对两边积分, 得到原方程的解为 : 其中 c 为任意常数. dy dy = y dt y = dt, y(t) = c e t, 从例 8.1 看出, 仅根据常微分方程一般无法得到唯一的解. 要确定唯一解, 还需在一些 自变量点上给出未知函数的值, 称为边界条件. 一种边界条件设置方法是给出 t =
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- 浚弃玩 鄂
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1 第八章常微分方程初值问题的解法 在科学与工程问题中, 常微分方程描述物理量的变化规律, 应用非常广泛. 本章介绍最基本的常微分方程初值问题的解法, 主要针对单个常微分方程, 也讨论常微分方程组的有关技术. 8.1 引言 行分析. 本节介绍常微分方程 以及初值问题的基本概念, 并对常微分方程初值问题的敏感性进 问题分类与可解性 很多科学与工程问题在数学上都用微分方程来描述, 比如, 天体运动的轨迹 机器人控 制 化学反应过程的描述和控制 以及电路瞬态过程分析, 等等. 这些问题中要求解随时间 变化的物理量, 即未知函数 y(t),t 表示时间, 而微分方程描述了未知函数与它的一阶或高 阶导数之间的关系. 由于未知函数是单变量函数, 这种微分方程被称为常微分方程 (ordinary differential equation, ODE), 它具有如下的一般形式 1 : g(t, y, y,, y (k) ) = 0, (8.1) 其中函数 g: R k+2 R. 类似地, 如果待求的物理量为多元函数, 则由它及其偏导函数构成 的微分方程称为偏微分方程 (partial differential equation, PDE). 偏微分方程的数值解法超出 了本书的范围, 但其基础是常微分方程的解法. 在实际问题中, 往往有多个物理量相互关联, 它们构成的一组常微分方程决定了整个系 统的变化规律. 我们先针对单个常微分方程的问题介绍一些基本概念和求解方法, 然后在第 8.5 节讨论常微分方程组的有关问题. 如公式 (8.1), 若常微分方程包含未知函数的最高阶导数为 y (k), 则称之为 k 阶常微分方 程. 大多数情况下, 可将常微分方程 (8.1) 写成如下的等价形式 : y (k) = f(t, y, y,, y (k 1) ), (8.2) 其中函数 f: R k+1 R. 这种等号左边为未知函数的最高阶导数 y (k) 的方程称为显式常微分 方程, 对应的形如 (8.1) 式的方程称为隐式常微分方程. 通过简单的变量代换可将一般的 k 阶常微分方程转化为一阶常微分方程组. 例如对于方 程 (8.2), 设 u 1 (t) = y(t), u 2 (t) = y (t),, u k (t) = y (k 1), 则得到等价的一阶显式常微分方 程组为 : u 1 = u 2 u { 2 = u 3. (8.3) u k = f(t, u 1, u 2,, u k ) 本书仅讨论显式常微分方程, 并且不失一般性, 只需考虑一阶常微分方程或方程组. 例 8.1 ( 一阶显式常微分方程 ): 试用微积分知识求解如下一阶常微分方程 : [ 解 ] 采用分离变量法进行推导 : y = y. 1 为了表达式简洁, 在常微分方程中一般省略函数的自变量, 即将 y(t) 简记为 y,y (t) 简记为 y, 等等.
2 对两边积分, 得到原方程的解为 : 其中 c 为任意常数. dy dy = y dt y = dt, y(t) = c e t, 从例 8.1 看出, 仅根据常微分方程一般无法得到唯一的解. 要确定唯一解, 还需在一些 自变量点上给出未知函数的值, 称为边界条件. 一种边界条件设置方法是给出 t = t 0 时未知 函数的值 : y(t 0 ) = y 0. 在合理的假定下, 从 t 0 时刻对应的初始状态 y 0 开始, 常微分方程决定了未知函数在 t > t 0 时 的变化情况, 也就是说这个边界条件可以确定常微分方程的唯一解 ( 见定理 8.1). 相应地, 称 y(t 0 ) = y 0 为初始条件, 而带初始条件的常微分方程问题 : 为初值问题 (initial value problem, IVP). { y = f(t, y), t t 0 y(t 0 ) = y 0. (8.4) 定理 8.1: 若函数 f(t, y) 关于 y 满足李普希兹 (Lipschitz) 条件, 即存在常数 L > 0, 使得对任 意 t t 0, 任意的 y 与 y, 有 : f(t, y) f(t, y ) L y y, (8.5) 则常微分方程初值问题 (8.4) 存在唯一的解. 一般情况下, 定理 8.1 的条件总是满足的, 因此常微分方程初值问题的解总是唯一存在 的. 为了更清楚地理解这一点, 考虑 f(t, y) 的偏导数 希兹条件 (8.5), 因为 f y f(t, y) f(t, y ) = f (t, ξ) (y y ), y 存在, 则它在求解区域内可推出李普 其中 ξ 为介于 y 和 y 之间的某个值. 设 L 为 f y (t, ξ) 的上界,(8.5) 式即得以满足. 对公式 (8.4) 中的一阶常微分方程还可进一步分类. 若 f(t, y) 是关于 y 的线性函数, f(t, y) = a(t)y + b(t), (8.6) 其中 a(t), b(t) 表示自变量为 t 的两个一元函数, 则对应的常微分方程为线性常微分方程, 若 b(t) 0, 则为线性齐次常微分方程. 例 8.1 中的方程属于线性 齐次 常系数微分方程, 这 里的 常系数 是强调 a(t) 为常数函数 问题的敏感性对常微分方程初值问题, 可分析它的敏感性, 即考虑初值发生扰动对结果的影响. 注意这里的结果 ( 解 ) 是一个函数, 而不是一个或多个值. 由于实际应用的需要, 分析常微分方程初值问题的敏感性时主要关心 t 时 y(t) 受影响的情况, 并给出有关的定义. 此外, 考虑到常微分方程的求解总与数值算法交织在一起 以及历史的原因, 一般用 稳定 不稳定 等词汇说明问题的敏感性. 定义 8.1: 对于常微分方程初值问题 (8.4), 考虑初值 y 0 的扰动使问题的解 y(t) 发生偏差的情形. 若 t 时 y(t) 的偏差被控制在有界范围内, 则称该初值问题是稳定的 (stable), 否则该初值问题是不稳定的 (unstable). 特别地, 若 t 时 y(t) 的偏差收敛到零, 则称该初值问题是渐进稳定的 (asymptotically stable). 关于定义 8.1, 说明两点 :
3 渐进稳定是比稳定更强的结论, 若一个问题是渐进稳定的, 它必然是稳定的. 对于不稳定的常微分方程初值问题, 初始数据的扰动将使 t 时的结果误差无穷 大. 因此为了保证数值求解的有效性, 常微分方程初值问题具有稳定性是非常重要 的. 例 8.2 ( 初值问题的稳定性 ): 考察如下 模型问题 的稳定性 : { y = λy, t t 0 y(t 0 ) = y 0. (8.7) [ 解 ] 易知此常微分方程的准确解为 :y(t) = y 0 e λ(t t 0). 假设初值经过扰动后变为 y 0 + Δy 0, 对应的扰动后解为 所以扰动带来的误差为 y (t) = (y 0 + Δy 0 )e λ(t t 0), Δy(t) = Δy 0 e λ(t t 0). 根据定义 8.1, 需考虑 t 时 Δy(t) 的值, 它取决于 λ. 易知, 若 λ 0, 则原问题是稳定的, 若 λ > 0, 原问题不稳定. 而且当 λ < 0 时, 原问题渐进稳定. 图 8-1 分三种情况显示了初值扰动对问题 (8.7) 的解的影响, 从中可以看出不稳定 稳定 渐进稳定的不同含义. 对例 8.2 中的模型问题, 若考虑参数 λ 为一般的复数, 则问题的稳定性取决于 λ 的实部, 若 Re(λ) 0, 则问题是稳定的, 否则不稳定. 例 8.2 的结论还可推广到线性 常系数常微分 方程, 即根据 f(t, y) 中 y 的系数可确定初值问题的稳定性. 对于一般的线性常微分方程 (8.6), 由于方程中 y 的系数为关于 t 的函数, 仅能分析 t 取某个值时的局部稳定性. 例 8.3 ( 局部稳定性 ): 考察如下常微分方程初值问题的稳定性 : { y = 10ty, t 0 y(0) = 1. (8.8) [ 解 ] 此常微分方程为线性常微分方程, 其中 y 的系数为 a(t) = 10t. 当 t 0 时,a(t) 0, 在定义域内每个时间点上该问题都是局部稳定的. 事实上, 方程 (8.8) 的解析为 y(t) = e 5t2, 初值扰动 Δy 0 造成的结果误差为 Δy(t) = Δy 0 e 5t2. 这说明初值问题 (8.8) 是稳定的. 对于更一般的一阶常微分方程 (8.4), 由于其中 f(t, y) 可能是非线性函数, 分析它的稳定 性非常复杂. 一种方法是通过泰勒展开用一个线性常微分方程来近似它, 再利用线性常微分 方程稳定性分析的结论了解它的局部稳定性. 具体的说, 在某个解函数 y (t) 附近用一阶泰勒 展开近似 f(t, y), (a) (b) (c) 图 8-1 (a) λ > 0 对应的不稳定问题, (b) λ = 0 对应的稳定问题, (c) λ < 0 对应的渐进稳定问题. f(t, y) f(t, y ) + f y (t, y ) (y y ) 则原微分方程被局部近似为 ( 用符号 z 代替 y):
4 z = f y (t, y ) (z y ) + f(t, y ) 这是关于未知函数 z(t) 的一阶线性常微分方程, 可分析 t 取某个值时的局部稳定性. 因此, 对于具体的 y f (t) 和 t 的取值, 常微分方程初值问题 (8.4) 的局部稳定性取决于 (t, y y ) 的实部 的正负号. 应注意的是, 这样得到的关于稳定性的结论只是局部有效的. 实际遇到的大多数常微分方程初值问题都是稳定的, 因此在后面讨论数值解法时这常常 是默认的条件. 8.2 简单的数值解法与有关概念 大多数常微分方程都无法解析求解 ( 尤其是常微分方程组 ), 只能得到解的数值近似. 数 值解与解析解有很大差别, 它是解函数在离散点集上近似值的列表, 因此求解常微分方程的 数值方法也叫离散变量法. 本节先介绍最简单的常微分方程初值问题解法 欧拉法 (Euler method), 然后给出数值解法的稳定性和准确度的概念, 最后介绍两种隐格式解法 欧拉法 数值求解常微分方程初值问题, 一般都是 步进式 的计算过程, 即从 t 0 开始依次算出 离散自变量点上的函数近似值. 这些离散自变量点和对应的函数近似值记为 : t 0 < t 1 < < t n < t n+1 < y 0, y 1, < y n, y n+1, 其中 y 0 是根据初值条件已知的. 相邻自变量点的间距为 n = t n+1 t n, 称为步长. 数值解法通常使用形如 y n+1 = G(y n+1, y n, y n 1,, y n k ) (8.9) 的计算公式, 其中 G 表示某个多元函数. 公式 (8.9) 是若干个相邻时间点上函数近似值满足的 关系式, 利用它以及较早时间点上函数近似值可算出 y n+1. 若公式 (8.9) 中 k = 0, 则对应的解 法称为单步法 (single-step method), 其计算公式为 : y n+1 = G(y n+1, y n ). (8.10) 否则, 称为多步法 (multiple-step method). 另一方面, 若函数 G 与 y n+1 无关, 即 : y n+1 = G(y n, y n 1,, y n k ), 则称为显格式方法 (explicit method), 否则称为隐格式方法 (implicit method). 显然, 显格 式方法的计算较简单, 只需将已得到的函数近似值代入等号右边, 则可算出 y n+1. 欧拉法是一种显格式单步法, 对初值问题 (8.4) 其计算公式为 : y n+1 = y n + n f(t n, y n ), n = 0, 1, 2,. (8.11) 它可根据数值微分的向前差分公式 ( 第 7.7 节 ) 导出. 由于 y = f(t, y), 则 y (t n ) = f(t n, y(t n )) y(t n+1) y(t n ) n, 得到近似公式 y(t n+1 ) y(t n ) + n f(t n, y(t n )), 将其中的函数值换为数值近似值, 则得到 欧拉法的递推计算公式 (8.11). 还可以从数值积分的角度进行推导, 由于 t n+1 y(t n+1 ) = y(t n ) + y (s)ds = y(t n ) + f(s, y(s))ds, t n t n 用左矩形公式近似计算其中的积分 ( 矩形的高为 s = t n 时被积函数值 ), 则有 t n+1 y(t n+1 ) y(t n ) + n f(t n, y(t n )),
5 将其中的函数值换为数值近似值, 便得到欧拉法的计算公式. 例 8.4 ( 欧拉法 ): 用欧拉法求解初值问题 { y = t y + 1 y(0) = 1 求 t = 0.5 时 y(t) 的值, 计算中将步长分别固定为 0.1 和 [ 解 ] 在本题中,f(t, y) = t y + 1, t 0 = 0, y 0 = 1, 则欧拉法计算公式为 : y n+1 = y n + (t n y n + 1), n = 0, 1, 2, 当步长 h=0.1 时, 计算公式为 y n+1 = 0.9y n + 0.1t n + 0.1; 当步长 h=0.05 时, 计算公式为 y n+1 = 0.95y n t n 两种情况的计算结果列于表 8-1 中, 同时也给出了准确解 y(t) = t + e t 的结果. h=0.1 表 8-1 欧拉法计算例 8.4 的结果. h=0.05 t n y n y(t n ) t n y n t n y n 从计算结果可以看出, 步长取 0.05 时, 计算的误差较小. 在常微分方程初值问题的数值求解过程中, 步长 n, (n = 0, 1, 2, ) 的设置对计算的准确 性和计算量都有影响. 一般地, 步长越小计算结果越准确, 但计算步数也越多 ( 对于固定的 计算区间右端点 ), 因此总计算量就越大. 在实际的数值求解过程中, 如何设置合适的步长 达到准确度与效率的最佳平衡是很重要的一个问题 数值解法的稳定性与准确度在使用数值方法求解初值问题时, 还应考虑数值方法的稳定性. 实际的计算过程中都存在误差, 若某一步的解函数近似值 y n 存在误差, 在后续递推计算过程中, 它会如何传播呢? 会不会恶性增长, 以至于 淹没 准确解? 通过数值方法的稳定性分析可以回答这些问题. 首先给出稳定性的定义. 定义 8.2: 采用某个数值方法求解常微分方程初值问题 (8.4), 若在节点 t n 上的函数近似值存在扰动 δ n, 由它引起的后续各节点上的误差 δ m (m>n) 均不超过 δ n, 即 δ m δ n, (m > n), 则称该方法是稳定的. 在大多数实际问题中, 截断误差是常微分方程数值求解中的主要计算误差, 因此我们忽略舍入误差. 此外, 仅考虑稳定的常微分方程初值问题. 考虑单步法的稳定性, 需要分析扰动 δ n 对 y n+1 的影响, 推导 δ n+1 与 δ n 的关系式. 以欧拉法为例, 先考虑模型问题 (8.7), 并且设 Re(λ) 0. 此时欧拉法的计算公式为 2 : y n+1 = y n + λy n = (1 + λ)y n, 由 y n 上的扰动 δ n 引起 y n+1 的误差为 : δ n+1 = (1 + λ)δ n, 要使 δ n+1 的大小不超过 δ n, 则要求 1 + λ 1. (8.12) 2 对于稳定性分析以及后面的一些场合, 由于只考虑一步的计算, 将步长 n 记为.
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