非齐次线性微分方程有界解的存在唯一性探究陈泽汛 ( 数学与统计学院 09 级数学与应用数学专业 ) 摘要 : 微分方程理论是分析理论的一个重要分支, 具有其相关的各种性质一直以来方程求解都是数学中的一个重要课题, 但对于微分方程, 由于高阶方程的解很难显式表示, 从而不解方程而讨论解的各种性质是

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倩伍冯
5 years ago
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1 非齐次线性微分方程有界解的存在唯一性探究陈泽汛 ( 数学与统计学院 9 级数学与应用数学专业 ) 摘要 : 微分方程理论是分析理论的一个重要分支, 具有其相关的各种性质一直以来方程求解都是数学中的一个重要课题, 但对于微分方程, 由于高阶方程的解很难显式表示, 从而不解方程而讨论解的各种性质是微分方程理论体系的重要组成部分本文从微分方程解的有界性入手, 探究了非齐次微分方程的有界解存在且唯一的充分性条件关键词 : 微分方程有界解存在性唯一性引言 : 有界性是函数的基本的性质之一, 同样在微分方程理论系统中, 解的有界性是解的重要性质之一, 这种性质与解的渐进性稳定性有着密切联系, 因而探究微分方程解的有界性对微分方程理解和发展有着重要意义一一阶非齐次线性微分方程首先我们从最简单的一阶常系数方程看起例 1.1 已知 f() 是定义在 (, + ) 连续函数, 若 f() M, 其中 M >, 求证 : y + y = f() (1.1) 存在有界解, 且唯一其中 y dy 证明 : 存在性 : 由于该方程为一阶常系数微分方程, 故其通解可以直接写出 φ() = e (c + e t f(t) dt), (, + ) 在 [, + ) 上, 对于 cεr,ce 有界, 且满足因而 φ() 在 [, + ) 上有界在 (, ) 上, 由于 f() M, 故取 c = e e t f(t) dt e Me 1 M e t f(t) dt, 则相应的解为 φ () = e e t f(t) dt e t f(t) dt < + e M e t dt M 故对于方程 (1.1) 存在有界解唯一性 : 若存在 c c, 则可令 c = c + ξ(ξ ), 则其相应的解为 φ() = φ () + ξe 1

2 显然等式右边第一项有界, 第二项在 (, + ) 无界, 因而假设不成立, 故方程 (1.1) 有界解唯一证毕推广 Ⅰ ⅰ 将上述方程 (1.1) 改为 y + ay = f() (a R,a > ) (1.2) 其余条件不变, 则结论可以仿照上述推导过程证明成立 ⅱ 对于方程 (1.2), 若 a <, 则取 c = φ () = e a + e at f(t) dt + e at f(t) dt, 则相应的解为 Me a e at dt + M a 故而存在有界解, 同理可仿照 (1.1) 中唯一性的证明得出有界解唯一 ⅲ 对于方程 (1.2), 若 a =, 则原方程变为 y = f(), 此时 y = f() d + c 例如 f() = 1 时显然 y 无界, 但当 f() = arctan 时,y 显然有界但无论如何让即便是存在也不唯一, 因为上述的 y 是一函数族基于上述讨论, 我们得到以下结论 : 定理 1.1 设 f() 是定义在 (, + ) 有界连续函数, 则下述常系数非齐次微分方程一定存在唯一有界解其中 y dy y + ay = f() (a R,a ) (1.3) ⅳ 考查一阶变系数微分方程探究问题 : 设 f(),a() 是定义在 (, + ) 连续函数, 且 f() M, 其中 M >, 试问方程 y + a()y = f() 在什么条件下存在有界解, 若存在是否唯一其中 y dy 分析 : 记 A() = a(t) dt, 则由常数变异公式, 我们可得该方程的通解 φ() = e A() [c + e A(t) f(t) dt], (, + ) 观察常系数方程的时, 存在唯一性的条件是 a, 故此时可尝试增加条件 : a() 在 R 上没有零点, 换言之 a() 在 R 上恒大于零或者恒小于零再分析 : 若我们仍想要按照常系数的方法对 φ() 进行有界性估计的话, 只是 2

3 a() 没有零点是不够的, 我们需要对 a() 进行进一步限制, 由于 A () = a(), 且 e A() e A(t) f(t) dt = e A() e A(t) f(t) d(a(t)) a(t) 因而我们可以对增加的条件进行补充 : 对于 R, 恒有 a() p >, 其中 p 为任一固定常实数总结后可以得到以下定理 : 定理 1.2 若 f(),a() 是定义在 (, + ) 连续函数, 且对于 R, 恒有 f() M,a() p, 其中 p 为任一固定常实数, 且 p >,M >, 则一阶非齐次线性微分方程 y + a()y = f() (1.4) 存在唯一有界解其中 y dy ( 注 : 其中若 a() p, 则原方程退化为常系数方程, 但结论依旧成立 ) 证明 : 存在性 : 由于 A() = a(t) dt, 故 A () = a() 又因为 a() 在 R 上恒大于 p( 恒小于 p),p >, 故 A() 严格单调递增 ( 严格单调递减 ) 不妨设 A() 严格单调递增, 即 a() > p, 并记 A() A,( A 可以为 + ) 也即 A(+ ) = A, A() = A 在 [, + ) 上, 对于 cεr,ce A() 有界, 且满足 e A() e A(t) f(t) dt = e A() e A(t) f(t) dt M e A() e A(t) a(t) dt a(t) M P e A() e A(t) d(a(t)) M p e A() e A() 1 M p 其中第二个不等号是由于 [, + ) 上 a() > p >,A(), A() [, A], 故因而 φ() 在 [, + ) 上有界在 (, ) 上, 由于 f() M, 故 e A() e A() 1 = 1 e A() 1 e A(t) f(t) dt < + 3

4 取 c = e A(t) f(t) dt, 则相应的解为 φ () = e A() e A(t) f(t) dt M e A() e A(t) a(t) dt a(t) M P e A() e A(t) d(a(t)) M P 其中第二个不等号是由于在 (, ),a() > p >, A(), 故 A() [ A, ] 则所以 A() A,e A() A e A() 故对于方程 (1.4) 存在有界解 e A(t) d(a(t)) = 1 e A() A 1 唯一性 : 若存在 c c, 令 c = c + ξ,ξ, 则其相应的解为 φ() = φ () + ξe 显然等式右边第一项有界, 第二项在 (, + ) 无界, 因而假设不成立, 故方程 (1.4) 有界解唯一同理 a() < p 时也可以类似证明证毕注 : 若 a() 存在零点时, 则解的有界性就无法判断例如当 f() = 1 时,a() =, 则解为 φ() = e (c + e 1 2 t2 dt), 显然无界但是当 f() = cos, a() = cos, 则解为 φ() = e sin (c + e sin t d(sin t)) 时, 对于任意的 c 解都有界二二阶非齐次线性微分方程下面我们讨论二阶的情况, 同样我们从常系数看起例 2.1 已知 f() 是定义在 (, + ) 连续函数, 若 f() M, 其中 M >, 求证 : y + 8y + 7y = f() (2.1) 存在唯一有界解其中 y d 表示 2 y d 2,y 表示 4 dy d

5 证明 : 存在性 : 二阶常系数非齐次方程的通解为 φ() = c 1 e + c 2 e e 7 e 7t f(t) dt 在 [, + ) 上, 对于 c 1,c 2 εr,c 1 e + c 2 e 7 有界, 且满足 1 6 e e t f(t) dt 1 6 e e t f(t) dt e e t f(t) dt, (, + ) 1 6 e 7 e 7t f(t) dt e 7 e 7t f(t) dt 因而 φ() 在 [, + ) 上有界 M 6 e e 1 + M 6 e 7 e 7 1 M 3 在 (, ) 上, 由于 f() M, 故取 c 1 = 1 6 et f(t) dt,c 2 = 1 6 φ () = 1 6 e 1 6 e M 6 e e t f(t) dt 5 < +, e 7t f(t) dt e7t f(t) dt, 则相应的解为 e t f(t) dt 1 6 e 7 e t f(t) dt e t dt e 7t f(t) dt e 7 e 7t f(t) dt + M 6 e 7 e 7t dt < + M 6 + M 42 = 4 21 M 故对于方程 (2.1) 存在有界解唯一性 : 若存在 c 1 c 1 或 c 2 c 2 令 c 1 = c 1 + ξ,c 2 = c 2 + η,ξ,η 不同时为, 不妨设 ξ,η = 则其相应的解为 φ() = φ () + ξe 显然等式右边第一项有界, 第二项在 (, + ) 无界, 则和式也无界若 ξ,η 同时不为, 即 ξ,η, 则相应的解为 φ() = φ () + ξe + ηe 7, 因为 e e 7, 因而 ξe + ηe 7, 所以 φ() 在 (, + ) 上无界, 因而假设不成立, 故方程 (2.1) 有界解唯一证毕推广 Ⅰ 有了一阶方程与二阶具体常系数方程的推导, 我们直接考查一般的二阶常系数方程 y + ay + by = f() (2.2)

6 其中 f() 是定义在 (, + ) 连续函数, f() M,M >,a,b R, 考查当 a,b 取何种值时, 可以保证方程 (2.2) 存在有界解, 存在唯一有界解分析 : 按照常系数方程的求解方法, 首先我们要考虑的是 a 2 4b, 故记 Δ = a 2 4b, 我们按照 Δ 的取值来讨论 : ⅰ Δ >, 此时 (2.2) 的特征方程必有两个相异的特征根, 记为 λ 1,λ 2, 若 b, 则 λ 1 λ 2, 因而 m e λ1t f(t) dt,c 2 = n e λ 1t f(t) dt < +, e λ2t f(t) dt < + 取 c 1 = e λ2t f(t) dt, 其中 m,n 是由常数变异法确定的常数仿照 (2.1) 的证明可以得出其有界解存在且唯一若 b = 则存在一个零根, 此时有界解的存在性仍可得证, 但唯一性就无法得出了, 因为当存在零根时, 待定系数可以任意给定某个常数都可以满足条件, 故此时存在有界解但不唯一 ⅱ Δ =, 记特征根为 λ, 对应的齐次方程的两个无关解为 e λ,e λ, 此时通解中比含有 e λ 项, 无论如何调整系数, 该项在 (, + ) 上必然无界, 故解必然无界 ⅲ Δ <, 记两个特征根 λ 1 = a+ Δ 2 = α + iβ,λ 2 = a Δ 2 βεr 则由常数变异公式可以得出通解为 φ() = c 1 e α cos β + c 2 e α sin β 1 2β eα sin β e αt sin βt f(t) dt 又因为 cos β, sin β 有界, 故将其放缩得 : + 1 2β eα cos β e αt cos βt f(t) dt φ() c 1 e α + c 2 e α + 1 β eα e αt f(t) dt = c 1 + c 2 e α + 1 β eα e αt f(t) dt = α iβ, 其中 α, 仿照例 1.1 中存在性的证明过程同理可以证得上述解有界但是根据例 1.1 中唯一性的证明, 我们可以发现此时的 c = c 1 + c 2, 因此只要 c 1 + c 2 = e α f(t) dt即可取到有界解, 故此解不唯一综合 ⅰ ⅱ ⅲ 我们可以得到以下定理 : 定理 2.1 对于二阶常系数非齐次微分方程 y + ay + by = f() 有界解的存在唯一性与其系数的关系如下表其中 f() 是定义在 (, + ) 连续 6

7 函数, f() M,M >, a,b R (Δ = a 2 4b) 条件存在性唯一性 Δ > b b = Δ = Δ < 推广 Ⅱ 下面我们考查一般的二阶变系数微分方程 y + a()y + b()y = f() (2.3) 由于从一阶到二阶, 从常系数到变系数我们一直采用的方法核心是先找出解的表达形式, 然后再根据表达形式运用相关方法对解的有界性进行判断而对于一般的二阶变系数方程 (2.3), 我们找不到一种通用的方法可以得出解的表达形式, 因而此种方法也很难对二阶变系数的情况进行讨论但是对于二阶的情况我们可以采用扰动的方法将变系数方程转化为 : y + (a + a())y + (b + b())y = f() + ε() 其中 a(),b(),ε() 在时为无穷小量有兴趣的读者可以自行用此种方法对一般的二阶变系数方程进行讨论参考文献 [1] 王高雄周之铭朱思铭等常微分方程 ( 第三版 ), 高等教育出版社,27 年 [2] 李岳生非线性微分方程解的界稳定性和误差估计, 数学学报, 第 12 卷第一期 [3] 曹根牛, 二阶变系数齐次线性微分方程与黎卡提方程, 西安科技学院学报, 第 24 卷第 2 期 [4] M. S. P. Eastham asymptotic solution of linear differential systems, applications of the Levinson theorem, Oford, 1989 年 7

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PowerPoint Presentation 西华大学应用数学系朱雯微分方程习题课解题方法流程图求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量通解为 Pd Pd y