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乞贺
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1 知识目标理微分方程的概念. 初步了微分方程的性质. 能力目标会建立简单实际问题中的微分方程关系式. 协作完成本单元相关的实际问题. 素质目标具有主动探索客观事物内部联系并发现规律的素养. 课前准备做好预习, 搜集本单元相关资料. 课堂学习任务单元任务 4 破密室杀人案当一次谋杀发生后, 尸体的温度由原来的 37 按照牛顿冷却定律 ( 物体温度的变化率与该物体周围介质温度之差成正比 ) 开始变凉. 假设两个小时后尸体温度变为 35, 并且假定周围空气的温度保持 20 不变. (1) 求出自谋杀发生后尸体的温度 H 是如何作为时间 t( 以小时为单位 ) 的函数随时间变化的. (2) 画出温度时间曲线. (3) 最终尸体的温度如何? 用图像和函数两种方式表示这种结果. (4) 如果尸体被发现时的温度是 30, 时间是下午 4 点, 那么谋杀是何时发生的?

2 122 单元 4 微分方程在科学技术和经济管理中, 有些实际问题往往需要通过未知函数及其导数所满足的关系式去求未知函数, 这种关系式就是微分方程. 通过求方程, 可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此, 微分方程是数学联系实际, 并应用于实际的重要途径和桥梁, 是各个学科进行科学研究强有力的工具.1864 年, 通过微分求, 数学家和天文学家一起发现了海王星 ;1991 年, 还是通过微分方程求, 科学家推断出阿尔卑斯山脉的冰人大约遇难于年以前. 微分方程是一门独立的数学学科, 有完整的理论体系, 本单元主要讨论微分方程的一些基本概念如何建立简单的微分方程, 并介绍一些常见的微分方程的法. 4 1 微分方程的基本概念引例求这条曲线的方程. 已知一曲线上任一点 M(x,y) 处的切线斜率等于 3x 2, 且该曲线过点 (1,2). 试设曲线方程为 y = f(x), 则根据导数的几何意义有根据微分的形式写成对两边积分可得到 f (x)= dx = 3x2. = 3x 2 dx. y = 3x 2 dx = x 3 + C. 微分方程的定义连云港师范高等专科学校赵建清又因曲线过点 (1,2), 即所求方程满足条件 y x = 1 = 2, 代入上式得 C = 1, 即有曲线方程为 y = x 在上述的引例中, 无法直接找到问题中两个变量的函数关系, 而是通过已知条件建立了含有未知函数导数的方程, 然后通过积分手段求出未知函数, 我们将这类含有未知函数导数的方程称为微分方程. 定义 1 含有未知函数的导数 ( 或微分 ) 的方程称为微分方程, 微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶. 例如, 方程 yy +sin x = 1,y +ln xy = xcos x 分别是一阶三阶微分方程. 的. 练习 f (x)= d2 y dx = 2 3x2 为 ( ) 阶微分方程 ; y +2y -y+4x 2 = 0 为 ( ) 阶微分方程. 注二阶以及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程. 定义 2 如果将函数 y = f(x) 代入微分方程能使其恒等, 则称 y = f(x) 为这个微分方程在引例 2 中把 y = x 3 +C 与 y = x 3 代入微分方程 dx = 3x2 中, 能使其恒等, 所以这两个函数都是该微分方程的. 然而 y = x 3 +C 表示一个函数族, 而 y = x 3 +1 只表示一个函数, 显然

3 4 1 微分方程的基本概念 123 又是不同的. 定义 3 如果微分方程的中含有相互独立的任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 则称之为微分方程的通. 在通中, 利用附加条件确定任意常数的取值, 所得到的称之为微分方程的特, 而这种附加条件称为初始条件. 例如, 引例 2 中式 y = x 3 +C 为通,y = x 3 +1 为特,y x = 1 = 2 为初始条件. 例验证函数 y = x(cos x+c) 为一阶微分方程 +xsin xdx = y x dx 的通 ( 其中 C 为常数 ). 将 y = x(cos x+c) 两边同时对 x 求导有又由 y = x(cos x+c) 得 = cos x+c-xsin x. dx y x = cos x+c, 代入上式有 dx = y x -xsin x. æ 即 = y ç è x -xsin x ö dx, 整理得 +xsin xdx = y ø x dx, 从而函数 y = x(cos x+c) 为一阶微分方微分方程的连云港师范高等专科学校赵建清程 +xsin xdx = y x dx 的通. 如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量, 这个方程就叫做常微分方程, 也可以简单地叫做微分方程. 本单元我们只研究常微分方程. 同步训练指出下列方程中哪些是微分方程, 并指出微分方程的阶数. (1) y +5y = x; (2) y 2 +x 5 sin x = 2y; (3) (x+y) dx +6x-5y = 1; (4) xy(n) +6 = 验证下列函数是否为所给方程的, 如果是指明是通还是特. (1) y +(y ) 2 = 1,y = x; (2) y +3y -10y = 2x,y = - x ; (3) 3y-xy = 0,y = cx 若曲线在点 (x,y) 处的切线斜率等于该点横坐标的平方, 且曲线通过点 (1,0), 写出该曲线满足的微分方程. 扫一扫, 看答案

4 124 单元 4 微分方程 4 2 一阶微分方程一阶微分方程有许多种形式, 这里我们只研究可化为下列形式的一阶微分方程 dx = f(x,y) 可分离变量的微分方程分离变量法连云港师范高等专科学校赵建清 1. 可分离变量的微分方程的概念定义 1 能化成形如的方程称为可分离变量的微分方程. 方程. f(y) = g(x)dx 例如 dx = 3x2, dx = y+1,xy = 4y,sin xcos ydx-cos xsin y = 0, 均是可分离变量的微分 2. 可分离变量的微分方程的法可分离变量的微分方程的法如下 : (1) 分离变量, 即 f(y) = f(x)dx; (2) 两边积分, f(y) = f(x)dx ; (3) 化简整理. 例 1 求微分方程 dx = y 的通. x 分离变量得两边积分得整理得令 C = ±C 1, 得到通 : 程的. y = dx x, ln y = ln x +ln C 1 (C 1 >0), y = ±C 1 x. y = Cx(C 为不为零的常数 ). 在 y = Cx 中若令 C = 0, 得 y = 0. 将 y = 0 代入原方程, 方程两边相等, 故 y = 0 也是该方因此, 原方程的通为 : y = Cx(C 为任意常数 ). 练习 1 求微分方程 y = x(1+y2 ) 的通. (1+x 2 )y

5 4 2 一阶微分方程 125 这是一个可分离变量的微分方程, 分离变量得 x ( ) = (1+x 2 ) dx, 两边积分, 得 ( ) = x (1 + x 2 ) dx, 即记 C 1 = 1 2 ln C, 于是所以原方程的通为 1+y 2 = C(1+x 2 ). 即 1 2 ln(1+y2 )= 1 2 ln(1+x2 ) +C 1 (C 1 为任意常数 ), 练习 2 求微分方程 y = e 2x+y 的通. 分离变量, 得两边积分得 ln(1+y 2 )= ln(1+x 2 ) +ln C, dx = e2x+y, dx = e2x ( ), ( ) = e 2x dx, e -y = e 2x dx, - e -y d( ) = 1 2 e 2x d2x. 所以 -e -y = 1 2 e2x +C(C 为任意常数 ) 为所求通. 例 2 求 sin xcos ydx-cos xsin y = 0 的通, 并求满足初始条件 y(0)= π 4 的特. 两边积分得分离变量得 sin x sin y dx = cos x cos y, -lncos x-ln C = -lncos y, 化简得 cos y = Ccos x, 即为方程的通. 又 y(0)= π 4, 代入得 cos π 4 = Ccos 0, 于是有 C = 2 2,

6 126 单元 4 微分方程即满足初始条件的特为 cos y = 2 cos x. 2 练习 3 两边积分, 得求微分方程 cos ysin x-sin ycos xdx = 0 满足初始条件 y 分离变量, 得 cos y sin y = ( )dx(sin xsin y 0), ln sin y = ln sin x +ln C 1, x = π 6 = π 2 的特. 因此, 原方程的通为 sin y = Csin x(c = ±C 1 ), 由初始条件 y 方程的特为 sin y = 2sin x. 所以 x = π 6 = π 2, 得 C = ( 练习 4 求微分方程 (1+x 2 )-2x(1+y 2 )dx = 0 满足初始条件 y x = 0 = 1 的特. 因 (1+x 2 ) = 2x(1+y 2 )dx, 上式等式两边积分得 1+y 2 = ( ). 1 + y 2 = ( )dx, arctan y = ln( ) +C. 又因为 y x = 0 = 1, 代入上式得 C = ( ), 所以 arctan y = ( ) 为所求特. ), 故原一阶线性微分方程 1. 一阶线性微分方程的概念定义 2 能化成形如的方程称为一阶线性微分方程. y +p(x)y = Q(x) 当 Q(x)= 0 时, 有 y +P(x)y = 0, 称为一阶线性齐次微分方程 ; 当 Q(x) 0 时, 称为一阶线性非齐次方程. 2. 一阶线性齐次微分方程的法一阶线性齐次微分方程 y +p(x)y = 0 可以用分离变量法来求. 分离变量, 得两边积分 y = -P(x)dx, y = [ - P(x)]dx,

7 4 2 一阶微分方程 127 得 ln y = - P(x)dx + ln C, 整理得 y = Ce - P(x)dx (C 为任意常数 ). 这就是一阶线性齐次微分方程的通. 3. 一阶线性非齐次微分方程的法一阶线性非齐次微分方程 y +p(x)y = Q(x) 有常数变易法和公式法两种法. 下面我们先用常数变易法来求. 设非齐次方程的通为 y = C(x)e - P(x)dx 下面求 C(x): 把 y = C(x)e - P(x)dx 及 y = C (x)e - P(x)dx + C(x)e - P(x)dx [ - P(x)] 代入上面一阶线性非齐次微分方程, 并化简得 C (x)e - P(x)dx = Q(x), 从而有 C (x) = Q(x)e P(x)dx, 两边积分, 得一阶线性微分方程 ( 一 ) 连云港师范高等专科学院赵建清 C(x) = Q(x)e P(x)dx dx + C, 于是通为 y = e - P(x)dx [ Q(x)e P(x)dx dx + C]. 此式也可以作为求公式. 用该公式求通的方法叫作公式法. 例 3 求微分方程 y - y x = -x2 的通. 法 1 用公式法. 把代入求公式, 得通为 P(x)= - 1 x, Q(x)= -x2, [ ] = [ eln x ( - x 2 )e -ln x dx + C] ( ) = x æ - x2 ö ç = Cx - x3 y = e - ( - 1 x ) dx ( - x 2 )e ( - 1 x ) dx dx + C = x - xdx + C è 2 + C ø 2. 法 2 用常数变易法. 首先用分离变量法求出对应齐次微分方程 y - y x = 0 的通设原方程通为则 y = Cx. y = C(x)x,

8 128 单元 4 微分方程 y = C (x)x+c(x). 把 y 及 y 代入原方程并化简得 C (x)= -x, 再积分得 C(x)= x2 +C. 因此原方程通一阶线性微分方程 ( 二 ) 连云港师范高等专科学校赵建清 æ 为 y = - 1 ö ç 2 x2 +C x = Cx- 1 è ø 2 x3. 练习 5 求微分方程 x 2 y +xy = 1 的通.( 公式法 ) 先将方程变形为 dx +( )y = 1 x 2, 这是一阶线性非齐次微分方程. 应用公式, 其中 P(x)= ( ),Q(x)= ( ), 所以原方程的通为 y = e - ( )dx [C + ( )e ( )dx dx] = e ( ) [C + ( )e ( ) dx] = ( ) 练习 6 求微分方程 y +2xy = x 的通.( 常数变易法 ) 先求齐次微分方程 y +2xy = 0 的通 : 由 dx = -2xy 分离变量得两边积分则 y = Ce -x2 (C 为任意常数 ). y = ( ), ln y = ( ), 再求非齐次微分方程 y +2xy = x 的通 : 设通为 y = C(x)e -x2, 代入方程 y +2xy = x, 整理得则 C(x)= ( ), 因此 y = ( ) 为方程 y +2xy = x 的通. C (x)e -x2 = ( ), 例 4 求一阶微分方程 ydx+(x-y 3 ) = 0(y>0) 的通. 将原方程化为 dx + y x-y = 0, 3 该方程既不是可分离变量方程又不是一阶齐次线性微分方程. 但如果将原方程改写为 dx + x-y3 = 0, y dx 即 + 1 y x = y2, 将 x 看做 y 的函数, 这是一阶线性非齐次微分方程. 直接利用公式, 得原方程的通为 [ ] = e - 1 y C + y 2 e 1 y [ ] x = e - P(y) C + Q(y)e P(y)

9 4 2 一阶微分方程 129 = e [ -ln y C + y 2 e ln y ] = 1 æ y C + 1 ö ç è 4 y4 ø 即 4xy = y 4 +4C 一阶微分方程的应用用微分方程求实际问题的关键是建立实际问题的数学模型微分方程. 现实生活中许多问题都可以抽象为微分方程模型问题, 如凶杀案发生时间电磁波的传播人口增长和仓库存储问题等. 这首先要根据实际问题所提供的条件, 选择和确定模型的变量, 再根据有关学科, 如物理化学生物几何经济等学科理论, 找到这些变量所遵循的定律, 用微分方程将其表示出来. 为此, 必须了相关学科的一些基本概念原理和定律, 会用导数或微分表示几何量和物理量. 如在几何中曲线切线的斜率 k = dx ( 纵坐标对横坐标的导数 ), 物理中变速直线运动的速度 v = ds dt, 加速度 a = dv s dt =d2 dt 2, 角速度 w = dθ dt, 电流 i = dq 等. dt 例 5 镭元素的衰变满足如下规律 : 其衰变的速度与它的现存量成正比, 由经验得知, 镭经过年后, 只剩下原始量的一半, 试求镭现存量与时间 t 的函数关系. 设 t 时刻镭的现存量 M = M(t), 由题意知 :M(0)= M 0, 由于镭的衰变速度与现存量成正比, 故可列出方程 dm dt = -km, 其中 k(k>0) 为比例系数. 式中出现负号是因为在衰变过程中 M 逐渐减小, dm dt <0. 用分离变量法求得 M = Ce -kt, 再由初始条件得 M 0 = Ce 0 = C, 所以 M = M 0 e -kt, 至于参数 k, 可用另一附加条件 M(1 600)= M 0 M 0 求出, 即 2 2 = M 0e -k 1 600, 之得 k = ln , 所以镭的衰变中, 现存量 M 与时间 t 的关系为例 6 求其运动方程. M = M 0 e t. 一个质量为 m 的质点在重力的作用下从高 h 处下落, 忽略空气阻力的影响试设定坐标原点在水平地面,y 轴垂直向上, 在时刻 t 质点的位置是 y(t). 由于质点只受重力 mg 作用, 且力的方向与 y 轴正向相反, 故由牛顿第二定理得质点满足的方程为上式二阶微分方程积分, 得 m d2 y dt 2 = -mg, dt = -gt+c 1,

10 130 单元 4 微分方程再对上式积分, 得其中 C 1,C 2 是两个独立的任意常数. 程为把条件 y t = 0 = h, dt y = gt2 +C 1 t+c 2, t = 0 = 0 分别代入上面的两式得 C 1 = 0,C 2 = h. 因此所求的运动方 y = gt2 +h. 例 7 设 R-C 电路如图 4-1 所示,C( 常数 ) 是电容器电容,R 为电阻, 其中 R = 1 10C, E = 6 为电源电动势,K 是开关, 设开始时的电容器上没有电荷, 两端电压为零, 当开关合上时, 电源就会向电容充电, 电路中有电流 i 流过, 求电容器上的电压 U C 随时间 t 的变化规律. 得即 E = U R +U C,U C 为时间 t 的函数, 由 U R = ir = i 1 10C, i = dq dt, Q = CU C, U R = dq dt 1 10C = 1 du C 10 dt, 1 du C +U 10 dt C = 6, 由通公式求得通 U C = 6+Ce -10t, 将初始条件 U C t = 0 = 0 代入得 C = -6, 所以 U C = 6-6e -10t. 例 8 图 4-1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地面上以初速度 v 0 垂直向上射出一物体, 设地球的引力与物体到地心的距离的平方成反比, 求物体可能达到的最大高度 ( 空气阻力不计, 地球半径 R = km), 如果要使发射的物体脱离地球的影响, 发射的速度 v 0 至少应为多大? 如图 4-2 所示, 因物体射出后, 在运动过程中仅受地球引力 F 的作用, 时刻 t 物体坐标为 s = s(t), 则有初始条件 s(0)= 0, ds = v dt 0, 由于地球的 t = 0 引力 F 与物体到地心的距离 R+s 的平方成反比, 所以有其中 k 为比例常数. k F = (R+s) 2, 现在先求常数 k. 显然, 当物体在地面时,s = 0,F = mg,m 为物体的质量, 代入上式得 mg = k R 2, 因此,k = mgr 2. 图 4-2

11 4 2 一阶微分方程 131 于是根据牛顿第二定律, 物体的运动方程为即 ds 令 dt = v, 则有代入原方程得分离变量并积分得由初始条件 s t = 0 = 0,v t = 0 = ds = v dt 0 得 t = 0 F = mgr2 (R+s) 2, m d2 s dt = -mg R 2 2 (R+s) 2, d 2 s dt = - gr2 2 (R+s) 2, d 2 s dt = dv 2 dt = dv ds ds dt = v dv ds, v dv ds = -g R 2 (R+s) 2, 1 2 v2 = gr2 R+s +C, C = 1 2 v2 0 -gr, 代入 1 2 v2 = gr2 R+s +C 式, 化简得当物体达到最高点时,v = 0, 于是由故得最大高度 v 2 0 -v2 = 2gRs R+s. v 2 0 = 2gRs R+s, v2 0R s max =. 2gR-v 2 0 要使发射体脱离地球引力的影响, 即地球引力 F = 0, 从 F = mgr2 ( R+s) 2 知道, 这时必须 v2 0R s +, 而由式 s max = 可见, 若 s + 则 2gR - v 2 2gR-v 2 0 0, 所以有 v 0 = m / s 2 = km / s2,r = km 代入上式可以算出 v km / s, 这个速度就是我们通常所说的第二宇宙速度. 2gR, 将 g =

12 132 单元 4 微分方程扫一扫, 看答案同步训练求下列可分离变量的微分方程的通. (1) y = 2xy; (2) xy 2 dx+(1+x 2 ) = 0; (3) xy -yln y = 0; (4) (1+y 2 )dx-x 2 (1+x 2 ) = 求下列方程的通或满足初始条件的特. (1) y - y x = x2 ; (2) (1+x 2 ) = (1+2xy+x 2 )dx,y x = 0 = 1; (3) xy +2y = e -x2 ; (4) y + 1-2x x 2 y = 二阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶线性微分方程的结构例 1 一阻尼振动的振幅 s 满足以下微分方程 : d 2 s ds +4 +3s = 0. 2 dt dt 该二阶微分方程的特点为 : 二阶导函数一阶导函数和未知函数的系数都是常数, 且幂次都是一次的 ( 即线性的 ), 这样的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程. 定义 1 形如 y +py +qy = 0 (4-1) 的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中 p,q 均为常数. 例如 y +3y -2y = 0 8y -y = 0 均为二阶常系数齐次线性微分方程, 下面来讨论其的结构和求方法. 定理 1( 齐次方程的结构定理 ) 若 y 1 (x),y 2 (x)( 以下简记为 y 1,y 2 ) 是二阶常系数 y 1 齐次线性微分方程 (4-1) 的两个特, 且常数, 则 y 2 连云港师范高等专科学校赵建清 Y = C 1 y 1 +C 2 y 2 是方程 (4-1) 的通, 其中 C 1,C 2 是任意常数. 根据定理 1, 若求出方程 (4-1) 的两个比值不等于常数的特, 就可得到其通. 下面讨论其特的求法.

13 4 3 二阶常系数线性微分方程 133 由方程 (4-1) 不难看出,y,y,y 只相差常数, 由指数函数满足此特性, 可推断其为 y = e rx 形式, 其中 r 为待定常数. 由 y = e rx 得 y = re rx,y = r 2 e rx, 代入 y +py +qy = 0 有 e rx (r 2 +pr+q)= 0, 由于 e rx 0, 所以只要 r 满足方程 r 2 +pr+q = 0,y =e rx 即为方程 (4-1) 的. 因此称 r 2 +pr+q = 0 为方程 y +py +qy = 0 的特征方程, 其根称为特征根. 根据一元二次方程的求根公式, 特征方程 r 2 +pr+q = 0 的两个根为 r 1,2 = -p± 因此方程 (4-1) 的通有下列三种不同的情形 : p2-4q. 2 y 1. 当 p 2 1-4q>0 时,r 1,r 2 是两个不相等的实根, 有 = e (r 1-r 2)x 常数, 从而方程 (4-1) y 2 的通为 Y = C 1 e r 1 x +C 2 e r 2 x. 例 2 求方程 y -4y -5y = 0 的通. 所给方程的特征方程为 r 2-4r-5 = 0, 即 (r+1)(r-5)= 0, 得两个不相等的实根 r 1 = -1,r 2 = 5. 因此方程的通为 y = C 1 e -x +C 2 e 5x. 练习 1 求微分方程 y -y -6y = 0 的通. 因为微分方程 y -y -6y = 0 的特征方程为 r 2 -r-6 = 0. 其特征根 r 1 = ( ),r 2 = ( ). 所以其通为 y = ( ). 2. 当 p 2-4q = 0 时,r 1,r 2 是两个相等的实根, 此时只能求出方程 (4-1) 的一个特 y 1 = e r 1 x, 但不难验证 y 2 = xe r 1 x 也为方程 (4-1) 的特, 从而方程 (4-1) 的通为 Y = C 1 e r 1 x + C 2 xe r 1 x, 即 Y = (C 1 +C 2 x)e r 1 x. 例 3 求方程 y +2y +y = 0 满足初始条件 y x = 0 = 1,y = 1 x = 0 的特. 其特征方程为 r 2 +2r+1 = 0, 得重根 r 1 = r 2 = -1, 于是方程的通为 y = [C 2 x+c 1 ]e -x. 二阶常系数线性齐次微分方程连云港师范高等专科学校赵建清这时 y = [C 2 (1-x) -C 1 ]e -x, 将初始条件 y x = 0 = 1,y = 1 x = 0 分别代入以上两式, 得 C 1 = 1,C 2 = 2. 所以方程满足初始条件的特为 y = (1+2x)e -x. 练习 2 求微分方程 4y +4y +y = 0 的通. 所给方程的特征方程为 4r 2 +4r+1 = 0, 其特征根为 r = r 1 = r 2 = ( ), 因此原

14 134 单元 4 微分方程方程的通为 y = (C 1 +C 2 x)e - x 当 p 2-4q<0 时,r 1,r 2 是一对共轭复根, 设 r 1 = α +iβ,r 2 = α -iβ( β 0), 从而方程 (4-1) 的通为 Y = C 1 e (α+iβ)x +C 2 e (α-iβ)x, 利用欧拉公式可将其形式改写为 Y = e αx (C 1 cos βx+ C 2 sin βx). 例 4 求方程 y -4y +13y = 0 的通. 特征方程为 r 2-4r+13 = 0, 得一对共轭复根 r 1 = 2+3i,r 2 = 2-3i. 故方程的通为 y = e 2x (C 1 cos 3x+C 2 sin 3x). 练习 3 求微分方程 4y +9y = 0 满足初始条件 y x = 0 = 2,y x = 0 = 3 的特. 2 特征方程为 4r = 0, 特征根为 r 1,2 = ( ), 所以原方程的通为 y = ( ). 由初始条件 y x = 0 = 2,y x = 0 = 3 可得,C 2 1 = 2,C 2 = 1, 因此原方程的特为 y = ( ). 综上所述, 求二阶常系数线性齐次方程 y +py +qy = 0 通的步骤如下 : (1) 写出对应的特征方程 :r 2 +pr+q = 0; (2) 求特征方程的特征根 r 1 r 2 ; (3) 根据 r 1 r 2 的不同情形, 列表给出方程的通. 现列表如下 : 特征方程 r 2 +pr+q = 0 的根 r 1 r 2 两个不相等的实根 r 1 r 2 两个相等的实根 r 1 = r 2 一对共轭复根 r 1,2 = α±iβ 微分方程 y +py +qy = 0 的通 Y = C 1 e r 1 x +C 2 e r 2 x Y = (C 1 +C 2 x)e r 1 x Y = e αx (C 1 cos βx+c 2 sin βx) 例 5 有一个底半径为 10 cm, 质量分布均匀的圆柱形浮筒浮在水面上, 它的轴与水面垂直, 今沿轴的方向把浮筒轻轻地按一下再放开, 浮筒便开始作以 2 s 为周期的上下振动 ( 浮筒始终有一部分露在水面上 ), 设水的密度 ρ = 10 3 kg / m 3, 试求浮筒的质量. 如图 4-3 所示建立坐标系, 并设浮筒在静止状态时, 其轴与水面的交点为坐标原点. 在浮筒被按之前, 浮筒处于静止状态, 它受到的重力与浮力平衡. 设浮筒的质量为 m kg, 时刻 t 浮筒的位移为 y = y( t), 这时浮筒受到的合力是一个指向平衡位置 ( 原点 ) 的力 (0 1) 2 πyρg, 则由牛顿第二定律, 有 m d2 y dt 2 = -(0 1) 2 πy = -98πy. 图 4-3

15 4 3 二阶常系数线性微分方程 135 上式中的负号是由于浮筒受到的合力总是指向平衡位置, 而与浮筒的位移方向相反. 以上方程即 d 2 y dt + 98π 2 m y = 0, 这是一个二阶常系数线性齐次方程, 得通为这里 ω = y = C 1 sin 98π m t+c 2cos æ 98π = Asin m t+φ ö ç 0 è ø = Asin(ωt+φ 0 ). 98π m, 由于周期 T = 2π ω = 2, 因此 ω = π, 即浮筒的质量为 31 2 kg. 98π m m = (kg). π 98π m t = π, 得二阶常系数非齐次线性微分方程定义 2 形如 y +py +qy = f( x) (4-2) 的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中 f(x) 0 且 p,q 均为常数. 不难看出方程 y +py +qy = 0 与方程 (4-2) 仅相差在有无 f(x) 项, 例如 y -9y = 0 为二阶常系数齐次线性微分方程, 而 y -9y = x 3 为二阶常系数非齐次线性微分方程. 那么两者的有何联系呢? 定理 2( 非齐次方程的结构定理 ) 设 y 是非齐次方程 (4-2) 的一个特, 而 Y 是对应齐次方程 y +py +qy = 0 的通, 则 y = Y+y 是非齐次方程 (4-2) 的通. 下面验证该定理. 由于 y 和 Y 分别为非齐次方程与对应齐次方程的, 所以有 (y ) +p(y ) +qy = f(x) 和 Y +py +qy = 0, 将 y = Y+y 代入方程 (4-2) 有 (Y+y ) +p(y+y ) +q(y+y ) = Y +(y ) +py +p(y ) +qy+qy = (Y +py +qy) +[(y ) +p(y ) +qy ] = 0+f(x)= f(x), 说明 y = Y+y 是方程 (4-2) 的. 又因为 Y = C 1 y 1 +C 2 y 2 中含有两个任意常数 C 1 C 2, 所以 y = Y+y 中也含有两个任意常数 C 1 C 2, 因而它是非齐次方程 (4-2) 的通. 前文已讨论过求方程 (4-1) 通的方法, 下面来讨论求方程 (4-2) 特的方法. 二阶常系数线性非齐次微分方程 ( 一 ) 连云港师范高等专科学校赵建清

16 136 单元 4 微分方程方程 (4-2) 特的形式是由 f(x) 的形式决定的, 本节只讨论两种最常用的形式, 即 (1) f(x)= e λx P m (x), 其中 λ 为常数,P m (x) 是关于 x 的一个 m 次多项式函数 ; (2) f(x)= Acos ωx+bsin ωx, 其中 A,B,ω 均为常数. 1. f(x)= e λx P m (x) 型的法 f(x)= e λx P m (x) 是指数函数 e λx 与多项式 P m ( x) 的乘积, 对其求导或求积分仍为同一类型函数, 因此方程 (4-2) 的特可能为 y = Q( x) e λx, 其中 Q( x) 也是多项式函数. 对 y = Q(x)e λx 求导有 y = [λq(x) +Q (x)]e λx, y = [λ 2 Q(x) +2λQ (x) +Q (x)]e λx, 代入方程 (4-2) 整理并消去 e λx 得下面分三种情形讨论 : Q (x) +(2λ+p)Q (x) +(λ 2 +pλ+q)q(x)= P m (x). (4-3) (1) 若 λ 不是方程 (4-1) 的特征根, 即 λ 2 +pλ+q 0, 那么要使 (4-3) 的两端恒等, Q(x) 必须为 m 次多项式函数 Q m (x), 令 Q m (x)= b 0 +b 1 x+b 2 x 2 + +b m x m, 其中 b 0,b 1,,b m 为待定系数, 将 Q m (x) 代入 (4-3) 即可出 b 0,b 1,,b m, 从而得到方程 (4-2) 的特 y = Q m (x)e λx. (2) 若 λ 是特征方程 r 2 +pr+q = 0 的单根, 即 λ 2 +pλ+q = 0,2λ+p 0, 那么要使 (4-3) 的两端恒等,Q (x) 必须为 m 次多项式函数 Q m (x), 令 Q(x)= xq m (x)= x(b 0 +b 1 x+b 2 x 2 + +b m x m ), 用待定系数方法求, 得到方程 (4-3) 的特 y = xq m (x)e λx. (3) 若 λ 是特征方程 r 2 +pr+q = 0 的重根, 即 λ 2 +pλ+q = 0,2λ+p = 0, 那么要使 (4-3) 的两端恒等,Q (x) 必须为 m 次多项式函数 Q m (x), 令 Q(x)= x 2 Q m (x)= x 2 (b 0 +b 1 x+b 2 x 2 + +b m x m ), 用待定系数方法求, 得到方程 (4-2) 的特 y = x 2 Q m (x)e λx. 综上所述, 可将方程 (4-2) 的特设为 y = x k Q m (x)e λx = x k (b 0 +b 1 x+b 2 x 2 + +b m x m )e λx, 其中 m 是 P m (x) 的最高次幂,λ 不是特征方程的根, 是特征方程的单根, 是特征方程的重根时 k 依次取 0,1,2. 例 6 求方程 y +y +y = x 的特. 这里 f(x)= x 是 f(x)= e λx P n (x) 的特殊形式, 即 λ = 0,P n (x)= x. 由于 λ = 0 不是特征方程 r 2 +r+1 = 0 的根, 故设把 y 及其一二阶导数代入所给方程, 得比较等式两边同次项的系数, 得到 y = b 1 x+b 0 ( 其中 b 0,b 1 为待定系数 ), b 1 x+b 1 +b 0 = x, b 1 = 1, { b1 +b 0 = 0,

17 4 3 二阶常系数线性微分方程 137 即 b 1 = 1,b 0 = -1. 故方程的特为 y = x-1. 注意, 尽管 f(x)= x 的常数项为零, 但特不能设为 y = b 1 x, 而应设为 y = b 1 x+b 0. 练习 4 求方程 y +2y = x 的特. 这里 λ = 0,P n (x)= x. 由于 λ = 0 是特征方程 r 2 +2r = 0 的单根, 故设把 y 及其导数代入所给方程, 得比较等式两边同次项的系数, 得到即 b 0 = ( ),b 1 = ( ). 故方程的特为例 7 求方程 y -6y +9y = e 3x 的通. y = x(b 1 x+b 0 ), 4b 1 x+2b 1 +2b 0 = x, 4b 1 = 1, { 2b1 +2b 0 = 0, y = ( ). 对应的齐次方程的特征方程为 r 2-6r+9 = 0, 特征根为 r 1 = r 2 = 3, 故齐次方程的通为 Y = (C 1 +C 2 x)e 3x. 由于 λ = 3 是特征方程的重根,P n (x)= 1, 因此设 y = bx 2 e 3x, 于是 y = (3bx 2 +2bx)e 3x, 将其代入原方程, 得得 b = 1 2. 故方程的特为 y = 1 2 x2 e 3x. y = (9bx 2 +12bx+2b)e 3x, be 3x [(9x 2 +12x+2) -6(3x 2 +2x) +9x 2 ] = e 3x, æ 于是原方程的通为 y = C 1 +C 2 x+ 1 ö ç è 2 x2 e 3x. ø 练习 5 求方程 y -5y +6y = xe 2x 的通. 对应的齐次方程的特征方程为 r 2-5r + 6 = 0, 特征根为 r 1 = ( ), r 2 = ( ), 故齐次方程的通为 Y = C 1 e 2x +C 2 e 3x. 由于 λ = ( ) 是特征方程的单根,P n (x)= x, 设 y = x(b 1 x+b 0 )e 3x, 求导并代入方程, 得比较两边同次项系数, 有 -2b 1 x+2b 1 -b 0 = x, -2b 1 = 1, { 2b1 -b 0 = 0, 得 b 1 = - 1 2,b = 因此方程的特为 y æ = x - x ç è 2-1 ö e 2x. ø 于是原方程的通为 y = C 1 e 2x +C 2 e 3x - x 2 (x+2)e2x.

18 138 单元 4 微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程 ( 二 ) 连云港师范高等专科学校赵建清 2. f(x)= Acos ωx+bsin ωx 型的法 f(x)= Acos ωx+bsin ωx, 对其求导或求积分仍为同一类型函数, 因此方程 (4-2) 的特为 y = x k (acos ωx+bsin ωx), 其中 a,b 为待定系数,k 为 0 或 1: (1) 当 ±ωi 不是对应齐次方程的特征根时,k = 0; (2) 当 ±ωi 是对应齐次方程的特征根时,k = 1. 例 8 求方程 y +2y -3y = 4sin x 的通. 由题知 f(x) 是 f(x)= Acos ωx+bsin ωx 型, 且 A = 0,B = 4,ω = 1 特征方程为 r 2 +2r-3 = 0, 得特征根为 r 1 = -3,r 2 = 1, 从而对应齐次方程的通为 Y = C 1 e -3x +C 2 e x. 又 ±ωi = ±i 不是特征根, 故 k = 0, 令特为 y = acos x+bsin x, 对其求导有 y = -asin x+bcos x, y = -acos x-bsin x, 代入原方程得 ( -4a+2b)cos x-(2a+4b)sin x = 4sin x, 比较系数有 a = - 2 5, b = - 4 5, 从而特为 y = cos x- 4 sin x, 5 综上所述, 原方程的通为 y = C 1 e -3x +C 2 e x cos x- 4 sin x. 5 现将二阶常数系非齐次线性方程 y +py +qy = f(x) 的特形式总结如下表所示 : f(x) 的形式与特征方程的根的关系特 y 的形式 f(x)= e λx P n (x) f(x)= acos ωx+bsin ωx λ 不是特征方程的根 λ 是特征方程的单根 λ 是特征方程的重根 ωi 不是特征方程的根 ωi 是特征方程的根 y = Q n (x)e λx y = xq n (x)e λx y = x 2 Q n (x)e λx y = Acos ωx+bsin ωx y = x(acos ωx+bsin ωx) 同步训练 4.3 扫一扫, 看答案 1. 求微分方程 y -y = x 2 e x 的通. 2. 求满足方程 y +4y +4y = 0 的曲线 y = f(x), 使它在 P(2,4) 处与直线 y-x = 2 相切. 3. 求微分方程 2y +5y +3y = 0 满足初始条件 y(0)= 1,y (0)= 2 的特. 4. 求微分方程 y -3y +2y = 0 的通.

单元训练 4 139 5. 求方程 y -4y +4y = 0 满足初始条件 y(0)= 1,y (0)= 1 的一个特. 6. 求微分方程 y +4y +3y = x-2 的一个特. 7. 求微分方程 y -2y +2y = sin x 的一个特. 单元训练 4 1. 选择题. (1) 微分方程 dx = 2x2 +3 的阶数为 ( ). A. 1 B. 2 C. 3 D.

19 单元训练求方程 y -4y +4y = 0 满足初始条件 y(0)= 1,y (0)= 1 的一个特. 6. 求微分方程 y +4y +3y = x-2 的一个特. 7. 求微分方程 y -2y +2y = sin x 的一个特. 单元训练 4 1. 选择题. (1) 微分方程 dx = 2x2 +3 的阶数为 ( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (2) 微分方程 (x-2) dx = y 是 ( ) 微分方程. A. 一阶线性齐次 B. 一阶线性非齐次 C. 二阶线性齐次 D. 变量可分离 (3) 下列方程中为常微分方程的是 ( ). A. x 2-2x+1 B. y = xy 2 C. u t = 2 u x u y 2 D. y = x 2 +C(C 为常数 ) (4) 微分方程 y +y = 0 的通是 ( ). A. y = asin x B. y = bcos x C. y = sin x+bcos x D. y = asin x+bcos x (5) 微分方程 y -4y +5y = 0 的通是 ( ) A. y = e x (C 1 cos 2x+C 2 sin 2x) B. y = e 2x (C 1 cos x+c 2 sin x) C. y = e -x (C 1 cos 2x+C 2 sin 2x) D. y = e -2x (C 1 cos x+c 2 sin x) (6) 微分方程 y -2y +y = x 2 e 3x 的特的形式为 y = ( ) A. x(ax+b)e 3x B. (ax 2 +bx+c)e 3x C. x(ax 2 +bx+c)e 3x D. ax 2 +bx+c 2. 填空题. (1) 微分方程 dx = xy 的通是. (2) 微分方程 (1+e x )y 2 dx = e x 的通是. (3) 微分方程 y = e x 的通是. (4) 微分方程 y +y -2y = 0 的通是. (5) 求二阶常系数齐次线性微分方程 y +py +qy = 0 的通的步骤为 : 第一步 : 写出微分方程的特征方程. 第二步 : 求出特征方程的两个根 r 1,r 2. 第三步 : 根据特征方程的两根的不同情况, 写出微分方程的通. 扫一扫, 看答案

20 140 单元 4 微分方程 3. 求下列微分方程的通. (1) (1+x 2 )y -2xy = (1+x 2 ) 2 ; (2) y +2y = 0; (3) y -2y -3y = 0; (4) y +y -2y = 求下列初值问题. (1) ì xydx-(1+y 2 ) 1+x 2 = 0, ï í y x = 0 = 1 ï î e. (3) ì (1+x 2 )y = 2xy, ï íy x = 0 = 1, ï îy x = 0 = 3. (5) ìy -4y +3y = 0, ï íy x = 0 = 6, ï îy x = 0 = 10. (2) y -y = ex, { y x = 0 = 1. (4) ì y 3 y +1 = 0, ï íy x = 1 = 1, ï îy x = 1 = 列车在平直道路上以 20 m / s 的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 -4 m / s 2. 问开始制动后需要多久时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 6. 有旋转曲面形状的凹镜, 假设由旋转轴上一点 O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行. 求此旋转曲面的方程. 7. 质量为 m 的质点受力 F 的作用沿 Ox 轴作直线运动. 设力 F 仅是时间 t 的函数 F = F(t). 在开始时刻 t = 0 时 F(0)= F 0, 随着时间 t 的增大, 此力 F 均匀地减小, 直到 t = T 时,F(T)= 0. 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求该质点的运动规律. 8. 方程 y +9y = 0 的一条积分曲线通过点 (π,-1), 且在该点和直线 y+1 = x-π 相切, 求这条曲线方程.

21 单元任务评价表组别模型名称 : 成员姓名及个人评价项目 A 级 B 级 C 级课堂表现情况 20 分上课认真听讲, 积极举手发言, 积极参与讨论与交流偶尔举手发言, 有参与讨论与交流很少举手, 极少参与讨论与交流模型完成情况 20 分观点明确, 模型结构完整, 内容无理论性错误, 条理清晰, 大胆尝试并表达自己的想法模型结构基本完整, 内容无理论性错误, 有提出自己的不同看法, 并作出尝试观点不明确, 模型无法完成, 不敢尝试和表达自己的想法合作学习情况 20 分善于与人合作, 虚心听取别人的意见能与人合作, 能接受别人的意见缺乏与人合作的精神, 难以听取别人的意见个人贡献情况 20 分能鼓励其他成员参与协作, 能有条理地表达自己的意见, 意见对任务完成有重要帮助能主动参与协作, 能表达自己的意见, 意见对任务完成有帮助需要他人督促参与协作, 基本不能准确表达自己的意见, 意见对任务基本没有帮助模型创新情况 20 分具有创造性思维, 能用不同的方法决问题, 独立思考能用老师提供的方法决问题, 有一定的思考能力和创造性思考能力差, 缺乏创造性, 不能独立决问题教师评价小组自评评语 :

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PowerPoint Presentation 西华大学应用数学系朱雯微分方程习题课解题方法流程图求 Pd Qdy 通解 0 Yes 可分离变量解出 No dy = f (, y ) d 可分离变量方程齐次方程 dy y ( ) d 令 y u 一阶线性方程 dy P( ) y Q( ) d 其它一般方程 g ( y) dy f ( ) d g ( y) dy f ( ) d du ( u) u d 可分离变量通解为 Pd Pd y