第二边值条件 Neuma 问题 u = φ(, ) Γ 第三边界条件 Robi 问题 ( u + σu) = φ(, ) Γ 5 定解问题的研究方法研究适应性适应性存在性唯一性稳定性 6 经典方程中参数的意义方程类别 a f(, ) 波动方程 a = T ρ 表示弦 / 膜 / 波的张力密度

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教严
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1 偏微分方程复习整理一偏微分方程中的基本知识一些基本概念偏微分方程多元函数 u() 及其偏导数的关系式, 通式 F(, u, Du,, D m u) = 解满足偏微分方程的多元函数 u = φ(), 特别地有形式解通解特解阶实际所含未知函数偏导数的最高阶数线性算子满足对任意函数 u, v, 任意常数 c 有 L(u + v) = Lu + Lv, L(cu) = clu 的算子 L 自由项线性偏微分方程中的不含未知函数 u 及其偏导数的项, 即仅由自变量和常数决定的项主部拟线性偏微分方程最高阶部分偏微分方程的分类偏微分方程 F 是否关于 u, u 偏导数线性是线性是自由项 f 是否为齐次 { 否非齐次 F 是否关于 u 最否高阶偏导数线性拟线性非线性 { 否 { 完全非线性齐次方程 :a(, y)u + b(, y)u y + c(, y)u = 非齐次方程 :a(, y)u + b(, y)u y + c(, y)u = f(, y) 是主部系数与 u,u 偏导数无关拟线性方程 : 如 :u y + u u y u u yy + u + u y + u = ( 主部 uu y + u u y u u yy ) 半线性方程 : 如 :u + yu y + yu yy + uu + uu y = + y 完全非线性方程 : 如 :u + u y + u yy + u + y u y + u 3 = 3 经典方程弦振动方程 :u a (u + u + + u ) = f(,,,, ) 热传导方程 :u a (u + u + + u ) = f(,,,, ) Poisso 方程 :u + u + + u = f(,,, ) Lapace 方程 :u + u + + u = 4 定解问题与定解条件半线性泛定方程定解问题 { 初始条件定解条件 { 边界条件初始条件 ( 关于的定解条件 ) 方程类别初始条件波动方程 u(, ) = φ(), u (, ) = ψ() 热传导方程 u(, ) = φ() Poisso/Lapace 方程没有初始条件边界条件 ( 关于的定解条件 ) 分类边值问题编制条件第一边界条件 Diriche 问题 u Γ = φ(, ) 第页 / 共页

2 第二边值条件 Neuma 问题 u = φ(, ) Γ 第三边界条件 Robi 问题 ( u + σu) = φ(, ) Γ 5 定解问题的研究方法研究适应性适应性存在性唯一性稳定性 6 经典方程中参数的意义方程类别 a f(, ) 波动方程 a = T ρ 表示弦 / 膜 / 波的张力密度 f = F ρ 表示处单位质量在收到的外力热传导方程二一阶方程理论 a = κ Cρ f = F Cρ f 时表示热汇 ;f 时表示热源积分曲面特征线 d d 记半线性方程 i= A i ()u i = f(, u)(pde), 方程组 { du 方程 = A d i= i()u i (PDE ), 方程组 (CE ) d d d d du { d d d = A () = A () = f(, u) 积分曲面 F(, u, Du) = 的解 u = u() 是空间 {(,,, u)} 的一个曲面特征方程 ( 组 ) (CE), (CEs) 称为 ( ) 的特征方程 ( 组 ) = A () d (CEs), 即 = = d (CE) = A A () A () () 特征线 (CE), (CEs) 的解在 {(,, )} 中表示为一条曲线称为 (PDE) 的特征线全特征线 (PDE ) 的解称为 (PDE) 的全特征线, 其由 (CE ) 确定定理. 所有特征线组成的曲面一定是积分曲面, 任何积分曲面也是特征曲线的并首次积分 dy = f d (, y,, y ) 记方程组 { (ODEs), f i C(Ω),f i 关于 (y,, y ) 可微 dy = f d (, y,, ) 首次积分已知非常函数 V = V(, y,, y ) 在 Ω 内连续可微, 其沿着 (ODEs) 的积分曲线 Γ: y = y(), D 取常数值 V(, y (),, y ()) = C, 这里常数 C 会随着积分曲线变化而变化, 称 V(, y,, y ) = C 为 (ODEs) 在 Ω 内的首次积分也称 V 为首次积分定理. 设 Φ(, y,, y ) 在 Ω 内连续可微且非常函数, 则 Φ(, y,, y ) = C 是 (ODEs) 在 Ω 内的首次积分的充要条件是 : Φ + f Φ Φ + + f y =, 其中 (, y y,, y ) Ω 第页 / 共页

3 3 齐次偏微分方程的解法记齐次方程 i= d A i ()u i = (PDE), 方程组 = = d (CE) A () A () 通解结构定理. 若 φ,, φ 为 (CE) 的个相互独立的首次积分, 则 u = Φ(φ,, φ ) 为 (PDE) 通解, 其中 Φ 为关于其所有变元的连续可微函数 d 通解计算方法 :) 得到特征方程 = = d A () A () ) 根据特征方程得到个相互独立的首次积分 φ,, φ 3) 得到通解 u = Φ(φ,, φ ), Φ C (Ω) 特解计算方法 :) 如上得到通解 u = Φ(φ,, φ ) 4 拟线性 / 非齐次偏微分方程的解法 ) 由定解条件 u =C = ψ(,, ) 设 φ i = φ i =C, 反解 i = ω i (φ,, φ ), i 3) 根据定解条件得到 Φ(φ,, φ ) = ψ(,, ) = ψ (ω,, ω )(φ,, φ ) 4) 得到 u = Φ(φ,, φ ) = ψ (ω,, ω )(φ,, φ ) 记拟线性方程 i= A i (, u)u i = f(, u)(pde), 方程 i= A i (, u)v i + f(, u)v u = (PDE ) d 方程组 = = d = du (CE) A (,u) A (,u) f 通解结构定理. 若 φ,, φ 为 (CE) 的个相互独立的首次积分,v = Φ(φ,, φ ) 为 (PDE ) 通解, 其中 Φ 为关于其所有变元的连续可微函数, 则 Φ(φ,, φ ) = 为 (PDE) 隐式通解 d 通解计算方法 :) 得到特征方程 = = A (,u) d A (,u) = du f ) 根据特征方程得到个相互独立的首次积分 φ,, φ 3) 得到通解 Φ(φ,, φ ) = 特解计算方法 :) 如上得到通解 Φ(φ,, φ ) =, Φ C (Ω) 三二阶方程理论特征方程 ) 由定解条件 u =C = ψ(,, ) 设 φ i =C,u=ψ = C i 3) 利用 φ i =C,u=ψ = C i, 消去左端自变量得到 Φ(C,, C ) = 4) 得到 Φ(φ,, φ ) = a) 二元拟线性方程 a(, y, u, u, u y )u + b(, y, u, u, u y )u y + c(, y, u, u, u y )u yy = F(, y, u, u, u y ) 特征方程为 ady bddy + cd dy = 即 = b± b ac d a 特别地, 特征曲线为 φ(, y) = 时, 特征方程为 aφ + bφ φ y + cφ y = 特别地, 泛定方程为半线性 / 线性时, 特征方程退化为常微分方程 b) 元线性方程 i,j= a ij ()u i j + i= b i ()u i + c()u = f() 特征方程为 i,j= a ij ()G i j =, 或 i,j= a ij ()α i α j = (CE) (CE) 在点 P(,, ) 处的解 (α,, α ) 称为在点 P 处的特征方向,G = 为特征曲面二阶方程的分类 a) 二元线性方程 au + bu y + cu yy + du + eu y + gu = f, 其中 a, b, c, d, e, f, g C (Ω) 第 3 页 / 共页

4 Δ(, y ) >, 在该点处为双曲型方程 ;Δ(Ω) >, 在 Ω 内是双曲型的 ; (, y ) Ω,{ Δ(, y ) =, 在该点处为抛物型方程 ;Δ(Ω) =, 在 Ω 内是抛物型的 ; Δ(, y ) <, 在该点处为椭圆型方程 ;Δ(Ω) <, 在 Ω 内是椭圆型的 ; 在一个子域上 Δ >, 另一个子域上 Δ <, 为混合型方程 ; 在一个子域上 Δ >, 其它点 Δ =, 为退化双曲型方程 ; 在一个子域上 Δ <, 其它点 Δ =, 为退化椭圆型方程 b) 常系数主部线性方程 i,j= a ij u i j + i= b i ()u i + c()u = f() 特征二次型的标准型, 3 二阶方程的化简个特征值全为或, 为椭圆型方程个特征值有个和个或个和个, 为双曲型方程个特征值全非零, 且和都有一个以上, 为超双曲型方程 { 个特征值中有一个为, 其余全为或全为, 为抛物型方程 a) 二元线性方程 au + bu y + cu yy + du + eu y + gu = f, 其中 a, b, c, d, e, f, g C (Ω) dy Δ > 时 :) 由 = b± Δ d a 得到两族特征线 φ(, y) = c, ψ(, y) = c ξ = φ(, y) ) 作变量替换 { η = ψ(, y), 计算 u ξ, u η, u ξξ, u ξη, u ηη 3) 代入原方程得到第一标准型 u ξη = F(ξ, η, u, u ξ, u η ) = ξ + η 4) 作变量替换 { 重复上述步骤得到 u y = ξ η u y y = F (, y, u, u, u y ) dy Δ = 时 :) 由 = b 得到特征线 φ(, y) = c d a dy Δ < 时 :) 由 ξ = φ(, y) ) 作变量替换 {, 计算 u η = y ξ, u η, u ξξ, u ξη, u ηη 3) 代入原方程得到标准型 u ηη = F(ξ, η, u, u ξ, u η ) = b±i Δ d a 得到特征线 φ(, y) = c, ψ(, y) = c ξ = φ(, y) ξ = (ξ + η) ) 作变量替换 { 进一步 { η = ψ(, y) η = (ξ η), 计算 u ξ, u η, u ξ ξ, u ξ η, u η η i 3) 代入原方程得到标准型 u ξ ξ + u η η = F(ξ, η, u, u ξ, u η ) b) 常系数主部线性方程 i,j= a ij u i j + i= b i ()u i + c()u = f() ) 得到特征二次型 D = i,j= a ij α i α j ) 在变换 α = Bβ 下将特征二次型转化为 D = i= λ i β i, 并且可知 B T AB = diag(λ,, λ ) 3) 作自变量替换 y = B T, 即 = (B T ) y, 有 D y u = D u D() D(y) 4) 代入原方程得到标准型 i= λ i u yi y i + i= B i (y)u yi 四波动方程求解一些基本原理 = D u(b T ) + C(y)u = F(y) 线性叠加原理. 如下有边界条件时,u, u, u 自然由边界控制, 否则 R 第 4 页 / 共页

5 u a Δ u = f(, ), > u a Δ u =, > a)(Ⅰ) { u = = φ(), u = = ψ() 的解 u 可以表示为问题 (Ⅱ) { u = = φ(), u = = ψ() 的解 u 与 [u Γ = ( 有边界条件时 )] [u Γ = ( 有边界条件时 )] u a Δ u = f(, ), > (Ⅲ) { u = = φ(), u = = ψ() 的解 u 之和 u = u + u [u Γ = ( 有边界条件时 )] b)u 可表示为 (Ⅱ) () u a Δ u () =, > u () () = = φ(), u = = 的解 u () 和 (Ⅱ) () u a Δ u () =, > u () () = =, u = = ψ() 的解 u () { [u Γ = ( 有边界条件时 )] 之和 u = u () + u () { [u Γ = ( 有边界条件时 )] 三部分解的关系. 形式地记 (Ⅱ) 的解为 u () = U ψ (, ), 则 u () = U φ(, ), u = U fτ (, τ)dτ w a Δ w =, > τ 齐次化 /Duhame 原理.w(,, τ) 是 { w =τ =, w =τ = f(, τ) 的解, 则 u = w(,, τ)dτ 是 (Ⅲ) 的解 [w Γ =, > τ( 有边界条件时 )] 边界齐次化. 使用辅助函数 U(, ) 作变换 v = u U 可将边界其次化辅助函数半无界两端有界第一边值 u(, ) = μ() U = μ() u(, ) = μ (), u(, ) = μ () U = μ () + (μ () μ ()) 第二边值 u (, ) = μ() U = μ() 第三边值 \ u (, ) = μ (), u (, ) = μ () U = μ () + (μ () μ ()) u(, ) = μ (), u (, ) = μ () U = μ () + μ () u (, ) = μ (), u(, ) = μ () U = μ ()( ) + μ () 齐次方程的 Cauchy 问题特征线法 /d Aember 公式 u a u =, > 问题 { u = = φ() u = = ψ() ξ = a ) 作变量替换 { η = + a, 化为第一标准型 u ξη = ) 求解第一标准型得到 u = F(ξ) + G(η), F, G C (Ω) 3) 代回原变量得到 u = F( a) + G( + a) 4) 带入初始条件得到 { u = = F() + G() = φ() u = = a( F () + G ()) = ψ(), 得到 { F() = φ() ψ(τ)dτ + C a G() = φ() + ψ(τ)dτ C a 5) 得到 d Aember 公式 u(, ) = [φ( a) + φ( + a)] + 3 d Aember 公式的意义 ψ(τ)dτ a a 物理意义 : 弦上的初始扰动以行波形式向左右传播速度为 a, 整体的波形即为左右行波的叠加第 5 页 / 共页

6 几何意义 :u(a) + u(c) = u(b) + u(d) 依赖区间 :u(, ) 依赖于 [ a, + a] 的初始条件决定区域 :D = {(, ): + a a, > } 处函数值由区间 [, ] 的初始条件决定影响区域 :G = {(, ): a + a, > } 4 非齐次方程的 Cauchy 问题处函数值受区间 [, ] 的初始条件影响 A(, ) D( + aξ, ξ) B( aη, η) C( + aξ aη, ξ η) O a + a u a u = f(, ), > 问题 { u = = φ() u = = ψ() u a u = f(, ), > u a u =, > ) 线性叠加原理, 先求问题 (Ⅰ) { u = = u = = 和 (Ⅱ) { u = = φ() u = = ψ() 的解 w a w =, > τ ) 构造辅助问题 (Ⅲ) { w =τ =, 变量替换 = τ, 利用 d Aembe 公式可得问题 w =τ = f(, τ) (Ⅲ) 的解 w(,, τ) = +a( τ) f(ξ, τ)dξ a a( τ) 3) 由齐次化原理得到问题 (Ⅰ) 的解 u (, ) = w(,, τ)dτ = a +a( τ) a( τ) f(ξ, τ)dξ dτ 4) 利用 d Aembe 公式可得问题 (Ⅱ) 的解 u (, ) = [φ( a) + φ( + a)] + 5) 得到原问题的解 u = u + u 5 齐次方程的混合问题 a) 半有界弦的自由振动反射波 / 沿拓法 ψ(τ)dτ a a u a u =, < <, > u a u =, < <, > 问题 ( ) { u = = φ(), u = = ψ(), < 及问题 ( ) { u = = φ(), u = = ψ(), < u = =, u = =, φ(), φ(), Φ() = { Φ() = { φ( ), < φ( ), < ) 延拓边界, 对 ( ) 奇沿拓 ; 对 ( ) 偶沿拓 ψ(), ψ(), Ψ() = { Ψ() = { { ψ( ), < { ψ( ), < u a u =, > u a u =, > ) 构造辅助问题 ( ) { u = = Φ(), u = = Ψ() 及 ( ) { u = = Φ(), u = = Ψ() u = =, u = =, 3) 求解辅助问题对应的 Cauchy 问题 (d Aembe 公式 ) 得到 u(, ) = [Φ( a) + Φ( + a)] + 4) 将该解限制在第一象限得到原问题的解 ( ) 的解 u(, ) = { a a [φ( a) + φ( + a)] + [ φ(a ) + φ( + a)] + Ψ(τ)dτ, 该解自然满足边界条件 ψ(τ)dτ a a a a, a ψ(τ)dτ, < a 第 6 页 / 共页

7 ( ) 的解 u(, ) = { [φ( a) + φ( + a)] + [φ(a ) + φ( + a)] + b) 有界弦的自由振动分离变量 /Fourier 法 ψ(τ)dτ a a { a a u a u =, < <, > 问题 { u = = φ(), u = = ψ(), ( 第一边值条件为例 ) u = =, u = =,, a ψ(τ)dτ + ψ(τ)dτ}, < a X ) 考虑解具有形式 u(, ) = X()T(), 代入原方程 () = T () = λ, 即 { X () + λx() = X() a T() T () + λa T() = ) 带入边值条件得到特征问题 { X () + λx() = (CP) 和 T X() = X() = () + λa T() = (CP) 3) 求解特征问题 (CP) 得到特征值 λ k = k π 和特征函数 X k () = c k si kπ, k =,,, 4) 求解特征问题 (CP) 得到通解 T k () = a k cos kπa + b k si kπa, k =,, 5) 得到级数形式解 u(, ) = (A k cos kπa + B k si kπa ) si kπ k= 6) 进一步确定参数, 得到 u (, ) = kπa k= (A k cos kπa, A k = a k c k, B k = b k c k + B k si kπa ) si kπ { φ() = A k si kπ k= kπa ψ() = B k si kπ, 由级数理论得 { A k = kπ φ() si d k= B k = ψ() si kπ d kπa 6 非齐次方程的混合问题 u a u = f(, ), < <, > 问题 { u = = φ(), u = = ψ(), ( 第一边值条件为例 ) u = = μ (), u = = μ (), v a v = f (, ), < <, > ) 将边界其次化 v = u U 得到新问题 { v = = φ (), v = = ψ (), v = =, v = =, v a v = f (, ), < <, > ) 线性叠加原理, 先求问题 (Ⅰ) { v = =, v = =, 和 v = =, v = =, v a v =, < <, > (Ⅱ) { v = = φ (), v = = ψ (), 的解 v = =, v = =,, 带入初始条件可得 w a w =, < <, > τ 3) 构造辅助问题 (Ⅲ) { w =τ =, w =τ = f (, τ),, 变量替换 = τ, 利用分离变量法 w = =, w = =, 可得问题 (Ⅲ) 的解 w(,, τ) = k= B k (τ) si kπa ( τ) si kπ 3) 由齐次化原理得到问题 (Ⅰ) 的解 v (, ) = w(,, τ)dτ = B k (τ) si kπa ( τ) dτ si kπ k= 4) 利用分离变量法可得问题 (Ⅱ) 的解 v (, ) = kπa k= (A k cos kπa + B k si kπa ) si kπ 第 7 页 / 共页

8 5) 得到原问题的解 u = v + v + U A k = φ () si kπ d 6) 进一步确定参数, 得 B k = ψ () si kπ d kπa { B k (τ) = f (, τ) si kπ kπa 五波动方程解的适定性 d 公式解的适定性 a) 若 φ C (R), ψ C (R), 则 ( 四 ) d Aembe 公式给出的 u(, ) 是原问题的解, 并且是稳定的 b) 若 f C ({(, ): > }), ψ C (R), 则 ( 四 4 ) 公式给出的 u(, ) 是原问题的解 c) 若 [, ] 上 φ 二次连续可微, 三阶导数分段连续,ψ 连续可微, 二阶导数分段连续且满足相容性条件, 则 ( 四 5 ) 公式给出的级数解是原问题的解能量积分 u a Δ u =, Ω, > 第一边值 { u = = φ(), u = = ψ(), Ω 的能量积分 :E() = (u + a u )d d Ω u Γ [,) = u a Δ u =, Ω, > 第二边值 { u = = φ(), u = = ψ(), Ω 的能量积分 :E() = (u u = + a u )d d Ω Γ [,) u a Δ u =, Ω, > 第三边值 { u = = φ(), u = = ψ(), Ω 的能量积分 : ( u + σu) = Γ [,) 3 唯一性 u a Δ u = f(, ), Ω, > 证明问题 { u = = φ(), u = = ψ(), Ω 的解唯一 u (σ + σ u) = μ(, ) Γ [,) E() = (u + a u )d Ω u a Δ u =, Ω, > ) 设 u, u 为原问题的解, 则 u = u u 是 { u = =, u = =, Ω 的解 u (σ + σ u) = Γ [,) ) 构造能量积分 E(), 计算 E (), 证明 E () = 3) 利用初始边界条件得到 E() =, 从而 E() 4) 由 E() 得到 u i, u, 从而 u = u, 即得原问题解唯一 4 稳定性 d + a σ u ds Γ ) 设 E () = u (, y, )ddy, 利用 Growa 不等式可得 E Ω () e E () + E()(e ) 第 8 页 / 共页

9 ) 初始值变化 φ φ L (Ω), ψ ψ L (Ω), φ φ L (Ω), φ y φ y L (Ω), φ φ L (Γ) < δ 3) 令 δ = ε[e T ( + a + a σ)], 利用能量不等式可以得到 T 时 u u L (Ω) < ε 4) 设 F() = f (, y, )ddy Ω 可以得到解对自由项 f(, y, ) 的连续依赖性六热传导方程求解, 得到能量不等式 E() ee() + e e τf(τ)dτ, 仿照上述过程齐次方程的 Cauchy 问题 Poisso 公式问题 { u a u =, > u = = φ() ) 对 Cauchy 问题关于作 Fourier 变换 u (ω, ) = u(, )e iω d d 则原问题变为 (Ⅰ) { u (ω, ) + d a ω u (ω, ) =, > u (ω, ) = = φ (ω) ) 求解问题 (Ⅰ), 得到 u (ω, ) = ( ) 3) 对 ( ) 作 Fourier 逆变换, 得到 u(, ) = (φ (ω)e a ω ) = φ() (e a ω ) 4) 计算 (g(, )) = e a ω 得 g(, ) = e 4a a π 5) 得到 Poisso 公式 u(, ) = φ() (e a ω ) = a π ( y) φ(y)e 4a dy, φ (ω) = φ(, )e iω d 4a 可以改写成热核函数 G(, ) = { a π, >, 则 u(, ) = G( y, )φ(y)dy, 非齐次方程的 Cauchy 问题问题 { u a u = f(, ), > u = = φ() e ) 线性叠加原理, 先求问题 (Ⅰ) { u a u = f(, ), > 和 (Ⅱ) { u a u =, > 的解 u = = u = = φ() ) 构造辅助问题 (Ⅲ) { w a w =, > τ, 变量替换 w =τ = f(, τ) = τ, 利用 Poisso 公式可得问题 (Ⅲ) 的解 w(,, τ) = G( y, τ)f(y, τ)dy 3) 由齐次化原理得到问题 (Ⅰ) 的解 u (, ) = w(,, τ)dτ 4) 利用 Poisso 公式可得问题 (Ⅱ) 的解 u (, ) = G( y, )φ(y)dy 5) 得到原问题的解 u = u + u = G( y, τ)f(y, τ)dy dτ 第 9 页 / 共页

10 3 齐次方程的混合问题 a) 半有界热传导 u a u =, < <, > u a u =, < <, > 问题 ( ) { u = = φ(), < u = =, 及问题 ( ) { u = = φ(), < u = =, φ(), ) 延拓边界, 对 ( ) 奇沿拓 Φ() = { φ( ), < ; φ(), 对 ( ) 偶沿拓 Φ() = { φ( ), < u a u =, > u a u =, > ) 构造辅助问题 ( ) { u = = Φ() 及 ( ) { u = = Φ() u = =, u = =, 3) 求解辅助问题对应的 Cauchy 问题 (Poisso 公式 ) 得到 u(, ) = ( ω) a π Φ(ω)e 4a 4) 将该解限制在第一象限得到原问题的解 ( ) 的解 u(, ) = a π ( ) 的解 u(, ) = a π b) 有界热传导分离变量 /Fourier 法 dω, 该解自然满足边界条件 ( y) (e 4a e (+y) 4a ) φ(y)dy ( y) (e 4a + e (+y) 4a ) φ(y)dy u a u =, < <, > 问题 { u = = φ(), ( 第一边值条件为例 ) u = =, u = =, X ) 考虑解具有形式 u(, ) = X()T(), 代入原方程 () = T () = λ, 即 { X () + λx() = X() a T() T () + λa T() = ) 带入边值条件得到特征问题 { X () + λx() = (CP) 和 T X() = X() = () + λa T() = (CP) 3) 求解特征问题 (CP) 得到特征值 λ k = k π 和特征函数 X k () = b k si kπ, k =,,, 4) 求解特征问题 (CP) 得到通解 T k () = a k e (kπa ), k =,, k= 5) 得到级数形式解 u(, ) = A k e (kπa ) si kπ, A k = a k b k 6) 进一步确定参数, 得 A k = φ() si kπ d 4 非齐次方程的混合问题 u a u = f(, ), < <, > 问题 { u = = φ(), ( 第一边值条件为例 ) u = =, u = =, ) 将边界其次化 v = u U 得到新问题 { v a v = f (, ), < <, > v = = φ (), v = =, v = =, 第页 / 共页

11 v a v = f (, ), < <, > ) 线性叠加原理, 先求问题 (Ⅰ) { v = =, 和 v = =, v = =, v a v =, < <, > (Ⅱ) { v = = φ (), 的解 v = =, v = =, w a w =, < <, > τ 3) 构造辅助问题 (Ⅲ) { w =τ = f (, ),, 变量替换 = τ, 利用分离变量法可得问 w = =, w = =, 题 (Ⅲ) 的解 w(,, τ) = k= A k (τ)e (kπa ) ( τ) kπ si 3) 由齐次化原理得到问题 (Ⅰ) 的解 v (, ) = w(,, τ)dτ k= = B k (τ)e (kπa ) ( τ) dτ si kπ k= 4) 利用分离变量法可得问题 (Ⅱ) 的解 v (, ) = A k e (kπa 5) 得到原问题的解 u = v + v + U 6) 进一步确定参数, 得 { A k = kπ φ () si d A k (τ) = f (, τ) si kπ d ) si kπ 七热传导方程解的适定性 a) 若 φ C(R) 且有界, 则 ( 六 )Poisso 公式给出的 u(, ) 是原问题的解 b) 若 φ C(R), ψ C(R R + ) 且均有界, 则 ( 六 ) 公式给出的 u(, ) 是原问题的解 c) 若 φ C([, ]), 且 φ() = φ() =, 则 ( 六 3 ) 公式给出的级数解是原问题的解第页 / 共页

Ρ Τ Π Υ 8 ). /0+ 1, 234) ς Ω! Ω! # Ω Ξ %& Π 8 Δ, + 8 ),. Ψ4) (. / 0+ 1, > + 1, / : ( 2 : / < Α : / %& %& Ζ Θ Π Π 4 Π Τ > [ [ Ζ ] ] %& Τ Τ Ζ Ζ Π

Ρ Τ Π Υ 8 ). /0+ 1, 234) ς Ω! Ω! # Ω Ξ %& Π 8 Δ, + 8 ),. Ψ4) (. / 0+ 1, > + 1, / : ( 2 : / < Α : / %& %& Ζ Θ Π Π 4 Π Τ > [ [ Ζ ] ] %& Τ Τ Ζ Ζ Π ! # % & ( ) + (,. /0 +1, 234) % 5 / 0 6/ 7 7 & % 8 9 : / ; 34 : + 3. & < / = : / 0 5 /: = + % >+ ( 4 : 0, 7 : 0,? & % 5. / 0:? : / : 43 : 2 : Α : / 6 3 : ; Β?? : Α 0+ 1,4. Α? + & % ; 4 ( :. Α 6 4 : & %

第二边值条件 Neuma 问题 u = φ(, ) Γ 第三边界条件 Robi 问题 ( u + σu) = φ(, ) Γ 5 定解问题的研究方法 研究适应性适应性 存在性 唯一性 稳定性 6 经典方程中参数的意义方程类别 a f(, ) 波动方程 a = T ρ 表示弦 / 膜 / 波的张力密度

第二边值条件 Neuma 问题 u = φ(, ) Γ 第三边界条件 Robi 问题 ( u + σu) = φ(, ) Γ 5 定解问题的研究方法研究适应性适应性存在性唯一性稳定性 6 经典方程中参数的意义方程类别 a f(, ) 波动方程 a = T ρ 表示弦 / 膜 / 波的张力密度