Bor to w 7 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一 选择题 :~8 小题, 每小题 4 分, 共 分, 下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 的, 请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. cos () 若函数 f ( ) a b,, 在 处连续, 则 ( ) (A) ab (B) ab (C) ab (D) ab 答案 A cos lm lm, f ( ) 在 处连续 b ab. 选 A. a a a a () 二元函数 ( ) 的极值点是 ( ) (A) ( a,) (B) (,) (C) (,) (D) (,) 答案 D ( ) 4 令,,,, 4 ( ) 由 AC B 知, (,) 为极值点. 选 D. () 设函数 f ( ) 可导, 且 ' f ( ) f ( ), 则 ( ) (A) f () f ( ) (B) f () f ( ) (C) f () f ( ) (D) f () f ( ) 答案 C ' f ( ) f ( ) 方法 : f ( ) f ( ), () 或 (), 只有 C 选项满足 () 且满足 (), 所以选 C f '( ) f '( ) f ( ) f () f ( ) 方法 : f ( ) f ( ), 则 f () f ( ), 所以选 C 全国统一服务热线 :4 668 55
精勤求学自强不息 Bor to w! (4) 设函数 s k l( ) 收敛, 则 k ( ) (A) (B) (C)- (D)- 答案 C k s k l( ) o( ) k o( ) 6 k ( k) o( ) 6 因为原级数收敛, 所以 k k. 选 C. (5) 设 是 维单位列向量, E 为 阶单位矩阵, 则 ( ) (A) E 不可逆 (B) E 不可逆 (C) E 不可逆 (D) E 不可逆 答案 A 选项 A, 由 ( E ) 得 ( E ) 有非零解, 故 E 即 E 不可逆 选项 B, 由 r ( ) 得 的特征值为 - 个,. 故 E 的特征值为 - 个,. 故可逆 其它选项类似理解 (6) 设矩阵 A, B, C, 则 ( ) (A) A与 C相似, B与 C相似 (B) A与 C相似, B与 C不相似 (C) A与 C不相似, B与 C相似 (D) A与 C不相似, B与 C不相似 答案 B 由 E A 可知 A 的特征值为,, 因为 r( E A), A 可相似对角化, 且 由 E B 可知 B 特征值为,,. A ~ 全国统一服务热线 :4 668 55
Bor to w 因为 r( E B), B 不可相似对角化, 显然 C 可相似对角化, A ~ C, 且 B 不相似于 C (7) 设 A, B, C 为三个随机事件, 且 A与 C 相互独立, B 与 C 相互独立, 则 A B 与 C 相互独立的充要条件是 ( ) (A) A与 B相互独立 (B) A与 B互不相容 (C) AB与 C相互独立 (D) AB与 C互不相容 答案 C P{( A B) C} P{ A B} P( C) P{ AC BC} ( P( A) P( B) P( AB)) P( C) P( AC) P( BC) P( ABC) P( A) P( C) P( B) P( C) P( AB) P( C) P( A) P( C) P( B) P( C) P( ABC) P( A) P( C) P( B) P( C) P( AB) P( C) P( ABC) P( AB) P( C) 故 AB与 C相互独立. (8) 设 X, X X ( ) 为来自总体 N(,) 的简单随机样本, 记 X X, 则下列结论中不正确 的是 ( ) (A) ( X ) 服从 分布 (B) ( X X) 服从 分布 (C) ( X X ) 服从 分布 (D) ( X ) 答案 B X N (,), X N (,) ( ) ( ), X A正确 ( ) S ( X X ) ( ) C ( X X) ~ N(,), ~ (), 故 B错误. 由于找不正确的结论, 故 B 符合题意 服从分布, 正确, X ~ N(, ), ( X ) N(,), ( X ) ~ (), D 正确, 全国统一服务热线 :4 668 55
精勤求学自强不息 Bor to w! 二 填空题 :94 小题, 每小题 4 分, 共 4 分, 请将答案写在答题纸... 指定位置上. (9) (s ) d 答案 st s d d cos t cos tdt cos tdt () 查分方程 t t t 的通解为 t t 答案 t c t ( c 为任意常数 ) t 由 t t ~, 设 * t C t t 代入原方程, 则, 则 C ( t+) t = C t t C t * + + t + t t + t t t t t * t t t Ct C Ct, C C t t t C t ( C R) t C t () 设生产毛产品的平均成本 C( Q) e Q, 其中 Q 为产量, 则边际成本为 答案 ( Q) e Q C CQ Q e C '( Q) e Qe ( Q) e Q Q Q Q () 设函数 f (, ) 具有一阶连续偏导数, 且 df (, ) e d ( ) e d, f (, ), 则 f (, ) 答案 e f e, f ( ) e, f (, ) e d e c( ), 故 f e e c( ) e e, 因此 c( ), 即 c( ) C, 再由 f (,), 可得 f (, ) e. 4 4 全国统一服务热线 :4 668 55
Bor to w () 设矩阵 A 答案 由,, 线性无关, 可知矩阵,,,,, 为线性无关的 维列向量组, 则向量组 A, A, A 的秩为 可逆, 故 r A, A, A r A,, r A 再由 r A 得 r A A A,, P, P a, P b, 若 EX ( 4 ) 设随机变量 X 的概率分布为 DX, 则 答案 9 由归一性得 a b 再由 EX 得 a b 9 9 故 a b, 故 EX, DX EX EX. 4 4 4 三 解答题 :5 小题, 共 94 分. 请将解答写在答题纸... 指定位置上. 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. (5)( 本题满分 分 ) ( 本题满分 分 ) 求极限 lm t te dt 答案 t te lm dt, 令 t u, 则有 t u u te dt ue du ue du u u ue du e ue du 原式 = lm lm u ue du e lm lm 全国统一服务热线 :4 668 55 5
精勤求学自强不息 Bor to w! (6)( 本题满分 分 ) 计算积分 dd, 其中 D 是第一象限中以曲线 与 轴为边 界的无界区域 答案 6 D 4 ( ) D ( ) ( ) 4 dd d d 4 4 4 ( ) d ( ) d ( arcta( ) arcta ) 4 4 4 6 (7)( 本题满分 分 ) k k lm l 求 k 答案 4. k k lm l( ) l( ) d l( ) d (l( ) d) 4. k (8)( 本题满分 分 ) 已知方程 k 在区间 (,) 内有实根, 确定常数 k 的取值范围 l( ) 答案 l k l. 令 f ( ) (,) l( ) k (l( )) ( ) f ( ) ( 参看 98 年数二 ), 故 f ( ) 单调递减, 且 ( )l ( ) f () k l l( ) lm f ( ) lm( k) lm k k l( ) 6 6 全国统一服务热线 :4 668 55
Bor to w 由题意可知 ( k)( k) l 即 ( l l k)( k) l k ( l ) k ( l ) l 即 k 得证 l (9)( 本题满分 分 ) 设 a, a, a ( ),(,, ), ( ) a a S 和函数 (I) 证明幂级数 a 的收敛半径不小于 ; (II) 证明 ( ) S( ) S( ),( (,)), 并求 S( ) 的表达式 为幂级数 a 的 e 答案 (I) 略 (II) S( ). () 由 a ( a a ) a a ( a a ) ( )( a a ) ( ) ( ) ( a a) ( )! ( )! ( ) ( ) ( ) ( ) a a a! ( )!! k! k k 由 lm a lm lm, 所以收敛半径 R!! () S '( ) a ( ) S '( ) ( ) a a a ( ) ( ) a a a a a 全国统一服务热线 :4 668 55 7
精勤求学自强不息 Bor to w! S() a a, 所以 ( ) S '( ) S( ) ( ) a a a a a ( a a ) 由 ( ) a a a, 由 a, 所以 ( ) S '( ) S( ) 可知 ce e 解微分方程得 S( ), 由 S() a c S( ) ()( 本题满分 分 ) 设三阶矩阵 A (,, ) 有 个不同的特征值, 且, (I) 证明 : r( A) ; (II) 若, 求方程组 A 答案 (I) 略 ;(II) 通解为 k, k R 的通解 (I) 证明 : 由 可得, 即,, 因此, A, 即 A 的特征值必有 线性相关, 又因为 A 有三个不同的特征值, 则三个特征值中只有 个, 另外两个非. 且由于 A 必可相似对角化, 则可设其对角矩阵为, r( A) r( ) (II) 由 () r( A), 知 r( A), 即 A 的基础解系只有 个解向量, 可得 由 又, 即,, A, 则 A 的基础解系为,,, A, 则 A 的一个特解为, 8 8 全国统一服务热线 :4 668 55
Bor to w 综上, A 的通解为 k, k R ()( 本题满分 分 ) 设二次型 f (,, ) a 8 在正交变换 Q 下的标准形为, 求 a 的值及正交矩阵 Q 6 答案 a ; Q, f Q 6 6 6 4 f (,, ) X AX, 其中 A 4 a 由于 f (,, ) X AX 经正交变换后, 得到的标准形为 4 故 r( A) A a, 4 a 4 将 a 代入, 满足 r( A), 因此 a 符合题意, 此时 A, 则 4 4 E A,, 6, 4 由 ( E A), 可得 A 的属于特征值 - 的特征向量为 ; 由 (6 E A), 可得 A 的属于特征值 6 的特征向量为, 全国统一服务热线 :4 668 55 9
精勤求学自强不息 Bor to w! 由 ( E A), 可得 A 的属于特征值 的特征向量为 令 P,,, 则 P AP 6, 由于,, 彼此正交, 故只需单位化即可 :,,,,,,,,,, 6 则 Q Q f 6 6, Q AQ 6 6 6 ()( 本题满分 分 ) 设随机变量 X, Y 相互独立, 且 X 的概率分布为 P{ X } P{ X },Y 的, 概率密度为 f ( ),, 其他 (I) 求 P{ Y EY} ; (II) 求 Z X Y 的概率密度, 4 答案 ' (I) P{ Y EY} ;(II) f ( Z) F( Z), 9, 其他 ( ) E( Y) d 4 P( Y EY ) P( Y ) d 9 ( ) F ( Z) P( Z ) P( X Y ) P( X Y, X ) P( X Y, X ) P( Y, X ) P( Y, X ) P( Y ) P( Y ) 全国统一服务热线 :4 668 55
Bor to w () 当,, 而, 则 F ( Z ) () 当,, 即 时, F ( Z) ; F ( Z) ; 时, F ( Z) ; 时, F ( Z) ( ). () 当 时, (4) 当 (5) 当, 综上, F ( Z), ( ),,, 所以 ' f ( Z) F ( Z),, 其他 ()( 本题满分 分 ) 某工程师为了解一台天平的精度, 用该天平对一物体进行 次测量, 该物体的质 量是已知的 设 次测量的结果,, X X 相互独立且服从正态分布 N(, ), 该工程师记录的是 次测 量的绝对误差 Z X, 利用 Z,, Z (I) 求 Z 的概率密度 ; (II) 利用一阶矩求 的据估计量 ; (III) 求 的最大似然估计量 答案 e, ( I ) fz ( ) ;, 其他 (II) 矩估计量 ˆ = X ; 估计 (III) 最大似然估计量 : ˆ ( ) Z X u 全国统一服务热线 :4 668 55
精勤求学自强不息 Bor to w! ( ) F ( ) P( Z ) P( X ) 当, F ( ) 当, F ( ) P( X ) P( X ) F ( ) F( ) 当 时, X ' f ( ) F ( ) ( ) ( ) f f e e e 综上 f e ( ),, e ( ) E Z e d d e d ( ) 令 E( Z ) Z, Z Z X, 由此可得 的矩估计量 ˆ X. 对总体 X 的 个样本 X, X, X, 则相应的绝对误差的样本为 Z, Z, Z, Z X u,,..., 令其样本值为,,, u, 则对应的似然函数为 L( ), 其他 e,,, 对 L( ) 两边取对数, 当,, 时, 有 l L( ) l, d l L( ) 令 Z, 所以, ˆ ( ) d u Z X u 为所求的最大似然估计量 全国统一服务热线 :4 668 55