向量组的线性相关性 线性关系若干性质问题思考 授课教师 : 刘三阳
向量是数学中的一个重要概念, 也是线性代数中常用的一个基本概念. 向量的线性关系, 也就是向量组的线性相关和线性无关性, 是建立向量空间结构和线性方程组理论的重要基础. 这一节课我们要温故知新, 回顾 总结 学新知. 第 2 页
1 所谓向量, 就是一个有序数组, 其中各个数被称作向量的 分量, 分量的个数被称为向量的维数. 一个 1 个矩阵或矩阵, 从这个意义上讲, 向量是矩阵的一个 特例 ; 另一方面, 向量概念还可以加以引申抽象, 发展出向量空间的概念, 反过来又包含矩阵为其特例. 学习线性代数, 经常可以看到向量 向量空间和矩阵相互交织在一起. 维向量可以看做一 第 3 页
提起向量的线性相关性, 需要回忆线性组合和线性表出的概念,,,, k, k,, k 设是一组维向量, 是一组数, 则称 k k k,,, 1 2 为向量组 的一个线性组合. 第 4 页
对维向量, 若存在数, 使 k, k,, k k k k 1 2,,, 或者说, 是 的一个线性组合.,,, 第 5 页
请思考, 线性方程组有没有解是否等价于 : 常数项组成的列向量能不能由系数矩阵的列向量 组线性表出? 下面就来考虑一个向量能不能由一个向量组线性表出的问题. 第 6 页
在 3 维空间中, 设不共线. 如果可以由,,,,, 4,, 线性表出, 则 3 共面 ; 如果不能由线性 3 表出, 则不共面. 从解析几何知道, 4,, 3 k, k, k 3 共面的充分必要条件是 : 存在不全为零的实数 使得 k k k 0 1 2 3 3 第 7 页
4,, 4 不共面的充分必要条件是 k k k 0 1 2 4 4 k k k 4 0 2 3 1 受上述例子启发, 我们抽象出一般定义. 第 8 页
定义称向量组,,, 是线性相关的, 如果存 在一组不全为零的数 k, k,, k 使得 k k k 0 1 2 (1) 若向量组,,, 不是线性相关的, 则称其 为线性无关的. 第 9 页
这种用否定语气给出的线性无关的定义, 显然不好验证或判定, 即使换一种说法 : k, k,, k 对任意不全为零的数,(1) 式均不成立. 仍然不好验证! 那么, 有没有一种便于操作的正面叙述? 下述等价定义就比较理想 第 10 页
k k k 0 k k k (2) 0 1 2 这和 3 维空间中 3 个向量不共面的充要条件是一致的. 联想解析几何的结论可知, 共线的两个向量是线性相关的, 不共线的两个向量是线性无关的 ; 共面的三个向量是线性相关的, 不共面的三个向量是线性无关的. 第 11 页
先看几个特殊情况. (1) 含有零向量的向量组一定线性相关. 因为 1 0 0 2 0 0 (2) 单个向量 线性相关 存在 0 单个向量 线性无关 0. k 0 使得 k 0 第 12 页
(3) 维向量组 1 0 0 0 1 0 1, 2,, 0 0 1 是线性无关的. 第 13 页
证明设 从而 k k k 0 1 2 k1 k2 k, 即 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 k1 0 k 2 0 k 0 由此得出, k k k 0,,, 因此向量组 线性无关. 第 14 页
对任一 维向量 ( a, a,, a ) T a1 1 0 0 a 2 0 1 0 a 1 a 2 a a 0 0 1 注意到 i 的系数恰为 的第而整齐, 我们 1, 2,,, 显然有 i 个分量, 表示形式自然 称为维基本单位向量组. 第 15 页
向量组的线性相关性是线性代数中最基本的概念之一, 我们现在从以下几个不同的角度分别刻画线性相关与线性无关的本质区别. 1. 从线性组合的角度看,,, (1) 向量组线性相关 它们有系数不全为零的线性组合等于零向量.,,, (2) 向量组线性无关 它们只有系数全为零的线性组合才会等于零向量. 第 16 页
2. 从线性表出的角度看 设,,, ( 2) (1) 向量组线性相关 其中至少有一个向量可以由其余向量线性表出.,,, ( 2) 证明必要性设向量组线性相关, k 使得 1, k2,, k k1 1 k 2 2 k 0 k 0, 由上式得 i k1 ki 1 ki 1 k 1 1 1 k k k k 由定义知, 存在不全为零的数 i i i i i i i i 这表明可以由向量组的其余向量线性表出. 第 17 页
充分性设向量组 1, 2,, ( 2) 中有一个向量 j 可以由其余向量线性表出, 即 l l l l j 1 1 j1 j1 j1 j1 l l l l 0 移项得 1 1 j 1 j 1 j j 1 j 1. 1, 2,, 上式左端的系数中至少有一个数 10 因此线性相关. 第 18 页
,,, ( 2) (2) 向量组线性无关 其中每一个向量都不能由其余向量线性表出. 3. 从零向量的角度看 1, 2,, (1) 向量组线性相关 零向量可由其线性表出, 但表出形式不唯一. 1, 2,, (2) 向量组线性无关 零向量可由其线性表出, 且表出形式唯一. 第 19 页
4. 从齐次线性方程组的角度看 1, 2,, k1, k2,, k (1) 列向量组线性相关 存在不全为零的数 k k k 0 1 2 x x x 0 齐次线性方程组有非零解. 1, 2,, 1 2 (2) 列向量组线性无关 使得 x x x 0 齐次线性方程组只有零解. 1 2 第 20 页
5. 从秩的角度看 1, 2,, (1) 个维列向量组线性相关 A 1 2 (,,, ) 矩阵的秩小于向量个数. 1, 2,, (2) 个维列向量组线性无关 A 1 2 (,,, ) 矩阵的秩等于向量个数. 第 21 页
6. 从行列式的角度看 A 1 2 (,,, ) 1, 2,, (1) 个维列向量组线性相关 矩阵的行列式等于零. (2) 个维列向量组线性无关 A 1 2 (,,, ) 1, 2,, 矩阵的行列式不等于零. 第 22 页
由于行向量组 1, 2,, T, T,, T 线性相关, 所以 上面的结论对行向量组照样成立. 线性相关当且仅当列向量组 第 23 页
列表总结如下 : 向量组 线性相关 线性无关 从线性组合看 有系数不全为零的线性组合等于零向量 只有系数全为零的线性组合才会等于零向量 从线性表出看 从齐次线性方程组看 从秩看 其中至少有一个向量可以由其余向量线性表出 零向量可以由该向量组线性表出, 但表示式不唯一 齐次线性方程组 有非零解 个 维列向量 矩阵 A= 量个数 x x x 0 1 2 1, 2,, ( 1, 2,, ) 线性相关 的秩小于向 其中每一个向量都不能由其余向量线性表出 零向量可以由向量组线性表出, 且表示式唯一 齐次线性方程组 只有零解 x x x 0 1 2 个 维列向量 线性无关 矩 1, 2,, 阵 A 的秩等于向量个数 从行列式看 以 为列 ( 行 ) 向量的 以 为列 ( 行 ) 向量的 阶矩阵的 1, 2,,,,, 阶矩阵的行列式等于零行列式不等于零 第 24 页
二 线性相关性的若干性质 刚才我们从多个角度刻画了向量组的线性相关 与线性无关, 下面再讨论线性相关性的一些性质. 一个向量组的线性相关性与它的某个部分组的 线性相关性有什么关系? 第 25 页
二 线性相关性的若干性质 性质 1 若向量组的一个部分组线性相关, 则整个向量组也 线性相关 ; 若一个向量组线性无关, 则其任一部分组也线性无关. 证明设向量组,,,,,, t t1 1, 2,, t 线性相关, 则有不全为零的数 k1 k2 使 的一个部分组,,, kt k1 1 k2 2 ktt 0 k k ktt 0 t 0 0 k1, k2,, k t,0,,0不全为零,,,,,,, 线性相关. 从而有 1 2 1 由于 因此 t t1 第 26 页
二 线性相关性的若干性质 性质 1 中第一个结论 若向量组的一个部分组线性相关, 则整个向量组也线性相关 的逆否命题是什么? 就是 : 如果向量组线性无关, 则它的任何一个部分组也线性无关. 这就是性质 1 的第二个结论. 由于原命题与逆否命题等价, 于是性质 1 的全部结论得证. 换个角度看, 性质 1 相当于说向量的个数变化时, 线性相关性的变化情况, 现在考虑当向量的维数发生变化时, 线性相关性的变化情况. 先看一个例子 第 27 页
二 线性相关性的若干性质 a1 b1 c1 a b c 例 1 设 3 维向量组 a, b, c 线性无关, 2 2 3 2 3 3 3 现给每个向量都添加 2 个分量, 请问得到的 5 维向量组 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a, b, c a4 b4 c4 a b c 是否线性无关? 1 3 2 3 3 3 5 5 5 第 28 页
二 线性相关性的若干性质,, 线性无关 齐次线性方程组 分析 3 a1 b1 c1 x1 a2 x2 b2 x3 c2 0 a 3 b 3 c 3 齐次线性方程组 a1 b1 c1 a2 b2 c2 x 1 a 3 x 2 b 3 x 3 c 3 0 a4 b4 c4 a b c 5 5 5,, 3 线性无关 只有零解 只有零解 ( 否则, 前一方程组也有非零解, 矛盾!) 这里, 增添向量分量个数等价于增加方程个数. 第 29 页
二 线性相关性的若干性质 用同样的方法可以证明一般结论, 即有 性质 2 如果 维向量构成的向量组线性无关, 那么, 给其 s 中每个向量均添加个分量 ( 每个向量添加分量的位置相同 ) s 后, 得到的维向量组 ( 称作前者的延长组 ) 也线性无关. 若称前者为后者的缩短组, 则可得性质 2 的逆否命题 : 若向量组线性相关, 则其缩短组也线性相关. 第 30 页
二 线性相关性的若干性质 性质 2 及其逆否命题合并起来, 即为 性质 2' 如果向量组线性无关, 则其延长组也线性无关 ; 如果向量组线性相关, 则其缩短组也线性相关. 进一步考虑当一个向量组中向量的个数和维数满足什么关系时, 向量组是线性相关的. 第 31 页
二 线性相关性的若干性质 性质 3 当时, 个维向量组成的向量组一定线性相关. 证明由个维向量构成的矩阵记为, 则 A 秩 ( ) <, 因此, 构成的个向量线性相关. A A 性质 3 告诉我们, 当向量的个数大于向量的维数时, 这个向量组一定线性相关. 第 32 页
二 线性相关性的若干性质 在本节课开头我们说过,3 维空间中, 若不共线,,, 1, 2, 3 1, 2, 3 ( 即线性无关 ), 则可以由线性表出的 3, 充分必要条件是 : 共面 ( 即线性相关 ). 由此我们猜想有下述命题 : 第 33 页
二 线性相关性的若干性质,,, 定理设向量组线性无关, 则向量可以由,,,,,,, 线性表出的充分必要条件是 线性相关. 第 34 页
二 线性相关性的若干性质 证明 1 必要性是显然的. 下面证充分性.,,,, 则有不全为零的数 设 线性相关, k, k,, k, l 使得 k k k l 0 1 2 第 35 页
二 线性相关性的若干性质 1, 2,, 说明线性相关, 这与已知条件矛盾, 因此 l 0 l l0 0, k1, k2,, k 假如则不全为 0, 由上式得 k k k 0 1 2 于是可得 k k k l l l. 请问 : 这种表示形式唯一吗? 第 36 页
二 线性相关性的若干性质 证明 2 必要性是显然的. 下面证充分性. 1, 2,, 由于线性无关, 所以矩阵 (,,, ) 的秩为,,,, 而线性相关, (,,,, ) 所以, 矩阵的秩 < 1 第 37 页
二 线性相关性的若干性质 (,,, ) 所以秩秩 (,,,, ) 故线性方程组 x x x 有唯一解, 1 2 即可以由 1, 2,, 唯一线性表出. 由此定理得证. 第 38 页
二 线性相关性的若干性质 1, 2,, 推论设向量组线性无关, 充分必要条件是,,,,,,, 则向量不能由线性表出的 线性无关. 第 39 页
二 线性相关性的若干性质 上述定理和推论回答了当向量组线性无关时,,,, 定理向量设向量组能不能由线性表出的问题线性无关, 则向量 : 可以由 若向量组 1, 2,,, 线性相关, 线性表出的充分必要条件是,,,, 线性相关. 则可以由线性表出 ;,,,,,, 1, 2,,,,, 1, 2,, 推论设向量组若向量组 线性无关,,,,, 线性无关, 则向量 不能由,,, 线性表出的则 不能由 线性表出. 1, 2,, 充分必要条件是线性无关.,,,, 第 40 页
二 线性相关性的若干性质 1, 2, 3 2, 3, 4 例 2 已知向量组线性相关, 线性无关. (1) 是否可由线性表出? 为什么? 1 4, 2 3,, (2) 是否可由线性表出? 为什么? 3 因为,, 线性无关,, 3 2 3 4 解 (1) 可由线性表示.,,, 2 3 3 由性质 1 知线性无关, 又因线性相关, 1 2 3 由上述定理知, 可由线性表出., 第 41 页
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二 线性相关性的若干性质 4 (2) 不能由线性表示.,,,, 由定理知线性相关, 2 3 4 3,, 2, 3, 4 3 否则, 若可由线性表出, 1 由 (1) 知可由线性表出, 4 2 3 因此可由线性表出,,, 与线性无关的假设矛盾, 2 3 4,, 4 3 所以不能由线性表出. 第 43 页
三 问题与思考 思考题 ( 下列说法是否正确?) 1. 一个向量组线性无关 其中任意两个向量线性无关. 2. 一个向量组线性相关 其中每一个向量均可由其余向量线性表出. 3. 向量组线性无关 对任意一组不全为零的数 有 1, 2,, k k k 0 1 2 1 0 1,, 0 1 1 除零向量以外, 其余向量都不能由其他向量线性表出. ) k, k,, k (1. 正确, 反过来不对, 例如, 其中任意两个线性无关, 但 3 个 2 维向量线性相关. 2. 正确, 反过来不对, 例如 0 0 1,, 0 1 1 第 44 页
结束语 我们说过, 前面的定理和推论回答了当向量组 1, 2,, 线性无关时, 向量 能否由它们线性表出的问题. 那么, 当向 1, 2,, 量组线性相关时, 向量是否由它们线性表出呢? 回想讨论方程组时, 我们总是希望去掉那些多余的方程, 留下 尽量少的方程与原方程组同解. 类似的道理, 考虑向量组时, 我们也希望能够用其中尽量少的向量表示其余向量, 这些都是 下次课要讨论的问题. 第 45 页