5 () 由 () 得 b =, b4 = a5 = 8 设 b 的公比为 q, 则 q b b 4 8, 从而 q 故 b 的前项和 ( ) ( b q ) T q 典例已知等比数列 a () 若 4 a, 求数列的公比为 q a 的前项和 ; () 证明 : 对任意 k N, ak, a

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委卞
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能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系, 并能用有关知识解决相应的问题对等差等比数列的综合问题的分析, 应重点分析等差等比数列的通项及前项和 ; 分析等差等比数列项之间的关系, 往往用到转化与化归的思想方法考向一等差等比数列的综合应用解决等差数列与等比数列的综合问题, 关键是理清两个数列的关系, () 如果同一数列中部分项成等差数列, 部分项成等比数列,

1 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系, 并能用有关知识解决相应的问题对等差等比数列的综合问题的分析, 应重点分析等差等比数列的通项及前项和 ; 分析等差等比数列项之间的关系, 往往用到转化与化归的思想方法考向一等差等比数列的综合应用解决等差数列与等比数列的综合问题, 关键是理清两个数列的关系, () 如果同一数列中部分项成等差数列, 部分项成等比数列, 则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来, 研究这些项与序号之间的关系 ; () 如果两个数列是通过运算综合在一起的, 就要从分析运算入手, 把两个数列分割开, 再根据两个数列各自的特征进行求解典例已知等差数列 a 满足 a =, 前项和 S = 9 () 求 a 的通项公式 ; () 设等比数列 b 满足 b = a, b 4 = 5 a, 求 b 的前项和 T 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666

2 5 () 由 () 得 b =, b4 = a5 = 8 设 b 的公比为 q, 则 q b b 4 8, 从而 q 故 b 的前项和 ( ) ( b q ) T q 典例已知等比数列 a () 若 4 a, 求数列的公比为 q a 的前项和 ; () 证明 : 对任意 k N, ak, ak, a k 成等差数列已知等差数列 a 的前项和为 () 求 a 及 b ; () 设数列 ab 的前项和为 T, 求 T S, 且 a, S7 8, 在等比数列 b 中, b b 4 考向二数列与函数不等式等的综合应用 4, 8 数列可看做是自变量为正整数的一类函数, 数列的通项公式相当于函数的解析式, 所以我们可以用函数的观点来研究数列解决数列与函数综合问题的注意点 : () 数列是一类特殊的函数, 其定义域是正整数集, 而不是某个区间上的连续实数, 所以它的图象是一群凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666

3 孤立的点 () 转化为以函数为背景的条件时, 应注意题中的限制条件, 如函数的定义域, 这往往是非常容易忽视的问题 () 利用函数的方法研究数列中相关问题时, 应准确构造函数, 注意数列中相关限制条件的转化数列与不等式的综合问题是高考考查的热点考查方式主要有三种 : () 判断数列问题中的一些不等关系 ; () 以数列为载体, 考查不等式的恒成立问题 ; () 考查与数列问题有关的不等式的证明问题在解决这些问题时, 要充分利用数列自身的特点, 例如在需要用到数列的单调性的时候, 可以通过比较相邻两项的大小进行判断在与不等式的证明相结合时, 注意构造函数, 结合函数的单调性来证明不等式典例已知数列满足 = () 求证 : 数列是等比数列 ; () 若恒成立, 求实数的取值范围又因为, 所以, 故数列是以为首项, 为公比的等比数列 () 由 () 知, 所以, 令, 则 =, 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666

4 所以当时,, 故为减函数而, 因为恒成立, 所以所以实数的取值范围为典例 4 已知函数满足且 * () 当 N 时, 求的表达式 ; () 设,, 求证 : ; 学 & 科网 () 设 b 9 f f,, 为的前项和, 当最大时, 求的值得 T ( ), T ( ), 即 () 由 () 可得, 数列是一个首项是 4, 公差为的等差数列, 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666 4

5 当时, ; 当时, ; 当时, 87 故当或时, 取得最大值, 为 48 ( ) 8 设公差不为零的等差数列 () 求数列 a 的通项公式 a 的前 5 项的和为 55, 且 a, a6 a7, a4 9 成等比数列 () 设数列 b ( a 6)( a 4), 求证 : 数列 b 的前项和 S 考向三等差等比数列的实际应用数列实际应用中的常见模型等差模型 : 增加或减少的量是一个固定的常数 c, c 是公差 ; 等比模型 : 后一个量与前一个量的比是一个固定的常数 q, q 是公比 ; 递推数列模型 : 题目中给出的前后两项之间的关系不固定, 随项的变化而变化, 由此列递推关系式解答数列实际应用题的步骤审题 : 仔细阅读题干, 认真理解题意 ; 建模 : 将已知条件翻译成数学语言, 将实际问题转化为数学问题 ; 求解 : 求出该问题的数学解 ; 4 还原 : 将所求结果还原到实际问题中在实际问题中建立数学模型时, 一般有两种途径 : 从特例入手, 归纳猜想, 再推广到一般结论 ; 从一般入手, 找到递推关系, 再进行求解典例 5 某台商到大陆一创业园投资 7 万美元建起一座蔬菜加工厂, 第一年各种经费万美元, 以后每年比上一年增加 4 万美元, 每年销售蔬菜收入 50 万美元, 设 f() 表示前年的纯利润 (f()= 前年的总收入 - 前年的总支出 - 投资额 ) () 从第几年开始获得纯利润? () 若五年后, 该台商为开发新项目, 决定出售该厂, 现有两种方案 : 年平均利润最大时, 以 48 万美元出售该厂 ; 纯利润总和最大时, 以 6 万美元出售该厂问哪种方案较合算? 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666 5

6 故此方案获利 =44 万美元, 此时 =6 f()= =-(-0) +8, 当 =0 时,f() max =8 故此方案共获利 8+6=44 万美元比较两种方案, 在获利相同的前提下, 第种方案只需六年, 第种方案需要十年, 故选择第种方案某学校餐厅每天供应 500 名学生用餐, 每星期一有 A,B 两种菜可供选择调查表明, 凡是在这星期一选 A 菜的, 下星期一会有 0% 改选 B 菜 ; 而这星期一选 B 菜的, 下星期一会有 0% 改选 A 菜用 a,b 分别表示第个星期一选 A 菜的人数和选 B 菜的人数 () 试用 a-( N * 且 ) 表示 a, 判断数列 {a-00} 是否为等比数列, 并说明理由 ; () 若第个星期一选 A 菜的有 00 名学生, 那么第 0 个星期一选 A 菜的大约有多少名学生? 考向四数列中的探索性问题对于数列中的探索性问题主要表现为存在型, 解答此类问题的一般策略是 : () 先假设所探求对象存在或结论成立, 以此假设为前提进行运算或逻辑推理, 若由此推出矛盾, 则假设不成立, 从而得到否定的结论, 即不存在 ; () 若推不出矛盾, 能求得符合题意的数值或取值范围, 则能得到肯定的结论, 即得到存在的结果凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666 6

7 a 典例 6 已知数列满足, 8, 且对任意, 都有 am a am m 4 () 求, ; () 设 ) 求数列的通项公式 ; bb 设数列的前项和为, 是否存在正整数,, 且, 使得,, 成等比数列? 若存在, 求出, 的值, 若不存在, 请说明理由所以数列是以为公差的等差数列, bb 因为, S 所以 4 4 7, 则,, 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666 7

8 4 已知等比数列 {a} 的前项和 S 满足 :S 4 -S =8, 且 a + 是 a,a 4 的等差中项 () 求数列 {a} 的通项公式 ; 学 & 科 * 网 log () 若数列 {a } 为递增数列,b = a og l a,t =b +b + +b, 是否存在最小正整数使得 T > 成立? 若存在, 试确定的值, 若不存在, 请说明理由考向五数列的求和求数列的前项和, 根据数列的不同特点, 通常有以下几种方法 : () 公式法, 即直接利用等差数列等比数列的求和公式求解 ; () 倒序相加法, 即如果一个数列的前项中, 距首末两项等距离的两项之和都相等, 则可使用倒序相加法求数列的前项和 () 裂项相消法, 即将数列的通项拆成结构相同的两式之差, 然后消去相同的项求和使用此方法时必须注意消去了哪些项, 保留了哪些项, 一般未被消去的项有前后对称的特点常见的裂项方法有 : 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666 8

9 (4) 错位相减法, 若数列 { a } 是等差数列,{ b } 是等比数列, 且公比为 qq ( ), 求 { a b} 的前项和时, 常用错位相减法求和基本步骤是 : 列出和式, 两边同乘以公比, 两式相减并求和在写出 S 与 qs 的表达式时, 要将两式错项对齐, 便于准确写出 S qs 的表达式在运用错位相减法求和时需注意 : 合理选取乘数 ( 或乘式 ); 对公比 q 的讨论 ; 两式相减后的未消项及相消项呈现的规律 ; 4 相消项中构成数列的项数 (5) 分组求和法, 如果一个数列可写成可转化为能够求和的数列, 那么可用分组求和法 c a b 的形式, 而数列 a,b 是等差数列或等比数列或典例 7 已知等比数列 a 的前项和为 () 求 p 的值及数列 a 的通项公式 ; () 若数列 b 满足 p a ab, 求数列 b S, 且满足 S p N 的前项和 T 解析 () 由题意知 a S S p p,, 则 a 4, a 8, 又 a S 4 p, 且 a 成等比数列, 则 4 8, 解得 p 4 p 4 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666 9

10 则 a, a a () 由 ( p ) ab, 可得 b, 则 T, T, ( ) 两式相减得 T, 则 T 典例 8 已知数列 a 是公差不为 0 的等差数列, a, 且 a, a, a 4 成等比数列 () 求数列 a 的通项公式 ; () 设 b a, 求数列 b 的前项和 S 5 已知等差数列 () 求数列 a 和 a 满足 a, a4 7 ; 数列 b 的通项公式 ; () 求数列 b 的前项和 S b 满足 b a, b a 5, 数列 b a 为等比数列凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666 0

11 已知,5, 组成公差为的等差数列, 又,4, 组成等比数列, 则公差 A B C 或 D 或等差数列 { a } 的公差是, 若 a, a4, a 8 成等比数列, 则 { a } 的前项和 S A ( ) B ( ) C ( ) D ( ) 已知是等差数列, 公差不为零, 前项和是, 若成等比数列, 则 A B C D a a 4 已知数列, a, a,4 成等差数列,, b, b, b,4 成等比数列, 则 b 的值是 A B C 或 D 4 S 5 已知公差不为 0 的等差数列 { a } 满足 a, a, a 4 成等比数列, S 为数列 { a } 的前项和, 则 S 5 S S 的值为 A B- C D- 6 在数列 a 中, a, 当时, 其前项和 S 满足 S a S 的前项和为 T, 则满足 T 6 的最小正整数是 A B C0 D9, 设 b log, 数列 b S 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666 S

12 7 数列 { } a 是等差数列, 若 5 a, a, a 5 构成公比为 q 的等比数列, 则 q 8 用分期付款的方式购买一件电器, 价格为 50 元, 购买当天先付 50 元, 以后每月这一天都交付 50 元及欠款的利息, 月利率为 %, 则买这件电器实际花费元 9 已知正项等比数列 a 满足 a, () 求数列 a 的通项公式 ;, 求数列 b () 设 log b a a a, a 6 成等差数列, 且 a 的前项和 T 9a a 设等比数列 { a } 的前项和为 S, 已知 a, S () 求数列 { a } 的通项公式 ; () 设 b log 6 a T 为数列 { b } 的前项和, 求使 T 05 成立的的值, 已知各项均不为零的数列的前项和满足 : ( 为常数, 且, ) () 设, 若数列为等比数列, 求的值 ; 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666

13 () 在满足 () 的情形下, 设, 数列的前项和为, 若不等式对任意的恒成立, 求实数的取值范围 k 7 T 4 已知数列 {a} 是公差为正数的等差数列, 其前项和为 S, 且 a a =5,S 4 =6 () 求数列 {a} 的通项公式 ; 学 & 科网 () 数列 {b } 满足 b =a,b + -b = 求数列 { b} 的通项公式 ; 是否存在正整数 m,(m ), 使得 b,bm,b 成等差数列? 若存在, 求出 m, 的值 ; 若不存在, 请说明理由 (07 新课标全国 Ⅲ 理科 ) 等差数列 a 的首项为, 公差不为 0 若 a,a,a 6 成等比数列, 则 a 前 6 项的和为 A 4 B 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666

14 C D8 (07 北京理科 ) 若等差数列 a 和等比数列 a b 满足 a b, a 4 b 4 8, 则 b = (07 天津理科 ) 已知 { a } 为等差数列, 前项和为 S( N ),{ b } 是首项为的等比数列, 且公比大于 0, b b, b a 4 a, S b 4 () 求 { a } 和 { b } 的通项公式 ; () 求数列 { ab } 的前项和 ( N ) 4(07 山东理科 ) 已知 {x } 是各项均为正数的等比数列, 且 x +x =,x -x = (Ⅰ) 求数列 {x } 的通项公式 ; (Ⅱ) 如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 依次连接点 P (x, ),P (x, ),,P + (x +, +) 得到折线 P P P +, 求由该折线与直线 y=0, x x, x x 所围成的区域的面积 T 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666 4

15 解析 () 设 a 变式拓展 a d 的公差为 d, 由题意知 a d 7a d 8 b4 在等比数列 b 中, b 4, b 4 8, b 的公比为 q, b, a b b q, 即 () 由 () 知 a, b b, a b T 4, T, - 得 T 故 T, 得 b ( ), ( a 6)( a 4) ( )( ) 则 S b b b [( ) ( ) ( )] ( ) 5 解析 () 由题意, 知对 N * 有 b=500-a, 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666 5

16 所以当 N * 且时,a = a - + (500-a - ), 所以 a = a - +50, 所以 a -00= (a - -00), 所以当 a =00 时, 数列 {a-00} 不是等比数列当 a 00 时, 数列 {a-00} 是以 a -00 为首项, 为公比的等比数列 () 由 (), 知当 a =00 时,a-00=( )- (a -00), 00 所以 a=00-, 00 所以 a 0 = , 所以第 0 个星期一选 A 菜的大约有 00 名学生 () 数列 {a } 为递增数列, a =, 学 & 科网 log b = log = = ( - ), T = ( )= (+ - - )= - 令 T >, 则 -, 整理得 --4>0, 解得 > 或 < ( 舍去 ), 又 < <, 存在最小正整数使得 T > 成立, 此时 = 5 解析 () 由数列 a4 a a 是等差数列且 a, a4 7, 得公差 d, 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666 6

17 a a d b a =, b a 5 =9, b a, b a 6, 数列 b a b 的公比 q b a a, b a b a q, b () 由 b 得 S - 考点冲关答案 C 解析由题意可得, a a 8, 联立解得, 或, b 8 b, 或, 故选 C 答案 A 解析由已知得, a a a, 又 { a } 是公差为的等差数列, 故 ( a d) a ( a 6 d), ( 4) a 答案 B 4 8 a ( a ), 解得 a 4, 所以 a a ( ) d, 故 S ( a a ) ( ) 4 答案 A 解析由题意可知, 数列,a,a,4 成等差数列, 设公差为 d, 则 4=+d, 解得 d=, a =+=,a =+d= 数列,b,b,b,4 成等比数列, 设公比为 q, 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666 7

18 则 4=q 4, 解得 q =, b =q = a a 则 b 故选 A 5 答案 A 解析设等差数列{ a } 的公差为 d, 首项为 a, 所以 a =a +d,a 4 =a +d S 因为 a a a 4 成等比数列, 所以 (a +d) S a d =a (a +d), 解得 a = 4d 所以 S S a 7d 5, 故选 A 6 答案 C S b log log, S 4 5 数列 {b } 的前项和为 T log log log log log log 4 5 log 由 T 6, 得 log 6, 即 (+)(+) 7, 令 f x x x 6 x 8, 可得 f(x) 在 [,+ ) 上单调递增, 4 而 f(9)= 8<0,f(0)=4>0, 若 xn, 则 0 则满足 T 6 的最小正整数是 0 7 答案 a, a, a 5 成等比数列, ( a )[ a 4( d )] [ a ( d )], 令解析 5 a x, d y, 则 x( x 4 y) ( x y), 即 x 4xy x 4 xy 4 y, y 0, 即凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666 8

19 d 0, q 8 答案 55 买这件电器实际花 55 元 9 解析 () 设正项等比数列 a 的公比为 q ( q 0 ), 由 a 9a a 4 5 9a, 得 q 因为 q 0, 所以 q 又因为 a, a, 6 a 9, 则 q, 4 a a 成等差数列, 所以所以数列 a 的通项公式为 a () 依题意得 b T, 则 5 7, a a 6 4a 0, 解得 a, T 5 7 4, 由得 T, 所以数列 b 的前项和为 T 9 0 解析 () 因为 a, S, 9 所以当 q 时, S a a, 则 a ; 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666 9

} 为等差数列, 所以 T ( ), 由 T 05, 得 ( ) 05, 所以 0 学 * 科网综上知, 70 或 0, t t b t t t, 即 b t t t t

20 a 当 q 时, aq, ( q ) 9, 所以 a 6, q q, 则 a 6 ( ) 综上可得, 数列 a 的通项公式为 a 或 a 6 ( ) 6 () 当 a 时, b log log (6 ), 所以 T, a 由 T 05, 得 05, 所以 70 ; 6 6 当 a 6 ( ) 时, b log log, a 6 ( ) 故数列 { b } 为等差数列, 所以 T ( ), 由 T 05, 得 ( ) 05, 所以 0 学 * 科网综上知, 70 或 0, t t b t t t, 即 b t t t t 若数列为等比数列, 则有, 又,,, 故, 解得, 再将代入, 得, 由, 知为等比数列, () 由, 知,, 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666 0

4 T 4 4, 由不等式 k 7 T 7 恒成立, 得 k 恒成立, 4 设 d 7 5 7 9, 则 d d, 当时, ; 当时,, 而,,,, 解析 () 设数列 {a} 的公差为 d, 则 d>0 由 a a

21 4 T 4 4, 由不等式 k 7 T 7 恒成立, 得 k 恒成立, 4 设 d , 则 d d, 当时, ; 当时,, 而,,,, 解析 () 设数列 {a} 的公差为 d, 则 d>0 由 a a =5,S 4 =6, 得, 即 b -b = (- ), b -b = ( - ), b -b - = ( - )( ), 累加得 :b -b = (- )=, 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666

22 所以 b =b + =+ = b = 也符合上式故 b =, N * 当 +=9, 即 =8 时,m=, 符合题意所以存在正整数 m=,=8, 使得 b,bm,b 成等差数列直通高考答案 A 解析设等差数列 a 的公差为 d, 由 a, a, a 6 成等比数列可得 a a a 6, 即 d d 5d, 整理可得 d d 0, 又公差不为 0, 则 d, 故 a 为 S6 6a d 6 4 故选 A 前 6 项的和名师点睛 () 等差数列的通项公式及前项和公式共涉及五个量 a,a,d,,s, 知其中三个就能求另外两个, 体现了用方程的思想解决问题 () 数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用, 而 a 和 d 是等差数列的两个基本量, 用它们表示已知和未知是常用方法答案解析设等差数列的公差和等比数列的公比分别为 d 和 q, 则 d q 8, 求得 q, d, a 那么 b 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666

23 名师点睛等差等比数列各有五个基本量, 两组基本公式, 而这两组公式可看作多元方程, 利用这些方程可将等差等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程 ( 组 ) 问题, 因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题, 所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法思路分析 () 根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列的首项 a 和公差 d 及等比数列的公比 q, 即可写出等差数列和等比数列的通项公式 ;() 利用错位相减法即可求出 { a b } 的前项和数列联立, 解得 a, d, 由此可得 a 所以数列 { a } 的通项公式为 a, 数列 { b } 的通项公式为 b () 设数列 { ab } 的前项和为 T, 由 a 6, b 4, 有 a ( ) 4 b, 故 T () 4, 4T ( 4) 4 ( ) 4 4, 上述两式相减, 得 T () 4 即 T 8 4, ( 4 ) 4 ( ) 4 4 ( ) 4 8, 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666

24 8 所以数列 { ab } 的前项和为 4 名师点睛利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比, 进而写出通项公式及前项和公式, 这是等差数列等比数列的基本要求, 数列求和的方法有倒序相加法错位相减法裂项相消法和分组求和法等, 本题考查的是错位相减法求和 4 解析 (Ⅰ) 设数列 { x } 的公比为 q, 由已知 q 0 学 * 科 & 网记梯形 P P Q Q 的面积为 b 由题意 b 所以 ( ) (), T b b b b + 0 = () (), 0 又 T () (), - 得 T ( ) () ( ) = ( ) 所以 T ( ) 凤中数学静雅斋 :wwwcblogscom/waghai0666 4

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图客巴巴第二节等差 1. 等差的相关概念 (1) 定义 : 如果一个从第 2 项起, 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数, 那么这个就叫做等差. 符号表示为 (n 2,n N a * n -a n -1=d, d 为常数 ). (2) 等差中项 : 若 a,a,b, 成等差, 则 A 叫做 a 与 b 的等差中项, 且 A= a+b 2. 2. 等差的通项公式 (1) 若等差 {a n } 的首项是

5 () 由 () 得 b =, b4 = a5 = 8 设 b 的公比为 q, 则 q b b 4 8, 从而 q 故 b 的前 项和 ( ) ( b q ) T q 典例 已知等比数列 a () 若 4 a, 求数列 的公比为 q a 的前 项和 ; () 证明 : 对任意 k N, ak, a

5 () 由 () 得 b =, b4 = a5 = 8 设 b 的公比为 q, 则 q b b 4 8, 从而 q 故 b 的前项和 ( ) ( b q ) T q 典例已知等比数列 a () 若 4 a, 求数列的公比为 q a 的前项和 ; () 证明 : 对任意 k N, ak, a