(5) 级数收敛的必要条件 : 若级数 v 收敛, 则 lm v 0 4 柯西收敛原理 级数 收敛的充分必要条件为 : 对于任意给定的正数, 总存在正整数 N, 使得当 N 时, 对于任意的 正整数 p, 都有 p 成立 5 正项级数收敛判定 设级数, 若 0(,, ), 则称 为正项级数 正项级数

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1 08 上半年全国教师资格笔试重要分析 ( 高中数学 ) 考点 两个重要极限 s lm ; lm 0 e ( 或 lm( ) e ) 0 考点 级数的敛散性 定义 若数项级数 的部分和数列 { S } 的极限存在, 即 lm S S, 则称级数 收敛, 否则就称级数 发 散 当级数 收敛时, 称极限值 lm S 几个重要级数 S 为此级数和, 称 r S S 为级数的余项或余和 () 几何级数 ( 等比级数 ) q 当 0 q 时收敛, 当 q 时发散 () p 级数 p 当 p 时收敛, 当 0 p 时发散 3 数项级数的基本性质 () 如果级数 () 若级数 收敛, 其和为 S, k 为常数, 则级数 k 也收敛, 其和为 ks 与级数 v 分别收敛于 与, 则级数 ( v ) 收敛于 (3) 添加 去掉或改变级数的有限项, 级数的敛散性不变 (4) 两边夹定理 : v w 而 与 w 都收敛, 则级数 v 也收敛

2 (5) 级数收敛的必要条件 : 若级数 v 收敛, 则 lm v 0 4 柯西收敛原理 级数 收敛的充分必要条件为 : 对于任意给定的正数, 总存在正整数 N, 使得当 N 时, 对于任意的 正整数 p, 都有 p 成立 5 正项级数收敛判定 设级数, 若 0(,, ), 则称 为正项级数 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和所成的数列有界 () 比较法 设 和 v 均为正项级数, 且 v (,, ), 如果级数 v 收敛, 则级数 也收敛 ; 如果级数 发散, 则级数 v 也发散 () 比值法 设 是一个正项级数, 如果 lm, 则 当 时, 级数收敛 ; 当 或 lm 时, 级数发散 ; 当 时, 级数可能收敛, 也可能发散 ( 不 用此法判断 ) (3) 根值法 如果 lm p, 则 收敛, p, 发散, p, 不确定, p 6 交错级数收敛判别 莱布尼茨定理 : 如果交错级数 ( ) 满足条件 :

3 () ;(), 则级数收敛, 且其和 s, 其余项 r 的绝对值 r 7 绝对收敛与条件收敛 定理 : 如果级数 收敛, 则级数 也收敛 定义 : 如果级数 收敛, 则级数 也收敛, 此时称 绝对收敛 ; 如果 发散, 而级数 收敛, 此时称 条件收敛 考点 变限积分 b( ) F ( ) f ( t ) dt, F( ) f ( b( )) b( ) f ( a( )) a( ) a( ) 考点 矩阵的特征值和特征向量 定义 () 设 A 为数域 F 上的 阶方阵, 如果存在数域 F 上的数 0 和非零向量, 使得 Aξ 0ξ, 则称 0 为 A 的一个特征值 ( 特征根 ), 而 ξ 称为 A 的属于特征值 的一个特征向量 () 设 aj A 为 阶方阵, 则矩阵 E - A 称为 A 的特征矩阵, 其行列式称为 A 的特征多项式, 记为 即 f ( ) E A - a a a a a a, 称 a a a f E - A 0 为 A 的特征方程 f, 3

4 性质 一定是 () 若 是 A 的任一特征值, 非零向量 ξ 为 A 的属于特征值 的特征向量, 即满足 Aξ k A 的特征值 ( k 为正整数 ) ξ, 则必有 k () 若 是 A 的任一特征值, 非零向量 ξ 为 A 的属于特征值 为任一多项式, 则有 f 是 A f 的特征值 的特征向量, 若 0 f a a a (3) 若 是 A 的任一特征值, 非零向量 ξ 为 A 的属于特征值 的特征向量, 则 A f ( A) f ( ) T A A A * A P AP (4) 如果 ξ 是 A 的属于特征值 的一个特征向量, 那么 ξ 的任何一个非零倍数 k 也是 A 的属于特征值 的 特征向量 即特征向量不是被特征值所唯一决定的 相反, 特征值确实被特征向量所唯一决定的 一个特征向量只 能属于一个特征值 注 : 属于不同特征值的特征向量是线性无关的 3 矩阵特征值和特征向量的求法 () 根据定义, 构造 Aξ 0ξ, 求得 A 的特征值 0, 及 A 属于特征值 的一个特征向量 ξ A 为 阶方阵, 则由 E - A 0 可以求出矩阵 A 的全部特征值, 再根据齐次线性方程组 () 设 aj E AX 0 求出 A 属于 于 的全体特征向量 ( 不包含 0 向量 ) 的特征向量 其中, 基础解系即为 A 属于 的线性无关特征向量, 通解即为 A 属 考点 线性空间 线性空间的定义与简单性质 () 线性空间的定义 4

5 设 V 是一个非空集合, P 是一个数域, 在集合 V 的元素,, 之间的加法, 在数域 P 中任意数, 与集合 V 的元素之间的数量乘法, 如果满足下述规则, 那么 V 称为数域 P 上的线性空间 + = = = 4 = 5 = 6 = 7 + = = + () 线性空间的性质 零元素是唯一的 负元素是唯一的 30 = ; = ; = 4 如果 =, 那么 = 0 或 = 维数 基与坐标 () 线性组合 设 V 是数域 P 上的一个线性空间,,,, 是 V 中的一组向量,,,, 是数域 P 中的 数, 那么向量 = 称为向量组,,, 的一个线性组合 有时我们也说向量可以用向量组,,, 线性表示 5

6 () 线性相 ( 无 ) 关 线性空间 V 中的向量,,, 称为线性相关, 如果在数域 P 中的有个不全为零的数,,,, 使 = 当且仅当 = = = = 0 时, = 成立, 则,,, 称为线性无关 (3) 维数 如果在线性空间 V 中有 个线性无关的向量, 但是没有更多数目的线性无关的向量, 那么 V 就称为 维空间 ; 如果在线性空间 V 中可以找到任意多个线性无关的向量, 那么 V 就称为无限维 (4) 基与坐标 在 维线性空间 V 中, 个线性无关的向量,,,, 称为 V 的一组基 设是 V 中任一向量, 于是,,,, 线性相关, 因此可以被基,, 线性表示 : = 其中系数,,, 是被向量和基,,, 唯一确定的, 这组数就称为在基,,, 下的 坐标, 记为,,, 3 基变换和坐标变换的关系 设,,, 与,,, 是 维线性空间 V 中两组基, 它们的关系是 = = () = 设向量在这两组基下的坐标分别为,, 与,,,, 即 向量 = = () 6

7 () 式可写成,,, =,,, (3) 矩阵 = 称为由基,,, 到基,,, 的过渡矩阵 它是可逆矩阵 () 式写成 =,,, =,,, 将 (3) 式代入得,,, =,,, 由基向量的无关性得 =, 或 = 4 线性子空间及其判定 () 线性子空间 7

8 数域 P 上线性空间 V 的一个非空子集合 W, 如果 W 对于 V 的两种运算也构成数域 P 上的线性空间 那么非空 子集合 W 称为 V 的一个线性子空间 ( 简称子空间 ) () 线性子空间的判定 如果线性空间 V 的非空子集合 W 满足下面两个条件, 那么 W 就是一个子空间 对于 W 中的任一向量, 数域 P 中的与的数量乘积也在 W 中 对于 W 中的向量与, 向量与的和 + 也在 W 中 考点 向量组的极大线性无关组及矩阵的秩 基本概念 () 极大线性无关组 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组, 如果这个部分组本身是线性无关的, 并且从这向量组中任意 添一个向量 ( 如果还有的话 ), 所得的部分向量组都线性相关 注 : 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价 () 向量组的秩 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩 注 : 考虑到线性无关的向量组就是它自身的极大线性无关组, 因此一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它 所含向量的个数相同 (3) 矩阵的秩 矩阵的行向量组的秩与列向量组的秩相等, 称为矩阵的秩 基本性质 () 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价 8

9 () 等价的向量组必有相同的秩 ( 秩相同的向量组未必等价 ) (3) 矩阵 A 的秩是 r 的充分必要条件为 A 中有一个 r 阶子式不为零, 同时所有 r + 阶子式全为零 考点 线面位置关系 两个平面间的关系 : A B y C z D 0, : A B y C z D 0, 则 A B C D ; A B C D A A B B CC 0 ; 的 夹角 ( 法向量间的夹角, 不大于 90 度 ) 满足 : cos A A BB CC A B C A B C 两条直线间的关系 设 : y L y z z, : y y z L z, 则 l m l m L L l m, 且 l m L L ll mm 0 ; (, y, z ) 不满足 L 的方程 ; L 的 L 夹角 ( 方向向量间的夹角, 不大于 90 度 ) 满足 cos l l m m l m l m 3 直线与平面的位置关系 直线和它在平面投影直线所夹锐角 称为直线与平面的夹角 当直线与平面垂直时, 规定夹角为 L : y y z z, : A By Cz D 0, l m s { l, m, }, { A, B, C}, 则 9

10 L s, 即 Al Bm C 0 且 A0 By0 Cz0 D 0 ; L s, 即 L 与 的夹角 s, A B C ; l m, s Al Bm C A B C l m 考点 曲面的切平面与法线方程 ( t) 设曲面的方程为 F(, y, z) 0, 在曲面上任取一条通过点 M 的曲线 : : y y( t), 曲线在 M 处的切向量 z z( t) T ( ( t ), y( t ), z( t )) 为 切平面方程为 F ( M )( 0 ) Fy ( M )( y y0) Fz ( M )( z z0) 0, 0 y y0 z z0 法线方程为 F (, y, z ) F (, y, z ) F (, y, z ) y z 空间曲面方程形为 z f (, y), 令 F(,y,z)=f(,y)-z, 曲面在 M 处的切平面的法向量为 : { f (, y ), f (, y ), } 0 0 y 0 0 曲线在 M 处的切平面的方程为 f (, y )( ) f (, y )( y y ) z z y 曲线在 M 处的法线方程为 0 y y0 z z0 f (, y ) f (, y ) 0 0 y 0 0 考点 条件概率及其性质 对于任何两个事件 A 和 B, 在已知事件 A 发生的条件下, 事件 B 发生的概率叫做条件概率, 用符号 P( B A) 0

11 P( AB) 来表示, 其公式为 P( B A) ( P( A) 0) P( A) 条件概率具有的性质 : () 0 P( B A) ; () 如果 B 和 C 是两个互斥事件, 则 考点 正态分布 定义 若随机变量 X 的概率密度函数为 f e R, 其中参数 R, 0, 则称 X 服从正态 分布, 记为 X ~N (, ) 特别地, 将 N 0, 称为标准正态分布, 其概率密度和分布函数分别记作 ( ) e t 与 ( ) e dt 常用性质 X () X ~N(, ), 则 ~N(0,) 该公式揭示了求解正态分布问题的一个重要思路 : 标准化 () 正态分布, N 具有对称性, 也即其概率密度是关于直线 对称的 特别地, 标准正态分布的概 率密度是偶函数 ; 该性质也可以概括成等式 : 考点 教学目标制定 教学目标是教学目的的系统化 具体化, 是教学活动每一阶段所要实现的教学结果, 是衡量教学质量的标准 教 学目标的设计必须建立在对学生情况全面了解 对教学内容精确分析的基础上 制定合理教学目标的要求 :

12 反映数学的学科特点, 反映当前学习内容的本质 ; 要有计划性, 可评价性 ; 3 格式要规范, 用词要考究 数学课程的总目标是从知识和技能 数学思考 解决问题 情感态度价值观等方面来阐述的 作为一节课的课 时目标, 虽不强求这些方面都必须达成, 但其中的一个或几个方面的目标是要达成的 在表述对象上应该统一, 不能以教师角度来描述的 使学生, 这种表述显然是不正确的, 另一条又 是以学生角度来描述的 经历 过程 通常情况下, 以学生为主体来表述比较恰当, 也能够充分体现学生 的主体地位 在用词上要慎重, 既要有刻画知识技能的目标动词 了解 理解 掌握 运用, 又要有刻画数学活动水平的 过程性目标 经历 ( 感受 ) 体验 ( 体会 ) 和探索 等, 只有明确了每一个词的含义, 才能结合自己的教学预设制 定教学目标 否则容易 " 词不达意 ", 想的和写的不统一 4 要全面, 不能 重知轻思 重知轻情 等 新课标将教学目标分为三个方面 : 知识与技能目标 过程与方法目标 情感 态度与价值观目标 也就是说我 们不仅要关注学生知识的获得, 还要关注学生情感的变化 但在制定教学目标时, 有时往往会特别关注知识和技能 方面的目标, 而忽略其他方面的目标 5 注意教学目标的层次性 我们可从三个层次来制定教学目标 第一层次, 以记忆为主要标志, 培养以记忆为主的基本能力 测试基本事实 方法的记忆水平, 标准是 : 获得 的知识量以及掌握的准确性 第二层次, 以理解为主要标志, 培养以理解为主的基本能力, 测试能否顺利地解决常规性 通用性问题, 包括 能否满意地解决综合性问题 测试标准是 : 运用知识的水平, 如正确 敏捷 灵活 深刻等

13 第三层次, 以探究为主要标志, 培养以评判为主的基本能力, 测试能否对解决问题的过程进行反思, 即检验过 程的正确性 合理性及其优劣 标准是思维的深刻性 批判性 全面性 独创性等 6 要实在具体, 不浮华 要防止教学目标 高大全, 有的甚至是 假大空, 目标 远大 空洞, 形同虚设 例如, 一堂课的目标中 含有下列内容都是不合适的 : 培养学生的数学思维能力和科学的思维方式 ; 培养学生勇于探索 创新的个性品质 ; 体验数学的魅力, 激发爱国主义热情, 等等 数学教学科学化, 从制定教学目标上看, 一要全面, 二要具有可操作性, 这是建立在对教学内容 学生数学学 习规律准确把握基础上的, 需要有对细节的不断追求 制定目标的水平是衡量教师专业化水平的重要标志 从当前 的实际情况看, 许多教师对自己所教的数学内容并没有一个清晰的 目标分类细目结构图, 有的甚至对数学知识 结构图也是模糊不清的 简言之, 教师的数学素养和对数学教材的理解水平都有很大的提高空间, 这是提高教师素 质急需解决的问题 3