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1 第 章 电 路 分 析 的 网 络 方 程 法 3 畅 1 引 言 用 等 效 变 换 法 和 电 路 定 理 对 电 路 进 行 分 析 是 将 电 路 简 化 为 最 简 形 式, 一 般 是 单 回 路 形 式, 再 求 出 待 求 的 支 路 电 压 或 电 流 这 种 方 法 对 分 析 简 单 电 路, 特 别 是 只 对 某 处 的 响 应 分 析 时, 是 行 之 有 效 的 对 于 复 杂 电 路, 特 别 是 电 路 每 一 处 的 电 流 电 压 均 需 求 解 时, 仅 依 靠 等 效 变 换 法 简 化 是 相 当 复 杂 的, 甚 至 是 繁 琐 的 本 章 介 绍 电 路 分 析 的 网 络 方 程 法, 是 系 统 求 解 电 路 中 各 处 电 流 电 压 的 方 法, 可 以 解 决 等 效 变 换 法 的 不 足 之 处 网 络 方 程 法 是 选 择 各 种 电 流 电 压 为 网 络 变 量, 然 后 依 据 电 路 的 拓 扑 结 构 ( 支 路 节 点 连 接 方 式 ) 所 确 定 的 KCL KVL 方 程 和 各 支 路 的 元 件 特 性 确 定 的 VCR 方 程 建 立 系 统 的 可 以 求 解 网 络 变 量 的 线 性 方 程 组 从 而 求 解 电 路 的 方 法 根 据 选 取 的 网 络 变 量 不 同, 网 络 方 程 法 又 分 为 2b 方 程 法 支 路 电 流 法 节 点 分 析 法 网 孔 分 析 法 和 回 路 分 析 法 等 3 畅 2 知 识 结 构 和 教 学 要 求 1 畅 知 识 结 构 独 立 变 量 基 本 概 念 独 立 的 KCL KVL 电 路 分 析 的 网 络 方 程 法 2b 法 与 支 路 法 节 点 法 基 本 分 析 方 法 网 孔 法 回 路 法 2 畅 教 学 要 求 1 理 解 网 络 变 量 与 支 路 数 b 的 关 系 2 理 解 支 路 数 与 独 立 的 VCR 数 的 关 系 3 理 解 支 路 数 b 节 点 数 n 与 独 立 的 KCL KVL 的 关 系 4 掌 握 独 立 节 点 独 立 回 路 的 概 念 5 了 解 2b 方 程 法 6 理 解 支 路 电 流 法 7 掌 握 节 点 分 析 法 理 解 自 电 导 互 电 导 的 含 义 了 解 节 点 法 遇 到 理 想 电 压 源 的 处 理 方 法 52

2 以 及 节 点 法 遇 到 受 控 源 的 处 理 方 法 8 掌 握 网 孔 分 析 法 理 解 自 电 阻 互 电 阻 的 含 义 了 解 网 孔 法 中 理 想 电 流 源 和 受 控 源 的 处 理 方 法 9 了 解 回 路 分 析 法 3 畅 3 教 学 内 容 3 畅 3 畅 1 2b 方 程 法 对 于 一 个 b 条 支 路 n 个 节 点 的 电 路, 要 解 出 b 条 支 路 的 支 路 电 压 和 支 路 电 流, 就 共 有 2b 个 未 知 量 对 于 每 一 条 支 路 而 言, 可 根 据 该 支 路 的 元 件 性 质 得 到 一 个 支 路 电 压 与 支 路 电 流 之 间 的 VCR 方 程, 这 样 由 VCR 得 到 的 方 程 数 等 于 支 路 数 为 b 个 2b 个 未 知 量 需 要 2b 个 线 性 无 关 的 方 程 来 联 立 求 解, 因 此, 其 余 b 个 方 程 应 由 KCL 和 KVL 得 到 KCL 和 KVL 方 程 与 支 路 的 元 件 性 质 无 关, 因 而 可 利 用 网 络 图 得 到 以 图 3-1( a) 所 示 的 电 路 为 例,n =4, 共 有 4 个 节 点, 对 每 一 个 节 点, 可 列 写 出 KCL 方 程, 分 别 为 I 1 -I 3 -I 4 =0 -I 1 -I 2 +I 5 =0 I 2 +I 3 -I 6 =0 (3-1) I 4 -I 5 +I 6 =0 图 3-1 电 路 的 图 将 以 上 4 个 方 程 相 加, 得 到 一 个 0 =0 的 恒 等 式, 说 明 以 上 4 个 方 程 是 线 性 相 关 的 ( 彼 此 不 独 立 的 ), 可 以 从 其 中 任 意 三 个 导 出 第 4 个 因 此,4 个 方 程 中 只 有 三 个 是 线 性 无 关 ( 彼 此 独 立 ) 的 这 是 因 为 每 一 条 支 路 都 连 接 在 两 个 节 点 之 间, 对 所 有 节 点 列 出 KCL 方 程 后, 每 一 条 支 路 电 流 必 然 在 所 有 的 方 程 中 出 现 两 次, 且 一 次 为 正, 另 一 次 为 负 这 个 结 论 对 n 个 节 点 的 电 路 同 样 适 用, 对 n 个 节 点 的 电 路 所 列 出 的 n 个 KCL 方 程 中, 只 有 (n -1) 个 方 程 彼 此 独 立 图 3-1(a) 所 示 电 路 的 KVL 方 程, 可 以 直 观 地 列 出 53

3 U 1 +U 4 +U 5 =0 -U 2 -U 5 -U 6 =0 U 3 -U 4 +U 6 =0 U 1 -U 2 +U 3 =0 (3-2) U 1 +U 5 +U 3 +U 6 =0 -U 2 +U 3 -U 4 -U 5 =0 U 1 -U 2 +U 4 -U 6 =0 可 注 意 到, 上 述 方 程 并 非 彼 此 独 立, 如 第 1 第 2 第 3 三 式 相 加 可 得 到 第 4 个 方 程 那 么, 究 竟 有 多 少 个 彼 此 独 立 的 KVL 方 程 呢? 电 路 理 论 的 尤 拉 公 式 指 出 : 一 个 b 条 支 路 n 个 节 点 的 电 路, 独 立 的 KVL 方 程 数 等 于 独 立 回 路 数, 而 独 立 回 路 数 l =b -(n -1), 直 观 地 说 独 立 回 路 数 等 于 网 孔 数, 所 谓 网 孔, 是 指 内 部 不 含 支 路 的 回 路 对 图 3-1(a) 所 示 电 路, 怎 样 列 出 彼 此 独 立 且 用 于 求 解 未 知 量 的 KCL 方 程 和 KVL 方 程 呢? 一 种 常 用 的 方 法 是 : 指 定 一 个 节 点 ( 如 第 4 节 点 ) 为 参 考 节 点, 其 余 节 点 均 为 独 立 节 点, 对 每 一 个 独 立 节 点 列 KCL 方 程 这 样 可 得 到 n -1 个 彼 此 独 立 的 KCL 方 程 选 择 网 孔 为 独 立 回 路 且 规 定 顺 时 针 方 向 为 网 孔 的 正 方 向, 来 列 网 孔 的 KVL 方 程, 可 得 到 b -( n -1) 个 彼 此 独 立 的 KVL 方 程 因 而, 按 此 方 法 得 到 独 立 的 KCL KVL 方 程 数 正 好 是 b 个, 图 3-1( a) 所 示 电 路 用 于 联 立 求 解 的 KCL KVL 方 程 为 KCL I 1 -I 3 -I 4 =0 -I 1 -I 2 +I 5 =0 (3-3) KVL I 2 +I 3 -I 6 =0 U 1 +U 5 +U 4 =0 -U 2 -U 5 -U 6 =0 (3-4) U 3 -U 4 +U 6 =0 以 此 方 法 不 仅 可 以 保 证 方 程 之 间 彼 此 独 立, 还 可 以 保 证 把 独 立 方 程 全 部 列 出 用 2b 方 程 法 求 解 图 3-1 ( a) 所 示 的 电 路, 除 上 述 6 个 方 程 外, 还 需 列 出 6 条 支 路 的 VCR 方 程 54

4 U 1 =R 1 I 1 -U S1 U 2 =R 2 I 2 -U S2 U 3 =R 3 I 3 +U S3 (3-5) U 4 =R 4 I 4 U 5 =R 5 I 5 U 6 =R 6 I 6 本 例 b =6, 共 有 6 条 支 路,12 个 未 知 量, 由 KCL KVL VCR 得 到 的 用 于 联 立 求 解 的 方 程 数 恰 好 是 12 个 这 就 是 2b 方 程 法 倡 3 畅 3 畅 2 电 路 的 拓 扑 结 构 电 路 的 拓 扑 结 构 又 称 电 路 的 图, 讨 论 的 是 电 路 的 几 何 结 构 及 其 性 质, 也 即 支 路 与 节 点 的 连 接 关 系 以 此 为 基 础, 便 于 讨 论 电 路 方 程 的 独 立 性 问 题, 便 于 对 各 种 网 络 方 程 法 作 深 入 理 解 1 畅 电 路 的 图 由 KCL KVL 所 表 示 的 电 流 之 间 和 电 压 之 间 的 约 束 关 系 只 取 决 于 电 路 中 节 点 与 节 点 支 路 与 支 路 节 点 与 支 路 之 间 的 相 互 关 系, 而 与 支 路 的 具 体 内 容 或 元 件 特 性 无 关 因 此, 在 讨 论 电 路 的 拓 扑 约 束 关 系 时, 可 以 把 电 路 的 物 理 内 容 抽 去, 用 圆 点 来 表 示 节 点, 用 线 段 来 表 示 支 路, 这 样 就 得 到 了 电 路 的 拓 扑 图, 简 称 为 电 路 的 图 例 如, 图 3-1 ( a) 所 示 的 电 路 模 型 对 应 的 拓 扑 图 为 图 3-1(b) 由 此 可 见, 图 的 定 义 可 以 陈 述 如 下 : 一 个 图 G 是 一 组 支 路 与 一 组 节 点 的 集 合, 每 条 支 路 的 两 端 都 连 到 相 应 的 节 点 电 路 的 支 路 方 向 通 常 由 其 电 流 参 考 方 向 而 定, 若 规 定 电 压 的 参 考 方 向 与 电 流 参 考 方 向 一 致, 则 称 电 流 的 参 考 方 向 为 支 路 方 向 若 在 电 路 所 对 应 的 图 中 亦 赋 予 每 一 条 支 路 一 个 指 定 的 方 向, 此 方 向 与 对 应 的 电 路 中 支 路 电 流 方 向 一 致, 则 得 到 的 是 标 出 支 路 方 向 的 图, 称 为 有 向 图 [ 如 图 3-1(b) 所 示 ] 如 果 在 图 G 的 任 意 两 节 点 间 至 少 存 在 一 条 由 支 路 构 成 的 路 径, 则 图 G 称 为 连 通 图, 本 节 主 要 讨 论 连 通 图 向 图 G 电 路 的 规 模 与 图 的 规 模 一 般 常 用 总 支 路 数 与 总 节 点 数 来 表 示, 称 作 n 个 节 点 b 条 支 路 的 有 2 畅 树 割 集 一 个 n 个 节 点 b 条 支 路 的 连 通 图 G 具 有 若 干 闭 合 回 路, 这 些 闭 合 回 路 保 证 了 电 路 中 电 流 的 存 在 若 能 在 连 通 图 G 中, 找 到 一 个 满 足 下 述 三 点 要 求 的 子 图, 即 : 1 该 子 图 包 含 图 G 的 所 有 节 点 2 不 构 成 任 何 回 路 3 该 子 图 是 连 通 的 55

5 则 这 样 的 子 图 称 为 图 G 的 树 T 树 中 包 含 的 支 路 称 为 该 树 的 树 支, 而 其 他 支 路 则 称 为 对 应 于 该 树 的 连 支 图 3-2( a) ( b) ( c) 均 是 图 3-1( b) 的 树 图 3-2 树 一 个 连 通 图 G 有 许 多 个 树, 如 图 3-1( b) 中 所 示 共 有 16 个 树, 本 节 所 关 心 的 并 不 是 所 有 的 树, 而 是 对 图 G 而 言, 树 支 支 路 有 多 少 条, 连 支 支 路 有 多 少 条 对 于 一 个 连 通 图 G 而 言, 若 图 中 的 节 点 数 为 n, 则 树 支 数 必 为 n -1 论 证 如 下 : 设 有 一 个 n 个 节 点 的 图, 为 了 构 成 一 个 树, 先 用 一 条 支 路 把 两 个 节 点 连 起 来, 之 后, 每 连 接 一 个 新 的 节 点 只 能 用 一 条 支 路 ( 因 为 凡 已 连 有 支 路 的 节 点 间 不 能 再 用 支 路 连 接, 否 则 就 构 成 了 闭 合 回 路, 这 是 违 反 树 的 定 义 的 ), 这 样 把 n 个 节 点 全 部 连 通 所 需 的 支 路 数 恰 好 是 n -1 由 于 树 支 数 和 连 支 数 的 总 和 为 支 路 数 b, 因 此, 连 支 数 为 b -(n -1) 割 集 是 指 连 通 图 G 的 一 个 支 路 集 合 该 集 合 具 有 下 述 特 性 : 若 将 集 合 中 的 全 部 支 路 移 去, 则 图 G 被 分 割 为 两 个 互 不 连 通 的 子 图 ; 同 时, 只 要 此 集 合 中 的 支 路 有 一 条 不 移 去, 则 图 G 仍 然 保 持 连 通 以 图 3-3(a) 所 示 的 图 为 例, 由 b 1 b 2 和 b 3 组 成 的 支 路 集 合 为 一 割 集 因 为 若 将 这 三 条 支 路 全 部 从 图 中 移 去, 则 图 被 分 为 两 个 分 离 子 图, 如 图 3-3( b) 所 示, 而 三 条 支 路 中 只 要 少 移 去 任 一 条, 如 图 3-3(c) 所 示, 则 图 仍 然 是 连 通 的 图 3-3 割 集 3 畅 基 本 割 集 与 基 本 回 路 (1) 基 本 割 集 图 G 的 基 本 割 集 是 在 选 定 图 G 的 树 T 之 后, 满 足 单 树 支 条 件 的 割 集 以 图 3-1( b) 为 例, 若 选 定 了 图 3-2(b) 为 其 树 T, 则 支 路 1 5 和 6 为 树 支, 支 路 2 3 和 4 为 连 支 设 三 条 树 支 支 路 56

6 所 确 定 的 基 本 割 集 分 别 为 Q 1 Q 2 和 Q 3, 则 : Q 1 : 由 支 路 组 成,1 为 树 支 Q 2 : 由 支 路 组 成,5 为 树 支 Q 3 : 由 支 路 组 成,6 为 树 支 割 集 在 线 图 上 常 用 虚 线 圆 弧 表 示 图 3-4 为 图 3-1( b) 的 有 向 图 G 选 定 图 3-2( b) 为 其 树 之 后, 得 到 用 虚 线 表 示 的 基 本 割 集 图 上 圆 弧 的 箭 头 方 向 为 基 本 割 集 的 方 向 值 得 指 出 的 是, 基 本 割 集 的 方 向 应 与 定 义 该 割 集 的 树 支 支 路 方 向 一 致 结 论 : 连 通 图 G 的 基 本 割 集 数 等 于 树 支 数, 当 然 也 等 于 总 节 点 数 减 1, 即 基 本 割 集 数 等 于 n -1 (2) 基 本 回 路 图 G 的 基 本 回 路 同 样 是 在 选 定 图 G 的 树 T 之 后 所 确 定 的 单 连 支 回 路 选 用 以 上 讨 论 基 本 割 集 相 同 的 图 G 和 树 T, 如 图 3-2( b) 所 示, 可 以 得 到 图 3-5 所 示 的 基 本 回 路 ( 带 箭 头 的 实 弧 线 ) 图 3-4 基 本 割 集 图 3-5 基 本 回 路 设 三 条 连 支 支 路 所 确 定 的 基 本 回 路 分 别 为 l 1 l 2 和 l 3, 则 三 个 基 本 回 路 的 组 成 支 路 分 别 为 : l 1 : 含 支 路 l 2 : 含 支 路 l 3 : 含 支 路 上 述 各 基 本 回 路 的 绕 行 方 向 规 定 与 确 定 该 回 路 的 连 支 支 路 的 方 向 一 致 结 论 : 连 通 图 G 的 基 本 回 路 数 等 于 连 支 数, 即 b -(n -1) 3 畅 3 畅 3 支 路 ( 电 流 ) 法 对 于 b 条 支 路 n 个 节 点 构 成 的 电 路, 共 有 2b 个 未 知 量, 支 路 ( 电 流 ) 法 是 以 b 条 支 路 的 支 路 电 流 为 首 先 求 解 的 网 络 变 量, 在 求 得 b 条 支 路 的 支 路 电 流 后, 再 由 各 条 支 路 的 VCR 关 系 式 去 求 b 个 支 路 电 压, 这 样 使 第 一 步 联 立 求 解 的 方 程 数 降 为 b 个 如 图 3-6 所 示, 电 路 中 共 有 3 条 支 路, 选 3 条 支 路 的 支 路 电 流 为 未 知 量, 并 选 定 各 支 路 电 流 电 压 参 考 方 向 有 两 个 节 点, 独 立 节 点 数 为 1, 因 此 独 立 的 KCL 方 程 为 1 个 ; 有 两 个 网 孔, 独 立 的 KVL 方 程 有 2 个 列 写 以 I 1 I 2 和 I 3 为 未 知 量 的 KCL 方 程 和 KVL 方 程, 可 得 到 图 3-6 支 路 电 流 法 57

7 KCL KVL -I 1 -I 2 +I 3 =0 R 1 I 1 -R 2 I 2 =U S1 -U S2 (3-6) R 2 I 2 +R 3 I 3 =U S2 以 上 KVL 方 程 是 按 网 孔 列 写 的 此 处 的 KVL 方 程 以 支 路 电 流 为 未 知 量, 它 实 质 上 是 由 支 路 电 流 表 示 的 网 孔 的 KVL 方 程 和 网 孔 所 涉 及 支 路 的 VCR 关 系 式 得 到 的 综 上 所 述, 可 将 支 路 ( 电 流 ) 法 的 解 题 步 骤 归 纳 如 下 : 1 设 定 各 支 路 电 流 的 参 考 方 向 2 指 定 参 考 节 点, 对 其 余 (n -1) 个 独 立 节 点 列 写 (n -1) 个 KCL 方 程 3 通 常 选 网 孔 为 独 立 回 路, 设 定 独 立 回 路 绕 行 方 向, 进 而 列 出 b -( n -1) 个 由 支 路 电 流 表 示 的 KVL 方 程 4 联 立 求 解 (2) (3) 两 步 得 到 b 个 方 程, 求 得 b 条 支 路 的 支 路 电 流 5 由 支 路 电 流 和 各 支 路 的 VCR 关 系 式 求 出 b 条 支 路 的 支 路 电 压 例 3-1 试 求 图 3-7 所 示 电 路 的 各 支 路 电 流 解 : 各 支 路 电 流 已 标 出 参 考 方 向, 以 节 点 b 为 参 考 节 点 节 点 a 的 KCL 方 程 为 I 1 +I 2 +I 3 =0 以 l 1 l 2 两 网 孔 为 选 定 的 独 立 回 路, 其 KVL 方 程 为 -2I 1 +8I 3 =-14 3I 2-8I 3 =2 图 3-7 例 3-1 图 以 上 三 式 联 立 求 解, 解 得 I 1 =3 A,I 2 =-2 A,I 3 =-1 A 支 路 ( 电 流 ) 法 列 的 方 程 较 直 观, 是 一 种 常 用 的 求 解 电 路 的 方 法 但 由 于 需 列 出 等 于 支 路 数 b 的 KCL 和 KVL 方 程, 对 复 杂 电 路 而 言 存 在 方 程 数 目 多 的 缺 点, 因 此, 设 法 减 少 方 程 数 目 就 成 为 其 他 网 络 方 程 法 的 出 发 点 3 畅 3 畅 4 节 点 分 析 法 对 于 一 个 b 条 支 路 n 个 节 点 的 电 路, 用 支 路 法 求 解 需 要 列 写 ( n -1 ) 个 KCL 方 程 和 b -(n -1) 个 KVL 方 程 联 立 求 解, 由 于 方 程 数 目 多, 给 求 解 带 来 不 便 节 点 分 析 法 又 称 为 节 点 电 压 法 就 是 解 决 这 一 问 题 的 有 效 方 法 之 一 此 方 法 已 广 泛 应 用 于 电 路 的 计 算 机 辅 助 分 析 和 电 力 系 统 的 计 算, 是 实 际 应 用 最 普 遍 的 一 种 方 法 1 畅 节 点 方 程 及 其 一 般 形 式 节 点 分 析 法 ( 又 称 节 点 法 ) 是 以 独 立 节 点 对 参 考 节 点 的 电 压 ( 称 为 节 点 电 压 ) 为 网 络 变 量 ( 未 知 量 ) 求 解 电 路 的 方 法 下 面 以 图 3-8 所 示 的 电 路 说 明 节 点 方 程 本 例 b =6,n =4, 首 先 将 4 58

8 个 节 点 中 的 任 一 个 ( 如 节 点 4) 选 为 参 考 节 点, 将 节 点 对 参 考 节 点 的 电 压 分 别 记 为 U 10 U 20 U 30, 三 个 节 点 电 压 的 参 考 方 向 都 规 定 为 参 考 节 点 处 为 负, 且 规 定 参 考 节 点 的 电 位 为 0, 所 以 U 10 U 20 U 30 也 是 节 点 的 电 位 一 旦 选 定 节 点 电 压, 各 支 路 电 压 均 可 用 节 点 电 压 表 示, 连 在 独 立 节 点 与 参 考 节 点 之 间 的 支 路 电 压 等 于 相 应 节 点 的 节 点 电 压 则 U 5 =U 10, U 4 =U 20, U 3 =U 30 ; 连 在 两 独 立 节 点 之 间 的 支 路 电 压 等 于 两 节 点 电 图 3-8 压 之 差 则 U 1 =U 10 -U 20,U 2 =U 20 -U 30,U 6 =U 10 -U 30 以 三 个 独 立 节 点 的 节 点 电 压 为 未 知 量 的 联 立 方 程 可 以 由 以 下 方 法 得 到 首 先 以 支 路 电 流 表 示 三 个 独 立 节 点 的 KCL 方 程, 得 到 如 下 三 式 举 例 I 1 +I 5 +I 6 =0 -I 1 +I 2 +I 4 =0 -I 2 +I 3 -I 6 =0 (3-7) 再 以 节 点 电 压 表 示 式 (3-7) 中 的 各 支 路 电 流 I 1 =G 1 (U 10 -U 20 ) -I S1 I 2 =G 2 (U 20 -U 30 ) I 3 =G 3 U 30 -I S3 (3-8) I 4 =G 4 U 20 I 5 =G 5 U 10 I 6 =G 6 (U 10 -U 30 ) 将 式 (3-8) 代 入 式 (3-7) 中 并 整 理, 将 电 流 源 均 移 到 等 式 右 边, 可 得 到 G 1 ( U 10 -U 20 ) +G 5 U 10 +G 6 (U 10 -U 30 ) =I S1 G 1 ( U 20 -U 10 ) +G 2 (U 20 -U 30 ) +G 4 U 20 =-I S1 (3-9) G 2 ( U 30 -U 20 ) +G 6 (U 30 -U 10 ) +G 3 U 30 =I S3 仔 细 观 察 可 以 发 现, 式 (3-9) 中 每 一 个 等 式 的 左 边 均 为 经 电 导 流 出 相 应 节 点 的 电 流 之 和, 而 等 式 右 端 是 经 电 流 源 流 入 相 应 节 点 的 电 流, 由 KCL 可 知, 两 边 当 然 相 等 对 式 (3-9) 以 未 知 量 合 并 同 类 项 后, 可 得 到 59

9 (G 1 +G 5 +G 6 )U 10 -G 1 U 20 -G 6 U 30 =I S1 -G 1 U 10 +(G 1 +G 2 +G 4 )U 20 -G 2 U 30 =-I S1 (3-10) 式 (3-10) 可 进 一 步 归 纳 为 -G 6 U 10 -G 2 U 20 +(G 2 +G 3 +G 6 )U 30 =I S3 G 11 U 10 +G 12 U 20 +G 13 U 30 =I S11 G 21 U 10 +G 22 U 20 +G 23 U 30 =I S22 (3-11) G 31 U 10 +G 32 U 20 +G 33 U 30 =I S33 式 (3-11) 称 为 三 个 独 立 节 点 电 路 节 点 电 压 方 程 的 一 般 形 式 对 比 式 (3-10) 和 式 (3-11), 不 难 发 现 :G 11 =G 1 +G 5 +G 6 是 连 到 节 点 1 的 所 有 电 导 之 和, 称 为 节 点 1 的 自 电 导, 同 理, G 22 =G 1 +G 2 +G 4 和 G 33 =G 2 +G 3 +G 6 分 别 为 节 点 2 和 节 点 3 的 自 电 导 自 电 导 G 11 G 22 G 33 恒 为 正, 这 是 由 于 本 节 点 电 压 对 连 到 自 身 节 点 的 电 导 支 路 的 电 流 的 作 用 总 是 使 电 流 流 出 本 节 点 的 缘 故 G 12 =G 21 为 节 点 1 和 节 点 2 之 间 的 互 电 导, 且 G 12 =G 21 =-G 1 为 连 到 节 点 1 和 节 点 2 之 间 的 各 支 路 电 导 之 和 的 负 值, 互 电 导 恒 为 负, 其 原 因 是 另 一 节 点 的 节 点 电 压 通 过 互 电 导 产 生 的 电 流 总 是 流 入 本 节 点 的 同 理, 可 解 释 G 13 =G 31 =-G 6 和 G 23 =G 32 =-G 2 ; 式 (3-11) 中 等 式 右 边 的 I S11 I S22 I S33 分 别 为 流 入 三 个 独 立 节 点 的 电 流 源 的 代 数 和 ( 流 入 为 正, 流 出 为 负 ) 综 上, 可 以 把 其 结 果 推 广 到 n 个 节 点 的 电 路, 将 第 n 个 节 点 指 定 为 参 考 节 点, 相 应 的 节 点 电 压 方 程 为 G 11 U 10 +G 12 U G 1 ( n -1 ) U ( n -1 ) 0 =I S11 G 21 U 10 +G 22 U G 2 ( n -1 ) U ( n -1 ) 0 =I S22 (3-12) G ( n -1 ) 1 U 10 +G ( n -1 ) 2 U G ( n -1 ) ( n -1 ) U ( n -1 ) 0 =I S( n -1 ) ( n -1 ) 式 (3-12) 称 为 节 点 方 程 的 一 般 形 式, 等 式 左 边 的 ( n -1) ( n -1) 阶 系 数 行 列 式 中 的 主 对 角 线 元 素 为 自 电 导, 非 主 对 角 线 元 素 为 互 电 导 一 般 情 况 下, 该 系 数 行 列 式 为 对 称 行 列 式, 即 在 不 含 受 控 源 的 电 路 中, 满 足 G ij =G ji (i j) 若 两 节 点 之 间 没 有 电 导 支 路, 即 相 应 的 互 电 导 为 零 节 点 法 只 需 对 ( n -1) 个 独 立 节 点 列 KCL 方 程 即 可 求 出 各 节 点 电 压, 而 不 需 列 KVL 方 程 其 原 因 是 方 法 本 身 满 足 KVL, 如 在 图 3-8 所 示 的 电 路 中, 用 节 点 电 压 表 示 的 左 网 孔 的 KVL 方 程 为 (U 10 -U 20 ) +U 20 -U 10 =0 是 一 个 0 =0 的 恒 等 式 2 畅 节 点 法 解 题 步 骤 节 点 法 解 题 步 骤 如 下 : 1 选 定 参 考 节 点, 标 出 各 独 立 节 点 序 号, 将 独 立 节 点 电 压 作 为 未 知 量, 其 参 考 方 向 由 独 立 节 点 指 向 参 考 节 点 60

10 2 若 电 路 中 存 在 与 电 阻 串 联 的 电 压 源, 则 将 其 等 效 变 换 为 电 导 与 电 流 源 的 并 联 3 用 观 察 法 对 各 个 独 立 节 点 列 写 以 节 点 电 压 为 未 知 量 的 KCL 方 程 对 第 i 个 节 点 而 言, 其 KCL 方 程 为 n -1 钞 G iju j =I Sii (3-13) j = 1 等 式 左 端 当 j =i 时 的 系 数 G ii 是 i 节 点 的 自 电 导, 可 观 察 连 到 i 节 点 的 所 有 电 导 相 加 得 到 当 j i 时 的 系 数 G ij 可 由 i 节 点 与 j 节 点 之 间 电 导 之 和 的 负 值 确 定 等 式 右 端 为 流 入 i 节 点 的 等 效 电 流 源 的 代 数 和, 流 入 为 正, 流 出 为 负 4 联 立 求 解 第 (3) 步 得 到 的 (n -1) 个 方 程, 解 得 各 节 点 电 压 5 指 定 各 支 路 方 向, 并 由 节 点 电 压 求 得 各 支 路 电 压 6 应 用 支 路 的 VCR 关 系, 由 支 路 电 压 求 得 各 支 路 电 流 例 3-2 如 图 3-9(a) 所 示 电 路,R 1 =R 2 =R 3 =2 Ω,R 4 =R 5 =4 Ω,U S1 =4 V,U S5 =12 V, I S3 =3 A, 试 用 节 点 法 求 电 流 I 1 和 I 4 图 3-9 例 3-2 图 解 : 选 图 中 代 节 点 为 参 考 节 点, 标 出 1 和 2 两 个 独 立 节 点, 选 U 10 U 20 为 两 个 未 知 量 将 两 个 实 际 电 压 源 作 电 源 变 换, 得 到 图 3-9(b) 所 示 的 电 路, 则 I S1 = U S1 =2 A,I S5 = U S5 R 1 R 5 =3 A 用 观 察 法 列 节 点 方 程 ( G 1 +G 2 +G 4 +G 5 ) U 10 -( G 4 +G 5 )U 20 =I S1 -I S5 -(G 4 +G 5 )U 10 +(G 3 +G 4 +G 5 ) U 20 =I S3 +I S5 将 G 1 =G 2 =G 3 = 1 2 S,G 4 =G 5 = 1 4 S 和 电 流 源 参 数 代 入 方 程 得 3 2 U U20 =-1 61

11 - 1 U10 +1U20 =6 2 联 立 求 解 得 U 10 = 8 5 V,U 20 = 34 5 V U S1 -U10 I 1 = R 1 = A = A = 6 5 A U10 -U20 I 4 = R 4 = A = A = A 3 畅 含 理 想 电 压 源 电 路 的 节 点 分 析 法 理 想 电 压 源 没 有 与 其 串 联 的 电 阻, 因 而 不 能 变 换 为 等 效 的 电 流 源, 怎 样 列 节 点 方 程 呢? 下 面 以 例 3-3 来 说 明 例 3-3 如 图 3-10 所 示 电 路, 试 用 节 点 法 求 I x 解 : 本 例 n =4, 共 有 三 个 独 立 节 点, 三 个 电 源 中 有 两 个 理 想 电 压 源, 遇 到 含 理 想 电 压 源 电 路 时, 常 选 某 一 理 想 电 压 源 的 一 端 为 参 考 节 点, 现 选 14 V 理 想 电 压 源 的 负 极 端 为 参 考 节 点, 并 标 出 独 立 节 点 序 号, 在 节 点 2 与 3 之 间 为 8 V 理 想 电 压 源, 可 增 设 此 支 路 电 流 I 为 未 知 数, 现 以 U 1 U 2 U 3 和 I 为 未 知 数 列 方 程 ( 为 简 便 起 见, 将 节 点 电 压 的 第 二 下 标 略 写 ) U 1 =14( 节 点 电 压 为 理 想 电 压 源 电 压 ) -1U 1 +(1 +0 畅 5) U 2 +I =3-0 畅 5U 1 +(1 +0 畅 5)U 3 -I =0 补 充 2 3 节 点 之 间 电 压 关 系 U 2 -U 3 =8 解 得 U 1 =14 V,U 2 =12 V,U 3 =4 V,I =-1 A 图 3-10 例 3-3 图 U1 -U3 I x = 2 = 10 2 =5 A 以 上 解 题 过 程 中, 对 两 理 想 电 压 源 的 处 理 分 别 应 用 了 选 参 考 节 点 和 增 设 理 想 电 压 源 支 路 电 流 为 未 知 量 的 方 法 还 有 一 种 方 法 称 广 义 节 点 法, 以 本 题 为 例, 将 节 点 2 3 及 8 V 理 想 电 压 源 用 虚 线 框 起 来, 构 成 一 个 假 想 的 封 闭 面, 亦 称 作 广 义 节 点, 对 此 广 义 节 点 列 KCL 方 程 得 62 -(1 +0 畅 5)U 1 +(1 +0 畅 5)U 2 +(1 +0 畅 5) U 3 =3

12 此 方 程 与 U 1 =14,U 2 -U 3 =8 三 式 联 立, 得 U 2 =12 V,U 3 =4 V I x = U 1 -U 3 2 =5 A 除 以 上 介 绍 的 选 参 考 节 点 增 设 电 流 未 知 量 和 列 广 义 节 点 KCL 方 程 这 三 种 节 点 法 处 理 理 想 电 压 源 的 方 法 外 还 有 推 源 法, 这 里 不 再 详 述 4 畅 节 点 法 遇 到 受 控 源 的 处 理 含 受 控 源 的 电 路 要 列 写 节 点 方 程, 可 以 先 将 受 控 源 当 独 立 源 看 待, 将 其 作 用 列 到 方 程 右 边, 而 后 再 找 到 受 控 源 的 控 制 量 与 节 点 电 压 的 关 系, 将 此 关 系 代 入 节 点 方 程, 再 将 方 程 右 边 反 映 受 控 源 作 用 的 项 移 到 方 程 左 边, 得 到 含 受 控 源 电 路 的 节 点 方 程 例 3-4 用 节 点 法 求 图 3-11 所 示 电 路 的 U 和 I 解 : 此 电 路 共 有 两 个 节 点, 设 节 点 代 为 参 考 节 点, 将 电 流 控 制 电 流 源 看 做 独 立 电 流 源, 列 写 节 点 1 的 节 点 方 程 = 6 U I 由 于 上 式 有 两 个 未 知 量, 因 此 无 法 直 接 求 出 U 10, 需 要 再 列 出 一 个 方 程, 用 节 点 电 压 表 示 控 制 量 I, 有 I =1 ( U 10-6) =U 10-6 以 上 两 式 联 立 求 解, 可 得 U 10 =7 V I =1 A 则 U =U 10 =7 V 图 3-11 例 3-4 图 例 3-5 用 节 点 法 求 图 3-12 所 示 电 路 的 各 节 点 电 压 图 3-12 例 3-5 图 解 : 设 节 点 4 为 参 考 节 点 将 受 控 电 压 源 3I 1 和 受 控 电 流 源 6I x 分 别 看 做 实 际 电 压 源 和 理 想 电 流 源, 对 节 点 分 别 列 节 点 方 程 4U 1-3U 2-1 U 3 =-8-9I 1 63

13 -3U 1 +4U 2 =9I 1-6I x -1 U 1 +6U 3 =25 +6I x 在 以 上 各 式 中, 由 于 出 现 了 I 1 和 I x 两 个 未 知 量, 因 此 需 要 再 列 写 两 个 方 程, 到 控 制 支 路 找 出 I 1 I x 与 节 点 电 压 的 关 系, 有 I 1 =1 U 2 I x =1 ( U 3 -U 1 ) 以 上 五 式 联 立 求 解, 可 得 U 1 =5 V, U 2 =-3 畅 968 V, U 3 =4 畅 192 V 3 畅 3 畅 5 网 孔 分 析 法 上 一 节 所 述 的 节 点 法 对 一 个 b 条 支 路 n 个 节 点 的 电 路, 只 需 列 (n -1) 个 独 立 节 点 的 KCL 方 程, 解 决 了 支 路 ( 电 流 ) 法 方 程 数 目 过 多 的 问 题, 本 节 所 介 绍 的 网 孔 分 析 法 只 需 列 b -( n -1) 个 彼 此 独 立 的 KVL 方 程, 即 可 对 电 路 进 行 求 解 1 畅 网 孔 方 程 及 其 一 般 形 式 下 面 以 图 3-13 所 示 电 路 为 例 来 说 明 网 孔 方 程 本 电 路 共 有 6 条 支 路 4 个 节 点, 网 孔 分 析 法 是 选 网 孔 为 独 立 回 路, 以 假 想 的 网 孔 电 流 为 未 知 量 列 方 程 的 方 法 所 选 网 孔 序 号, 网 孔 及 网 孔 电 流 绕 向 如 图 3-13 所 示, 图 中 I m1 I m2 I m3 为 所 选 的 网 孔 电 流, 网 孔 电 流 一 经 选 定, 各 支 路 电 流 都 可 以 用 网 孔 电 流 来 表 示, 本 例 中 I 1 =I m1,i 2 =-I m1 +I m2,i 3 = I m2,i 4 =I m3,i 5 =I m1 -I m3,i 6 =I m2 -I m3 假 想 的 网 孔 电 流 是 沿 闭 合 回 路 流 动 的, 所 以 它 一 定 从 网 孔 中 某 一 节 点 流 入, 同 时 又 从 这 个 节 点 流 出, 因 此 网 孔 电 流 在 各 节 点 自 动 满 足 KCL, 如 对 节 点 2, 流 入 和 流 出 的 网 孔 电 流 均 为 I m1 图 3-13 网 孔 分 析 I m2 和 I m3 这 样 就 不 必 对 节 点 列 KCL 方 程 了, 只 需 列 出 b -( n -1) 个 以 网 孔 电 流 表 示 的 KVL 方 程, 即 可 求 解 电 路 图 3-13 所 示 电 路 的 网 孔 分 析 方 程 为 R 1 I m1 +R 5 ( I m1 -I m3 ) +R 2 (I m1 -I m2 ) =U S1 -U S2 R 2 ( -I m1 +I m2 ) +R 6 (I m2 -I m3 ) +R 3 I m2 =U S2 (3-14) R 4 I m3 +R 6 ( -I m2 +I m3 ) +R 5 ( -I m1 +I m3 ) =0 整 理 后 得 (R 1 +R 2 +R 5 ) I m1 -R 2 I m2 -R 5 I m3 =U S1 -U S2 -R 2 I m1 +(R 2 +R 3 +R 6 )I m2 -R 6 I m3 =U S2 (3-15) 64 -R 5 I m1 -R 6 I m2 +( R 4 +R 5 +R 6 ) I m3 =0

14 式 (3-15) 可 归 纳 为 R 11 I m1 +R 12 I m2 +R 13 I m3 =U S11 R 21 I m1 +R 22 I m2 +R 23 I m3 =U S22 (3-16) R 31 I m1 +R 32 I m2 +R 33 I m3 =U S33 比 较 式 (3-15) 和 式 (3-16), 不 难 发 现 :R 11 =R 1 +R 2 +R 5 是 网 孔 1 的 所 有 电 阻 之 和, 称 为 网 孔 1 的 自 电 阻, 同 理 R 22 =R 2 +R 3 +R 6,R 33 =R 4 +R 5 +R 6 分 别 为 网 孔 2 和 网 孔 3 的 自 电 阻, 且 自 电 阻 恒 为 正 这 是 因 为 本 网 孔 电 流 方 向 与 网 孔 绕 行 方 向 一 致, 由 本 网 孔 电 流 在 各 电 阻 上 产 生 的 电 压 方 向 必 然 与 网 孔 绕 行 方 向 一 致 ;R 12 =R 21 为 网 孔 1 与 网 孔 2 之 间 的 互 电 阻, 且 R 12 =R 21 = -R 2 为 两 网 孔 共 有 电 阻 的 负 值 在 网 孔 法 中, 互 电 阻 恒 为 负 这 是 由 于 规 定 各 网 孔 电 流 均 以 顺 时 针 为 参 考 方 向, 因 而 另 一 网 孔 电 流 在 共 有 电 阻 上 产 生 的 电 压 总 是 与 本 网 孔 绕 行 方 向 相 反, 同 理 可 解 释 R 13 =R 31 =-R 5 和 R 23 =R 32 =-R 6 ; 式 (3-16) 中 等 式 右 端 的 U S11 U S22 U S33 分 别 为 三 个 网 孔 的 等 效 电 压 源 的 代 数 和, 与 网 孔 绕 行 方 向 相 反 的 电 压 源 为 正, 一 致 的 为 负, 如 U S11 =U S1 - U S2,U S1 的 方 向 与 网 孔 1 的 绕 行 方 向 相 反, 而 U S2 的 方 向 与 网 孔 1 的 绕 行 方 向 一 致 推 广 到 m 个 网 孔 的 电 路, 相 应 的 网 孔 分 析 方 程 为 R 11 I m1 +R 12 I m2 + +R 1 m I m m =U S11 R 21 I m1 +R 22 I m2 + +R 2 m I m m =U S22 (3-17) R m1 I m1 +R m2 I m2 + +R m m I m m =U Smm 式 (3-17) 称 为 网 孔 方 程 的 一 般 形 式, 等 式 左 端 的 m m 阶 系 数 行 列 式 中 的 主 对 角 线 元 素 为 自 电 阻, 非 主 对 角 线 元 素 为 互 电 阻 一 般 情 况 下, 该 行 列 式 为 对 称 行 列 式, 即 在 无 受 控 源 的 情 况 下, 满 足 R ij =R ji 2 畅 网 孔 法 解 题 步 骤 若 电 路 中 存 在 实 际 电 流 源, 则 先 将 其 等 效 变 换 为 实 际 电 压 源 后, 执 行 如 下 步 骤 : 1 选 网 孔 为 独 立 回 路, 标 出 顺 时 针 的 网 孔 电 流 方 向 和 网 孔 序 号 2 用 观 察 自 电 阻 互 电 阻 的 方 法 列 写 各 网 孔 的 KVL 方 程 ( 以 网 孔 电 流 为 未 知 量 ) 3 求 解 网 孔 电 流 4 由 网 孔 电 流 求 各 支 路 电 流 5 由 支 路 电 流 及 支 路 的 VCR 关 系 式 求 各 支 路 电 压 例 3-6 试 用 网 孔 法 求 解 图 3-14 所 示 电 路 中 的 各 支 路 电 流 解 : 网 孔 序 号 及 网 孔 绕 向 如 图 3-14 所 示, 网 孔 方 程 为 ( )I m1-2i m2-1i m3 =3-9 -2I m1 +( )I m2-6i m3 =9-6 65

15 -1I m3-6i m2 +( ) I m3 =12 畅 5-3 整 理 为 5I m1-2i m2 -I m3 =-6-2I m1 +11I m2-6i m3 =3 -I m1-6i m2 +10I m3 =9 畅 5 联 立 求 解 得 I m1 =-0 畅 5 A 图 3-14 例 3-6 图 I m2 =1 A I m3 =1 畅 5 A 各 支 路 电 流 为 I 1 =I m1 =-0 畅 5 A I 2 =I m2 =1 A I 3 =I m3 =1 畅 5 A I 4 =-I m1 +I m3 =2 A I 5 =I m1 -I m2 =-1 畅 5 A I 6 =-I m2 +I m3 =0 畅 5 A 3 畅 含 理 想 电 流 源 电 路 的 网 孔 分 析 理 想 电 流 源 不 能 变 换 为 电 压 源, 而 网 孔 方 程 的 每 一 项 均 为 电 压, 如 何 来 列 方 程 呢? 下 面 以 例 3-7 来 说 明 例 3-7 用 网 孔 法 求 图 3-15 所 示 电 路 的 各 支 路 电 流 解 : 网 孔 序 号 及 网 孔 电 流 参 考 方 向 如 图 3-15 中 所 选, 题 中 有 两 个 理 想 电 流 源, 其 中 6 A 的 理 想 电 流 源 只 流 过 一 个 网 孔 电 流, 则 可 知 I m1 =6 A 这 样 就 不 必 再 列 网 孔 1 的 KVL 方 程, 为 了 列 网 孔 2 和 网 孔 3 的 KVL 方 程, 设 2 A 电 流 源 的 电 压 为 U x, 所 得 方 程 为 I m1 =6 A -1I m1 +3I m2 =U x -2I m1 +5I m3 =-U x 多 了 未 知 量 U x, 必 须 再 增 列 一 个 方 程, 由 2 A 理 想 电 流 源 支 路 得 到 补 充 方 程 66 图 3-15 例 3-7 图

16 I m2 -I m3 =2 以 上 4 式 联 立 解 得 I m2 =3 畅 5 A, I m3 =1 畅 5 A 各 支 路 电 流 均 可 用 网 孔 电 流 求 得 I 1 =6 A, I 2 =3 畅 5 A, I 3 =1 畅 5 A I 4 =I m1 -I m2 =2 畅 5 A, I 5 =I m1 -I m3 =4 畅 5 A, I 6 =I m2 -I m3 =2 A 由 本 例 可 看 出, 当 理 想 电 流 源 所 在 支 路 只 流 过 一 个 网 孔 电 流 时, 该 网 孔 电 流 被 理 想 电 流 源 限 定 当 理 想 电 流 源 所 在 支 路 流 过 两 个 网 孔 电 流 时, 可 用 增 设 理 想 电 流 源 电 压 为 未 知 数 的 方 法 解 决 4 畅 含 受 控 源 电 路 的 网 孔 分 析 在 列 写 含 受 控 源 电 路 的 网 孔 方 程 时, 可 先 将 受 控 源 作 为 独 立 电 源 处 理, 然 后 将 受 控 源 的 控 制 量 用 网 孔 电 流 表 示, 再 将 受 控 源 作 用 反 映 在 方 程 右 端 的 项 移 到 方 程 左 边, 得 到 含 受 控 源 电 路 的 网 孔 方 程 例 3-8 用 网 孔 法 求 图 3-16 所 示 电 路 的 网 孔 电 流, 已 知 μ=1,α=1 解 : 标 出 网 孔 电 流 及 序 号 1 2 网 孔 的 KVL 方 程 为 6I m1-2i m2-2i m3 =16 对 网 孔 3, 满 足 -2I m1 +6I m2-2i m3 =-μu 1 I m3 =αi 3 图 3-16 例 3-8 图 补 充 两 个 受 控 源 的 控 制 量 与 网 孔 电 流 关 系 方 程 U 1 =2I m1 I 3 =I m1 -I m2 将 α=1,μ=1 代 入, 联 立 求 解 得 I m1 =4 A, I m2 =1 A, I m3 =3 A 倡 3 畅 3 畅 6 回 路 分 析 法 网 孔 分 析 法 是 选 网 孔 为 闭 合 回 路 对 电 路 列 出 b -( n -1) 个 独 立 的 KVL 方 程 回 路 法 同 样 67

17 是 选 b -( n -1) 个 独 立 回 路 来 列 KVL 方 程, 只 不 过 是 所 选 回 路 不 一 定 是 按 网 孔 来 选, 各 回 路 电 流 的 绕 行 方 向 也 不 一 定 统 一 规 定 为 顺 时 针 方 向, 因 此 网 孔 法 是 回 路 法 的 一 个 特 例 现 以 图 3-17 所 示 电 路 来 介 绍 回 路 方 程 首 先 是 选 定 独 立 回 路, 同 时 以 所 选 回 路 的 回 路 电 流 为 未 知 量 ( 图 中 曲 线 所 示 ) 选 回 路 时 应 注 意 两 点 : 1 保 证 所 选 回 路 之 间 彼 此 独 立, 因 此 任 一 要 选 的 回 路 比 前 面 已 经 选 过 的 回 路 至 少 应 包 含 一 条 新 支 路 2 把 独 立 回 路 数 选 够, 也 就 是 说, 在 保 证 第 一 点 的 前 提 下 选 够 b -(n -1) 个 回 路 图 3-17 所 示 电 路,b =6,n =4, 故 独 立 回 路 数 为 3 按 图 中 所 选 回 路 电 流 绕 行 方 向, 由 KVL 列 得 该 电 路 的 回 路 方 程 为 图 3-17 回 路 分 析 法 ( R 1 +R 5 +R 2 ) I l1 -R 2 I l2 -(R 1 +R 2 )I l3 =-U S2 -R 2 I l1 +(R 2 +R 6 +R 3 )I l2 +( R 2 +R 6 )I l3 =U S2 -( R 1 +R 2 )I l1 +(R 2 +R 6 )I l2 +(R 4 +R 1 +R 2 +R 6 )I l3 =0 可 以 看 出, 在 回 路 法 中, 自 电 阻 同 网 孔 法 一 样 恒 为 正, 但 互 电 阻 可 能 为 正, 也 可 能 为 负, 要 看 两 回 路 电 流 是 以 相 同 的 方 向 还 是 以 相 反 的 方 向 绕 过 共 有 电 阻 回 路 法 可 以 自 选 回 路, 因 此 可 方 便 地 解 决 含 理 想 电 流 源 电 路 的 分 析 例 3-9 用 回 路 法 解 例 3-7 解 : 本 题 有 两 个 理 想 电 流 源, 用 选 回 路 的 办 法 选 得 两 理 想 电 流 源 支 路 分 别 只 流 过 一 个 回 路 电 流, 所 选 回 路 及 绕 行 方 向 如 图 3-18 所 示, 得 到 的 方 程 为 I l1 I l2 =6 A =2 A -(1 +2) I l1 +(1 +2) I l2 +( )I l3 =0 联 立 求 解 得 -3I l1 +3I l2 +8I l3 =0 图 3-18 例 3-9 图 =-8I l3-12 =-8I l3 I l3 =1 畅 5 A 从 而 68 I 1 =I l1 =6 A, I 2 =I l2 +I l3 =3 畅 5 A,

18 I 3 =I l3 =1 畅 5 A, I 4 =I l1 -I l2 -I l3 =2 畅 5 A, I 5 =I l1 -I l3 =4 畅 5 A, I 6 =I l1 =2 A 回 路 分 析 法 遇 到 含 受 控 源 电 路 时, 处 理 方 法 同 网 孔 分 析 法 思 考 与 讨 论 3 畅 3 畅 1-1 一 个 有 n 个 节 点,b 条 支 路 的 电 路, 共 有 多 少 个 电 路 变 量? 若 用 2b 方 程 法 求 解,KCL KVL VCR 方 程 各 为 多 少 个? 3 畅 3 畅 3-1 若 用 支 路 法 求 解 图 3-18 所 示 电 路, 需 列 写 多 少 个 KCL 方 程? 多 少 个 KVL 方 程 3 畅 3 畅 4-1 有 人 说, 节 点 分 析 法 只 需 列 独 立 的 KCL 方 程 不 需 要 列 出 KVL 方 程 的 原 因 是, 方 法 本 身 满 足 KVL, 此 说 法 对 吗? 试 举 例 说 明 3 畅 3 畅 4-2 节 点 法 以 节 点 电 压 为 未 知 量, 试 问 什 么 是 节 点 电 压? 节 点 电 压 的 参 考 方 向 是 如 何 规 定 的? 3 畅 3 畅 4-3 在 电 路 中, 如 果 有 一 条 支 路 为 理 想 电 流 源 与 电 阻 串 联, 该 支 路 的 电 导 G 是 多 少? 这 种 支 路 对 节 点 方 程 系 数 中 的 自 电 导 互 电 导 有 何 影 响? 3 畅 3 畅 4-4 为 什 么 在 不 含 受 控 源 的 电 路 中, 自 电 导 恒 为 正, 负 电 导 恒 为 负, 物 理 意 义 如 何? 3 畅 3 畅 5-1 网 孔 电 流 是 真 实 存 在, 还 是 一 种 假 想? 3 畅 3 畅 5-2 为 什 么 说 网 孔 法 方 法 本 身 满 足 KCL? 试 举 例 说 明? 3 畅 3 畅 5-3 网 孔 法 中, 互 电 阻 恒 为 负 的 物 理 含 义 如 何? 3 畅 3 畅 5-4 节 点 法 中 有 参 考 节 点, 网 孔 法 中 有 参 考 网 孔 吗? 3 畅 3 畅 6-1 为 什 么 在 回 路 法 中, 互 电 阻 可 能 为 正? 本 章 小 结 1 畅 b 条 支 路,n 个 节 点 的 电 路, 共 有 2b 个 电 路 变 量, 独 立 的 KCL 方 程 数 等 于 ( n -1) 个, 独 立 的 KVL 方 程 数 等 于 b -(n -1) 个, 还 有 b 个 VCR 方 程 2 畅 对 于 一 个 n 个 节 点 的 电 路, 选 择 其 中 一 个 节 点 为 参 考 节 点 后, 对 剩 余 的 ( n -1) 个 节 点 的 每 一 个 列 出 KCL 方 程, 不 仅 可 以 保 证 方 程 之 间 的 独 立 性, 还 可 以 保 证 将 独 立 的 KCL 方 程 全 部 列 出 3 畅 对 于 一 个 n 个 节 点 b 条 支 路 的 电 路, 其 网 孔 数 等 于 b -( n -1) 个, 对 每 一 个 网 孔 列 写 KVL 方 程, 不 仅 可 以 保 证 列 出 的 方 程 之 间 彼 此 独 立, 还 可 以 将 独 立 的 KVL 方 程 全 部 列 出 4 畅 支 路 电 流 法 中, 各 支 路 的 VCR 关 系 已 在 列 写 用 支 路 电 流 表 示 的 KVL 方 程 中 使 用, 故 只 需 列 b 个 方 程 5 畅 节 点 法 是 以 电 路 中 的 独 立 节 点 电 压 为 未 知 量, 对 每 一 个 独 立 节 点 列 写 KCL 方 程, 进 而 求 解 电 路 的 方 法 6 畅 网 孔 法 是 以 电 路 中 的 网 孔 电 流 为 未 知 量, 对 每 一 个 网 孔 列 写 KVL 方 程, 进 而 求 解 电 路 的 方 法 7 畅 对 于 不 含 受 控 源 的 电 路, 可 以 用 观 察 自 电 导 互 电 导 或 是 自 电 阻 互 电 阻 的 方 法 列 写 电 路 的 节 点 方 程 或 是 网 孔 方 程 69

19 8 畅 含 受 控 源 的 电 路, 无 论 是 用 节 点 法 还 是 用 网 孔 ( 回 路 ) 法 求 解, 受 控 源 都 要 先 当 独 立 源 处 理, 再 找 到 受 控 源 的 控 制 量 与 节 点 电 压 或 网 孔 ( 回 路 ) 电 流 的 关 系, 最 后 再 移 项 整 理 方 程 习 题 3-1 列 出 题 3-1 图 所 示 电 路 的 2b 方 程 3-2 用 支 路 电 流 法 求 解 题 3-1 图 中 的 各 支 路 电 流 电 压 3-3 列 出 题 3-3 图 所 示 电 路 的 支 路 电 流 法 求 解 电 路 的 方 程 题 3-1 图 题 3-3 图 3-4 列 出 题 3-4 图 所 示 电 路 的 支 路 电 流 方 程, 并 求 I 1 I 2 和 I 若 电 路 中 只 有 一 个 独 立 节 点, 则 用 节 点 法 得 到 的 该 节 点 电 压 的 表 达 式 为 弥 尔 曼 定 理 的 表 达 式, 试 用 节 点 法 求 题 3-5 图 所 示 电 路 的 独 立 节 点 电 压, 并 总 结 弥 尔 曼 定 理 题 3-4 图 题 3-5 图 3-6 用 节 点 法 求 解 题 3-6 图 中 各 支 路 电 压 3-7 用 节 点 法 求 解 题 3-7 图 所 示 电 路 中 的 I x 和 受 控 电 流 源 发 出 的 功 率 题 3-6 图 题 3-7 图 3-8 用 节 点 法 求 题 3-8 图 电 路 中 的 I 3-9 适 当 选 择 参 考 节 点, 用 节 点 法 求 题 3-9 图 所 示 电 路 中 5 V 电 压 源 和 5 A 电 流 源 发 出 的 功 率 70

20 题 3-8 图 题 3-9 图 3-10 试 用 网 孔 法 求 题 3-10 图 所 示 电 路 的 U =? I =? 3-11 用 网 孔 法 再 求 解 题 题 3-12 图 所 示 电 路, 试 分 别 用 节 点 法 和 回 路 法 求 解 电 压 U 电 流 I 题 3-10 图 题 3-12 图 3-13 试 分 别 用 节 点 法 网 孔 法 回 路 法 求 解 题 3-13 图 所 示 电 路 中 的 U x 和 I y 3-14 用 节 点 法 求 题 3-14 图 所 示 电 路 的 开 路 电 压 U ab, 并 求 a b 两 端 的 入 端 电 阻 R o 题 3-13 图 题 3-14 图 3-15 开 关 电 路 如 题 3-15 图 所 示, 即 将 题 图 3-14 画 作 电 子 技 术 课 程 中 采 用 的 电 位 图 表 示 法,J 1 与 题 3-15 图 71

21 J 2 是 两 个 继 电 器, 当 通 过 继 电 器 的 电 流 大 于 20 ma 时, 继 电 器 才 导 通, 问 这 两 个 继 电 器 是 否 导 通? 已 知 E 1 = 200 V,R 1 =60 kω;e 2 =40 V,R 2 =10 kω;e 3 =100 V,R 3 =30 kω,d 1 D 2 为 二 极 管 20 ma 提 示 : 将 已 知 数 据 代 入 题 3-14 求 出 的 U ab 和 R o 中, 再 求 两 继 电 器 支 路 电 流, 进 而 判 断 电 流 是 否 大 于 72