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乃忱邹
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1 第五章电容元件与电感元件梁梁福田 8..5

2 前情提要集总电路路 : 由电阻电容电感等集总参数元件组成的电路路电阻电路路动态电路路电阻 / 电导, 欧姆定律律,VR, 无记忆特性两类约束 : 拓拓扑约束 K KV, 元件约束 VR 网孔分析, 节点分析戴维南诺顿等效!

3 动态元件实际电路路不不能只用电阻元件和电源元件来构成模型, 还包含电容元件和电感元件电压电流关系都涉及对电流电压的微分或积分, 称为动态元件 () 在电路路中常常需要接入电容和电感器器件例例如滤波, 必须利利用动态元件才能实现这一功能 () 当信号变化很快时, 一些实际器器件已不不能再用电阻模型来表示, 必须考虑到磁场变化及电场变化的现象, 在模型中需要增添电感电容等动态元件至少包含一个动态元件的电路路称为动态电路路基尔霍夫定律律施加于电路路的约束关系只取决于电路路的连接方式, 与构成电路路的元件性质无关!3

4 5- 电容元件把两块金金属极板用介质隔开就可构成一个简单的电容器器理理想介质是不不导电的, 在外电源作用下, 两块极板上能分别存储等量量的异性电荷外电源撤走后, 电荷依靠电场力力的作用互相吸引, 由于介质绝缘不不能中和, 极板上的电荷能长久地存储下去因此, 电容器器是一种能存储电荷的器器件定义 : 一个二端元件, 如果在任一时刻, 它的电荷 q() 同它的端电压 () 之间的关系可以用 -q 平面上的一条曲线来确定, 则此二端元件称为电容元件!4

5 电容的 -q 关系在某一时刻,q() 和 () 所取的值分别称为电荷和电压在该时刻的瞬时值电容元件的电荷瞬时值和电压瞬时值之间存在着一种代数关系如果 -q 平面上的特性曲线是一条通过原点的直线, 且不不随时间而变, 则此电容元件称之为线性时不不变电容元件在国际单位制中, 的单位为法拉 q() 与 () 为关联参考方向 ( ) ( ) q 式中为正值常数, 用来度量特性曲线斜率!5

6 5- 电容的 VR 设电流 () 的参考方向箭头指向标注 q() 的极板, 这就意味着当 () 为正值时, 正电荷向这一极板聚集, 因而电荷 q() 的变化率为正于是, 有 q ( ) ( ) ( ) ( ) dq d d d d d 如和的参考方向不一致, 则 ( ) d d!6

7 电容电压表示为电流的函数把电容的电压表示为电流的函数, 则 ( ) ( ) d 如果只需了了解在某一初始时刻以后电容电压的情况, 则 ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d d!7

8 例例 5- 电容与电压源相接 (a), 电压源电压随时间按三角波方式变化如图 (b), 求电容电流解从.5ms 到.75ms 期间, 电压由 V 线性下降到 -V, 其变化率为 d d.5 d d A!8

9 解答从.75ms 到.5ms 期间 d d 4.5 d d A!9

10 例例 5- 设电容与一电流源相接, 电流波形如图 (b) 中所示, 试求电容电压设 () 解先写出 () 的函数式, 对三角波可分段写为 : (.5 ) 3 ( ) s s s 3.5 s 3 s!

11 解答在期间 3.5 s 6 9 d 4 d ( ) ( ) ( ) 当.5ms 时,5V 在 s 期间.5 ( ) ( 3.5 ) ( ) 此为一开口向下的抛物线方程, 其顶点在.5ms 5V 处当.75ms 时, 电压下降到 5V 3 ( 4 ) 9 3 d d!

12 解答在 s 期间 ( ) ( ) 3.75 ( ) ( 4 4) 此为一开口向上的抛物线方程, 其顶点在 l ms, 处 d d!

13 5-3 电容电压的连续和记忆性质电容电压的连续性质可陈述如下 : 若电容电流 () 在闭区间 [ a, b ] 内为有界的, 则电容电压 () 在开区间 ( a, b ) 内为连续的特别是, 对任何时刻, 且 a < < b ( ) ( ) 即电容电压不不能跃变, 在动态电路路分析问题中常常用到这一结论!3

14 证明在区间上每一点都连续的函数, 称为在该区间的连续函数任取一点, 以和 d 分别作为积分的上下限, 且 a < < b 和 a < d b, 则 d ( d) ( ) ( ) d ( d) ( ) ( )d 由于 () 在 [ a, b ] 内为有界的, 对所有在 [ a, b ] 内的, 必存在一个有限常数 M, 使 () <M 在曲线 () 下由轴和上下限所界定的图形的面积最大为 Md, 当 d 时, 该面积也将趋于零, 根据上式, 这就意味着当 d 时, c (d) c (), 亦即在处, 是连续的 d!4

15 电容电压的记忆性质 ( ) ( ) d ( ) ( ) d 上式为电容电压记忆性质的关系式利利用初始电压 ( ) 对 < 时电流的记忆作用, 在不不需考虑 < 时电流的具体情况下, 即能解决时的电容电压 () 的问题在含电容的动态电路路分析问题中, 这是一个十分重要的概念, 因而电容的初始电压是一个必须具备的条件!5

16 电容初始电压的等效电路路设电容的初始电压 ( ) U ( ) ( ) ( ) U d ( ) 即 : 对已被充电的电容, 若已知, U, 则在 > 时, 可等 ( ) 效为一个未充电的电容与电压源相串联的电路, 电压源的电压值即为时电容两端的电压 U 电压 U 称为电容电压的初始状态!6

17 例例 5-3 已知 4F,() 波形如图所示 () 试求电容电压 () ; () 求 () () (-.5); (3) 试作出 > 时该电容的等效电路!7

18 !8 解答解 : () 求电容电压 () ; ( ) d d d d d d d

19 解答 () 求 () () (-.5) ( ) ( ).5V d.5v.5.5 (.5) d d.5v 3 (3) 作出 > 时该电容的等效电路 ( ) ( ) 3A ( ) 3d.75 4 ( ).5 ( ).5.75!9

20 解答!

21 ! 5-4 电容的储能电容在某一时刻的储能只与该时刻的电压有关, 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ], d d d d d d p w ( ) w 在到期间所供给的能量可表为

22 5-5 电感元件电感元件的定义 : 一个二端元件, 在任一时刻, 它的电流 () 同它的磁链 ψ() 之间的关系可以用 -ψ() 平面上的一条曲线来确定, 则此二端元件称为电感元件电感元件的电流瞬时值与磁链瞬时值之间存在一种代数关系 ψ ( ) ( )!

23 5-6 电感的 VR 根据电磁感应定律律感应电压等于磁链的变化率当电压的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋法则时, 可得 d d ψ ψ ( ) ( ) ( ) d d d d d ψ ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d d!3

24 注意在电磁学中, 感应电动势与磁链的关系表为 : e dψ d d d 因此, 和感应电动试 e 差一个负号电磁学中,e 参考方向的规定与相反, 是因为 e 与的参考方向应一致, 不不这样规定, 便便不不能反映楞次定律律由于 e 是指电压升, 它的参考方向是指由 - 到的方向, 故 e 与参考方向一致时, 其参考极性如右上图所示!4

25 5-7 电感电流的连续和记忆性质电感电流的连续性质可陈述如下 : 若电感电压 () 在闭区间 [ a, b ] 内为有界的, 则电感电流 () 在区间 ( a, b ) 内为连续的特别是, 对任何时间, 且 a < < b ( ) ( ) 即 : 电感电流不不能跃变, 在动态电路路的分析问题时常常用到这个结论!5

26 等效电路路设电感的初始电流为 ( )I, 则 ( ) ( ) d I ( ) 在 > 时可等效为一个初始电流为零的电感与电流源的并联电路路, 电流源的电流值即为时电感的电流 I!6

27 5-8 电感的储能电感的功率为 : ( ) ( ) ( ) p 在到期间所供给的能量可表为 w (, ) ( ) ( ) d d d ( ) ( ) ( ) d ( ) [ ] 此即为在至期间电感贮能的改变量由此可知, 电感的贮能公式应为 ( ) ( ) w!7

28 例例已知时电感电压为 e - V, 且知在某一时刻, 电压为.4V 试问在这一时刻: () 电流的变化率是多少? () 电感的磁链是多少? (3) 电感的贮能是多少? (4) 从电感的磁场放出能量的速率是多少? (5) 在电阻中消耗能量的速率是多少?!8

29 !9 解答令 -, -e - V (), 表示处始时刻电感有贮能, 这一贮能使电路在没有电源的情况下仍有电流电压 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R e e e d e d A R e R ' '

30 解答 () 电流变化率 : 在时 ', 即, 故得此时电流变化率为 () 磁链 : Ψ d d. 4V ( ) de d e e.4 d.4a / s d ( ) ( ) e e. Wb 4!3

31 解答 (3) 贮能 : (4) 磁场能量的变化率, 即功率为 dw d dw d d d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e (.4).6W 此时功率为负值, 说明电感放出能量这个能量为电阻所消耗 d d ( ) e de d e!3

32 解答 (5) 电阻消耗能量的速率, 即电阻消耗的功率为 ( ) ( ) R e (.4). W pr 6!3

33 5-9 电容与电感的对偶性如果将电容与电感的 VR 加以比较, 就会发现, 把电容 VR 中的换, 换以, 换以就可得到电感的 VR; 反之, 通过类似的变换, 也可由后者得到前者因此, 电容与电感是一对对偶量量!33

34 状态变量量在动态电路路的各个电压电流变量量中, 电容电压 () 和电感电流 () 占有特殊重要的地位, 它们称为电路路的状态变量量在电路路及系统理理论中, 状态变量量是指一组最少的变量量, 若已知它们在时的数值, 连同所有在时的输入就能确定在时电路路中的任何电路路变量量 ( ) 和 ( ) 称为电容电压和电感电流的初始状态!34

35 5- 非线性电容非线性电容不能用单一的电容值来表征, 而应该用 -q 平面上的一条曲线来表征 q ( ) ( ) ( ) ( ) dq d df d df d 称为该电容元件的增量电容 f d d d d!35

36 例例若非线性电容的 -q 关系为施于电容两端的电压为 q sn 求流过电容的电流, 设参考方向一致解由于 ( ) q f ( ) df d 3 3 ( ) ( ) 6 6 dq df ( ) d d ( ) ( ) ( ) d d d d 6 ( sn ) cos A 6 cos!36

37 5- 非线性电感非线性电感不能用单一的电感值来表征, 而应该用 -ψ 平面上的一条曲线来表征 ( ) ψ f dψ d dψ ( ) d dψ d d d df d ( ) d d 称为该电感元件的增量电感!37

38 例例非线性电感 -ψ 关系为若流过电感的电流为求电感电压 ψ sn ( ) sn 解电感电压为 ψ ( ) f ( ) sn dψ cos d cos d d ( sn ) ( ) [ cos( sn ) ] cos!38

39 电容器器的模型电容器器可以用电容元件作为模型, 图 (a) 是电容器器模型电容器器消耗的能量量不不容忽略略, 这些能量量损失并不不全是因漏漏电流造成的, 还包括介质处于反复极化时所消耗的能量量在模型中增添一个并联电导 G 来计及这部分能量量损失, 如图 (b) 当电容器器两端电压的变化率很高时, 电流产生的磁场不不容忽视, 在模型中增添电感元件, 如图 (c)!39

40 电感器器的模型把一个电感线圈看成是一个电感元件, 用 (a) 所示的模型来表示, 一般来说, 准确性是比较差的电感线圈不不仅存贮能量量也消耗能量量消耗的能量量是由绕制线圈所用导线的电阻引起的常用一个与电感串串联的电阻 R 来表示, 如图 (b) 所示线圈的匝与匝之间还有电容存在, 当施加于线圈的电压变化率很高时, 电容的作用就不不能忽略略在模型中用一个跨接于线圈两端的电容来近似地表明这个情况, 如图 (c) 所示!4

41 !4 电容串串联设 n 个电容元件串联, 如图 (a), 各电容的初始电压为 () () n (), 设流过各电容的电流为, 各电容电压为, n 与电流为关联参考方向, 两端电压为, 则 n... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n d d d d

42 电容串串联等效电路路等效电路电容 s 的倒数为各串联电容倒数的总和等效电路电容的初始电压 () 为各串联电容初始值的代数和 S... ( ) ( ) ( )... ( ) n n!4

43 电容并联根据 K 和电容的 VR 式联的等效电容为 d d 不难得出 n 个电容并 s p d d... (... ) (... ) n d d... n n d d n d d!43

44 !44 串串联电感串联电感 s 的等效电感为各个电感的总和 ( ) n S n n n d d d d d d d d

45 !45 电感并联对并联电感电路, 若并联电感为 n, 电流分别为 n, 总电流为, 则由 K 得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n p P n n n d d d d

46 习题若 () 波形如图中所示, 求所需要电源的电流波形解设电压电流参考方向如图电源的电流等于电感电流与电阻电流之和先求出电阻电流波形, 再与电感电流波形叠加, 即可得电源的电流波形电阻的电流 R 与电阻两端的电压成正比, 电阻和电感是同一个电压, 电感电压与电感电流的斜率成正比, 因此, 由电感电流 () 的波形即可求出电阻电流的波形!46

47 解答按时间分段求在 -4 -s 期间, 电流斜率为 -/3 d V d 3 3 R R A 在 - s 期间, 电流斜率为,V, R 4A 在 7s 期间, 电流斜率为 -/3,-/3V, R -4/3A 在 7 9s 期间, 电流斜率为,V, R 4A!47

48 解答 ( 电流波形 ) 电感电流波形电阻电流波形电流源电流波形!48

49 作业第四 ( 五 ) 版 : 习题五,3,6,8, 请预习第六章课件地址 : hp://saff.sc.ed.cn/~flang/fet_i/!49

第六章.key

第六章.key 第六章一阶电路路梁梁福田 flang@sc.ed.cn 28..2 前情提要电阻电路路动态电路路 K,KV 电阻 / 电导, 欧姆定律律,VR, 无记忆特性电容,VR, 电压连续记忆特性电感,VR, 电流连续记忆特性网孔分析, 节点分析分解方法叠加原理理各种等效!2 一阶电路路在动态电路路中, 两类约束依旧适用 : 拓拓扑约束 :K,KV 元件约束 :VR( 电阻电容