()f () 与 +P() +Q()f () 的特解那么 *()+ *() 就是原方程的特解证明提示 : [ + *] +P()[ *+ *] +Q()[ *+ *] [ * +P() * +Q() *]+[ * +P() * +Q() *] f ()+f () 忻州师范学院高等数学课程建设组 7

38 8 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 : 方程 +p +q0 称为二阶常系数齐次线性微分方程其中 p q 均为常数如果是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么 C +C 就是它的通解我们看看将 e r 代入方程能否适当选取 r 使 e r 满足二阶常系数齐次线性微分方程为此 +p +q0 得 (r +pr+q)e r 0 由此可见只要 r 满足代数方程 r +pr+q0 函数 e r 就是微分方程的解特征方程 : 方程 r +pr+q0 叫做微分方程 +p +q0 的特征方程特征方程的两个根 r r 可用公式 r p+± p 4q 求出特征方程的根与通解的关系 : () 特征方程有两个不相等的实根 r r 时函数是方程的两个线性无关的解这是因为 e r 函数是方程的解又因此方程的通解为 r r C e C e + e r e r r r r e ( ) e r e e r 不是常数 () 特征方程有两个相等的实根 r r 时函数 e r e r 是二阶常系数齐忻州师范学院高等数学课程建设组 8

39 次线性微分方程的两个线性无关的解这是因为 e r 是方程的解又所以 + + r r r r r r e p e q e ( ) ( ) ( ) (r r ) e p( r ) e qe r r ) e r + p + e ( r + pr + q) ( e r r e 也是方程的解且不是常数 r e 因此方程的通解为 r r C e C e + 0 () 特征方程有一对共轭复根 r α±iβ 时函数 e (α+iβ) e (α iβ) 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解函数 e α cosβ e α sinβ 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解函数 e (α+iβ) 和 e (α iβ) 都是方程的解而由欧拉公式得 e (α+iβ) e α (cosβ+isinβ) e (α iβ) e α (cosβ isinβ) + e α cosβ e α cosβ ( ) + ie α sinβ e α sin β ( ) i 故 e α cosβ e α sinβ 也是方程解可以验证 e α cosβ e α sinβ 是方程的线性无关解因此方程的通解为 e α (C cosβ+c sinβ ) 求二阶常系数齐次线性微分方程 +p +q0 的通解的步骤为 : 第一步写出微分方程的特征方程 r +pr+q0 第二步求出特征方程的两个根 r r 第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解忻州师范学院高等数学课程建设组 9

40 例求微分方程 0 的通解解所给微分方程的特征方程为 r r 0 即 (r+)(r )0 其根 r r 是两个不相等的实根因此所求通解为 C e +C e 例求方程 + +0 满足初始条件的特解解所给方程的特征方程为 r +r+0 即 (r+) 0 其根 r r 是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为 (C +C )e 将条件 0 4 代入通解得 C 4 从而 (4+C )e 将上式对求导得 (C 4 C )e 再把条件 0 代入上式得 C 于是所求特解为 (4+)e 例求微分方程 +5 0 的通解解所给方程的特征方程为 r r+50 特征方程的根为 r +i r i 是一对共轭复根因此所求通解为 e (C cos+c sin) n 阶常系数齐次线性微分方程 : 方程 (n) +p (n ) +p (n ) + + p n +p n 0 称为 n 阶常系数齐次线性微分方程其中 p p p n p n 都是常数二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到 n 阶常系数齐次线性微分方程上去引入微分算子 D 及微分算子的 n 次多项式 : L(D)D n +p D n +p D n + + p n D+p n 忻州师范学院高等数学课程建设组 40

41 则 n 阶常系数齐次线性微分方程可记作 (D n +p D n +p D n + + p n D+p n )0 或 L(D)0 注 : D 叫做微分算子 D 0 D D D D n (n) 分析 : 令 e r 则 L(D)L(D)e r (r n +p r n +p r n + + p n r+p n )e r L(r)e r 因此如果 r 是多项式 L(r) 的根则 e r 是微分方程 L(D)0 的解 n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程 : L(r)r n +p r n +p r n + + p n r+p n 0 称为微分方程 L(D)0 的特征方程特征方程的根与通解中项的对应 : 单实根 r 对应于一项 : Ce r ; 一对单复根 r α ±iβ 对应于两项 : e α (C cosβ+c sinβ); k 重实根 r 对应于 k 项 : e r (C +C + +C k k ); 一对 k 重复根 r α ±iβ 对应于 k 项 : e α [(C +C + +C k k )cosβ+( D +D + +D k k )sinβ] 例 4 求方程 (4) +5 0 的通解解这里的特征方程为 r 4 r +5r 0 即 r (r r+5)0 它的根是 r r 0 和 r 4 ±i 因此所给微分方程的通解为 C +C +e (C cos+c 4 sin) 例 5 求方程 (4) +β 4 0 的通解其中 β>0 解这里的特征方程为 r 4 +β 4 0 它的根为 r (± i) β β r 4 (± i) 因此所给微分方程的通解为 e β ( β C cos + C β sin β ) β β + e ( C cos + C4 sin ) 忻州师范学院高等数学课程建设组 4

42 9 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程 : 方程 +p +qf() 称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中 p q 是常数二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解 Y() 与非齐次方程本身的一个特解 *() 之和 : Y()+ *() 当 f() 为两种特殊形式时方程的特解的求法 : 一 f()p m ()e λ 型当 f()p m ()e λ 时可以猜想方程的特解也应具有这种形式因此设特解形式为 *Q()e λ 将其代入方程得等式 Q ()+(λ+p)q ()+(λ +pλ+q)q()p m () () 如果 λ 不是特征方程 r +pr+q0 的根则 λ +pλ+q 0 要使上式成立 Q() 应设为 m 次多项式 : Q m ()b 0 m +b m + +b m +b m 通过比较等式两边同次项系数可确定 b 0 b b m 并得所求特解 *Q m ()e λ () 如果 λ 是特征方程 r +pr+q0 的单根则 λ +pλ+q0 但 λ+p 0 要使等式 Q ()+(λ+p)q ()+(λ +pλ+q)q()p m () 成立 Q() 应设为 m+ 次多项式 : Q()Q m () Q m ()b 0 m +b m + +b m +b m 通过比较等式两边同次项系数可确定 b 0 b b m 并得所求特解 *Q m ()e λ () 如果 λ 是特征方程 r +pr+q0 的二重根则 λ +pλ+q0 λ+p0 要使等式 Q ()+(λ+p)q ()+(λ +pλ+q)q()p m () 成立 Q() 应设为 m+ 次多项式 : Q() Q m () 忻州师范学院高等数学课程建设组 4

43 Q m ()b 0 m +b m + +b m +b m 通过比较等式两边同次项系数可确定 b 0 b b m 并得所求特解 * Q m ()e λ 综上所述我们有如下结论 : 如果 f()p m ()e λ 则二阶常系数非齐次线性微分方程 +p +q f() 有形如 * k Q m ()e λ 的特解其中 Q m () 是与 P m () 同次的多项式而 k 按 λ 不是特征方程的根是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为 0 或例求微分方程 + 的一个特解解这是二阶常系数非齐次线性微分方程且函数 f() 是 P m ()e λ 型 ( 其中 P m ()+ λ0) 与所给方程对应的齐次方程为 0 它的特征方程为 r r 0 由于这里 λ0 不是特征方程的根所以应设特解为 *b 0 +b 把它代入所给方程得 b 0 b 0 b + 比较两端同次幂的系数得 b b 0 由此求得 b 0 0 b0 b b 0 b * + b 于是求得所给方程的一个特解为例求微分方程 5 +6e 的通解解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程且 f() 是 P m ()e λ 型 ( 其中 P m () λ) 忻州师范学院高等数学课程建设组 4

44 与所给方程对应的齐次方程为它的特征方程为 r 5r +60 特征方程有两个实根 r r 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 YC e +C e 由于 λ 是特征方程的单根所以应设方程的特解为 *(b 0 +b )e 把它代入所给方程得 b 0 +b 0 b 比较两端同次幂的系数得由此求得 b b 0b b b 0 b b 0 0 b 于是求得所给方程的一个特解为 * ( ) e 从而所给方程的通解为提示 : C e + Ce ( + ) e *(b 0 +b )e (b 0 +b )e [(b 0 +b )e ] [(b 0 +b )+(b 0 +b ) ]e [(b 0 +b )e ] [b 0 +(b 0 +b ) +(b 0 +b ) ]e * 5* +6*[(b 0 +b )e ] 5[(b 0 +b )e ] +6[(b 0 +b )e ] [b 0 +(b 0 +b ) +(b 0 +b ) ]e 5[(b 0 +b )+(b 0 +b ) ]e +6(b 0 +b )e [b 0 +4(b 0 +b ) 5(b 0 +b )]e [ b 0 +b 0 b ]e 方程 +p +qe λ [P l ()cosω+p n ()sinω] 的特解形式忻州师范学院高等数学课程建设组 44

45 应用欧拉公式可得 e λ [P l ()cosω+p n ()sinω] e λ [ P( ) e l iω + e iω + P ( ) e n iω e i iω i i P l ipn e ( λ+ ω) ( ) [ ( ) ( )] [ Pl ( ) ipn ( )] λ + + e ω i i P e ( λ+ ω) ( ) ( ) P( ) λ ω + e 其中 P( ) ( Pl Pn i) P( ) ( Pl + Pn i) 而 mma{l n} 设方程 +p +qp()e (λ+iω) 的特解为 * k Q m ()e (λ+iω) k ( λ iω) ( λ iω) 则 * Q ( e 必是方程 + p + q P( ) e 的特解 m ) 其中 k 按 λ±iω 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取 0 或于是方程 +p +qe λ [P l ()cosω+p n ()sinω] 的特解为 k i k i Qm e ( λ+ ω) ( ) * ( ) Qm( ) λ ω + e e k λ [ Q ( )(cosω+ isinω) + Q ( )(cosω isinω) m k e λ [R () m()cosω+r () m()sinω] 综上所述我们有如下结论 : 如果 f()e λ [P l ()cosω+p n ()sinω] 则二阶常系数非齐次线性微分方程 +p +qf() 的特解可设为 * k e λ [R () m()cosω+r () m()sinω] 其中 R () m() R () m() 是 m 次多项式 mma{l n} 而 k 按 λ+iω ( 或 λ iω) 不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取 0 或例求微分方程 +cos 的一个特解解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程且 f() 属于 e λ [P l ()cosω+p n ()sinω] 型 ( 其中 λ0 ω P l () P n ()0) 与所给方程对应的齐次方程为 +0 忻州师范学院高等数学课程建设组 45 ] m

46 它的特征方程为 r +0 由于这里 λ+iωi 不是特征方程的根所以应设特解为 *(a+b)cos+(c+d )sin 把它代入所给方程得 ( a b+4c)cos (c+d+4a)sincos 比较两端同类项的系数得于是求得一个特解为提示 : *(a+b)cos+(c+d)sin a b0 c0 * cos+ 4 sin 9 * acos (a+b)sin+csin+(c+d)cos (c+a+d)cos+( a b+c)sin d 4 9 * ccos (c+a+d)sin asin+( a b+c)cos ( 4a 4b+4c)cos+( 4c 4a 4d)sin * + *( a b+4c)cos+( c 4a d)sin a b + 4c 0 由得 a b0 c0 c 0 4a d 0 d 4 9 忻州师范学院高等数学课程建设组 46

47 微分方程的幂级数解法当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时我们就要寻求其它解法常用的有幂级数解法和数值解法本节我们简单地介绍微分方程的幂级数解法求一阶微分方程 d f ( ) 满足初始条件 0 0 的特解其中函数 f( ) 是 ( 0 ) ( 0 ) 的多项式 : f( )a 00 +a 0 ( 0 )+a 0 ( 0 )+ +a im ( 0 ) l ( 0 ) m 这时我们可以设所求特解可展开为 0 的幂级数 : 0 +a ( 0 )+a ( 0 ) + +a n ( 0 ) n + 其中 a a a n 是待定的系数把所设特解代入微分方程中便得一恒等式比较这恒等式两端 0 的同次幂的系数就可定出常数 a a 从而得到所求的特解 d 例求方程 + 满足 0 0 的特解解这时故设 a +a +a +a 把及的幂级数展开式代入原方程得 a +a +a +4a 4 +5a (a +a +a +a ) +a +a a +(a +a a ) 4 + 由此比较恒等式两端的同次幂的系数得 a 0 a a 0 a 4 0 a 5 0 于是所求解的幂级数展开式的开始几项为定理如果方程 +P() +Q()0 中的系数 P() 与 Q() 可在 R<<R 内展开为的幂级数那么在 R<<R 内此方程必有形如忻州师范学院高等数学课程建设组 47

48 的解 n 0 a n n 例求微分方程 0 的满足初始条件的特解解这里 P()0 Q() 在整个数轴上满足定理的条件因此所求的解可在整个数轴上展开成的幂级数 a 0 +a +a +a +a 4 4 n + an n0 由条件 0 0 得 a 0 0 由 a +a +a +4a 4 + 及 0 得 a 于是 4 + a + a + a n n + a + a + 4a4 + + nan n n a + a + 4 a4 + n( n ) an n a n n +a +a +a a n +a +a +4a 4 n + + nan n n a + a +4 a 4 n + n( n ) an n n 把及代入方程 0 得 a + a +4 a 4 + +n(n )a n n + (+a +a +a a n n + )0 即 a + a +(4 a 4 ) +(5 4a 5 a ) + +(6 5a 6 a ) 4 + +[(n+)(n+)a n+ a n ] n + 0 于是有 a 0 a 0 a4 a5 0 a6 0 4 an 一般地 an + (n 4 ) ( n+ )( n+ ) 由递推公式可得忻州师范学院高等数学课程建设组 48

49 a4 a7 a 7 a8 0 a9 0 a 一般地 a m + (m ) (m + )(m) 所求的特解为忻州师范学院高等数学课程建设组 49

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PowerPoint Presentation 西华大学应用数学系朱雯微分方程习题课解题方法流程图求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量通解为 Pd Pd y