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辰微秦
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1 09 考研考点预测白皮书数学中公考研

2 目录版权所有翻版必究高数篇... 必考题型一 : 极限的计算... 必考题型二 : 定积分的应用... 必考题型三 : 不等式证明... 必考题型四 : 经济学应用... 必考题型五 : 二重积分... 3 必考题型六 : 极值与最值... 4 必考题型七 : 幂级数 (* 数学一三 )... 5 必考题型八 : 物理应用 + 微分方程 (* 数学一二 )... 6 必考题型九 : 多元函数积分学 (* 数学一 )... 7 线代篇... 7 必考题型一 : 线性方程组... 7 必考题型二 : 相似与相似对角化... 9 必考题型三 : 二次型... 0 概率与数理统计篇... 必考题型一 : 随机变量的分布... 必考题型二 : 参数估计

3 3 e 求极限 lim. 0 cos 答案解析原式高数篇必考题型一 : 极限的计算 3 e l e e lim e lim l lim 必考题型二 : 定积分的应用 (I) 设圆盘的半径为 R 厚为 h 点密度为该点到圆盘中心轴的距离的平方求该圆盘的质量 m ; (II) 将以曲线 y 4 及轴围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成的旋转体记为 V 设 V 的点密度为该点到旋转轴的距离的平方求该物体的质量 4 答案 (I) hr ;(II) 解析 (I) 以环细分圆盘设环的宽度为 dr 内半径为 r 在环上点密度视为不变为 r 质量微元为 R 3 4 dm r rdr h 于是该圆盘的质量为 mh r dr hr ; 0 4 (II) 该旋转体可看成由一个个薄片组成由 (I) 每一薄片的质量 dm R d 4 其中 R 为处旋转半径即 y 于是质量微元为 dm= yd d 所以物体的质量为 M d (4 )

4 必考题型三 : 不等式证明设 0 证明 : ( ) 4 解析等价于证明 0 F( ) l l( ) l0 经计算 F() 0 而 F ( ) l l( ) ( ) 记 () F( ) l 3 ( ) () ( ) ( ) l 有 (0) 0 ( ) 0 3 ( ) ( ) 从而可知当 0 时 ( ) 0 即有 F( ) 0 F() 0 ; 因 F() 0 所以当 0 F( ) 0 又因 F() 0 所以当 0 时 F( ) 0 证毕必考题型四 : 经济学应用设某产品的成本函数为 C aq bqc 需求函数为 q ( d p) 其中 C 为成本 e q 为需求量 ( 即产量 ) p 为单价 abcde 都是正的常数且 d b 求 : () 利润最大时的产量及最大利润 ; () 需求对价格的弹性 ; (3) 需求对价格弹性的绝对值为时的产量 d b ( d b) 答案 () 当 q 时利润最大 Lma c ; ( e a) 4( e a) p () d p ; --

5 d (3) q e 解析 () 设利润函数为 L( q) pq C ( d eq) q aq bq c ( a e) q ( d b) q c d b 求导得 L( q) ( a e) q ( d b) 令 L( q) 0 得 q ( e a) d b 又 L( q) ( a e) L( ) ( ae) 0 ( e a) d b ( d b) 则当 q 时 L(q) 取极大值也是最大值代入得 Lma c ( e a) 4( e a) p p p q( p) () 需求对价格的弹性 : q e ( d p ) d p e p d (3) 当时即因为 d p 则有 pd p 即 p 此时 d p d d q d d e e I y mi y d 计算二重积分 D 必考题型五 : 二重积分其中 D ( y) y 答案 5 解析画出积分区域 D 的图形如图所示.. -3-

6 要先处理被积函数中的最小函数为此用 y D D 分 D 为 D D 两部分则 I yd y yd 要处理被积函数中的绝对值函数利用对称性结论将简单些. 为此用 y 再划分 D D 分别为 D D ; D D 考虑到 y 是的奇函数而 D 关于 y 轴对称 ; yy 是 y 的奇函数而 D 关于轴对称故有 yd 0 D yyd 0 I yd y yd ( y)d y( y)d 于是 D D D D ( y0) D ( 0) 0 0 y d ydy dy y d 求二元函数值. z y y 必考题型六 : 极值与最值在区域 D ( y) 4 y 5 45 答案 ma z miz 50 ( y ) D 4 ( y ) D 解析求二元函数 z 在区域 D 内的驻点. 上的最大值与最小 -4-

7 z y0 令解得 y 0 所求驻点为 (00) z z (00) 0. 4y0 y 求二元函数 z 在区域 D 的边界 4 y 5上的最值. 设 L y y y (4 5) 令 L y8 0 L 4y y 0 y 3 3 解得 ( y ) ( 3)( 3)( 4) ( 4) 4 y z 50 ( 3) z ( 3) 50 z 3 ( 4) z 3 ( 4) 比较得 ma z miz 50. ( y ) D 4 ( y ) D 必考题型七 : 幂级数 (* 数学一三 ) 4 6 求级数 ( ) 的收敛域并求其和函数 s ( ) l l( ) 答案收敛域[ ] 和函数为 : s ( ) l 解析设 s ( ) () 则 s( ) ( ) dt 所以 s( ) l ( ) 0 t t t s ( ) l dt l dt l l( ) 0 0 t t ( ) -5-

8 s() lim l l( ) lim l( ) l( ) l( ) l( ) l + lim( l( ) l( )) l. s( ) lim l l( ) ( ) lim l( ) l( ) l( ) l( ) ( ) l + lim ( l( ) l( )) l ( ). l l( ) 故收敛域为 [ ] 和函数为 : s ( ) l 必考题型八 : 物理应用 + 微分方程 (* 数学一二 ) 设物体 A 从点 (0) 出发以速度大小为常数 v 沿着 y 轴正向运动物体 B 从点 ( 0) 与 A 同时出发其速度大小为 v 方向始终指向 A. 试建立物体 B 的运动轨迹所满足的微分方程并写出初始条件答案 y y 0 初始条件 y( ) 0 y( ) 解析设物体 B 的运动轨迹方程是 y y( ) 在时刻 t 物体 B 的位置是 Py ( ) 物体 A 的位置是 Q(0 vt ). 由题意知 Q 的运动轨迹在过点 P 的切线上该切线的方程是 Y y y( X ). 因此 vt y y(0 ) 即 vt y y. 由于 B 的运动轨迹方程是 y y( ) 在时刻 t 物体 B 已走过的路程为 BP 这段弧长即 -6-

9 . BP ds y d 另一方面物体 B 在时刻 t 已走过的距离是 vt. 于是有与前式比较得求导即得所求方程 vt BP y d ( ) d y y y. y y 0 由题设有 y( ) 0 将其代入式得到初始条件 : y( ) 必考题型九 : 多元函数积分学 (* 数学一 ) 计算曲面积分 I ( az ) dydz ( y a ) dzd ( z ay ) ddy 其中为上半球面 z a y 的上侧. 9 5 答案 0 a 解析记 : z 0( y a ) 的下侧为与所围成的区域因此 I ( az ) dydz ( y a ) dzd ( z ay ) ddy ( az ) dydz ( y a ) dzd ( z ay ) ddy 3( ) y z ddydz ay ddy y a a a d si si. 0 d r dr a d r dr a a a 线代篇必考题型一 : 线性方程组 -7-

10 已知 ( 0 3) (35) 3 ( a ) 4 (4 a 8) 及 ( b 3 5). 线性表出? (Ⅰ) ab 为何值时不能由 3 4 (Ⅱ) ab 为何值时有 3 4 的唯一线性表达式? 并写出该表达式. 答案 (Ⅰ) a b 0 时不能表示成 3 4的线性组合 ; (Ⅱ) a 时可以用 3 4 唯一线性表示 b ab b 3 a a a 解析向量是否可由 3 4 线性表出相当于方程组是否有解利用初等行变换化增广矩阵为阶梯形讨论即可 (Ⅰ) 设线性表示且 -8- 则 ( a) 3 44 b ( a8) 4 5. 因为 a 4 b3 0 a b 0 0 a 0 b 3 5 a8 5 0 a a 0 可见当 a b 0 时 r( A) r( A ) 不能表示成 3 4的线性组合. (Ⅱ) 当 a 时 r( A) r( A ) 4 方程组有唯一解可以用 3 4 唯一

11 b ab b 3. a a a 必考题型二 : 相似与相似对角化设 A a B a b 求 a b 及正交矩阵 P 使得 0 b P AP B a 5 5 答案 P 0 b 解析已知 A B 则 tr( A)= tr( B ) a b 7 r( A) r( B )= A a 0 a 0 b 0 b 0 b 0 0 ( a) b4 所以 ( a) b4 0. 由式解得 a 5 又 a b 故 b. 由于 a a 5 或 b 4 b A B 故 AB 的特征值都为当时由 ( E A) 0 (0) ; -9-

12 当 0 时由当 6 A 0 ( ) ; 时由 (6 E A) 0 ( 5). 由于属于不同的所以 3正交单位化得 3 (0) 5 则正交矩阵为且有 P AP P AP 0 B. 6 ( ) ( 5) P ( 3) 必考题型三 : 二次型二次型 f( ) 4 4 a 经正交变换化为标准型 y 3y ty. 3 (Ⅰ) 求 at 的值 ; (Ⅱ) 求所用的正交变换 X PY. -0-

13 答案 (Ⅰ) a t 3 ;(Ⅱ) 解析 6 3 P (Ⅰ) 二次型矩阵为 A a 其标准型矩阵为 a 3 由于二次 t 型经过正交变换化为标准型故 A 与不仅合同而且相似由相似矩阵有相同的迹知 33 t 故 t 3. 由 3 A a ( a) 0 a 故 a. (Ⅱ) 对 3 由 (3 AX ) 0 求出 A 的两个线性无关的特征向量 X ( 0) X. ( 0 ) 对 3 由 ( 3 AX ) 0 求出 A 的特征向量 X. 3 () 因为 3 是二重根对 X X 正交化得 =X ( 0) ( X ) X ( 0 ) ( 0) ( ) ( ) 再单位化得 ( 0) ( ) 6 () 3. --

14 6 3 P ( ) 令 3 经 X PY 变换后 f X AX 化为 f 3y 3y 3y. 3 设二维随机变量 ( ) 求 : 概率与数理统计篇必考题型一 : 随机变量的分布 f X Y 在区域 D ( y) y ;0 y (Ⅰ) ( XY ) 的边缘密度 f ( ) 和 f ( y ); (Ⅱ) Z X Y 的概率密度 f () z Z ; (Ⅲ) 数学期望 EZ ( ) 和方差 DZ ( ). X 上服从均匀分布. Y 答案 ( Ⅰ ) 0 fx ( ) 0 else. 0 y fy ( y) ;( Ⅱ ) 0 else. f Z z 3 ( z) ;(Ⅲ) EZ ( ) DZ ( ) 0 else. ( y) D ( y) y ; 0 y 解析 (Ⅰ) f( y) 0 else. --

15 dy 0 fx ( ) f( y) dy dy 0 0 else. fy ( y) f( y) d 0 else. y d y y 0 (Ⅱ) 对任意实数 z 有 0 z FZ () z P( Z z) P( X Y z) f ( y) ddy z z yz z. 故 f Z df ( ) Z z z ( z) dz 0 else. 3 (Ⅲ) EZ ( ) zfz ( zdz ) zdz z 3 Z 7 EZ ( ) z f( zdz ) zdz z DZ ( ) EZ ( ) EZ ( ). 3 4 必考题型二 : 参数估计 e 设总体 X 的概率密度为 f( ) 其中 0 是未知参数. 0. (Ⅰ) 求的矩估计. (Ⅱ) 求的最大似然估计. (Ⅲ) 判断 (Ⅱ) 中的估计是否为的无偏估计量. 答案 (Ⅰ) X ;(Ⅱ) X Xi ;(Ⅲ) 是 i -3-

16 t t 解析 (Ⅰ) EX ( )= f( )d e d ( t)e dt t t e dt te dt 令 X 得 X 为的矩估计量. (Ⅱ) 设是来自总体的一组样本值则样本的似然函数为 i ( i ) i L L( ) f( ) e i. i l Ll i dll 则 i 0. i d 令 i 故 X Xi 为的最大似然估计量. (Ⅲ) i E( ) E( X) E( X). 从而 X 是的无偏估计量. -4-

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