( ) 这个定理的证明超出本课程的要求此处从略在这个定理中只说明了在局部的解的存在性和唯一性而且也没有说明解的表达式如何事实上并不是每个一阶常微分方程的解都可以用初等函数或它们的有限次积分来表达 ( 这种方法称为初等积分法 ) 例如 Liouville 在 84 牛就证明了方程不能用初等

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容斗焦
5 years ago
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1 教案一阶常微分方程教学内容在数学理论和实际应用中的许多问题常常会归结为含有未知量的导数的微分方程问题因此微分方程理论是科学研究和实际应用中的重要工具也是经常使用的数学方法之一对于一阶常微分方程的知识的掌握是进一步了解和学习更深入的微分方程理论知识的基础是不可或缺的步骤之一在本节中主要讲解以下几方面的内容 : () 介绍一阶微分方程的解的存在与唯一性定理 ; () 重点讲解变量可分离方程齐次方程全微分方程一阶线性方程和 Bernoulli 方程的解法 ; () 介绍一些可化为这几类方程的方法 ; (4) 根据一些简单数学模型介绍数学建模的思想教学思路和要求 () 变量可分离方程齐次方程全微分方程一阶线性方程和 Bernoulli 方程是本节的内容的基础和重点 () 因为有固定的方法如何解这些类方程对于学生来说比较容易但对于一些方程如何经过适当变形处理后化为这几类方程的技巧对于学生们来说就不容易了这就需要多举例和适当引导特别是典型技巧的介绍 () 通过一些具体实例介绍一些简单数学模型的建立方法这对于学生们了解数学的应用很有帮助也会提高他们的学习兴趣这是常微分方程这一章教学内容的重要环节教学安排一. 解的存在与唯一性定理导数已解出的一阶常微分方程可以表示为如下的一般形式 d f ( ) d ( ). (..) 对于这类定解问题有以下解的存在与唯一性定理 f 定理..( 解的存在与唯一性定理 ) 如果 f ( ) 和 ( ) 在矩形区域 {( ) } 上连续那么存在一个正数 h ( h ) 使得定解问题 (..) 在 h 上有唯一的解 () 即在 h 上成立 ( ) f ( ( )) 及

2 ( ) 这个定理的证明超出本课程的要求此处从略在这个定理中只说明了在局部的解的存在性和唯一性而且也没有说明解的表达式如何事实上并不是每个一阶常微分方程的解都可以用初等函数或它们的有限次积分来表达 ( 这种方法称为初等积分法 ) 例如 Liouville 在 84 牛就证明了方程不能用初等积分法来求解虽然它看起来形式很简单因此下面对一些常见类型的方程的解法进行介绍二. 变量可分离方程若一阶方程 d f ( ) 中的 f ( d ) 可以分解成的函数 g () 与的函数 h () 的乘积即 d g( ) h( ) (..) d 则称其为变量可分离方程若 g () 与 h () 连续把原方程改写成 d g( ) d h( ) 对两边取不定积分得 d h( ) g( ) d 若 G () 是 g () 的一个原函数 H () 是 h ( H( ) G( ) C 这里 C 是任意常数这种形式的解也称为隐式解若的一个原函数就得到方程的通解 ) 是方程 h ( ) 的根函数也是方程 (..) 的解而且这个解并不一定包含在通解的表达式中例.. 求解微分方程 d d 解将此方程化为变量可分离方程 d d 今后我们总用 C 表示任意常数虽然它可能在同一问题中每次出现时并一定相同也不再特别说明

3 即两边积分得 d d rsin C ; 即 sin( C) 注意也是方程的两个解但它们并不在通解之中例.. 解定解问题解将此方程化为 d sin ln d e. d d ln sin 两边积分得 ln ln ln(s ot ) ln C 即由 e ln C(s ot ) 得 C 因此定解问题得解为 s ot e 例.. 设函数 f 在 ( ) 上可导且满足求 f () f ( t) dt ( ) f ( ) 解显然 f ( ) 对 f ( t) dt ( ) f ( ) 两边求导得因此函数 f 满足方程 f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( )

4 ( ) [ ( )] 对方程分离变量得两边积分得 ln d d d 所以 d d ln( ) ln ln( ) ln C. e C d d 因此 f 就具有上述形式又由 f ( ) 得 C e 所以 f ( ) e ( ) 例..4( 跟踪问题一 ) 设 A 在初始时刻从坐标原点沿轴正向前进与此同时 B 于 ( ) 处始终保持距离对 A 进行跟踪 (B 的前进方向始终对着 A 当时所在的位置 ) 求 B 的运动轨迹解设 B 的运动轨迹为 ( ) A 利用跟踪的要求和导数的几何意义 ( 图..) 容易得到数学模型两边取定积分 ( ). B 图.. 即得到 B 的运动轨迹方程为 d d

5 ln 上述积分曲线可以看成一个重物 B 被某人 A 用一根长度为的绳子拖着走时留下的轨迹所以该曲线又被称为曳线三. 齐次方程若对于任何 f ( ) = f ( ) 则称函数 f ( ) 为 ( 次 ) 齐次函数相应的微分方程相应地称为齐次方程令 u 代入方程得 d d f ( ) d( u) du u f ( u) d d 化简后就是变量可分离方程 du f ( u) - u d 解出方程后用 u 代入便得到方程的解例..5 求方程 f ( u) ( ) d ( ) d 的通解解将方程写成容易判断这是一个齐次方程令于是解此方程得用 u du d d d u 得到 u u u u du u 代入便得到方程的隐式通解 u u u d ln u ln C u

6 ln ln C 对于形如 d d 的方程显然当时这是齐次方程当不全为零时若行列式作变换将方程变为 ) ( ) ( d d 从线性代数方程组中解出就得到了关于的齐次方程 d d 若行列式则两行对应成比例若全为零那么原方程为 d d 它是可解的若不全为零不妨设设是常数使得 ) ( ) ( 令 u 则 d d d du u u 因此原方程变为变量可分离方程综上所述形式为

7 d d 的微分方程总是可解的并且可以推广到的情况例..6 求方程 d d f ( 5 ) d ( 4 6) d 的通解解由于行列式由线性代数方程组解出作变换得到齐次方程令 u 得到 d d 5 4 整理后得从此解得 du u u 5 d 4u 4 d u u 4 du ( 4u)( u ) C 还原变量便得方程的通解 ( 4 )( ) C

8 四. 全微分方程若存在函数 u ( ) 使得 du( ) f ( ) d g( ) d 则称方程 f ( ) d g( ) d 为全微分方程显然它的解可以表示为 u( ) C 我们已经知道 f ( ) d g( ) d在单连通区域上是某个函数的全微分的充分必要条件是 f ( ) g( ) 此时若 ) 是所考虑区域中的任一定点则可以通过曲线积分 ( 计算出 u ( ) 例..7 求微分方程的通解 (m 是常数 )解将其改写为由 ( ) u ( ) = f ( ) d g( ) d ( e ( ) sin m) e os m ( e os m) d ( e sin m) d f ( ) g( e sin m ) 知道它是全微分方程取 ) 为 ( ) 则所以它的通解为若条件 ( u ( ) = ( e os m) d+ ( sin ) d e os m - e os m C f ( ) g( )

9 不满足则方程 f ( ) d g( ) d 不是全微分方程但是如果此时能够找到一个函数 ( ) 使得 ( ) f ( ) d ( ) g( ) d 是全微分方程那么还是可以按上述方法求解的这里的 ( ) 称为积分因子一般说来求积分因子并不是很容易的事但对于一些简单的情况可以通过观察凑出积分因子例..8 求方程 d d d 的通解解容易验证这不是全微分方程但观察其前项可以发现只要乘上因子它就是一个全微分 d d d 因此取积分因子为将原方程改写为 d d d 这就是所以方程的通解为 d d C 例..9 求方程 ( ) d ( ) d 的通解解容易验证这不是全微分方程将方程改写为 d d (d d)

10 乘上积分因子后方程变为即所以方程的通解为 d d d d d d ( ) d C 从以上两个例子可以看出我们利用了一些已知的二元函数的全微分来观察出积分因子下面列出一些常用的二元函数的全微分以备查阅 : d( ) d d; d d d ; d( d d ) ; d d ln( ) d ; drtn d d 五. 线性方程一阶线性常微分方程的一般形式为 d f ( ) g( ) d 利用分离变量法易知齐次线性方程 d f ( ) d 的通解为 f ( ) d C e 为了找非齐次线性方程的一个特解我们利用常数变易法 ( 实际上就是待定系数法只是待定的系数是函数 )令 C u() 将 u( )e f ( ) d

11 d 代入方程 f ( ) g( ) 则有 d [ u( )e 即因此可得 f ( ) d f ( ) d f ( ) d u( ) f ( )e ] u( ) f ( )e g() f ( ) d u () g() e u() f ( ) d g( )e d C 于是非齐次线性方程的通解为 g( )e f ( ) d f ( ) d d C e 显然齐次线性方程的解的线性组合仍是齐次线性方程的解而且上式说明了非齐次线性方程的通解等于该方程的一个特解加上齐次线性方程的通解这与线性代数方程组的结论类似例.. 解定解问题解将方程化为 d d e e. 此方程的通解为 e C d e d d d e d e C e 由 e 得 C 于是定解问题的解为例.. 求微分方程 d d 的通解解此方程不是线性方程但将方程变形为即 d d e

12 d d 就是一个关于的线性方程于是得通解 e d C 注意是方程的一个特解 e d d C 例.. 求微分方程的通解解把方程改写为 e d d de e d 令 z e 原方程就化为 dz z d 这是一个关于 z 的线性方程解此方程得 z ln C 将 z e 代入就得原方程的通解 ln( C ln ) 例.. 设物质 A 经化学反应后全部生成另一种物质 B 设原有 A 物质千克经一小时生成 B 物质千克求 () 小时后多少 A 物质已起反应? () 多少时间后 A 物质已有 75% 起反应? 解这是化学反应问题它应遵循质量作用定律 : 化学反应速度与参与反应的物质的有效质量或浓度成正比设 (t) ( 单位 : 千克 ) 为时刻 t ( 单位 : 小时 ) 已生成的 B 物质的质量那么 ( t) 就是时刻 t A 物质参与反应的有效质量由上述定律得解上述线性方程得 d k( ) dt () (). kt Ce

13 由 ( ) ( ) 解得 C k ln 7 于是 t 7 () 小时后 A 物质起反应的量是 () ( 千克 ) () 若已有 75% 的 A 物质起反应因此生成了 75% 7. 5 千克的 B 物质于是由解得 t. 887 ( 小时 )六.Bernoulli 方程形如 d d 的方程称为 Bernoulli 方程当 n t n f ( ) g( ) n 当 n 和时方程两端除以便得到 n d d 和时就是线性方程 f ( ) g( ) n u 则 du ( n) d 于是方程变为 n 令 n du ( n) f ( ) u ( n) g( ) d 这是关于 u 的线性方程按前面的方法解出方程后用 u n 代入就得到了原方程的解注意当 n 时是方程的解例..4 求方程的通解 d d 5 解方程两端除以 5 便得到 d d 5 4

14 令 u 4 方程变为解得 du 4u 4 d u 4 C e 4 4 例..5 解定解问题解把方程写为 ln sin (). 令 z os 那么原方程化为 d d os ( os ) d os ln os os d dz d ln z ln 这是 Bernoulli 方程再令 u z 将此方程化为解此方程得还原回原变量便得 du u d ln ln u ( C ) ln ( C)os ln 由于 ( ) 所以 C 因此定解问的解为七. 数学建模 ( )os ln 随着科学技术的发展和进步数学这一重要基础学科在自然科学和社会科学领域中的应用越来越广泛数学与电子计算机技术相结合已成为一种重要的可以实现的技术数学的理论与工具在解决自然科学工程技术乃至社会科学等各个领域的实际问题中发挥着越来越明显甚至是举足轻重的作用现实世界中的问题常常并不是以一个现成的数学问题形式出现的是要用数学技术去解决实际问题首先必须将所考虑的现实问题通过去芜存菁去伪存真的深入分析和研究利用数学的抽象方法与工具将其归结为一个相应的数学问题这个过程称为数学建模所得到的数学问题称为数学模型 z

15 数学建模可以使用多种数学方法对同一问题可以建立不同形式的数学模型而其中一个重要的工具是微积分先来看一个很简单但在历史上非常著名的例子例..6 Mlthus 人口模型设 p( t) 是某地区的人口数量关于时间函数那么该地区在单位时间中的人口增长数即人口增长率应该是人口数量函数的导数 p( t) 显然某一时刻的人口数量越多在单位时间中的人口增长数也就越多通过对当时的资料分析 Mlthus 认为人口增长率与人口数量成正比设比例系数为 ( 可以由已有的资料定出 ) 于是他在 798 年提出了历史上第一个人口模型对 dp dt 两边积分得 p 也就是 p( t) p( t) p( t ) p. ln p t C p t C e 令 t t 并利用初始条件 p( t ) p 可以定出最终得到人口数量函数 C t p e t t p( t) p e ( ) Logisti 人口模型 Mlthus 人口模型的解 tt p p e ( ) 当 t 时有 p (t) 这显然是荒谬的因为人口的数量增加到一定程度后自然资源和环境条件就会对人口的继续增长起限制作用并且限制的力度随人口的增加而越来越强也就是说在任何一个给定的环境和资源条件下人口的增长不可能是无限的它必定有一个上界 p m 因此荷兰生物数学家 Verhulst 认为人口的增长速率应随着 p( t) 接近 p m 而越来越小他提出了一个修正的人口模型

16 p ( t) p( t ) p. p( t) p( t) pm p( t) 将方程 p ( t) p( t) 中含有 p 的项全部集中到左边两边在 [ t t] 上积 pm 分即 p p p m dp p p p m t t dt 由此解出 pm p p m ( )e p ( t t ) 显然当 t 时有 p( t) pm 美国和法国都曾用这个模型预测过人口结果是令人满意的形如 d r( M ) d 的方程称为 Logisti 方程 ( r M 为正常数 ) 其解为 M rm Ce ( C 是任意常数 )当 C 时这个函数的图形见图.. 称之为 Logisti 曲线 Logisti 模型在生物学环境科学经济学以及社会学等领域有着重要的应用图.. 例..7 已知 P 为海平面处的气压求大气压强随高度的变化规律解取坐标原点在海平面上 h 轴铅直向上 ( 见图..) 我们知道在一点处的大气压强就是该点处的水平单位面积上空的空气柱的重量因此大气压强 P 是海平面之上高度 h 的函数即 P P(h)

17 在高度 h 处取高度微元 dh 则高度 h dh 与 h 之间的压强之差 dp 应等于以单位面积为底的高为 dh 的立体中的空气重量设 (h) 为高度 h 处的空气密度则当 dh 很小时可看作相对不变的因此 h dp gdh 等式中的负号是由于随高度升高而压强减小由气体状态方程可知 P RT 其中 R 是气体常数是气体的分子量 T 是绝对温度因此 gp dp dh RT 这就是压强 P P(h) 应满足的微分方程 h+dh h 海平面图.. dp g 我们用分离变量法解此方程将方程化为 dh 再取积分得 P RT g ln P h C RT 因此微分方程的通解为 g h Rt P Ce C 是任意常数注意到在海平面处的气压为 P 即 P( ) P 所以 C P 于是便得大气压强随高度的变化规律为 g h Rt P P e 例..8 某条曲线满足如下光学性质 : 在曲线外存在一点 O 从 O 点置一个点光源光线经曲线反射后成为一束平行光射出求曲线方程解显然这条曲线一定是轴对称的且 O 点在对称轴上现以对称轴为轴 O 点为原点建立直角坐标系 ( 见图..4 由于对称性只画出了一半 ) 因 O 点射出的光线经曲线上点 P ( ) 反射后与轴平行过 P 作曲线的切线交轴于 Q 则 OPQ 是等腰三角形于是 OP = OQ = QR -OR 这里 R 是 P 向轴所引垂线的垂足由于 OP = QR = tn = OR = 即得到齐次方程

18 d = d 令 u 整理后方程变为 du u d = 将积分常数记为 ln p 解得 P θ θ Q O R 图..4 或者写成 ln( u u ) ln ln p u u p 两边平方并注意到 u 便得到曲线方程 p p 这是焦点在原点的抛物线方程因此满足上述光学性质的曲线必是抛物线以上述任何一条抛物线为母线绕轴旋转一周而得的旋转抛物面就能把平行于轴的光线全部反射到焦点上例..9 求由电阻 R 电感 L 和电源 E U sin t 组成的 RL 串联电路 ( 图..5) 的电流变化规律 I (t) (R L 和 U 都是常数 ) 已知 t = 时的电流为 I 解由 Kirhhoff 定律 di( t) E RI( t) L dt 即得到线性微分方程 di R I dt L I() I. U L sin t I R L E 图..5 为 di R 齐次线性方程 I 的通解为 dt L U L sin t e R t L 于是非齐次线性方程的通解为 t L C R e 而非齐次线性方程的特解可以取 R t Rsin t Lost dt L e = U L R

19 R t L I ( t) C e + Rsin t Lost U L R 令 ( ) I 因此 I 得到 LU C I L R I(t) I LU L R R t Rsin t Lost L e + U L R 八. 习题.() ( ) ( 5) ( 6) ( 7)4.() ( 4) 5 9.( ) ( 4).().()4 5() ( ) ( 5)6.( ) ( ) 7.( ) ( 4) ( 6) (8) ( 9)8.( ) ( )9.( ) ( ) (5) 5

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PowerPoint Presentation 西华大学应用数学系朱雯微分方程习题课解题方法流程图求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量通解为 Pd Pd y