2014年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷

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1 4 年浙江省专升本统一考试高等数学真题试卷 题号一二三四总分 得分 考试说明 : 考试时间为 5 分钟 ; 满分为 5 分 ; 答案请写在试卷纸上, 用蓝色或黑色墨水的钢笔 圆珠笔答卷, 否则无效 ; 4 密封线左边各项要求填写清楚完整 一 选择题 ( 每个小题给出的选项中, 只有一项符合要求 : 本题共有 5 个小题, 每小题 4 分, 共 分 ) 得分 阅卷人. 当 时, 若 f () 存在极限, g () 不存在极限, 则下列结论正 确的是 ( ) A. 当 时, f ( ) g( ) 必定存在极限 B. 当 时, f ( ) g( ) 必定不存在极限 C. 当 时, f ( ) g( ) 若存在极限, 则此极限必为零 D. 当 时, f ( ) g( ) 可能存在极限, 也可能不存在极限. 曲线 y 上切线平行于 轴的点是 ( ) A.(,) B.(,) C.(-,) D.(,). 函数 f ( ) ( ) 不可导点的个数是 ( ) A. B.

2 C. D. d 4. 若 f ( ) t dt d sin( ), 则 f () ( ) A. sin B. cos C. sin D. 5. 微分方程 y y ( 的通解是 ) A. arctan C B. (arctan C) C. arctan C D. arctan C 二. 填空题 :( 只须在横线上直接写出答案, 不必写出计算过程, 每小题 4 分, 共 4 分 ) 6. 设 f () 在 (, ) 上连续, 且 f ( ), 则 sin sin lim f ( )., < 7. 设 f ( ), 则 f [ f ( )]., 8. 曲线 y ln( ) ( > ) 的渐近线方程是. 9. 设 y ln, 则 y.. 曲线 y ( > ) 的拐点是.. 由曲线 y 和 y 所围成的平面图形的面积是.. 将函数 f ( ) sin 展开成 的幂级数为.. 设 (a b) c, 则 [(ab) (bc)] (ca). 4. 微分方程 ( ) yd ( y) dy 的通解为. 得分 阅卷人

3 5. 设二阶常系数线性齐次微分方程 y ay by 的通解为 ~ y C C, 那么非齐次方程 ay y by 满足条件 y ( ), y ( ) 的解为. 三 计算题 : 本大题共 8 小题, 其中 6-9 小题每小题 7 分,- 小题每小题 8 分, 共 6 分. 计算题必须写出必要的计算过程, 只写答案的不给分. 得分 阅卷人 ln(sin ) 6. 求极限 lim.(7 分 ) ln( ) 7. 确定函数 f ( ) 的间断点及类型.(7 分 ) 8. 设函数 y y() t ln( t) d y 由参数方程 所确定, 求. (7 分 ) y t t d 9. 在曲线 y 上求一点 P, 使点 P 到定点 A(,) 的距离最近.(7 分 )

4 . 求 d. (8 分 ) sin. 设 f (sin ) cos tan, f ( ). 当 < < 时, 求 f (). (8 分 ). 根据 α 的取值情况, 讨论级数 n n n 的敛散性. (8 分 ) α n z. 求过点 M (,, - ) 且与直线 垂直的平面方程. (8 分 ) y z 4

5 四 综合题 : 本大题共 小题, 每小题 分, 共 分. 得分 阅卷人 n a b 4. 设函数 f ( ) 是连续函数, 试求 a, b 的值.( n n 分 ) f ( ) 5. 设 lim, 且 f ( ) >, 证明 : f ( ). ( 分 ) 6. 已知 ln π dt t, 求 的值.( 分 ) 6 5

6 4 年高等数学真题试卷参考答案及评分标准 一 选择题 ( 每个小题给出的选项中, 只有一项符合要求 : 本题共有 5 个小题, 每小题 4 分, 共 分 ) 题号 4 5 答案 D C B A B.D 解析 : 极限运算法则, 可以举反例, 若 f ( ), g( ) ln, 则 lim f ( ) lim, lim g( ) limln, 但 lim f ( ) g( ) ln ; 若 f ( ), g( ) sin, 则 lim f ( ), lim g( ) sin 不存在, 但 lim f ( ) g( ) sin 不存在 ; 可见选项 D 正确.C 解析 : 由导数几何意义可知, k y ( ), 所以切点坐标为 (, ) 或 (,) 即选项 C 正确.B 解析 : 导数定义, f () f ( ) f () ( ) ( ) ( ) 所以 f () ( ) f () 所以函数 f () 在 处不可导 ; 同理, 6

7 f ( ) f () ( ) ( ) ( ) f () 所以, f () ( ) ( ) 4 f () ( ) ( ) 4, 所以函数 f () 在 处不可导 ; f ( ) f ( ) ( ) ( )( ) f ( ) ( ), 所以函数 () f 在 处可导 ; 综上可知, 函数 f () 共有 个不可导点, 选项 B 正确 4.A 解析 : 变限函数求导数, 因为 d d t dt d sin( ) d 正确 5.B sin( t ) dt u t 解析 : 一阶线性微分方程, 由通解公式可得 p( ) d y [ Q( ) sin udu, 所以 sin udu sin( ) ( ) sin, 可见选项 A p( ) d d C] ln d d d ln [ d C] [ ( ) ( ) [ d C] (arctan C), 可见选项 B 正确 C] 二. 填空题 :( 只须在横线上直接写出答案, 不必写出计算过程, 每小题 4 分, 共 4 分 ) 6.9 sin sin sin 解析 : 利用连续性求极 lim f ( ) lim f ( ) f () 9 7

8 , 7., < f ( ), 解析 : 求复合函数的表达式, f [ f ( )], f ( ) < f ( ), < f [ f ( )]., 8. y 解析 : 计算斜渐近线, 设直线 y a b 为所求曲线的渐近线, 则 ln( ) f ( ) a ln( ) ln, ln( ) b f a [ ( ) ] [ ln( ) ] 所以, 斜渐近线为 y. 9. 解析 : 求导函数, 因为 y ln ln [ln( ) ln( )] 所以 y [ ], 故 y ( ).. (, ) 4 ( ) 解析 : 求曲线的拐点, 当 > 时, y, y ( ) ( ) 令 y, 得, 所以拐点为 (, ). 4 8

9 . 6 解析 : 据题意画图, 求所围平面图形的面积 S ( ) d ( ) 6. n n ( ) () (n)! n, (, ) cos 解析 : 麦克劳林展式, f ( ) sin cos, 又因 n ( ) n cos, (, ), 所以 cos n (n)! n 即 n n ( ) () f ( ), (, ). n (n)!. n ( ) () (n)! 解析 : 混合积, 向量积运算法则, 在混合积计算中, 如有两向量相同, 则混 合积为. 因此, [( a b) ( b c)] ( c a) [ a ( b c) b ( b c)] [ a b a c b b b c] ( c a) [ a b a c b c] ( c a) ( a b) c ( a b) a ( a c) c ( a c) a ( b c) c ( b c) a ( a b) c ( b c) a ( a b) c. 4. ln y y C, C 为任意常数 解析 : 可分离变量的微分方程, ( ) yd ( y) d y d dy, 故 y ( ) d ( ) dy ln C y ln y, y n 9

10 即通解为 y ln y C, C 为任意常数 y 4 解析 : 求二阶线性常系数非齐次方程的通解, 特征方程为 r ar b, r, r, 即 ( r )( r ), r r, 故 a, b. 所以原微分方程为 y y y, 由于 λ 不是特征方程的根, 取 * k, 因此, 设特解 y A, 则 ( y * ), ( y * ), 代入可得 A 所 以 * y, 所以 y y y 的通解为 y C C, 再由 y ( ), y ( ), 可得 C 4, C 5, 故满足初始条件的 5 特解为 y 4. 三 计算题 : 本大题共 8 小题, 其中 6-9 小题每小题 7 分,- 小题每 小题 8 分, 共 6 分. 6. 解 : ln(sin ) ln[ ( sin )] lim ln( ) ln[ ( )] ln( sin ) lim ln( ) sin lim 7 分 7. 解 : () 间断点为 和 lim f ( ), 故 是第二类无穷间断点 ; 分

11 () lim f ( ) ; lim f ( ) ( ) ( ) 是第一类跳跃间断点. 7 分 8. 解 : dy dy dt t t, 分 d d dt t t d y d dy d dy ( ) ( ) d d d dt d dt d ( )( ) t t t t t 7 分 9. 解 : 设点 P 的坐标是 (, ), 则 PA ( ), 令 f ( ) ( ), 由 f ( ) ( ) ( ), 得 驻点,. 分 划分定义域并列表如下 : (, ) (, ) (, ) f () f() 极小 值 不取 极值 由表可知, 函数 f () 单调性可知此极小值且为最小值 6 在 处取极小值, 且极小值为 f ( ) 结合 f () 的 5, 故点 P 的坐标为 (, ), 且最近距 4

12 离为 5. 所以点 P( -, ) 即为所求的点. 7 分 4 4. 解 : d d sin sin. 解 : cot C,C 为任意常数 8 分 sin (sin ) cos tan sin, sin f 所以 f ( ) ( < < ), f ( ) 4 分 因此 f ( ) f ( t) dt ln( ) ( < < ) 8 分. 解 : 将级数的一般项进行分子有理化, 得到 u n n n n α n ( α, 4 n n ) 所以有 lim n α u. 分 n () 当 α > 时, n 由于 n n α 收敛, 因此级数 n () 当 α 时, 由于 n n α n n 收敛 ; 5 分 α n 发散, 因此级数发 n n n 散. 8 分 α n

13 . 解 : 由题意, 得 已知直线的点向式方程为 y z 所以已知直线的方向向量是 (-,,), 即为所求平面的法向量. 所以所求平面的方程是 ( ) ( y ) ( z ) 即 y z 4. 8 分 四 综合题 : 本大题共 小题, 每小题 分, 共 分. 4. 解当 < 时, lim n, 所以 n n a b f ( ) a b ; n n a b n a b n n 当 > 时, f ( ) ; n n n n a b a b 当 时, f () ; 当 时, f ( ), 所以 a b, <, > f ( ) 4 分 a b, a b, 又因函数 f () 处处连续, 所以 lim f ( ) lim( a b) a b f () a b lim f ( ) f (), 因此 a b 同理, lim f ( ) f ( ), lim f ( ) lim ( a b) a b a b a b, 即 a b f ( ), 因此,, 即 a b

14 由 解得 a, b 分 5. 解 : 因为函数 f () 连续且具有一阶导数, f ( ) 故由 lim, 得 f ( ) f () f ( ) f ( ) f (). 5 分 由 f () 的泰勒公式, 得 f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ) f () f (), ξ 介于 和 之间 因为 f ( ) >, 所以 f ( ). 分 t 6. 解 : 设 u, 则 t u, t dt udu. 分 dt u du u u du u ln t arctan u (arctan arctan ) π arctan π. 7 分 6 π 所以 arctan, 即, 4 因此 ln. 分 4