先进制造技术是近几年提得较多,叫得较响的一个专用词语,而且先进制造技术在机械制造业领域中的应用越来越广泛而深入,并取得了很大的成绩

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1 世纪全国高职高专电子电工类规划教材 电路基础 黄盛兰主编智海素张翠明冯海廷副主编宋菲霍丽娟田清华刘树生参编

2 内容简介 本书共有 8 章, 内容分别为电路的基本概念 电路的等效 电阻电路的分析方法 正弦交流电路 三 相正弦交流电路 一阶暂态电路的分析 耦合电感电路和二端口网络 书后附有自测与练习的答案 本书在编写过程中, 将实验实训内容 联系实际的典型例题与基本理论融为一体, 突出知识的应用性 概念力求做到叙述准确 清楚, 编入较多联系实际的例题, 注重正文 例题 思考与分析及自测与练习题之间的密切配合, 并在每章结尾处列出该章的内容小结, 方便学生学习和选用 本书可作为高职高专院校计算机 自动控制类及相关专业的教材, 也可供有关工程技术人员参考 图书在版编目 (P) 数据 电路基础 / 黄盛兰主编. 北京 : 北京大学出版社,006.8 ( 世纪全国高职高专电子电工类规划教材 ) SBN 电. 黄. 电路分析 - 高等学校 : 技术学校 - 教材 V.TM33 中国版本图书馆 P 数据核字 (006) 第 号 书 名 : 电路基础 著作责任者 : 黄盛兰主编 责任编辑 : 温丹丹董超 标准书号 :SBN /TM 0009 出版者 : 北京大学出版社 地址 : 北京市海淀区成府路 05 号 0087 电话 : 邮购部 发行部 编辑部 出版部 网 址 : 电子信箱 :xxjs@pup.pku.edu.cn 印刷者 : 发行者 : 北京大学出版社 经销者 : 新华书店 定 787 毫米 980 毫米 6 开本 3 印张 79 千字 006 年 8 月第 版 006 年 8 月第 次印刷 价 :.00 元 未经许可, 不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容 版权所有, 侵权必究举报电话 : ; 电子信箱 :fd@pup.pku.edu.cn

3 前 言 本教材以工程实践中所用到的电路基本知识 基本技能为主, 本着服务于学生技能培养, 以应用为目的的原则编写 供高职高专院校计算机 自动控制类专业教学使用 本教材包含了电路分析最基本的内容, 涉及电阻电路 正弦稳态电路 一阶动态电路 耦合电感电路和二端口网络 在编写过程中, 力求突出以下特点 : () 打破理论教学与实践教学的隔离, 将实验实训内容 联系实际的典型例题与基本理论融为一体 ; () 电路规律偏重于由实验规律来说明, 如设计基尔霍夫定律实验内容, 由实验结论给出电路的基本规律 ; (3) 精选教材内容, 强调概念, 注重应用, 降低理论难度, 删去了公式推导和理论论证 ; (4) 简化了相量部分的计算, 对学生计算程度的掌握以满足实际需要为原则 ; (5) 每节后有思考与分析, 每章结尾处附有小结, 每章后的自测与练习有三种题型, 内容丰富, 由浅入深, 对学生自学有较强的指导性 参考学时范围为 50~70 学时, 建议能在实验实训室上的内容将讲授与实践一并进行, 同时可根据专业教学需要适当删减内容 参加本教材编写工作的有 : 石家庄职业技术学院智海素 ( 第 6 章 ) 霍利娟 ( 第 章 ) 宋菲 ( 第 3 章 ) 冯海廷 ( 第 4 5 章 ) 张翠明 ( 第 7 8 章 ) 田清华绘制了全书的电路图, 同时编写了第 章的习题, 刘树生编写了第 7 章的习题, 并对第 7 8 章内容提出了宝贵的修改意见 全书由黄盛兰主编, 负责统稿 本书编写过程中, 得到了北京大学出版社温丹丹编辑的热情帮助, 在此表示感谢 限于编者的水平, 错误和不当之处在所难免, 请使用本书的师生和广大读者提出宝贵意见 编者 006 年 4 月

4 第 章电路的基本概念和基本定律 本章主要讲述电压 电流 电功率等电路的基本概念和电路的基本定律 基尔霍夫定律, 该章内容是贯穿全书的基础, 要求学生能根据基尔霍夫定律, 运用设定参考方向的方法列写电压 电流方程 ; 掌握电位的计算方法 ; 能按照电路原理图熟练地进行电路实物连接 ; 能够使用万用表测量电阻 直流电压和直流电流. 电路和电路模型.. 电路 电路是各种电路元件和设备按一定方式连接起来实现某种功能的整体, 通俗地讲, 电路就是提供电流流通的路径 电路按其功能分为两类, 第一类, 进行能量的产生 传输 分配与转换 典型的例子有电力电路, 把机械能或热能等转化为电能, 以满足人们生产及生活需要 第二类电路实现信号的传递 处理及控制 这方面的典型例子有电话电路, 进行声音信号的传递与处理 尽管实际电路种类繁多, 但任何电路总有三个基本组成部分 : 电源 负载和中间环节 以图 -(a) 所示的手电筒电路为例说明三个组成部分及其作用 在图 (a) 中, 电池为提供电能的装置, 也称为电源, 其作用是将干电池的化学能转换为电能 ; 灯泡是用电装置, 称为负载, 它将电源供给的电能转换为光能和热能 ; 除去电源和负载之后电路的其余部分, 如开关 导线, 通称为中间环节, 其作用为进行电能的传输与控制 S S S 图 - 手电筒电路模型

5 电路基础.. 电路模型 实际电路中的电阻器 电容器 电感器 灯泡 晶体管 变压器等各种电气 电子器件统称为电路元件, 这些电路元件几何尺寸有大有小, 结构繁简不一 在电路理论分析中, 通常把工程实际中的各种电路元件用有限的几个理想化的电路元件来表示, 比如, 灯泡 电炉在电路中主要用来消耗电能, 可以理想化为电阻元件 ; 用内电阻和理想电压源串联的组合来代替实际的电池等 常用的理想电路元件有电阻元件 电感元件 电容元件 理想电压源和理想电流源等 由理想电路元件构成的电路称为电路模型 今后本书讨论的电路均为实际电路的电路模型 虽然电路模型与实际电路的性能不完全一致, 但在一定条件下, 在工程允许的近似范围内, 实际电路的分析完全可以用电路模型来代替, 从而简化了分析与计算 思考与分析 什么是电路模型? 常用的理想电路元件有哪些?. 电路的主要物理量 电路分析是在已知电路结构和元件参数的情况下, 求解电路元件的电压 电流和电功率, 有时还涉及到能量 磁通等物理量 在具体求解电路之前, 先介绍电路的主要物理量, 并重点引入电压 电流参考方向的概念.. 电流电荷的定向移动形成电流 电流的大小用电流强度来度量, 其数值等于单位时间内通过导体某一横截面的电荷量 设在 dt 时间内通过导体某一横截面的电荷量为 d q, 则通过该截面的电流强度为 dq i = (-) dt 一般情况下, 电流强度是时间的函数, 会随时间的变化而变化, 如正弦交流电流, 电 dq 流随时间按正弦规律变化 ; 如果电流强度不随时间而变, 即 i = = 常数, 则这种电流称 dt 为恒定 ( 稳恒 ) 电流, 也称为直流电流 在直流电路中, 电流强度可表示为 Q = (-) t 电流强度的单位为安培 (A), 电流数值较小时, 常用毫安 (ma) 或微安 ( μa ) 为单位

6 第 章电路的基本概念和基本定律 A=0 ma, ma=0 μa 工程上电流强度常简称电流, 而电路理论中, 电流一词又表示一种物理现象, 这样 电流 一词便具有双重含义, 有时表示电流的大小, 有时表示电荷的定向移动这种现象, 要注意区分 习惯上, 规定正电荷移动的方向或负电荷移动的反方向为电流的方向, 也叫电流的实际方向 对于简单的电路, 人们很容易判断出电流的实际方向, 如图 - 所示, 流过电阻 5 的电流方向很容易确定, 其方向自上而下 但图 -3 中流过电阻 6 的电流方向就不易进行直观判定了 另外, 交流电路中的电流方向是变化的, 在图中无法标出其任一时刻实际的方向 为此, 在分析与求解电路时引入电流参考方向的概念 S S 5 4 图 - 电路 图 -3 电路 电流的参考方向, 也称正方向, 是为了求解电流而人为引入的方向 电流的参考方向可以任意选定, 在电路中一般用箭头表示 既然任意选定参考方向, 那么参考方向与实际方向之间的关系如何呢? 当电流的参考方向与实际方向一致时, 电流为正值 ( >0 ); 当电流的参考方向与实际方向相反时, 电流为负值 ( <0 ) 由此可见, 在选定的参考方向下, 根据电流的正负, 就可以确定电流的实际方向 如图 -4(a) 和图 -4(b) 所示 图 -4 电流实际方向与参考方向之间的关系 分析电路时, 首先假定电流的参考方向, 并据此进行分析和计算, 最后根据电流的正负值确定电流的实际方向 注意, 参考方向一经确定, 在求解电路的整个过程中就不能再更改 若不加说明, 本书电路图上的电流方向都是指参考方向.. 电压 电路中 a b 两点间的电压 u ab 在数值上等于把单位正电荷从 a 点移到 b 点电场力所做

7 4 电路基础 的功 电场力所做的功计为 w, 则电压为 若是直流电路, 则 u ab ab dw = (-3) dq W = (-4) Q 在国际单位制中, 电压的单位是伏特 (V), 计量小电压时, 则以毫伏 (mv) 或微伏 ( ) 为单位 ; 计量高电压时, 则以千伏 (kv) 为单位 它们之间的关系为 μv kv=0 V, V=0 mv, mv=0 μv 在电子电路和电器设备的调试和检修中, 经常要测量各点的电位 在电路中, 选定某点电位为零, 选定的零电位点也叫零电位参考点 ( 以下简称参考点 ), 则电路中其余各点的电位在数值上等于电场力将单位正电荷从所求点移到参考点所做的功 电位与电压没有实质性区别, 电路中任意一点的点位, 就是该点与参考点的之间的电压 而电路中任意两点之间的电压等于这两点之间的电位差 因此, 电位的测量实质就是电压的测量, 是测量该点与参考点之间的电压 为了区分电压与电位, 本书电压用双下标表示, 电位用单下标表示 如,a b 两点间电压计为电压 ab,a 点的电位计为 a,b 点的电位计为 b, 且有 ab=a- b (-5) 习惯上, 电压的实际方向规定为从高电位点指向低电位点, 即电位降的方向 但在分析电路时, 类似电流的参考方向, 也需要选取电压的参考方向 电压的参考方向可以用箭头 双下标或极性 表示, 本书采用极性表示, 如图 -5 所示 图 -5 电压实际方向与参考方向之间的关系 当电压的参考方向与实际方向一致时, 电压为正 ; 相反时, 电压为负, 如图 -5 所示..3 电功率 介绍电功率之前首先介绍电能的概念 a b 两点间的电压为 u, 在时间 dt 内电荷 dq 受电场力的作用从 a 点移到 b 点, 电场力所做的功为 dw= u d q (-6) 单位时间的电能叫电功率, 则 ab ab

8 第 章电路的基本概念和基本定律 5 dw dq p = uab ab dt = dt =u i (-7) 由能量守恒可知, 在电路中, 负载消耗的功率是由电源提供的, 即负载消耗的功率和电源产生的功率总是相等的, 这就是电路的功率平衡原理 在国际单位制中, 功的单位是焦耳 (J), 功率的单位是瓦特 (W) 比瓦特小的单位有毫瓦 (mw), 比瓦特大的单位有千瓦 (kw) 3 3 kw=0 W, W=0 mw 在电路分析中, 不仅要计算功率的大小, 还需要搞清楚功率的性质, 即电路元件产生或消耗功率情况 在给出功率判断方法之前, 还要先了解关联一致 ( 关联参考方向 ) 的概念 对任一电路元件, 其电流 电压的参考方向原则上可以任意选定, 但为了分析方便起见, 经常按照一致性的原则选取元件上的电压和电流的参考方向, 即电流的参考方向由元件电压参考正极性流向负极性 这样选择的电压和电流的参考方向称为关联一致 ( 关联参考方向 ) 如图 -6 所示, 图 (a) 为关联参考方向, 电流参考方向为经过电阻元件由电压参考正极性指向负极性 ; 图 (b) 为非关联参考方向, 电流参考方向为经过电阻元件由负极性指向正极性 若只给出元件电压 ( 或电流 ) 的参考方向, 则元件电流 ( 或电压 ) 参考方向通常按照关联一致的原则选取 图 -6 关联一致和非关联一致 在电场力的作用下, 正电荷从实际高电位端移到低电位端, 电场力做正功, 元件消耗 ( 吸收 ) 电功率 ; 克服电场力, 正电荷从实际低电位端移到高电位端电场力做负功, 元件产生 ( 发出 ) 电功率 据此可以给出元件消耗或产生功率的 正负 判定法 :() 首先判断元件的电压 电流是否关联一致 ;() 若关联一致, p= ui ; 若非关联一致, p=ui ; (3) 代入数值进行计算, 根据结果 ( 不论关联一致还是非关联一致 ), p > 0 时元件消耗 ( 吸收 ) 功率, p < 0 时元件产生 ( 发出 ) 功率 例 - 求图 -7 中各元件的功率 解在图 -7(a) 中, 电压 电流参考方向关联一致, 故 P = =3 =6 W ( P > 0, 所以元件吸收功率 ) 在图 -7(b) 中, 电压 电流参考方向非关联一致, 故 P = = 3 = 6 W ( P < 0, 所以元件产生功率 )

9 6 电路基础 图 -7 例 - 图在图 -7(c) 中, 电压 电流参考方向关联一致, 故 P = =( 4) = 8 W ( P < 0, 所以元件产生功率 ) 在图 -7(d) 中, 电压 电流参考方向非关联一致, 故 P = = 5 ( )=0 W( P > 0, 所以元件吸收功率 ) 例 - 如图 -8 所示电路中, 已知 = A, 元件 A 吸收功率 8 W, 元件 B 产生功率 6 W, 求元件 A 两端的电压 B 图 -8 例 - 图解元件 A 的电压 电流关联一致, 且吸收功率 8 W, 故 P = = = 8 W = 4V 元件 B 的电压 电流非关联一致, 且产生功率 6 W, 故 P = = = 6 W = 3V 思考与分析. 为什么要对电路中的电流或电压选取参考方向? 同一元件上电流 ( 或电压 ) 参考方

10 第 章电路的基本概念和基本定律 7 向不同的情况下, 电流 ( 或电压 ) 数值有什么关系?. 电源在电路中一定产生功率吗? 3. 在图 -9 所示电路中, 对元件 A 而言, 参考方向是关联的还是非关联的? 对元件 B 而言, 参考方向是关联的还是非关联的? 分别写出元件 A B 的功率表达式 4. 试求图 -0 中各元件的未知电压 电流或功率 图 -9 思考与分析题 3 图 A P=? P=? P = W ma ma 5mV 5mV u =? A P = W P = 0mW P = 0mW i =? i =? u =? 0V 0V 图 -0 思考与分析题 4 图.3 电阻元件 灯泡 电阻炉 电烙铁和实验室常用的普通电阻器和滑动变阻器, 这些器件主要特点是消耗电能, 在电路分析时一般可将其抽象为只具有消耗电能性质的元件 电阻元件 图 -(a) (b) 为电阻元件的符号, 其中 (a) 图为电压电流关联一致,(b) 图为电压电流非关联一致的情况 i i u u u i 图 - 电阻元件的符号与伏安特性

11 8 电路基础 在图 -(a) 中, 电阻元件上电压 电流关联一致, 则 u = i (-8) 在图 -(b) 中, 电阻元件上电压的电压 电流非关联一致, 则 u = i (-9) 式 (-8) (-9) 为电阻元件电压与电流之间的关系表达式, 这也是电阻元件在电路中所遵循的元件约束 通常把元件的电压和电流之间的关系式称为伏安关系 显然, 电阻元件的端电压与流过的电流成正比, 比例系数 称为电阻, 是表示电阻元件特性的参数 列写电阻元件的伏安关系时, 一定要注意判断电压 电流参考方向是否关联一致, 从而写出正确的表达式 电阻的单位为欧姆 ( Ω ), 简称欧, 较大阻值的电阻可用千欧 ( kω ) 或兆欧 (M Ω ) 表示 3 3 kω= 0 Ω MΩ = 0 kω 在电路分析中, 有时也用电导表示电阻元件的性质, 的倒数叫电导, 即 G = 不 难得到电导的伏安关系为 i= Gu( u i 关联一致 ) (-0) i= Gu( u i 非关联一致 ) (-) 电导的单位为西门子, 简称西, 用 S 表示 u i 之间的关系曲线如图 -(c) 所示, 该曲线称为电阻元件的伏安特性曲线, 简称伏安特性, 伏安特性过原点直线的电阻叫作线性电阻 除线性电阻之外, 还有非线性电阻, 如二极管等 本书重点介绍线性电阻 不论在图 -(a) 还是 (b) 中, 电阻元件的功率总可以表示为 u P= i = (-) 显然, P 0, 所以在电路中电阻总是消耗电功率, 为耗能元件 在时间 t 内电阻元件消耗的电能计为 W, 则 W = Pt (-3) 消耗的电能转化为热能, 并散发到周围, 电阻炉就是通过电阻消耗电能, 从而获得热能的装置 对于一个实际电阻器, 使用时均不能超过所标明的功率, 否则会烧坏 各种电器设备在工作时都有一定的使用限额, 这种限额称为额定值 额定值通常标在设备的铭牌上, 或写在 说明书中, 通常在电压 电流和功率三个量中只标出两个, 并用带下标的字母 N 来表示 如灯泡的额定电压 N = 0 V 功率 P N = 00W, 这是告诉使用者, 该灯泡在 0 V 下才能正常工作, 这时消耗的功率为 00 W 通过计算还可求得额定电流为 A 例 -3 一个标有 50 Ω /5W 的电阻元件, 其额定电压为多少? 额定电流为多少?

12 第 章电路的基本概念和基本定律 9 解 由 P = 得 由 P = 得 = P = 5 50 = 7.4V = P/ = 5/50 = 0.8 A 例 -4 一个标有 0 V / 00 W 的白炽灯, 求正常发光时通过灯丝的电流是多少? 灯丝的额定电阻是多少? 若将其接到 0 V 电源上, 其实际消耗的功率为多少? 解由 P =, 得 = P/ = 00 / 0 = A 由 P =, 得 0 = = = 484 Ω P 00 若接到 0 V 的电源上, 实际消耗功率为 0 P = = = 5W 484 当工作电压为额定电压的一半时, 实际消耗的功率为额定功率的四分之一, 白炽灯不能正常发光 可见, 只有负载在额定电压下工作, 才能达到额定功率 若灯泡接到 380 V 的电压上, 灯丝将会被立刻烧断 思考与分析. 在分析电路时, 若计算出某电阻两端的电压小于零, 则该电阻是吸收功率还是产生功率? 如计算出电流小于零, 情况又如何呢?. 一个炭膜电阻, 其阻值为 00 Ω, 额定功率为 0.5W, 使用时该电阻能承受的最大电压为多少? 3. 用公式 =± 进行计算时, 如何选择公式中的正 负号?.4 基尔霍夫定律 分析电路要掌握两类约束, 一类是电路元件所服从的约束, 叫元件约束 ; 一类是电路结构所服从的约束, 叫结构约束, 它们是求解电路的基础 描述结构约束的是基尔霍夫定律, 它包括基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律 介绍基尔霍夫定律之前首先介绍有关电路的几个术语

13 0 电路基础.4. 基本术语 () 支路 : 具有两个端子的元件称为二端元件, 将一个或一个以上的二端元件依次串接没有分岔, 构成电路的一个分支, 每一个分支都称为一条支路 支路上流经的是同一个电流 图 - 中,adb acb ab 为三条支路 其中 acb adb 支路含有电源, 称为有源支路,ab 支路无电源称为无源支路 () 节点 : 三条或三条以上支路的连接点称为节点 图 - 中有 a b 两个节点 图 - 基尔霍夫定律实验图 (3) 回路 : 由支路组成的任一闭合路径称作回路 图 - 中有 abca adba adbca, 共 3 个回路 (4) 网孔 : 是对平面电路而言提出的一个名词术语, 若回路内部不含支路则称为网孔 图 - 中有 abca 和 adba 两个网孔 实训室活动 目的 : 研究基尔霍夫电流定律和电压定律 ; 掌握用万用表测量电阻 直流电压 电流的方法 ; 学会使用直流稳压电源 设备与器材 : 电流表 万用表 直流稳压电源等 操作步骤 : () 按照电路图 - 连接电路 测出节点 a 处各支路电流, 将测量结果计入表 - 中, 注意观察各电流方向, 判断各电流是流入节点还是流出节点 ; 表 - 支路电流的测量数据 电流 3 3 数值 (ma) () 在图 - 中任选两个网孔, 用万用表测出各电压, 将测量结果计入表 - 中 ; 表 - 元件电压的测量数据 电压数据测量 计算网孔电压之和 电压 ab bc ca ad db ba 网孔 网孔 数值 (V) (3) 分析数据, 总结规律

14 第 章电路的基本概念和基本定律.4. 基尔霍夫定律 根据测得的数值, 考虑误差因素, 由表 - 可知 : 流入节点 a 的电流等于流出节点 a 的电流之和 ; 由表 - 可知, 沿一定绕向, 网孔 ( 网孔 ) 各元件电压的代数和为零 将上述结论推广, 得到基尔霍夫定律, 表述如下 基尔霍夫电流定律 ( K ): 在任意时刻, 流经任一节点的所有支路电流代数和为零, 其数学表达式为 i = 0 (-4) k 基尔霍夫电压定律 ( KV ): 在任意时刻, 沿任一回路所有支路电压的代数和为零 u = 0 (-5) k 列写 K 方程时, 各支路电流的正负根据参考方向而定 若约定流入节点的支路电流为正, 则流出节点的电流为负 ; 反之, 若规定流出节点的电流为正, 则流入为负 列写 KV 方程时, 元件端电压的正负根据电压的参考极性而定 在电路图上标出各元件端电压的参考极性和回路的绕行方向, 当支路电压的参考方向与回路绕向一致时, 电压取正号, 相反时电压取负号 K 规定了电路中任一节点处各支路电流必须服从的约束关系, KV 规定了电路中任一回路内各支路电压必须服从的约束关系, 这两种约束关系仅取决于电路的连接方式, 而与元件的性质无关, 故基尔霍夫定律称为结构约束 例 -5 如图 -3 所示, 已知 a 为电路中的一节点, 电流 i = 3A, i = 4A, i 3 = A, 求 i 4 解设参考方向流入节点的电流为正, 流出节点的电流为负, 根据 K 有 i i i3 i4 = 0 i4= i i i3 = 3 ( 4) =A 例 -6 如图 -4 所示, 各支路电流参考方向如图所示, 求电路中 i, i, i 3 之间的关系 若电流 i = 3A, i =4A, 求 i 3 解图 -4 中各电流参考方向, 设流入为正, 节点 a b c 的 K 方程分别为 ii4 i6 = 0 i i4 i5 = 0 i3 i5 i6 = 0 将以上三式相加得 i i i3 = 0 (-6) i3 = ( i i) =(3 4) = A 式 (-6) 表明, 对电路中任意封闭面, 例 acba 封闭面, 可以将其视为广义节点, 基

15 电路基础 尔霍夫电流定律对广义节点仍成立 图 -3 例 -5 图 图 -4 例 -6 图 例 -7 如图 -5 所示为电路中的某一回路, 已知 u ab = 4V, u =3V bc, u cd = 6V, 求 u cd 解选回路 abcda 的绕行方向为顺时针, 各支路电压参考方向与回路绕向一致时取正号, 反之取负号, 由 KV 得 uab ubc ucd uad = 0 uad = uab ubc ucd = 4 3 6= 7V 例 -8 电路如图 -6 所示, 求电压 ab a u ab - b u ad u bc - - d - u cd c 图 -5 例 -7 图 图 -6 例 -8 图 解 KV 不仅使用于实际回路, 还可适用于假想回路 图 -6 中, 由电压 与支路 元件构成假想回路, 回路绕向为顺时针, 列 KV 方程得 ab

16 第 章电路的基本概念和基本定律 3 S ab = 0 = ab 例 -8 为利用 KV 求电路中任意两点间电压的常用方法, 要注意总结并熟练掌握 思考与分析. 图 -7 所示电路中, 开关打开时, 求电流. 电路如图 -8 所示, 已知节点 a 的 K 方程为 i i i3 i4 = 0, 试在图中标出 i 电流的参考方向 i 3 S i 图 -7 思考与分析题 图 图 -8 思考与分析题 图 3. 求图示 -9(a) (b) 电路中的未知电流 4. 电路如图 -9(a) 所示, 求 u u af eb 4A A 图 -9 思考与分析题 3 图.5 电路中电位的计算 在电子电路和电器设备的调试和检修中, 经常要测量各点的电位 在电路中, 选定的零电位点叫零电位参考点 ( 以下简称参考点 ), 用 表示, 则电路中其余各点的电位就等于该点与参考点之间的电压 在图 -0 中, 选 d 点为零电位参考点, 则

17 4 电路基础 a = ad = a d = = b bd b = = c cd c d d a 40Ω b - 0V a 30V - 8Ω d 50Ω 4Ω 6Ω c 5V - - S c - b S 图 -0 电路中电位的求法 图 - 例 -7 图 例 -9 电路如图 - 所示, = 8V, = V, = Ω, = Ω, 求 a b S S 4 点的电位 解电流参考方向如图所示, 回路绕向为顺时针, KV 方程为 S S = 0 S S 8 = = =0.4 A 4 6 选 b 点为零电位参考点, 则 a = ac = S = = 9.6 V b = bc = = =.4V =V a = ab = S c = cb = = ( 0.4) 6=.4V 以上两种情况下, 电路中任意两点间的电压均为 ab = a b = V = =9.6 V ac a c = =.4V bc b c 可见, 参考点不同, 电路中各点的电位随之改变, 但是任意两点间的电压值是不变的 所以各点电位的高低是相对的, 而两点间的电压值是绝对的 6

18 第 章电路的基本概念和基本定律 5 在图 -(a) 所示电路中, 各电压源有公共端, 并选公共端 b 为参考点, 利用电位概念, 可简化为电子电路中常用的习惯画法, 如图 -(b) 所示 图 - 电子电路的习惯画法 电子电路中常用的习惯画法, 省略了电源图形符号及接地端与零电位参考点之间的连接导线, 并标出非接地端相对于参考点的电位, 在形式上看好像没有形成回路, 但实质上仍构成回路 例 -0 电路如图 -3(a) 所示, 求电路中 a 点的点位 解由图 -3(a) 电路, 可知 ( 4) = = 0.5 A 48 4 a a ( 4) = 4 = 4 4 = = V 图 -3 例 -8 电路图

19 6 电路基础 图 -3(a) 电路所对应的普通画法如图 -3(b) 所示, 也可由图 -3(b) 来进行求解.6 本章小结. 电路的基本功能是进行电能的传输 转换和信号的传递 处理 电路分析的对象是电路模型, 电路模型由理想电路元件组成. 电路的主要物理量包括电流 电压 电位及功率 电流和电压参考方向的概念很重要, 一定要熟练掌握 规定了电流 电压的参考方向, 则此两个物理量为代数量, 可能大于零或小于零, 如果大于零, 说明参考方向与实际方向相同 ; 小于零, 说明参考方向与实际方向相反 一个电路中, 参考方向一经选定, 解题过程中就不能更改 参考方向原则上可以任意选定, 但对于一个元件, 其上电压 电流经常按照关联一致的原则来选定 3. 计算元件电功率的方法 () 关联参考方向, p= ui ; 非关联参考方向, p= ui () 代入数值进行计算, 不论关联一致还是关联不一致, 只要 p > 0, 元件就消耗 ( 吸收 ) 功率 ; p < 0, 元件就产生 ( 发出 ) 功率 4. 线性电阻元件的伏安关系, 在关联参考方向下, u = i ; 非关联参考方向下, u =i, 这是电阻元件所满足的元件约束关系 在列写电阻元件的伏安关系时, 一定要注意判断电压与电流的参考方向是否关联一致 5. 基尔霍夫定律包括基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律, 具体表示为 K : i = 0 ; KV : 0 k u = k 基尔霍夫定律与元件性质无关, 仅取决于电路的结构, 所以又称为结构约束, 与前面所讲的元件约束一起, 统称为两类约束 它们是求解电路的基础 6. 电位是所求点与参考点之间的电压, 即求电路中某点的电位就是求该点到参考点之间的电压 电位是相对的, 数值与参考点的选择有关 ; 电压是绝对的, 电路中任意两点间的电压是确定的.7 自测与练习 - 如图 -4 所示电路中,(a) 图中元件电流实际流向 ;(b) 图中元件电流实际流向

20 第 章电路的基本概念和基本定律 7 i = 4A i =4A 图 -4 自测与练习 - 图 - 如图 -5(a) (b) 所示电路中为同一元件在不同参考方向下测得的电压值, 若图 (a) 中,a 端参考极性为, 则图 (b) 中,a 端参考极性为 u = 3V u = 3V 图 -5 自测与练习 - 图 -3 如图 -6 中, 已知电源 = 6V, 电路中电流 = A, 则电源产生的功率 S 为, 吸收的功率为, 电阻消耗的功率为 -4 电路如图 -7 所示, 则电阻元件的伏安关系 :(a) 图为,(b) 图为 s 图 -6 自测与练习 -3 图 图 -7 自测与练习 -4 图 为 -5 如图 -8 所示电路中, 已知电流 i = 4.5 A, 则电流 i 等于 -6 一只灯泡的额定功率为 5 W, 额定电压为 0 V, 则灯泡的额定电流, 电阻为 -7 电路如图 -9 所示, 则电压 ab = V 图 -8 自测与练习 -5 图 图 -9 自测与练习 -6 图

21 8 电路基础 -8 如图 -30 所示电路中的电流 是 ( ) (a) 0. A (b) 0.8 A (c) 0. A (d) 0.8 A -9 如图 -3 所示电路中, 是 ( ) (a)30 V (b)4 V (c)0 V (d)6 V 图 -30 自测与练习 -8 图 图 -3 自测与练习 -9 图 -0 一个 W/ 80 kω 的电阻, 最大允许通过的电流 ( ) (a) 60 ka (b) 40 A (c) 5mA (d) 5 ma - 如图 -3 所示电路中, 图 (a) 中元件吸收功率 36 W, 图 (b) 中元件产生功率 48 W, 试求流过各元件电流的大小和实际流向 图 -3 自测与练习 - 图 - 如图 -33 所示电路中, 已知电流 = 4A, 求 A B 三个元件吸收的功率 图 -33 自测与练习 - 图

22 第 章电路的基本概念和基本定律 9-3 求图 -34 中各含源支路的电压 -4 求图 -35 所示电路中的电流 图 -34 自测与练习 -3 图 图 -35 自测与练习 -4 图 -5 求图 -36 电路中的电流 及电阻 Ω 8V - A V - 4Ω 图 -36 自测与练习 -5 图 图 -37 自测与练习 -6 图

23 0 电路基础 -6 求图 -37 所示电路中的电流 -7 分别求图 -38 所示电路中 A B 三点的电位 图 -38 自测与练习 -7 图 -8 电路如图 -39 所示, 求开关 S 打开或关闭时 a 点的点位 图 -39 自测与练习 -8 图

24 第 章等效电路 等效 概念在电路分析中经常用到, 等效变换法是电路分析的一个基本方法 本章首先阐述电路等效的概念, 然后具体讨论电阻的等效变换及电源的等效变换 通过学习清楚等效的具体含义, 掌握电阻和电源的等效变换方法 下面首先由实训室活动给出等效的概念 实训室活动 目的 : 理解等效的概念, 了解等效对外电路的影响 设备与器材 : 直流稳压电源两台, 两个 00 Ω 电阻 一个 50 Ω 电阻, 直流电压表 直流电流表各一个, 电流测试棒一个 操作步骤 : () 按如图 -(a) 所示连好电路, 其中 = 50 Ω, 将电源 调至 5V, 电源 调至 5 V ; S () 用电压表测出电阻两端的电压, 用电流表测出流过电阻 的电流, 将测量结果填入表 中 ; (3) 保持负载 不变, 只改变虚线框内的电路部分, 按图 -(b) 连好电路, 将电源 调至 0V ; S S 图 - 两端网络 (4) 用电压表测出负载 两端的电压, 用电流表测出流过负载 的电流, 并将 结果填入表 - 中 表 - 电流 电压数据测量 电路图 (V) (ma) (a) 图 (b) 图 (5) 对于相同的负载外电路 ( 去掉外电路三字, 换为负载 ), 比较两次测量的电流 电压并总结规律 图 - 中, 两个虚线框内的电路与负载相接时只有两个接线端钮, 在电路分析中, 把具有两个接线端钮的网络称为二端网络, 由于二端网络构成一个单口, 所以也叫单口网络 在图 -(a) 或 (b) 中虚线框内的部分及其引出的两个端钮就是一个二端网络 由测量数据发现 : 负载 不论与图 (a) 中的二端网络相接, 还是与图 (b) 中的二端网络相接,

25 电路基础 两种情况下, 负载 两端的电压及流过其电流分别完全相同, 因此对负载 来说, 图 (a) 与图 (b) 中的二端网络完全等效, 这就是等效的含义 推广到一般情况, 所谓等效是指对相同的外电路, 若两个二端网络的端钮电压电流关系相同, 则这样的两个网络互称为等效网络 在图 - 中, 外电路为负载所在的支路 显然, 等效 是指 对外等效. 电阻的等效变换.. 电阻串联等效变换若干个电阻依次首尾连接, 称为电阻的串联 串联时各电阻流过同一电流, 如图 - (a) 所示, 设各电阻上电压 电流参考方向相关联, 由欧姆定律和基尔霍夫电压定律可得 = n = n = ( ) = 其中 n = n = k k = n (-) n n 图 - 电阻的串联等效电路 即图 -(a) 电路可以用阻值为 的一个电阻代替, 如图 -(b) 所示 图 -(b) 电路为图 -(a) 的等效电路, 式 (-) 为串联等效电阻的计算公式 在电阻串联电路中, 若各部分电压参考方向如图 -(a) 所示, 则端口总电压与各电阻两端电压之间满足分压公式 : k k = k = (-) 即电阻串联时, 分压与电阻值成正比, 电阻值越大所分电压越大

26 第 章等效电路 3.. 电阻并联等效变换 将若干个电阻连接在两个公共点之间, 使每个电阻承受相同的电压, 这样的连接方式称为电阻的并联, 如图 -3(a) 所示 n n 图 -3 电阻的并联等效电路 并联电阻也可以用一个等效电阻代替, 由基尔霍夫电流定律和欧姆定律同样可求得其等效电阻为 n = = (-3) n k= 式中, 为第 k 个电阻的阻值, k =,, 3,,n k 若用电导表示上式中各电阻, 则式 (-3) 可写为 n k= 其中, G = /, G = /, k =,, 3,, n k k k k G = G (-4) 式 (-3) 和 (-4) 表明 : n 个电阻 ( 电导 ) 相并联, 其等效电阻的倒数 ( 等效电导 ) 等于各并联电阻的倒数 ( 各并联电导 ) 之和 在电阻并联电路中, 若各部分电流参考方向如图 -3(a) 所示, 则端口总电流与各支路电流之间满足分流公式 ik = i (-5) 其中, k =,, 3,,n Gk ik = i (-6) G 式 (-5) 表明 : 电阻并联分流与电阻成反比, 即电阻值越大分得的电流越小 式 (-6) 表明 : 电导并联分流与电导值成正比关系 在电路分析中, 经常遇到两个电阻并联的情况, 由式 (-3) 可得两个电阻并联的等效电阻为 k

27 4 电路基础 其对应的分流公式为 = = = (-7) (-8) (-9) 若两个电阻串联, 由式 (-) 可得两个电阻串联的分压公式为 = (-0) = (-) 例 - 求如图 -4 所示电路的等效电阻 解先判断电阻的串并联关系 两个 Ω 电阻串联后与 4 Ω 电阻并联, 然后再与 Ω 电阻串联, 最后与 3 Ω 电阻并联 所以网络的等效电阻 ab {[ ] } = ( ) // 4 // 3 =.5 Ω ab 用 号表示串联关系, 用 // 表示并联关系, 用小括号 () 中括号[] 及大括号 {} 表示串并联的先后次序 例 - 如图 -5(a) 所示为一电桥电路, 若已知 = 0A, = 4Ω, = Ω, = Ω, = Ω, = 5 Ω 5 求 ab 两端的等效电阻 ab a a Ω b (a) b (b) 图 -4 例 - 图 图 -5 例 - 图 解因为 5 = 0A, 即 5 所在支路无电路通过, 电桥平衡, 这时电路可等效为图 -5(b) 所示电路, 在图 -5(b) 电路中可求得

28 第 章等效电路 5 ( )( ) ( 4 )( ) 3 4 ab = = 3 4 = Ω 4..3 电阻 Y 连接等效变换 在分析电路时, 常常会遇到一些较为复杂的电路, 如在图 -5(a) 的电桥电路中, 若 5 0, 电桥不平衡, 则五个电阻的串并联关系不能确定, 这时只用串并联简化的方法求端口 ab 的等效电阻是不可能的, 那么如何解决这类问题呢? 之所以出现上述现象是因为电路中有电阻的星形 (Y 形 ) 连接和三角形 ( 形 ) 连接 星形连接是指三个电阻的一端接在同一点上, 另一端分别接在不同的三个端钮上的连接方式, 如图 -6(a) 所示 ; 三角形连接是指三个电阻分别接在三个端钮的每两个之间的连接方式, 如图 -6(b) 所示 为了求出等效电阻, 常将星形连接与三角形连接进行等效变换, 即用星形连接的三个电阻等效代替原电路中三角形连接的三个电阻, 或用三角形连接的三个电阻等效代替原电路中星形连接的三个电阻 通过等效变换后的电路可以判断串并联关系, 从而求出等效电阻 a b a b a b ab c ca bc c c 图 -6 星形连接与三角形连接 如果图 -6(a) 的星形网络与图 -6(b) 的三角形网络等效, 那么电阻 a b c 和电阻 ab bc ca 之间满足什么关系呢? 一种简单的推导方法是将两电路在一个对应端子悬空的同等条件下, 分别求出剩余两端子间的电阻, 并使两种情况下求得的电阻相等 悬空 a 端子时, 可得 bc( ab ca ) b c = (-) 悬空 b 端子时, 可得 悬空 c 端子时, 可得 ab bc ca ca ( ab bc ) a c = ab bc ca (-3)

29 6 电路基础 ab( bc ca ) a b = ab bc ca 联立式 (-) (-3) (-4) 可解得 abca a = ab bc ca abbc b = ab bc ca cabc c = ab bc ca 或解得 ab = c bc = a ca = b a b b c c a a b b c c a a b b c c a (-4) (-5) (-6) 式 (-5) 为三角形连接等效为星形连接的公式, 可归纳为等效的三个星接电阻分别等于原角接时夹边电阻乘积除以三电阻之和 ; 式 (-6) 为星形连接等效为三角形连接的公式, 可归纳为等效的三个角接电阻分别等于原星接时两两电阻乘积之和除以对边的电阻 从式 (-5) 和 (-6) 不难看出, 当三角形连接的三个电阻相等, 即 ab = bc = ca = 时, 等效变换成星形连接的三个电阻也必然相等, 即 a = b = c = Y = 3 ; 当星形连接的三个电阻相等满足 = = = 时, 等效变换成三角形的三个电阻也必然相等, 即 = = = = ab bc ca a b c 3 Y 例 -3 求如图 -7(a) 所示电路的等效电阻 Y a 6Ω 6Ω 3 6Ω Ω 4Ω a Ω Ω Ω 3 Ω 4Ω b b 图 -7 例 -3 题图

30 第 章等效电路 7 解将 3 个 6 Ω 电阻的三角形连接等效变换成星形连接, 由于三个角接电阻相等, 等效为星接电阻时每个电阻为角接电阻的 / 3, 如图 -7(b) 所示 在图 -7(b) 中可求得等效电阻为 ( ) ( 4) ab = [( ) //( 4) ] = = 4 Ω 4 思考与分析. 电桥电路平衡的条件是什么?. 试推导 Y- 等效变换的公式 ( ) ( ). 电源的等效变换.. 电源元件 实际中有各种各样的电源, 如干电池 蓄电池及电子线路中的信号源等 根据电源本身的特点和分析电路的需要, 电源常分为两种, 能独立向外提供电能的电源称为独立电源, 它包括电压源和电流源 ; 不能独立向外提供电能的电源称为非独立电源, 又称受控源 本节主要介绍独立电源. 电压源 根据输出特性的不同, 电压源分为理想电压源和实际电压源两种 若电源两端输出电压总量保持定值或为一定的时间函数, 而流经它的电流则由外部电路决定, 则这种电源称为理想电压源, 又称恒压源 其图形符号如图 -8(a) 所示, 以直流理想电压源为例, 其伏安特性如图 (b) 所示 i a us u b O S i 图 -8 理想电压源符号及伏安特性 理想电压源在实际中是不存在的, 因为实际电源内部总存在一定的内阻, 当电流流过

31 8 电路基础 内阻时会有压降, 电流越大, 内阻上的压降就越大, 致使实际电源两端的电压也就越低, 内阻起到分压作用, 所以实际电压源用理想电压源串联一内阻表示, 这就是电压源模型, 其图形符号如图 -9(a) 所示, 直流电压源模型的伏安特性如图 -9(b) 所示 S S S O S (a) (b) 图 -9 电压源模型及伏安特性. 电流源 根据输出特性的不同, 电流源分为理想电流源和实际电流源两种 若电流源输出电流总能保持定值或一定的时间函数, 而它两端电压则由外部电路决定, 则这种电源称为理想电流源, 又称恒流源, 其图形符号如图 -0(a) 所示, 以直流理想电流源为例, 其伏安特性如图 -0(b) 所示 i a i S b O S 图 -0 电流源模型及伏安特性 同样, 理想电流源实际中也是不存在的, 因为实际电源内部总存在一定的内阻, 当电流流过内阻时, 有一部分电流将从内部分流掉, 内阻越小, 分流越大, 内阻起到分流作用, 所以实际的电流源用理想电流源并联一内阻表示, 这就是电流源模型 其图形符号如图 - (a) 所示, 直流电流源模型的外特性如图 -(b) 所示

32 第 章等效电路 9 i S S S 图 - 实际电流源模型及伏安特性.. 理想电源串 并联的等效化简. 理想电压源串联根据电路等效的概念, 如图 -(a) 中 n 个理想电压源串联向外供电时, 可以用图 -(b) 所示的一个理想电压源等效代替, 根据 KV 得 n S = S S Sn = (-7) Si i= 注意 : 式 (-7) 中, 的参考方向与 的参考方向一致时取 号, 相反时取 - 号 Si S S S S Sn 图 - 理想电压源串联及等效电路. 理想电流源并联 同理, 如图 -3(a) 所示为 n 个理想电流源的并联, 可以用图 -3(b) 中的一个理想电流源来等效代替, 根据 K 得

33 30 电路基础 n S = S S Sn = Si i= 注意 : 式中 与 的参考方向一致时, 在式中取 号, 相反时取 - 号 Si S Si S S S3 S 图 -3 理想电流源并联及等效电路 例 -4 电路如图 -4(a) (c) 所示, 求 :() 图 -4(a) 中的电流 ;() 图 -4 (c) 中的电压 30V 4A 3A 0Ω 0V 0Ω 0Ω 0Ω 0V A 图 -4 例 -4 图 解 () 将图 -4(a) 点划线框部分等效为一个理想电压源, 如图 -4(b) 所示 由图 -4(b), 得 0 = = A 0 () 将图 -4(c) 中的两个并联的理想电流源等效为一个理想电流源, 如图 -4(d) 所示 由图 -4(d), 得 = 3 0= 30V..3 电源模型的等效互换 对于一定的负载来说, 只要电压源模型和电流源模型的端电压和端电流相同, 则电压源模型或电流源模型对负载的作用就是等效的, 可以互换, 见图 -5

34 第 章等效电路 3 S S S S 在图 -5(a) 中, 有 在图 -5(b) 中, 有 图 -5 电压源模型与电流源模型的等效互换 S = S S, = = S, = S S S S 若图 -5(a) 与图 -5(b) 对外电路等效, 则有 =, = 所以 S S = S S S (-8) S = S (-9) S S S 要使式 (-8) 和 (-9) 成立, 只需使 = S, 且有 S S S S S= 或 = S S S S 即 :() 当把电压源模型等效变换为电流源模型时, 电流源的电流 = ; S S S = S/ S, 内阻 () 当把电流源模型等效变换为电压源模型时, 电压源的电压, 内阻 = S = S S S S 等效互换时还要注意 : () 电源模型互换是电路等效变换的一种方法, 这种等效是对外部电路等效, 即对电源以外的电路等效, 对电源内部电路是不等效的 ; () 电压源模型与电流源模型之间可以等效互换 ; 理想电压源与理想电流源之间不能互换 ; (3) 等效变换时不但要满足数值关系, 同时还要满足电流源与电压源参考方向之间的关系, 即电流源电流参考方向与电压源电压参考方向相反 ;

35 3 电路基础 (4) 电源模型等效互换的方法可以推广运用, 如果理想电压源与外接电阻串联, 可把外接电阻看作内阻, 并可等效为为电流源模型 ; 如果理想电流源与外接电阻并联, 可把外接电阻看作内阻, 并可等效为电压源模型 例 -5 电路如图 -6(a) 所示, 利用电源等效互换化简电路, 并计算电流 5A A 3Ω 4Ω =? 7Ω 7Ω 5V 8V 7Ω (a) (b) 图 -6 例 -5 图 解图中 5A 电流源和 3 Ω 电阻及 A电流源和 4 Ω 电阻构成两个电流源模型, 两个电流源模型等效为电压源模型, 等效电路如图 -6(b) 所示 ( 注意电压源的极性 ) 由图 -6(b) 可得 5 8 = = 0.5 A 7 7 例 -6 把图 -7(a) 所示电路等效为电压源模型 解图 -7(a) 所示电路的等效化简过程如下图所示 0V 0V 6A 0Ω A 0Ω 6A 7A 0Ω 0Ω 70V (a) (b) (c) (d) 图 -7 例 -6 图 思考与分析. 两种实际电源模型等效变换的条件是什么? 如何确定 和 的方向?. 电路如图 -8(a) (b) 所示, 在考虑 a b 端口以外的电路时, 与理想电流源串 S S

36 第 章等效电路 33 联的电阻和电压源, 能否去掉? 与理想电压源并联的电阻和电流源, 又能否去掉? S a a S S b b 图 -8 思考与分析题 图 3. 化简图 -9(a) (b) 所示的电路 图 -9 思考与分析题 3 图.3 受控源及含受控源电路的等效.3. 受控源 为了描述某些电子器件的实际性能, 在电路分析中, 经常用到受控源 所谓受控源, 即输出电压或电流受电路中其他支路电压或电流控制的电源 受控源分为受控支路和控制支路两部分, 共有四个端钮 受控支路的性能如同一个电源, 其输出的电压或电流受控于控制支路的控制量 根据控制量和输出量的不同, 受控源分为四类, 即电压控制电压源 (VVS) 电压控制电流源 (VS) 电流控制电压源 (VS) 和电流源控制电流源

37 34 电路基础 (S) 受控源的电路符号如图 -0 所示 i u μ u u u gu (a) (b) i i i γ i u α i (c) (d) 图 -0 受控源电路符号 四种受控源输出量和控制量的关系分别为 : (a)vvs: = μu (-0) (b)vs: (c)vs: (d)s: u i = gu (-) = γ i (-) u i αi = (-3) 式 (-0)~(-3) 中, 为受控源的控制量, i 为受控源的受控量 μ u i u g γ 和 α 为控制系数, 由式 (-) 和式 (-) 可知, g 和 γ 的单位分别为西门子和欧 姆, 故 g 称为转移电导,γ 称为转移电阻 ; 而 μ 和 α 无量纲, 分别称为电压放大系数和电 流放大系数 当控制系数为常量时, 受控源为线性受控源, 输出量唯一地取决于控制量 本书仅限于讨论线性受控源 与. 节介绍的电源相比较可以发现, 独立源与受控源在电路中的作用有着本质的区别 受控源不能独立地输出电压和电流, 是用来表征电子器件中所发生的物理现象的一种模型, 反映了电路中某处的电压或电流控制另一处电压或电流的关系, 它并不是实际意义上的电源 而独立源是电路中产生响应的 源泉 为了区分开独立源与受控源, 独立源图

38 第 章等效电路 35 形符号用圆圈表示, 受控源用菱形表示 在分析电子电路时, 晶体三极管常用电流控制电流源模型来表示, 其集电极电流受基极电流控制, 基极电流是控制量, 集电极电流是受控量, 集电极电流所在的端子就是受控源的受控端.3. 含受控源电路的等效化简 在实际电路中, 受控源的电路符号并不像图 -0 那样画出, 通常分开来画, 标清楚控制量 受控量及受控源图形符号即可 如图 -0 所示为理想受控源, 当理想受控电压源和一个电阻串联时, 可视为受控电压源模型 ; 当理想受控电流源与一个电阻并联时, 可视为受控电流源模型 受控电压源模型与受控电流源模型之间等效互换完全等同于电压源模型与电流源模型的之间的等效互换 下面直接给出两个结论 () 若一个二端网络仅含受控源和电阻元件, 则该二端网络对外电路可等效为一个电阻, 见图 - 图 - 受控源 电阻网络及其等效电路 () 若一个二端网络含有独立源 受控源和电阻元件, 则该二端网络对外电路可等效为一个电压源模型或电流源模型, 如图 - 所示 S S S S 图 - 含独立源 受控源 电阻的网络及其等效电路 例 -7 对图 -3 所示电路, 求 ab 端开路电压 oc

39 36 电路基础 a 8 Ω 0V 图 -3 例 -7 图 解设电流 参考方向如图所示, 由 K 得 = 8 =9 (-4) 对回路 Ι, 由 KV 列方程得 0= 0 (-5) 联立方程式 (-4) 式(-5), 求解得 = A, 所以 O = 9A Ω = = 9= 8V 例 -8 对图 -4(a) 所示电路, 求 : 输入电阻 解当一个二端网络的内部不包含独立电源而只含有电阻 ( 可含有受控源 ) 时, 其端口的等效电阻称为该二端网络的输入电阻, 记为 i i O b a 3 Ω x a b (a) 6Ω 6 x 3Ω b (b) 30Ω 图 -4 例 -8 图 设各电流 电压参考方向如图 -4(a) 所示 电流 = = 3 5 而

40 第 章等效电路 37 所以 即 显然, 输入电阻 i 为 x = = 5 6 6x 5 7 = = = = 3 = = = 30 i = =30 Ω 例 -9 输入电阻是通过找到电路端钮电压与端钮电流的伏安关系 =, 根据等效的概念, 确定出输入电阻 i, 等效电路如图 -4(b) 所示, 这种求解输入电阻的方法也称为伏安关系法 这里要注意 : 由于受控源的作用, 含有受控源的二端电路的输入 ( 或输出 ) 电阻的值可以是正值, 可以是负值, 当然亦可以为零 例 -9 求图 -5 所示电路的最简等效电路 a b 3Ω 6 (a) 6V 3Ω Ω (b) Ω 6V 图 -5 例 -9 图解根据 K 和支路伏安关系, 有 6 6 = (-6) 3 3 由于式 (-6) 中除 外, 还有一新的未知量, 因此需找到 与 或 的关系, 由图 -5 可知 = (-7) 联立方程式 (-6) 式 (-7) 求解得

41 38 电路基础 = 6 (-8) 式 (-7) 也常称为附加方程 根据式 (-8), 可将图 -5(a) 等效化简为图 -5 (b), 显然它们端钮的伏安关系相同, 也就是说它们对外电路相互等效 思考与分析 求图 -6(a) (b) 所示电路的最简等效电路 a b 6Ω 6 (a) Ω 3Ω 8V a b 5Ω (b) 60Ω 40Ω 0 图 -6 思考与分析题 图.4 本章小结. 等效变换法是分析电路的一种常用方法 电路等效变换的条件是互相代换的两部分电路具有相同的伏安特性. 电阻的串 并联等效化简 () 多个电阻串联, 其等效电阻等于各串联电阻之和 n = k= k 电阻串联分压公式 uk = ki= u, k =,,, n 电阻串联分压与电阻值成正 eq 比, 即电阻值越大所分电压越大 () 多个电阻 ( 电导 ) 相并联, 其等效电阻的倒数 ( 即等效电导 ) 等于各并联电阻的倒数 ( 即各并联电导 ) 之和 n n = G = Gk k = k k k=

42 第 章等效电路 39 电阻 ( 电导 ) 并联分流公式 : i k eq Gk = i, 或 ik = i, k =,,, n 电阻并联 G k 分流与电阻成反比, 即电阻值越大分得的电流越小, 电导并联分流与电导值成正比关系 (3) 电阻 Y 连接等效变换 ( 见图 -6) 形电路等效为 Y 形电路的公式 Y 形电路等效为 形电路的公式 a b c abca = ab bc ca abbc = ab bc ca cabc = ab bc ca a b b c c a ab = c a b b c c a bc = a a b b c c a ca = b 3. 电源的等效变换 () 理想电压源 : 不管外部电路如何, 其两端电压总量保持定值或为一定的时间函数的电源 其电压数值由自身决定, 与外部电路无关, 其输出电流由外电路决定 n 个理想电压源串联可以等效为一个理想电压源, 其值等于各串联理想电压源电压的代数和 即 n S = Si i= () 理想电流源 : 不管外部电路如何, 其输出电流总能保持定值或一定的时间函数的电源 其两端电压由外部电路决定 n 个电流源并联可以等效为一个理想电流源, 其值等于相并联的理想电流源的代数和 : n S = Si i= (3) 实际电压源模型与实际电流源模型可等效互换, 参数之间的关系为 : 内阻保持不变, 或 = S = / S S S S S 4. 受控源及含受控源电路的等效

43 40 电路基础 () 受控源是输出电压或电流受电路中其他支路的电压或电流控制的一种电源模型 () 任何由受控源和电阻元件构成的二端网络可以等效为一个电阻 ; 由独立源 受控源和电阻元件构成的二端网络一般可以等效为实际电压源模型 ( 或实际电流源模型 ) (3) 分析受控源电路时, 通常把受控源看为独立源, 但受控源电路的分析有许多特殊之处, 在后面的章节中将会涉及.5 自测与练习 - 两个二端网络等效的条件是 - 电压源在电路中 ( 一定或不一定 ) 提供功率, 要根据电压源的端电压 和实际流过电压源的电流方向来决定 -3 受控源包括四种类型, 分别是 和 -4 如图 -7 所示电路, 从 a b 两端看进去的等效电阻为 -5 如图 -8 所示电路中的受控源是 ( ) (a)vvs (b) VS (c)s (d)vs -6 如图 -9 所示电路中的电流 是 ( ) (a) 0. A (b) 0.8 A (c) 0. A (d) 0.8 A -7 理想电压源和理想电流源间 ( ) (a) 有等效变换关系 (b) 没有等效变换关系 (c) 在一定条件下有等效变换关系 (d) 以上说法都不正确 a 3Ω 6Ω 9Ω Ω 4V Ω b Ω 6Ω 图 -7 自测与练习 -4 图 图 -8 自测与练习 -5 图 -8 在图 -30 所示电路中, 电压 等于 ( ) (a)5 V (b)8 V (c)6 V (d)7 V

44 第 章等效电路 4 6Ω 4Ω 3V 5V A Ω 5V A 图 -9 自测与练习 -6 图 图 -30 自测与练习 -8 图 -9 如图 -3 所示电路中, 求 :() 图 (a) 中 5A电流源产生功率 中 0 V 电压源产生的功率 P S P ;() 图 (b) S 0V 5A Ω 0V 0Ω 5A (a) (b) a 图 -3 自测与练习 -9 图 -0 求图 -3 所示电路中 ab 端的等效电阻 ab 3Ω 6Ω Ω 4Ω a 6Ω 6Ω 6Ω b b Ω 4Ω (a) a b 3Ω (c) Ω 4Ω a b Ω Ω (d) (b) Ω Ω 4Ω 4Ω 图 -3 自测与练习 -0 图

45 4 电路基础 - 在如图 -33 所示电路中, 求电压 各为多少? 其中图 (a) 为开路 6V 6V 3Ω 6V 6Ω (a) (b) (c) 6A 6A 6A Ω 4Ω (d) (e) (f) 图 -33 自测与练习 - 图 - 将图 -34 所示各电路化为最简的等效电压源模型或等效电流源模型 5Ω 3A a 3A 5Ω 5Ω 3A 5V (a) b 0V (b) 6V (c) A 图 -34 自测与练习 - 图 -3 电路如图 -35 所示, 图 (a) 中, 若电流 =0, 求电阻 ; 图 (b) 中若电压 =4 V, 求电阻

46 第 章等效电路 43 3Ω 9V 6V 3Ω kω 4V kω 4kΩ 0V (a) (b) 图 -35 自测与练习 -3 图 -4 电路如图 -36 所示, 分别求图 (a) (b) 电路中的电流 Ω 4V Ω Ω Ω 4V Ω Ω (a) (b) 图 -36 自测与练习 -4 图

47 第 3 章电阻电路的一般分析方法 在第 章, 介绍了网络等效的概念和网络等效变换的基本方法 利用电阻的等效变换 电源的等效变换以及实际电源两种模型的等效变换, 将电路简化为最简形式, 再求出待求的电压和电流 这种方法对分析简单电路是行之有效的, 对于复杂电路, 当要求网络各处的电压 电流时, 等效变换法使用起来很不方便, 即使只求网络某一处的电压 电流时, 仅依靠等效变换法一步步简化电路也是相当费事的 在实际应用中, 人们大量用到仅含电阻和电源 ( 包括独立源和受控源 ) 的电路, 称为电阻电路 本章介绍电阻电路的几种常用分析方法, 包括支路电流法 节点电位法 叠加定理 戴维南定理 诺顿定理和最大功率传输定理 本章要求学生会用支路电流法 节点电位法 叠加定理 戴维南定理 诺顿定理和最大功率传输定理分析较复杂的电路 3. 支路电流法 对任何复杂电路而言, 若求出各条支路的电流 电压和功率, 则说明电路已解出 实际上, 只要求出各条支路的电流, 就可以很容易地求出各条支路的电压和功率 因此, 求解各条支路电流往往是解题的关键 支路电流法正是求解各条支路电流最直接的方法 3.. K KV 独立方程数 问题的提出 : 在求解电路时, 根据基尔霍夫电流定律和电压定律结合元件的伏安关系 ( 即两类约束 ) 总能列出所需的方程组, 从而解出所需的未知量 那么, 在根据基尔霍夫电流定律和电压定律列方程时, 究竟可以列出多少个独立的方程? 以图 3- 所示电路为例来说明 该电路共有 个节点,3 个回路 对每一个节点, 可列写出 K 方程, 分别为 3 = 0 (3-) 3 = 0 将以上两个方程相加, 得到一个 0=0 的恒等式, 说明以上 个方程彼此不独立 ( 线性相关 ), 其中任意一个方程可由另一个导出 因此, 两个方程中只有 个是独立的 可以证

48 第 3 章电阻电路的一般分析方法 45 明, 对于具有 n 个节点的电路, 在任意 ( n ) 个节点上可以得出 ( n ) 个独立的 K 方程, 即 K 独立方程数为 ( n ) 个 相应的 ( n ) 个节点称为独立节点 对每一个回路, 可列写出 KV 方程, 分别为 3 3 S = 0 S 3 3 = 0 (3-) S S = 0 可注意到, 上述 3 个方程并非彼此独立, 其中任意一个方程可由另外两个相加 减得到 因此,3 个方程中只有 个是独立的 可以证明, 对于具有 n 个节点 b 条支路的电路, 其 KV 独立方程数为 b ( n ) 个 相应的 b ( n ) 个回路称为独立回路 对于具有 m 个网孔的平面电路, KV 独立方程数应为 m 个 课堂练习 : 试判断图 3- 所示电路能列写出多少个 K 独立方程和 KV 独立方程? S S 3 S S 5 6 图 3- K KV 独立方程数 图 3- 课堂练习 3.. 支路电流法支路电流法是以各条支路电流作为电路的未知量, 根据基尔霍夫电流定律, 列出各独立节点的 K 方程, 根据元件的伏安关系和基尔霍夫电压定律, 列出各独立回路的 KV 方程, 然后联立方程组解出各未知电流, 进而再求出其他物理量的方法 下面以图 3-3 电路为例说明支路电流法 本例共有 5 条支路, 选 5 条支路的支路电流作为未知量, 并假设各支路电流的参考方向 本例有 3 个节点, 独立节点数为, 因此独立的 K 方程为 个 ; 有 3 个网孔, 独立的 KV 方程有 3 个 任选节点 作为独立节点, 根据 K, 可得 3 = 0 (3-3) 4 5 = 0

49 46 电路基础 选择网孔作为独立回路, 并选定回路的绕行方向, 根据 KV = = = 0, 可得 (3-4) 0Ω Ω 5Ω 3 4 5Ω 0Ω 5 5V S S 65V 图 3-3 支路电流法 联立式 (3-3) 和式 (3-4), 可解得 = A, = A, 3 = A, 4 = A, 5 =3A 以上分析求解电路的方法即为支路电流法 应用支路电流法求解电路的步骤可归纳如下 : () 设定各支路电流的参考方向 ; () 任选 ( n ) 个独立节点, 列出其 K 方程 ; (3) 选定 b( n) 个独立回路 ( 通常选网孔 ), 并指定回路的绕行方向, 列出其 KV 方程 ; (4) 联立上述 b 个方程, 求出 b 条支路的支路电流 ; (5) 根据需要, 由支路电流和各元件的伏安关系, 再求出其他物理量 例 3- 用支路电流法求如图 3-4 所示电路的各支路电流 解该电路有 3 条支路, 各支路电流的参考方向已给定, 其中独立电流源所在支路的支路电流为已知, 因此未知的支路电流只有 个, 为 对节点, 其 K 独立方程为 = 0 对左网孔, 选定顺时针方向绕行, 其 KV 独立方程为 6 3 = 0 联立方程组, 解得 = 0.67 A, =.67 A

50 第 3 章电阻电路的一般分析方法 47 例 3- 用支路电流法求如图 3-5 所示电路的各支路电流 解该电路 b = 3, n =, m =, 应用支路电流法要列出 n = 个 K 独立方程, 列出 m = 个 KV 独立方程 图中已标出各条支路电流的参考方向, 并设两个网孔的绕行方向如图 3-5 所示 电路中含有受控源, 在列写方程时, 可先将受控源当作独立源处理, 然后将受控源的控制量 用方程变量支路电流表示, 列出补充方程 对节点, 其 K 独立方程为 3 = 0 对网孔, 其 KV 独立方程为 6 4 0=0 4 0 = 0 3 控制量 与支路电流 的关系为 = 4 ( 补充方程 ) 联立求解, 可得 =.7 A, =0.05 A, 3 =.75 A, =0. V 6Ω 0Ω 6Ω 3 0 V 3Ω A 0V 4Ω Ω 图 3-4 例 3- 图 图 3-5 例 3- 图 用支路电流法求解电路的优点是直接, 即方程变量 ( 支路电流 ) 就是需要求解的结果 但由于需列出的独立方程数等于电路的支路数, 对支路较多的复杂电路而言, 存在方程数目多 计算量大的缺点 因此, 设法减少独立方程数, 就成为其他网络方程法的出发点 思考与分析 用支路电流法列出如图 3- 所示电路的方程 3. 节点电位法 对于较复杂的电路, 为减少独立方程数目, 简化电路的分析计算, 常采用节点电位法

51 48 电路基础 3.. 节点电位与节点电位法. 节点电位 在电路中任意选择某一节点作为参考节点, 其余 ( n ) 个独立节点与此参考节点之间的电压称为节点电位 节点电位的参考极性是以参考节点为负, 其余独立节点为正 例如在图 3-6 电路中, 共有 3 个节点, 选节点 3 作为参考节点 ( 零电位点 ), 用接地符号表示, 独立节点 和 的节点电位分别为 和 任一支路电压是其两端节点电位之差, 因此只要求出各独立节点的电位, 就可求得全部支路电压, 从而进一步解出各支路电流 图 3-6 所示电路的各支路电压 电流可表示为 3 =, 3 =, = 3 = =, = = (3-5) 3 S3 S3 3 = = = = 4 4 图 3-6 节点电位与节点电位法. 节点电位法节点电位法是以电路中各独立节点的电位作为未知量, 对独立节点应用 K, 列出

52 第 3 章电阻电路的一般分析方法 49 电流方程, 再利用 KV 和 V 方程, 将各支路电流用节点电位表示, 然后联立方程组解出各独立节点电位, 进而再求出各支路电流的方法 下面以图 3-6 电路为例说明节点电位法 对独立节点, 应用 K, 可得 S S = 0 (3-6) 3 4 S = 0 将式 (3-5) 代入式 (3-6), 经整理可得 ( ) = S S (3-7) S3 ( ) = S 式 (3-7) 实质为对各个独立节点列出的以节点电位作为未知量的 K 方程, 称为节点方程 分析式 (3-7), 可知 : () 为与节点 相连的所有支路上电导的总和, 称为节点 的自电导 ( 恒为 G 正 ), 用表示 ; () 3 G 为正 ), 用表示 ; 4 为与节点 相连的所有支路上电导的总和, 称为节点 的自电导 ( 恒 (3) 为节点 之间的公共支路上电导的总和, 称为节点 与 的互电导 ( 恒 G G 为负 ), 用 表示 ( G = G ); 示 ; (4) S S (5) S3 S 3 为流入节点 的电流源电流的代数和 ( 流入为正, 流出为负 ), 用 S 表 为将实际电源的电压源模型等效变换为电流源模型后流入节点 的电 流源电流的代数和 ( 流入为正, 流出为负 ), 用 S 表示 由上例可总结出, 具有两个独立节点的电路, 节点方程的一般形式为 G G = S G G = S 式 (3-8) 可以推广到具有 ( n ) 个独立节点的电路 掌握了以上列写节点方程的规律, 就可以直接根据电路列出节点方程 应用节点电位法求解电路的步骤可归纳如下 (3-8)

53 50 电路基础 () 任选电路中某一节点为参考节点, 用接地符号表示 标出各独立节点的电位, 其参考方向由独立节点指向参考节点 () 若电路中存在电压源与电阻串联的支路, 则将其等效变换为电流源与电阻的并联 (3) 按一般公式, 列出 ( n ) 个独立节点的节点方程 注意自电导恒为正, 互电导恒为负 ; 流入节点的电流源电流取, 反之取 - (4) 联立求解节点方程, 求出各节点电位 (5) 选定支路电压和支路电流的参考方向, 由节点电位计算各支路电压和支路电流 例 3-3 用节点电位法求如图 3-7 所示电路的各支路电流 4V 6Ω 3 4 Ω 6 4Ω 36V 5 6Ω 50V V Ω 4Ω 图 3-7 例 3-3 图解该电路共有 4 个节点, 选节点 4 为参考节点 设独立节点 3 的节点电位分别为 和 3 3 个独立节点的节点方程为 ( ) = ( ) 3 = ( ) 3 = 整理可得 5 = 48 3

54 第 3 章电阻电路的一般分析方法 = =56 3 解得各节点电位为 = 3 V, = 0 V, 3 =4V 求得各支路电流为 = 3A, =A, 3 = A, 4 = A, 5 = 4A, 6 =3A 例 3-4 试用节点电位法求如图 3-8 所示电路中的电流 x Ω x Ω 8V 4V Ω 3A Ω 图 3-8 例 3-4 图 解该电路共有 4 个节点, 注意到电路中有两个无伴电压源 ( 无电阻与之串联 ), 用节点电位法分析含有无伴电压源的电路时, 为减少方程数, 常选无伴电压源的一端为参考节点, 现选 4 V 电压源的负极端 ( 即节点 4) 为参考节点, 则独立节点 的电位为已知, 无需对其列节点方程 8 V 电压源连接独立节点 和 3, 该支路的电流并不知道, 因此在列写节点方程时必须增设该支路的电流 为未知量, 参考方向如图 设独立节点 3 的节点电位分别为 和 3 则 = 4 V 节点 3 的节点方程为 ( 0.5) = ( 0.5) = 3 补充 3 节点之间的电压关系 3 = 8 解得 = V, 3 = 4V, = A 3 0 x = = = 5A 例 3-5 试用节点电位法求如图 3-9 所示电路中的电流 x

55 5 电路基础 0Ω 5Ω 4A 0Ω.5 x 5Ω 0A x 图 3-9 例 3-5 图 解选节点 4 为参考节点, 设独立节点 3 的节点电位分别为 和 3 电路中含有一个受控源, 对于含受控源的电路, 在列写节点方程时, 可以先将受控源当作独立源处理, 然后再找到受控源的控制量与节点电位的关系, 并将此关系代入节点方程 3 个独立节点的节点方程为 ( ) = ( ) 3 =. 5 x ( ) 3 = 用节点电位表示控制量 x : x =, 将其代入节点方程 0 解得 = V, = 40 V, 3 =.67 V, = 6.67 A x 3.. 弥尔曼定理 在实际电路中, 经常会遇到虽有多条支路, 但只有两个节点的电路, 如图 3-0 所示电路就属此类 对于此类电路, 用节点电位法进行分析求解最为简便 选定节点 为参考节点, 则独立节点 的节点方程为 ( G G G3 G4 ) = G S G S G 3 S3 S4 G S G S G 3 S3 S4 即 = G G G3 G4 将其表示成一般形式, 可写成 si = G i

56 第 3 章电阻电路的一般分析方法 53 其中分子各项应是代数和, 其正 负规定同前 上式称为弥尔曼定理, 它实质上是具有两个节点电路的节点方程 S S S3 3 4 S4 图 3-0 弥尔曼定理 思考与分析 用节点电位法列出如图 3-4 所示电路的节点方程 前两节, 以电路的两类约束为基本依据得出了支路电流法和节点电位法, 它们是电路分析的最基本方法, 通用性强, 是求解全电路 ( 即求解电路中所有支路电压 电流 ) 的有效方法 以下几节讨论几个电路定理, 以进一步理解电路的性质, 这些定理不仅对后继课程的学习十分有用, 而且也为人们求解电路提供了新的分析方法, 在很多情况下, 只需求解电路中的某一条支路电压 电流, 这些新方法要比一般的分析方法更简便 3.3 叠加定理 实训室活动 目的 : 练习电路接线, 进一步熟悉万用表 直流稳压电源等设备的使用 ; 使学生自行发现规律 总结结论, 提高研究能力, 加深对叠加定理的理解 设备与器材 : 万用表 直流稳压电源 模拟电路实验箱 二极管 (Z) 只 电阻器若干 操作步骤 : () 测量电阻器阻值, 并做好标记 ; 检测导线的通 断 ; () 按图 3- 连接电路 其中 = 00 Ω, = 00 Ω, 3 = 50 Ω, S = V, = 5V; S

57 54 电路基础 (3) 测量图 3- 中元件的电压和支路电流, 将测量数据记录于表 3- 中 ; a b c 3 - S S 3 - d 图 3- 叠加定理 (4) 将电源 去掉, 并用导线连接 c d 两点, 测量此时电路中元件的电压和支路电 S 流, 将测量数据记录于表 3- 中 ; (5) 将电源 去掉, 并用导线连接 a d 两点, 测量此时电路中元件的电压和支路电 S 流, 将测量数据记录于表 3- 中 ; (6) 在图 3- 电路中接入 只二极管, 令其与电阻 串联且正极 ( 阳极 ) 接 b 点 按表 3- 的要求测量此时电路中元件的电压和支路电流, 将测量数据记录于表 3- 中 ; (7) 分析数据, 总结规律 项目 表 3- 未接入二极管时的测量数据记录表 S ( V ) S ( V ) 两个电源共同作用 单独作用时 0 S S 单独作用时 0 项目 表 3- 接入二极管后的测量数据记录表 S ( V ) S ( V ) 两个电源共同作用 单独作用时 0 S S 单独作用时 0 bd ( V ) ( ma ) ( ma ) 3 bd ( V ) ( ma ) ( ma ) 3 观察表 3- 和表 3- 中的测量数据, 不难发现, 对于只由电源和线性电阻构成的测试电路 ( 见图 3-), 两个电源共同作用时的电压 电流都等于电源 单独作用时和电源 单 独作用时所得到的电压 电流的代数和 但是, 当在电路中接入一个非线性器件, 例如给电阻器 串联一只二极管时, 上述结论不成立 其实, 把观察到的现象用科学 严谨的语言表述出来, 得到的就是电路理论中最基本的定理 叠加定理 S S

58 第 3 章电阻电路的一般分析方法 55 叠加定理是线性电路的一个基本定理 由线性元件及独立电源组成的电路为线性电路 独立电源是非线性二端元件 ( 其伏安特性曲线不是过原点的直线 ), 但它们是电路的输入, 对电路起着激励的作用 在电路分析中, 为方便起见, 通常将信号源或电源输出的电压或电流称为激励, 由激励而在电路中产生的电压和电流称为响应 尽管电源是非线性的, 但只要电路的其他部分是由线性元件组成, 响应与激励之间将存在着线性关系 叠加定理可表述为 : 在线性电路中, 当有两个或两个以上独立电源作用时, 任一支路中的电压或电流等于电路中各个独立源分别单独作用时, 在该支路产生的电压或电流的代数和 当某个独立源单独作用时, 其他独立源应置零 所谓将独立源置零, 就是令它们的参数等于零值, 即将不作用的电压源短路, 电流源开路 叠加定理的公式为 : = (3-9) = (3-0) 式 (3-9) 和式 (3-0) 中的 为电路中所有独立源共同作用时, 在某支路产生的电压 电流, 称为总响应 ;,, 为各个独立源分别单独作用时, 在该支路产生的电压 电流, 称为分响应 例 3-6 用叠加定理求图 3-(a) 所示电路中的电流 3Ω 4Ω 3Ω 3Ω 4Ω 36V 6Ω 3A 36V 6Ω 6Ω 3A 图 3- 例 3-6 图 解 () 当电压源单独作用时, 电路如图 3-(b) 所示, 有 36 = = 4A 3 6 () 当电流源单独作用时, 电路如图 3-(c) 所示, 由分流公式, 得 3 = 3 = A 3 6 故总响应为 = = 5A 例 3-7 试用叠加定理求图 3-3(a) 所示电路中的电流 x

59 56 电路基础 Ω x a Ω Ω x a Ω x Ω a Ω 0V 3A x 0V x 3A x b b b 图 3-3 例 3-7 图 解对含受控源的电路运用叠加定理时, 必须注意 : 受控源的电压或电流不是电路的输入, 不能单独作用, 受控源和电阻一样, 应始终保留在各分电路中 () 当电压源单独作用时, 电路如图 3-3(b) 所示, 注意此时受控源的电压为 x 根据 KV, 有 0 3 = 0 解得 解得 x x = A x () 当电流源单独作用时, 电路如图 3-3(c) 所示, 注意此时受控源的电压为 x 选择节点 b 为参考点, 根据弥尔曼定理, 有 x 3 4 a = = x 3 又由欧姆定律 = 故总响应为 a x = 0.6A x = =.4 (A) x x x 应用叠加定理时需注意以下几个问题 () 叠加定理只适用于线性电路, 不适用于非线性电路 () 当某个独立源单独作用时, 其他独立源都应置零 受控源应作为一般元件保留在各分电路中, 不能做零值处理, 其值应随每一个独立源单独作用时控制量的变化而变化 (3) 各分响应的参考方向可以取为与总响应相同或不同 叠加时, 若分响应与总响应的参考方向相同, 则分响应的符号取 ; 反之, 分响应的符号应取 - (4) 原电路中某一元件的功率不等于各独立源单独作用时, 在该元件上所产生的功率的叠加 例如图 3- 电路中, 3 消耗的功率为 P = = ( ) ( ) ( )

60 第 3 章电阻电路的一般分析方法 57 (5) 运用叠加定理时也可以把独立源分组求解, 每个分电路中的独立源个数可能不止一个, 选择何种方式分组取决于对电路计算是否简便 思考与分析 图 3-(a) 所示电路, 当电压源的电压减小为 8V, 同时电流源的电流增大为 5A 时, 电流 变为多少? 3.4 等效电源定理 在分析计算一个复杂的线性电路时, 有时只需计算某一支路的电流或电压, 如果用前面介绍的支路电流法 节点电位法等一般分析方法来求解, 必然要引出其他一些不必要的电流或电压来, 从而增大计算量 ; 如果用叠加定理来求解, 在电源较多的情况下, 求解分响应的次数增多, 运用起来也不是很方便 实际上, 可以把这条要分析的支路单独抽出来, 则电路的其余部分为一个线性有源二端网络... ( 含有电源并具有两个端钮的网络, 又称为有源单口网络 ) 不论此有源二端网络的复杂程度如何, 它对所要计算的这条支路而言, 仅起到一个电源的作用 因此, 这个有源二端网络一定可以化简为一个等效电源, 并且经过等效变换后, 待求支路中的电流和电压不会改变 若求出了这个等效电源, 待求支路中的电流或电压就可以很方便地求出了 如何求这个等效电源, 这就是等效电源定理的内容 等效电源定理有两个 : 戴维南定理和诺顿定理 3.4. 戴维南定理 实训室活动 目的 : 熟练掌握万用表 直流稳压电源等设备的使用 ; 培养学生独立思考的能力, 使学生通过本次活动自己总结结论, 得出定理内容, 加深对戴维南定理的理解 设备与器材 : 万用表 直流稳压电源 模拟电路实验箱 电阻器若干 操作步骤 : () 测量电阻器阻值, 并做好标记 ; 检测导线的通 断 ; () 按图 3-4 连接电路, 其中 = 00 Ω, = 00 Ω, 3 = 50 Ω, S = V, S = 5V; (3) 测量图 3-4 电路中 分别为 00 Ω 00 Ω 470 Ω k Ω 时, 负载 两端的电压, 将测量数据记录于表 3-3 中 ; (4) 断开负载, 测量此时线性有源二端网络 N 端口的开路电压 O, 如图 3-5 所

61 58 电路基础 示, = V ; O (5) 将图 3-5 中的电源 去掉并用导线代替, 如图 3-6 所示, 测量此无源二 端网络的等效电阻, = Ω ; o o S S 3 a 3 a - S - S - S S O N b b 图 3-4 戴维南定理实验电路 图 3-5 测量 O 电路 (6) 按图 3-7 连接电路, 并测量 分别为 00 Ω 00 Ω 470 Ω k Ω 时, 负载 两端的电压, 将测量数据记录于表 3-3 中 ; 表 3-3 测量图 3-4 和图 3-7 电路中的电压 ( Ω ) 测量电压 由图 3-4 电路测量的电压 (V) 由图 3-7 电路测量的电压 (V) (7) 分析测量数据, 总结结论 ; (8) 用学过的等效变换法对图 3-4 电路中的线性有源二端网络 N 进行等效变换, 并将得到的最简电路与图 3-7 电路中的网络 N 进行比较, 验证结论的正确性 3 a a o o O b N b 图 3-6 测量 O 电路 图 3-7 等效电路

62 第 3 章电阻电路的一般分析方法 59 观察表 3-3 中的测量数据, 可以发现, 对于相同的负载 来说, 将其接到网络 N 的端口和接到网络 N 的端口, 负载上得到的电压和电流相等 也就是说, 网络 N 与网络 N 端口的伏安关系相同 根据 等效 的定义, 网络 N 与网络 N 对外电路来说是等效的 通过测量知, 网络 N 中电压源的电压就等于网络 N 端口的开路电压 O, 串联电阻 o 等于将网络 N 中所有独立源都置零后, 所得无源网络的等效电阻 此外, 用所学的等效变换法对网络 N 进行等效变换, 得到的最简网络与网络 N 相同, 这就进一步证明了上述结论是正确的 其实, 把通过本次实训活动得出的上述结论用科学 严谨的语言表述出来, 就是电路理论中一个非常重要的定理 戴维南定理 戴维南定理可表述为 : 任何一个线性有源二端网络 N, 对外电路而言, 都可以等效为一个电压源和一个电阻的串联组合 其中电压源的电压等于线性有源二端网络 N 端口的开路电压, 串联电阻的阻值等于将有源二端网络 N 中所有独立源都置零之后, 所得无源 O 网络 N 的等效电阻 0 o 戴维南定理可用图 3-8 描述如下 a o a N = 0 a b - O N - b O a - - N 0 b - b o 图 3-8 戴维南定理 图中 称为开路电压, 称为戴维南等效电阻 电压源 和电阻 的串联组合, O o 称为戴维南等效电路 应用戴维南定理, 可将复杂的线性有源二端网络用简单的戴维南等效电路代替, 使分析外电路中某电流 电压的工作状态变得简单明了 应用戴维南定理求解某支路电流 ( 或电压 ) 的步骤及注意事项. 步骤 () 将待求支路从电路中断开 () 设定余下的线性有源二端网络端口开路电压 的参考方向, 并求出 (3) 将线性有源二端网络中所有的独立源都置零 ( 电压源置零用短路代替, 电流源置零用开路代替 ), 求出得到的无源网络的等效电阻 o (4) 画出原线性有源二端网络的戴维南等效电路, 并将其与待求支路连接, 组成简单 O O o O

63 60 电路基础 的单回路电路, 求出未知量 可将以上步骤归纳为 断 算 接 三个字. 注意事项 () 戴维南定理只适用于将线性有源二端网络进行等效, 不适用于非线性网络 () 戴维南等效电路中电压源电压的参考方向与数值, 要与线性有源二端网络端 O 口开路电压的参考方向与数值保持一致 (3) 戴维南等效电路中电阻是指将原有源二端网络内的所有独立源都置零后, 从其 端口看入的等效电阻, 受控源不能置零, 应保留在无源网络中 (4) 戴维南等效电路只对外电路等效, 对内电路不等效 例 3-8 试用戴维南定理求图 3-9(a) 电路中的电流 o 3Ω Ω V 3Ω Ω V = 0 a A Ω V (a) 3Ω a o 5Ω A 5V V - (b) - O O b a 5Ω 5Ω o (c) b (d) b 图 3-9 例 3-8 图 解 按戴维南定理求解某支路电流 ( 或电压 ) 的步骤求解 () 将 5 Ω 电阻从电路中断开 () 设线性有源二端网络端口开路电压 的参考方向如图 3-9(b) 所示, 求 : 注意此时有源二端网络端口的电流 = 0, 则 O = = 5V (3) 求 : 将原有源二端网络中所有的独立源都置零, 得到如图 3-9(c) 所示的无 源网络, 则 o O O

64 第 3 章电阻电路的一般分析方法 6 o = 3 = 5Ω (4) 原电路的戴维南等效电路如图 3-9(d) 所示, 求电流 : 5 = =.5 A 5 5 例 3-9 电路如图 3-0(a) 所示, 求电压 解与支路电流法 节点电位法 叠加定理相比较, 对本例而言, 用戴维南定理求解思路简单且计算量较小 () 将 0 Ω 电阻和 0 V 电压源串联支路作为待求支路从电路中断开 () 设线性有源二端网络端口开路电压 的参考方向如图 3-0(b) 所示, 求 : 选节点 c 为参考节点, 根据弥尔曼定理, 节点 a 的电位为 a = = = 30 V 根据 KV, 得 O = = = 30 0 = 50 V bc a ab O O a b a 0Ω = 0 b 0Ω 5V A O 5V 0Ω 0Ω b b 50V 0Ω 0Ω 0Ω o 0Ω o 0V 图 3-0 例 3-9 图 (3) 求 : 将原有源二端网络中所有的独立源都置零, 得到如图 3-0(c) 所示的无 源网络, 则 o o = 0 // 0 0 = 0 Ω

65 6 电路基础 (4) 原电路的戴维南等效电路如图 3-0(d) 所示, 求电压 : 根据 KV, 有 ( 0 0) 0 50= 0 解得 = A 则 = 0 = 0 V 显然, 用戴维南定理求解电路的关键是如何正确地求出 O O 和. 求的方法 : 前面讲过的任何方法, 如等效变换法 支路电流法 节点电位法 叠加定理等都可以选用, 至于选择何种方法简便, 需视具体电路形式而定. 求 的方法 : 若线性有源二端网络 N 中无受控源, 可采用化简法 ; 若线性有源二 o 端网络 N 中含有受控源, 可采用开路 短路法或外加电源法 () 化简法 将有源二端网络中所有的独立源都置零后, 得到的无源网络 N 为一纯 N 0 o 电阻网络, 利用电阻的串 并联和 Y 等效变换等方法即可求出 () 开路 短路法 即在求得有源二端网络 N 端口的开路电压 后, 再将网络 N 的 端口短路, 如图 3- 所示, 并取短路电流 的参考方向与 一致, 求出 等效电阻为 O o = S S O o O S, 则戴维南 (3) 外加电源法 将有源二端网络 N 中所有的独立源都置零, 保留受控源, 得到一无源网络, 然后在无源网络 N 的端口外加一个电压为 的电压源, 如图 3- 所示, 由于 N0 0 该电压源的作用在网络 N0 的端口上产生的电流为, 则戴维南等效电阻为 o = 需注 意 : 端钮上的 和 为非关联参考方向 a a N S N0 b 图 3- 求短路电流电路 图 3- 外加电源法求 O b 例 3-0 求图 3-3(a) 所示电路的戴维南等效电路 解 () 求 : 将受控电流源与电阻的并联等效变换成受控电压源与电阻的串联, O 如图 3-3(b) 所示 因为 = 0 则 O O = = 4 O

66 第 3 章电阻电路的一般分析方法 63 4 所以 O = V 5 () 求 :( 方法一 ) 采用开路 短路法 将图 3-3(b) 的 a b 端钮短路, 此时 O = 0, o 故受控电压源的电压 4 = 0, 则受控电压源可用短路代替, 得到如图 3-3(d) 所示电路 O 设短路电流为 S, 由图可知 S = = = A // 4 O 8 所以 5 o = = = Ω 3 S 5 ( 方法二 ) 采用外加电源法 将图 3-3(b) 中的 6 V 电压源短路, 保留受控源, 并在 a b 端钮间外加一电压为 的电压源, 设电流为, 如图 3-3(c) 所示 根据 KV, 有 4 ( //) = 0 整理, 得 8 = 5 所以 8 o = = Ω 5 (3) 画出戴维南等效电路, 如图 3-3(e) 所示 Ω Ω a Ω Ω 4 O a 6V Ω 6V Ω O b b a Ω 4 a Ω Ω a O 4 V 5 Ω Ω 6V Ω S o 8 5 Ω b (d) b (e) b 图 3-3 例 3-0 图

67 64 电路基础 3.4. 诺顿定理 诺顿定理可表述为 : 任何一个线性有源二端网络 N, 对外电路而言, 都可以等效为一个电流源和一个电阻的并联组合 其中电流源的电流等于线性有源二端网络 N 端口的短路电流, 并联电阻的阻值等于将有源二端网络 N 中所有独立源都置零之后, 所得无源网络 N0 S 的等效电阻 这一电流源 和电阻的并联组合, 称为诺顿等效电路 o 诺顿定理可用图 3-4 描述如下 : S o a a N a b S N S o b b N 0 a b o 图 3-4 诺顿定理 根据实际电源两种模型的等效变换, 由线性有源二端网络的戴维南等效电路可以很方便地求得该网络的诺顿等效电路 例 3- 试用诺顿定理再求图 3-9(a) 电路中的电流 解 () 将 5 Ω 电阻从电路中断开, 并将线性有源二端网络端口短路 () 设短路电流 S 的参考方向如图 3-5(a) 所示, 求 S 3Ω V a 3Ω V a a Ω Ω A V S V S b b b 图 3-5 例 3- 求短路电流 S 图将 V 和 V 电压源看作一组, 将 A电流源看作一组 根据叠加定理, 当两个电压源单独作用时, 电路如图 3-5(b) 所示, 由 KV 得分响应为

68 第 3 章电阻电路的一般分析方法 65 S = = A 3 5 当电流源单独作用时, 电路如图 3-5(c) 所示, 由分流公式得分响应为 4 S = = A 则总响应为 S = S S = = 3A 5 5 (3) 求 : 将图 3-9(b) 中所有的独立源都置零, 得到如图 3-9(c) 所示的无源网 o 络, 则 o = 3 = 5Ω (4) 原电路的诺顿等效电路如图 3-6 所示, 求电流 : 由分流公式, 得 = 3 =.5A a S 3A o 5Ω 5Ω b 图 3-6 例 3- 诺顿等效电路此结果与例 3-8 用戴维南定理求解的结果相同 思考与分析 已知一个线性有源二端网络如图 3-7 所示, 试求出其戴维南等效电路 4Ω a S 0V S 8V Ω 3 3Ω b 图 3-7 思考与分析题 图

69 66 电路基础 3.5 最大功率传输定理 本节介绍戴维南定理的一个重要应用 在测量 电子和信息工程的电子设备设计中, 常常遇到负载如何从电路获得最大功率的问题 在给定了有源二端网络的情况下, 负载不同, 有源二端网络传递给负载的功率也不同 负载为何值时, 能得到最大功率? 获得的最大功率又为多大? 这类问题可以抽象地用图 3-8 所示的电路模型来分析 a N a - b b (a) (b) o O 图 3-8 最大功率传输定理 图 3-8(a) 中, 网络 N 表示一给定的线性有源二端网络, 它供给负载能量 对负载 而言, 网络 N 可用戴维南等效电路来代替, 如图 3-8(b) 所示, 则负载 获得 ( 吸收 ) 的功率可表示为 O P = = (3-) ( o ) 式 (3-) 中 O o 一定, 可变 dp 根据数学中求极值的方法可知, 欲求 P 的最大值, 应使 0 d =, 即 dp O ( o ) O ( o ) = = 0 4 d ( o ) 从而有 ( o ) ( o ) = 0 由此可求得 P 为极大值或极小值的条件是 = o (3-) 由于

70 第 3 章电阻电路的一般分析方法 67 d P = < 0 d 8 O 3 o > 0 由此可知, 当 o > 0 且 = o时, 负载 可从有源二端网络获得最大功率 最大功率传输定理可表述为 : 线性有源二端网络 N 传输给负载 最大功率的条件是 : 负载 应与有源二端网络 N 的戴维南 ( 诺顿 ) 等效电阻 o 相等 满足 = o 条件时, 称为最大功率匹配, 此时负载 获得的最大功率为 P max o = 4 若用诺顿等效电路, 则可表示为 Pmax = o S 4 需要注意的是 : 当满足最大功率匹配条件 ( = o > 0 ) 时, 有源二端网络的输出电 阻 o 吸收的功率与负载 吸收的功率相等, 对电压源 O 而言, 功率传输效率只有 η = 50 % 对有源二端网络 N 中的独立源而言, 效率可能更低 在电子技术中, 由于信号 比较微弱, 通常是力求使负载获得最大的信号功率, 而传输效率并不是最主要的问题, 因此往往要求电路处于匹配的工作状态 但在电力系统中, 要求尽可能提高效率, 以便更充分地利用能源, 因此应尽量避免匹配 例 3- 电路如图 3-9(a) 所示 试求 :() 为何值时获得最大功率 ;() 获得的最大功率 ;(3)360 V 电压源的功率传输效率 解 () 断开负载, 求线性有源二端网络 N 的戴维南等效电路 : 50 O = 360 = 300 V o = 30 //50 = = 5 Ω 如图 3-9(b) 所示, 因此当 = o = 5Ω 时, 可获得最大功率 () 获得的最大功率为 : O 300 Pmax = = = 900 W 4o 4 5 (3) 当 = 5Ω 时, 由戴维南等效电路得其两端电压为 V 5 5 = 由图 3-9(a) 可知, 流过 360 V 电压源的电流为 = = 7A 30 O o

71 68 电路基础 则 360 V 电压源产生的功率为 P = = 50 W 因此,360 V 电压源的功率传输效率为 900 η = 00% = 35.7% 50 30Ω a 5Ω 360V 50Ω 300V N b 图 3-9 例 3- 图 思考与分析 有一个 00 Ω 的负载要想一个内阻为 50 Ω 的电源获取最大功率, 采取再用一个 00 Ω 的电阻与该负载并联的办法是否可以? 3.6 本章小结. 支路电流法是以电路中各条支路的电流作为未知量, 直接应用 K 和 KV 列方程组, 解出各未知电流的方法 对于具有 n 个节点 b 条支路的电路, 其 K 独立方程数为 ( n ) 个, KV 独立方程数为 b( n) 个 支路电流法是电路分析中最基本的方法, 适用于平面与非平面电路. 节点电位法适用于平面与非平面电路, 其方法是 : () 以电路中各独立节点的电位为未知量, 列出节点方程 ( 实质为 K 方程 ); () 求解节点方程得到节点电位, 再利用 KV 和 V 方程求出各支路电压 电流 分析和计算少节点 多支路的电路时, 适合用此方法 3. 叠加定理只适用于分析求解线性电路 在线性电路中, 当有多个独立源共同作用时, 任一支路中的电压或电流等于电路中各个独立源分别单独作用时, 在该支路产生的电压或电流的代数和 当某个独立源单独作用时, 其他独立源应置零, 即将不作用的电压源短路, 电流源开路

72 第 3 章电阻电路的一般分析方法 等效电源定理包括两个 : 戴维南定理和诺顿定理 戴维南定理指出 : 任何一个线性有源二端网络 N, 对外电路而言, 都可以等效为一个电压源和一个电阻的串联组合 其中电压源的电压等于线性有源二端网络 N 端口的开路电压, 串联电阻的阻值等于将有源二端网络 N 中所有独立源都置零之后, 所得无源网络 N0 O 的等效电阻 这一电压源 o O 和电阻 的串联组合, 称为戴维南等效电路 o 诺顿定理指出 : 任何一个线性有源二端网络 N, 对外电路而言, 都可以等效为一个电流源和一个电阻的并联组合 其中电流源的电流等于线性有源二端网络 N 端口的短路电流, 并联电阻的阻值等于将有源二端网络中所有独立源都置零之后, 所得无源网络 N 的 S N 0 等效电阻 这一电流源 和电阻的并联组合, 称为诺顿等效电路 o S o 戴维南定理和诺顿定理只适用于将线性有源二端网络进行等效, 不适用于非线性网络 应用戴维南定理和诺顿定理, 可将任何复杂的线性有源二端网络用简单的戴维南 诺顿等效电路代替, 使分析计算外电路中的某电流 电压变得简便 5. 最大功率传输定理指出 : 线性有源二端网络 N 传输给负载 最大功率的条件是 : 负载 应与有源二端网络 N 的戴维南 ( 诺顿 ) 等效电阻 o 相等 满足 = o 条件时, 称为最大功率匹配, 此时负载 获得的最大功率为 O max = = o S 4o 4 P 3.7 自测与练习 3- 如图 3-30 所示电路, 电压源 S 提供的功率为, 电压源 S 提供的功率为 3- 如图 3-3 所示电路, 电压源单独作用时电流 = A, 电流源单独作用时电流 = A, 两个电源共同作用时电流 = A 当电压源的电压增加 3 V, 同时电流源的电流增加 6 A时, 电流 = A 3 Ω Ω S 5V 5Ω S 0Ω Ω Ω 6V Ω 5A 图 3-30 自测与练习 3- 图 图 3-3 自测与练习 3- 图

73 70 电路基础 3-3 线性有源二端网络, 可等效为一个 和 串联的简单电 路, 也可等效为一个 和 并联的简单电路 3-4 戴维南等效电路中电压源的电压 O 等于有源二端网络端口处的 ( 短 路 开路 ) 电压 3-5 线性有源二端网络外接负载, 当负载 满足 条件时, 负载获 得的功率最大为 3-6 已知某线性有源二端网络的开路电压为 0 V, 当它外接电压为 50 V 的电压源 ( 参考方向与开路电压方向一致 ) 时, 输入电流为 5A 由此可知该有源二端网络的诺顿等效电路的参数 = A, = Ω 它对外可提供的最大功率 P = S o W 3-7 在图 3-3 所示电路中, 已知 = kω, = kω, 3 = 3kΩ, 4 = 6kΩ, 4 = ma, 各电源值均不知道 当 S 增加 0 V 时, 通过 4 的电流 4 变为 ( ) (a)0.83 m A (b).83 ma (c).5 ma (d)5 ma 3 S V 3A 3Ω Ω a max - S - S b 图 3-3 自测与练习 3-7 图 图 3-33 自测与练习 3-8 图 3-8 线性有源二端网络如图 3-33 所示, 其戴维南等效参数 等于 ( ), 等 于 ( ) (a)5 V, Ω (b)5.4 V,. Ω (c)9.6 V,. Ω (d)9.6 V,.5 Ω 3-9 图 3-34 所示电路, 负载电阻 为 ( ) 时可获得最大功率, 该最大功率 Pmax 为 ( ) (a) Ω,3 W (b) Ω,6 W (c)4 Ω,3 W (d)4 Ω,6 W 3-0 如图 3-35 所示电路, 试分别用支路电流法和节点电位法求电压 Ω u V 4u Ω 0V - 6Ω O 0-4Ω - 0A o 图 3-34 自测与练习 3-9 图 图 3-35 自测与练习 3-0 图

74 第 3 章电阻电路的一般分析方法 7 3- 如图 3-36 所示电路, 试用节点电位法求电压 3- 求图 3-37 所示电路中 吸收的功率 5V 0Ω 0V 0Ω 5Ω A 4Ω 0V Ω 4V Ω 图 3-36 自测与练习 3- 图 图 3-37 自测与练习 3- 图 3-3 如图 3-38 所示电路, 用叠加定理求电流 3-4 如图 3-39 所示电路, 已知电阻均为 Ω, S = 5V, 求各支路电流 0Ω 0Ω Ω 3 Ω Ω 4A 0Ω 0V S 4 Ω Ω 5 Ω 图 3-38 自测与练习 3-3 图 图 3-39 自测与练习 3-4 图 3-5 如图 3-40 所示电路, 试分别用戴维南定理和诺顿定理求电压 0 9V 6Ω 6 3Ω 3Ω 0 图 3-40 自测与练习 3-5 图

75 第 4 章正弦交流电路 前面已介绍了直流电路, 直流电路中电压和电流的大小和方向都不随时间变化, 但实际生产中广泛应用的是一种大小和方向随时间成周期性变化的电压或电流, 叫作交流电 为了形象地说明交流电, 把它沿时间坐标展开, 即横轴代表时间, 纵轴代表交流电电压或电流的大小, 如图 4- 所示 其中图 (a) 所示交流电, 其大小和方向随时间按 锯齿 形变化, 称锯齿形交流电 ; 图 (b) 所示交流电, 其大小和方向随时间按 矩形 变化, 称矩形交流电 ; 图 (c) 所示交流电, 其大小和方向随时间按正弦函数变化, 称正弦交流电 i i i t t t 图 4- 交流电 在生产和生活的各个领域中, 人们所用的电主要是正弦交流电, 因为正弦交流电容易产生 传输和使用 本章主要介绍正弦交流电的基本概念及表达, 正弦交流电路中基本元件的特征, 一般正弦交流电路的分析, 正弦交流电路的功率 功率因数等 4. 正弦交流电的基本概念 正弦交流电的变化规律与数学中的正弦函数相同, 所以, 可以用正弦函数式来表示正弦交流电 如图 4-(c) 所示, 它的正弦函数表达式为 i = sin( ωt ) m ψ (4-) 式中, i 表示正弦电流的瞬时大小, 称瞬时值 m 表示正弦电流振幅, 称最大值 ω 表示正弦电流的角频率, 称电角频率 ψ 表示正弦电流的初始相角 其中 ω m 和 ψ 是区别不同正弦电流的主要依据, 称为正弦电流的三要素

76 第 4 章正弦交流电路 大小的表示 正弦交流电的大小可以用瞬时值 最大值和有效值来表示 正弦交流电在变化过程中, 任一时刻的实际值叫作瞬时值 瞬时值是时间的函数, 不同时刻其值不同, 所以用小写字母表示, 如用字母 e u i 分别表示正弦交流电动势 电压和电流的瞬时值 正弦交流电在变化过程中所出现的最大瞬时值叫作最大值 对于稳定的正弦交流电来说, 最大值是不变的, 用大写字 i 母加下脚标 m 表示, 如用字母 Em m m 分别表示正弦交流 m 电动势 电压和电流的最大值, 如图 4- 所示 用瞬时值或最大值表示的正弦交流电在测量和使用上不方 O t 便, 为了能够表示正弦交流电的做功效果, 又引入有效值来表示正弦交流电的大小 T 如果一正弦交流电的做功能力相当于一直流电, 则把直流电的数值 ( 如 ) 称作该交流电数值 ( 如 u i ) 的有效值 图 4- 正弦交流电对于稳定的正弦交流电来说, 有效值是不变的, 所以用大写字母表示, 如用字母 E 分别表示正弦交流电动势 电压和电流的有效值 一般情况下, 提到的交流电的数值都是有效值 一个周期内直流电通过电阻 所产生的热量为 Q= T 交流电通过同样的电阻所产生的热量为 T i 0 Q= dt 从有效值的定义可以得出 T T = i dt 0 由上式可得 T = i dt T 0 上述有效值定义式适用于任何波形的周期性电学量 对于正弦交流电流, 则有 T = m sin ( ωt )d T ψ t 0 m = = 0.707m (4-) 可见, 正弦交流电的最大值是有效值的 倍

77 74 电路基础 4.. 变化快慢的表示 正弦交流电随时间作周期性变化, 其变化的快慢可以用周期 频率和电角频率三个量分别表示 所谓周期是指正弦交流电完成一次变化所用的时间, 用字母 T 表示, 单位为秒 ( s ), 如图 4- 所示 周期越大, 变化一周所用时间越长, 正弦交流电变化的越慢 ; 反之周期越小, 变化一周所用时间越短, 正弦交流电变化得越快 所谓频率是指单位时间内正弦交流电交变的次数, 用字母 f 表示, 单位为赫兹 ( Hz ), 3 6 常用的单位还有千赫 ( khz ) 兆赫( MHz ) 千赫 = 0 赫兹, 兆赫 = 0 赫兹 频率越大, 变化一周所用时间越短, 正弦交流电变化得越快 ; 反之频率越小, 变化一周所用时间越长, 正弦交流电变化得越慢 周期与频率互为倒数关系, 即 T = (4-3) f 我国和世界上大多数国家, 电力用电的标准频率都是 50 Hz, 其周期为 0.0 s 少数国家的电力用电标准频率是 60 H z 所谓电角频率是指交流电在每秒钟内所变化的角度, 用字母 ω 表示, 单位弧度 / 秒 - ( rad s ) 正弦交流电每一周期内经历的电角度为 π 弧度, 因而电角频率 ω 为 π ω = πf = (4-4) T 例如频率 f = 50 Hz 的交流电, 其电角频率为 ω = πf = 34 rad s 由式 (4-4) 看出 ω 和 f 只差 π 倍, 所以也可以用 ω 表示正弦交流电变化的快慢 由于时间 t 和电角度 ω t 存在对应关系, 所以在坐标系中也可以用电角度作横轴, 将给某些研究带来很大的方便 4..3 相位及相位关系 从式 (4-) 可以看出, 正弦交流电在随时间变化的过程中, 不同的时刻, 对应不同的角度, 从而得到不同的瞬时值, 所以 ( ω t ψ ) 反映了正弦量的变化进程, 称 ( ω t ψ ) 为正弦量的相位 相位是一个随时间变化的量, 把 t = 0 时刻的相位叫作初相位, 即为 ψ 习惯上初相位的绝对值不超过 π, 即 ψ π 两个同频率正弦交流电的相位之差称为相位差 因为频率相等, 所以也等于它们的初相位之差 例如 : i= msin( ωtψ ) u= sin( ωtψ ) m

78 第 4 章正弦交流电路 75 的相位差为 ( t ) ( t ) ϕ = ω ψ ω ψ = ψ ψ (4-5) 两个同频率正弦交流电, 如果一个比另一个先达到正的最大值 ( 或零 ), 那么在相位上就说前者 超前 于后者, 或者说后者 滞后 于前者 下面分别加以讨论 : () ϕ = ψ ψ >0 且 ϕ π, 如图 4-3(a) 所示, 则 i 超前于 u ; () ϕ = ψ ψ <0 且 ϕ π, 如图 4-3(a) 所示, 则 u 滞后于 i ; (3) ϕ = ψψ =0, 如图 4-3(b) 所示, 则称两个正弦交流电同相 ; (4) ϕ = ψ ψ = ± π, 如图 4-3(c) 所示, 则称两个正弦交流电反相 u,i u,i u,i i O ϕ ϕ u ωt ϕ ϕ u i O ωt ϕ u O i ωt ϕ (a) (b) (c) 图 4-3 同频率正弦交流电的相位关系例 4- 现有一正弦交流电, 其有效值为 0 V, 频率为 50 Hz, 在 t = 0 时瞬时值为 69 V, 写出其解析式 解由已知得 ω = πf = π 50 = 34 rad s m = = 0 = 3 V 又, 在 t = 0 时, u = 69 V, 所以 69 = 3sinψ, sinψ = 0.866, 得 ψ = 60 或 ψ = 0 所以其解析式为 u = 3sin(34t 60 ) V 或 u = 3sin(34t 0 ) V 例 4- 已知两个正弦交流电 i = 0. sin(34t 75 ) A, i = 0. sin(34t 55 ) A, 求它们的相位差, 并指出两者的相位关系 解相位差 ϕ = 75 ( 55 ) = 30, 由于 ϕ = 30 < 80, 所以超前 i 30 i

79 76 电路基础 例 4-3 有一电台的频率为 84. MHz, 试求其周期和电角频率 解 : 因为周期 T =, 电角频率 ω = πf, f 8 所以 T = = μs ω = π rad s 思考与分析. 有一直流耐压值为 0 V 的交 直流通用电容器, 能否把它接在 0 V 的交流电源上?. 已知 u = 3sin(34t 60 ) V 和 u = 3sin(68t 0 ) V, 能否说 u 超前 i 60? 3. 一白炽灯额定电压为交流 0 V, 当接在直流 0 V 中时其亮度是否相同? 4. 有人说, 交流电的最大值都等于有效值的 倍 这样说对吗? 为什么? 4. 正弦交流电的相量表示法 前面已经介绍了两种表示正弦交流电的方法 : 正弦函数形式和波形图 但这两种方法在分析和计算交流电路时不方便, 为此, 下面将介绍正弦交流电的相量表示法 由于相量法要涉及到复数, 所以先扼要复习一下复数的相关知识 4.. 复数及四则运算 复数由实部和虚部组成, 常用 了与电流相区别, 虚数单位用 j 表示, 即 复数有下列四种表示形式 () 复数的代数形式 () 复数的三角形式 (3) 复数的指数形式 (4) 复数的极坐标形式 A = a ib表示, 其中 i 为虚数单位 在电路分析中, 为 j = A = a jb (4-6) A= r(cosθ jsin θ ) (4-7) A j = re θ (4-8) A= r θ (4-9)

80 第 4 章正弦交流电路 77 其中,a 表示实部,b 表示虚部,r 表示复数的模,θ 表示复数的辐角, 它们之间的关系为 r = a b (4-0) θ = arctan b a (4-) a= rcosθ (4-) b= rsinθ (4-3) 在复数平面中用矢量表示为如图 4-4 所示 j b r A=ajb o θ a 图 4-4 复数平面 复数的四则运算法则为 : () 两个复数相加减, 实部和虚部分别相加减 ; 例如 : A = a jb A = a b 则 j A ± A = ( a ± a ) j( b ± b ) () 两个复数相乘除, 模相乘除, 辐角相加减 例如 : 则 A r e jθ = A re jθ = A A r r θ θ e j( ) = A A r = r e j( θ θ ) 4.. 相量表示法 正弦交流电的三要素是决定不同正弦交流电的依据, 所以只要能表示出三要素, 就能

81 78 电路基础 用来表示正弦交流电 引入相量表示法的目的是为了计算, 而两个同频率的正弦交流电相加或相减, 其频率不变, 差异仅在最大值和初相位, 所以, 在计算中, 可以不考虑 ω t, 只取 ω t =0 时刻来计算, 在最后结果中再把 ω t 加上, 因此, 用复数形式可以表示正弦交流电 所谓相量, 是一个代表某一个正弦量的复数, 它的模与正弦量的最大值 ( 或有效值 ) 相等, 辐角与正弦量的初相位相等, 称为最大值相量 ( 或有效值相量 ), 用最大值 ( 或有效 值 ) 字母上加一点表示 例如正弦交流电动势 电压和电流的最大值相量形式为 E m m m, 正弦交流电动势 电压和电流的有效值相量形式为 E 选用最大值相量形式还是有效值相量形式需要根据不同情况来定 例如, 对于正弦交流电 i= sin( ωtψ ) m 其相量形式为 m = m ψ m cos j sinψ 或 = cos ψ jsin ψ 相量在复平面上的图形称为相量图, 如图 4-5(a) (b) 所示 在只关心同一复平面内几个相量的相互位置关系时, 也可以把复平面去掉, 如图 4-5(c) 所示 j j O m ϕ m O ϕ 图 4-5 相量图 例 4-4 已知复数 A = 8 j6, 试写出其三角表达式和指数表达式 解由于这个复数的实部和虚部都为正数, 所以该复数矢量在第一象限, 则 所以其三角表达式为 指数表达式为 r = 8 6 = 0 ϕ = tan = A = 0(cos36.8 jsin 36.8 ) j36.8 A =0e

82 第 4 章正弦交流电路 79 例 4-5 试求出下列两个正弦交流电的和, 并用相量图表示 u = 3 sin(34t 0 ) V u = 5 sin(34t 70 ) V 解 : 用相量形式表示两个交流电为 所以两个正弦交流电的和为 相量图如图 4-6 所示 = 3(cos 0 jsin 0 ) =.89 j.06 V = 5cos( 70 ) j5sin( 70 ) =.70 j4.698 V =.89 j j4.698 = 4.59 j3.67 = 5.83 ( ) V u = 5.83 sin(34t ) V j o 图 4-6 例 4-5 图 思考与分析. 已知两个正弦交流电的频率 f = 00 Hz f = 5kHz, 求它们的周期和角频率. 一正弦交流电的初相位为 30, 已知在 t = 0 时刻电流为 5A, 求其最大值 3. 不同频率的正弦交流电能否表示在同一相量图中? 为什么? 4. 下列等式表达的含义是否相同? 为什么?

83 80 电路基础 () = 5A () = 5A (3) = 5A (4) i = 5A m t 4.3 单一参数正弦交流电路的分析 在稳定的直流电路中, 电容器和电感线圈不产生相应的作用, 所以只有电阻元件 但在交流电路中不但要考虑电阻元件, 还要考虑电感线圈和电容器 对于一个实际的元件, 常同时存在电阻 电感和电容三个参数的作用, 但它们在电路中的作用往往有主有次 为了简化分析, 一般只考虑主要参数的作用, 这个元件就变成只有一个参数的理想元件 下面就来讨论分别由电阻 电感或电容三种单一参数所组成的电路 4.3. 纯电阻电路 在只有电阻丝 白炽灯或电烙铁等作用的电路中, 电阻起主要作用, 可以当作纯电阻 i 电路, 如图 4-7 所示 若在电阻两端所加正弦交流电压为 u u sinωt m 参考方向如图 4-7 所示 在此电压作用下电路中产生的电流用 i 表示, 参考方向与电压的参考方向关联一致 虽然电压和电流都在随时间作 图 4-7 纯电阻电路 周期性往复变化, 但就每一瞬时来说, 它们之间的关系仍服从欧姆定律, 即 u i = (4-5) 将式 (4-4) 代入, 得 u msinωt m i= = = sinωt = m sinωt (4-6) 有效值的关系式为 = (4-7) 用有效值相量形式表示电压和电流关系有 o j0 = e o j0 = e

84 第 4 章正弦交流电路 8 o j0 e j(0 0 ) e o o = = = o = j0 e 即 = (4-8) 此式称为相量形式的欧姆定律, 它不但能表示电压和电流有效值的大小关系, 而且还能表示相位关系, 对分析和计算电路非常重要 从以上可以看出 : () 电阻元件的电压和电流的瞬时值 有效值 相量形式的关系都服从欧姆定律形式 ; () 电阻元件的电压和电流同频同相, 用波形图和相量图表示为如图 4-8 所示 正弦交流电路中, 任意瞬时, 电阻元件上的电压瞬时值与电流瞬时值的乘积称为该元件的瞬时功率, 用小写字母 p 表示, 即 p= ui (4-9) 在电压和电流的关联参考方向下, 将式 (4-4) 和式 (4-6) 代入式 (4-9), 得 p= ui= msinωt msinωt = sin ωt = ( cos ωt) (4-0) 根据式 (4-9), 在图 4-8( a ) 中可以画出瞬时功率的波形图, 如图 4-9 所示 u p O u i π π O ωt i P t p 0 p 0 图 4-8 电压和电流的关系 图 4-9 纯电阻电路的瞬时功率 从图 4-9 可以看出, 瞬时功率的频率是电压 电流频率的两倍, 并且 p 0 即电阻永远处于吸收电能状态, 是耗能元件 瞬时功率在一个周期内的平均值称为平均功率 对于稳定的正弦交流电, 平均功率不

85 8 电路基础 变, 所以用大写字母 P 表示, 如图 4-9 所示, 即 T T P = pt d ( cos t)dt T = ω = 0 T 0 即 P= = = (4-) 单位为瓦特 ( W ), 常用的单位还有千瓦 ( kw ), 千瓦 = 000 瓦 平均功率是电路中实际消耗的功率, 所以又叫有功功率 通常在用电器铭牌上标注的功率都是指此功率 4.3. 纯电感电路 u 图 4-0 纯电感电路 在只有线圈的电路中, 电感起主要作用, 可以当作纯电感电路, 如图 4-0 所示 设此线圈为 N 匝, 在外加电压 u 时产生电流 i, 该电流通过线圈产生的磁通为 φ, 则总磁通为 Nφ 在线圈中没有铁磁性材料时, 电流 i 与总磁通 Nφ 成正比, 即 i 等式为 i Nφ = Nφ (4-) 其中 为自感系数 ( 或电感 ), 是电感元件的参数, 单位是亨利 ( H ) 根据法拉第电磁感应定律可知 dφ e = N (4-3) d t 在规定参考方向下, 由 KV 得 dφ di u = e = N = dt dt 即 di u = (4-4) d t 设电流为 i= sinωt (4-5) m 代入式 (4-4), 得 d u = ( m sin ωt ) dt π = mωsin( ωt )

86 第 4 章正弦交流电路 83 其中 有效值关系式为 π = m sin( ωt ) (4-6) = ω= X X 称为感抗, 单位为欧姆 ( Ω ) 用有效值相量形式表示电压和电流关系有 即 = ω (4-7) π e j = = j0 e π j π e j = = e = jx j0 e = X (4-8) j 此式称为相量形式的欧姆定律, 它不但能表示电压和电流有效值的大小关系, 而且还能表示相位关系, 对分析和计算电路非常重要 从以上可以看出 : () 电感元件的电压和电流的瞬时值之间不服从欧姆定律形式, 有效值 相量形式的关系服从欧姆定律形式 () 电感元件的电压和电流同频, 在相位上, 电压超前电流 π/, 用波形图和相量图表示为如图 4- 所示 正弦交流电路中, 任意瞬时, 电感元件上的电压瞬时值与电流瞬时值的乘积称为该元件的瞬时功率, 用小写字母 p 表示, 即 p= ui (4-9) 将式 (4-5) 和式 (4-6) 代入式 (4-9), 得 π p= ui= msin( ωt ) msinωt = sin ωt 根据式 (4-9), 在图 4-(a) 中可以画出瞬时功率的波形图, 如图 4- 所示 从图 4- 可以看出, 瞬时功率的频率是电压 电流频率的两倍, 并且在一个周期内吸收的电能与放出的电能相等, 即 p吸 = p放所以电感不消耗电能, 是储能元件

87 84 电路基础 u i & p u i O π ωt & O p 0 p 0p 0 p 0 ωt 图 4- 电压和电流的关系 图 4- 纯电感电路的瞬时功率 电感电路中没有电能的损耗, 所以瞬时功率在一个周期内的平均值为零, 即 P = 0 (4-30) 这一点也可以从图 4- 中显示出来 由电感的平均功率也可以计算出来, 即 T T P = pdt = sinωtdt = T T 虽然在电感电路中没有电能损耗, 但是能够储存电能, 为了衡量电感元件与外间交换能量的规模, 引入无功功率, 用 Q 表示, 在数值上等于瞬时功率的最大值, 即 单位是乏 ( var ) Q= (4-3) 纯电容电路 u i 图 4-3 纯电容电路 根据电流的定义式可知 把式 (4-3) 代入, 得 在只有电容的电路中, 电容起主要作用, 可以当作纯电容电路, 如图 4-3 所示 当在电容器两端加上电压 u 时, 两个极板上要积累电荷 q, 且两 者成正比, 即 q u 用等式表示为 q= u (4-3) 式中, 是表征电容器聚集电荷能力的参数, 称为电容, 单位法拉 ( F ), 常用的单位还有微法 ( μf ) 和皮法 ( pf ), 换算关系为 6 μf= 0 F = dq i = dt pf 0 F i du = (4-33) d t

88 第 4 章正弦交流电路 85 设电压为 u = sinωt (4-34) m 代入上式, 得 du dm sinωt π i = = = ωm sin( ωt ) dt dt π = m sin( ωt ) (4-35) 有效值关系为 = =X (4-36) ω 其中 X = (4-37) ω 称为容抗, 单位欧姆 ( Ω ) 用有效值相量形式表示电压和电流关系有 : 即 j0 = e π = e j j0 e π j(0 ) = = e =jx π j e = jx (4-38) 此式称为相量形式的欧姆定律, 不但能表示电压和电流有效值的大小关系, 而且还能表示相位关系, 对分析和计算电路非常重要 从以上可以看出 : () 电容元件的电压和电流的瞬时值之间不服从欧姆定律形式, 有效值 相量形式的关系都服从欧姆定律形式 ; () 电容元件的电压和电流同频, 在相位上, 电流超前电压 π/, 用波形图和相量图表示为如图 4-4 所示 正弦交流电路中, 任意瞬时, 电容元件上的电压瞬时值与电流瞬时值的乘积称为该元件的瞬时功率, 用小写字母 p 表示, 即 p= ui (4-39) 将式 (4-34) 和式 (4-35) 代入式 (4-39) 得

89 86 电路基础 π p= ui= msinωt msin( ωt ) = sin ωt 根据式 (4-39), 在图 4-4 中可以画出瞬时功率的波形图, 如图 4-5 所示 从图 4-5 可以看出, 瞬时功率的频率是电压 电流频率的两倍, 并且在一个周期内吸收的电能与放出的电能相等, 即 p吸 = p放所以同电感一样, 电容也不消耗电能, 是储能元件 i u & i u p O π & O ωt p 0p 0p 0p 0 图 4-4 电压和电流的关系 图 4-5 纯电容电路的瞬时功率 电容电路中没有电能的损耗, 所以瞬时功率在一个周期内的平均值为零, 即 P = 0 这一点也可以从图 4-5 中显示出来 由电容的平均功率也可以计算出来, 即 T T P = pdt sin tdt T = ω 0 T = 0 (4-40) 0 虽然在电容电路中没有电能损耗, 但是能够储存电能, 为了衡量电容元件与外间交换能量的规模, 引入无功功率, 用 Q 表示, 在数值上等于瞬时功率的最大值, 即 Q= (4-4) 单位是乏 (var) 根据以上讨论, 可把三个单一参数的基本性质列表比较, 如表 4- 所示 表 4- 单一参数交流电路的基本性质 电路元件 瞬时值关系 有效值关系 u = i = 电压和电流的关系 相位关系 相量形式欧姆定律 相量图 瞬时功率 功率关系 平均功率 无功功率 电压与电 流同相 = & & p= ui P= 0