第 章电路基本分析方法 1. 节点若以电路中的每个分支作为支路, 则三条或三条以上支路的连接点称为节点 3. 路径两节点间的一条通路为一条路径, 路径是由支路构成的 4. 回路回路是由支路所组成的闭合路径 5. 网孔将电路画在平面上, 内部不含支路的回路称为网孔 网孔一定是回路, 但回路不一定是网孔

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1 0 电工技术 第 章电路基本分析方法 学习目标 理解电路的两个基本定律 理解电压源和电流源的串并联, 掌握电源模型的等效变换 理解电路的支路分析法, 掌握节点分析法和网孔分析法 掌握叠加定理和戴维南定理 电路分析是在已知电路结构及参数的条件下, 求解电路中待求的电量的过程, 其主要任务在于解得电路物理量, 其中最基本的电路物理量就是电流 电压和功率 直流电路的分析方法有多种, 如应用基尔霍夫定律求解 电源等效变换法 ( 电流源之间的合并 (KC) 电压源之间的合并 (KV) 和电压源 电流源的串 并联及分压 分流公式 ) 节点电压法 网孔分析法 应用戴维南定理和叠加定理等 有些问题可采用任意一种方法求解, 但有些问题必须采用合适的方法求解.1 基尔霍夫定律 将元件的伏安关系用于电路分析, 是电路分析方法的一个着重点 电路元件只有通过某种连接方式相互连接时, 才能组成一个完整的电路, 基尔霍夫定律仅与电路结构 ( 即组成电路的节点数 支路数及电路各支路的连接关系 ) 有关, 而与电路元件本身具有何种伏安关系无关 电路分析方法的依据在于将元件的伏安关系与基尔霍夫定律结合起来, 形成对各种复杂电路的一般分析方法 基尔霍夫定律包括基尔霍夫电流定律 (KC) 和基尔霍夫电压定律 (KV), 它反映了电路中所有支路电压和电流的约束关系, 是任何集总参数电路都适用的基本定律 基尔霍夫定律表示若干电路元件按各种方式连接后, 由连接关系支配的各支路电压之间和各支路电流之间应遵循的规律 基尔霍夫电流定律描述电路中各电流之间的关系, 基尔霍夫电压定律描述电路中各电压之间的关系 基尔霍夫定律与元件特性构成了电路分析的基础.1.1 电路分析常用的几个专用名词 1. 支路电路中流过同一电流的几个元件相互连接起来的分支称为一条支路

2 第 章电路基本分析方法 1. 节点若以电路中的每个分支作为支路, 则三条或三条以上支路的连接点称为节点 3. 路径两节点间的一条通路为一条路径, 路径是由支路构成的 4. 回路回路是由支路所组成的闭合路径 5. 网孔将电路画在平面上, 内部不含支路的回路称为网孔 网孔一定是回路, 但回路不一定是网孔 如图 1 所示, 该电路中有 ad ab bc bd ac cd 共 6 条支路, 有 a b c d 共 4 个节点, 有元件 13 元件 345 元件 46 元件 156 元件 1 45 元件 356 元件 组成的 7 个回路, 有元件 13 元件 345 元件 46 组成的 3 个网孔.1. 基尔霍夫电流定律 (KC) 基尔霍夫电流定律 (KC) 指出 : 在集总参数电路中, 任何时刻对任一节点, 所有流出节点的支路电流图 1 的代数和恒等于零 基尔霍夫电流定律, 简写为 KC, 对任一节点用数学表达式表示为 : i = 0 ( 1) 上式电流的 代数和 是对连接于该节点的所有支路电流进行的求和, 是根据电流是流出节点还是流入接点经判断得出的 若流出节点的电流前面取 + 号, 则流入节点的电流前面取 号 ; 电流是流出节点还是流入节点, 均根据电流的参考方向判断 对任一节点, 基尔霍夫电流定律 (KC) 也可表示为 : I入 = I出 ( ) 即任何时刻, 流出任一节点的支路电流等于流入该节点的支路电流 KC 通常用于节点, 但对于包围几个节点的闭合面也是适用的 即通过一个闭合面的支路电流的代数和总等于零, 对流入闭合面的电流为正, 则流出闭合面的电流为负, 这体现了电荷守恒 对图 所示的封闭面, 应用 KC 有 : 图 KC 运用于电路中的封闭面图示 i 1 +i + i 3 i 4 =0 在利用 KC 列式时, 实际应用了两套正负符号, 即在 KC 方程中有各电流的参考方向及电流本身实际

3 电工技术 的正负值, 这就是 KC 定义式中电流代数和的真正含义.1.3 基尔霍夫电压定律 (KV) 基尔霍夫电压定律 (KV) 指出 : 在集总参数电路中, 任何时刻沿任一回路绕行一周, 所有支路电压的代数和恒等于零 基尔霍夫电压定律, 简写为 KV, 用数学表达式表示为 : u = 0 ( 3) 上式取和时, 需要先任意指定一个回路的绕行方向, 凡支路电压的参考方向与回路的绕行方向一致者, 该电压前面取 + 号, 支路电压参考方向与回路绕行方向相反者, 该电压前面取 号 电路中任意两点间的电压是与计算路径无关的, 是单值的 所以, 基尔霍夫电压定律实质是两点间电压与计算路径无关这一性质的具体表现 基尔霍夫定律是关于电路中各个电流 电压间由电路的结构所决定的约束关系的定律, 适用于任何集总电路 各种分析电路的方法, 都依据它去建立所需的方程式, 所以它们是电路的基本定律 KC 在支路电流之间施加线性约束关系 ;KV 则对支路电压施加线性约束关系 这两个定律均只与电路结构 ( 元件的相互连接 ) 有关, 而与元件的伏安关系 ( 元件的性质 ) 无关 不论元件是线性的还是非线性的, 时变的还是时不变的,KC 和 KV 总是成立的 KC 和 KV 是集总参数电路的两个重要定律 对一个电路应用 KC 和 KV 时, 应对各节点和支路编号, 并指定有关回路的绕行方向, 同时指定各支路电流和支路电压的参考方向, 一般两者取关联参考方向 对于一个由 n 个节点组成的实际电路, 其中只有 n 1 个电流方程是独立的 对由 n 个节点,b 条支路组成的实际电路, 由 KV 对电路中的所有回路可以列出 b (N 1) 个独立的方程式 例 1 电路如图 3 所示, 有关数据已标出, 求 U S I 3 I R U R4 R 4 的值 解 : 设左边网孔绕行方向为顺时针方向图 3 依 KV 有 US + I1 + 10= 0 带入数据后有 U S = = 18( V) 6 I 3 = = ( A) 3 对于节点 a, 据 KC 有 I = I1 I3 = 4 = ( A)

4 第 章电路基本分析方法 3 则 R = I = = ( Ω ) 对右边网孔设定顺时针方向为绕行方向, 依 KV 有 R U = 0 U R R4 = 10 6 = 4( V) U 4 ( ) R4 4 = = = Ω I. 电源模型的等效变换..1 电压源 电流源的串联和并联在电路中经常会遇到电源的串联或并联 当 n 个电压源串联时, 可以用一个电压源来等效替代, 如图 4 所示, 其等效电压源的电压 U S 为 n 个电压源电压值的代数和 S S1 S Sn Sk k n U = U + U + + U = U ( 4) 当 n 个电流源并联时, 则可以用一个电流源来等效替代如图 5 所示, 这个等效的电流源的电流 I S 为 n 个电流源电流值的代数和 图 4 电压源的串联及等效电压源图 5 电流源的并联及等效电流源 S S1 S Sn Sk k n I = I + I + + I = I ( 5).. 电源模型的等效变换实际电源有的适合用理想电压源与内阻串联的模型表示 ( 如干电池 ); 有的适合用理想电流源与内阻并联的模型表示 ( 如光电池 ) 对于外电路 ( 负载 ) 而言, 没有必要先确定它是电压源还是电流源, 只要它们对外电路等效, 用哪种电源模型都可以 所以对外电路来说, 一个实际的电源, 既可以用电压源模型来表示, 又可以用电流源模型来表示

5 4 电工技术 电源之间对外电路的等效变换, 可以使我们在分析实际电路时更方便 所谓对外电路等效 ( 又叫外部等效 ), 就是要求当与外电路相连的端钮 a b 之间具有相同的电压时, 端钮上的电流必须大小相等, 参考方向相同 如图 6 所示 图 6 外电路等效图 6(a), 电压源的外特性为 U = US Ir US U I = r r 图 6(b), 电流源的外特性为 U I = IS r 根据等效的要求, 只要满足 US = ISr r = r 则图 6 所示两外电路的特性就完全相同, 即它们对外电路是等效的, 两者可以互相置换 实际电源模型中, 实际电压源模型可看作一理想电压源与一个电阻串联的模型 ; 实际电流源模型可看作一理想电流源与一个电阻并联的模型 电源模型的等效变换分析中应注意以下五个方面 : (1) 电压源和电流源的参考方向在变换前后保持对外电路等效, 即对外电路而言, 电压 U 和电流 I 方向在变换前后均保持一致 如图 7 所示 () 电源的等效变换仅对外电路而言, 对电源的内部是不等效的 如图 8 所示 图 7 图 8 (3) 理想电压源与理想电流源之间是不能相互等效的 如图 9 所示 (4) 在等效变换过程中, 与理想电压源并联的任何元件不影响它的输出电压, 可作开路处理 ; 与理想电流源串联的任何元件不影响它的输出电流, 可作短路处理 如图 10 所示

6 第 章电路基本分析方法 5 图 9 图 10 (5) 电压源与电流源等效变换时, 并不只限定 r 为电压源或电流源的内阻, 只要是电压源与电阻相串联的电路就可以变换成一个电流源与电阻并联的电路 例 作出下列图 11 所示各电路的等效电源图 图 11 解 : (1) 图 11(a) 中为一电压源与电阻的串联, 可等效变换为一电流源与该电阻的并联, 如图 1 所示 () 图 11(b) 中为一电流源与电阻的并联, 可等效变换为一电压源与该电阻的串联, 如图 13 所示 图 1 图 13 (3) 图 11(c) 中先将电压源与电阻的串联等效变换为一电流源与该电阻的并联, 再与 A 电流源合并成一个 3 A 电流源, 此时 3 A 电流源与电阻的并联又变换为 15 V 电压源与电阻的串联, 如图 14 所示 (4) 图 11(d) 中 5 V 电压源与理想电流源串联, 不影响这段电路的电流大小, 故 5 V 电压源用短路代替 10 V 电压源与 4 Ω 电阻串联可等效变换为一.5 A 电流源与该电阻的并联, 然后 4 A 电流源和.5 A 电流源合并为 6.5 A 电流源, 最后变换为一电压源与电阻的串联

7 6 电工技术 图 14 图 15.3 支路电流法 前面讲的等效变换法可用来分析简单电路, 使复杂电路的局部得到简化, 而对于复杂电路的一般分析, 就要采用系统化的普遍方法 对于一个 b 条支路 n 个节点构成的电路, 共有 b 个未知量 支路电流法是以支路电流为未知量, 列写出根据 KV KC 及 VCR 整理出的方程, 求解未知量的方法 以支路电流为变量列写方程求解电路参数为原则 支路电流法的解题步骤 : (1) 在图中标出支路电流的参考方向 ; () 列出 (n 1) 个独立节点的 KC 方程 ; (3) 列出 (b n 1) 个独立回路的 KV 方程 ( 每选一回路均有新支路通常可选网孔 ); (4) 联立求解这 b 个方程得出支路电流进而由支路 VCR 求出各元件电压降功率等变量 下面应用中, 举个简单的例子 例 3 试求图 16 所示电路的支路电流 解 : 设各变量的参考方向并标注图上 ( 含定参考点 ) 如图 17 所示 图 16 图 17 该电路有 3 条支路, 个节点 ( 其中一个设为参考节点 ), 个网孔, 据 KC KV 列方程为 I 1 +I +I 3 =0 I 1 +8I 3 = 14

8 第 章电路基本分析方法 7 3I 8I 3 = 解联立方程得 I 1 =3 A,I = A,I 3 = 1 A 支路电流法的特点是所列方程直观, 只是方程数目较多, 求解方程繁琐.4 节点分析法 与用独立电流变量来建立电路方程相类似, 也可用独立电压变量来建立电路方程 在全部支路电压中, 只有一部分电压是独立电压变量, 另一部分电压则可由这些独立电压根据 KV 方程来确定 若用独立电压变量来建立电路方程, 也可使电路方程数目减少 对于具有 n 个节点的连通电路来说, 它的 (n 1) 个节点对第 n 个节点的电压, 就是一组独立电压变量 用这些节点电压作变量建立的电路方程, 称为节点方程 这样, 只需求解 (n 1) 个节点方程, 就可得到全部节点电压, 然后根据 KV 方程可求出各支路电压, 根据 VCR 方程可求得各支路电流 这是以节点电压为未知量, 列写根据 KV KC 及 VCR 整理出的方程, 求解未知量的方法.4.1 节点电压在具有 n 个节点的连通电路 ( 模型 ) 中, 可以选其中一个节点作为基准, 其余 (n 1) 个节点相对基准节点的电压, 称为节点电压 将基准节点作为电位参考点或零电位点, 各节点电压就等于各节点电位 这些节点电压不能构成一个闭合路径, 不能组成 KV 方程, 不受 KV 约束, 是一组独立的电压变量 由于任一支路电压是其两端节点电位之差或节点电压之 差, 由此可求得全部支路电压 例如图 18 所示电路节点电压 u 1 u u 3 和各支路电压 u 4 u 5 u 6 可表示为 u = u u = u u = u u u = u u = u u = u u u = u u = u u = u u 节点方程对于 n 个节点的电路, 令第 n 个节点为参考点, 其节点方程的一般形式为 Gi+ Gi+ Gi+ + G i = i m m s11 G i + G i + G i + + G i = i m m s G i + G i + G i + + G i = i m m s33 G i + G i + G i + + G i = i m11 m m3 3 mm m smm 图 18 ( 6)

9 8 电工技术 其中,G 11 G G 33 称为节点自电导, 它们分别是各节点全部电导的总和,G ij (i j) 称为节点 i 和 j 的互电导, 是节点 i 和 j 间电导总和的负值,I S11 I S I S33 是流入该节点全部电流源电流的代数和 节点方程的系数很有规律, 可以用观察电路图的方法直接写出节点方程 节点分析法的计算步骤 : (1) 指定连通电路中任一节点为参考节点, 用接地符号表示 标出各节点电压, 其参考方向总是独立节点为 +, 参考节点为 () 据节点自电导及互电导列出 (n 1) 个节点方程 (3) 求解节点方程, 得到各节点电压 (4) 选定支路电流和支路电压的参考方向, 计算各支路电流和支路电压 例 4 用节点分析法求图 19(a) 电路的电压 U 和支路电流 I 1 I 图 19 解 : 先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联, 如图 19(b) 所示 对节点电压 U 来说, 图 19(b) 与图 19(a) 等效 图 19(b) 中有 个节点, 其中一个设为接地的参考节点, 只需列出一个节点方程,G 11 = =.5 s,i S11 =5+5=10(A).5U = 10 解得 10 U = = 4( V).5 按照图 19(a) 电路可求得电流 I 1 和 I 5 4 I1 = = 1 ( A ) I = = 3( A).5 网孔分析法 对于具有 b 条支路和 n 个节点的平面连通电路来说, 它的 (b n+1) 个网孔电流就是一

10 第 章电路基本分析方法 9 组独立电流变量 用网孔电流作变量建立的电路方程, 称为网孔方程 求解网孔方程得到网孔电流后, 用 KC 方程可求出全部支路电流, 再用 VCR 方程可求出全部支路电压 这是以网孔电流 ( 假想的电流 ) 为未知量, 列写根据 KV KC 及 VCR 整理出的方程, 求解未知量的方法.5.1 网孔电流若将电压源和电阻串联作为一条支路时, 该电路共有 6 条支路和 4 个节点 对 13 节点写出 KC 方程 支路电流 i 4 i 5 和 i 6 可以用另外三个支路电流 i 1 i 和 i 3 的线性组合来表示 电流 i 4 i 5 和 i 6 是非独立电流, 它们由独立电流 i 1 i 和 i 3 的线性组合确定 这种线性组合的关系, 可以设想为电流 i 1 i 和 i 3 沿每个网孔边界闭合流动而形成, 如图 0 中箭头所示 这种在网孔内闭合流动的电流, 称为网孔电流 它是一组能确定全部支路电流的独立电流变量 对于具有 b 条支路和 n 个节点的平面连通电路来说, 共有 (b n+1) 个网孔电流 网孔电流一般可以与网孔的独立支路电流设为相同符号, 绕行方向也设为相同 如图 0 所示, 网孔 1 网孔 网孔 3 的网孔电流均设成与其独立支路电流相同 则图 0 i + i i = 0 i = i + i i i + i = 0 i = i + i i i i = 0 i = i i 网孔方程各网孔电流在某网孔全部电阻上产生电压降的代数和, 等于该网孔全部电压源电压升的代数和 具有 m 个网孔的平面电路, 其网孔方程的一般形式为 Ri+ Ri+ Ri+ + R i = u m m s11 R i + R i + R i + + R i = u m m s R i + R i + R i + + R i = u m m s33 R i + R i + R i + + R i = u m11 m m33 mm m smm ( 7) 其中,R mm (m =1,,3 ) 称为网孔自电阻, 它们分别是各网孔内全部电阻的总和 R kj (k j) 称为网孔 k 与网孔 j 的互电阻, 它们是两网孔公共电阻的正值或负值 当两网孔电流以相同方向流过公共电阻时取正号, 当两网孔电流以相反方向流过公共电阻时取负号, u Smm 为各网孔中全部电压源电压升的代数和 绕行方向由负极到正极的电压源取正号 ; 反之则取负号 网孔分析法的计算步骤 :

11 30 电工技术 (1) 在电路图上标明网孔电流及其参考方向 若全部网孔电流均选为顺时针 ( 或反时针 ) 方向, 则网孔方程的全部互电阻项均取负号 ; () 用观察电路图的方法直接列出各网孔方程 ; (3) 求解网孔方程, 得到各网孔电流 ; (4) 假设支路电流的参考方向, 根据支路电流与网孔电流的线性组合关系, 求得各支路电流 ; (5) 用 VCR 方程, 求得各支路电压 例 5 用网孔分析法求图 1 所示电路各支路电流 解 : 选定两个网孔电流 i 1 和 i 的参考方向, 均为顺时针方向, 如图 1 所示 图 1 网孔 1 的自电阻 R 11 =1+1= Ω, 互电阻 R 1 = 1 Ω, u s11 =5V, 网孔 的自电阻 R =1+=3( Ω), 互电阻 R 1 = 1 Ω,u s = 10 V, 则直接列出网孔方程 i1 i = 5 i1 + 3i = 10 解得 i 1 = 1A i = 3A 各支路电流分别为 i 1 =1 A,i = 3 A,i 3 = i 1 i =4 A.6 叠加定理 当线性电路中有几个电源共同作用时, 对于有唯一解的线性电路, 任一支路电压或电流, 可以看成是每一个独立电源分别单独作用时在该支路形成的电压或电流的代数和 即各支路的电流 ( 或电压 ) 等于各个电源分别单独作用时在该支路产生的电流 ( 或电压 ) 的代数和 ( 叠加 ), 这就是叠加定理 使用叠加定理时要注意以下几点 : (1) 叠加定理适用于线性电路 ( 包括线性的正弦稳态电路 ), 不适用于非线性电路 ; () 叠加的各分电路中, 不作用的电源置零, 电压源不作用时应视为短路, 电流源不作用时应视为开路 ( 保留其内阻 ), 而电路中的所有线性元件 ( 包括电阻 电感和电容 ) 都不予更动 ; (3) 叠加时正确选取各分电路的电压和电流的参考方向, 一般取与原电路中的相同, 取和时应该注意各分量前的 + 号 ;

12 第 章电路基本分析方法 31 (4) 原电路的功率不等于按各分电路计算所得功率的叠加 因为功率与电压或电流是平方关系, 而不是线性关系 如图 (a) 所示, 该电路有两个独立电源共同作用, 应用叠加定理分解成两个独立电源分别单独作用, 见图 (b) 和图 (c), 图 (a) 图中的各支路电流和电压分别等于分解图图 (b) 和图 (c) 中对应支路电流和电压之和 : i 1 = i 1 +i 1,i = i +i,u = u +u 图 例 6 设图 3 中 R 1 = kω,r =1 kω,r 3 =3 kω,r 4 = 0.5 kω,u S =4.5 V,I S =1 ma 求流过电压源的电流 I 和电流源的电压 U 图 3 解 : 该电路由两个独立电源共同作用, 可分解为电压源和电流源单独作用 电压源单独作用 ( 电流源视为开路, 其他元件均保留 ), 各支路电流和电压参考方向如图 3(b) 所示 I U S 3 1 = I3 = = A = 0.9 ma R1 + R3 I U S 3 = I4 = = 3 10 A= 3mA R + R4 则 I = I 1 + I = = 3.9( ma) U RI RI = + = + = 1.(V)

13 3 电工技术 电流源单独作用 ( 电压源视为短路, 其他元件均保留 ), 各支路电流和电压参考方向如图 3(c) 所示 R 3 I = I = 1 = 0.600( ma) s R1 R3 R 0.5 I = I = 1 = 0.333( ma) s R R4 则 I I1 I = + = = 0.67( ma) U = R I + RI = + = ( ) ( ) V 两电源共同作用, 流过电压源的电流 I 和电流源的电压为 I= I + I = = 4.167(mA) U=U +U = = 0.333(V) 例 7 如图 4(a) 所示电路, 已知 E 1 = 17 V,E = 17 V,R 1 = Ω,R =1 Ω,R 3 =5Ω, 试应用叠加定理求各支路电流 I 1 I I 3 解 :(1) 当电源 E 1 单独作用时, 将 E 视为短路, 如图 4(b) 所示 R 3 = R R 3 =0.83 Ω 则 E 1 1 = = = R1 + R3.83 I' 3 1 R + R3 3 1 R + R3 17 R I' = I' = 5( A) R I' = I' = 1( A) 6( A) () 当电源 E 单独作用时, 将 E 1 视为短路, 如图 4(c) 所示 图 4 R R R 13 = R 1 R 3 = 1 5 = 1.43 Ω R + R I E = = = R + R ( A)

14 则 R I = I = 5( A) 3 1 R1 + R3 R I = I = ( A) 1 3 R1 + R3 第 章电路基本分析方法 33 (3) 当电源 E 1 E 共同作用时 ( 叠加 ), 若各电流分量与原电路电流参考方向相同时, 在电流分量前面选取 + 号, 反之, 则选取 号 则 I = I I = 1A I = I + I = 1A I = I + I = 3A 戴维南定理 戴维南定理在电路分析中得到广泛应用 当只对电路中某一条支路或几条支路 ( 记为 N ) 的电压电流感兴趣时, 可以将电路分解为两个端口网络 N 1 与 N 的连接, 如图 5(a) 所示 用戴维南等效电路代替更复杂的含源端口 N 1, 不会影响端口 N ( 不必是线性的或电阻性的 ) 中的电压和电流 代替后的电路图 5(b) 规模减小, 使电路的分析和计算变得更加简单 由. 节已经知道, 含独立电源的线性电阻端口网络, 可以等效为一个电压源和电阻串联端口网络, 或一个电流源和电阻并联端口网络 戴维南定理提供了求含源端口网络两种等效电路的一般方法, 对简化电路的分析和计算十分有用 任何线性有源二端网络, 对外电路而言, 可以用一个等效电压源代替, 等效电压源的电动势 E 0 等于有源二端网络两端点间的开路电压, 等效电压源的内阻 R 0 等于该有源二端网络中, 各个理想电源置零 ( 即将电动势用短路代替, 理想电流源开路 ) 后, 所得无源二端网络两端点间的等效电阻.7.1 戴维南定理任一线性含独立电源的端口网络对外而言, 总可以等效为一理想电压源与电阻串联构成的实际电源的电压源模型, 如图 6(a) 所示 电压源的电压等于端口网络在负载开路时的电压 u 0c ; 电阻 R 0 是端口网络内全部独立电源为零值 ( 电压源短路, 电流源开路 ) 时所得端口网络 N 0 的等效电阻 戴维南定理的图形描述如图 6(b) 所示 u 0c 称为开路电压 R 0 称为戴维南等效电阻 在电子电路中, 当端口网络视为电源时, 常称此电阻为输出电阻, 常用 R 0 表示 ; 当端口网络视为负载时, 则称之为输入电阻, 并常用 R i 表示 电压源 u 0c 和电阻 R 0 的串联端口网络, 称为戴维南等效电路 当端口网络的端口电压和电流采用关联参考方向时, 其端口电压电流关系方程可表示为 :

15 34 电工技术 u = R0i+ u0c 图 5 图 6 只要分别计算出端口网络 N 的开路电压 u 0c 和端口网络内全部独立电源置零 ( 独立电压源用短路代替及独立电流源用开路代替 ) 时端口网络 N 0 的等效电阻 R 0, 就可得到端口网络的戴维南等效电路.7. 等效电压源电压 U 0c 求解方法 (1) 将外电路去掉, 端口 ab 处开路, 由 N 网络计算开路电压 u 0c () 试验测得, 将 ab 端口开路, 用电压表测得开路处的电压 u 0c.7.3 等效电阻 R 0 的求解方法 (1) 等效法 去掉 N 网络的独立电源, 用串 并联简化等方法计算出 a b 端口看去的等效电阻 R 0 () 短路电流法 在计算出 a b 端口开路电压 u 0c 后, 将 ab 端口短接, 求短接处的短路 u0c 电流 I sc, 从而得 R0 = I sc (3) 外加电压法 去掉 N 网络内部的独立电源, 在 ab 端口处家电压源 u, 求端口处的电 u 流 I, 则 R0 = I (4) 外加电流法 去掉 N 网络内部的独立电源, 在 ab 端口出加电流源 I, 求出端口电压 u u, 则 R0 = I.7.4 应用戴维南定理解题步骤 (1) 先断开待求的那条支路, 移走负载使电路形成开路状态, 并假定两个端钮的电压极性及端子字母, 如 a b () 求形成开路状态电路的开路电压 U ab = U 0 = E 0 (3) 将有源二端网络中的理想电压源用短接线代替, 理想电流源用开路代替, 求无源二端网络的等效电阻 R ab = R 0 (4) 用 U 0 和 R 0 相串联组成戴维南等效电路, 代替原来有源二端网络, 把原负载接回 a b 端 (5) 应用全电路欧姆定律求取负载支路的电流或电压

16 第 章电路基本分析方法 35 应用戴维南定理解题时, 应注意的问题 : (1) 等效电压源电动势 E 0 的方向与有源二端网络开路时的端电压极性一致 () 等效电源只对外电路等效, 对内电路不等效 例 8 求图 7(a) 所示端口网络的戴维南等效电路 图 7 解 : (1) 等效电压源电压 u 0c 的求解 在端口网络的端口上标明开路电压 u 0c 的参考方向, 注意 8(a) 图中只 Ω 电阻支路电流为 A,1 Ω 电阻支路电流和 3 Ω 电阻支路电流均为零, 可求得等效电压源电压 u 0c 为 u 0c = 1+ = 3( V) () 等效电阻 R 0 的求解 端口网络内全部独立电源置零 ( 独立电压源用短路代替及独立电流源用开路代替 ) 如图 7(b) 所示, 等效电阻 R 0 为 R 0 = 1++3 = 6(Ω) 戴维南等效电路为图 7(c) 例 9 求图 8(a) 所示端口网络的戴维南等效电路 图 8 解 : (1) 等效电压源电压 u 0c 的求解 标出端口网络开路电压 u 0c 的参考方向, 注意流经 10 Ω 电阻的电流源有 A 电流源和

17 36 电工技术 4e at A 电流源, 用叠加定理求得等效电压源电压 u 0c 为 u0c = (10+ 5) 4e at = ( e ) V () 等效电阻 R 0 的求解 端口网络内全部独立电源置零 ( 独立电压源用短路代替及独立电流源用开路代替 ) 如图 8(b) 所示, 等效电阻 R 0 为 R 0 = 10+5 = 15(Ω) 戴维南等效电路为图 8(c) at.8 电路基本分析法典型例题.8.1 各种解题方法介绍 例 10 求图 9 所示电路中电压 U 的值 解 : 该题是典型的电阻串 并联电路 解法一先求并 串联电路电阻 R 1 =30 (36+4) = 图 9 0(Ω) 再求并 串联电路电阻上的分压 U 1 =30 0/(10+0)=0(V) 则 U= U 1 = 0 V 解法二先求电阻串 并联电路的总电阻 R=10+30 (36+4) = 30(Ω) 再求总电流 I=30/30=1(A) 然后求 30 Ω 支路的电流 I 1 =1 (36+4)/( ) = /3(A) 最后求出 U=30 /3= 0(V)( 非关联参考方向 ) 解法三等效变换法先将 30 V 10 Ω 支路等效变换成实际电流源模型 I'=30/10=3(A) R'=10 Ω 再求 R' 与 36 Ω 4 Ω 支路的并联电阻 R =10 (36+4)=60/7 Ω( 注意一定要保留 30 Ω 的待求支路 ) 然后用分流公式求 30 Ω 支路的电流 I =3 (60/7)/(60/7+30)=/3(A) 最后用电阻的伏安关系得

18 第 章电路基本分析方法 37 U= 30 /3= 0(V)( 非关联参考方向 ) 解法四 用戴维南定理求解 断开 30 Ω 待求支路, 求 U 0C =30 (36+4)/( )=180/7(V) R 0 =10 (36+4)=60/7(Ω) 用戴维戴维南等效电路接入待求电路, 求 U= 180/7 30/(30+60/7)= 0(V) 例 11 求图 30 电路中电压 U 的值 解 : 解法一 用 KC KV VAR 求解 KC I'=I 1. KV 3+1I+10(I 1.)+70I=0 ( 顺时针方向 ) 解得 I=1/9 A VAR U=70 1/9 7.78(V) 图 30 解法二 等效变换 将 1. A 和 10 Ω 并联电路等效变换为 U S R S 串联电路 U S =1. 10=1(V) R S =10 Ω( 注意 U S 的极性是左 右 + ) KV: 3+1I+10I 1+70I=0 解得 I=1/9 A ( 顺时针方向 ) VAR: U=70 1/9 7.78(V) 解法三 用戴维南定理求解 断开 70 Ω 待求支路, 求 U 0C = =9(V) 求 R 0 =10+1=11(Ω) 接入待求电路, 求 U=9 70/(70+11) 7.78(V) 解法四 用叠加定理求解 先求电压源单独作用时 U'= 3 70/( )= 70/7(V) 再求电流源单独作用时 U =70 [1. 10/( )]=80/7(V) 根据叠加定理得 U= 70/7+80/7 7.78(V) 例 1 电路如图 31 所示, 已知 :R 1 =6 Ω,R =3 Ω,R =5 Ω,U S1 =9 V,U S =6 V, 求电流 I

19 38 电工技术 图 31

20 第 章电路基本分析方法 39 解 : 方法一 应用基尔霍夫定律 由 KC I = I 1 +I 1 由 KV U S1 U S = I 1 R 1 I 1 R 1 U S = I R +IR 3 将已知数据代入 3 得 : 9 6=6I 1 3I 4 6=3I +5I 5 由 145 解得 :I A;I 0.33 A;I =1 A 方法二 等效电源法 将图 31(a) 等效变换为图 31(b), 再变换为图 31(c) 由分流公式 方法三节点电压法设 b 点电位为参考节点, 则 U A I R I = 1 1 R1 + R = + 5 = 1 1( A) E US1 US R1 R = R = = 6 3 = 5( V) R R R R 方法四网孔分析法如图 31(d) 所示, 设网孔电流为 I I 和 I II 由基尔霍夫定律得 将已知数据代入方程组得 U S1 U S = I I R 1 +I I R I II R U S = IⅡR IⅠR +IⅡR 9 6=6IⅠ+3IⅠ 3IⅡ 解得方法五应用戴维南定理求解如图 31(e) 所示 等效电压源电压和等效电阻为 6=3IⅡ 3IⅠ+5IⅡ I = IⅡ =1(A)

21 40 电工技术 US1 US 9 6 U0C = UAB = R + US = = 7 ( V ) R1 + R 6+ 3 RR 6 3 R ( ) I 1 0 = = = Ω R1 + R 6+ 3 U 7 0C = = = R0 + R + 5 1( A) 方法六应用叠加定理求解 U S1 单独作用时, 电路为图 31(g), 可等效变换为图 31(h) I RR ( A) R + R + R R1 + R = I = + = RR 1 1 U S 单独作用时, 电路为图 31(i), 可等效变换为图 31(j) I RR ( A) R + R + R R1 + R = I 6 3 = + = RR 1 1 US1 US共同作用时 3 4 I = I + I = + = 1 ( A ) 7 4 例 13 列举了六种求解的方法, 即采用一题多解的方法, 使学生能全面 系统地掌握各种直流电路的分析方法及应用, 提高学生分析问题 解决问题的能力.8. 分析方法的选择每种电路的分析方法, 一般都有其适用范围 应用霍夫定律求解适用于求多支路的电流, 但电路不能太复杂 ; 电源法等效变换法适用于电源较多的电路 ; 节点电位法适用于支路多 节点少的电路 ; 网孔分析法适用于支路多 节点多 但网孔少的电路 ; 戴维南定理和叠加定理适用于求某一支路的电流或某段电路两端电压 上面例题的电路比较简单, 可选择任意一种方法求解, 对于一些比较复杂但又有一定特点的电路, 必须选择合适的方法, 才能使解题过程简单, 容易正确求解 如图 3 所示, 若求三条支路的电流, 应该选择独立电源等效变换法求解 如图 33 所示, 求通过 R 4 的电流, 应该选择节点电位法求解

22 第 章电路基本分析方法 41 图 3 图 33 如图 34 所示, 求各条支路的电流, 应该选择网孔分析法求解 如图 35 所示, 求通过 R 4 的电流, 应该选择电源等效变换法 如图 36 所示, 求通过 R 4 的电流及两端电压, 应该选择戴维南定理或叠加定理 图 34 图 35 图 36 以上通过五个例子说明了电路分析方法的合理选择 有些问题, 需要几种方法综合应用 总之, 解题方法选择得当, 可以使解题过程简捷, 提高解题效率 习 题 1. 用电源模型等效变换的方法求图 37 所示电路的电流 I 1 和 I. 如图 38 所示电路, 用支路电流法求各支路电流及各元件功率 图 37 图 用节点电压法求图 39 所示电路中节点 a 的电位 U a

23 4 电工技术 图 用节点电压法求图 40 所示电路中节点 a 的电位 U a 图 如图 41 所示电路, 用支路电流法求 u i 图 用网孔分析法求解图 39 所示的 U S 支路电流 7. 用叠加定理求解图 39 所示的 U S 支路电流 8. 用戴维南定理求解图 39 所示的 U S 支路电流

24 第 3 章单相正弦交流电 43 第 3 章单相正弦交流电 学习目标 理解正弦交流电的三要素 理解电路基本定律的相量形式和相量图, 掌握用相量法计算简单正弦交流电路的方法 了解正弦交流电路瞬时功率的概念 理解和掌握有功功率 功率因数的概念和计算 理解无功功率和视在功率的概念, 理解提高功率因数的方法及其经济意义 理解正弦交流电路串联谐振和并联谐振的条件及特征 3.1 正弦量的基本概念 定义随时间变化的电压和电流称为时变的电压和电流, 如果时变的电压和电流每个值在经过相等的时间间隔后循环出现, 那么, 这种时变的电压和电流就称为周期电压和周期电流, 统称为周期量 如果周期量正半周和负半周的波形面积相等, 即一个循环内波形面积平均值为零, 称为交流量 交流量中应用最广泛的是正弦交流量 大小和方向随时间按正弦规律周期性变化的电压和电流, 称为正弦电压 正弦电流, 统称为正弦交流量, 简称正弦量 正弦量的特征表现在变化的大小 快慢和初始值三个方面 3.1. 表示正弦交流电特征的物理量 1. 周期 频率和角频率描述正弦量变化 快慢 的量是周期 频率和角频率 (1) 周期 T 正弦量变化一周所需要的时间为一个周期, 用 T 表示, 单位为秒 (s) () 频率 f 正弦量在 1 s 内变化的周期数称为频率, 用 f 表示, 单位为赫兹 (Hz) 频率的常用单位还有 khz 和 MHz MHz = 10 khz = 10 Hz 周期与频率两者关系是 f = 1 T 当 f = 50 Hz 时,T = 1 1 s 0.0s f = 50 =

25 44 电工技术 (3) 角频率 ω 正弦交流电变化一个周期相当于正弦函数变化 π 弧度, 所以正弦量变化的快慢也可用角频率 ω 表示, 它指的是正弦量在 1 s 内经过的弧度数, 故 π ω = = πf (3 1) T 角频率的单位是弧度 / 秒 (rad/s) π π 当一个正弦量角频率 ω = 314 rad/s 时, 这个正弦量的周期为 T = 0.0 s ω = 314 = () 不同地区 不同场合使用的交流电频率是不同的, 我国 前苏联 欧洲各国电力用交流电的频率标准为 50 Hz( 称为工频 ); 美国 巴西为 60 Hz, 日本同时存在 50 Hz 和 60 Hz 两种标准 ω T f 反映的都是正弦量循环变化的快慢,ω 越大, 即 f 越大或 T 越小, 正弦量循环变化越快 ; 反之,ω 越小, 即 f 越小或 T 越大, 正弦量循环变化越慢 直流量的大小 方向都不随时间变化, 可以看作是 ω =0( 即 f =0 T = ) 的正弦量 例 3 1 已知工频正弦量的频率为 50 Hz, 试求其周期 T 和角频率 ω 1 1 解 : T = 0.0 s f = 50 = () ω = πf = = 314( rad/s). 瞬时值 最大值和有效值描述正弦量 大小 的量有瞬时值 最大值和有效值 (1) 瞬时值 如图 3 1 所示为正弦交流电压的波形图和正方向 可用正弦函数表达式表示为 u = Umsin( ω t + ϕ0) (3 ) 式 (3 ) 描述的是任一瞬间的电压值, 称为瞬时值, 以小写字母表示 瞬时值是时间的函数, 只有具体指出在哪一时刻, 才能求出确切的数值和方向 图 3 1 () 最大值 交流电压瞬时值中的最大数值 U m 称为最大值, 它表示在一周内, 数值最大的瞬时值 以大写字母带下标 m(max) 表示 电流 电动势也同理,i 和 e 为瞬时值,I m 和 E m 为最大值 交流电的最大值也称幅值, 是一常数 (3) 有效值 在研究交流电的功率时, 最大值不适合表达交流电产生的效果, 于是引入有效值的概念 交流电有效值定义为 : 如果让交流电和直流电分别通过同样阻值的电阻, 两者在相同时间内消耗的电能相等, 即产生的热量相等时, 则此直流电的数值叫做交流电的有效值 有效值的概念非常有用 交流电压表 电流表指示的数值都是有效值 交流电气设备上

26 第 3 章单相正弦交流电 45 标明的额定值也是有效值 理论和实验均可证明, 正弦交流电流 电压 电动势的有效值与最大值之间的关系为 I U I m = 0.707Im (3 3 1) U m = 0.707Um (3 3 ) Em E = 0.707Em (3 3 3) 例 3 一个工频电压的初相为 30, 在 t = T /时的值为 68 V, 试求它的有效值 解 : 可写出该正弦量的解析式为 : u = U m sin(314 t + 30 )V T 把 t = 和瞬时值 68 代入上式可得 : 68 = U m sin( , ) 解得此电压的最 大值 U m 536 V U m 536 所以有效值为 : U = = = 379( V) 3. 相位 初相和相位差描述正弦量在时间轴上 先后 的量有相位 初相和相位差, 用它们可以比较交流电变化的步调 (1) 相位 函数表达式中 ( ω t + ϕ0 ) 是正弦交流电随时间变化的 ( 电 ) 角度, 称为该正弦交流电的相位角, 简称相位 相位是表示正弦量在某一时刻所处的变化状态, 不仅决定该时刻瞬时值的大小和方向, 还决定该时刻正弦量的变化趋势 ( 即增加或减少 ), 单位是弧度 (rad), 为方便起见, 也可用 ( 度 ) 表示 () 初相 t =0 时,ω t =0, 此时正弦量相位角所对应的相位角 ϕ 0 称为初相, 见图 3 1 所示 初相反映了正弦量在 t =0 时的大小 方向及其变化趋势 初相位的单位是弧度 (rad), 为方便起见, 也可用 ( 度 ) 表示, 通常取值范围为 ϕ0 π (3) 相位差 在分析正弦交流电路时, 常常要对正弦量之间的相位角进行比较 我们把频率相同的同种函数形式的正弦量的相位之差称为相位差, 用 ϕ 表示 相位差的取值范围是 ϕ π 例如 : u 1 = U m1 sin( ω t + ϕ 1 ), u = U m sin( ω t + ϕ ) 则它们的相位差为: ϕ = ( ω t + ϕ1) ( ω t + ϕ) = ϕ1 ϕ, 即电压 u 1 与电压 u 之间的相位差为 ϕ 角度 若 ϕ = ϕ1 ϕ > 0, 即 ϕ1 > ϕ, 表示电压 u 1 比电压 u 超前 ϕ 角度 ; 若 ϕ = ϕ1 ϕ < 0, 即 ϕ1 < ϕ, 表示电压 u 1 比电压 u 滞后 ϕ 角度 几种特殊情况 :

27 46 电工技术 1 若 ϕ =0, 这时两个正弦量同时到达零值或最大值, 称为两个正弦量同相, 如图 3 (a) 所示 ; 图 3 两个正弦量的同相 正交与反相 若 ϕ =± π, 这时一个正弦量较另一个正弦量超前或滞后 90, 称这两个正弦量正交, 如图 3 (b) 所示 ; 3 若 ϕ =± π, 这时当一个正弦量达到正最大值时, 另一个正弦量达到负最大值, 称这两个正弦量反相, 如图 3 (c) 所示 因此, 最大值 频率和初相称为正弦量的三要素, 它们是对正弦量进行比较和区分的依据 例 3 3 设有两个频率相同的正弦电流 i 1 () t = 5cos( ω t + 60)A i ( t ) = 10sin( ω t + 40 )A 问哪一个电流滞后, 滞后的角度是多少? 解 : 首先, 把 i (t) 改写成用余弦函数表示, 即 i ( t ) = 10sin( ωt + 40 )A = 10sin(90 + ωt 50 )A = 10cos( ωt 50 )A 所以 ϕ = ϕ1 ϕ = 60 ( 50 ) = 110 电流 i (t) 滞后的角度是 110 例 3 4 某正弦电压的有效值 U = 0 V, 初相 ϕ u = 60 ; 某正弦电流的有效值 I = 50 A, 初相 ϕ i = 90, 它们的频率均为工频 试分别写出电压和电流的瞬时值表达式 解 : 电压的最大值为 Um = U = 0 = 310( V) 电流的最大值为 Im = I = 50= 70.7( A) 角频率 ω =πf = = 314( rad/s) 电压的瞬时值表达式为 u = Um sin( ωt + ϕu ) = 310sin(314t + 60 )V 电流的瞬时值表达式为 i = Im sin( ωt + ϕi ) = 70.7sin(314t 90 )A

28 第 3 章单相正弦交流电 正弦量的相量表示法 一个正弦量可以使用函数表达式和波形图方法表达, 但用这两种方法直接进行正弦量的运算十分不便, 将正弦量用向量表示, 将会方便得多, 所以本书引入了相量表示法, 简称相量法 在正弦电流电路中, 所有响应都是与激励同频率的正弦量, 所以主要考虑有效值和初相两个要素 一个复数可以同时表达一个正弦量的有效值和初相, 交流电的相量表示法就是用复数运算的方法来进行交流电的分析和计算 3..1 复数的几种形式 1. 代数形式图 3 3 为复平面图,A 为复数, 横轴为实轴, 单位是 +1,a 是 A 的实部,b 是 A 的虚部,ρ 为 A 的模 A 与实轴的夹角 ϕ 称为辐角 ; 纵轴为虚轴, 单位是 j = 1 在数学中, 虚轴的单位用图 3 3 复数 i, 这里为了和电流符号相区别而改用 j 这些量之间的关系为 a = rcosϕ (3 4 1) b= rsinϕ (3 4 ) ρ = a + b (3 4 3) ϕ = arctan b (3 4 4) a 根据以上关系可以得到复数代数式表达形式为 A = a+jb. 三角形式用三角形式表示时, 将复数 A 写成 A = ρcosϕ + jρsin ϕ = ρ(cosϕ + jsin ϕ) (3 5) 3. 指数形式利用欧拉公式 jϕ e = cosϕ + jsinϕ (3 6) 可以把复数 A 的三角形式变换为指数形式, 即 jϕ A = ρe (3 7) 4. 极坐标形式在电工中还常常把复数写成如下的极坐标形式, 即 A= r ϕ (3 8) 代数式适合于复数的加减运算, 极坐标式适合于复数的乘除运算

29 48 电工技术 3.. 复数运算 1. 复数的加减 A1 = a1 + jb1 A = a + jb (3 9) 则 A1 ± A = a1 + b1 ± a + b = a1 ± a + b1 ± b ( j ) ( j ) ( ) j( ). 复数的乘除 A1 = a1 + jb1 = A ϕ 1 1 A = a + jb = A ϕ 则 A1A = A1 i A ϕ 1 + ϕ (3 10) 3..3 相量与复数 当频率给定时, 一个正弦量可以用复数来描述, 这个复数称 为正弦量的相量 ; 即一个正弦量对应一个相量 ( 复数 ), 用相量 ( 复 数 ) 的模表示正弦量的有效值, 辐角表示正弦量的初相 以交流电流为例, 其相量图如图 3 4 所示 从图 3 3 与图 3 4 的对比不难看出, 交流电的相量与复数的 对应关系为 图 3 4 相量 交流电的相量 I = A 交流电的有效值 I = ρ 交流电的初相 ϕ = ϕ 且 I = Icosϕ a I = Isinϕ b I = Ia + Ib I ϕ = arctan a Ib 相量常用的两种表示形式为代数式 I = Ia + jib 极坐标式 I = I ϕ 需要说明的是, 相量法只是正弦量的一种表示方式和运算工具, 它可以使正弦量的分析计算更加简单灵活, 但两者之间只是对应关系而不是相等关系 由于相量是复数, 它可以用复平面上矢量来表示, 这种复平面上的矢量图称为相量图 必须注意只有相同频率的正弦量才能画在同一个向量图上, 不同频率的正弦量一般不能画在同一个向量图上 我们可以根据正弦量瞬时表达式写出相量, 也可以根据正弦量的相量写出对应的瞬时表达式

30 第 3 章单相正弦交流电 49 π π 例 3 5 已知正弦电压 u = 141sin ω t + V, 正弦电流 i = 70.7sin ω t A 试写出 6 4 u 和 i 的向量 解 :u 的向量为 141 U = 30 V = V i 的向量为 70.7 I = 45 V=50 45 V 例 3 6 频率为 50 Hz 的正弦电压的向量为 U = 0 60 V, 求电压的瞬时值解析式 解 : 正弦量的角频率为 ω = πf = rad/s = 314 rad/s 得电压的瞬时值解析式为 ut ( ) = 0 sin(314t 60 ) V 3..4 相量的运算只有同频率的正弦量才能进行相量运算 相量是一个复数, 是用复数表示的正弦量 即一个相量可以用复平面上的有向线段表示, 也可以用复数形式表示, 因此可以用复数的运算法则替代正弦量之间的运算 现以两个同频率的正弦电压为例介绍相量的运算 例 3 7 设有正弦电压 u () t = 10 sin( ω t + 60)V 1 u () t = 0 sin( ω t + 30)V 求它们的和与差 解 :u 1 的向量为 : U 1 = V u 的向量为 : U = 0 30 V U 1 + U = ( )V = (5 + j j10)v = (.3 + j18.7)v =9V 因此, u 1 + u = 9 sin( ω t + 40 )V U 1 U = ( )V = (5 + j j10)v = ( 1.3 j1.3)v =1.4 6 V 因此 u1 u = 1.4 sin( ω t + 6 )V

31 50 电工技术 3.3 基尔霍夫定律的相量形式 基尔霍夫电流定律的向量形式基尔霍夫电流定律对电路中的任一节点任一瞬时都是成立的, 即 i = 0 也可以写成 i1 + i + i3 + + i n = 0, 如果电流是同频率的正弦量, 则可用相量表示为 I 1 + I + I 3 + I n = 0 或 I = 0 上式表明 : 流出 ( 流入 ) 任一节点的电流相量之和等于零 这就是基尔霍夫电流定律在正弦交流电路中的相量形式 它与直流电路中的基尔霍夫电流定律的形式 I = 0 是相似的 3.3. 基尔霍夫电压定律的相量形式基尔霍夫电压定律对电路中的任一回路任一瞬时都是成立的, 即 u = 0 也可以写成 u1 + u + u3 + + u n = 0, 如果电压是同频率的正弦量, 则可用相量表示为 U 1 + U + U 3 + U n = 0 或 U = 0 上式表明 : 电路中任一回路的电压相量之和等于零 这就是基尔霍夫电压定律在正弦交流电路中的相量形式 它与直流电路中的基尔霍夫电压定律的形式 U = 0 是相似的 由此可以得出结论 : 正弦交流电路中, 以相量形式表示的欧姆定律 U = RI 和基尔霍夫定律与直流电路有相似的表达形式, 因而在直流电路中由欧姆定律和基尔霍夫定律推导出来的支路电流法 叠加定理 戴维宁定理等都可以扩展到正弦交流电路中 扩展中, 直流电路中的电动势 E 电压 U 电流 I 分别要用相量 Ė U İ 来代替 ; 电阻 电容 电感的组合阻抗要用复阻抗 Z 来代替 3.4 正弦电流电路中的电阻元件 电阻元件欧姆定律的向量形式假定电阻元件是线性元件, 则电阻的电压 电流在正弦稳态下是同频率的正弦量, 相关的运算可以用向量进行 关联参考方向下电阻元件的电压电流关系为 u = Ri 设电阻元件的正弦电流为 it () = Isin( ω t+ ϕ ) (3 11) 则电阻元件的电压为 ut () = Rit () = RIsin( ω t+ ϕ ) (3 1) 即 ut () = Usin( ω t+ ϕu ) (3 13) 则有 U = RI, ϕ u = ϕ i (3 14) 写成向量形式为 U ϕ u = RI ϕ i 或 U = RI (3 15) i i

32 第 3 章单相正弦交流电 51 由此可得出以下几点结论 : (1) 将瞬时值形式的欧姆定律中电压 电流换成相应的相量后, 同样满足欧姆定律 () 电阻元件电压的有效值等于电阻元件电流的有效值与电阻的乘积, 即电压 电流的有效值也满足欧姆定律 Un = RIn (3) 电阻元件电压的相位等于电阻元件电流的相位, 即 ϕu ϕi = 0, 即 u R 和 i R 同相 波形图和向量图如图 3 5 所示 图 3 5 纯电阻电路的波形图和向量图 3.4. 电阻元件的功率 1. 瞬时功率 P R 在正弦稳态情况下 ( 设电流的初相为零, 即 ψ i =0), 电阻元件的瞬时功率为 p() t = u()() t i t = Usinωt Isinωt = UI sin ω t = UI(1 cos ω t) = UI UI cos ω t 上式还表明了电阻元件的瞬时功率包含一个常数项 UI 和一个两倍于原电流频率的正弦项, 即电流或电压变化一个循环时, 功率变化了两个循环 整个波形在平均值 UI 上下波动 由于电压和电流同相, 电压 电流同时为零, 也同时达到最大值 电压 电流为零时, 瞬时功率为零 ; 电压 电流为最大值时, 瞬时功率也达到最大值 而且, 当电压 电流都是负值时, 瞬时功率也是正值 因为 (1 cos ω t) 0, 所以 pr 0 这表明电阻元件的瞬时功率总是吸收功率, 从而说明电阻元件是一耗能元件. 平均功率 ( 有功功率 )P 通常所说的正弦交流电路的功率是指一个周期内的平均功率, 它反映元件实际消耗电能

33 5 电工技术 的情况, 所以又称有功功率, 用大写字母 P 来表示, 单位为瓦 (W) 如 5 W 白炽灯 100 W 的电视机等都是平均功率或有功功率 1 T P = p()d t t T 0 1 T = ( UI UI cos t)dt T ω 0 1 T 1 T = UIdt UI cosωtdt T 0 T 0 上式中第二项为零, 所以 U P = UI = RI = = GU (3 16) R 上式表明, 正弦交流电路中的电阻所消耗的功率与直流电路有相似的公式, 但交流电中电压 电流都是正弦交流电的有效值 有功功率是正弦交流电有效值的乘积, 也是电流和电压最大值的一半, 是定值, 如图 3 6 所示 例 3 8 在电压为 0 V 频率为 50 Hz 的交流电路中, 接入一组白炽灯, 其等效电阻是 11 Ω, 试求 :(1) 电灯组取用的电流有效值 ;() 电灯组取用的功率 解 : (1) 电灯组取用的电流有效值为 U 0 I = = = 0 (A) R 11 () 电灯组取用的功率为图 3 6 电阻元件瞬时功率与有功功率 P = UI = 0 0 = (W) 电感元件欧姆定律的相量形式 3.5 正弦稳态电路中的电感元件 在正弦稳态的情况下, 通过电感元件的电流为 i () t = I sin( ω t + ϕ ), 在关联参考方向 下, 电感的端电压为 i

34 d i ( t) d u() t = = Isin( ω t + ϕi) dt dt = ωicos( ωt + ϕi) = X I sin( ωt + ϕ + 90 ) i 第 3 章单相正弦交流电 53 式中, X = ω= πf, 称为感抗, 单位为欧姆 (Ω) 设 : u() t = Usin( ω t + ϕu) π 则有 : U = ωi, ϕu = ϕi + 写成向量形式为 I = I ϕ i (3 17) U = U ϕi + 90 (3 18) 用相量表示电感元件电压与电流的关系, 则为 U U ϕ i + 90 U = = I 90 =jω =jx I ϕ i I 这就是电感电路中欧姆定律的相量形式 由此可得出下面几点结论 : (1) U = I X 表明有效值 U 和 I 满足欧姆定律 但瞬时值 u 和 i 和之间不满足欧姆定律, 而是微积分关系 () 电感元件电压和电流两者初相之间关系为 ϕu = ϕi + 90, 即电感元件电压相量超前电感电流相量 90 (3) 感抗 X = ω= πf, 是频率的函数, 并与频率 f 成正比 感抗的倒数为 B = 1/ X 称为感纳, 单位为 S( 西门子 ) 当一定大小的电流通过电感时, 频率越高, 感抗越大, 电感两端电压越大 这是因为频率越高, 电流和相应的磁通变化越快, 自感电动势和自感电压就越大 因此感抗体现了电感元件反抗电流通过的作用 考虑到电感元件是频率的函数, 我们分析两种典型情况 : 1 当 f 时, X, I 0, 即电感元件对高频率的电流有极强的抑制作用, 在频率非常高的情况下, 电感元件相当于开路 在电子电路中, 常用电感线圈作为高频扼流圈 ; 当 f =0 时 ( 直流 ), X = 0, 电感相当于短路, 即电感在稳态的直流电路里相当于短路 例 3 9 已知通过线圈的电流 i = 10 sin 314t A, 线圈的电感 = 70 mh( 电阻可以忽略不计 ) 设电流 i 外施电压 u 为关联参考方向, 试计算在 t=t/6 瞬间电流 电压的数值 解 : 线圈的感抗为 X = (Ω)

35 54 电工技术 t=t/6 时 : i 0.0 = 10 sin 314 = sin (A) 6 U = I X = (V) m m u = 311sin150 = (V) 3.5. 电感元件的功率 1. 瞬时功率当电压 电流的参考方向相关联时, 电感吸收的瞬时功率为 p() t = u() t i() t = Usin( ω t + ϕi + 90) Isin( ω t + ϕi) = UIsin ( ωt + ϕi) 图 3 7 画出了瞬时功率随时间的变化规律 瞬时功率是一个正弦量, 其最大值为 UI, 频率为电流或电压频率的两倍, 当 p > 0 时, 电感元件将电能转变成磁场能储存, 相当于负载 ; 当 p < 0 时, 电感元件将磁场能转变成电能释放, 相当于电源. 平均功率 ( 又称有功功率 )P 在正弦稳态的情况下, 电感元件的平均功率为 : 1 T 1 T P = p ()d sin( ) 0 0 t t U 0 I ωt ϕi T = + = T 图 3 7 电感元件的瞬时功率随时间的变化规律电感的有功功率为零, 说明电感元件不消耗能量, 只与电源之间进行能量交换, 将能量不停地吸收与释放, 是一储能元件 3. 无功功率 Q 无功功率表示电感与电源之间进行能量交换规模的量 在正弦稳态的情况下, 电感的无功功率为 U Q = UI = I X = (3 19) X 由上式可以看出, 电感元件吸收的无功功率等于瞬时功率的最大值, 也就是磁场与外电路交换能量的最大速率 无功功率反映了储能元件与外部交换能量的规模 无功 的含义是交换而不消耗, 不能理解为 无用 无功功率具有与平均功率相同的量纲, 但因为无功功率并不是实际做功的平均功率, 为了与平均功率相区别, 无功功率的单位不用 W 表示, 而用 var( 乏 ) 表示

36 第 3 章单相正弦交流电 电感元件中储存的磁场能量在电压与电流关联参考方向下, 电感元件吸收的功率为 di p = ui = i dt 在 dt 时间内, 电感元件磁场中的能量增加量为 dw = pdt = idi 电流为 0 时, 磁场也为 0, 即无磁场能量 当电流由 0 增大到 i 时, 电感元件储存的磁场能量为 i 1 W = i d 0 i = i 由上式可以看出, 磁场能量只与电流的最终值有关, 而与电流建立的过程无关 例 3 10 一个 1. H 的电感元件接到电压为 ut ( ) = 0 sin(314t + 45 ) V 的电源上,(1) 试求电感元件的电流解析式和吸收的无功功率 ;() 如电源的频率改为 100 Hz, 电压有效值不变, 电感元件的电流和吸收的无功功率各为多少? 解 :(1) 电压的向量为 U = 0 45 V 电感元件的感抗为 X = ω= = 376.8( Ω) U 0 I = 45 = = A jx j376.8 电流的解析式 it = sin(314t 45 )A 电感元件吸收的无功功率为 Q = UI = = 18.5( var) () 感抗与频率成正比, 频率增加为原来的 100/50 = 倍, 感抗也应当增加为原来的 倍, 电压有效值不变, 则电流减小为原来的 1/, 即 = 0.9( A), 吸收的无功功率也 18.5 减小为原来的 1/, 即 = 64.5( var) 3.6 正弦稳态电路中的电容元件 电容元件欧姆定律的相量形式在正弦稳态的情况下, 假设通过电容元件的两端的电压为在正弦稳态的情况下, 设通过

37 56 电工技术 电容元件的电压为 u () t = U sin( ω t + ϕ ) C C u 在关联参考方向下, 电容的电流为 d uc ( t) d ic() t = C = C UC sin( ω t + ϕu) dt dt = ωcuc cos( ωt + ϕu) UC = sin( ωt + ϕu + 90 ) X 1 1 式中, X = C ω C = πfc, 称为容抗, 单位为欧姆 (Ω) 设 : i () t = I sin( ω t + ϕ ) C C i π 则有 : IC = ωcuc, ϕi = ϕu + 写成向量形式为 : U C = U ϕ u C I C = ω CU ϕ C u + 90 用相量表示电容元件电压与电流的关系, 则为 U C U ϕ C u UC 1 = = I 90 = j = jx C C ω CUC ϕ + 90 IC ω C u 这就是电容电路中欧姆定律的相量形式 由此可得出下面几点结论 : C (1) U C = I C X C 表明有效值 U C 和 I C 满足欧姆定律 但瞬时值 u C 和 i C 之间不满足欧姆定律, 而是微积分关系 () 电容元件电压和电流两者初相之间关系为 ϕi = ϕu + 90, 即电容元件电流相量超前电容电压相量 90 (3) 感抗 X = 1/ ω C = πfc, 是频率的函数, 并与频率 f 成正比 容抗的倒数为 C BC = 1/ XC = ω C 称为容纳, 单位为 S( 西门子 ) 当电容元件两端电压一定时, 频率越高, 容抗越小, 电流越大 这是由于频率越高, 电容上的电压变化越快, 在相同的时间内移动的电荷越多 容抗随频率发生变化, 下面我们分析两种典型情况 考虑到电容元件是频率的函数, 两种典型情况分析如下 : (1) 当 f 时, XC 0, UC 0, 此时电容可视为短路, 即电容元件对高频率电流相当于短路 电子线路中常用电容元件作旁路高频电路元件使用 ; () 当 f =0 时 ( 直流 ), X, I 0, 此时电容可视为断路, 即电容在稳态的直流 C C

38 第 3 章单相正弦交流电 57 电路中相当于断路 因此电容元件具有隔直流通交流的作用 例 3 11 C =140 μf 的电容器接在电压为 0 V 频率为 50 Hz 的交流电路中, 求 : (1) 电流 I 的有效值 ;() 容抗 X C 的值 解 : 电流的有效值为 6 I = Uω C = ( A) 电容器的容抗为 X = C.75 ωc = ( Ω ) 3.6. 电容元件的功率 1. 瞬时功率 p C 当电压 电流的参考方向相关联时, 电容 C 吸收的瞬时功率 ( 设 ϕ u = 0 ) 为 p () t = u () t i () t = U sinωt I sin( ωt + 90) = U I sinωt C C C C C C C 图 3 8 画出了瞬时功率随时间的变化规律 瞬时功率是一个正弦量, 其最大值为 UCI C, 频率为电流或电压频率的两倍, 当 p C > 0 时, 电容元件将吸收的能量储存在电场中, 相当于负载 ; 当 p C < 0 时, 电容元件将电场能转变成电能释放, 相当于电源 图 3 8 电容元件的瞬时功率. 平均功率 ( 又称有功功率 )P C 在正弦稳态的情况下, 电容元件的平均功率为 1 T 1 T PC = p ()d sin 0 0 C t t U 0 CIC ω t T = = T

39 58 电工技术 电容的有功功率为零, 说明电容元件不消耗能量, 只与电源之间进行能量交换, 将能量不停地吸收与释放, 是一储能元件 3. 无功功率 Q C 无功功率表示电感与电源之间进行能量交换规模的量 在正弦稳态的情况下, 电容元件的无功功率为 U QC = UCIC = I XC = (3 0) X C 由上式可以看出, 电容元件吸收的无功功率等于瞬时功率的最大值, 也就是电场与外电路交换能量的最大速率 Q C 的单位也用 var( 乏 ) 表示 电容元件中储存的电场能量在电压与电流关联参考方向下, 电感元件吸收的功率为 duc pc = ucic = ucc d t 在 dt 时间内, 电容元件电场中的能量增加量为 dwc = pcdt = CuCduC 电压为 0 时, 电荷也为 0, 即无电场能量 当电压由 0 增大到 u 时, 电容元件储存的电场能量为 i 1 WC = Cu d 0 C uc = CuC 由上式可以看出, 磁场能量只与电压的最终值有关, 而与电压建立的过程无关 例 3 1 有一个 C = 10 µf 的工业用电容器, 两极之间的电压为 ut ( ) = sin100πt V, 试求 : (1) 电容电流和无功功率 ; () 吸收能量的最大值 解 : (1) 电压的向量为 : U C = V 1 1 电容元件的容抗为 X C = = = Ω 6 ω C 100π U 4000 I C = j 0 = j = V X Q C 4 = U I = = ( var) = 50.4( kvar) C C C

40 第 3 章单相正弦交流电 59 () W Cm (4 000 ) = CU 160 J m = = () 3.7 复阻抗 复导纳及其等效变换 复阻抗与复导纳 1. 复阻抗 Z 如图 3 9 所示是一个含线性电阻 电 感和电容元件, 但不含独立电源的二端网络 N 0, 当它在角频率为 ω 的正弦电压 ( 或正弦 电流 ) 激励下处于稳定状态时, 端口的电流 ( 或电压 ) 将是同频率的正弦量 因此定义 端口电压相量 U 与电流相量 İ 的比值为该 端口的复数阻抗 ( 简称复阻抗 ), 用 Z 表示, 图形符号如图 3 8 所示 图 3 9 无源二端网络 根据定义得 : U U ϕ u U Z = = = ϕ u ϕi = Z I I ϕ i I ϕ z (3 1) 所以 : Z = Z (cosϕz + jsin ϕz) = R+ jx 式中, R = Z cosϕ z 称为交流电阻, 简称电阻, X = Z cosϕ z 称为交流电抗, 简称电抗 ; Z U = 为复阻抗的模, 即端口电压有效值与电流有效值 ; ϕ z = ϕ u ϕ i 为阻抗角, 即电压与电 I 流的相位差 复数形式的欧姆定律为 U I = Z (3 ). 复导纳 Y 复导纳定义为同一端口上电流相量与电压相量之比, 用 Y 表示 即 I I I Y U ϕ u U ϕ = i U ϕu + ϕi = Y ϕ Y (3 3) 所以 Y = Y (cosϕy + jsin ϕy) = G+ jb 式中, G = Y cosϕ Y 称为交流电导, 简称电导, Y = Z cosϕ Y 称为交流电纳, 简称电纳 ; 导纳 Y 与电导具有相同的量纲 由以上定义可知, 相同端口的复阻抗与复导纳互为倒数, 即

41 60 电工技术 1 Z = (3 4) Y 3.7. 单个元件的复阻抗与复导纳 (1) 纯电阻 纯电感和纯电容元件的复阻抗分别是 : ZR = R (3 5 1) Z = jω (3 5 ) 1 1 Z C j jωc ωc (3 5 3) () 纯电阻 纯电感和纯电容元件的复导纳分别是 : 1 Y R = R (3 6 1) 1 1 Y j jω ω (3 6 ) YC = jωc (3 6 3) 阻抗 Z 与导纳 Y 的等效变换 (1) 对于 RC 串联电路, 其等效阻抗为 : Z = R+ j( X XC) = R+ jx 所以等效导纳为 : 1 1 j Y = = = X = R j Z R+ j X ( R+ j X)( R j X) R + X R + X = G+ jb (3 7) 式中, G R X = 称为等效电导 ; B = 称为等效电纳 R X + R + X () 如果已知某二端网络等效电纳 Y = G+ jb, 则等效阻抗为 : 1 1 G j Z = = = B = G j B = R+ jx Y G+ j B ( G+ j B)( G j B) G + B G + B (3 8) 式中, R G B = 称为等效电阻 X = 称为等效电抗 G B + G + B 复阻抗 ( 复导纳 ) 的串联与并联正弦交流电路中的复数阻抗 Z 与直流电路中的电阻 R 是相对应的, 因而直流电路中电阻的串并联公式同样可以扩展到交流电路中, 用于复阻抗的串并联计算 1. 复阻抗的串联由 n 个阻抗串联组成的电路, 其等效阻抗为

42 第 3 章单相正弦交流电 61 Z = Z1 + Z + + Zn 各个阻抗的电压分配与阻抗成正比, 表达式为 Zk U k = U, k = 1,, n (3 9) Z 式中,U 为串联电路的总电压, U k 为第 k 个阻抗 Z k 上的电压 上式为串联电路分压公式的相量形式. 复阻抗的并联对于由 n 个导纳并联组成的电路, 其等效导纳为 Y = Y1 + Y + + Yn 各个导纳的电流分配与导纳成正比, 表达式为 Yk I k = Ik, = 1,, n (3 30) Y 式中, İ 为并联电路的总电流, İ k 为第 k 个导纳 Y k 上的电流 上式为并联电路分流公式的向量形式 必须注意, 上列各式是复数运算, 而不是实数运算 因此在一般情况下 : 当阻抗串联时, Z Z1 + Z + + Zn 当阻抗并联时, Y Y1 + Y + + Yn 例 3 13 有一 RC 串联电路, 其中 R =5 Ω, = 0.01 H,C = 400 μf,f = 50 Hz, 试求构成其串联 并联等效电路的元件 解 : 串联等效电路的阻抗为 1 1 Z = R+ j ω = 5 + j π (5 j4.8) 6 = Ω ω C π 因为电抗为负值, 电路表现为电容性, 其等效电路是由电阻与电容串联构成, 电阻为 R =5 Ω, 电容为 1 1 C = = F= 661μF ω X C π 并联等效电路的导纳为 : Y = Z = 5 j4.8 = 6.95 = 44 = ( j0.1)s 44 因为电纳为正值, 电路表现为电容性, 其等效电路是由电导和电容并联构成, 电导为 G = 0.104S 电容为

43 6 电工技术 = 1 S Z1 + Z = B C Z I I C = = F = 318 μf ω π 50 注意 : 以上的等效条件只在 f = 50 Hz 才是正确的 例 3 14 如图 3 10 所示, 已知 I S = A, R 1 =8 Ω,R =6 Ω,X =4 Ω,X C =4 Ω, 求 İ 解 : 图中两个并联的阻抗分别为 Z1 = jx C = j4 Ω Z = R + j X = (6 + j4) Ω 根据并联电路分流公式, 可得 j4 = 33.3 j j4 30 A 3.8 正弦稳态电路中的功率与功率因数的提高 正弦稳态电路的功率 1. 瞬时功率 p 无源二端网络的端口电压和端口电流的关联参考方向如图 3 11 所示, 设端口电压 电流的瞬时表达式分别为 : 令 u 图 3 10 ut () = Usin( ω t+ ϕ ) it () = Isin( ω t+ ϕ ) ϕ ϕi = ϕ, 为了简化, 设 ϕ i = 0, 则上式可以写成 ut () = Usin( ω t+ ϕ) it () = Isinω t 式中,ϕ 是关联参考方向下电压超前于电流的相位, 即该无源一端口网络的等效阻抗的阻抗角 根据上式, 则一端口网络吸收的瞬时功率为 p() t = u()() t i t = Usin( ω t + ϕ) Isinω t = UI sin( ωt + ϕ)sinωt i u 图 = UI [cos( ω t + ϕ ωt) cos( ωt + ϕ + ω t)] = UI[cosϕ cos( ω t + ϕ)] (3 31)

44 第 3 章单相正弦交流电 63 式中, 第一项是一个与时间无关的恒定分量 UI cosϕ, 且始终大于零或等于零, 是瞬时功率中有功分量部分 ; 第二项是交流分量 UI cos( ω t + ϕ), 且频率是电源频率的两倍, 是瞬时功率中的无功分量部分, 说明能量在电源和端口电路之间来回交换 其波形如图 3 1 所示, 图中同时画出了电压 电流的波形 由图可以看出, 当 u i 瞬时值同号时,p >0, 一端口网络从外电路吸收功率 ; 当 u i 瞬时值异号时,p <0, 一端口网络向外电路提供功率 瞬时功率有正有负的现象说明在外电路和一端口网络之间存在能量交换, 这种现象是由储能元件造成的 作为储能元件的电感和电容, 只能储存能量而不能消耗能量 电感的磁场能量随电感电流的增减而增减, 电容的电场能量随电容的电压增减而增减 当磁场能量或电场能量减少时, 一个储能元件释放出来的能量可以转移到另一个储能元件中, 也可以消耗于电阻中 如果多余, 则必然送回电源 这就是造成能量由一端口网络反向传输到外电路的现象原因 图 3 1 电压 电流和功率的波形图. 平均功率 ( 又称有功功率 )P 由于一端口网络中一般总有电阻, 而电阻又要消耗功率, 所以一端口网络吸收的瞬时功率虽然有正有负, 但一端口网络吸收的平均功率一般恒大于零 平均功率是瞬时功率在一个周期内的平均值, 又称为有功功率, 即 1 T 1 T P = p()d t t UI[cos cos( t )]dt T = ϕ ω + ϕ 0 T 0 = UI cosϕ = UIλ (3 3) 上式表明, 正弦电流电路中无源一端口网络吸收的有功功率一般并不等于电压与电流有效值的乘积, 它还与电压电流之间的相位差有关 式中 λ = cosϕ 称为一端口网络的功率因数,ϕ 称为功率因数角, 它等于一端口网络的等效阻抗角

45 64 电工技术 若 ϕ = 0, 即 λ = cosϕ = 1, P = UIcosϕ = UI, 一端口网络吸收的有功功率才等于电压与电流的有效值乘积, 这是因为 ϕ = 0 时, 电压与电流同相位, 一端口网络等效于一个电阻 π ϕ =± π 若 ϕ =±, 即 λ = cosϕ = 0, P = UIcosϕ = 0, 一端口网络不吸收有功功率, 这是因为 时, 电压与电流相位正交, 一端口网络等效于一个电抗 当 ϕ = π 时, 一端口网络等 π 效于一个电感, 当 ϕ = 时, 一端口网络等效于一个电容 如果一端口网络仅由 R C 元件组成, 则可以证明, 它吸收的有功功率等于各部分消耗的有功功率的代数和, 这称为有功功率平衡 正弦稳态电路中所说的功率, 均指平均功率亦即有功功率 有功功率是实际做功的功率, 所以用电设备的功率大小都是以所需的有功功率表征的, 如 60 W 的白炽灯,10 kw 的电动机等 在直流电路中, 若测出电压与电流的量值, 那么它们的乘积就是有功功率, 因此在直流电路中一般不用功率表测量功率 但在正弦电流电路中, 即使测出电路中电压与电流的有效值, 它们的乘积还不是有功功率, 因为有功功率还与功率因数有关, 所以在正弦电流电路中需采用功率表测量有功功率 3. 无功功率 Q 工程上我们引入无功功率的概念, 用 Q 表示 其表达式为 Q = UIsinϕ 它与瞬时功率中的无功分量有关, 相对于有功功率而言, 它不是实际做功的功率, 而是反映了二端网络与外部能量交换的最大速率 无功功率是一些电气设备正常工作所必需的指标 无功功率的量纲与有功功率相同, 为了与有功功率区别, 国际单位制 (SI) 中, 单位为乏 (var) 或千乏 (kvar), 乏是无功伏安的意思 对电阻元件 ϕ = 0, sinϕ = 0, Q R = 0 对电感元件 ϕ = 90, sinϕ = 1, Q = U I 对电容元件 ϕ = 90, sinϕ = 1, Q C = U C I C 一般地, 对感性负载有 0 < ϕ 90, 有 Q > 0 对容性负载有 90 <ϕ 0, 有 Q < 0 若一端口网络中既有电感又有电容, 则它们在一端口网络内部先自行交换一部分能量, 其差额再与外电路进行交换, 因而一端口网络由外电路吸收的无功功率 Q 应等于电感吸收的无功功率 Q 与电容吸收的无功功率 Q C 的差, 即 Q = Q Q (3 33) C

46 第 3 章单相正弦交流电 65 式中, Q 和 Q C 总是正的, 而 Q 为一代数量, 可正可负 可以证明, 一端口网络吸收的无功功率等于各部分消耗的无功功率的代数和, 这称为无功功率平衡 无功功率对供 用电产生一定的不良影响, 主要表现在 : (1) 降低发电机有功功率的输出 () 降低输 变电设备的供电能力 (3) 造成线路电压损失增大和电能损耗的增加 (4) 造成低功率因数运行和电压下降, 使电气设备容量得不到充分发挥 在实际应用中, 为了减小电源供给的无功功率, 可以在感性的一端口网络中增加电容元件 4. 视在功率 S 电力设备的容量是由其额定电流与额度电压的乘积决定的, 因此定义二端网络电流的有效值与电压有效值的乘积为该网络的视在功率, 用 S 表示, 即 S = UI (3 34) 视在功率 S = UI 与参考方向无关, 由于 U I 是有效值, 均为正值, 故 S 恒为正值 视在功率一般不等于平均功率, 但视在功率表征了电气设备的容量 设备的供电容量是以额定视在功率表示的, 这是视在功率的实际应用之一 如 100 kv A 的发电机,50 kv A 的变压器等 视在功率的量纲与有功功率相同, 为了与有功功率区别, 国际单位制 (SI) 中, 单位为伏安 (V A) 或千伏安 (kv A) 5. 功率三角形有功功率 无功功率和视在功率的关系为 P = UIcosϕ Q = UIsinϕ S = UI = P + Q 可见,P Q S 可以构成一个直角三角形, 称之为功率三角形, 如图 3 13 所示 由功率三角形可得出下列关系式 Q P tanϕ =, cosϕ = = λ P S Q = Ptanϕ, P = Scosϕ = λs 图 3 13 功率三角形前面曾讲过 电压三角形 和 阻抗三角形, 这里又介绍了 功率三角形 在同一电路中, 阻抗三角形的各边乘以 I 可以得到电压三角形, 将电压三角形的各边再乘以 I 就得到

47 66 电工技术 功率三角形, 它们是三个相似三角形 注意 : 电压三角形是相量图, 各边为电压相量, 应标以箭头 而阻抗三角形和功率三角形各边不是相量, 不应标箭头 例 3 15 电路的相量模型如图 3 14 所示, 已知 R =10Ω, X = X C =10Ω,U =8. 45 V 求整个电路的平均功率 P, 无功功率 Q, 视在功率 S 图 3 14 例 3 10 的相量模型图解 :(1) 第一条支路 Z1 = R+ jx = 10+ j10= Ω U 8. I 1 = 45 = = 0 A Z P1 = UI1 cosϕ1 = 8. cos 45 = 40( W) Q1 = UI1sinϕ1 = 8. sin 45 = 40( var) () 第二条支路 Z = jx C = j10ω U I = = =.8 A 135 A Z j10 P = UIcosϕ = 8..8 cos( 90) = 0 Q = UIsinϕ = 8..8 sin( 90) = 80( var) 由以上计算可得 : 整个电路的平均功率为 P = P1 + P = = 40( W) 整个电路的无功功率 Q = Q1 + Q = = 40( var) 整个电路的视在功率 S = P + Q = 40 + ( 40) = 56.6( V i A) 3.8. 最大功率传递原理在测量 电子和信息工程的电子设备设计中, 常常遇到电阻负载如何从电路获得最大功率的问题 这类问题可以抽象为图 3 15(a) 所示的电路模型来分析 网络 N 表示供给电阻负载能量的含源线性电阻单口网络, 它可用戴维宁等效电路来代替, 如图 3 15(b) 所示 电阻 R 表示获得能量的负载 此处要讨论的问题是电阻 R 为何值时, 可以从单口网络获得最大功率 写出负载 R 吸收功率的表达式 图 3 15

48 第 3 章单相正弦交流电 67 欲求 p 的最大值, 应满足 dp 0 R =, 即 d Ru 0c ( R0 + R ) p = R i = dp u0c Ru0c ( R0 R) u0c = + = = d R ( R0 + R) ( R0 + R) ( R0 + R) 由此式求得 p 为极大值或极小值的条件是 R = R (3-35) 0 最大功率传输定理 : 含源线性电阻单口网络 (R 0 >0) 向可变电阻负载 R 传输最大功率的条件是 : 负载电阻 R 与单口网络的输出电阻 R 0 相等 满足 R0 = R 条件时, 称为最大功率匹配, 此时负载电阻 R 获得的最大功率为 u0c pmax = (3 36) 4R0 满足最大功率匹配条件 ( R 0 = R ) 时,R 0 吸收功率与 R 吸收功率相等, 对电压源 u 0c 而言, 功率传输效率为 η = 50% 对单口网络 N 中的独立源而言, 效率可能更低 电力系统要求尽可能提高效率, 以便更充分的利用能源, 不能采用功率匹配条件 但是在测量 电子与信息工程应用中, 常常着眼于从微弱信号中获得最大功率, 而不看重效率的高低 例 3 16 电路如图 3 16(a) 所示 试求 :(1)R 为何值时获得最大功率 ; ()R 获得的最大功率 ;(3)10 V 电压源的功率传输效率 图 3 16 例 3 16 电路图解 : (l) 断开负载 R, 求得单口网络 N 1 的戴维宁等效电路参数为 : u 0 c = 10 V = 5 V + R0 = Ω= 1 Ω + 如图 3 16(b) 所示, 由此可知当 R0 = R = 1 Ω 时可获得最大功率 () 由式 (3 5) 求得 R 获得的最大功率 : u0c 5 pmax = = = 6.5( W) 4R0 4 1 (3) 先计算 10 V 电压源发出的功率 当 R = 1 Ω 时 :

49 68 电工技术 i u 5 = 0c R0 + R = = u.5( A) = R i = 1.5 =.5( V).5 i = i1 + i = +.5 = 3.75( A) p = = 37.5( W) 10 V 电压源发出 37.5 W 功率, 电阻 R 吸收功率 6.5 W, 其功率传输效率为 6.5 η = 16.7% 功率因数的提高 1. 提高功率因数的意义 (1) 提高电源设备的利用率 当电源容量一定时, 功率因数 cosϕ 越高, 其输出的功率 P = UIcosϕ 越大 因此为了充分利用电源设备的容量, 应该设法提高负载网络的功率因数 例如, 有一台容量 S N =1 000 kv A 的变压器给有功功率 P = 600 kw 的负载供电, 当这 P 600 个负载的功率因数 cosϕ = 0.6 时, 它所需的视在功率 S = = = kv A, 此时变 cosϕ 0.6 压器处于满负荷运行 当功率因数提高到 cosϕ = 0.8 时, 则同样这个负载所需的视在功率 P 600 S = = = 750 kv A, 此时变压器还有 50 kv A 的富余容量, 可供给其他负载使用 cosϕ 0.8 P 600 反之, 当负载功率因数只有 cosϕ = 0.5 时, 所需的视在功率达到 S = = = 100 kv A, cosϕ 0.5 超过了变压器的额定值, 将无法正常运行 () 降低线路损耗 P 另外, 提高功率因数可减少输电线路电压降的功率损耗 因 I = 在 P U 一定时, U cosϕ 功率因数 cosϕ 越高, 供电电流 I 越小 由于输电线路均具有一定的阻抗, 因此在电流减小的 情况下, 线路上的电压降 ( Δ U = I Z0 ) 和功率损耗 ( Δ P = I R 0 ) 相应减小, Z 0 和 R 0 分别为输电线上的阻抗和电阻 线路上压降的下降也易于维持负载的额定电压 U 不变, 从而使供电质量提高 同时, 变压器输出功率降低, 使供电效率得到提高 (3) 提高供电质量 线路损耗减少, 可以使负载电压与电源电压更接近, 电压调整率更高 (4) 节约用铜

50 第 3 章单相正弦交流电 69 在线路损耗一定时, 提高功率因数可以使输电线上的电流减小, 从而可以减小导线的截面, 节约铜材. 提高功率因数的主要方法如前所述, 功率因数低的原因主要是感性负载的存在, 就工业企业用电来说, 工厂里大量使用异步电动机, 电感量较大, 占用的无功功率大 虽然无功功率没有消耗掉, 但这部分功率无法供给其他用户使用, 因此对无功功率的占用量应有一定的限制 也就是说提高功率因数是必须的 另外, 可以将感性负载并连接入电容器, 用容性电流来补偿 ( 或抵消 ) 感性电流, 以达到提高功率因数的目的 如图 3 17 所示, 某感性负载 Z 接在电压为 U 的电源上, 并联电容器之前, 其有功功率为 P, 电路中的电流 I = I 1 滞后于电源电压 U 的相位角 ϕ ( 负载的阻抗 1 角 ), 功率因数为 cosϕ 1 ; 并联电容 C 后, 有功功率仍为 P, 在电源电压 U 不变的情况下 ( 若线路阻抗不计 ) 不会影响负载电流 İ 1 的大小和相位, 但电源供给的总电路电流 İ 将由 İ 1 变成 I = I + I 1 C 图 3 17 感性负载并联电容 由图 3 17 向量图可以清楚地看出, 并联电容后的总电流 İ 与电源电压 U 之间的相位差角 ϕ 比原来 ϕ 1 减小了, cosϕ > cosϕ1, 功率因数将提高到 cosϕ, 即功率因数提高了 P 由理论推导, 可得出提高功率因数到某一数值时所需并联的电容为 C = (tanϕ 1 tan ϕ) U ω 式中,P 为负载所需的有功功率 通过以上分析可知, 提高功率因数就是减小功率因数角 ϕ, 也就意味着减小电路的无功功率 Q 由于无功功率等于感性无功与容性无功( 为负值 ) 之和, Q = Q + QC, 因此, 对感性负载应接入电容元件, 对容性负载应接入电感元件