三判断题 ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ;. 四计算题 : 解 : 函数的定义域 (-,+) y ( )( ) ( y ) 令 y 得 =, = -

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麇泱卫
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1 微分中值定理与导数的应用答案一选择题 :.B;.C;.B;.D; 5.C; 6.A; 7.C; 8.B; 9.B;.C;.C;.D;.C;.D; 5.C; 6.B; 7.D; 8.D; 9.B;.D;.D;.C; 5.B; 6.C; 9.C;.B;.C;.B;.D; 6.D; 7.D; 8.B; 9.B;.C;.D;.B; 7.B; 8.D;.C; 5.C;.B;.C. 二填空题 ; (, ) ; ; (, ) ; m m 5 ( ) ; 6 (, e ) ;!! (m)! 7 f ( ) ; 8 ; 9 ; ; 6 9 (, ); (, ) ; a, b ; [,] ; 5 ln ; 6,, ; 7 ; 8, 9 ; 9,; ; ; ; 5 6; ; ln 5 -; 6 6 ; 7 (, ); 8, ; 9 (, ln) ; ; [,]. 9

2 三判断题 ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ;. 四计算题 : 解 : 函数的定义域 (-,+) y ( )( ) ( y ) 令 y 得 =, = - ( ) ( ) y ( ) = 是极大值点, y ( ) = - 是极小值点极大值 y( ), 极小值 y( ) 令 y 得 =, =, 5 = - y (-,- ) (-,) (, ) (,+) 故拐点 (-,- ),(,)(, ) 解 :y = -6-9=(+)(-) 令 y = 得驻点 :=-,= y =6-6 令 y = 得点 :=, (-,- ) - (-,) (,) (,+) y y

3 y 单增, 凸单减, 凸单减, 凹单增, 凹 (-,-) y > 函数单增, (-,)y < 函数单减, (,+ )y > 函数单增 (-,) y < 函数上凸, (,+ )y > 函数上凹极大值 y(-)= 6 极小值 y()=-6 解: F( ) f ( t) dt, F ( ) 在 [,] 上连续, F(), F() f ( ) d, 所以 F ( ) 在 (,) 内有一个零点又 F( ) f ( ), F ( ) 在 [,] 上是单调递增的, 所以 F ( ) 在 (,) 内有唯一零点, 即 f ( t) dt 在 (,) 内有唯一实根解 : 原式 ln 5 解: 原式 ln 6 解 : 原式 ln ln ln cos sin ln 7 解: 令 y, 则 ln y ln 原式 e 8 解: 令 arctg t 故原式 t t ln, 则 ctgt ctgt

4 令 y t ln ctgt ln t, 则 ln y ln ctgt ln y t t t csc t ctgt sin t cost t t sin t t t t 原式 e cost 9 解: y 6 9 当时, y, 当时, y 当时, y 故 y 在解: y e, 及,单增, 在, e 令 y 得 ln 当 ln 时, y, 从而 y 单减当 ln 时, y, 从而 y 单增故 ln 时, y 取极小值 ln ln 解: y 令 y, 得或 e 故可疑极值点, e,, 单减 e e e, y - + -

5 y 极小值极大值 e 解: y acos cos 由于 y 在处有极值, 则 y, 从而 a 当时, y, 从而 y 单增当时, y, 从而 y 单减故 y 在处取得极大值解: 设矩形在第一象限的顶点坐标为, y, 则 a cos y bsin 故矩形面积为 S y absin cos absin 当时, S 取最大值 ab, 矩形边长分别为 a 和 y a 解: y a b c, 因 a, 则 y 是开口向上的抛物线要使 y 没有极值, 则必须使 y 在, 是单增或单减即必须满足 y 或 y b 时, 才能使 y 成立故只有 ac 即 b ac 时, y 没有极值 5 解: y k, y k 令 y, 得或 - 则拐点为,k及,k. 在拐点,k处切线斜率为 y 8k 从而在拐点,k 处法线斜率为, 这样法线方程为 8k

6 y k, 因法线过原点, 所以 k 8k. 在拐点,k 处切线斜率为 y 8k 8, 这样法线方程为 y k, 因法线过原点, 所以 k 8k 8 故 k 8 时, 曲线的拐点处的法线通过原点 6 解: 令 y, 则 ln y ln ln ln 原式 e 7 解 : 原式 e sin e cos cos e e sin cos e sin sin sin e e sin sin cose sin cos e cos sin cos 8 解: 令 F arctg, 则 F 在, n n 上连续, 在, 可导, 故 n n arctg arctg 由拉格朗日定理知, 存在一点, 使 f n n n n 当 n 时, 则故原式 f 9 证: f a b a b 故 b a 时, 当 a b f 有解 a b 时, f, 从而 f 单增

7 a 时, f, 则 f 当 b a b 时, f, 则 f 当 a b 单增单减故 f 在 a b 处取得极大值解: 设, f 在 a b 处取得极小值 M 是抛物线上任一点, 则,b 到 M 的距离为解 : 令 d 从而 d b b 8 令 d, 得或 b 8. 当 b 时, 只有一个驻点当时, d, 从而 d 单减当时, d, 从而 d 单增 b 故是 d 的极小值点, 极小值为 b. 当 b 时, 有三个驻点, b, b 当 b 时, d, 从而 d 单减当 b 时, d, 从而 d 单增当 b 时, d, 从而 d 单减当 b 时, d, 从而 d 单增故 b 是极小点, 极小值为 b y, 则 ln y ln, 从而 y ln y ln

8 ln ln sin 故原式 sin 解: 令 y, 则 ln y ln y 6 ln 故原式解:. 当 y e e ln ln e e ln e 时, f e, 从而 f e f 得令时, f, 则 f 当时, f, 则 f 当故是 f. 当单增单减的极大值点, 极大值为 e 时, f e, 从而 f e 说明 f 单增, 故是极小值点, 极小值为. 当时, f e, 从而 f e 说明 f 单减, 故是极大值点, 极大值为

9 解: 因曲线上 y, 处的曲率为 k y y, 由题意 y y y 因曲线向上凸, 则 y, 故 y y 令 y u, 则 y u, 从而 u u 解之, u tgc 从而 y tgc 因曲线在点, 处的切线为 y, 其斜率为则 y, 即 tg c 故 y tg c yln cos a 因, 在曲线上, 则 ln cos a 即 a 故 y ln cos ln cos 令 y 得 : k, k, k,,,,, 当 k k, 及 k k 时, y 5 当 k k, 及 k k 时, y 由于 y 的定义域 k, k 故 y 在 k 及 5 k 处取得极大值 5 解: F( ) ( ),,

10 F(), F() t( t ) dt, 6 5 F( ) t( t ) dt, F() t( t ) dt 6 5 最大值为, 最小值为 6 6 解 : arccos arccos arccos ( csc ) ln cot sin 7 解: cot ln cos sin 8 解 : sin sin sin e e e ( e ) sin cos ln( ) 6 9 解: [ ln( ) ln( )] [ ] ( ) 解 : 解 : arctan ( ) sec ( a) a ln tan( a) tan( a) tan( b) sec ( a) a ln tan( b) sec ( b) b tan( a) sec ( b) b tan( b) b sec ( a) a a sec ( b) b n n a an an n6 解: [ ( )] ln( ) an n 6, a

11 解 : 设圆锥的高为 h, 底面圆半径为 R, 则有比例关系 h r h R r R h hr h r V h r R h ( h r) h r dv dh 令 hr dv dh ( h r) h r ( h r) 唯一驻点 h r hr (h r h) ( h r) 所以, 当 h r 时, 体积最小, 此时 V 6r r r r 8 r 五证明题 : 证明: 令 F ( b ) g ( ) d f ( ) d a b F( a) F( b), 由 Rolle 定理, 存在一点 [ ab, ], 使 F( ), 即 f ( ) g ( ) d g ( ) f ( ) d 证明: 当时, ( ) ln ( ) 证明 : 只需证明 ( ) ln 令 a f ( ) ( )ln f ( ) ln, f( ) 在 [, ) 单调递增 f (), 当时, f( ) 即 ( ) ln ( ) 证明 : f( ) 在 [ a, ] 对 f( ) 应用拉格朗日定理 f ( ) f ( a) f ( )( a) ( a ) f ( a) f ( )( a ), f ( a) K( a) 在 [, b ] 对 f( ) 应用拉格朗日定理

12 证明 : f ( ) 在 [, ] 上连续, 在 (, ) 可导 5 证 :() 令 F()=f()-, 则 f 在 [,] 连续, 在 (,) 可导, F(/)=f(/)-/> F()=f()-=-<, 在 (/,) 内至少有一点, 使 F( )=, 即 f ()=. () 证 : 6 证 : 设 c 是 f 的最小值点, 因为 f 在, c c, f, f c 故 f 在 c 处的泰展式为 f ( b) f ( ) f ( )( b ) ( b) f ( b) f ( )( b ), f ( b) K( b ) 即 f () 在 [, ] 上满足拉格朗日中值定理的条件又 f '( ) 令 f '( ) f () f () 得到 (, ) 内有解即存在, 使 f '( ) 6 f () f () 这就验证了拉格朗日中值定理对函数 f ( ) 令 G( ) e e 即 f 于是 F( ), G( ), G(), 使得 G. F( ) e F ( ) f f f 得出 F 在 [, ] 上的正确性 f f c f c c f c, 在 c 与之间即 f f c. 若 c, 则 f f c 即 f 8 c. 若 c, 则 f f c =F( ) 上具有二阶导数, 由题设知

13 即 f g c 故存在一点,, 使 8 7 证: 由泰勒展式 a a, b 8 证: 当 8, 有 f f f a f a, a f fb f b, b a b 令, 得 ab f f a b f f ba a f b a b f 8 于是 f b f a b a f f 令 f maf f f 故结论成立, 则 8, b fa ba f f 时, F 由于 F 故 F f f F F ba f 连续 F f f f f f f f f f f 因为 F f f f f

14 F 在所以处连续, 故 F 在令 g f f, 则 g f 当, 上连续时, g, g 单增, 从而 g g 时, g, g 单减, 从而 g g 当故时, g, 从而 F 因为 f, 则 F, 从而, 有 F, 故 F 是单调增函数 9 证明: 由题设知 F 在,上满足洛尔定理条件, 则至少存在一点, f a 使得 a, 因为 F f f, 则由题设知 F 在,a上连续, 在,a 可导, 且 F f, 故 F 在,a F., 使内上满足洛尔定理条件, 则至少存在一点证: f 在 a, c 及 c, b上都满足拉格朗日定理条件, 则存在 a,c c,b, 使得 f f c f a f c f c a f b f b c c a f c b c c 因为 f c, 则 f, f, 因 f 在 a, b内二阶可导, 则 f 在, 上满足拉格朗日定理条件, 故至少存在一点,, 使 f f f 证 : 令 F f, 因为 F 在, 上连续, 且 f F f, 则由零点存在定理在, F f, 即 f F, 内至少存在一点, 使

15 下证唯一性设在, 内存在两个点与, 且, 使 f, 在上运用拉格朗日中值定理, 则有,, f f f 这与题设 f 矛盾, 故只有一个使证: y sin cos, y cos sin f cosa asin a 设 a, b是 y sin 的拐点, 则 b asin a f,, 使得 a ctga 即 b cosa a a ctga ctga cos a b y sin 的拐点在曲线 y 上证: y, y 令 y 得 :,, y, y 5, y 5 故三个拐点, A, B, 5, C, 5 容易验证 : A B C 在同一直线上证明: 令 F e, 则 F e 5 证明 : 时, F, 从而 F 在, 当因为 F, 故 F e, 即单增

16 : 令 f ln, 则 f 因, 则 f, 从而 f 在, 故 f f, 即 ln : 令 g ln, 则 g 当时, g, 从而 g 在, 故 g g, 即 ln 由知, ln 单减单减 6 解: F( ) f ( ), F ( ) 在 [,] 上可导由 f () f ( ) d, 存在 c[, ], 使得 f () cf ( c), 即 f () cf ( c) 由 Roll 定理, 存在 f ( ) ( c,) (,), 使得 F( ), 即 f ( ) 7 证明 : 设 f ( ) e ( ) ( ), f ( ) e ( ), f ( ) e,, f ( ), 因此 f () 在 (,+) 内递减在 (,+) 内, f ( ) f (), f ( ) 在 (,+) 内递减, 在 (,+) 内, f ( ) f (), 即 e ( ) ( ) 亦即当 > 时, e ( ) b f ( h) a f ( a) 8 要证 [ f ( ) f ( )] b a 证 : 令 F( ) f ( ), 则 F () 在 [ a, b] 上满足拉氏定理的条件 F( b) F( a) ( a, b), 使 F( ) b a

17 b f ( h) a f ( a) 即 f ( ) f ( ) b a b a 即 [ f ( ) f ( )] b a f ( a) f ( b) 9 证: 令 f ( ) tan sin 在 (, ) 时 f ( ) sec cos cos cos cos f ( ), f () 在 [, ) 上单调增 (, ) f ( ) f () 即 tan sin cos cos cos 证: 由题设可知 F ( ), F'( ), F"( ), F"'( ) 在 [,] 上存在, 又 F( ) F(), 由罗尔定理, (, ) 使 F '( ), 又 F () [ f ( ) f '( )] ', 可知 F '( ) 在, ] 上满足罗尔定理, 于是, ), 使 F "( ) [ (, 又 F () [6f ( ) 6 f '( ) f "( )], 对 F ' ' ( ) 在, ] 上再次利用罗尔定 " 理, 故有, ) (, ) (, ), 使得 F "'( ) ( [

8. e f ( e ) d = f ( t) dt, 则 ( ) b A) =, b = B) =, b = e C) =, b = D) =, b = e 9. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D). ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D). 若 f ( )

8. e f ( e ) d = f ( t) dt, 则 ( ) b A) =, b = B) =, b = e C) =, b = D) =, b = e 9. ( sin ) d = ( ) A) B) C) D). ln( + + ) d = ( ) A) B) C) D). 若 f ( ) 高等数学试题考试日期 :4 年 7 月 4 日星期三考试时间 : 分钟一. 选择题. 当时, y = ln( + ) 与下列那个函数不是等价的 ( ) A) y = B) y = sin C) y = cos D) y = e. 函数 f() 在点极限存在是函数在该点连续的 ( ) A) 必要条件 B) 充分条件 C) 充要条件 D) 无关条件. 下列各组函数中, f () 和 () f

三 判断题 ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ;. 四 计算题 : 解 : 函数的定义域 (-,+) y ( )( ) ( y ) 令 y 得 =, = -

三判断题 ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ; ; ; ; ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ;. 四计算题 : 解 : 函数的定义域 (-,+) y ( )( ) ( y ) 令 y 得 =, = -