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话潘
5 years ago
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1 5 年数学一试题分析详解和评注一填空题本题共 6 小题每小题 4 分满分 4 分. 把答案填在题中横线上曲线的斜渐近线方程为. 4 分析本题属基本题型直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. f 详解因为 lm lm b lm [ f ] lm 4 于是所求斜渐近线方程为. 4 评注如何求垂直渐近线水平渐近线和斜渐近线是基本要求应熟练掌握这里应注意两点 : 当存在水平渐近线时不需要再求斜渐近线 ; 若当时极限 f lm 不存在则应进一步讨论或的情形即在右或左侧是否存在斜渐近线完全类似例题见数学复习指南理工类 P.9 例 7. 微分方程 l 满足的解为 l 分析直接套用一阶线性微分方程 P Q 的通解公式 : P d P d e [ Q e d C] 再由初始条件确定任意常数即可. 详解原方程等价为 l 于是通解为 d d e [ l e d C] [ l d C] l C 9 由得 C 故所求解为 l. 9 9 评注本题虽属基本题型但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外本题也可如下求解 : 原方程可化为 l 即 [ ] l 两边积分得

2 l d l C 9 再代入初始条件即可得所求解为 l. 9 完全类似公式见数学复习指南理工类 P.54 设函数 z z 单位向量 r { } 6 8 则. 分析函数 z 沿单位向量 r {coscos β cosγ } 的方向导数为 : cos cos β cosγ z 因此本题直接用上述公式即可. 详解因为 6 z z 9 于是所求方向导数为. 评注本题若 r { m l} 非单位向量则应先将其单位化从而得方向余弦为 : m l cos cos β cos. m l m l m l 完全类似例题见数学复习指南理工类 P. 例. 4 设 Ω 是由锥面 Ω 的整个边界的外侧则 z 与半球面 Σ z R 围成的空间区域 Σ 是 ddz dzd zdd π R. 分析本题 Σ 是封闭曲面且取外侧自然想到用高斯公式转化为三重积分再用球面或柱面坐标进行计算即可. 详解 Σ ddz dzd zdd dddz Ω. π R π 4 ρ dρ s d d R. ϕ ϕ θ π

3 评注本题属基本题型不论是用球面坐标还是用柱面坐标进行计算均应特别注意计算的准确性主要考查基本的计算能力. 完全类似例题见数学复习指南理工类 P.5 例. 5 设均为维列向量记矩阵 A B 4 9 如果 A 那么 B. 可. 分析将 B 写成用 A 右乘另一矩阵的形式再用方阵相乘的行列式性质进行计算即详解由题设有 B 于是有 B A. 4 9 评注本题相当于矩阵 B 的列向量组可由矩阵 A 的列向量组线性表示关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示一般地若 β L β L L L L L β L m 则有 [ β β L β ] m m m m [ ] m L. M 完全类似例题见数学复习指南理工类 P.56 例.5 M L L M L m M m 6 从数 4 中任取一个数记为再从 L 中任取一个数记为 Y 则 P { Y } 48.

4 分析本题涉及到两次随机试验想到用全概率公式且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分. 详解 P { Y } P { } P{ Y } P { } P{ Y } P { } P{ Y } P { 4} P{ Y 4} 评注全概率公式综合考查了加法公式乘法公式和条件概率这类题型一直都是考查的重点. 完全类似例题见数学复习指南理工类 P.49 例. 二选择题本题共 8 小题每小题 4 分满分分. 每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求把所选项前的字母填在题后的括号内 7 设函数 f lm 则 f 在内 A 处处可导. B 恰有一个不可导点. C 恰有两个不可导点. D 至少有三个不可导点. [ C ] 分析先求出 f 的表达式再讨论其可导情形. 详解当 < 时 f lm ; 当时 f lm ; 当 > 时 f lm. < 即 f 可见 f 仅在 ± 时不可导故应选 C. >. 评注本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点. 完全类似例题见数学复习指南理工类 P.56 例. 8 设 F 是连续函数 f 的一个原函数 " M N" 表示 M 的充分必要条件是 N 则必有 A F 是偶函数 f 是奇函数. B F 是奇函数 f 是偶函数. C F 是周期函数 f 是周期函数. D F 是单调函数 f 是单调函数. [ A ] 分析本题可直接推证但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 详解方法一 : 任一原函数可表示为 F f t dt C 且 F f. 当 F 为偶函数时有 F F 于是 F F 即 f f 4

5 也即可见 f 为奇函数 ; 反过来若 f 为奇函数则为偶函数从而为偶函数可见 A 为正确选项. f f dt t f C dt t f F 方法二 : 令 f 则取 F 排除 B C; 令 f 则取 F 排除 D; 故应选 A. 评注函数 f 与其原函数 F 的奇偶性周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考 f 与其原函数 F 的有界性之间有何关系? 完全类似例题见数学复习指南理工类 P. 例.5~.7 9 设函数其中函数 dt t ϕ ϕ ϕ 具有二阶导数具有一阶导数则必有 A. B. C. D. [ B ] 分析先分别求出再比较答案即可. 详解因为 ϕ ϕ ϕ ϕ 于是 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 可见有应选 B. 评注本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算作为做题技巧也可取则容易验算只有 t t t ϕ 5

6 成立同样可找到正确选项 B. 完全类似例题见数学复习指南理工类 P.67 例.6 及习题十第题 z 设有三元方程 z l e 根据隐函数存在定理存在点的一个邻域在此邻域内该方程 A 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 zz. B 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 z 和 zz. C 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 z 和 zz. D 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 z 和 z. [ D ] z 分析本题考查隐函数存在定理只需令 Fz z l e 分别求出三个偏导数 F F F 再考虑在点处哪个偏导数不为则可确定相应的隐函数. z z 详解令 Fz z l e 则 F e z z F z z F z l e 且 F F F z. 由此可确定相应的隐函数 z 和 z. 故应选 D. 评注隐函数存在定理是首次直接考查有部分考生感到较生疏. 实际上本题也可从隐函数求偏导公式着手分析 : 若偏导表达式有意义相应偏导数也就存在. 定理公式见数学复习指南理工类 P.7 设 λ λ 是矩阵 A 的两个不同的特征值对应的特征向量分别为则 A 线性无关的充分必要条件是 A λ. B λ. C λ. D λ. [ B ] 分析讨论一组抽象向量的线性无关性可用定义或转化为求其秩即可. 详解方法一 : 令 k k A 则 k k λ k λ k k λ k λ. 由于线性无关于是有 k k λ k λ. 6

7 若当 λ 时显然有 k k 此时 A 线性无关 ; 反过来 A 线性无关则必然有故应选 B. λ 否则与 A λ 方法二 : 由于 [ A ] [ λ λ ] [ ] λ 可见 λ A 线性无关的充要条件是 λ. λ λ 线性相关故应选 B. 评注本题综合考查了特征值特征向量和线性相关与线性无关的概念. 完全类似例题见数学复习指南理工类 P.47 例.7 设 A 为阶可逆矩阵交换 A 的第行与第行得矩阵 B A B 分别为 AB 的伴随矩阵则 A 交换 A 的第列与第列得 C 交换 A 的第列与第列得 B. B 交换 A 的第行与第行得 B. D 交换 A 的第行与第行得 B. B. [ C ] 分析本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可. 详解由题设存在初等矩阵 E 交换阶单位矩阵的第行与第行所得使得 E A B 于是 B E A A E A E E A E 即 A E B 可见应选 C. 评注注意伴随矩阵的运算性质 : AA A A A E 当 A 可逆时 A A A A AB B. 完全类似例题及性质见数学复习指南理工类 P.8 例.4 例.9 设二维随机变量 Y 的概率分布为 Y.4 b. 已知随机事件 { } 与 { Y } 相互独立则 A. b. B.4 b. 7

8 C. b. D. b.4 [ B ] 分析首先所有概率求和为可得 b.5 其次利用事件的独立性又可得一等式由此可确定 b 的取值. 详解由题设知 b.5 又事件 { } 与 { Y } 相互独立于是有 P { Y } P{ } P{ Y } 即.4 b 由此可解得.4 b. 故应选 B. 评注本题考查二维随机变量分布律的性质和独立随机事件的概念均为大纲要求的基本内容. 完全类似例题见数学复习指南理工类 P.58 习题二.9 4 设 L 为来自总体 N 的简单随机样本为样本均值 S 为样本方差则 A ~ N B S ~ χ. C ~ t S D ~ F. [ D ] 分析利用正态总体抽样分布的性质和 χ 分布 t 分布及 F 分布的定义进行讨论即可. 详解由正态总体抽样分布的性质知 ~ N 可排除 A; S 又 ~ t 可排除 C; 而 S ~ χ 不能 S S 断定 B 是正确选项. 因为 ~ χ ~ χ 且 ~ χ 与 ~ χ 相互独立于是 ~ F. 故应选 D. μ 评注正态总体 ~ N μ σ 的三个抽样分布 : ~ N σ 8

9 S μ S ~ t ~ χ 是常考知识点应当牢记. σ 完全类似例题见数学复习指南理工类 P.575 习题五. 三解答题本题共 9 小题满分 94 分. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 5 本题满分分设 D { } [ ] 表示不超过的最大整数. 计算二重积分 [ D ] dd. 分析首先应设法去掉取整函数符号为此将积分区域分为两部分即可. 详解令 D { < } 则 [ ] dd D D { }. π dd D D dd d r dr sθ cosθ θ sθ cosθdθ r dr 评注对于二重积分或三重积分的计算问题当被积函数为分段函数时应利用积分的可加性分区域积分. 而实际考题中被积函数经常为隐含的分段函数如取绝对值函数 f 取极值函数 m{ f g } 以及取整函数 [ f ] 等等. 完全类似例题见数学复习指南理工类 P.95 例.8~9 π 6 本题满分分求幂级数的收敛区间与和函数 f. 分析先求收敛半径进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到. 详解因为 lm 所以当 < 时原级数绝对收敛当 > 时原级数发散因此原级数的收敛半径为收敛区间为 - 记则 S S 9

10 S. 由于 S S 所以 S S t dt dt rct t S S t dt tdt 又 rct rct l. 从而 f S rct l. 评注本题求收敛区间是基本题型应注意收敛区间一般只开区间. 而幂级数求和尽量将其转化为形如或幂级数再通过逐项求导或逐项积分求出其和函数. 完全类似例题见数学复习指南理工类 P.5 例本题满分分如图曲线 C 的方程为 f 点是它的一个拐点直线与 l 分别是曲线 C 在 l 点与处的切线其交点为 4. 设函数 f 具有三阶连续导数计算定积分 f d. 分析题设图形相当于已知 f 在的函数值与导数值在处的函数值及一阶二阶导数值. 详解由题设图形知 f f ; f f f. 由分部积分知 f d df f f d df f f d 6 [ f f ]. 评注本题 f 在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出题型比较新颖

11 综合考查了导数的几何意义和定积分的计算. 另外值得注意的是当被积函数含有抽象函数的导数时一般优先考虑用分部积分. 完全类似例题见数学复习指南理工类 P.8 例本题满分分已知函数 f 在 [] 上连续在内可导且 ff. 证明 : I 存在 ξ 使得 f ξ ξ ; II 存在两个不同的点 η ζ 使得 f η f ζ. 分析第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理 ; 第二部分为双介值问题可考虑用拉格朗日中值定理但应注意利用第一部分已得结论. 详解 I 令 F f 则 F 在 [] 上连续且 F-< F> 于是由介值定理知存在存在 ξ 使得 F ξ 即 f ξ ξ. II 在 [ ξ ] 和 [ξ ] 上对 f 分别应用拉格朗日中值定理知存在两个不同的点 η ξ ζ ξ 使得 f ξ f f η ξ f ζ f f ξ ξ f ξ f ξ ξ ξ 于是 f η f ζ. ξ ξ ξ 评注中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式. 完全类似例题见数学复习指南理工类 P.8 例 5.4 P.5 例 5.5 ξ 9 本题满分分设函数 ϕ 具有连续导数在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上曲线积分 ϕ d d 的值恒为同一常数. L 4 ϕ d d I 证明 : 对右半平面 > 内的任意分段光滑简单闭曲线 C 有 ; C 4 II 求函数 ϕ 的表达式. 分析证明 I 的关键是如何将封闭曲线 C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系这可利用曲线积分的可加性将 C 进行分解讨论 ; 而 II 中求 ϕ 的表达式显然应用积分与路径无关即可.

12 详解 I Y l o l C 如图将 C 分解为 : C l l 另作一条曲线 l 围绕原点且与 C 相接则 l C ϕ d d 4 ϕ d d l l 4 l l ϕ d d 4. ϕ II 设 P Q 4 4 PQ 在单连通区域 > 内具有一阶连续偏导数 ϕ d d 由 Ⅰ 知曲线积分在该区域内与路径无关故当 > 时总有 L 4 Q P. 4 5 Q P ϕ 4 ϕ ϕ ϕ 4 ϕ 比较两式的右端得 ϕ ϕ ϕ. 4 由得 ϕ c 将 ϕ 代入 4 得 5 4c 5 所以 c 从而 ϕ. 评注本题难度较大关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形. 第二部分完全类似例题见数学复习指南理工类 P.4 例.8 本题满分 9 分已知二次型 f 的秩为. I 求的值 ; II 求正交变换 Q 把 f 化成标准形 ;

13 III 求方程的解. f 分析 I 根据二次型的秩为可知对应矩阵的行列式为从而可求的值 ;II 是常规问题先求出特征值特征向量再正交化单位化即可找到所需正交变换 ; III 利用第二步的结果通过标准形求解即可. 详解 I 二次型对应矩阵为 A 由二次型的秩为知 A 得. II 这里可求出其特征值为 A λ λ λ. 解得特征向量为 : A E 解得特征向量为 : A E. 由于已经正交直接将单位化得 : η η η 令 [ ] Q 即为所求的正交变换矩阵由 Q 可化原二次型为标准形 : f. III 由得 f k k 为任意常数. 从而所求解为 :Q[ ] 其中 c 为任意常数. c c k k η η η η 评注本题综合考查了特征值特征向量化二次型为标准型以及方程组求解等多个知识点特别是第三部分比较新颖. 但仔细分析可以看出每一部分均是大纲中规定的基

14 本内容. 完全类似例题见数学复习指南理工类 P.468 例 6. P.47 例 6.9 本题满分 9 分已知阶矩阵 A 的第一行是 b c b c 不全为零矩阵 B k 为常数 k 且 ABO 求线性方程组 A 的通解. 分析 ABO 相当于告之 B 的每一列均为 A 的解关键问题是 A 的基础解系所含解向量的个数为多少而这又转化为确定系数矩阵 A 的秩. 详解由 ABO 知 B 的每一列均为 A 的解且 r A r B. 若 k 9 则 rb 于是 ra 显然 ra 故 ra. 可见此时 A 的基础解系所含解向量的个数为 -ra 矩阵 B 的第一第三列线性无关可作为其基础解系故 A 的通解为 : k k 6 k k 为任意常数. k 若 k9 则 rb 从而 r A. 若 ra 则 A 的通解为 : k k 为任意常数. 若 ra 则 A 的同解方程组为 : b c 不妨设则其通解为 b c k k k k 为任意常数. 评注 ABO 这类已知条件是反复出现的应该明确其引申含义 :B 的每一列均为 A 的解 ; r A r B. 本题涉及到对参数 k 及矩阵 A 的秩的讨论这是考查综合思维能力的一种重要表现形式今后类似问题将会越来越多. 完全类似例题见数学复习指南理工类 P.48 例 4. P.89 例.6 本题满分 9 分设二维随机变量 Y 的概率密度为 < < < < f 其他. 4

15 求 :I Y 的边缘概率密度 f f ; Y II Z Y 的概率密度 z. f Z 分析求边缘概率密度直接用公式即可 ; 而求二维随机变量函数的概率密度一般用分布函数法即先用定义求出分布函数再求导得到相应的概率密度. 详解 I 关于的边缘概率密度 f f d < < 其他. 关于 Y 的边缘概率密度 d < < 其他. f Y f d d < < 其他. < < 其他. II 令 z P{ Z z} P{ Y z} F Z 当 z < 时 F Z z P{ Y z} ; 当 z < 时 z P{ Y z} F Z z z ; 4 当 z 时 z P{ Y z}. F Z z < 即分布函数为 : F Z z z z z < 4 z. z < z < 故所求的概率密度为 : f Z z 其他. 评注本题属基本题型只需注意计算的准确性应该可以顺利求解. 第二步求随机变量函数分布一般都是通过定义用分布函数法讨论. 完全类似例题见数学复习指南理工类 P.59 例.8~9 P.55 例.45 本题满分 9 分设 L 为来自总体 N 的简单随机样本为样本均值记 > 5

16 Y L. Y 求 :I Y 的方差 DY L ; II Y 与 Y 的协方差 Cov Y Y. 分析先将表示为相互独立的随机变量求和再用方差的性质进行计算即可 ; 求与 Y 的协方差 Cov Y Y 本质上还是数学期望的计算同样应注意利用数学期望的运算性质. Y 详解由题设知 L > 相互独立且 E D L E. I DY D D[ j ] D j D j j. II Cov Y Y E[ Y EY Y EY ] E Y Y E[ ] E E E E E[ j ] D E j. 评注通过定义求随机变量的数字特征是基本要求也是到目前为止考查最多的情形但读者还应注意利用数字特征的运算性质进行分析讨论同样是求解数字特征的一个重要途径. 本题为文登学校辅导班上讲授过的原题原题求相关系数刚好是本题的两部分请参见数理统计部分笔记. 6

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Microsoft Word - 新建 Microsoft Word 文档.doc 梦飞翔考研工作室友情提供 QQ:8659 5 年全国硕士研究生入学统一考试理工数学一试题详解及评析一填空题本题共 6 小题每小题 4 分满分 4 分. 把答案填在题中横线上曲线的斜渐近线方程为. 微分方程 l 满足的解为.. 9 z 设函数 z 单位向量 ρ { } 则 6 8.. 4 设 Ω 是由锥面 z 与半球面 z R 围成的空间区域 Σ 是 Ω 的整个边界的外侧则 Σ ddz