一、

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1 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :67 网管电话 : 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 试题详解与评析 水木艾迪考研命题研究中心 一 选择题 本题共 小题 每小题 分 满分 分 在每小题给的四个选项中 只有一项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后括号内 ) ) 当 时 与 等价的无穷小量是 ) A) B) ln ) C) D) cos 解 答案 B 考点 : 等价无穷小量的广义化运用 水木艾迪辅导的星级考点 参见水木艾迪考研数学 6 计例 --- ) 函数 f ) tn ) 在 [ ] 上的第一类间断点是 ) ) A) B) C) D) 解 答案 A 相同题目参见 7 水木艾迪考研数学模拟试题一套 6 题 以及水木艾迪考 研数学 6 计例 -7 基础班例 - 等题目 ) 如图 连续函数 f ) 在区间 [ ] [] 上的图像分别是直径为 的上 下半 圆周 在区间 [] [] 上的图形分别是直径为 的上 下半圆周 设 F ) f t) dt 则下列结论正确的是 : ) A) F ) F ) B) F ) F) C) F ) F) D) F ) F ) 解 答案 C 利用积分的几何意义 并注意代数面积的概念 水木艾迪辅导的星级考点 ) ) 设函数 f ) 在 处连续 下列命题错误的是 : ) f ) f ) f ) A) 若 lim 存在 则 f ) B) 若 lim 则 f ) f ) f ) f ) C) 若 lim 存在 则 f ) 存在 D) 若 lim 存在 则 f ) 存在 解 答案 D 考点: 点连续概念 导数定义 无穷小量比阶概念与极限运算法则 D) 的 成立不一定保证导致可导的两个极限存在 ) 曲线 ln ) 渐近线的条数为 ) A) B) C) D) 解 答案 D 垂直渐近线 水平渐近线 ) 斜渐近线 ) 水木艾迪考试培训网 : 清华大学东门外创业大厦 6

2 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :67 网管电话 : 特别提示 : 渐近线的实质是极限问题 应从单侧极限入手考察单侧渐近线的存在性 参见水木艾迪考研数学 6 计例 - 基础班讲义例 - 强化班第 讲例 6) 设函数 f ) 在 ) 上具有二阶导数 且 f ) > 令 f n) Ln 则 下列结论正确的是 : ) A) 若 > 则 { } 必收敛 B) 若 则 n C) 若 < 则 { } 必收敛 D) 若 n n > { } < 则 { } n n 必发散 必发散 解 答案 D 画出草图 结论显见 下面证明 D: < 则 > c > 其中 c 是某个确定的正数 于是存在 ξ ) 使得 f ) f ) f ξ ) > c > 对任意 ξ ) 由 f ) > f ) 单调增加 得到 f ) > f ξ ) > c > 于 是又存在 ξ ξ ) 使得 f ) f ξ ) f ξ ) ξ) ) 考点 : 用 Lgrng 定理分析函数性质是水木艾迪考研数学强调的星级考点 参见水木艾迪考研数学 6 计例 - 基础班讲义例 - 例 - 强化班第 讲例 8 7) 二元函数 f 在点 ) 处可微的一个充分条件是 ) A) lim ) [ f f )] f ) f ) f f ) B) lim 且 lim f f ) C) lim ) D) lim[ f ) f )] 且 lim[ f f )] 解 答案 :C) 解释 : A) 是函数连续的定义 ; B) 是函数在 ) 点两个偏导数为 的定义 ; D) 反例 : f 8) 设函数 f 连续 则二次计分 sin d f d 等于 ) d rcsin d A) f d B) rcsin f d 水木艾迪考试培训网 : 6 清华大学东门外创业大厦 6

3 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :67 网管电话 : C) rcsin d f d D) d rcsin f d 解 答案:B 二次积分交换积分次序的过程: 二次积分 确定区域 二重积分 二次积分 d f d d sin rcsin f d rcsin 9) 设向量组 线性无关 则下列向量组线性相关的是 ) A) B) C) D) 解 答案 A 因为 ) ) ) 所以 线性相关 考点 : 线性相关与线性无关的概念 参考 : 水木艾迪强化班向量例 7 ) 设矩阵 A B 则 A 与 B ) A) 合同 且相似 C) 不合同 但相似 B) 合同 但不相似 D) 既不合同 也不相似 解 答案 B 因为 A 的特征值为 所以 A 和 B 不相似 又 A 和 B 的秩都为 且正 惯性指数也都为 所以 A 和 B 合同 考点 : 矩阵的相似与合同概念 相似矩阵的性质 合同矩阵的性质 惯性定理等 参考 : 水木艾迪基础班二次型例 例 强化班二次型例 冲刺班特征值例 6 计之 例 - 二 填空题 :-6 小题 每小题 分 共 分 请将答案写在答题纸指定位置上 rctn sin ) lim 解 rctn o ) sin o ) 6 rctn sin rctn sin o ) 因此 lim 6 6 提示 : 利用泰勒公式求极限是重要方法 同时应注意掌握高阶无穷小量记号 o ) o )) 的使用与运算规则 是水木艾迪考研数学强调的星级考点 有关处理方法及相同 或 水木艾迪考试培训网 : 7 清华大学东门外创业大厦 6

4 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :67 网管电话 : 例题相同例题参见水木艾迪考研数学 6 计之 计说明与例题 本题可用罗必达法则 但不如上述方法简单 cost cos t ) 曲线 上对应于 t 的点处的法线斜率 sin t 解 t) sin t sin t cos t ) t) cos t ) ) 对应于 t 的点处的法线斜率为 考点 : 参数方程表达的函数求导数 这是水木艾迪考研数学强调的星级考点之一 有关处理方法及相同例题参见水木艾迪考研数学 6 计之 计的说明 以及水木艾迪考研数学模拟试题二套数四 题等例题 ) 设函数 n) 则 ) n n ) n) ) n! 解 n ) ) ) n! n n n) ) n 考点 : 对特定结构的函数求高阶导数 这是水木艾迪考研数学强调的星级考点之一 有关处理方法及相同例题参见水木艾迪考研数学 6 计之 计的说明与例题 ) 二阶常系数非齐次线性微分方程 的通解为 解 齐次解为 C C 设特解为 A 由待定系数法得到 A 8A A A 答案 : C C 考点 : 常规的二阶常系数非齐次线性微分方程解法 非齐次项为 P ) 型 ) 的求解 ) 这是 水木艾迪考研数学强调的星级考点之一 有关处理方法及相同例题参见强化班第 8 讲例 等题目 水木艾迪考研数学 6 计之 计的说明与例题 z z ) 设 f v) 是二元可微函数 z f ) 则 n 解 答案: f f v f f v z z f fv f fv z z f f v f f v 水木艾迪考试培训网 : 8 清华大学东门外创业大厦 6

5 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :67 网管电话 : f f v 考点 : 具有抽象函数记号的多元复合函数的偏导数计算 这是一道很单纯的题目 参见水木艾迪基础班第 讲 9 题 6) 设矩阵 A 则 A 的秩为 解 A 所以 r A ) 考点 : 矩阵的运算和矩阵的秩 三 解答题 :7- 小题 共 86 分 请将解答写在答题纸指定位置上 解答应写出文字说 明 证明过程或演算步骤 7) 本题满分 分 ) 设 f ) 是区间 [ ] 上的单调 可导函数 且满足 f ) cos t sin t f t) dt t dt 其中 f 是 f 的反函数 求 f ) sin t cost f ) cos t sin t 解 由 f t) dt t dt 两边对 求导数得到 sin t cost cos sin cos sin f ) f ) ) sin cos sin cos cos sin 积分得到 f ) d ln sin cos C sin cos f ) 由已知等式可得到 f t) dt 因为 f ) 是区间 [ ] 上的单调 可导函数 f t) 的值域为 [ ] 单调非负 因此必有 f ) lim f ) limln sin cos C) f ) 因此 C 于是 f ) ln sin cos 本题考点 : 函数概念 特别是函数与其反函数的定义与值域有完全的对偶性 是水木艾迪考研数学强调的星级考点 变限积分性质与简单微分方程求解 变限积分处理方法则是水木艾迪考研数学 6 计之一计 相同例题参见水木艾迪 7 模拟试题一套数四 与 7 题 7 模拟试题二套数二 8 题 以及数三 题 8) 本题满分 ) 设 D 是位于曲线 > ) 下方 轴上方的 无界区域 Ⅰ) 求区域 D 绕 轴旋转一周所成旋转体的体积 V ) ; 水木艾迪考试培训网 : 9 清华大学东门外创业大厦 6

6 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :67 网管电话 : Ⅱ) 当 为何值时 V ) 最小? 并求此最小值 解 Ⅰ) V ) d ln ln d ln ln ln d ln ln ln ln d ln ln ln ln Ⅱ) V ) 号 且为先正后负 所以 V ) 令 V ) 得唯一驻点 V ) 在 两侧变 ln ln 为最小值 本题考点 : 广义积分及其几何 函数最大最小值问题 水木艾迪考研数学 6 计之一计 相 同例题参见水木艾迪 7 模拟试题基础班数四 8 题 9) 本题满分 分 ) 求微分方程 ) 满足初始条件 ) ) 的特解 解 设 p ) ) p ) ) p p 化为 ) ) p) ) p 方法 ) 将上述方程视为关于 p) 的一阶线性方程 d dp p p) p 一般解为 p p dp C) Cp p 由 p ) 得到 C p p ) 特解为 ) p p ) p 方法 ) 对 采用凑微分方法得到 p) pd dp p) p dp 化为 pd dp p p) dp 则有 d ) dp p 解得 p) p p p 水木艾迪考试培训网 : 清华大学东门外创业大厦 6

7 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :67 网管电话 : 以下解法同 方法 ) 考点 : 可降阶类型方程及一阶线性方程解法 类似例题参见水木艾迪考研数学 6 计之十一 计 参见水木艾迪 7 模拟试题基础班数四 8 题 ) 本题满分 ) 已知函数 f ) 具有二阶导数 且 f ) 函数 ) 由方程 所确定 设 z f ln sin ) 求 dz d d z d ) 解 方法一 ) ) 首先 时 方程两边对 求导 d d d d d d d d d d d d ) ) d ) d d d dz d dz d f ln sin ) cos f ) d d cos d z d f ln sin ) d d cos f ln sin ) d d d sin d 方法二 ) 令 得到 ) 其余同 方法一 ) 本题考点 : 隐函数与复合函数求导 也为常见题型 可参见水木艾迪考研数学 6 计之 计 相同例题参见水木艾迪强化班第 讲多元微分法例 ) 本题满分 ) 设函数 f ) g ) 在 [ ] 上连续 在 内具有二阶导数切存在相 等的最大值 f ) g ) f g 证明 : 存在 ξ 使得 f ξ ) g ξ ) 水木艾迪考试培训网 : 清华大学东门外创业大厦 6

8 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :67 网管电话 : 证 移项造辅助函数 h ) f ) g ) 则 h ) h 合理的思路是: 证 明存在 ) 使得 h ) 再用 Roll 定理两次得到结论 方法一 ) 若 f ) g ) 的最大值在 内同一点取得 则存在 ) 使得 h ) f ) g ) 二阶可导 于是由 Roll 定理 ) 与 ) 使得 h ) 与 h ) 进而 ) ) ξ 使得 h ξ ) f ξ ) g ξ ) 若 f ) g ) 的最大值不在同一点取得 则存在 与 使得 f ) m f ) g ) m g ) [ ] [ ] h ) f ) g ) 且 h ) f ) g ) > < 由连续函数的零点定理 存在介于 之间的 ) 使得 h ) 又 h ) h f ) g ) 二阶可导 于是由 Roll 定理 ξ ) ξ 使得 h ξ ) h ξ ) 于是 ξ ξ ξ ) ) 使得 h ξ ) 即 f ξ ) g ξ ) 综上 ξ 使得 f ξ ) g ξ ) 方法二 ) 用反证法也能证明存在 η 使 h η) 假设不存在 η 使 h η) 则 h ) > ; 或 h ) < 不妨假设 h ) > 设 g ) 在 ) 取到最大值 则应有 f ) > g ) 与已知条件函数 f ) g ) 在 内有相等的最大值矛盾 因此假设不成立 即存在 η 使 h η) 其余步骤同 方法一 ) 这个证法比较简单 值得推广 本题考点 : 连续函数性质 导函数性质及 Roll 定理运用 移项造辅助函数是水木艾迪考研数学 6 计之一计 相同例题参见水木艾迪 7 模拟试题二套数一 9 题 考研数学 6 计例 -7 例 -8 水木艾迪考试培训网 : 清华大学东门外创业大厦 6

9 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :67 网管电话 : ) 本题满分 ) 设二元函数 f 计算二重积 < 分 f dσ 其中 D { } D 解 dd f dd 其中 D 为 D 在第一象限部分 D f D D f dd dd D 其中 D { } f f dd D { } { } D D f dd d d ; D f dd 可用两种方法计算 : 直角坐标积分法 : D f dd d d d d ) ln 或极坐标积分法 : D sinθ cosθ f dd dθ dr sinθ cosθ 因此 dd ln ) D f ) ln 点评 :) 分片定义的函数的积分可以分片计算 ; ) 用极坐标计算会简单一点 ) 正确利用对称性 可简化计算 参见水木艾迪相同例题参见水木艾迪 7 模拟试题一套数二 题 7 模拟试题二 套数二 9 题 数三 8 题 ) 本题满分 ) 设线性方程组 与方程 有公共解 求 的值及所有公共解 水木艾迪考试培训网 : 清华大学东门外创业大厦 6

10 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :67 网管电话 : 解 考虑方程组 ) ) L 若且时 方程组无解 即方程组 和 无公共解 当时 L 齐次线性方程组的基础解系为 : ) 水木艾迪考试培训网 : 清华大学东门外创业大厦 6 k k 和 的所有公共解为 : 为任意常数 ) 当时 L 非齐次线性方程组有唯一解 : ) 和 的所有公共解为 : ) 考点 : 线性方程组有解的判断条件 齐次线性方程组的解的理论与性质 非齐次线性方程组解的理论与性质 用初等变换求方程组的解等 参考 : 水木艾迪基础班线性方程组例 9 强化班线性方程组第 类问题 ) 本题满分 ) 设 阶对称矩阵 A 的特征向量值是 A 的属于 ) λ λ λ λ 的一个特征向量 记 E A A B 其中 E 为 阶单位矩阵 Ⅰ) 验证 是矩阵 B 的特征向量 并求 B 的全部特征值与特征向量 ; Ⅱ) 求矩阵 B 解 Ⅰ) ) E A A B 所以 是 B 的属于特征值的特征向量

11 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :67 网管电话 : 设 是 λ 的特征向量 则 B A A E) 设 是 λ 的特征向量 则 B A A E) ) ) 所以 B 的全部特征值为 设 B 的属于 的特征向量为 ) 则 即 解得 ) 和 ) 所以 B 的属于特征值 的特征向量为 k ) k ) 其中 k k 为不全为 零的常数 属于特征值 的特征向量为 k ) 其中 k 是不为零的常数 Ⅱ) 令 P 则 P BP 其中 P 则 B P P 考点 : 矩阵的特征值与特征向量 实对称矩阵的特征向量的性质 矩阵的相似对角化 求逆矩阵 矩阵的运算等 参考 : 水木艾迪基础班特征值例 强化班特征值第 6 类问题 水木艾迪考试培训网 : 清华大学东门外创业大厦 6