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1 Part A Part A CH A- CH..... A-6 CH A- CH4... A-3 CH5... A-7 CH6... A-3 立 數 立.tw

2 Part A CH. ODE ) dy g f g f g dy f d d y general solution) g dy f d + c dt ) k T TA ) dt T T A 數 )k 理

3 Part A 3. ) 若 u, u u du d + dy u 令 u M, N, du M, d + N, dy M, d + N, dy eact) u, c M, d + N, dy ) M, d + N, dy 3) M, d + N, dy M N u u M, u N, u M, d + k N, dy + l u, c 4) Q P 若 O.D.E. P, d + Q, dy ) F, FPd + FQdy FQ) FP ) ) F, P, d + Q, dy 立 數 立.tw

4 Part A 4 5) P Q Q R -dependent F ep R d Q P P Q P P Q y-dependent R F ep R d R + +-dependent F + ep R + d + Q P R y-dependent F ep R d P yq.3 ) y + p y r ) ODE y + p y y ce p d ) p d F e 3) ) ) ) p d p d y e e r d + c) + h h e e r d c), h p d. 理

5 Part A 5 ) Bernoulli equation) 令 u [ y ] α du d dy + p y g y d ) y α α dy d du + α) p u α) g ODE d 3) Riccati equation) y + p y g y + h ) y 若 讀 行 令 b b y a y ae y + p y g y + h y ) 令 y z + y y z + y + p y g y + h z + + p z + y ) g z + y ) + h ) α + p y g) z gz z -4 Orthogonal Trajectories) ) one-parameter family of curves) G, y, c) c parameter) 理 ODE y f, ) Orthogonal Trajectories) ODE ~ f, ~ y ) 3) ~, G, y c ) G, y, c) 立 數 立.tw

6 Part A 6-5 ) N, < a, y y < } { b y + b y y b, y) a + a ) ODE y f,, BC y ) y 若 f, f, K ) b ODE < α α min{ a, }) K 3) ODE y f,, BC y ) y f, K f 若 f,, N f ), M ODE < α 理

7 Part A 7 CH. ODE ) y + p + q y r ) + p + q y 3) superposition principle) 若 y, y ODE a + a + a y y y linear combinations) c y + c y ODE a + a + a y 3) reduction of order) + p + q y 若 y ) 令 y uy 來 ODEU + + p) U u U ) y p d U e ) y y u y Ud y 立 數 立.tw

8 Part A 8. ODE ) + a + by λ ) 令 y e + a + by λ λ + aλ + b) e λ + aλ + b λ λ,λ superposition principle) λ λ a λ λ λ λ yh ce + ce a λ yh c + c e c + c e a h a λ ± iω y e [ c cosω + c sinω ].3 ) the differential operator) 數 ODE a + b + cy r the differential operator) D d d 理

9 Part A 9 dy d dy d y Dy D y D D ) d d d d O.D.E. ad + bd + c) y r ) ad + bd + c linear polynomial operator) L D) ad + bd + c.4 ) undamped) m + ky 數 k 量 m ) damped) m + c + ky 數 c c > 4mk ) λ α ± β ) c 4mk ) λ α, α c < 4mk ) λ α ± iω overdamping) y α + β ) t α β ) t ce + ce critical damping) y ) αt c + ct e underdamping) αt y e c cosωt + c sinω ] [ t α e t [ c cos ω δ )] t 立 數 立.tw

10 Part A.5 ) Euler-Cauchy + a + by m ) 令 y m + a ) m + b m m, m superposition principle) m m m y c + c m h m m y c + c ln m h p m p ± iq y [ c cosqln c sin qln )] h +.6 Wronskian ) y, y )} 異 數 令 c y + c y { ) 若 c c ) y, y )} { Linear Independent., L.I.) ) 若 零 y, y )} { Linear Dependent., L.D.) 理

11 Part A y y ) Wronskian W y y ) 若 y, y )} W { ) 若 W y, y )} 3) 4) { ODE y + p + q 若 p, q I : a, b) I ODE y + p + q, BC y ) K ) K 若 p, q I : a, b) I 數 c,c y c y + c y ).7 ODE ) ODE y + a + by r ) the method of undetermined coefficient) y p r 類 數 forcing term r y p e γ Ce γ cos ω + φ) sin ω + φ) Acos ω + φ) + Bsin ω + φ) 立 數 立.tw

12 Part A cosh ω + φ) sinh ω + φ) Acosh ω + φ) + Bsinh ω + φ) n n n n N ) A + A + LL + A A n n +.8 ) 力 f t) d y dy m + c + ky dt dt f t) t f t) 力 力 f t) ) 力 f t) F cosωt d y dy m + c + ky F cosωt dt dt 力 f t) F cosωt y p k mω ωc F cosωt + F sinω k mω ) + ω c k mω ) + ω c 理

13 Part A 3 3) undamped) my + ky F cosωt 數 k mω m + mω y F cosωt 力 f t) F cosωt y t) y + y F C cos ωt δ ) + cosωt mω mω h p 4) resonance) m + mω y F cosωt 數 k mω 率 ω ω 力 f t) F cosωt + mω y F cosω t m F F + ω y cosω t y p t) t sinω t m mω y 理 F F + ω y sinω t y p t) t cosω t m mω y.9 Kirchhoff ) R Et) C L 立 數 立.tw

14 Part A 4 di d I di L t) + RI t) + Q t) E t) L t) + R t) + I t) E t) dt C dt dt C di L L 降 dt RI Q I t dt C C ) R 降 C 降. Variation of Parameters) ODE y + p + q y r ) + p + q y y h c y + c y ) ) 令 y p u y + v y ) ODE y + p + q y r yr u d W yr v d W yr y d + y W y r W y p d 理