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前錡逄
5 years ago
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1 自动控制理论第三章微分方程的解周立芳徐正国浙江大学控制科学与工程学系

2 第三章要点绪论稳态响应暂态响应时间常数定义例 : 二阶系统系统的暂态动态时间响应性能指标状态方程的解

3 时间响应性能指标二阶系统暂态时间响应性能指标控制科学与工程学系

4 二阶系统暂态时间响应性能指标 Y 单位脉冲输入 Y K p K R 二阶系统单位阶跃输入 wih a uiy p ipu Y co 系统关于单位阶跃输入的响应通常用来评价系统的响应特性 y i * 4

5 二阶系统暂态时间响应性能指标对应于式 * 的响应曲线族如图所示, 其中横坐标是无量纲变量曲线形状随阻尼比变化而变化 y i co 阶跃输入作用下的二阶系统暂态响应 5

6 二阶系统暂态时间响应性能指标脉冲函数是阶跃函数的微分, 因此, 脉冲输入作用下的响应函数也是阶跃输入作用下的响应函数的微分脉冲输入作用下的二阶系统暂态响应 6

7 二阶系统暂态时间响应性能指标最大偏离量稳态误差最大偏离量 :MM p 峰值时间 : p 上升时间 : r, o 调节时间 : o 上升时间峰值时间调节时间时, 系统没有最大偏离量 < 时, 系统在稳态值附近振荡控制系统阶跃响应欠阻尼系统 : 应用 0-00% 上升时间 o 过阻尼系统 : 应用 0-90% 上升时间 r 7

8 时间响应性能指标时间响应性能指标性能指标通常通过系统的阶跃响应来定义系统暂态响应可以通过实际响应跟踪期望响应的快速性和阻尼程度刻画响应的快速性可以利用上升时间和峰值时间来衡量实际响应与期望响应的阻尼程度可以利用最大偏离量和调节时间回复时间, 过渡过程时间来衡量利用最大偏离量和期望响应, 可以计算最大偏离量关于期望响应的百分数, 称为超调量最大超调量, 百分比超调量 8

9 时间响应性能指标时间响应性能指标为了比较不同系统的响应, 必须使各系统从标准化的初始条件开始运动大多数标准化初始条件是系统静止状态确定了标准化初始条件后, 就可以比较不同系统的响应特性如最大偏离量调节时间等了 9

10 时间响应性能指标时间响应性能指标时间响应性能指标峰值时间 : 系统响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间 i arca y u, co i d d d u du y dy 0, co p d d u d d g d dy d y d d p d d d g d 峰值时间仅仅是阻尼振荡频率 d 的函数峰值时间仅仅是阻尼振荡频率 d 的函数 d 0

11 时间响应性能指标 : 峰值时间时间响应性能指标峰值时间 : 系统响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间 y u i arca p d 等峰值时间等 d 线线 j [S] j 上式表明, 峰值时间 p 与阻尼振荡频率 d 成反比当一定, ζ 越小, p 也越小响应就越快

12 时间响应性能指标 : 上升时间时间响应性能指标上升时间 : 响应从终值的 0% 上升到终值的 90% 所需的时间过阻尼系统 ; 或响应从零第一次上升到终值所需的时间欠阻尼系统考虑欠阻尼系统 Y y i 根据定义, 令 y r i r 0 r r 其中, arcg

13 时间响应性能指标 : 上升时间时间响应性能指标上升时间的确切解析表达式难以计算, 我们通常使用线性近似表达式进行计算 T r 注意 : 对于取值, 我们还可以利用下面的表达式来计算上升时间 r.7 由前述公式可见, 要使系统反应快, 必须减小 r 因此当 ζ 一定, 必须加大 ; 若为固定值, 则 ζ 越小, r 也越小 3

14 时间响应性能指标 : 上升时间时间响应性能指标实际上升时间线性近似 4

15 时间响应性能指标 : 调节时间时间响应性能指标调节时间 : 响应到达并保持在终值内所需的最短时间 5% % 我们考察误差表达式 r y i arca 0 考虑到系统时间响应曲线总是在包络线的两条分支之间变化 i 0.05, 或 0.0 5

16 时间响应性能指标 : 调节时间通常利用两个近似公式计算调节时间对于 5% 误差对于 % 误差时间响应性能指标在上面的近似公式中, 调节时间仅仅取决于复数共轭极点的实部 Im 等调节时间线 R 等线等 σ 线 6

17 时间响应性能指标 : 超调量时间响应性能指标超调量 : 响应的最大偏离量与终值的差同终值的比由于我们已经得到了峰值时间, 因此很容易计算 M p y p i co a i i a, 0 我们还常常利用百分比超调量来表示超调量 M o y p y y, 0 7

18 时间响应性能指标 : 超调量时间响应性能指标 M o y T p y y, 0 等线 ai Im 等超调量线, 仅仅取决于阻尼比 R 由上式可见, 最大百分比超调量完全由 ζ 决定, ζ 越小, 超调量越大当 ζ =0 时,σ %= 00%, 当 ζ = 时,σ % =0 σ 与 ζ 的关系曲线见图 8

19 时间响应性能指标 : 超调量时间响应性能指标 M o y T p y y, 0 更一般地,Mo 或可以表示为 M o p y T p y y 和的关系 9

20 时间响应性能指标 : 稳态误差时间响应性能指标稳态误差实际上不是系统暂态响应的动态指标但是, 它是衡量控制系统稳态性能的重要度量 lim [ r y ] 其中,r 是输入,y 是输出 lim lim 0 E lim 0 G E R 其中,G E 是误差传递函数注意, 只有稳定系统才有误差, 这是一个稳态指标 0

21 时间响应性能指标 : 小结时间响应性能指标对于不包含零点的二阶系统, 我们可以得到如下的精确公式 p M p, 0, r arca 我们还可以得到如下的近似公式 T r 0. 3 对于 5% 误差 3.5 通常还用 : 4 对于 % 误差.6 60 在过程控制中, 经常还会用到一个指标 : 衰减比 -- 它是指同方向过渡过程曲线上的相邻两个波峰之比. B B B 注意与阻尼比的区别, 非同一参数!!

22 时间响应性能指标 : 小结时间响应性能指标 B B y p M o y 3 4 y 对于 5% 误差对于 % 误差, 0 p r d B B M p, 0 lim [ r y ]

23 时间响应性能指标参数选择 3, p r T r 根据以上分析, 如何选取和来满足系统设计要求需要折中总结性能指标与和的关系如下 : 当一定, 要减小 r 和 p, 必须减少值, 要减少则应增大值, 而且值有一定范围, 不能过大增大, 能使 r, p 和都减少 3 最大超调量 σ 只由决定, 越小, σ 越大所以, 一般是先根据 σ 的要求选择值, 在实际系统中, 值一般在 0.5~ 0.8 之间. 3

24 分与超调量之间具有百时间响应性能指标 : 小结时间响应性能指标调量从控制系统设计目标来说, 峰值时间比相互矛盾的关系, 因此在设计的时候超阻尼比要考虑到两者之间的折中二阶系统的百分比超调量归一化峰值时间与阻尼比的关系 4

25 时间响应性能指标 : 小结小结幅时间响应性能指标值阶跃响应 5

26 小结时间响应性能指标幅时间响应性能指标 : 小结值阶跃响应 6

27 例子控制科学与工程学系

28 例 : 参数选择时间响应性能指标 R Y G o 选择增益 K 和参数 p, 使得百分比超调量小于 5%, 调节时间考虑 % 误差小于 4 秒解 :, 0.05 l

29 例 : 参数选择时间响应性能指标 T 4c ζ 0.69 ζω 闭环系统特征根 Wh h clod-loop roo ar cho a: r j r j W hav T 4c ad a ovrhoo of 4.3%. =0.69 =- Thrfor, ad G K T G p K K P 9

30 例 : 玩具遥控汽车反馈系统时间响应性能指标 F r x K v f M F x b _ p b M b p M K p K F V bv Mv F,,, K p K R X G 在平面上, 确定传递函数极点的允许域, 并确定参数的值, 使得系统时间响应性能指标满足如下要求, K p. 3 0%,,.6 0 M o r 30

31 例 : 玩具遥控汽车反馈系统时间响应性能指标我们首先根据超调量的精确公式计算 Mo b 3 然后, 利用近似计算公式, r, 后者利用, 得到 , r 3.33 选择, 4, j 得到 K 6, p 4 F T r a i Im M x R

32 例 3: : 问题 M o 时间响应性能指标 y p y, 0 y y 997 年考研题设某一单位反馈的二阶系统的阶跃响应曲线如图示, 试确定此该系统的开环传递函数提示 : p 0 % r y mi 系统输入曲线系统响应曲线 3

33 例 3: 解 M o 时间响应性能指标 y p y y, 由图直接可得 : 0.45; 3. 由 / 3. p 0.45 p 解之 : 故 : 系统开环传递函数 : 0 y G.8 0 mi 3. 系统响应曲线 33

34 例 4: : 问题时间响应性能指标 005 年考研题系统结构如图 3-, 图 3- 是某单位阶跃响应试求 k k 和 a 值 [ 提示 :0<ζ< 时, 标准二阶系统的单位响应 ] y=: 图 3- 图 3-34

35 例 4: : 解 Tim-rpo pcificaio G * k k S S a k S S a 解 : = = kk S as k 图 3- YS = GS * RS Y = lim * y = kk lim * * = k = S 0 S as k S ω = k ζω= a 0 ζ= ω= k =ω = a = ζω =

36 例 5 已知系统闭环传递函数为时间响应性能指标 G 0K G 0 0 K 单位阶跃响应的超调量 6.3%, 峰值时间 p 试根据已知性能指标确定参数和 K 解 : 由已知条件 / p % 6.3% 解出 : 又因 : 0K 故 K

37 系统的暂态动态二阶系统动态到目前为止, 我们所考虑的二阶系统都只包含极点没有输入变量的微分项, 即简单二阶系统当系统同时包含极点和零点时, 系统的动态特性将会如何? 37

38 系统的暂态动态具有零点的二阶系统例 : 质量 - 弹簧 - 阻尼系统 m y by ky u LT k b m y u x m [ Y y 0 y 0 ] b Y y 0 ky U 假设 u 0, y 0 0, y0 0 Y b y 0 m b k m m y0 特征方程 38

39 系统的暂态动态具有零点的二阶系统 Y y0 其中, 是无量纲的阻尼比, 是系统的自然频率零点在系统极点即特征方程的根为, j 与无零点情况相同在这种情况下, b km 及 k m 阻尼比自然频率 39

40 系统的暂态动态比较 : 二阶系统动态质量 - 弹簧 - 阻尼系统其中, 自然频率 d y d y M B Ky f d d Y F K K M B M K M K K M 特征方程的根为阻尼比 B KM, j 40

41 系统的暂态动态具有零点的具有零点的二阶系统二阶系统由于系统具有复数共轭极点, 部分分式展开式的拉普拉斯变换为共轭复数极点由于系统具有复数共轭极点, 部分分式展开式的拉普拉斯变换为 * C C * *,, j C C Y 这种情况下 km b -- 欠阻尼 0 y Y 特征方程根处的留数为 co co 0 0 a j ja y y co 0 0 lim a j j y y Y C 4

42 具有零点的二阶系统系统动态响应为共轭复数极点系统的暂态动态 y y y 0 y 0 co i a co a co y 的图示欠阻尼响应.5 当 8 y0, 6 6,

43 系统的暂态动态具有零点的二阶系统 0 纯虚数极点复数共轭极点的特殊情况在 y 中代入 b=0, 无阻尼, 得到等幅振荡响应 y y 0 co

44 系统的暂态动态具有零点的具有零点的二阶系统二阶系统实极点这种情况下, --- 过阻尼 km b km,, C C Y 相应的常数为 0 lim Y C 0 y Y 0 li 0 lim Y C y Y C 0 lim y Y C 系统时间响应为系统时间响应为 y y 0 44

45 系统的暂态动态具有零点的二阶系统二阶系统实极点 8 对于不同实极点情况, y0, 6, 4 6 可以得到过阻尼响应

46 具有零点的二阶系统 b 这种情况下, km Y 重实极点临界阻尼系统的暂态动态 C C, Y 相应的常数为 d C lim Y 0 y d.8 C lim Y y 0.6 系统时间响应为 y y0 y0 8, 6 6, y

47 系统的暂态动态具有零点的二阶系统 : 小结 Y 零极点在 S 平面的分布图 j jj =0, 特征方程有纯虚根, 系统响应为等幅振荡响应 <, 特征方程有共轭复根, 系统响应为欠阻尼响应 =, 特征方程有相等实根, 系统响应为临界阻尼响应 >, 特征方程有不等实根, 系统响应为过阻尼响应 47

48 系统的暂态动态更高阶系统动态对于实际物理世界中更常见的高阶系统, 如何得到它们的动态特性? 可以有三种方法 : 列写阶微分方程, 然后直接求取微分方程的解利用二阶系统近似高阶系统将阶系统转换为状态方程然后求解状态方程 48

49 系统的暂态动态高阶系统动态 : 时间响应例 : d 3 y d 3 d y d dy 35 d 分析单位阶跃函数输入作用下系统的暂态响应解 : 0 Y y LT 0x Y y 显然, 这是过阻尼响应 8 49

50 高阶系统动态 : 主导极点系统的暂态动态例 K G 0 5 分析单位阶跃函数输入作用下系统的暂态响应解 : 特征方程根 : 0,, 3 j Im a0 a a Y LT y 0 a0 a b i R y a - i i 0 b 第三种方法将在后面课程中详细讨论主导极点 50

51 系统的暂态动态关于高阶系统考虑稳定系统的拉氏反变换求系数高阶系统暂态响应各分量的衰减快慢由系统极点的位置决定, 极点在 S 平面左半部离虚轴越远, 相应的分量衰减越快, 对系统的影响越小各分量所对应的系数取决于系数的零极点分布当某极点靠近零点而远离其他极点和原点, 则相应的系数越小, 该暂态分量的影响就小若一对零极点互相很接近, 则在输出 y 中与该极点对应的分量就几乎被抵消 3 若某极点远离零点, 越接近其他极点与原点, 则相应的系数就越大, 该暂态分量的影响也就越大系统的零极点共同决定了系统暂态响应曲线的形状对于系数很小影响很小的分量远离虚轴衰减很快的分量常常可以忽略, 此时高阶系统就可用低阶系统来近似估计 5

52 系统的暂态动态关于高阶系统主导极点的概念若高阶系统中距离虚轴最近的极点, 其实数部分为其他极点的五分之一 /5 或更小, 并且附近又没有零点, 则可认为系统的响应主要由该极点或共轭复数极点决定, 因为这一分量衰减最慢这种对系统暂态响应起主要作用的极点称为系统的主导极点一般情况下, 高阶系统具有振荡性, 故主导极点通常是共轭复数极点所以, 高阶系统常当作二阶系统来分析, 相应的性能指标都可按二阶系统近似估计但是, 当不满足上述条件时, 不能随意地忽视零极点对系统动态性能的影响 5

53 系统的暂态动态高阶系统动态例 3: 第三个极点和零点对二阶系统的影响 Y R T a a For 3, , ad a 5:.5: T 讨论分别忽略实极点零点零极点三种情况下的时域性能指标, 以加深了解主导极点的概念 53

54 例 3: : 第三个极点和零点对二阶系统的影响我们首先忽略实极点 6.5, 可得 T 0.5 于是可以得到 0.6, 5 进一步可以求得, 百分比超调量为 55%, 在考虑 % 误差的情况下, 调节时间为秒利用计算机仿真可以得到, 实际的百分比超调量为 38%, 调节时间为.6 秒因此, 第三个极点的作用是, 减少超调量并增加调节时间

55 系统的暂态动态高阶系统动态例 3: 第三个极点和零点对二阶系统的影响忽略实零点 -.5 情况 56.5 T 超调量 % 5.5% 5% 调节时间.4 实际情况 % 38%. 6 55

56 系统的暂态动态高阶系统动态例 3: 第三个极点和零点对二阶系统的影响 3 同时忽略零极点情况 T 5 65 超调量 % 9.5% 调节时间. 实际情况 % 38%. 6 56

57 系统的暂态动态关于高阶系统主导极点的概念因此, 在不能应用主导极点概念分析系统时, 则不能忽略距离较近的零极点的影响如例 3 一个不能忽略的零点对系统的影响是使超调量加大, 响应速度加快, 这是由于零点具有微分的作用 ; 一个不能忽略的极点对系统的影响是使超调量减小, 调整时间增加, 这是由于极点的滤波作用或称阻尼作用 57

58 控制科学与工程学系加拿大 Japr 国家公园路边一景

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