先进制造技术是近几年提得较多,叫得较响的一个专用词语,而且先进制造技术在机械制造业领域中的应用越来越广泛而深入,并取得了很大的成绩

Transcription

1 面向 世纪全国高职高专电子电工类规划教材 电工基础 金仁贵主编 李蛇根严辉副主编 熊婷婷参编

2 内容简介 本书是依据教育部高教司 高职高专教育基础课程教学基本要求 和 高职高专教育专业人才培养目标及规格 的精神指导编写而成 全书共分为 6 章, 内容包括 : 第 章电路基本知识, 第 章电路的等效变换, 第 3 章电路的基本分析方法, 第 4 章直流电路的动态分析, 第 5 章正弦交流电路, 第 6 章耦合电感和理想变压器, 及实验和部分习题参考答案 本书可作为高等职业院校电子 计算机 通信 电气自动化及机电类各专业课程的教材, 也可供有关专业的工程技术人员参考 图书在版编目 (CIP) 数据 电工基础 / 金仁贵主编. 北京 : 北京大学出版社,005.9 ( 面向 世纪全国高职高专电子电工类规划教材 ) ISBN I. 电 II. 金 III. 电工学 IV.TM 中国版本图书馆 CIP 数据核字 (005) 第 号 书 名 : 电工基础 著作责任者 : 金仁贵主编 责任编辑 : 韩玲玲 标准书号 :ISBN /TM 0006 出 版 者 : 北京大学出版社 地 址 : 北京市海淀区成府路 05 号 0087 电 话 : 邮购部 发行部 编辑部 网 址 : 电子信箱 :xxjs@pup.pku.edu.cn 印 刷 者 : 发 行 者 : 北京大学出版社 经 销 者 : 新华书店 787 毫米 980 毫米 6 开本 9.5 印张 0 千字 005 年 9 月第 版 005 年 9 月第 次印刷 定 价 :6.00 元

3 前 言 本书是依据教育部高教司 高职高专教育基础课程教学基本要求 和 高职高专教育专业人才培养目标及规格 的精神, 在高职高专 世纪规划教材课题组的指导下编写而成 本课程注重学生的素质教育, 注重应用型人才能力的培养, 立足于工程技术应用 内容突出主线, 突出重点, 删繁就简, 力求做到既为学习后续课程服务, 又直接服务于工程技术应用能力的培养 书中增设了实验内容, 为培养学生的动手技能提供了技术平台 全书共分为 6 章, 包括电路基本知识, 电路的等效变换, 电路的基本分析方法, 直流电路的动态分析, 正弦交流电路, 耦合电感和理想变压器 所有内容均简化了复杂的推导与演算, 突出实用性与技能性 本书由安徽工业经济职业技术学院副教授金仁贵担任主编, 编写了第 6 章及附录的大部分内容, 李蛇根老师担任第一副主编, 编写了第 章及习题解答, 熊婷婷老师参加了部分习题解答的编写, 并负责全书的录入, 安徽建筑工业学院严辉老师参加了第 6 章的编写 全书由金仁贵老师负责统稿, 李蛇根负责校对工作 本书可作为高等职业院校电子 计算机 通信 电气自动化及机电类各专业课程的教材, 也可供有关专业的工程技术人员参考 由于编写时间较紧, 加之编者水平有限, 书中难免有错漏之处, 敬请广大师生 读者批评指正 编者 005 年 7 月

4 目 录 第 章电路基本知识.... 电路 电路模型.... 电路的基本参量..... 电流和电压..... 参考方向 电位 电功率 电路的状态和电气设备的额定值 电路的状态 电气设备的额定值 理想电路元件 理想电源 理想电阻元件 理想电容元件 理想电感元件....5 基尔霍夫定律 名词术语 基尔霍夫电流定律 (KCL) 基尔霍夫电压定律 (KVL) 本章小结...7 第 章电路的等效变换.... 网络等效..... 等效的定义..... 等效的意义...3. 电阻网络的等效 电阻的串联 分压定理 电阻的并联 分流定理 电阻的混联...5

5 II 电工基础 *..6 T 型网络与 Π 型网络的等效 实际电源模型的等效 实际电源的等效 实际电源等效时的注意事项 本章小结...3 第 3 章电路的基本分析方法 独立的 KCL 方程和 KVL 方程 电路的独立性原则 b 方程法 独立的 KCL 方程 独立的 KVL 方程 支路电流法 支路电流法 网孔电流法 节点电压法 节点电压法 弥尔曼定理 叠加定理 叠加定理 齐次定理 戴维南定理 戴维南等效 戴维南定理 最大功率传输定理 本章小结...47 第 4 章直流电路的动态分析 动态元件 电容的储能 电感的储能 动态电路方程的建立 方程的建立 换路定则 初始值的确定 C 电路的过渡过程 零输入响应...58

6 目录 III 4.3. 零状态响应 L 电路的过渡过程 零状态响应 零输入响应 本章小结...64 第 5 章正弦交流电路 正弦交流电的基本概念 直流电与交流电的区别 正弦量的三要素 正弦信号的相量表示法 正弦信号的表示方法 相量 正弦量的相量表示法 相量图 正弦电路中的电阻元件 电阻元件上电压与电流的关系 电阻元件的功率 正弦电路中的电感元件 电感元件上电压和电流的关系 电感元件的功率 正弦电路中的电容元件 电容元件上电压与电流的关系 电容元件的功率 相量形式的基尔霍夫定律 相量形式的基尔霍夫定律 相量形式的基尔霍夫电压定律 LC 串联电路 电压与电流的关系 电路的性质 阻抗的串联与并联 阻抗的串联 阻抗的并联 电路的谐振 串联谐振 并联谐振...96

7 IV 电工基础 功率因数的提高 对称三相电路 三相电源的连接 三相对称负载的连接 本章小结... 0 第 6 章耦合电感和理想变压器 耦合电感元件 耦合电感的基本概念 耦合电感元件的伏安关系 耦合电感的去耦等效模型 耦合电感的串联等效 耦合电感的 T 型等效 理想变压器 理想变压器的伏安关系 理想变压器元件的阻抗变换性质 交流铁芯线圈 电磁铁 本章小结... 6 附录 A 实验... 9 实验一电阻器 电容器的识别与检测及万用表的使用... 9 实验二基尔霍夫定律的验证... 实验三叠加定理的验证... 3 实验四戴维南定理的验证... 4 实验五日光灯照明电路及功率因数的提高... 7 附录 B 安全用电常识 B. 触电事故 B. 安全用电措施... 3 附录 C 部分习题参考答案 参考文献... 38

8 第 章电路基本知识 学习提示本章主要介绍电路的定义 组成 分类, 电路中的各种电参量, 电路的工作状态, 常见的电路元件及其模型, 电源的模型 重点 难点 : 电流 电压的参考方向及其关联性, 电压与电位的关系, 基尔霍夫定律. 电路 电路模型 电气工程包括电力工程 通信工程 工业控制三大系统, 而且还在不断地向其他领域渗透 大到各种大型的电气设备, 小到各种小型电子产品, 都是由不同的电路组成的 电路是指电荷移动的路径 电路通常由若干电气元件构成, 具有一定的功能 电路可以是复杂的系统, 也可以是系统的一部分 为了研究方便, 我们先从简单电路入手. 电路的组成 电路通常由电源 负载 中间环节等组成 如图 - 所示 (a) 图 - 电路的组成 (b) 电源 : 为电路提供所需的电能, 或为电路提供所需的信号 负载 : 将电能转换成其他形式的能量, 或将处理过的信号恢复出来 中间环节 : 简单电路可以指导线 开关 ; 复杂电路可以是具体的电路 例如, 一台电视机中, 交流电源及电视信号可称为电源, 显像管以及扬声器可称为负载, 其余部分则可认为是中间环节

9 电工基础. 电路的分类 电路的种类繁多, 分类方法也很多 通常可认为电路有两种类型 : 一类主要以传输 转换电能为目的, 另一类主要以传递 处理信息为目的 前者常见于工厂用电或各种家用电器, 属于强电范畴, 后者常见于计算机 通信系统及各种电子产品, 属于弱电范畴 3. 电路符号, 电路模型 在研究电路时, 人们常常使用很多电路符号来描述具体电路元件的特征及其参量, 由各种电路符号所组成的电路或电路图称为电路模型 思考题. 电路模型和实际电路的区别是什么? 为什么电路理论中讨论的只是电路模型而不是实际电路?. 电路符号是自行定义, 还是采用国家标准?. 电路的基本参量 电路中的电参量很多, 本节主要讨论电流 电压 电功率等.. 电流和电压. 电流带电粒子或电荷在电场力作用下的定向移动形成电流 度量电流大小的物理量称为电流强度, 是指单位时间内通过某一横截面电荷的电量 即 : dq i = (-) 在国际单位制 (SI) 中, 电流的单位为安 [ 培 ], 符号为 A C A = s 实际应用中, 常需要进行单位变换 : ka 3 3 = 0 A, ma = 0 A, 6 µa = 0 A

10 第 章电路基本知识 3. 电压 在电场中, 两点之间的电势差称为电压或电压降 电场的方向是电势降落梯度最大的方向 带电粒子在电场中移动时电场力做功 电场力把单位正电荷由 a 点移到 b 点所做的功在数值上等于 a b 两点之间的电压 即 : dw Uab = (-) dq 在国际单位制 (SI) 中, 电压的单位为伏 [ 特 ], 符号为 V J V = C 实际应用中, 常需要进行单位变换 : kv 3 3 = 0 V, mv = 0 V, 6 µv = 0 V.. 参考方向 电流总是有一定方向性的, 通常规定正电荷的移动方向为电流的正方向, 且一般情况下, 对外电路而言, 电流总是由电势高处流向电势低处, 在电源内部则由低电势处流向高电势处 电流的方向常用带箭头的直线表示 电压的方向常用一对正 负号表示其极性, + 表示高电势, - 表示低电势 如图 - 所示 a b 图 - 电压和电流的参考方向 在进行电路分析时, 往往很难预先知道电路中电压与电流的实际方向, 不妨先假设电压与电流的方向作为参考方向, 待求解出真实结果后再确定其实际方向 例 - 求图 -3 中各电参量的实际方向 解 :(a) I = A > 0, 说明实际电流方向由 a 流向 b; U = 5V < 0, 说明实际电压极性 b 高,a 低 (b) I = A < 0, 说明实际电流方向由 d 流向 c; U = V > 0, 说明实际电压极性 c 高,d 低 实际分析电路时, 常常不区分参考方向和实际方向, 将标注于电路图中的方向统称为参考方向 为了方便分析, 常选定同一元件的电流参考方向与电压参考方向一致, 即电流从 + 端流向 端, 这样的参考方向称为关联参考方向 如图 -3 所示

11 4 电工基础 A a c d b 5V 图 -3 电路图..3 电位 在电路中任取一点为参考点, 则 a 点到参考点的电压称为 a 点的电位, 记为 V a 工程上常选择大地 设备的外壳作为参考点, 用 表示, 并规定参考点的电位为 0 a,b 两点之间的电压等于这两点之间的电位差, 即 U = V V (-3) ab a b 电位是相对的, 随参考点的改变而改变 电压是绝对的, 不随参考点的改变而改变 在 SI 制中, 电位的单位与电压相同, 也是伏 [ 特 ], 符号为 V 例 - 电路如图 -4, 若以 O 点为参考点, 求 U ab,v a,v b ; I a 若以 b 点为参考点, 求 U ab,v a,v b 解 : 设电流 电压参考方向如图, 根据欧姆定律, 得 U ab 0 I = = 0.5(A) 5+ 5 b 所以 U = ab 5I =.5(V) U ao = 0(V), U = bo (V) 若以 O 点为参考点, 则 V o = 0 (V) V = U + V = = 0(V) 图 -4 电路图 a ao o V = U + V b bo o 若以 b 点为参考点, 则 V b = 0(V) V = U + V = =.5(V) a ab b = = 7.5(V)..4 电功率电流通过用电器时, 电流要对用电器做功, 即消耗电源的电能 单位时间内电流所做的功称为电功率, 即 dw p = (-4) 在 SI 制中, 功率的单位是瓦 [ 特 ], 符号为 W

12 第 章电路基本知识 5 J W = s 工程上常用的功率单位还有 kw,mw 等 由于 dw u =, d q i = dq 所以 p = u i (-5) 对于电源而言, 通常会向电路提供电能, 也称为释放功率 对于负载而言, 通常会从电路中吸收或消耗电能, 也称为吸收功率 那么如何确定电路元件是吸收电功率, 还是释放电功率呢? 在运用 (-5) 式进行计算时, 通常应在关联参考方向下进行 若 u 与 i 的参考方向不关联, 则计算时应添加负号 当计算结果 p > 0 时, 表明元件吸收电功率 ; 当计算结果 p < 0 时, 表明元件释放电功率 例 -3 计算图 -5 中各元件的功率, 说明是吸收功率, 还是释放功率 3 (a) (b) (c) 图 -5 电路图解 : 图中 (a),(b) 的参考方向关联,(c) 的参考方向不关联 p = u i = ( ) 3= 6(W) < 0 p = u i = ( 3) ( ) = 6(W) > 0 p3 = u3 i3 = 5 ( ) = 5(W) > 0 元件 () 释放功率, 元件 (),(3) 均吸收功率 思考题. 电路中电位相等的各点, 如果用导线接通, 对电路其他部分有无影响?. 电路中导线连接的各点电位是相等的, 如果把导线断开, 对电路其他部分有无影响? 3. 在用电流表或电压表测量电流或电压时, 为何要注意表笔的极性?

13 6 电工基础.3. 电路的状态.3 电路的状态和电气设备的额定值 电路在工作时, 按照其提供的电流大小, 可分为通路 断路和短路 按照其提供的功率大小, 可分为满载 空载和过载. 负载状态 负载是电路中的常用元件, 负载状态则是一般的有载工作状态, 如图 -6 所示, 此时电路有以下特征 : () 电路中电流为 US I = (-6) + 0 为电源内阻, L 为负载电阻 0 L U s L 图 -6 有载工作状态 () 电源的端电压为 U = US 0 I (-7) 电源的端电压总是小于电源的电动势 (3) 电源输出的功率为 P U I U I I U I I = = ( S 0 ) = S 0 (-8) = U I = L I P 电源发出的功率减去内阻消耗的功率等于负载获得的功率 在电路中, 负载电阻 L 越小, 电路中电流越大 输出的功率也越大, 这种情况叫做负载增大 显然, 所谓负载大小指的是负载电流或功率的大小, 而不是电阻阻值的大小. 断路状态 当电路中开关断开时, 称为断路状态, 或开路状态, 此时又称为空载 空载时, 外电路所呈现的电阻可视为无穷大 如图 -7 所示, 此时电路有以下特征 :

14 第 章电路基本知识 7 () 电路中电流为零 I = 0 () 电源的端电压等于电源电动势 U = US 0 I = U S U = I = L 0 (3) 电源输出的功率为 P = U I = 0 P = U I = 0 ( 负载吸收的功率为零 ) U s L 3. 短路状态 图 -7 电路图 当电源的两个输出端钮由于某种原因 ( 如电源线绝缘损坏, 或操作不慎等 ) 相接触时, 会造成电源被直接短路的情况 当电源直接短路时, 外电路所呈现的电阻可视为零 如图 -8 所示, 此时电路有以下特征 : () 电路中电流最大, 外电路电流为零 US I0 =, I L = 0 0 此电流称为短路电流 一般电源的内阻 0 都很小, 故短路电流 I 0 很大, 对电源很不利 I L U s L 图 -8 电路图 () 电源的端电压与负载的端电压均为零 U = U I =,U = 0 S 0 0 (3) 电源对外输出的功率 P 和负载所吸收的功率 P 均为零 这时电源所发出的功率全部消耗在电源的内阻上

15 8 电工基础 P = U I = 0, P = U I = 0, U PU = U s S I0 = 这种短路现象, 会使电源内部迅速产生很大的热量, 导致电源的温度迅速上升, 有可能烧毁电源及其他设备, 甚至引起火灾 电源的短路通常是一种严重的事故, 应尽量避免 实际应用中通常在电源的输出端安装熔断器, 以保护电源不致损坏 S 0.3. 电气设备的额定值 在实际电路中, 所有电气设备和元器件在工作时都有一定的使用限额, 这种限额称为额定值 额定值是制造商综合考虑产品的性能, 使用的可靠性 经济性, 以及使用寿命等因素而制定的, 它是使用者使用电气设备和元器件的依据 例如, 灯泡上标注的 0V/00W 就是指额定电压和额定功率 该灯泡在 0V 电压下才能正常工作, 这时消耗的功率是 00W 如果使用值超过额定值较多, 会导致电气设备和元器件损伤, 影响寿命, 甚至会烧毁 ; 如果使用值低于额定值较多, 则不能正常工作, 有时也会造成设备损坏 额定值用带有下标 N 的字母表示, 如 U N,I N 或 P N 当电气设备的实际电流 电压或功率等于或超过额定值时, 电气设备的工作状态称为过载状态, 严重的过载现象会导致短路 当电气设备的实际电流 电压或功率比额定值小很多时, 电气设备工作在欠载状态, 过度欠载相当于空载 例 -4 某直流电源的额定功率是 0W, 额定电压为 5V, 内阻为 0.Ω, 负载电阻可以调节, 如图 -9 试求 : 额定状态下的电流及负载电阻 ; 满载状态下的电压 ; 3 短路状态下的电流 解 : 额定电流 : I 负载电阻 : P 0 N N = = = 4 ( A) U N 5 U 5.5 N L = = = ( Ω ) IN 4 图 -9 电路图 满载电压 : U = ( + ) I = (0.+.5) 4 = 5.4 (V) S 0 L

16 第 章电路基本知识 9 短路电流 : I U 5.4 S 0 = = = (A) I 54 短路电流是额定电流的 : 0 = = 3.5 ( 倍 ) IN 4 若电源不采取措施, 发生短路后, 电源将会烧毁 思考题. 什么是电路的开路状态, 短路状态, 空载 满载 过载状态?. 电气设备的额定值的含义是什么? 3. 一个正在工作的负载, 如果因为某种事故而使其与电源相接的两条导线发生短路, 试问会产生什么后果? 如果保护电源的熔断器被烧断, 电源和负载会被烧毁吗?.4 理想电路元件 理想电路元件又称为线性电路元件, 是指描述元件的电器参数不随外界因素 ( 如温度 压力 电流 电压等 ) 的变化而变化, 是一种抽象的模型.4. 理想电源 理想电源具备以下的特征 : () 具有无穷的能量 () 电源内部没有任何损耗 (3) 其表征的参数不随外界因素的变化而改变. 理想电压源 理想电压源的模型及外特性曲线如图 -0 所示 U s U s 电压源模型 电压源外特性 图 -0

17 0 电工基础 而实际电压源可以等效为一个理想电压源与一个电阻串联而成 如图 - 所示 U s U s 实际电压源模型 U S 0 实际电压源外特性 图 - 实际电源的外特性, 也称为伏安特性, 如下 : U = U I (-9) S 0 由特性方程及特性曲线可知, 0 越小, 越接近理想电源. 理想电流源理想电流源模型及外特性曲线如图 - 所示 I s 电流源模型 I s 电流源外特性 图 - 而实际电流源可以等效为一个理想电流源与一个电阻并联而成 如图 -3 所示 Is I s 实际电流源模型 I s 实际电流外特型 图 -3 实际电流源的外特性方程如下 : U I = IS = IS G0 U (-0) 0

18 第 章电路基本知识 G0 = ( 称为内电导 ) 由特性方程及特性曲线可知,G 0 越小, 越接近理想电源 0.4. 理想电阻元件理想电阻元件又称为线性电阻, 其伏安特性为一过原点的直线 如图 -4 所示, 即 U = I 在 SI 制中, 电阻的单位为欧 [ 姆 ], 符号为 Ω 图 -4 有时为了运算方便, 人们常用电导来描述元件的导电性能, 称为电导元件, 用 G 表示 G = 在 SI 制中, 电导的单位为西 [ 门子 ], 符号为 S 线性电阻元件吸收的功率 P = U I = I > 0 所以电阻元件总是吸收功率, 消耗电能的, 即它是一个耗能元件 注意 : 欧姆定律只适用于线性电阻元件, 非线性电阻元件的伏安特性不是一条过原点的直线, 元件上的电压电流不服从欧姆定律.4.3 理想电容元件电容又称为电容器, 由两块金属极板组成, 极板间充满了绝缘材料 理想电容元件的参数 ( 电容量 ) 不随外界因素而变化 ε S C = (-) 4π kd 电容两端的电压与极板上所带电量的比值, 称为电容的容量 q C = (-) u 线性电容的库伏特性是一过原点的直线, 如图 -5 所示

19 电工基础 电容元件的库伏特性 图 -5 在 SI 制中, 电容的单位为法 [ 拉 ], 符号为 F 6 F = 0 µf = 0 pf 电容上电流与电压的关系如下 dq i = C = du (-3) 电容元件储存的能量 du du p = u i = u C = C u t t WC = p = C u du C u 0 = ( t ) (-4) 0 电容元件为一储能元件.4.4 理想电感元件 电感又叫电感线圈, 是由导线紧密缠绕在固定的骨架上构成的 理想电感元件的参数 ( 电感量 ) 不随外界因素而变化 由电磁学知识可知, 电流通过线圈时, 产生了磁通 Φ 线圈各匝磁通的总和称为磁链, 通常以 Ψ 表示 线圈的电感量定义为线圈的磁链与流过线圈的电流之比, 即 ψ L = (-5) i 线性电感的韦安特性是一过原点的直线, 如图 -6 所示 ψ e L 电感元件及其韦安特性 图 -6

20 第 章电路基本知识 3 在 SI 制中, 电感的单位为亨 [ 利 ], 符号为 H Wb H = A 电感上电流与电压的关系如下 : dψ di 由楞次定律可知, e L = = L di u = el = L (-6) 电感元件储存的能量 : di p = u i = L i t t WL = p = Li di L i 0 = ( t ) (-7) 0 电感元件为一储能元件 思考题. 一电容 C=F, 其两端电压 U c =0V, 问通过电容的电流和电容的储能是否都等于零? 为什么?. 一电感 L=H, 电感电流 i L =0A, 问电感两端的电压和电感的储能是否都等于零? 为什么?.5 基尔霍夫定律 在电路的分析和计算中, 有两个基本定律, 欧姆定律和基尔霍夫定律 基尔霍夫定律包含两个方面, 一个是电流定律, 简称 KCL 定律, 一个是电压定律, 简称 KVL 定律.5. 名词术语. 支路 电路中流过同一电流的几个元件互相连接起来的分支称为一条支路 同一支路中的元件必定是串联的

21 4 电工基础. 节点 电路中三条以上支路的交汇点称为节点 3. 回路 电路中由支路组成的闭合路径称为回路 4. 网孔 在回路内部不另含有回路的回路称为网孔 5. 网络 电路的总称 通常指复杂的电路 在应用上述名词术语时, 有时还提出以下几点注意事项 : () 关于节点由三条以上支路的交汇点称为独立节点 两条支路的交汇点称为广义节点 包含电路元件的封闭面也称为广义节点 () 关于支路两个独立节点之间的一条完整支路称为独立支路 两个广义节点之间的部分支路称为广义支路 (3) 关于回路网孔是回路的最基本单元, 也称为独立回路 回路中任意嵌套回路则称为广义回路 显然, 独立节点是电路中数目最少的节点数 独立支路是电路中数目最少的支路数 独立回路是电路中数目最少的回路数 例 -5 图 -7 中, 列出支路 节点 回路的名称 图 -7

22 第 章电路基本知识 5 解 : 独立节点有 B C F O 四个 独立支路有 (U S,,, 3 ) (U S, ) (I S3, 3, 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 共六条 独立回路有 Ⅰ Ⅱ Ⅲ 三个 Ⅰ 广义节点有 A D E G 等 Ⅱ 广义支路有 (U S, ) ( ) ( 3 ) (I S3 ) ( 3 ) ( 3 ) 等 Ⅲ 广义回路有 A B C F O G A,A B C D E O G A,B C D E O F B 等.5. 基尔霍夫电流定律 (KCL) 定律内容 : 在电路中, 对于任意节点, 流入节点的电流之和, 等于流出该节点的电流之和 若规定流出节点的电流为正, 流入节点的电流为负, 则定律可描述为流经任意节点的电流代数和为零 例 -6 图 -8 中, 求电流 I 解 : 根据 KCL 定律 I +3+= I = 7( A ) 另外, 根据 Σ I = 0, I +3+ ( )=0 I = 7( A ) 图 基尔霍夫电压定律 (KVL) 定律内容 : 在电路中, 对于任意回路, 回路中各元件的电压降之和等于各元件的电压升之和 若规定电压降为正, 电压升为负, 则定律可描述为 : 回路中各元件的电压代数和为零 例 -7 图 -9 中, 列写 KVL 方程 解 : 设电路的绕行方向为顺时针方向 规定电压降落方向与绕行方向一致为正, 不一致为负 则 KVL 方程为 U + U = U + U ( 电压降之和等于电压升之和 ) 或 U + U + ( U ) + ( U ) = 0( 电压代数和为零 )

23 6 电工基础 图 -9 例 -8 电路如图 -0, 已知 = = = Ω, 4 = 6Ω, U =, U = 3V 3 S 6V 试求 : () 电路中电流 ;() 电路中电压 U ab ;(3) 两个电压源的功率 S 图 -0 解 : 设回路中电流为 I, 并设回路的绕行方向为顺时针方向 () KVL 方程 U + U + U + U + U U = () 电路中电压 U ab S 4 3 S 0 I + I + I + I = U U S S I = 6 3 I = (A) 4 Uab = US + U + U 4 = = 5(V)

24 第 章电路基本知识 7 (3) 两个电压源的功率 3 PU = U 6 S S I = = ( W ) 4 3 PU = U 3 S S I = = ( W ) 4 4 注 :U S 和 I 的参考方向不关联, 因此计算时应加 号 思考题. 有人说, 在节点处各支路电流的参考方向不能全设为流出节点, 否则就会只有流出节点的电流, 而没有流入节点的电流 你认为呢?. 在写 KVL 方程时, 任何两点间的电压计算是否与所选路径有关? 3. 设某电路中的闭合面如图 -, 根据基尔霍夫电流定律, 可得,I A +I B +I C =0 有人问, 电流都流入闭合面内, 那怎么流出来呢? 你如何解释这个问题? I A I B 图 - I C.6 本章小结. 电路的组成 分类 电路元件的符号及电路模型. 电压与电流的定义及其参考方向, 电压与电位的区别与联系 在关联参考方向下, 电功率的计算及功率的物理意义 3. 电路的三种工作状态 : 通路 短路 断路 满载 空载 过载之间的关系 额定值是电气设备使用中必须注意的一种参数 4. 理想电源的模型与外特性曲线, 实际电源的模型与外特性曲线, 理想电阻 电容 电感的 VC 关系 5. 支路 节点 回路的定义及应用 KCL KVL 方程的列写

25 8 电工基础. 计算图 中 U ab,u bc,u ac 习题一. 计算图 中 A 点的电位 图 3. 计算图 3 中 A B C 点的电位 图 图 3 4. 计算图 4 中电压 U 电流 I 并计算各元件的功率

26 第 章电路基本知识 9 5. 有额定电压为 0V, 功率分别为 40W 和 60W 的两只灯泡, 问 : () 每只灯泡的额定电流是多少? () 每只灯泡的电阻各是多少? (3) 能否将它们串联后接在 0V 的电源上使用, 为什么? 6. 图 5 中, 已知 = 4,U AD =5V,U CE =0V, 试计算 U AB 图 4 图 5 7. 图 6 中, 已知 U S =0V, 0 =0Ω, 负载电阻 L =00Ω, 问 : 开关处于 3 位置时电压表和电流表的读数分别是多少? 8. 已知电源的模型及电源的外特性曲线如图 7, 求 : 电源电动势 U S 及内阻 0 图 6

27 0 电工基础 图 7 9. 求图 8 中电流 I 已知 I =5A, 若 AB 支路断开, 则 I 又为多少? 0. 欲使图 9 中电流 I= 0,U S 应为多少? 图 8 图 9. 试用基尔霍夫定律写出图 0 中各支路中电压与电流的关系 0 0 图 0

28 第 章电路基本知识. 如图 所示, 已知 I =A,I =A,I 5 =6A, 求 I 3,I 4,I 6 图

29 第 章电路的等效变换 学习提示本章主要介绍等效的定义, 等效分析方法的重要意义 电阻的串 并联性质及串 并联等效电阻的求解方法 两种实际电源的相互等效 重点 难点 : 等效电阻的计算, 电源的等效变换 关于 T 型网络与 Π 型网络的等效可视情况进行讲解 部分专业可作为选学内容. 网络等效 在电路分析中可以将部分电路当作一个整体来看, 如果这个整体只有两个端钮与外电路相连, 则这个由若干元件组成的整体就称为二端网络 网络等效通常是针对二端网络而言.. 等效的定义 如果一个二端网络 N 与另一个二端网络 N 的伏安关系相同, 那么这两个二端网络就称为等效二端网络 在图 - 中, 若网络 N 与网络 N 接在相同的电源上, 且 U =U,I =I, 即它们对应的端钮间电压相等, 对应端钮上的电流也相等, 因而两者吸收或释放的功率也相等 尽管两个等效的网络 N 和 N 可以具有完全不同的内部结构, 但对于电源而言, 它们的作用完全相同 因此, 在分析计算电路时, 一个二端网络可以用它的等效网络替换 0 0 图 -

30 第 章电路的等效变换 3.. 等效的意义 等效的目的在于将一个复杂的网络等效变换成一个简单的网络, 或者将一个不甚熟悉的网络等效变换成一个比较熟悉的网络, 从而给分析计算带来方便 等效又分为无源网络的等效和有源网络的等效 需要注意的是等效不是相等 等效仅指对外等效, 对内不等效 思考题 说明电路等效的含义, 等效的条件以及等效的对象. 电阻网络的等效 电阻的连接方式有串联 并联 混联等形式.. 电阻的串联 电阻串联是电路中较常见的连接形式, 电阻串联后必定在同一条支路上, 因而具有以下特点 : () 串联支路上电流处处相等 () 串联支路中各元件的电压之和等于串联支路的端口电压, 如图 - U = U + U + U ab 3 U = I + I + I = I ( + + ) ab 3 3 U = U = I ab 图 - (3) 串联支路中各元件电阻值之和等于串联支路端口的等效电阻

31 4 电工基础.. 分压定理 两个电阻元件串联后, 各元件上电压之比与其阻值成正比 ( 如图 -3) 其与端口电压的关系如下 U ab U = I = = Uab + + (-) U ab U = I = = Uab + + U = I U = I U : U = : 利用串联的分压特性, 可将电流计串联一较大的电阻改装成不同量程的电压表 ( 如图 -4) 图 -3 图 电阻的并联 电阻元件首首相连 尾尾相连的连接形式称为并联 并联电路具有以下特点 : () 并联支路上电压相等 () 并联电路中各支路的电流之和等于并联电路的端口电流, 如图 -5 所示 图 -5 I = I + I + I 3

32 第 章电路的等效变换 5 I = U + U + U = ( G + G + G ) U ab ab ab 3 ab 3 I = Uab = GUab (3) 并联电路中各元件电导之和等于并联电路端口的等效电导..4 分流定理两个电阻元件并联后, 各元件上电流之比与其阻值成反比, 其与端口电流的关系如下 : U I = U I = 由上面可得 I : I = : ab U ab = U U = I = + I U ab I = = I + (-) U ab I = = I + 利用电阻并联的分流特性, 可将电流计并联一小电阻改装成不同量程的电流表, 如图 -7 图 -6 图 电阻的混联 既含有电阻串联又含有电阻并联的电路称为电阻混联 例 - 求图 -8 电路中 ab 端等效电阻 ab

33 6 电工基础 解 : 将 ( a ) 图进行等效 : 图 ab = ( Ω ) 7 (a ) (a ) (a 3 ) 将 ( b ) 图进行等效 : ab = 7( Ω ) (b ) (b ) (b 3 ) *..6 T 型网络与 Π 型网络的等效 T 型网络与 Π 型网络均属于多端子网络或双端口网络 其形状如图 -9 所示 图 -9

34 第 章电路的等效变换 7 T Π: 将 T 型网络变换为 Π 型网络的公式 T = 型网络电阻两两乘积之和 Π K 例 - 将图 -0 中 T 型网络等效为 Π 型网络 解 :T 型网络电阻两两乘积之和为 = 54 故其等效 Π 型网络如图 -0(b) 所示 Π T: 将 Π 型网络变换为 T 型网络的公式接于对应端钮的两电阻之乘积 TK = Π型网络三电阻之和 TK (-3) (-4) (a) (b) 图 -0 例 -3 将图 - 中 Π 型网络等效为 T 型网络 解 :Π 型网络电阻之和为 3+4+6=3 故其等效 T 型网络如图 -(a) 所示 (a) (b) 图 -

35 8 电工基础 思考题. 什么叫二端网络的等效? 试举例说明. 求图 - 所示网络的等效电阻 ab (a) 图 - (b).3 实际电源模型的等效 在.4 节中我们建立了理想电源的模型和实际电源的模型 理想电源是不存在的, 是虚拟的, 而实际电源却很多 一个实际的直流电源在给负载供电时, 其端电压随负载电流的增大而下降 实际电源的外特性曲线是一条倾斜的直线.3. 实际电源的等效两个不同的实际电源同时对同一电阻 供电, 若 U = U, I = I, 则称两个实际电源相互等效 如图 -3 所示 U = US 0 I U = ( I I ) = I I S 0 0 S 0 (a) (b) 图 -3

36 第 章电路的等效变换 9 则两种实际电源等效的条件是 : U S US = 0 IS IS = 或 0 0 = 0 = 0 0 例 -4 将图 -4 中的电源模型等效为另一种实际电源模型 (-5) (a) (b) 图 -4 解 : 图 -4 中 (a) 图可等效为图 -5(a),(b) 图可等效为图 -5(b) 4 (A) 4Ω (a) a b 6Ω 6.5V 图 -5( 等效 ) (b) c d.3. 实际电源等效时的注意事项 () 两个理想电压源串联时, 可叠加为一个理想电压源 () 两个理想电流源并联时, 可叠加为一个理想电流源 (3) 理想电压源直接与电阻并联, 等效时, 电阻可视为开路 ( 见图 -6(a)) (4) 理想电流源直接与电阻串联, 等效时, 电阻可视为短路 ( 见图 -6(b)) (5) 两个不等值的理想电压源禁止并联 (6) 两个不等值的理想电流源禁止串联 图 -6

37 30 电工基础 图 -7 和图 -8 中给出了几个等效电路的例子, 供读者阅读参考 图 -7 例 -5 求图 -9 电路中的电流 I 图 -8 解 : 用等效法将电路变换成下图 : 图 -9

38 第 章电路的等效变换 3 3 故 I = = ( A).4 本章小结 () 等效电路端钮电压 电流关系相同的电路称为相互等效的电路 相互等效的电路在由它们组成的电路中可以相互代换, 而这个电路端钮以外部分的电压 电流的解答不变 等效是对外电路而言的, 对内并不等效 利用等效变换可以简化电路的分析计算 () 本章讨论电路的等效化简分析法电阻的串联 并联等效二端网络的等效理想电源的串联 并联等效实际电源模型的等效互换三端网络的等效 : 电阻 T 型网络与 Π 型网络的等效互换 (3) 分压定理 分流定理 U = U U + = U + I = I + I = I + 习题二. 求图 所示的等效电阻 ab 图. 求图 所示 ab 两端的等效电阻和 cd 两端的等效电阻

39 3 电工基础 图 3. 图 3 中各电阻均为 6Ω, 求端口 ab 处的等效电阻 4. 求图 4 所示的等效电阻 ab 图 3 图 4 5. 电路如图 5 所示, 已知 U =0V, =00Ω, =400Ω,, 的额定电流均为.8A, 求 : () 输出电压 U () 若用内阻为 5kΩ 的电压表去测量输出电压 ( 如图 5(b) 所示 ), 求电压表的读数 (3) 若误将内阻为 0.Ω, 量程为 A 的电流表当作电压表去测量输出电压 ( 如图 5(c) 所示 ), 将会产生什么后果? 图 5

40 第 章电路的等效变换 试等效简化图示各网络 6V 4A - 图 6 7. 试用一个等效电源替代下列各有源二端网络 8. 试等效简化图示各网络 图 7 图 8

41 第 3 章电路的基本分析方法 学习提示本章系统地介绍一般电路的分析方法, 这类方法以 KCL KVL 及元件的 VC 为依据, 建立求解电路变量所需的独立方程组 基于选择的电参量不同, 包括支路电流法 节点电压法等 此外还有叠加原理 戴维南定理等 重点 : 支路电流法 节点电压法 叠加定理 难点 : 戴维南定理 3.. 电路的独立性原则 3. 独立的 KCL 方程和 KVL 方程 在电路分析的过程中, 常常要设立电参量, 而电参量的多少往往与电路的结构有关 例如, 某一电路中有 n 个独立节点 ( 三条以上支路的交点 ), 有 m 个独立回路 ( 网孔 ), 有 b 条独立支路 ( 不包含独立节点的支路 ) 则, 它们三者之间的关系必然满足 b= m+ ( n ) (3-) 例 3- 求图 3- 中独立支路, 独立节点, 独立回路数 I I 5 I 6 I 4 I 3 图 3- 从图 3- 中可以看出, 独立支路数 b=6, 独立节点数 n=4, 独立回路数 m=3 且 b= m+ ( n )

42 第 3 章电路的基本分析方法 35 可见, 若要求其中各条支路电流, 或各支路的电压, 则必须依据电路结构设立参数, 且参数之间应具有相互独立性 3.. b 方程法 对于一个有 b 条支路,n 个节点,m 个回路 ( 网孔 ) 的电路, 要解出 b 条支路的支路电压和支路电流, 就共有 b 个未知量 对于每一条支路而言, 可根据该支路的元件性质得到一个支路电压与支路电流之间的 VC 方程 这样由 VC 得到的方程数等于支路数为 b 个, 其余的 b 个方程应由 KCL 和 KVL 得到 3..3 独立的 KCL 方程 对于图 3- 中, 有 4 个独立节点, 对于每个节点, 可列写 KCL 方程, 分别为 I I3 I4 = 0 I + I I = 5 0 (3-) I3 + I6 I = 0 I4 + I5 I6 = 0 将以上 4 个方程相加, 得到一个 0 = 0 的恒等式, 说明以上 4 个方程是线性相关的, 即彼此不独立 可从其中任意三个导出第 4 个 因此,4 个方程中只有三个是彼此独立的 这个结论对于 n 个节点的电路同样适用 对于 n 个独立节点的电路, 可以而且仅可以列写 (n-) 个彼此独立的 KCL 方程 3..4 独立的 KVL 方程 对于图 3- 中, 有 3 个独立的回路, 称为网孔 网孔中不会嵌套网孔 可列写 KVL 方程如下 ( 选择顺时针方向为绕行方向, 或称正方向 ) U + U5 U4 = 0 U U6 U5 = 0 (3-3) U4 + U6 U3 = 0 式 (3-3) 中 U 均为支路电压 US + I + 5I5 4I4 = 0 I + US I 6 6 I 5 5 = 0 (3-4) I 4 4+ I 6 6+ US 3 I 3 3= 0 由于网孔数是电路中最少的回路数, 且每个网孔都含有与其他网孔不重叠的支路, 因此, 上述三个 KVL 方程彼此独立

43 36 电工基础 对于 m 个独立回路 ( 网孔 ), 可以而且仅可以列写 m 个彼此独立的 KVL 方程 思考题 一个电路具有 8 条支路,4 个节点, 可以列写几个独立的 KCL 方程, 几个独立的 KVL 方程? 3. 支路电流法 从上一节讨论可知, 对于一个具有 b 条支路的电路, 可根据 KCL KVL 和支路的 VC 列写 b 个联立方程, 求出 b 条支路电流和 b 条支路电压 联立方程越小, 则求解就越简单 各支路的电流和电压是由相应支路的 VC 联系的, 一旦求出各支路电流, 则由相应支路的 VC 方程可求出各支路电压 因此, 求解电路时不妨分为两步进行, 即先设法求出各支路电流, 然后再利用各支路的 VC 求得各支路电压 3.. 支路电流法 将电路中各支路电流设为未知量, 通过列写电路的 KCL 和 KVL 方程, 求解这些未知量的方法, 称为支路电流法 例 3- 电路如图 3- 所示, 求各支路电流及 U ab 图 3- 解 : 设电路中各支路电流如图, 列写 (n-) 个 KCL 方程 I I I = 3 0 列写 m 个 KVL 方程 ( 设绕行方向为顺时针 ) 4I + 8I3 + 0 = 0 6I + 6 8I3 = 0

44 第 3 章电路的基本分析方法 37 解上述方程组得 : 5 I = (A) 6 4 I = (A) 6 9 I 3 = (A) 6 0 Uab = 8I3 + = (V) 3 由上例可归纳出支路电流法分析电路的基本步骤 () 设定各支路电流, 标明参考方向和其他待求量的参考方向 ; () 任取 n- 个节点, 根据 KCL 列写独立节点方程 ; (3) 选取独立回路 ( 网孔 ), 并假定绕行方向, 根据 KVL 列写独立回路方程 ; (4) 求解以上各点所得方程组, 得到各支路电流 ; (5) 根据题目要求, 依据元件的 VC 等计算其余各量 3.. 网孔电流法 当电路中支路较多时, 利用支路电流法求解比较繁琐, 这里介绍一种网孔法 例 3-3 电路如图 3-3 所示 图 3-3 解 : 分别设支路电流为 I ~ I 6, 分别设网孔电流为 im, im, i m 3 则 I = i m I = i m I = i i 3 m3 I4 = i m 3 m

45 38 电工基础 I = i i 5 m I = i i 6 m3 定义 : 网孔中所有电阻的和称为自电阻 相邻网孔的公共电阻称为互电阻 网孔中理想电压源之和称为净电压源 规定以绕行方向为正方向, 若与绕行方向不一致, 则需添加负号 网孔电流法列写方程的规则为 : 自电阻乘以网孔电流, 加上互电阻乘以相邻网孔电流, 加上网孔的净电压源等于 0 列写方程如下 ( ) im + ( 5im) + ( i 3 m3) + ( US US3) = 0 ( ) im + ( 5im ) + ( 6im3) + US = 0 (3-5) ( ) im3 + ( i 3 m) + ( 6im) + ( US3 US4) = 0 例 3-4 利用网孔电流法求解图 3- 中, 各支路电流 解 : 列写网孔电流方程如下 : (4 + 8) im + ( 8 im) + ( 0) = 0 (6 + 8) im + ( 8 im ) + (6 ) = 0 解得 : 5 i m = (A) 6 4 i m = (A) 6 5 I = i m = (A) 6 4 I = i m = (A) 6 9 I3 = im im = (A) 6 m m 思考题 利用支路电流法和网孔电流法求图 3-4 中 I,I ( 当电路中支路数较多, 同时网孔数也较多时, 支路法 网孔法都显得繁琐, 可以采用节点电压法 )

46 第 3 章电路的基本分析方法 39 图 节点电压法 3.3. 节点电压法 以节点电压为未知量, 通过列写电路的 KCL KVL 方程求解电路中的待求未知量的方法, 称为节点电压法 例 3-5 求图 3-5 中电流 I 图 3-5 解 : 该电路中, 支路数网孔数均较多 设两个独立节点的电压分别为 U, U 则对于节点 的 KCL 方程为 U US U U U U U = 0 (3-6) 3 4 对于节点 的 KCL 方程为 U U U U U + + = IS (3-7) 整理后得 ( ) U ( + ) U US = ( + + ) U ( + ) U = IS

47 40 电工基础 定义与节点相连的所有电导之和称为自由导 相邻两节点之间的电导之和称为互电导 流入节点的理想电流源称为净电流源 节点电压法列写方程的法则为 : 自电导乘以节点电压, 减去互电导乘以相邻节点电压, 等于流入该节点的净电流源 规定流入节点的净电流源为正, 流出节点的净电流源为负 例 3-6 利用节点电压法求图 3-6 中各支路电流 图 3-6 解 : 设节点电压为 U, U 根据节点电压法的规则列写节点电压方程为 解得 : U = 5 U = 4 ( + ) U U = U + ( + + ) U 6 = U 5 I = = (A) 3 3 U U 5 4 I = = = (A) U 4 I 3 = = (A) 弥尔曼定理对于只有一个独立节点的电路 ( 如图 3-7), 可以用节点电压法直接求出独立节点的电压, 称为弥尔曼定理 Ua ( ) US ( US3) = I S 3 4 3

48 第 3 章电路的基本分析方法 4 U a US US3 3 = I S (3-8) 图 3-7 例 3-7 应用弥尔曼定理求图 3-8 所示电路中各支路电流 图 3-8 解 : 由弥尔曼定理可得 : U 4 0 = = (V) I = = 4 4 (A) 0 5 I = = 0 (A) 5 3 I 3 = = 0 4 (A) 3.4 叠加定理 叠加性是线性电路的重要特性 当电路中有多个信号源激励时, 它为研究电路的响应与

49 4 电工基础 激励的关系提供了重要的理论依据 3.4. 叠加定理 叠加定理可陈述为 : 在线性电路中, 若同时存在多个电源作用, 则任何一条支路的响应 ( 电压或电流 ) 可以看成每个电源单独作用响应的和 例 3-8 求图 3-9(a) 中电流 I 解 : 电路中含有两个电源令 I S = 0, U S 单独作用电路可等效为 ( 图 3-9(b)): 令 U S = 0, U S 单独作用电路可等效为 ( 图 3-9(c)): 当 U 与 U 同时作用时 S S I = U S + I = I + S I = I + I (3-9) (a) (b) (c) 图 3-9 应用叠加定理时应注意以下几点 : () 叠加定理仅适用于线性电路, 求解电压和电流的响应, 而不能用来计算功率 () 在进行叠加时, 要注意电参量的参考方向的一致性, 不能随意更改 (3) 当一独立电源作用时, 其他独立电源都应等于零 ( 即理想电压源短路, 理想电流源开路 ) 3.4. 齐次定理 齐次定理又称为比例性或均匀性定理 当 ( 线性电路 ) 中全部激励源同时增大 K 倍, 则其电路中任意处的响应亦增大 K 倍, 如

50 第 3 章电路的基本分析方法 43 图 3-0 所示 (a) (b) 图 3-0 例 3-9 求图 3- 中图 (a) 中电流 I 的值 已知 : = = = Ω, = 3Ω, U = V, I = 6A 3 4 解 : 图 3-(a) 可等效为图 (b) 与图 (c) 的叠加 I ' = = 3(A) + I " = 6= 3(A) + I = I' + I" = 0 S S (a) (b) (c) 图 3- 思考题. 下列说法是否正确, 为什么? () 叠加定理只适用于线性电路, 它可以用来求线性电路中任何电量, 包括电流 电压 功率 () 叠加定理只能用来求电流 电压, 不能用来求功率 不管是线性电路还是非线性电路, 只要是求电流 电压均可用叠加定理 (3) 线性电路一定具有叠加性, 具有叠加性的电路一定是线性电路

51 44 电工基础 3.5. 戴维南等效 3.5 戴维南定理 任何一个含源的二端网络都可以等效为一个实际电压源的模型, 即由一个理想电压源与一个电阻构成 如图 3- 所示 图 3- 例 3-0 将图 3-3 等效为戴维南模型 很显然, 上例是利用两种电源模型相互等效转换而求得的, 变换等效十分繁琐, 能否找到一种更为简便的方法, 求其等效电路呢? 图 戴维南定理 U S ab 在进行戴维南等效时, 等效模型中的 U 即为有源二端网络的开路电压 U ( 即 S = U b ) 等效模型中的 0 即为将有源二端网络转换为无源二端网络的等效电阻 ( 即 a = ) 0 例 3- 求图 3-3 电路的戴维南模型 解 : 利用节点电压法求图 3-3 中的 U ab ab

52 第 3 章电路的基本分析方法 45 U ( + ) 8 = 4 U = 4 (V) 故 U = 6+ U = 6+ 4= 8 ( V) ab 将图 3-3 变换为无源二端网络, 如图 3-4(a) ( 电压源短路, 电流源开路 ) ab = = ( Ω ) + 故其等效模型如图 3-4(b) 图 3-4 思考题. 一个无源二端网络的戴维南等效电路是什么?. 如何求有源二端网络的戴维南等效电路? 3.6 最大功率传输定理 实际应用中许多电子设备所用的电源, 无论是直流稳压电源, 还是其他各种电源, 其内部电路结构均比较复杂, 都可看成是一个有源二端网络 当所接负载不同时, 二端网络传输给负载的功率也就不同 对于给定的有源二端网络, 当负载为何值时, 网络传输给负载的功率最大? 负载所能得到的最大功率又是多少呢? 下面我们来加以讨论 U S I =, + 当 变化时, I 也随之发生变化 L 0 S L U = U I 0

53 46 电工基础 负载 吸收的功率为 L 当 L 0 通常将 = 时, P L 为最大 L P = U I = ( U I) I = U I I L S 0 S 0 U U = S S L ( 0 + L) U + U U = 0 S L S 0 S ( 0 + L ) U = ( ) 4 L S 0 L + 0 P Lm = 称为最大功率匹配条件 0 L U = 4 当满足匹配条件时, 负载可以从电源上获得最大功率, 电源向外提供的功率也最大 俗语中所说的不要用小马拉大车, 也不要用大马拉小车即是指相互匹配 例 3- 电路如图 3-5 所示, 已知 U S = V, 0 = 4Ω, 外接负载为 L 问 :() L 为何值时, 负载获得最大功率, 并求最大功率 ; () 此时电源输出功率的效率是多少 S 0 图 3-5 解 :() 根据最大功率传输定理当 = = Ω时, 负载可获得最大功率 L 0 4 P Lm U S = = = 9 ( W ) () 电源提供的功率为 PU = U 8 S S I = = ( W ) 4+ 4 电源输出功率的效率为 0

54 第 3 章电路的基本分析方法 47 PLm 9 η = = 00% = 50% P 8 U S 3.7 本章小结. 独立的 KCL 和 KVL 方程支路数 b, 节点数 n, 网孔数 m, 三者之间的关系为 :b =(n )+ m n 个独立节点, 可以且仅可以列写 (n ) 个 KCL 方程 m 个网孔, 可以且仅可以列写 m 个 KVL 方程. 支路电流法, 网孔电流法以支路电流为未知数列写 KCL KVL 及 VC 方程求解 以网孔电流为未知数列写网孔方程为 : 自电阻乘以网孔电流, 加上互电阻乘以相邻网孔电流, 加上网孔的净电压源等于 0 规定以绕行方向为正方向, 若与绕行方向不一致, 则需添加负号 3. 节点电压法以节点电压为未知数, 列写节点电压方程为 : 自电导乘以节点电压, 减去互电导乘以相邻节点电压, 等于流入该节点的净电流源 规定流入节点的净电流源为正, 流出节点的净电流源为负 4. 叠加定理在线性电路中, 多个电源共同作用的某一响应, 可以看成是每个电源单独作用响应的叠加 5. 戴维南等效任何有源二端网络都可等效为一个理想电压源与一电阻串联的模型, 其中 U S 为二端网络的开路电压, 0 为二端网络的等效电阻 6. 最大功率传输定理当 L = 0 时, 负载可以从电源中获得最大功率 即 P Lm U = 4 S 0 习题三. 试用 b 方程法, 列写图 中各支路电流 电压的方程

55 48 电工基础 图. 用支路电流法求图 所示电路的各支路电流 3. 求图 3 中电流 I 图 4. 用网孔法求图 4 中电流 I 图 3 图 4

56 第 3 章电路的基本分析方法 用节点电压法求图 5 中电流 I 6. 电路如图 6, 求 U A 和 I, I 图 5 图 6 7. 用弥尔曼定理列写出图 7 中独立节点电压方程 8. 试用叠加定理求图 8 中电流 I 图 7 图 8 9. 用叠加定理求图 9 中电流 I, 欲使 I = 0, 问 U S 应取何值

57 50 电工基础 图 9 0. 图 0 中各电阻均为 Ω, 试用齐次定理求各支路电流. 试求图 的戴维南等效电路 图 0 a 图. 利用戴维南定理, 求图 8 中电流 I 3. 已知一二端网络的外特性如图 所示, 试画出其电路模型 b 二端 网络 图 4. 利用戴维南定理求图 3 电路中电流 I, 当负载电阻 为何值时, 可从电路获得最大功率? 并求此最大功率

58 第 3 章电路的基本分析方法 5 图 3 5. 求图 4 电路中负载获得最大功率时 L 的值及最大功率 P max 图 4

59 第 4 章直流电路的动态分析 学习提示本章主要介绍电容 电感元件的伏安关系 (VC), 储能特点 介绍一阶电路的过渡过程 ( 也称为暂态过程 ), 以及一阶电路的零输入响应, 零状态响应, 全响应 重点 难点 : 一阶动态电路的求解方法, 三要素法 自然界中, 任何事物从一种状态 ( 稳定状态 ) 到另一种状态 ( 稳定状态 ) 都需要一定的时间, 这个过程称为过渡过程 例如 : 电动机由静止到高速旋转, 以及由旋转到静止都需要一定的时间 电容和电感元件在电路中也存在这样的过渡过程, 常称为动态过程 因此, 电容和电感元件又称为动态元件 4.. 电容的储能 4. 动态元件 电容的定义 : 一个二端元件, 在任一时刻 t, 它的电荷量 q 与其端电压 u 之间的关系为 q(t) = C u(t) 该电容为理想电容,C 为电容的容量, 其电容值为常数 d qt ( ) it () = (4-) 将 qt () = C ut () 代入得 d u t it () = C (4-) 上式即为电容元件微分形式的伏安关系 式 (4-) 表明 () 通过电容的电流与其端电压的变化率成正比 如果电容两端加直流电压, 则电流为 零, 即 i = 0, 电容元件相当于开路, 故电容元件有隔断直流的作用 () 根据数学定义, 连续函数可以求导 故电容上电压不能突变, 应是连续变化的 电容是贮存电能的元件, 在电压 电流采用关联参考方向的情况下, 电容吸收的功率为 ( )

60 第 4 章直流电路的动态分析 53 电容吸收的能量 t Wc ( t ) = ()d 一般认为 u( ) = 0, 则 du pt () = ui = Cu (4-3) t pt t= C u du = C u () t u ( ) c = (4-4) W () t C u () t 电容在某一时刻的贮能只取决于该时刻电容上的电压值 通常物体所具有的能量不能发生跃变, 故电容上电压也不能发生跃变 4.. 电感的储能 电感的定义 : 一个二端元件, 在任一时刻 t, 它的磁链 ψ 和通过它的电流 i 之间的关系为 ψ(t) = L i(t) (4-5) 理想电感的电感量 L 为常数 d ψ 依据电磁感应定律, 有 u() t = 将式 (4-5) 代入上式有 dit ( ) u() t = L (4-6) 此即为电感元件微分形式的伏安关系 式 (4-6) 表明 () 电感元件的端电压与电流的变化率成正比 如果通过电感的电流是直流, 则电感电压为零 因此, 电感元件对直流相当于短路 () 根据数学定义, 通过电感元件的电流不能跃变 电感是贮存磁场能的元件, 在电压 电流采用关联参考方向的情况下, 电感吸收的功率为 di pt () = ui = Li 电感吸收的能量 t t WL () t = p() t = L i di L i () t i ( ) = 一般认为 i( ) = 0, 则 WL () 电感在某一时刻的贮能只取决于该时刻电感上的电流 由于电感上储能不能发生跃变, = L i t (4-7)

61 54 电工基础 故电感上电流也不能发生跃变 思考题. 一电容 C = 00µF, 其两端电压 u C = 5V, 问通过电容的电流和电容的储能是否等于零? 为什么?. 一电感 L = 0mH, 通过电感的电流 i L = 0A, 问电感两端的电压和电感的储能是否都等于零? 为什么? 4.. 方程的建立 4. 动态电路方程的建立 由于电容 电感元件的伏安关系具有微分形式, 所以电容和电感元件都称为动态元件 含有动态元件的电路称为动态电路 电路如图 4- 所示 图 4- 根据 KVL 方程可得 故电路方程为 或 u + uc = US u = i du i = C C duc C + uc = U S (4-8) duc + uc = U C C S

62 第 4 章直流电路的动态分析 55 电路如图 4- 所示 L u L 图 4- 根据 KVL 方程可得 u + ul = Us di u = i, ul = L 故电路方程为 : d i L + i = US 或 di + i = US (4-9) L L (4-8) 式和 (4-9) 式均为一阶线性常系数微分方程, 所以图 4- 的 C 电路和图 4- 的 L 电路均称为一阶电路 即电路中只含有一个独立动态元件 4.. 换路定则 电路中开关接通或断开, 以及电路的相关参数发生变化, 通常称之为换路 换路意味着电路的工作状态突然发生变化 设 t = 0 的时刻为换路瞬间, 则 t = 0- 为换路前的瞬间, t = 0 + 为换路后的瞬间 而 0 + 和 0- 都称为 0 时刻 图 4-3(a) 中, 开关 S 在 t = 0 时闭合, 闭合后电源 U s 通过电阻 对电容器 C 进行充电 电容上电量不断增加, 电压 u C 也在不断增加, 电容上的储能也在不断变化 由于电容上电压的变化是连续的, 不能突变, 即换路前电容电压 u C (0-) 和换路后电容电压 u C (0 + ) 是相等的 u C (0-) = u C (0 + ) (4-0) 图 4-3(b) 中, 开关 S 在 t = 0 时断开, 断开后电感上所储存的磁场能通过 进行释放 电感上磁场能不断减小, 电感上电流也不断减小

63 56 电工基础 S S 图 4-3 由于电感上电流的变化是连续的, 不能突变, 即换路前电感上电流 i L (0-) 和换路后电感上电流 i L (0 + ) 是相等的 i L (0-) = i L (0 + ) (4-) 式 (4-0) 和 (4-) 称为换路定律 4..3 初始值的确定 电路通常是在 t = 0 时刻进行换路, 换路前电路应处于稳定状态, 即电路中各电参量均为常数, 则电容应处于开路状态, 电感应处于短路状态 在 t = 0- 时, 称 u c (0-) i c (0-) u L (0-) i L (0-) 等为电路的起始稳态值 在 t = 0 + 时, 称 u c (0 + ) i c (0 + ) u L (0 + ) i L (0 + ) 等为电路的初始暂态值 经过很长时间的积累, 暂态过程趋于结束, 电路将重新进入一个新的稳定状态 在 t = 时, 称 u c ( ) i c ( ) u L ( ) i L ( ) 等为电路的最终值 ( 稳态值 ) 例 4- 图 4-4 所示电路, 开关 S 断开且电路处于稳态, 求 : () 开关 S 闭合前电感 电容的电压和电流的起始值 () 开关 S 闭合后电感 电容的电压和电流的初始值 图 4-4 解 : ()t = 0- 时, 电路已处于稳态, 则电感视为短路, 电容视为开路 则 u L (0-) = 0 i c (0-) = 0 6 il ( 0 ) = = ( A ) 4+

64 第 4 章直流电路的动态分析 57 其等效电路如图 4-5 ( ) 3 uc 0 = il = = (V) 图 4-5 ()t = 0 + 时, 开关闭合, 其等效电路如图 4-6 根据换路定则得 i u L c 图 4-6 ( 0+ ) il( 0 ) ( 0 ) u ( 0 ) = =(A) = =(V) + c 列写关于 i (0 + ) i (0 + ) i c (0 + ) u L (0 + ) 的方程 i = i + il + ic = i + ic + 4i + i = 6 i = il + ul = + ul i = ic + uc = + ic 4 6 解得 : i c ( 0+ ) = A i ( 0+ ) = A uc = i = = (V) ic( 0 + ) = (A), uc( 0+ ) = ( V) 7 8 il( 0+ ) = (A), ul( 0 + ) = (V) 7 例 4- 在图 4-7 所示电路中, 开关 S 闭合前电路已处于稳态, 求开关闭合瞬间电容和两

65 58 电工基础 个电阻的电压初始值 图 4-7 解 : ()t = 0- 时, 电路处于稳态, 电容视为开路 i ( 0 ) = i ( 0 c ) = u 0 = 0(V) c 0 ( ) ()t = 0 +, 开关闭合, 由换路定则可知 u 0 = u 0 =0(V) 与电容 C 并联, 则 c ( ) ( ) + c u ( 0+ ) = 0(V), ( ) i ( 0 ) 0 + =, i ( 0 ) u 0 0, + = u ( 0 ) = ( 0 ) + ( 0 ) 所以 ( 0 ) ( 0 ) ( ) = = (A) i + i + i c + 0 ic + = i + = (A) 3 u ( 0+ ) = 0(V) i ( 0 ) 0 + = (A) 0 u ( 0+ ) = 0(V) i ( 0+ ) = (A) 3 0 u C ( 0+ ) = 0(V) i c ( 0+ ) = (A) 零输入响应 4.3 C 电路的过渡过程 零输入响应是指电路中的电参量仅由动态元件的初始储能在电路中引起的响应, 与外加的独立电源无关

66 第 4 章直流电路的动态分析 59 图 4-8 中, 开关闭合前电容上电压为 U 0, 即 u c (0-) = U 0 t = 0 时, 开关闭合, 电容 C 通过 U0 电阻 放电, 电路有放电电流, 放电电流的初始值为 i( 0+ ) = 为最大, 随着时间的推移, 电 容两端电压逐渐降低, 放电电流逐渐减小 最终放电结束 如图 4-9 duc ic = C u = uc duc 则 C + uc = 0 (4-) 图 4-8 图 4-9 过渡过程可用一阶微分方程来描述 用微分方程来计算过渡过程比较麻烦 下面通过 C 电路的讨论, 介绍一种分析和计算一阶电路过渡过程的简便方法 三要素法 电容上起始时刻的电压 u C (0-) = U 0 ( 由换路定则 u C (0-) = u C (0 + ) 可知 ),u C (0 + ) = U 0 当电容上电荷全部通过电阻放完时, 电容上电压为 u C ( ) = 0, 称 u C (0 + ) 为初始值,u C ( ) 为稳态值, 也叫终值 电容通过电阻放电时, 电阻越大, 放电需要的时间越长 ; 电容的容量越大, 放电需要的时间也越长 用 τ = C 表示过渡过程的快慢, 称为时间常数 将初值, 终值和时间常数统称为一阶电路的三要素 可以证明, 对于直流电源作用下的任何一阶电路中的电压和电流, 均可用三要素法来进行分析, 写成一般形式为 ( ) ( ) ( ) t f () t = f + f 0 f e τ (4-3) 由此可知图 4-8 电路中,u c (0 + ) = U 0,u c ( ) = 0,τ = C, 故 此解一定满足 (4-) 方程 C () + u t = U e 0 t C

67 60 电工基础 4.3. 零状态响应 零状态响应就是动态电路中的电容或电感没有储能, 仅由外加独立电源作用产生的响应 图 4-0 中, 开关闭合前电容上电压为 0, 即 u c (0-) = 0 t = 0 时, 开关闭合, 电源 U S 通过 U S 电阻 对电容 C 进行充电, 电路有充电电流, 充电开始的初始值 i( 0+ ) = 为最大, 随着时间 的推移, 电容两端的电压不断增加, 充电电流逐渐减小, 经过一段时间后, 电容上电压接近并将最终稳定为 U S 值 + U - 由 KVL 可得 因上面两式得 图 4-0 u + uc = US duc ic = C 电容电压 : 初始值 u c (0 + ) = 0, 终值 u c ( ) = U s U S 电容电流 : 初始值 ic ( 0+ ) =, 终值 i C ( ) = 0 时间常数 :τ = C 根据三要素法可求解 duc C + uc = U S (4-4) t C C () = S + [ 0 S] u t U U e t C = Us e (4-5) U t S C ic () t = 0+ 0 e U t S C = e 将 (4-5) (4-6) 式代入 (4-4) 方程, 满足原方程 (4-6)

68 第 4 章直流电路的动态分析 6 图 4- 反映了 u c 随时间变化的过程 图 4- 表 4- 电容充电时电压的变化 t 0 τ τ 3τ 4τ 5τ u c /u c ( ) 从图 4- 和表 4- 中可以看出 () 时间常数 τ 的数值等于电容电压由初始值上升到稳态值的 63.% 所需的时间 () 电压开始变化较快, 而后逐渐缓慢 因此, 虽然从理论上可以说, 只有当 t 时, u c 才能达到稳定值, 充电过程才结束 但在工程上可认为, 经过大约 (3~5)τ 的时间, 过渡过程基本结束 4.4. 零状态响应 4.4 L 电路的过渡过程 图 4- 所示为 L 串联电路, 开关闭合前, 电感上电流为 0, 在 t = 0 时, 将开关 S 闭合 则电感 L 通过电阻 与直流电压源 U S 接通 0 图 4-

69 6 电工基础 该电路也是一阶电路 可用三要素法求解 t = 0 时 i( 0 ) = i( 0 ) = + 0 U S t= 时 i( ) = ( 稳态时, 电感视为短路 ) L L 电路过渡过程的快慢由时间常数 τ = 决定 L 越大,τ 越大, 意味着电感所储存的 最终能量大 ; 越小, 则电流越大, 也意味着电感所储存的最终能量大 τ 越大, 过渡过程的时间越长 改变电路参数 (,L) 也可以改变过渡过程时间的长短 所以 同样 t it () = i( ) + [(0 i ) i( )] e τ + t US U S U τ S = e = e L ul( 0+ ) = US ul( ) = 0 τ = ( ) ( ) ( 0 ) ( ) t τ t ul t = ul + ul ul e τ + = U S t L e 4.4. 零输入响应 图 4-3 所示电路, 开关换路前, 电路已处于稳态 t =0 时将开关 S 由 掷向, 电感 L 通过电阻 释放其自身原有的储能 由三要素法可求其响应 0 i 0 = i 0 t = 时, ( ) ( ) i + U S ( 0 ) 图 4-3 = ( 稳态时电感处于短路 )

70 第 4 章直流电路的动态分析 63 L t = 时, i( ) = 0, τ = 所以 ( ) ( ) ( 0 ) ( ) t it = i + i i e τ + U S = e t L 同样 L ( 0 ) ( 0 ) ( ) u i U u + = + = S L = 0 t L τ = L 所以 ul() t = US e di 根据 ul () t = L 也可得到相同的结论 关于 L 电路的几点注意事项 : 在图 4-3 中, 由于电感元件上电流变化是连续的, 若在稳态的情况下切断开关 S, 则电 di 流变化率很大, 致使电感两端产生很高的自感电动势, 此时电感相当于一个电压源, 其极 性刚好与 U S 相反 该电压与电源电压一起加于开关 S 的两端, 会使开关两触点间空气击穿, 形成火花或电弧, 延缓了电路的断开, 甚至还会烧毁开关的触头 为了防止高电压损坏开关以及接在电路中的测量仪表或其他元器件 在设计或使用电感量比较大的电气设备时, 应采取必要的措施 图 4-4 是采用接入二极管的方法防止产生高电压的电路图 D 图 4-4 在 L 电路工作时, 二极管 D 处于反向截止状态, 对电路工作没有影响 当开关断开时, 二极管提供了一条通路, 使电流 I 缓慢衰减, 这就避免了高电压的产生 这个二极管称为续流二极管 在电感线圈两端并联续流二极管是工程实际中经常采用的一种安全措施

71 64 电工基础 思考题. 用三要素法求一阶电路的响应时, 其初始值用 f (0-) 可不可以?. 电容的初始电压越高, 是否放电的时间越长? 3. 某电路的电流为 ( ) i t e L 0t = 0 +, 试问它的三要素各为多少? 4.5 本章小结. 电容元件和电感元件的 VC 关系 ; duc ic = C dil ul = L. 电容元件和电感元件的储能关系 ; WC = C uc WL = L il 3. 换路定则 u 0 = u 0 i C L ( ) C ( + ) ( 0 ) = i ( 0 ) L + 4. 零输入响应 : 仅由动态元件的初始储能在电路中引起的响应, 与外加的独立电源无关 零状态响应 : 动态元件没有初始储能, 仅由外加独立电源作用产生的响应 5. 三要素及三要素求解响应 f(0 + ) 初始值 f( ) 终值 ( 稳态值 ) τ 时间常数 () ( ) ( 0 ) ( ) t f t = f + f + f e τ 习题四. 电路如图 所示, 电容初始状态未储能, 且电容量较大 当开关 S 合上时, 灯泡的

72 第 4 章直流电路的动态分析 65 亮度将如何变化? S 图. 电路如图 所示, 设电感初始状态未储能, 且电感量较大, 试问当开关 S 合上时, 灯泡的亮度将如何变化? S 图 3. 已知 u c (0-) = 4V,=4Ω 试求图 3 所示电路 t = 0- t = 0 +, 及 t = 时的 i,u,u c S 图 3 4. 电路如图 4, 开关闭合前电路已处于稳态, 试求 t = 0- t = 0 +, 及 t = 时的 i,u,u L S 图 4 5. 电路如图 5, 开关闭合前电路处于稳态 t = 0 时开关闭合, 求 t 0 时的电容电压 u c (t)

73 66 电工基础 ( 可用三要素公式求其响应 ) 图 5 6. 电路如图 6, 开关断开前电路处于稳态,t = 0 时, 开关断开, 求 t 0 时的电感电流 i L (t) 图 6 7. 图 7 中电压表的内阻为 000kΩ, 试问在开关 S 打开瞬间电压表所承受的电压和电感两端的电压可达多少伏特? S 图 7 8. 电路如图 8, 已知 = 4 kω,c = 0µF, 电容上初始储能为零 求 :() 电路的时间常数 τ;() 电路的最大充电的电流 S 9. 电路如图 9, 开关闭合前电路已达稳态, 求换路后, 各支路上电流的响应 图 8

74 第 4 章直流电路的动态分析 67 S H 图 9 0. 电路如图 0, 开关断开前电路已达稳态, 求换路后, 各元件上电压的响应 S 图 0. 某电路的电流为 it () =0+0 e 00t, 求该电路的初值, 终值及时间常数 τ. 图 为一实际电容器的等效电路, 充电后切断电源, 电容通过泄漏电阻 释放其储存的能量, 设 u c (0-) = 0 4 V,C = 500µF, = 0MΩ 试计算 : () 电容 C 的初始储能 ; () 放电电流的最大值 ; (3) 电容电压降到人身安全电压 36V, 所需的时间 S 图

75 第 5 章正弦交流电路 学习提示 : 本章主要学习单相交流电的基本概念和基本分析方法 首先介绍正弦交流电的基本特征和相量表示法, 然后讨论单一参数电路中, 电压与电流的关系, 以及相量形式的欧姆定律 阻抗的串 并联运算, 有功功率 无功功率 功率因数 最后介绍三相电源与三相负载的基本知识 重点 难点 : 正弦交流电的三要素, 正弦交流电的相量表示及相量的运算 电压三角形 功率三角形 功率因数 5.. 直流电与交流电的区别 5. 正弦交流电的基本概念 我们学习过理想电压源与理想电流源, 那些都是指恒定直流电源, 其实只要是电压或电流的方向保持不变的就都可称为直流, 统称为广义的直流, 如图 5- 所示 图 5- 电压和电流的大小和方向 ( 极性 ) 都随时间而变化, 称之为交流电 如图 5- 图 5- 交流电的种类较多, 其中电压和电流的大小和方向随时间呈正弦规律变化, 称为正弦交

76 第 5 章正弦交流电路 69 流电压或正弦交流电流 5.. 正弦量的三要素 () 周期与频率所谓周期, 就是指信号每隔一定的时间 T, 电流或电压的波形重复出现, 或者说每隔一定的时间 T, 电压或电流循环一次 周期信号在单位时间内完成的循环次数称为频率, 用 f 表示, 单位为赫兹 (Hz) 频率与周期互为倒数, 即 T = f 或 f = (5-) T 在我国, 工业用电的标准频率为 50Hz,( 有些国家和地区如美国 日本等采用 60Hz), 这种频率在工业上广泛应用, 习惯上称为工频 实验室用的音频信号源的频率大约在 0-0kHz 左右 无线电广播信号的频率高达几百千赫兹, 甚至更高 在电工技术中经常用角频率 ω 来表示其变化的快慢, 它表示单位时间内经历的弧度数 π ω = = π f (5-) T 其单位为 :(rad/s) 弧度 / 秒 () 最大值, 有效值与平均值正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值, 用小写字母表示, 如 i = I sinωt m u = U sinωt m 正弦量在变化过程中所达到的最大值称为振幅值, 也叫做峰值 用 I m 或 U m 表示 另外, 在电工技术中, 还常用有效值或平均值来描述正弦参量 正弦量的有效值是根据交流电流和直流电流热效应相等的原则来确定的 设一交流电流 i 和直流电流 I 通过阻值相同的电阻, 在相同的时间 T 内产生的热量相等, 那么就规定这个交流电流 i 的有效值在数值上等于这个直流电流 I 的大小 由焦耳定律可得 : I = T T i d t = 0 I T T I m sin ω t d t = m 0 I (5-3)

77 70 电工基础 同理 : U = U m (5-4) 例 5- 已知 u = 3 Sin34t, 试求电压有效值 U 解 : U m = 3(V) 有效值 : U = U m = 3 = 0 (V) 在电工技术中, 有时也会遇到求平均值的情况 但由于正弦交流电在一个周期内的平均值为零, 因此这里所指的平均值是指半个周期内的平均值 平均值是根据等面积效应求得的 用 I 或 U 表示 T I = i Im T = (5-5) 0 π (3) 相位与初相位 相位差图 5-3 是某一正弦电压的波形 则对应的波形函数可表达为 : u = U ωt+ θ (5-6) m sin ( ) 在 (5-6) 式中,ωt + θ 称为相位 ( 或相位角 ); θ 称为初相位 ( 或初相角 ) u U m 图 5-3 假设波形图中曲线从负值向正值过渡时所经过的零值点称为零点 如果零点位于坐标原点左侧时, 则初相角 ( 位 ) 大于零 如果零点位于坐标原点右侧时, 则初相角 ( 位 ) 小于零 在一个正弦交流电路中, 电压和电流的频率是相同的, 它们的初相位有可能不同, 两者 初相位之差称为相位差 用 θ 表示 设 :u = U m sin (ωt + θ ) i = I m sin (ωt + θ ) 则两者的相位差为 : θ =θ -θ (5-7) 相位 初相位 相位差都采用同一单位 : 弧度 (rad)

78 第 5 章正弦交流电路 7 当 π> θ>0 时, 称 u 超前于 i, 当 -π< θ<0 时, 称 u 滞后于 i, 当 θ = 0 或 π 时, 称 u 与 i 同相, 当 θ =±π 时, 称 u 与 i 反相 图 5-4 分别反映了超前 ( 滞后 ) 同相 反相的关系 图 5-4(a) 中,u 超前 i( 或 i 滞后 u) 图 5-4(b) 中,i 与 i 同相 i i 与 i 3 反相 (a) 图 5-4 (b) 思考题. 两个频率不相同的正弦交流电量, 能否比较相位差?. 如让电流为 4A 的直流电和最大值为 5A 的正弦交流电分别通过阻值相等的电阻, 在相同时间内, 哪个电阻发热多? 为什么? 5.. 正弦信号的表示方法 5. 正弦信号的相量表示法 正弦交流信号的变化规律满足正弦函数的变化规律, 其表示方法有多种 : () 瞬时值表达式也称解析式 如 : u = U ωt + θ (5-8) () 三要素表示法 如 :U m ω θ (3) 波形图表示法 (4) 正弦信号的相量表示法 m sin ( )

79 7 电工基础 5.. 相量 在数学中有向量的概念, 即一个有向线段 物理学中有矢量的概念, 既有大小, 又有方向, 通常也用一有向线段表示 如今正弦交流电中引入相量一词, 也用一有向线段表示 在同一个正弦交流电路中, 各正弦量的幅度和初相位都可能不同 但它们的频率是相同的 若只考虑正弦量的幅度和初相位, 而不去考虑其角频率, 则正弦量完全可以用只有大小和方向的相量来描述 相量的数学基础是复数 下面先介绍复数的有关知识. 复数 在数学中常用 A = a + jb 表示复数, 其中 a 为实部,b 为虚部, j = 称为虚 单位 在电工技术中, 为了区别于电流的符号 i, 虚单位常用 j 表示 建立一个复平面, 平面内 A = a + jb 与 OA = a + jb 都可以表示复数, 如图 5-5 称 OA 为 复矢量, r = OA = a + b 称为模, θ = arctg b 称为辐角 a + j + j b A b A a a () 复数的四种表示形式代数式 三角式 图 5-5 Α = a+ jb a b Α = a + b ( + j ) a + b a + b = r (cosθ + jsinθ 指数形式 j Α = r e θ 极坐标形式 Α = r θ () 复数的运算复数的加减法 : 通常是将实部相加减, 虚部相加减 若是用有向线段表示复数, 也可用矢量合成法进行复数相加减, 即 平行四边形法则 进行复数相加 ; 三角形法则 进行复数相减 )

80 第 5 章正弦交流电路 73 例 5- 设 Α = a + jb = r θ, Α = a + jb = r θ 求 : A + A 及 A A 解 :() A + A = ( a + a) + j( b + b) A A = ( a a ) + j( b b ) () 可利用作图法求 A + A, A A 复数的乘除法, 代数法相乘除计算较烦琐, 若利用指数式或极坐标式进行乘除运算, 则较方便 两复数相乘, 即模相乘, 辐角相加 ; 两复数相除, 即模相除, 辐角相减 例 5-3 如图 5-6, 已知 A = 0 37 A,A = 0 53, 求 A A, A 解 : Α Α = = j A 0 37 = = 90 A 0 53 A -A 图 5-6. 正弦量可用有向线段表示, 而有向线段又可用复数表示, 所以正弦量也可用复数来表示 用复数表示正弦量即称为相量 正弦量的相量表示法 给出一个正弦量 u = U sin( ωt+ θ ) ), 在复平面上作一矢量 矢量的长度等于振幅值 U, m 矢量与横轴的正方向之间的夹角等于 θ, 矢量以角速度 ω 绕坐标原点逆时针方向旋转 如图 5-7, 此时, 该旋转矢量在纵轴上的投影恰好为正弦交流电量的表达式 由此可见, 上述旋转矢量既能反映正弦量的三要素, 也能通过它在纵轴上的投影确定正弦量的瞬时值, 所以复平面上一个旋转矢量可以完整地表示一个正弦量 复平面上的矢量与复数是一一对应的, 用复数 U e j θ m 来表示复数的起始位置, 再乘以旋 jω t 转因子 e 便为上述旋转矢量, 即 jθ jω t j( ω t+ θ) U e e = U e = U cos( ωt + θ) + ju sin( ωt + θ) m m m m 该矢量的虚部即为正弦量的解析式, 由于复数本身并不是正弦函数, 因此用复数对应地表示一个正弦量并不意味着两者相等 m

81 74 电工基础 + j + j 图 5-7 在正弦交流电路中, 由于角频率 ω 常为一定值, 各电压和电流都是同频率的正弦量, 这 j t 样, 便可用起始位置的矢量来表示正弦量, 即把旋转因子 e ω j 省去, 而用复数 U e θ 对应地 表示一个正弦量 j 又因为我们常用到正弦量的有效值, 所以我们也常用 Ue θ 来表示一个正弦量, 把模等于正弦量的有效值, 幅角等于正弦量的初相角的复数称为该正弦量的有效值相量 常用正弦量的大写符号顶上加一圆点 来表示, 即以 U I 等表示 如 U = U θ (5-9) 正弦量的相量和复数一样, 可以在复平面上用矢量表示 画在复平面上表示相量的图形称为相量图 显然, 只有同频率的多个正弦量对应的相量画在同一复平面上才有意义 只有同频率的正弦量才能相互运算, 运算方法按复数的运算规则进行 把用相量表示正弦量进行正弦交流电路运算的方法称为相量法 例 5-4 正弦交流 i = 30sinωt, i = 0sin( ωt + 30 ), 写出它们的相量表达式 解 : I m= 30 0 = 30(A) 或 I = 30 0(A) I m = 0 30 = ( j5) A, I 0 = 30 (A) 例 5-5 已知 I =5 45, U = , 两交流电量的频率均为 50Hz, 试写出其瞬时表达式 解 : ω = πf = π 50 = 00π( rad ) s Im = I = 5, U = U = 380 i = 5 sin(34t + 45 ) m u = 380 sin(34t + 40 ) m

82 第 5 章正弦交流电路 相量图相量是用复数表示的, 它们在复平面上的图形称为相量图 π 例如 : U = 0 (V), I π = (A), 3 4 如图 5-8 所示 + j 图 5-8 复数在复平面上可以做加减运算, 相量在相量图上也可以做加减运算, 且运算方法相同 需要指出的是, 只有相同频率的正弦量才能画在同一相量图中 同样, 只有同频率的正弦量之间才能进行加减乘除运算 思考题. 简述正弦交流电的几种表达方法及其物理意义. 已知 : i = 60sin(34t + 30 ), i = 80sin(34t 60 ), 试用相量图求 i + i的表达式 5.3 正弦电路中的电阻元件 电阻元件 电感元件及电容元件是交流电路的基本元件, 日常生活中的交流电路都是由这三种元件组合起来的 为了分析这种交流电路, 我们先来分析单个元件上电压与电流的关系 能量的转换与储存关系

83 76 电工基础 5.3. 电阻元件上电压与电流的关系 图 5-9 中, 当线性电阻 两端加上正弦电压 u 时, 电阻中便有电流 i 通过 图 5-9 在任一瞬时, 电压 u 和电流 i 都满足欧姆定律, 即 u i = 设 u = Um sin( ωt+ θ) U m 则 i = sin( ωt+ θ ) = Im sin( ωt+ θ ) U m U Im = 或 I = 结论 : 电阻上的电压与电流同频又同相 对应的相量形式 : U = U θ = I θ I = I θ U = I (5-9) 5.3. 电阻元件的功率 交流电路中, 任一瞬间, 元件上电压的瞬时值与电流的瞬时值乘积叫做该元件的瞬时功 率, 用小写字母 p 表示, 即 p = u i p= u i = Um sinωt Im sinωt Um Im = Um Im sin ωt = ( cos ωt) = U I ( cos ωt) 图 5-0 中画出了电阻元件上瞬时功率曲线

84 第 5 章正弦交流电路 77 图 5-0 在电压和电流的关联参考方向下, 任一瞬间电压与电流同频同相, 所以瞬时功率恒大于零, 即 p 0, 表明电阻元件是一个耗能元件 电阻的平均功率是指瞬时功率的平均值 ( 通常指一个周期内的平均值 ) 即 T P = p T 0 T = U I ( cos t T ω ) 0 T T = U I[ cosωt d t] T 0 0 由于 或 所以 = U I( T 0) = U I T I U = U = I U P = U I = I= (5-0) 功率的单位为瓦 ( 特 ), 用字母 (W) 表示, 有时也用千瓦 (kw) 表示 例 5-6 一电阻 = 00 Ω, 接到 u = 0 sin( ωt + 30 ) 的电压上, 求 : () 电阻上电流的大小 () 电阻上的平均功率

85 78 电工基础 (3) 作出 U, I 的相量图 u 0 解 :() sin( 30 ). sin( 30 i = = ωt + = ωt+ ) 00 ()U = 0(V), I =.(A) P= U I = 0. = 484(W) (3)U = 0 30 (V), I =. 30 (A) 相量图如图 5- 所示 + j 图 正弦电路中的电感元件 5.4. 电感元件上电压和电流的关系在电感元件的两端加上正弦交流电压, 电感上流过交流电流, 如图 5- 所示 设 il = ILm sin( ωt+ θ ) dil 则 ul = L d t d[ ILm sin( ωt + θ )] = L π = ILm ωlsin( ωt + θ + ) π = ULm sin( ωt + θ + ) 图 5-

86 第 5 章正弦交流电路 79 由此表明 : 令 XL = ωl称为感抗, 则 U = X I Lm L Lm U Lm = ωl I 感抗是用来描述电感线圈对交流电流阻碍的一个物理量 交流电的频率越高, 感抗越大 ; 率越低, 感抗越小 通常认为电感元件具有通直流阻交流 低频阻高频的特性 感抗的单位为欧姆, 用 Ω 表示 对应的相量形式 ( 如图 5-3 所示 ): I = I θ L L Lm π U L = ωl IL ( θ + ) π = ωl I L θ = jωl I L + j π θ 图 5-3 结论 :() 电感上电压与电流同频, 但不同相 π () 电感上电压超前电流 90 ( 或 ) (3) 电感元件上存在感抗, 其值为 XL = ωl (4) 在电感元件上应用欧姆定律时有两种形式 : U = ωl I U L = jωl I L L L 5.4. 电感元件的功率瞬时功率设 i = I sin t L Lm ω π 则 ul = ULmsin( ωt + )

87 80 电工基础 π pl = ul il = ULm ILm sin( ωt + ) sinωt = U I sinωt cosωt Lm Lm = ULm ILm sinωt = U I sinωt L L 图 5-4 为电感元件上, 电压 电流, 瞬时功率的波形图 瞬时功率 p 也是正弦函数, 频率为 ω 图 5-4 平均功率 : T P = p d T t 0 T = UL IL sin t T ω 0 = 0 表明, 电感元件不消耗电能 P > 0 时吸收功率,P < 0 时释放功率, 因此电感是一种储能元件 将电感元件上电压的有效值与电流的有效值的乘积叫做电感元件的无功功率 用 Q 表 L

88 第 5 章正弦交流电路 8 示 U Q = U I = I X = (5-) L L L L L L X L 无功功率的单位为 乏 (var), 工程上也常用 千乏 (kvar) 例 5-7 已知电感 L=30 mh, 接在 U =0 sin(34t 60 ) 的电源上, 试求 : 解 : () 电感的感抗 X L ; () 流过电感的电流 i ; L (3) 电感上的无功功率 Q L ( ) 电感的感抗 X. ω 3 L = L= Ω U () I 0 60 = = =. 50 (A) jx L i =. Sin(34t 50 ) (A) L (3) Q = U I = 0. = 484(var) L L L L 5.5 正弦电路中的电容元件 5.5. 电容元件上电压与电流的关系在电容元件的两端加上正弦交流电压, 电容上流过交流电流 如图 5-5 所示 设 uc = Ucm sin( ωt + θ ) duc 则 ic = C d Ucm sin( ωt + θ ) = C = ωc U cos( ωt+ θ) [ ] cm 图 5-5

89 8 电工基础 π = ωc Ucm sin( ωt + θ + ) π = Icm sin( ωt + θ + ) 由此表明 : 或 令 X c = 称为容抗, ωc 则 U = X I cm c cm I cm = ωc U ωc cm U cm = Icm 容抗是用来描述电容对交流电流阻碍作用的物理量 交流电的频率越高, 容抗越小 ; 频率越低, 容抗越大 通常认为电容元件具有通交流 阻直流 通高频 阻低频的特性 容抗的单位为欧姆, 用 Ω 表示对应的相量形式为 : U = U θ 相量图如图 5-6 所示. c c π π I c = Ic ( θ + ) = ωc UC ( ω+ ) π = ωc Uc θ = jωc U c U c = I c (5-3) jωc π θ 图 5-6 结论 :() 电容上电压与电流同频, 但不同相 0 π () 电容上电流超前电压 90 ( 或 ) (3) 电容元件上存在容抗, 其值为 X L = ωc

90 第 5 章正弦交流电路 83 (4) 在电容元件上应用欧姆定律时有两种形式 UC = IC U C = I C ωc jωc 5.5. 电容元件的功率 设则 u = U sinωt c cm π ic = Icm sin( ωt + ) π pc = uc ic = Ucm Icm sinωt sin( ωt+ ) = U I sinωt cosωt cm cm = Ucm Icm sinωt = U I sin ωt c c 图 5-7 为电容元件上电压电流瞬时功率的波形图, 瞬时功率 p 是一正弦函数, 频率为 ω 则平均功率 : 图 5-7

91 84 电工基础 T P= pt d T 0 T = Uc Ic sin t T ω 0 = 0 表明 : 电容元件不消耗电能 p>0 时, 吸收功率 ;p<0 时, 释放功率 因此电容也是一种储能元件 电容元件上电压的有效值与电流有效值乘积的负值, 称为电容的无功功率, 用 Q 表示 U Q = U I = I X = (5-4) c c c c c c X c 电容无功功率的单位是乏 (var) 或千乏 (kvar) 通常认为 : Qc> 0 称电容元件吸收无功功率 ; Q < 0 称电容元件发出无功功率 c 0 例 5-8 已知 : 电容 C=63.7 µf 接到 U = 0 sin(34t 60 ) 电源上, 试求 : () 电容的容抗 X c ; () 流过电容的电流 i ; c (3) 电容上的无功功率 Q c 解 : ( ) 容抗 : X c = = = 50( Ω) 6 ωc () I C = U c = 0 60 = jωc j = (A) i c = 4.4 sin(34t 50 ) (3) = U I = = 968(var) Q c c c c c 思考题. 图 5-8 电路当交流电压 u 的有效值不变, 频率增高时, 电阻元件, 电感元件, 电容元件上的电流将如何变化? 图 5-8

92 第 5 章正弦交流电路 85. 解答上题的根据是否是在正弦交流电路中, 频率越高, 则感抗越大, 容抗越小, 而电阻不变? 3. 指出下列各表达式正确与否? ( ) = U () X i L u = (3) jx ωl C U = I C C (4) jx C U = I L C (5) X C U U = C L = (6) I L IC jx L (7) U = U = L I C L (8) I C jx L jx (9) U = jx I L L L C 5.6. 相量形式的基尔霍夫定律 5.6 相量形式的基尔霍夫定律 基尔霍夫电流定律的实质是电流的连续性原理 在交流电路中, 任一瞬间电流总是连续 的, 因此, 基尔霍夫定律 (KCL) 也适用于交流电路的任一瞬间, 使电路某一节点的电流代 数和等于零 即 正弦交流电路中各电流都是同频率的正弦量, 把这些同频率的正弦量用相量表示即得 : I = 0 (5-5) 5.6. 相量形式的基尔霍夫电压定律 根据能量守恒定律, 基尔霍夫电压定律 KVL 也同样适用于交流电路的任一瞬间 即同一瞬间, 电路的任一个回路中各段电压瞬时值的代数和等于零即 : u = 0 正弦交流电路中各电压都是同频率的正弦量, 把这些同频率的正弦量用相量表示即得 : U = 0 (5-6) 例 5-9 电路如图 5-9, 已知电流表 A, A, A 3 的读数都是 0 A, 求电路中电流表的 A 读数

93 86 电工基础 (a) 图 5-9 (b) 解 : ( a) 设 U = U 0, ( 由于元件是并联的, 所以电压相同 ) 则 I = 0 0 ( 与电压同相 ) I = 0 90 ( 电压超前电流 90 ) 其相量图如图 5-0(a) 所示 由 KCL 得 : I = I + I = = 0 45 (A) 电流表 A 的读数为 0 A ( b) 设 U = U 0, 则 I = 0 0, I = 0 90, I 3 = 0 90 其相量图如图 5-0( b) 所示 (a) (b) 图 5-0 由 KCL 得 : 电流表 A 的读数为 0A I = I + I + I 3 = = 0 j0 + j0 = 0 0 (A)

94 第 5 章正弦交流电路 87 例 5-0 电路如图 5- 所示, 已知电压表 V V V 3 的读数都是 0 V, 试分别求各电压表 V 的读数 (a) 图 5- (b) 解 : (a) 由于电路中元件是以串联方式连接, 因此电流相等 设 I = I 0, 则 U = 0 0 (V) U = 0 90 (V) U = U + U = = 0 45 (V) 相量图如图 5-( a) 电压表 V 的读数为 0 V (b) 设 I = I 0 则 U = 0 0. U = U 3 = U = U + + U U3 = =0 (V) 相量图如图 5-(b) 电压表的读数为 0 V U (a) (b) 图 5-

95 88 电工基础 5.7. 电压与电流的关系 5.7 LC 串联电路 图 5-3 电路是 LC 串联电路, 电路中流过的电流为正弦交流电, 设 i = I sinωt, 则其 相量为 : 则 U = I 由 KVL 可得 : 设则 U = Z I I = I 0 U L = jxl I = XL I 90 U = jx I = X I 90 C C C U = U + U L + U C = I + jxli jxci = + jx jx I [ ] 称 Z 为串联电路的阻抗 其中 为电阻,X 为电抗 L C Z = + j( X X ) = + jx (5-7) L C m U 图 电路的性质 () 电感性电路 : X L > X C X 此时 X > 0, U L > U C, 阻抗角 ϕ = arctg > 0 以电流 I 为参考方向, U 和电流 I 同相, U L 超前于 I 90, U 相加, 得总电压 U C 滞后于 I 90, 将各相量

96 第 5 章正弦交流电路 89 相量图如图 5-4(a) 从相量图中可以看出, 电压超前于电流 ϕ 角 () 电容性电路 : X L < X C 此时 X < 0, U L < U, C 阻抗角 ϕ < 0, 从相量图中可以看出, 电压滞后于电流 ϕ 角 相量图如图 5-4(b) ( 3) 电阻性电路 : XL = XC 此时, X = 0, U = U, 阻抗角 ϕ = 0 从相量图可以看出, 此时电压与电流同相 相 量图如图 5-4(c) L C I I I (a) (b) (c) (4) 功率关系 U U U U I I I I 图 5-4 U = U + U + U = Z I L C L C Z = = + + = Z + Z + L ZC Z Z Z L C = = jx L = jx 构建阻抗三角形, 电压三角形如图 5-5 Z = + jx jx = + j( X X ) L C L C Z = + ( XL XC ) XL XC ϕ = arctg 阻抗三角形与电压三角形完全相似, 但电压三角形为矢量三角形, 且每边均为阻抗三角形的边乘以相量 I 所得 若将电压三角形再每边乘以电流 I 的有效值, 则得到完全相似的功率三角形 其中 P 称为有功功率,Q 称为无功功率,S 称为视在功率 视在功率的单位是 VA ( 伏安 ) 或 kva( 千伏安 ) C

97 90 电工基础 且 图 5-5 P = U I = U I cosϕ (5-8) Q= U I U I = U I sinϕ (5-9) L C S = U I (5-0) S = P + Q (5-) P cosϕ = (5-) S ϕ 称为阻抗角, cosϕ 称为功率因数, 描述了有功功率占视在功率的份额 例 5- 电路如图 5-3, 已知 : 电源电压 u = 3 sin(34t + 30 ), = 0 Ω, L = 07mH, C = 63.7µF, 求 : ( ) 电流的瞬时值 i 及有效值 ; () 求各部分电压的瞬时值及有效值 ; (3) 求 P 和 Q 解 : () 3 = ωl= Ω XL ( ) X C = = = 50 6 ( Ω ) ωc Z = + j( X X ) = 0 + j(65 50) = 0 + j5 L 3 Z = Z ϕ = 5 arctg 4 Z = 5, ϕ = 37 U 0 30 I = = = (A) Z 5 37 C ( t ) i = 8.8 sin 34 7 I = 8.8 (A)

98 第 5 章正弦交流电路 9 () (3) U = I = = 76 7 (A) U L = jxl I = j = = (V) U = jx I = = (V) u ul uc C C ( t ) ( t ) ( t ) = 76 sin 34 7 = 57 sin = 440 sin P = U I cosϕ = 0 8.8cos 37 = (W) Q= U I sinϕ = sin 37 = 6.6 (var) 思考题判断下列表达式是否正确 ( 对于 L C 串联电路 ) () U = U + U + U L C () U = U + ( U U ) L C (3) U = U + U + U L C (4) Z = + X X (5) Z = + jx jx L L C C 5.8 阻抗的串联与并联 需要说明的是, 阻抗不是一个相量, 而仅仅是一个复数形式的数学表达式 其表达式为 : Z = + jx = Z ϕ (5-3) 阻抗的实部为 阻, 虚部为 抗, 它表达了电路中的电压与电流之间的关系 阻抗的辐角 ϕ 表示了电压与电流的相位差 Z 称为阻抗模, 它为电路中电压与电流的有效值之比

99 9 电工基础 5.8. 阻抗的串联 图 5-6 为两个阻抗元件的串联电路 由 KVL 可得 : 图 5-6 U = U + U = Z I + Z I = Z + Z I ( ) 故两个阻抗串联可用一个等效阻抗来代替, 即 Z = Z + Z (5-4) 通常情况下, 交流电路中, U + U U ( U + U = U ) 同样 : Z Z + Z ( Z = Z + Z) 可见, 在阻抗串联电路中, 等效阻抗是所有阻抗之和, 即 Z = Z = + j X k k k 而阻抗模之和不等于等效阻抗的模 Z Z k 上式 X 中的 X 为正值, 为负值 k L X C 5.8. 阻抗的并联 图 5-7 为两个阻抗元件的并联电路 图 5-7

100 第 5 章正弦交流电路 93 由 KCL 可得 U U I = I + I = + = U ( + ) Z Z Z Z 故两个阻抗并联可用一个等效阻抗来代替, 即 = + Z Z Z 或 Z Z Z = Z + Z 通常情况下, 正弦交流电路中, I I + I 因此 所以 U U U + Z Z Z + Z Z Z (5-5) 可见, 在阻抗并联电路中, 只有等效阻抗的倒数才等于各个阻抗的倒数之和 即 : = Z Z k 从上面的推导可知, 阻抗的串并联等效, 其换算方法与纯电阻的串并联等效的换算方法是相近似的 不同的是阻抗是一种复数运算, 而纯电阻是一种实数运算 例 5- 电路如图 5-8, 已知 : U = 00 0, Z = 3 + j 3, Z = 3+ j4, Z 3 = 4+ j3 4 4 试求等效阻抗 Z 和各支路电流 图 5-8 解 : () Z = + j = 45 ( Ω ) 4 4 4

101 94 电工基础 () Z = 3+ j 4= 5 53 ( Ω ) Z3 = 4+ j 3= 5 37 ( Ω ) Z Z Z = Z + = + j + Z + Z j4+ 4+ j = + j = + j = + j + + j = + j ( ) = 45 Ω U 00 0 I = = = 5 45 ( Α) Z 45 Z I = I = 5 45 Z + Z = 53 ( Α ) 7. 计算图 5-9 中两电路的等效阻抗 思考题 图 5-9. 电路如图 5-30 已知: = XL = XC, 电流表 A 3 的读数为 3 A, 求 A, A 的读数

102 第 5 章正弦交流电路 95 图 电路的谐振 在含有电容与电感的电路中, 一般情况下其等效阻抗均为复数 当等效阻抗为实数时, 我们称电路发生了谐振 此时, 端口电压与端子电流的相位相同 5.9. 串联谐振 串联电路 ( 如图 5-3) 的阻抗为 Z = + j ( X L -X C ) = + j ( ωl - ωc ) 图 5-3 当 X L = X C 时, 电源电压与电流同相 电路发生谐振 此时电路的频率称为谐振频率, 用 f 0 表示 X L = X C 即 ωl = ωc ω 0 = LC

103 96 电工基础 ω 0 f 0 = = π π LC 电路发生串联谐振时的特点 : () 电路的阻抗模最小, 电流达到最大 Z = + ( X X ) = L C (5-6) () 电路对电源呈电阻性 (3)U L = U C 且相位相反, 相互抵消, 对整个电路不起作用 电容与电感上能量相互转换, 电源与电路之间不发生能量的互换 但 U L 和 U C 的单独作用往往不可忽略 当 X L = X C > 时, 电容上电压和电感上电压都高于电源电压, 甚至可能超过许多倍, 因此, 串联谐振又称为电压谐振 由于电容 电感元件上的电压可能会远远高于电源电压, 在很多场合, 要避免谐振的发生, 如在电力系统中, 过高的电压可能击穿电气设备的绝缘, 造成设备的损坏引起系统故障 5.9. 并联谐振 并联电路的阻抗通常也是复数 当阻抗为实数时, 电路发生谐振 谐振时的特点是 : () 电阻的阻抗模最大, 电流最小 () 电路对电源呈电阻性 (3)I L = I C 并联谐振又称为电流谐振 功率因数的提高 Z = + jx = Z 称为阻抗角,cosφ 称为电路的功率因数 ϕ cosφ = P S 在纯电阻电路中, 阻抗为实数, 阻抗角为 0 功率因数 cosφ = 而在交流电路中, 一般负载多为电感性负载 例如常用的交流感应电动机 日光灯等 通常它们的功率因数都比较低 交流感应电动机在额定负载时功率因数约在 0.8~0.85, 轻载时只有 0.4~0.5, 空载时更低, 仅为 0.~0.3, 不装电容器的日光灯的功率因数为 0.45~0.60 左右 功率因数低会引起下述不良后果 () 电源设备的容量不能得到充分的利用电源设备 ( 如变压器 发电机 ) 的容量也就是视在功率, 是依据其额定电压与额定电流设计的 例如一台 800kVA 的变压器, 若负载功率因数 cosφ=0.9 时, 变压器可输出 70kW 的有功功率 ; 若负载的功率因数 cosφ = 0.5 时, 则变压器就只能输出 400kW 的有功功率 因此,

104 第 5 章正弦交流电路 97 负载的功率因数低时, 电源设备的容量就得不到充分的利用 () 增加了线路上的功率损耗和电压降若用电设备在一定电压与一定功率之下运行, 当功率因数高时, 线路上电流就小, 反之, 当功率因数低时, 线路上电流就大, 线路电阻中与设备绕组中的功率损耗也就越大, 同时线路上的电压降也就增大, 会使负载上电压降低, 从而影响负载的正常工作 因此提高用户的功率因数对国民经济有着十分重要的意义 我国供电规则中要求 : 高压供电企业的功率因数应不低于 0.95, 其他用电单位不低于 0.9 提高功率因数可以从两个方面加以考虑, 一方面提高自然功率因数, 主要办法有改进电动机的运行条件, 合理选择电动机的容量, 或采用同步电动机等措施 另一方面是采用人工补偿, 也叫无功补偿, 即在感性电路中, 人为地并联电容性负载, 利用电容性负载的超前电流来补偿滞后的电感性电流, 从而达到提高功率因数的目的 5.0 对称三相电路 三相电路是由三个振幅和频率均相同而初相各差 0 的正弦交流电源所组成的供电系统 与单相交流电路相比较, 三相交流电在发电 输电和用电等方面具有许多优点 例如, 在尺寸相同的情况下, 三相发电机输出的功率比单相发电机的功率要大 传输电能时, 在电气指标相同的情况下, 三相电路比单相电路可节省 5% 的有色金属 因此, 目前世界各国电力系统采用的供电方式几乎都是三相制 5.0. 三相电源的连接 三相交流发电机由三个绕组共同绕制在一个电枢上, 每个绕组称为一相, 每相电源的有效值均相同, 称为相电压, 用 U P 表示, 每相电源的频率也相同, 相位差各相差 0, 这三个相电压的瞬时值表达式为 : ua() t = UP sinωt ub() t = UP sin( ωt 0) uc() t = UP sin( ωt + 0) 这一组电压为三相对称电压 其相量表达式为 : U = U a p 0 ( 5-7) U b = Up 0 U c = Up 0 (5-8)

105 98 电工基础 图 5-3(a) 为三相对称电源 (b) 为三相对称电压的相量图 (a) (b) 图 5-3 () 三相电源的 Y 形连接方式将三个绕组的末端 x y z 连接在一起成为公共点 O, 称为中点, 由中点引出的线称为中线 ( 也称为零线 ) 由始端 a b c 引出的三根线与输出线相连接, 称为端线, 或相线 ( 俗称火线 ) 如图 5-33 图 5-33 端线与中线之间的电压叫相电压, 用 U a U b U c 表示 端线与端线之间的电压叫线电压, 用 U ab U bc U ca 表示 U = U U = U 0 U 0 = 3U 30 ab a b p p p U = U U = 3U 90 bc b c p U = U U = 3U 50 ca c a p 由此可见 : 相电压是对称的, 同样线电压也是对称的 线电压的有效值是相电压有效值的 3 倍 U l = 3 U p (5-9) 相电压与线电压的相量图, 如图 5-34

106 第 5 章正弦交流电路 99 图 5-34 () 三相电源的 形连接方式将三个绕组的始末端顺次相连接, 即 x 与 b,y 与 c,z 与 a 相连接, 这样就得到一个闭合回路 再从这三个连接点引出 3 条端线 ( 称为火线 ) 就构成 形连接 如图 5-35 所示 图 5-35 a = U, a U = U b b bc U 此时, 线电压等于相电压, 即 Ul, U p c c a = U = U (5-30) 5.0. 三相对称负载的连接 三相电路的负载由三部分组成, 其中每一部分称为一相负载 若三相负载具有相同的参数, 则称为对称三相负载 由对称三相电压和对称三相负载所组成的三相电路称为对称三相电路 与三相电源一样, 三相负载也有 Y 形和 形两种连接方式 () 负载的 Y 形连接图 5-36 所示为三相四线制 Y Y 系统

107 00 电工基础 设负载阻抗 Z = Z ϕ, 图 U U p 0 U a p I a = = = ϕ Z Z ϕ Z 0 U U p 0 U b p 0 I b = = = 0 ϕ Z Z ϕ Z 0 U U p 0 U c p 0 I c = = = 0 ϕ Z Z ϕ Z Y Y 连接的对称三相电路中 其各相都是彼此独立的 可以分别进行计算 由于三相电源和三相负载都是对称的, 因而三相电流也是对称的, 只需分析其中任何一相, 其他两相可直接写出 I = I + I + I = 0 N a b c 中线电流为零 各相负载吸收的功率为 : Ul P = U p Ip cosϕ = Il cosϕ (5-3) 3 三相负载吸收的总功率为 : () 负载的 形连接图 5-37 所示为三相三线制 Y 系统 P = 3P = 3U I cosϕ = 3 U I cosϕ p p l l 图 5-37

108 第 5 章正弦交流电路 0 设负载阻抗 Z = Z ϕ 0 U ab = U l 0 U bc = U l 0 U ca = U l 0 U ab U l 0 Ul I ab = = = ϕ Z Z ϕ Z U bc U l 0 Ul I bc = = = 0 ϕ Z Z ϕ Z U ca U l 0 Ul I ca = = = 0 ϕ Z Z ϕ Z Y 连接的对称三相电路中, 其各相负载的相电压等于电源的线电压 由于电源的线电压是对称的, 因而各相负载的电流也是对称的, 只需分析其中一相, 其他两相可直接写出 三相负载对于 形电源也有两种连接方式, 即 Y 系统和 系统, 这里不再赘述, 同学们可参阅相关资料进一步学习 5. 本章小结. 正弦交流电的基本概念, 瞬时值表达式. 正弦交流电的三要素 : 最大值, 角频率, 初相位 3. 有效值与初相位的概念, 超前 滞后的判别 U = Um, I = I m π> ϕ >0 超前 -π< ϕ <0 滞后 ϕ =0 或 π 同相 ϕ =π 或 -π 反相 4. 相量表示法, 相量的运算 I = I ϕ U = U ϕ 相量的相加减可采用代数相加减, 也可用平行四边形法则运算 相量相乘除, 可以

109 0 电工基础 使用指数形式或极坐标形式进行运算 5. 相量形式的欧姆定律 U = I U L = jxli L U = jx I 其中, X L = ωl, X c =, 分别称为感抗和容抗 ωc 6. L C, 元件上交流电压与电流的关系 :u 与 i 同频同相 L :u L 与 i L 同频, u L 超前 i L 90 C :u c 与 i c 同频, u c 滞后 i c 有功功率, 无功功率, 视在功率, 功率因数 P U I c c c =, QL UL IL Q= Q Q =, Qc = Uc I c L S = P + Q P cosϕ = S 8. 电路的谐振当电路中的阻抗变为纯电阻时, 电路就发生了谐振 Z = + jx X 0 此时, X L = X c ω o =, f 0 =, f 0 称为谐振频率 LC π LC 9. 三相电路 三相电源的连接有 Y 形和 形 三相负载的连接有 Y 形和 形 相电压与线电压的关系 Y 形电源 U 3U l = l Il = I p 形电源 Ul = U p I = 3I 三相负载功率 P = 3P = 3 U p Ip cosϕ = 3 Ul Il cosϕ l p c

110 第 5 章正弦交流电路 03 习题五. 已知一正弦电压的最大值为 3 V, 频率为 50 Hz, 初相位为 π, 试写出其解析式, 4 并绘出该正弦电压的波形图 π. 已知一正弦电流的解析式为 : i = 0 sin(00π t ), 试写出其振幅, 角频率, 频率, 3 周期和初相位 π π π 3. 已知 u = 0 sin(34 t+ ) 当纵坐标向左移或向右移时, 其初相位各为多少? 已知 i = 00sin( ωt + 30 ), u = 0sin( ωt 30 ), 试求它们的最大值和有效值 5. 将下列复数写成极坐标形式 : () 3 + j4 () 4+ j3 (3) 6 j8 (4) 0 j0 (5) j0 (6)0 6. 写出下列各正弦量对应的相量 0 () u = 0 sin( ωt + 0 ) 0 () i = 0 sin( ωt + 60 ) 7. 已知正弦交流电的频率为 f=50 Hz, 写出下列相量对应的正弦量的表达式 ()U π =00 (V) () I =0 50 (A) 6 8. 已知两复数 Z =8+j6,Z =0 60, 求 :Z+ Z,Z Z,Z / Z 9. 图 电路中, 已知 i = 0sinωt, i = 0sin( ωt + 90 ), 求 :() I, I, I 3 ; () 各电流表的读数 (3) 画出电流相量图 图 0. 已知 : u = 0 sin( ωt + 60 ) V, u = 0 cos( ωt + 30 ) V, 试作 U 和 U 的相量

111 04 电工基础 图, 并求 U + U, U U. 两个同频率的正弦电压的有效值分别为 30V 和 40V, 试问 :() 什么情况下,U + U 的有效值为 70V? () 什么情况下,U + U 的有效值为 50V? (3) 什么情况下,U + 的有效值为 0V? U. 在电阻 = 0 Ω 的两端施加电压 u =00sin(34t+60 ), 写出电阻上电流的解析式, 并作出电压和电流的相量图 3. 在电感 L = 0. H 的两端施加电压 u=0 sin(00t-30 ), 选定 U,I 参考方向一致, 试求通过电感的电流 i, 并绘出电流和电压的相量图 4. 在电容 C = 50 µf 的两端施加电压 u=0 sin(000t+30 ), 选定 U,I 参考方向一致, 试求通过电容的电流 i, 并绘出电流和电压的相量图 5. 图 所示电路中, 已知电流表 A, A 的读数均为 0A, 求电路中电流表 A 的读数 A A A A A A (a) 图 6. 在 LC 串联电路中, 已知 =0Ω X L =5Ω X c =5Ω, 电源电压 u=00 sin(ωt+30 ), 求 : () 此电路的复阻抗 Z, 并说明电路的性质 () 电流 I 和电压 U U L U C (3) 绘出电压, 电流的相量图 7. 已知 LC 串联电路中, = 0 Ω X L =5 Ω Xc=5 Ω, 其中电流 I = 30 A, 试求 : () 总电压 U ; ()cosϕ ; (3) 该电路的功率 P Q S 8. 三相正序对称的星形连接电源, 若 U 相绕组首, 末端接反了, 如图 3 所示, 则三个相电压的有效值为多少? 三个线电压的有效值为多少?( 通过画相量图进行分析 ) (b) 图 3