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匹涓欢计
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1 第二章网孔分析和节点分析梁梁福田

2 前情提要集总电路路关联参考方向网孔节点 KCL KVL 欧姆定律律电流源电压源受控源分压分流两类约束,b 法,b 法!

3 () 设电路路的节点数为, 则独立的 KCL 方程为 (-) 个, 且为任意的 (-) () 对于一个包含 b 条支路路平面电路路有 [b-(-)] 个网孔, 所列列的 [b-(-)] 个网孔的 KVL 方程是独立的 : 节点数, -: 独立 KCL 方程 b: 支路路数 b-(-): 网孔数独立 KVL 方程!

4 - 网孔分析 ( 法 ) 在个节点的电路路中, b 个支路路电流是用 (-) 个 KCL 方程联系的, 因而, 给定 [b-(-)] 个电流即能确定余下的 (-) 个电流第一步求解的对象必须为 [b-(-)] 个独立电流变量量第二步用 KCL 解决 (-) 个电流, 使问题得到完全解决使用网孔电流可以得到一组完备的独立电流变量量!

5 网孔电流一个平面电路路共有 [b-(-)] 个网孔, 因而也有 [b-(-)] 个网孔电流网孔电流可作为电路路的一组独立电流变量量电路路中所有的支路路电流都可以用网孔电流线性表示!

6 !6 网孔方程网孔电流不不能用 KCL 相联系, 但能根据 KVL 及支路路 VC 为每一个网孔列列写一个 KVL 方程, 方程中的支路路电压可以通过欧姆定律律用网孔电流来表示整理理得 ( ) ( ) ( )

7 网孔方程一般表达式分别称为网孔网孔和网孔的自电阻它们分别是各自网孔内所有电阻的总和称为网孔与网孔的互电阻是两网孔的共有电阻, 即称为网孔与网孔的互电阻, 它取负值, 即 -, 因为和以相反的方向流过公有电阻其他电阻类推 s s 和 s 分别为网孔网孔网孔中各电压源电压升的代数和!7

8 !8 m 个网孔的电路路网孔方程具有 m 个网孔的电路路, 网孔方程的形式应为 : m mm m m m m m m

9 例例 - 用网孔分析法求解电路的各支路电流已知 Ω 0Ω 0Ω 解该电路有个网孔, 假设每一个网孔内网孔电流为和, 并假定它们都是顺时针方向第一网孔的自电阻 ; Ω 第一和第二网孔的互电阻 : - -0Ω 第二网孔的自电阻 : 0Ω!9

10 解答电源 ( 升压为正, 降压为负 ): 网孔方程为 : 各支路电流 : 0V 0V !0

11 例例 - 含电流源情况试求流经 0Ω 电阻的电流解电路含有电流源, 其支路电流即为电流源的电流值, 因此, 流经 0Ω 电阻的电流等于 A, 按电流源的方向, A 只要列出网孔的方程即可 0 0 0!

12 ! 例例 - 含受控源情况用网孔法求含受控源电路中的 x (r8ω) 解先把受控源当作独立源, 按照规则写出网孔方程, 再把受控源的控制量用网孔电流表示 : X X X r r

13 说明网孔电流不不是支路路电流, 网孔电流在网孔中所有支路路上是一样的在含自电流源的网孔中, 电流源的电流值就是网孔电流, 因此, 可以不不再列列此网孔方程对含有受控源的网孔, 先将受控源看成独立电源带入网孔方程, 再把受控源的控制量量用网孔电流表示!

14 习题 - 电路中, 若 Ω Ω Ω I s 0 I s 8A U s V, 试求各网孔电流解 : 因 I m -I s 为已知, 所以不必列出网控方程 I ( ) I m m I 代入 I m 0 m I I m m I I 7I I m m I m m I m 这个电流源需要假定端电压!

15 - 节点分析 ( 法 ) 在电路路中任选一个节点为参考点, 其余的每一节点到参考点的电压降, 就称为这个节点的节点电压节点电压是一组完备的独立电压变量量一个具有个节点的电路路有 (-) 个节点电压下图所示电路路有个节点, 若选节点为参考节点, 则其余个节点分别对参考节点的电压为和!

16 节点电压电路路中所有支路路电压都可以用节点电压线性表示电路路中的支路路或是接在节点与参考节点之间, 或是接在两节点之间一旦求得了了节点电压, 所有支路路电压就可根据 KVL 随之而定节点电压是完备的!6

17 !7 节点方程组在节点运用 KCL 得 : 由欧姆定律 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0

18 !8 节点方程组一般形式对于只含独立电源和电阻的电路路称为节点的自电导, 其为第节点上所有电导的总和称为节点和节点的互电导, 它是该两节点间的共有电导的负值, 出现负号是由于及都假定为电压降的缘故 s 分别为电流源输送给节点的电流的代数和 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

19 例例 -7 列列出电路路的节点方程解该电路共有个节点, 选其中的一个作为参考节点, 设其余个节点的电压分别为节点节点节点节点 !9

20 例例 -9 含电压源情况试用节点分析法求电路的各电流解电路中共有三个独立节点, 且节点分别与参考节点间接的都是已知的电压源, 故节点电压和是己知的, 其值分别为 V 和 V 仅需对节点列写节点方程 : 7 带入和 0 0!0

21 例例 -0 电源跨接在两个节点的情况选节点为参考点, 使之出现电压源接于节点间的情况在这种情况下, 三个节点电压均属未知, 故必须对这三个节点都列方程, 得 : ( ) ( ) ( ) 0 其中为电压源支路的电流, 注意不要忽略再增加一个方程!

22 ! 例例含受控源情况用节点分析法求 Ω 电阻的功率解 : 选择参考节点及独立节点如右图, 用观察法列出节点分析方程 : 节点节点 U U U U U A A

23 说明由于各节点电压都一律律假定为电压降, 因而各互电导都是负值如果电路路的独立节点数少于网孔数, 和网孔法相比, 节点法联立方程数就少些如果已知的电源是电流源, 则网孔分析法更更为方便便 ; 如果电源为电压源, 则节点分析法较方便便网孔分析法只适用于平面网络, 节点分析法则无此限制, 因此, 节点法更更具有普遍意义把受控电流源暂时看作独立电流源列列出方程, 再设法把受控源的控制量量用节点电压表示!

24 ! 练习题 - 用节点分析法求电路的和解 : 把受控电流源暂时看作独立电流源列出方程 : s 求出 s s s A V 8

25 习题求电路的 U 解 : 这个电路共有个独立节点, 但其中个节点电压为已知量, 若求 U 只需列一个节点方程 U U V !

26 !6 - 电路路的对偶性将网孔电流换以节点电压, 电阻换以电导, 电压源换以电流源, 就可得到节点方程式反之, 也可由后者得到前者节点方程网孔方程 mm m mm m m m m m m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

27 电路路的一些对偶量量串联电阻电路的等效电阻公式分压公式和并联电导电路的等效电导公式分流公式之间也存着这种对等关系式, 作适当的更换, 就可得出另一相对应关系式!7

28 第二章网孔分析和节点分析梁梁福田 08.0.

29 !9 前情提要方程的数量量, 来源, 自 ( 互 ) 电阻 ( 导 ) 电源的处理理对偶性节点方程网孔方程 mm m mm m m m m m m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

30 - 图和树网孔电流节点电压都是电路路的一组完备的独立变量量除此以外, 电路路还有其他的完备独立变量量可供选用由于 KCL 和 KVL 约束关系与构成电路路的元件性质无关, 因此, 在研究这些约束关系时可以直接用一线段来代替电路路中的每一个元件, 这线段称为支路路, 线段的端点称为节点先介绍图 (graph) 和树 (tree) 的概念!0

31 图用一线段来代替电路路中的每一个元件, 该线段称为支路路, 线段的端点称为节点, 得到的几何结构图称为图形或图, 用表示图是一组节点和一组支路路的集合, 支路路只在节点处相交如果对图中的每一支路路规定一个方向, 则所得的图就称为定向图 ( 有向图 ) 如果在图的任意两节点之间至少存在着一条由支路路构成的路路径, 则图称为连通图, 否则, 称为非连通图!

32 树重绘图如下图, 图中支路路用粗线或细线表示在图 (a) (b) 或 (c) 中, 若移去细线所示的支路路, 剩下的图 ( 如粗线所示 ) 中不不存在任何闭合回路路, 但所有节点仍互相连通, 这样的图称为树构成树的各支路路称为树支, 其余的支路路 ( 细线所示 ) 称为连支, 连支的集合称为补树或余树!

33 树的性质前图是图的三种可能的树, 这个图共有 6 种树在选定树后, 一个网络的支路路属于树支或连支这两类对某一图来说, 树是很多的, 但树支的数目是一定的若图的节点数为, 则树支数必为 (-) 可论证如下 : 设, 则图的树只能包含一条支路路因为树支必须连上所有的节点即这两个节点间要有支路路相连, 但又不不允许组成闭合回路路, 因此, 只可能有一条支路路相连如果, 图的节点增为个, 即, 则应增添一条支路路且只能增添一条, 理理由同上因此,, 则树支数为依此类推个节点的图, 其树支数必为 (-) 由于树支数和连支数的总和为支路路数 b, 因此, 连支数为 [b-(- )]!

34 - 割集分析法树支电压是一组完备的独立电压变量量, 有 (-) 个树不不能包含回路路, 因此树支电压不不能用 KVL 相联系树连通所有节点, 因此, 任何两点间的电压都可以用树支电压表示为沿这路路径各树支电压的代数和 (a) 为图,(b) 和 (c) 为树 (b) 中树支电压为,, 支路 a: 支路 d: 支路 e:!

35 基本割集定义 : 若对某些支路路进行行切割, 就会使图形分为两部分, 但只要少切割一条支路路图形仍然连通, 这些支路路的集合叫割集对网络中的任何一个割集, 流过割集支路路的电流代数和为零 (KCL) 包含一条且只包含一条树支的割集, 叫基本割集 (-) 个树支就有 (-) 个基本割集!

36 !6 割集方程根据 (b) 所选的树, 割集的电流方程 (KCL) 为 : 割集 I 割集 II 割集 III 有一条树支, 就会有一个基本割集, 相应的就有一个方程, 选树的树支电压表示各式 : 整理理得 s s s s t t t s t t t t t s t t t ) ( ) ( ) ( ) ( s t t s t t t s t t ) ( ) ( ) (

37 说明割集的参考方向应与该割集中树支的关联参考方向一致割集 I 的树支是, 树支电压为 t, 式中第项为割集 I 所有电导的总和与 t 的乘积第项为割集 I 与割集 II 公共电导的总和与割集 II 的树支 t 的乘积根据两个割集的参考方向选择正负号, 相同为正, 相反为负电流源电流写在方程的右边, 电流方向与割集方向相反时取正!7

38 !8 例例列列出电路路的割集方程, 求出各支路路电流解 : 选 (b) 中粗线为树, 其中包含 V 和 V 电压源, 故只需求解 t 和 t6 割集 II III 的方程为 : t t t t t t t

39 习题试选择一树, 使能用一个方程即能解出 U,U 是多少? 解 : 割据分析法的变量是树支电压, 如果把含已知的电压源支路都选为树支便可减少求解量, 同时把 U l 和.U l 两个支路选为树支, 即可用一个方程解出 U l, 选树如图根据要求列出割集 U 的方程 : U 0.U !9

40 -6 回路路分析法根据树的定义, 树连通所有的节点, 因此, 在连通图中, 若仅切割所有连支, 将会剩下树而不不可能成为两个分离部分割集不不可能只由连支组成, 因而连支电流不不能用 KCL 相联系, 连支电流线性无关, 连支电流是独立电流变量量如果在切割支路路时, 每次都包含一树支, 则这一树支与有关的连支就可构成一个割集, 这个割集称为基本割集, 共 (-) 个, 而对任一割集来说,KCL 是成立的, 这就表明, 割集中唯一的树支电流可以用有关的连支电流线性表示, 因此, 连支电流是完备的!0

41 基本回路路若网络有 b 条支路路个节点, 连支数为 [b-(-)] 在选定树后, 如果每次只接上一条连支, 就可以形成一个闭合回路路这个回路路由一条连支与其他有关的树支组成, 称为基本回路路连支电流在基本回路路中连续流动, 形成一个回路路电流, 称为基本回路路电流基本回路路电流当然是独立电流变量量电路路有 [b-(-)] 条连支, 就会有 [b-(-)] 个基本回路路及基本回路路电流如果对这些基本回路路写 KVL 方程就会得到 [b-(- )] 个方程这些方程必然是独立的, 因为每个方程中都会包含一项不不会出现在其他方程中的连支电压!

42 基本回路路电路路三种可能的树 ( 以粗线表示 ) 及对应的基本回路路箭头表示基本回路路的参考方向这方向与连支的关联参考方向一致对 (a) 所选的树来说, 基本回路路恰好就是网孔!

43 ! 图 (b) 基本回路路的电压方程把三个基本回路路电流用 L L 和 L 表示, 方程的写法与写网孔方程完全类似 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L L L L L L L L L

44 例例电路如图所示, 试求电流解本电路有 6 个节点, 故树支数为, 连支数为在选择树时, 应把三个电压源置于树中, 而使电流源受控电流源以及受控源的控制电流支路均位于连支中, 所得到的树如图 (b) 中所示三个基本回路电流为 A,. 以及, 因此, 实际上只有一个未知电流对所流经的回路列写 KVL 方程, 得 ( ) ( ). 0 9!

45 习题试选一树, 使之只需要一个回路方程即能解出 I,I 是多少? 解 : 因为回路方程的变量是连支电流, 所以尽量把已知电流源选为连支以减少求解量, 再把 I 作为连支, 所得图形下图根据题目要求只列出 I 回路方程 : 0I I A 0.I 0!

46 -7 含运算放大器器的电阻电路路运算放大器器, 简称运放, 是现代电子技术中应用广泛的一种器器件运放的内部结构虽然复杂, 但其端钮上的 VC 却是简单的下图分别是电气图符号模型符号输出 - 输入特性曲线!6

47 线性运放的模型为运放的输入电阻, o 为输出电阻受控源则表明运放的电压放大作用,A 为运放的电压放大倍数 ( 电压增益 ) 和 - 分别为施加同相输入端和反相输入端的输入电压当与 - 同时作用时, 受控源的电压为 : ( ) A D AD 差动电压 dfferetal 当 - 接公共端, 受控源的电压为 A 当接公共端, 受控源的电压为 -A -!7

48 运放的三个参数的典型数据符合理理想值条件的运放称为理理想运放对理理想运放, 由于 A 为无限大, 且输出电压 o 为有限值, 因此, D - - 0, 即 - 不不论是反相端还是同相端接地, 都有 - 0 由于输入电阻为无限大, 因此, 不不论是同相端还是反相端, 输入电流为零, 以和 - 分别表示这两个输入端的电流, 则 - 0 电压虚短, 电流虚断, 虚地!8

49 用节点分析法分析含运放电路路在理理想运放的情况下 : () 在运放的输出端应假设一个节点电压, 但不不必为该节点列列写节点方程 () 在列列写节点方程时, 注意运用 - 及 - 0, 以减少未知量量的数目!9

50 例例 - 比例例器器比例例器器为反相放大器器, 试求图中运放电路路输出 o 与输入 s 的关系解电路有三个独立节点因节点 l 与电压源相接, 毋需列写节点方程, 对节点也不必列写节点方程, 节点的方程为 : ( ) 0 O 0 由于 -, 可知反相端相当于接地!0

51 ! 例例 - 运放电路输入端无一接地, 试求输出电压 o 与输入电压 s 之间的关系解电路共有个独立节点, 节点和的节点方程分别为 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) O 0

52 作业第四版 : 习题二,6,6,0, 或第五版 : 习题二,8,7,, 请预习第四章课件地址 :

网孔分析法在 n 个节点的电路中, b 个支路电流是用 (n ) 个 KCL 方程联系的, 因而给定 [b (n )] 个电流即能确定余下的 (n ) 个电流第一步求解的对象必须为 [b (n )] 个独立电流变量第二步用 KCL 解决的 (n ) 个电流, 使问题得到完全解决使用的网孔电流

网孔分析法在 n 个节点的电路中, b 个支路电流是用 (n ) 个 KCL 方程联系的, 因而给定 [b (n )] 个电流即能确定余下的 (n ) 个电流第一步求解的对象必须为 [b (n )] 个独立电流变量第二步用 KCL 解决的 (n ) 个电流, 使问题得到完全解决使用的网孔电流第二章运用独立电流电压变量的分析方法年 9 月 9 日网孔分析法在 n 个节点的电路中, b 个支路电流是用 (n ) 个 KCL 方程联系的, 因而给定 [b (n )] 个电流即能确定余下的 (n ) 个电流第一步求解的对象必须为 [b (n )] 个独立电流变量第二步用 KCL 解决的 (n ) 个电流, 使问题得到完全解决使用的网孔电流可以得到一组完备的独立电流变量网孔电流