2014年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷

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十芝贲
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1 4 年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷题号一二三四总分得分考试说明 : 考试时间为 5 分钟 ; 满分为 5 分 ; 答案请写在试卷纸上, 用蓝色或黑色墨水的钢笔圆珠笔答卷, 否则无效 ; 4 密封线左边各项要求填写清楚完整一选择题 ( 每个小题给出的选项中, 只有一项符合要求 : 本题共有 5 个小题, 每小题 4 分, 共分 ) 得分阅卷人. 当时, 若 f () 存在极限, g () 不存在极限, 则下列结论正确的是 ( ) A. 当时, f ( ) g( ) 必定存在极限 B. 当时, f ( ) g( ) 必定不存在极限 C. 当时, f ( ) g( ) 若存在极限, 则此极限必为零 D. 当时, f ( ) g( ) 可能存在极限, 也可能不存在极限. 曲线 y 上切线平行于轴的点是 ( ) A.(,) B.(,) C.(-,) D.(,). 函数 f ( ) ( ) 不可导点的个数是 ( ) A. B.

2 C. D. d 4. 若 f ( ) t dt d sin( ), 则 f () ( ) A. sin B. cos C. sin D. 5. 微分方程 y y ( 的通解是 ) A. arctan C B. (arctan C) C. arctan C D. arctan C 二. 填空题 :( 只须在横线上直接写出答案, 不必写出计算过程, 每小题 4 分, 共 4 分 ) 6. 设 f () 在 (, ) 上连续, 且 f ( ), 则 sin sin lim f ( )., < 7. 设 f ( ), 则 f [ f ( )]., 8. 曲线 y ln( ) ( > ) 的渐近线方程是. 9. 设 y ln, 则 y.. 曲线 y ( > ) 的拐点是.. 由曲线 y 和 y 所围成的平面图形的面积是.. 将函数 f ( ) sin 展开成的幂级数为.. 设 (a b) c, 则 [(ab) (bc)] (ca). 4. 微分方程 ( ) yd ( y) dy 的通解为. 得分阅卷人

3 5. 设二阶常系数线性齐次微分方程 y ay by 的通解为 ~ y C C, 那么非齐次方程 ay y by 满足条件 y ( ), y ( ) 的解为. 三计算题 : 本大题共 8 小题, 其中 6-9 小题每小题 7 分,- 小题每小题 8 分, 共 6 分. 计算题必须写出必要的计算过程, 只写答案的不给分. 得分阅卷人 ln(sin ) 6. 求极限 lim.(7 分 ) ln( ) 7. 确定函数 f ( ) 的间断点及类型.(7 分 ) 8. 设函数 y y() t ln( t) d y 由参数方程所确定, 求. (7 分 ) y t t d 9. 在曲线 y 上求一点 P, 使点 P 到定点 A(,) 的距离最近.(7 分 )

4 . 求 d. (8 分 ) sin. 设 f (sin ) cos tan, f ( ). 当 < < 时, 求 f (). (8 分 ). 根据 α 的取值情况, 讨论级数 n n n 的敛散性. (8 分 ) α n z. 求过点 M (,, - ) 且与直线垂直的平面方程. (8 分 ) y z 4

5 四综合题 : 本大题共小题, 每小题分, 共分. 得分阅卷人 n a b 4. 设函数 f ( ) 是连续函数, 试求 a, b 的值.( n n 分 ) f ( ) 5. 设 lim, 且 f ( ) >, 证明 : f ( ). ( 分 ) 6. 已知 ln π dt t, 求的值.( 分 ) 6 5

6 4 年高等数学真题试卷参考答案及评分标准一选择题 ( 每个小题给出的选项中, 只有一项符合要求 : 本题共有 5 个小题, 每小题 4 分, 共分 ) 题号 4 5 答案 D C B A B.D 解析 : 极限运算法则, 可以举反例, 若 f ( ), g( ) ln, 则 lim f ( ) lim, lim g( ) limln, 但 lim f ( ) g( ) ln ; 若 f ( ), g( ) sin, 则 lim f ( ), lim g( ) sin 不存在, 但 lim f ( ) g( ) sin 不存在 ; 可见选项 D 正确.C 解析 : 由导数几何意义可知, k y ( ), 所以切点坐标为 (, ) 或 (,) 即选项 C 正确.B 解析 : 导数定义, f () f ( ) f () ( ) ( ) ( ) 所以 f () ( ) f () 所以函数 f () 在处不可导 ; 同理, 6

7 f ( ) f () ( ) ( ) ( ) f () 所以, f () ( ) ( ) 4 f () ( ) ( ) 4, 所以函数 f () 在处不可导 ; f ( ) f ( ) ( ) ( )( ) f ( ) ( ), 所以函数 () f 在处可导 ; 综上可知, 函数 f () 共有个不可导点, 选项 B 正确 4.A 解析 : 变限函数求导数, 因为 d d t dt d sin( ) d 正确 5.B sin( t ) dt u t 解析 : 一阶线性微分方程, 由通解公式可得 p( ) d y [ Q( ) sin udu, 所以 sin udu sin( ) ( ) sin, 可见选项 A p( ) d d C] ln d d d ln [ d C] [ ( ) ( ) [ d C] (arctan C), 可见选项 B 正确 C] 二. 填空题 :( 只须在横线上直接写出答案, 不必写出计算过程, 每小题 4 分, 共 4 分 ) 6.9 sin sin sin 解析 : 利用连续性求极 lim f ( ) lim f ( ) f () 9 7

8 , 7., < f ( ), 解析 : 求复合函数的表达式, f [ f ( )], f ( ) < f ( ), < f [ f ( )]., 8. y 解析 : 计算斜渐近线, 设直线 y a b 为所求曲线的渐近线, 则 ln( ) f ( ) a ln( ) ln, ln( ) b f a [ ( ) ] [ ln( ) ] 所以, 斜渐近线为 y. 9. 解析 : 求导函数, 因为 y ln ln [ln( ) ln( )] 所以 y [ ], 故 y ( ).. (, ) 4 ( ) 解析 : 求曲线的拐点, 当 > 时, y, y ( ) ( ) 令 y, 得, 所以拐点为 (, ). 4 8

9 . 6 解析 : 据题意画图, 求所围平面图形的面积 S ( ) d ( ) 6. n n ( ) () (n)! n, (, ) cos 解析 : 麦克劳林展式, f ( ) sin cos, 又因 n ( ) n cos, (, ), 所以 cos n (n)! n 即 n n ( ) () f ( ), (, ). n (n)!. n ( ) () (n)! 解析 : 混合积, 向量积运算法则, 在混合积计算中, 如有两向量相同, 则混合积为. 因此, [( a b) ( b c)] ( c a) [ a ( b c) b ( b c)] [ a b a c b b b c] ( c a) [ a b a c b c] ( c a) ( a b) c ( a b) a ( a c) c ( a c) a ( b c) c ( b c) a ( a b) c ( b c) a ( a b) c. 4. ln y y C, C 为任意常数解析 : 可分离变量的微分方程, ( ) yd ( y) d y d dy, 故 y ( ) d ( ) dy ln C y ln y, y n 9

10 即通解为 y ln y C, C 为任意常数 y 4 解析 : 求二阶线性常系数非齐次方程的通解, 特征方程为 r ar b, r, r, 即 ( r )( r ), r r, 故 a, b. 所以原微分方程为 y y y, 由于 λ 不是特征方程的根, 取 * k, 因此, 设特解 y A, 则 ( y * ), ( y * ), 代入可得 A 所以 * y, 所以 y y y 的通解为 y C C, 再由 y ( ), y ( ), 可得 C 4, C 5, 故满足初始条件的 5 特解为 y 4. 三计算题 : 本大题共 8 小题, 其中 6-9 小题每小题 7 分,- 小题每小题 8 分, 共 6 分. 6. 解 : ln(sin ) ln[ ( sin )] lim ln( ) ln[ ( )] ln( sin ) lim ln( ) sin lim 7 分 7. 解 : () 间断点为和 lim f ( ), 故是第二类无穷间断点 ; 分

11 () lim f ( ) ; lim f ( ) ( ) ( ) 是第一类跳跃间断点. 7 分 8. 解 : dy dy dt t t, 分 d d dt t t d y d dy d dy ( ) ( ) d d d dt d dt d ( )( ) t t t t t 7 分 9. 解 : 设点 P 的坐标是 (, ), 则 PA ( ), 令 f ( ) ( ), 由 f ( ) ( ) ( ), 得驻点,. 分划分定义域并列表如下 : (, ) (, ) (, ) f () f() 极小值不取极值由表可知, 函数 f () 单调性可知此极小值且为最小值 6 在处取极小值, 且极小值为 f ( ) 结合 f () 的 5, 故点 P 的坐标为 (, ), 且最近距 4

12 离为 5. 所以点 P( -, ) 即为所求的点. 7 分 4 4. 解 : d d sin sin. 解 : cot C,C 为任意常数 8 分 sin (sin ) cos tan sin, sin f 所以 f ( ) ( < < ), f ( ) 4 分因此 f ( ) f ( t) dt ln( ) ( < < ) 8 分. 解 : 将级数的一般项进行分子有理化, 得到 u n n n n α n ( α, 4 n n ) 所以有 lim n α u. 分 n () 当 α > 时, n 由于 n n α 收敛, 因此级数 n () 当 α 时, 由于 n n α n n 收敛 ; 5 分 α n 发散, 因此级数发 n n n 散. 8 分 α n

13 . 解 : 由题意, 得已知直线的点向式方程为 y z 所以已知直线的方向向量是 (-,,), 即为所求平面的法向量. 所以所求平面的方程是 ( ) ( y ) ( z ) 即 y z 4. 8 分四综合题 : 本大题共小题, 每小题分, 共分. 4. 解当 < 时, lim n, 所以 n n a b f ( ) a b ; n n a b n a b n n 当 > 时, f ( ) ; n n n n a b a b 当时, f () ; 当时, f ( ), 所以 a b, <, > f ( ) 4 分 a b, a b, 又因函数 f () 处处连续, 所以 lim f ( ) lim( a b) a b f () a b lim f ( ) f (), 因此 a b 同理, lim f ( ) f ( ), lim f ( ) lim ( a b) a b a b a b, 即 a b f ( ), 因此,, 即 a b

14 由解得 a, b 分 5. 解 : 因为函数 f () 连续且具有一阶导数, f ( ) 故由 lim, 得 f ( ) f () f ( ) f ( ) f (). 5 分由 f () 的泰勒公式, 得 f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ) f () f (), ξ 介于和之间因为 f ( ) >, 所以 f ( ). 分 t 6. 解 : 设 u, 则 t u, t dt udu. 分 dt u du u u du u ln t arctan u (arctan arctan ) π arctan π. 7 分 6 π 所以 arctan, 即, 4 因此 ln. 分 4

2013年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷

2013年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷文亮教育 (www.wligdu.com) 浙江专升本辅导第一品牌年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷题号一二三四总分得分考试说明 : 考试时间为 5 分钟 ; 满分为 5 分 ; 答案请写在试卷纸上, 用蓝色或黑色墨水的钢笔圆珠笔答卷, 否则无效 ; 4 密封线左边各项要求填写清楚完整一选择题 ( 每个小题给出的选项中, 只有一项符合要求 : 本题共有 5 个小题, 每小题 4 分,