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取守韦
5 years ago
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1 工科数学分析基础李换琴西安交通大学理学院

2 第三章一元函数积分学及其应用第一节定积分的概念第二节微积分的基本公式第三节两种基本积分法第四节定积分的应用第五节反常积分第六节 00-- /43

3 第六节引例微分方程的基本概念习题 3.6 (A) (4)(5), (3) 3(3),4()(4)(6)(8) /43

4 6. 几个基本概念一引例例. 一曲线通过点 (,), 在该曲线上任意点处的切线斜率为, 求该曲线的方程. 解 : 设所求曲线方程为 (), 则有如下关系式 : d d 由得 d + C (C 为任意常数 ) 由得 C, 因此所求曲线方程为 /43

5 例. 列车在平直路上以 0 m s 的速度行驶, 制动时获得加速度 a 0.4 m s, 求制动后列车的运动规律. 解 : 设列车在制动后 t 秒行驶了 s 米, 即求 s s (t). d s 0.4 已知 d t d s s t0 0, 0 d t t 0 由前一式两次积分, 可得 s 0. t + C t + C 利用后两式可得 C 0, C 0 因此所求运动规律为 s 0. t + 0 t 思考 : 制动后多少时间列车才能停住? 制动后行驶了多少路程? /43

6 二微分方程的基本概念含未知函数及其导数的方程叫做微分方程. 常微分方程分类偏微分方程方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 一般地, n 阶常微分方程的形式是 F(,, ( n), L, ) 0 ( n) ( n) 或 f (,,, L, ) ( n 阶显式微分方程 ) /43

7 微分方程的解使方程成为恒等式的函数. 通解解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同. 特解不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线. 定解条件确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件 ( 或初值条件 ): ( 引例通解 : 特解 : ( n) 0 ) 0, ( 0) 0, L, ( 0) 00-- ( n) 0 d d 0.4 d 引例 d ds s t0 0, 0 t0 dt + C s 0.t + Ct + C + s 0.t + 0t 7/43

8 形式 : 6. 可分类变量的一阶微分方程 d d 假设 f, f ( ) ( ) g ( ) g( ) 连续, 且 ( ) 是方程 ( ) 的解设 g ( ) d [ ( ) ] 两端积分 f ( )d 求解方法 : 变量分离 g( ) 0 令 ( ) g( ) () 是方程 ( ) 的通解, 隐式解若存在使 g ( ) 0, 0 0 d g( ) d 直接验证可知 0 也是原方程的解 f c f ( )d ( ) ( ) d + C ( ) F( ) C G + ( ) ( ) /43

9 例 3 求方程 3 的通解 d d 解 3 ( ±) d d 3 + C 3 + C 为通解直接验证可知 ± 也是原方程的解 /43

10 6.3 一阶线性微分方程一般形式 : d ( ) Q( ) + P + P P( )d ( ) 0 齐次方程 + P( ) 0 ( ) ( ) ln 线性非齐次方程线性齐次方程 P d + ( ) Ce P 的求解所以线性齐次方程 + P( ) 0 ( ) d 的通解为 C /43

11 求 + P ( ) Q( ) 的通解 ( ) 令 C h( ), 设 ( ) P d h e 则 h ( ) P( ) d e + h() e P( ) d h ( ) e P( ) 把, 代入非齐次方程, 得 h ( ) e 通解 P ( ) d Q( ) 即 h ( ) ( ) e P d P d [ Q( ) e + C] 为非齐次方程的解 P ( ) Q( ) ( ) d ( 常数变易法 ) [ P( ) ] e P ( ) d + C 即 Ce P ( ) d ( ) + P d e Q ( ) e P ( ) d 非齐次方程通解齐次方程通解 + 非齐次方程特解 00-- /43

12 例 7 d 求方程 + d 的通解解法 o 先求齐次的通解 d d + 0 d ln + C d e C ± e Ce o 常数变易法设 h( ) e, 代入方程有 h ( ) e 原方程的通解为 Ce + ( ) e h e h ( ) e h ( ) 解法直接代公式原方程的通解为 d d e [ e d + C] e [ e d + C] h ( ) e e + C Ce + /43

13 例 8 求方程 ( + ) 分析 : 解 d d + 原方程可化为 d d 的通解 d + d 由公式, 原方程的通解 ( ) d 为 ( ) d [ e e d + C] [ d + C] + C /43

14 6.4 可用变量代换法求解的一阶微分方程. 一阶齐次微分方程形如 d d f 令 u, 则 u, d d du du u +, u + f ( u) d d ( u) u d du [ f ] ( 变量可分类方程 ) /43

15 例 5 解解方程令 u, d d u 3 u u + du du d d u u d d / ( / ) ln u ln + u lnc 把 u ln( Cu) 代入另外 0 也是解. u 得 C Cu e. 通解可表示为 e u Ce /43

16 Bernoulli( 贝努利 ) 方程形如 : α + P( ) Q( ) ( α为常数 ) 当 α 0 时, + P( ) Q( ) 当 α 时, + P( ) Q( ) 为一阶线性方程. 为可分离变量方程. 当 α 0,时, α α + P( ) Q( ) Q ( α α ) ( α ) : v + ( α ) P( ) v ( α ) Q( ) α 令 v 代入 00-- 一阶线性方程. 6/43

17 例 9 求方程 + 0 满足条件的特解分析 : 原方程化为解 0 + 令 u u + 4u 通解为 u e Ce 4 d [ e [ e 原方程的特解为 [ e e e + 4 d d + C] ( e 00-- d + C] + C] + ) 贝努利方程 0, C 7/43

18 例 0 解 d d 通解为 : 求解方程 d d 3 的通解. + 3 贝努利方程 ( 为函数, 为自变量 ) d d v 3 令 v 得 d 3 d e [ e d + C] dv d + v 3 Ce +. 所以原方程的通解为 Ce /43

19 例求方程 ln 的通解. 解方程两边除以得 : ln Q(ln ) 令 v ln v v 解此一阶线性方程 : v + C. 即原方程的解为 : ln + C. 一般地 : 根据方程本身的特点, 引入合适的变量化原方程为可求解类型的方程进行求解 /43

20 例. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子的含量 M 成正比, 已知 t 0 时铀的含量为 M, 求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. dm λ M ( λ > 0) 解 : 根据题意, 有 dt M t 0 M 0 ( 初始条件 ) dm 对方程分离变量, 然后积分 : ( λ )d t M λ t 得 ln M λ t + lnc, 即 M C e M 利用初始条件, 得 C M0 λ t 故所求铀的变化规律为 M M e M 0 o 0 t 0/43

21 小结 d d 变量可分离方程 : f ( ) g( ) 一阶线性微分方程 + P( ) Q( ) ( ) ( ) e P d P d 通解 : [ Q( ) e + C] d d a + b + 齐次方程 : f f ( d d d + e + c f ) 贝努利方程 α + P( ) Q( ) ( α为常数 ) 00-- /43

22 .. 课堂练习 : 求下列方程的通解 e 0; 分离变量方程, ; ; d d ln d + ( ln )d, e 3 e + C > 0 时, ( ) + < 0 时, ( ) + 3 d ( 贝努利方程 ) d ln /43

23 5. () 如果 ae bd, 试证可适当选取常数 h 与 k, 使变换 u + h, v + k 能把方程 d a + b + c f ( ) 化为齐次方程 ; d d + e + f () 如果 ae bd, 可用适当变换将上述方程化为可分离变量的方程 a + b + c 0 h 证 () 如果 ae bd, 则方程组有唯一解 d + e + f 0 k u + h d a + b + c 令, f ( ) dv au + bv v + k f ( ) d d + e + f du du + ev v dv a + b u f ( ) v du d + e ( 齐次微分方程 ) u a b () 如果 ae bd, 则 k, a + b k( d + e), 令 u d + e d e du d ku + c 原方程化为 ( ) f ( ) e d e 00-- u + f ( 变量可分类方程 ) 3/43

24 6.5 可降阶高阶微分方程 ( ) n f ( ) 型的微分方程 f (, ) 型的微分方程 3 f (, ) 型的微分方程 6.6 微分方程应用举例习题 3.6 6(3)(5),8,0 (B) /43

25 6.5 可降阶高阶微分方程 ( ) f ( ) n 型的微分方程例. 求解 e cos. 解 : ( e cos ) d + C sin + C 4 8 e e + cos + C + C + sin + C + C + C e ( 此处 C ) C 5/43

26 二 f (, ) 型的微分方程不显含变量设 p(), 则 p, p f (, p) 设其通解为 p ϕ, C ) ( 则得 ϕ, C ) ( 再一次积分, 得原方程的通解 ϕ (, C + C ) d 原方程化为一阶方程 /43

27 ( + ) 例. 求解微分方程 0, 0 3 解 : 设 p(), 则 p, 代入方程得 ( + ) p p 分离变量积分得 ln p ln( + ) + ln C, d p p 即 d ( + ) p C ( + 利用 0 3, C 3 得, 于是有 3( + ) 3 两端再积分得 C 利用 0, 得 C, 因此所求特解为 ) /43

28 3 f (, ) 型的微分方程不显含变量令 p, d p d p d d p 则 p d d d d 故方程化为 d p p f (, p) d 设其通解为 p ϕ, C ), 即得 ( ϕ(, C) 分离变量后积分, 得原方程的通解 d, ϕ ( C ) C 8/43

29 例 3. 求解方程 0. 解 : 设 p, 则 d p 代入方程得 p p 0, d d d p d p p d d p 即 p d 两端积分得 ln p ln + ln C, 即 p C, C ( 一阶线性齐次方程 ) 故所求通解为 C C e /43

30 例 4. 解初值问题解 : 令 p, pd p e 0 0 0, 0 则 e d d p p, d 代入方程得积分得 p e + C 利用初始条件, 得 C 0, p 0 0 > 0, 根据 d p e d 积分得 e + C, 再由 0 0, 得 C 故所求特解为 e 00-- 得 30/43

31 6.6 微分方程的应用例求一连续可导函数 f () 解 : f ( ) f ( ) sin sin 0 0 f ( f ( u)d u 使其满足下列方程 : t)d t 令 u 则 t du dt 则有 f ( ) + f ( ) f ( 0) 0 cos 利用公式可求出 f ( ) (cos + sin e ) /43

32 例. 设有微分方程 f () + f (), 其中, 0 0, > 试求此方程满足初始条件 0 0 的连续解. 解 : ) 先解定解问题利用通解公式, 得 d e +, d ( e d + C ) 利用 0 0 得 C 故有 e (0 ) + C e /43

33 ) 再解定解问题 + 0, > () e 此齐次线性方程的通解为 C e ( ) 利用衔接条件得 C ( e ) 因此有 3) 原问题的解为 ( e ) e ( ( e ), 0 ( e ) e, ) /43

34 例 3. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度成正比, 解 : 根据牛顿第二定律 dv m mg d t 初始条件为 v t0 0 其通解为 mg v + Ce k 利用初始条件, 得 C 代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时 ( t 0 ) 速度为 0, 降落伞下落速度与时间的函数关系. k m kv t. mg k v 00-- m g ( e k k m t ) mg v 求 f kv t 足够大时 mg k 34/43

35 例 4. 质量为 m 的质点受力 F 的作用沿 o 轴作直线运动, t 0 时设力 F 仅是时间 t 的函数 : F F (t) 在开始时刻 F 0) F, 随着时间的增大, 此力 F 均匀地减 ( 0 小, 直到 t T 时 F(T) 0. 如果开始时质点在原点, 且初速度为 0, 求质点的运动规律. F 解 : 据题意有 F t 0 F F0( ) d t T m F( t) F ) d t 0( T d o t0 0, 0 T t 0 d t t 两次积分, 并利用初始条件, 得所求质点运动规律为 3 F0 t ( t ) m 3T 35/43

36 例 5 混合问题有一容器内盛清水 00 升, 现将每升含盐量 4 克的盐水以每分 5 升的速率注入容器并不断进行搅拌使混合液迅速达到均匀同时混合液以每分钟 3 升的速率流出容器, 问在任一时刻 t 容器内的含盐量是多少? 在 0 分钟末容器中的含盐量是多少? 解设 t 时, 含盐量克, 变化率为 00-- d dt t 时, 盐水总量为 00+(5-3) t, 盐水浓度为 3 克 00 + t d 3 { 0 dt 00 + t ( 0) 0 5 4(00 + t) 4 0 (00 + t) t 0 时, 38.5( 克 ) 单位时间流入 0 克, 流出 t 5 升 / 分 3 升 / 分 36/43

37 例 6. ( 0) 设函数 ( ) ( 0) 二阶可导, 且 ( ) > 0,, 过曲线 () 上任一点 P(, ) 作该曲线的切线及轴的垂线, 上述两直线与轴围成的三角形面积记为 S, 区间 [ 0, ] 上以 ( ) 为曲边的曲边梯形面积记为 S, 且 S S, 求 () 满足的方程. 解 : 因为 ( 0), ( ) > 设曲线 () 在点 P(, ) 处的切线倾角为 α, 于是 S, S ( t)d t S tanα 0 P ( ) S ( t)d t 0 又 ( 0), (0) α o 所求曲线方程为 e 0, 所以 ( ) > ( 99 考研 ) 37/43

38 例 7 游船上的传染病人数一只游船上有 800 人, 一名游客患了某种传染病, 小时后有 3 人发病, 由于这种传染病没有早期症状, 故感染者不能被及时隔离, 直升机将在 60 至 7 小时之间将疫苗运到, 试估算疫苗运到时患此传染病的人数 /43

39 P59: 题人, 一名游客患了某种传染病, 小时后有 3 人发病,60 至 7 小时之间患此传染病的人数解设 (t) 表示发现首例病人后 t 小时时刻的感染人数则 800-(t) 表示此刻未受感染的人数. 由题意知 (0), ()3 d k(800 ) dt 800 ( t) + 800kt Ce (0) (0) () 3 () k , C 799 ( t) t + 799e t60 时感染人数为 (60) 88 可见传染病流行时及时 t7 时感染人数为 (7) 385 采取措施是至观重要的 /43

40 小结 : 解微分方程应用题的方法和步骤 () 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程. 常用的方法 : ) 根据几何关系列方程 ( 如 : 例 6 ) ) 根据物理规律列方程 ( 如 : 例 3, 例 4) 3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如 : 例 6 ) () 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件. (3) 求通解, 并根据定解条件确定特解 /43

41 他是嫌疑犯吗? 某公安局于晚上 7:30 发现一具女尸, 当晚 8:0 分法医测得尸体温度为 3.6, 一小时后尸体被抬走时测得体温为 3.4, 假定室温在几小时内均为. 由案情分析得知张某是此案的主要嫌疑犯, 但张某矢口否认, 并有证人说 : 下午张某一直在办公室, 下午 5 时打了一个电话后才离开办公室, 从办公室到凶案现场步行需 5 分钟, 问张某能否被排除在嫌疑犯之外? /43

42 8: ,9: , 室温 :. 确定死亡时间是下午 5 点 5 分以前还是以后? 分析设 T(t) 表示 t 时刻尸体温度, 并记 8:0 为 t0, 则 T(0) 3.6,T() 3.4 假设受害者死亡时体温是正常的, 即 T 37, 求 T(t) 37 时的时间 t 人体体温受大脑神经中枢调节, 人死后体温调节功能消失, 尸体温度受外界环境的影响, 尸体温度的变化率服从冷却定律, 即有 dt kt k( T.) T( t). + Ce dt 由 T(0) 3.6, T() 3.4, 得 c.5, k 0. 0.t T( t). +.5e 当 T 37 时, t-.95 小时小时 57 分钟死亡时间 T d 8 小时 0 分 - 小时 57 分钟 5 时 3 分结论 : 张某不能被排除在嫌疑犯之外 /43

43 谢谢! 李换琴西安交通大学理学院 /43

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PowerPoint Presentation 西华大学应用数学系朱雯微分方程习题课解题方法流程图求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量通解为 Pd Pd y