勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 5. 小明将一张正方形包装纸, 剪成图 1 所示形状, 用它包在一个棱长为 10 的正方体的表面 ( 不考虑接缝 ), 如图 2 所示. 小明所用正方形包装纸的边长至少为 ( ) A.40 B.30+2 C.20 D 平面上

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1 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 选择 : 1. 如图,D 为等腰 Rt ABC 的斜边 AB 的中点,E 为 BC 边上一点, 连接 ED 并延长交 CA 的延长线于点 F, 过 D 作 DH EF 交 AC 于 G, 交 BC 的延长线于 H, 则以下结论 :1DE=DG;2BE=CG;3DF=DH;4BH=CF. 其中正确的是 ( ) A.23 B.34 C.14 D 等边三角形的一边长为 6cm, 则以这边上高线为边长的正方形的面积为 ( ) A.36cm 2 B.27cm 2 C.18cm 2 D.12cm 2 3. 如图所示, 在边长为 2 的正三角形 ABC 中, 已知点 P 是三角形内任意一点, 则点 P 到三角形的三边距离之和 PD+PE+PF 等于 ( ) A. B. C. D. 无法确定 4. 已知点 A 和点 B( 如图 ), 以点 A 和点 B 为其中两个顶点作位置不同的等腰 直角三角形, 一共可作出 ( ) A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个

2 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 5. 小明将一张正方形包装纸, 剪成图 1 所示形状, 用它包在一个棱长为 10 的正方体的表面 ( 不考虑接缝 ), 如图 2 所示. 小明所用正方形包装纸的边长至少为 ( ) A.40 B.30+2 C.20 D 平面上有 A B 两点, 在平面内找点 C, 使得 ABC 为等腰直角三角形的点 C 有 ( ) A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 7. 以线段 AB 为一边的等腰直角三角形有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.4 个 D.6 个 8. 已知 ABC 是腰长为 1 的等腰直角三角形, 以 Rt ABC 的斜边 AC 为直角边, 画第二个等腰 Rt ACD, 再以 Rt ACD 的斜边 AD 为直角边, 画第三个等腰 Rt ADE,, 依此类推, 第 n 个等腰直角三角形的面积是 ( ) A.2 n - 2 B.2 n - 1 C.2 n D.2 n+1 9. 下列命题中不正确的是 ( ) A. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 B. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 C. 等腰三角形两底角相等 D. 有一个角的平分线平分对边的三角形一定是等腰直角三角形

3 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 10. 如图, 以直角三角形三边为边长作正方形, 其中两个以直角边为边长的正 方形面积分别为 225 和 400, 则正方形 A 的面积是 ( ) A.175B.575 C.625D 如图是我国古代数学家赵爽的 勾股圆方图, 它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形 如果大正方形的面积 13, 小正方形的面积是 1, 直角三角形的短直角边为 a, 较长的直角边为 b, 那么 (a+b) 2 的值为 ( ) A.169B.25 C.19 D 直角三角形有一条直角边长为 13, 另外两条边长为连续自然数, 则周长为 ( ) A.182B.183 C.184D 男孩戴维是城里的飞盘冠军, 戈里是城里最可恶的踩高跷的人, 两人约定一比高低. 戴维直立肩高 1m, 他投飞盘很有力, 但需在 13m 内才有威力 ; 戈里踩高跷时鼻子离地 13m, 他的鼻子是他唯一的弱点. 戴维需离戈里多远时才能击中对方的鼻子而获胜?( ) A.7m B.8m C.6m D.5m 14. 如图, 在 4 4 方格中作以 AB 为一边的 Rt ABC, 要求点 C 也在格点上, 这样的 Rt ABC 能作出 ( )

4 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.6 个 15. 如图, 直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为 S 1 S 2 S 3, 则 S 1 S 2 S 3 之间的关系是 ( ) A.S l +S 2 >S 3 B.S l +S 2 <S 3 C.S 1 +S 2 =S 3 D.S 1 2 +S 2 2 =S 直角三角形有一条直角边的长是 11, 另外两边的长都是自然数, 那么它的周长是 ( ) A.132B.121 C.120D. 以上答案都不对 17. 已知 ABC 中,AB=AC=10,BD 是 AC 边上的高线,DC=2, 那么 BD 等 于 ( ) A.4 B.6 C.8 D. 18. 一个直角三角形有两边长分别是 6 和 8, 下列说法正确的是 ( ) A. 第三边长是 10 B. 三角形的周长是 24 C. 三角形的面积是 24 D. 第三边是 10 或 一架 2.5 米长的梯子斜靠在一竖直的墙上, 这时梯子的顶端距墙脚 2.4 米. 那 么梯足离墙脚的距离是 ( ) 米. A.0.7 B.0.9 C.1.5 D 在 Rt ABC 中, C=90,AC=2,BC=2, 则 AB 为 ( ) A. 整数 B. 分数 C. 有理数 D. 以上都不对 21. 在 ABC 中, A: B: C=1:2:3, 则 BC:AC:AB=( )

5 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 A.1:2:3 B.1:4:9 C.1: : D.1: :2 22. 已知 AOB=90, 点 P 在 AOB 的平分线上,OP=6, 则点 P 到 OA,OB 的距离为 ( ) A.6,6 B.3,3 C.3,3 D.3,3 23. 已知直角三角形的斜边为 2, 周长为. 则其面积是 ( ) A. B.1 C. D 设直角三角形的三边长分别为 a b c, 若 c - b=b - a>0, 则 =( ) A.2 B.3 C.4 D 如图 Rt ABC 中,AB=BC=4,D 为 BC 的中点, 在 AC 边上存在一点 E, 连接 ED,EB, 则 BDE 周长的最小值为 ( ) A.2 B.2 C.2 +2 D 如图是某几何体的三视图及相关数据, 则判断正确的是 ( ) A.a>c B.b>c C.4a 2 +b 2 =c 2 D.a 2 +b 2 =c 如图, 一圆锥的底面半径为 2, 母线 PB 的长为 6,D 为 PB 的中点. 一只 蚂蚁从点 A 出发, 沿着圆锥的侧面爬行到点 D, 则蚂蚁爬行的最短路程为 ( )

6 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 A. B.2 C.3 D 如图, 长方体的长为 15, 宽为 10, 高为 20, 点 B 离点 C 的距离为 5, 一 只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B, 需要爬行的最短距离是 ( ) A.5 B.25 C D 如图, 一只蚂蚁从长宽都是 3, 高是 8 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点, 那么它所行的最短路线的长是 ( ) A.(3 +8)cm B.10cm C.14cm D. 无法确定 30. 如图, 是一块长 宽 高分别是 4cm,2cm 和 1cm 的长方体木块 一只 蚂蚁要从长方体木块的一个顶点 A 处, 沿着长方体的表面到长方体上和 A 相对 的顶点 B 处吃食物, 那么它需要爬行的最短路径的长是 ( ) A.5cm B.5.4cm C.6.1cm D.7cm

7 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 31. 如图, 边长为 1 的立方体中, 一只蚂蚁从 A 顶点出发沿着立方体的外表面 爬到 B 顶点的最短路程是 ( ) A.3 B. C. D 如图是一块长, 宽, 高分别是 6cm,4cm 和 3cm 的长方体木块一只蚂蚁 要从长方体木块的一个顶点 A 处, 沿着长方体的表面到长方体上和 A 相对的顶 点 B 处吃食物, 那么它需要爬行的最短路径的长是 ( ) A.(3+2 )cm B. cm C. cm D. cm 33. 如图, 点 A 的正方体左侧面的中心, 点 B 是正方体的一个顶点, 正方体的 棱长为 2, 一蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是 ( ) A.3 B. C. D 如图所示 : 有一个长 宽都是 2 米, 高为 3 米的长方体纸盒, 一只小蚂蚁 从 A 点爬到 B 点, 那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 ( ) A.3 米 B.4 米 C.5 米 D.6 米

8 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 35. 如图, 一圆柱体的底面圆周长为 24cm, 高 AB 为 4cm,BC 是直径, 一只 蚂蚁从点 A 出发, 沿着圆柱的表面爬行到点 C 的最短路程是 ( ) A.4 B.4 C. D.π+ 36. 如图, 是一个棱长为 2 的正方体, 一只蜘蛛在顶点 A 处, 一只小昆虫在顶 点 B 处, 则蜘蛛接近小昆虫时所爬行的最短路线的长是 ( ) A.6 B.2+ C. D. 37. 如图, 在棱长为 20cm 的正方体盒子上有一只蚂蚁欲从 A 点出发向 B 爬去 吃食, 则蚂蚁所走最短路程是 ( ) A.40cm B.20 cm C.20cm D.20 cm 38. 正方体盒子的棱长为 2,BC 的中点为 M, 一只蚂蚁从 A 点爬行到 M 点的 最短距离为 ( ) A. B. C.5 D 有一长 宽 高分别是 5cm,4cm,3cm 的长方体木块, 一只蚂蚁要从长 方体的一个顶点 A 处沿长方体的表面爬到长方体上和 A 相对的顶点 B 处, 则需 要爬行的最短路径长为 ( )

9 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 A.5 cm B. cm C.4 cm D.3 cm 40. 如图所示, 是一个圆柱体,ABCD 是它的一个横截面,AB=,BC=3, 一 只蚂蚁, 要从 A 点爬行到 C 点, 那么, 最近的路程长为 ( ) A.7 B. C. D 如图, 边长为 2 的正方体中, 一只蚂蚁从正方体下方一边 AB 的中点 P 出 发, 沿着正方体的外表面爬到其一顶点 C 处的最短路径是 ( ) A. B. C. D. 42. 如图是一个长 4m, 宽 3m, 高 2m 的有盖仓库, 在其内壁的 A 处 ( 长的四等分 ) 有一只壁虎,B 处 ( 宽的三等分 ) 有一只蚊子, 则壁虎爬到蚊子处最短距离为 ( )m. A.4.8 B. C.5 D. 43. 在下列条件中 :1 A+ B= C,2 A: B: C=1:2:3,3 A=90 - B,4 A= B= C 中, 能确定 ABC 是直角三角形的条件有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

10 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 44. 一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上, 那么这个三角形是 ( ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 45. 已知二条线段的长分别为 cm, cm, 那么能与它们组成直角三角形的 第三条线段的长是 ( ) A.1cm B. cm C.5cm D.1cm 与 cm 46. 在三边分别为下列长度的三角形中, 哪些不是直角三角形 ( ) A.5,13,12 B.2,3, C.4,7,5 D.1,, 47. 在下列以线段 a b c 的长为边, 能构成直角三角形的是 ( ) A.a=3,b=4,c=6 B.a=5,b=6,c=7 C.a=6,b=8,c=9 D.a=7,b=24,c= 以下列各组线段作为三角形的三边, 其中能够组成直角三角形的是 ( ) A.6,7,8 B.5,6,7 C.4,5,6 D.5,12, 三角形的三边长分别为 a 2 +b 2 2ab a 2 - b 2 (a b 都是正整数 ), 则这个 三角形是 ( ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 50. 如果 ABC 的三边分别为 m 2-1,2 m,m 2 +1(m>1) 那么 ( ) A. ABC 是直角三角形, 且斜边长为 m 2 +1 B. ABC 是直角三角形, 且斜边长为 2m C. ABC 是直角三角形, 但斜边长需由 m 的大小确定 D. ABC 不是直角三角形 51. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A.1.5,2,3 B.7,24,25 C.6,8,10 D.9,12,15

11 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 52. ABC 中 A B C 的对边分别是 a b c, 下列命题中的假命题是 ( ) A. 如果 C- B= A, 则 ABC 是直角三角形 B. 如果 c 2 =b 2 -a 2, 则 ABC 是直角三角形, 且 C=90 C. 如果 (c+a)(c-a)=b 2, 则 ABC 是直角三角形 D. 如果 A: B: C=5:2:3, 则 ABC 是直角三角形 53. 判断下列几组数据中, 可以作为直角三角形的三条边的是 ( ) A.6,15,17 B.7,12,15 C.13,15,20 D.7,24, 在 ABC 中,AB=12cm,BC=16cm,AC=20cm, 则 ABC 的面积是 ( ) A.96cm 2 B.120cm 2 C.160cm 2 D.200cm 以下列各组数据为边长作三角形, 其中能组成直角三角形的是 ( ) A.3,5,3 B.4,6,8 C.7,24,25 D.6,12, 下列各组数中, 可以构成直角三角形的三边长的是 ( ) A.3,4,5 B.4,5,6 C.5,6,7 D.6,7,8 57. 下列各组中不能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A.6,8,10 B.7,24,25 C.9,12,15 D.15,20, 若线段 a,b,c 能构成直角三角形, 则它们的比为 ( ) A.2:3:4 B.3:4:6 C.5:12:13 D.4:6:7 59. 下列由线段 a b c 组成的三角形, 不是直角三角形的是 ( ) A.a=3,b=4,c=5 B.a=1,b=,c= C.a=9,b=12,c=15 D.a=,b=2,c= 60. 下列各组数中能够作为直角三角形的三边长的是 ( ) A.2,3,4 B.12,22,32 C.4,5,9 D.,2, 61. 下列各组数分别为一个三角形三边的长, 其中能构成直角三角形的一组是 ( )

12 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.4,5,6 62. 已知三角形的三边长之比为 1:1:, 则此三角形一定是 ( ) A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 63. 适合下列条件的 ABC 中, 直角三角形的个数为 ( ) 1a=,b=,c= 2a=6, A=45 ;3 A=32, B=58 ;4a=7,b=24, c=25 5a=2,b=2,c=4 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 64. 在下列以线段 a,b,c 的长为三边的三角形中, 不能构成直角三角形的是 ( ) A.a=9,b=41,c=40 B.a=b=5,c=5 C.a:b:c=3:4:5 D.a=11,b=12,c= 如图所示, 在 Rt ABC 中, A=90,BD 平分 ABC, 交 AC 于点 D, 且 AB=4,BD=5, 则点 D 到 BC 的距离是 ( ) A.3 B.4 C.5 D 如图所示 : 数轴上点 A 所表示的数为 a, 则 a 的值是 ( ) A. +1 B. - +1C. - 1 D. 67. 下面四组数中是勾股数的有 ( ) (1)1.5,2.5,2;(2),,2;(3)12,16,20;(4)0.5,1.2,1.3. A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组

13 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 68. 如图, 正方形 ABCD 的边长为 3,E 在 BC 上, 且 BE=2,P 在 BD 上, 则 PE+PC 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 填空 : 1. 正方形的面积为 18cm 2, 则正方形对角线长为 cm. 2. 求图中直角三角形中未知的长度 :b=,c=. 3. Rt ABC, C=90,a=8,b=15, 则 c=. 4. 若直角三角形两直角边之比为 3:4, 斜边长为 20, 则它的面积 为. 5. 已知, 如图所示,Rt ABC 的周长为 4+2, 斜边 AB 的长为 2, 则 Rt ABC 的面积为. 6. 直角三角形的两条边长分别为 3 4, 则它的另一边长为. 7. 已知 : 如图, 以 Rt ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形. 若斜边 AB=6, 则图中阴影部分的面积为.

14 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 8. 在直角三角形中, 斜边与较小直角边的和, 差分别为 8,2, 则较长直角边长 为. 9. ABC 中, C=90, 若 a:b=3:4,c=10, 则 a=, b=. 10. 如图, 三个正方形中的两个的面积 S 1 =25,S 2 =144, 则另一个的面积 S 3 为. 11. 若三角形三边之比为 3:4:5, 周长为 24, 则三角形面积为. 12. 如图,AD 是 ABC 的中线, ADC=45, 把 ADC 沿 AD 对折, 点 C 落在 C 处, 则 BC 与 BC 之间的数量关系是 BC = BC. 13. 如图, 在高 2 米, 坡角为 30 的楼梯表面铺地毯, 地毯的长至少需 米. 14. 如图, 从电线杆离地面 6m 处向地面拉一条长 10m 的固定缆绳, 这条缆绳 在地面的固定点距离电线杆底部有 m.

15 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 15. 如图, 一根树在离地面 9 米处断裂, 树的顶部落在离底部 12 米处. 树折断 之前有米. 16. 小明要把一根长为 70cm 的长的木棒放到一个长 宽 高分别为 50cm, 40cm,30cm 的木箱中, 他能放进去吗? ( 填 能 或 不能 ). 17. 小明想知道学校旗杆有多高, 他发现旗杆上的绳子垂到地面还余 1m, 当他把绳子下端拉开 5m 后, 发现下端刚好接触地面, 则旗杆高度为米. 18. 如图, 在校园内有两棵树, 相距 12m, 一棵树高 13m, 另一棵树高 8m, 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端, 小鸟至少要飞 m. 19. 你听说过亡羊补牢的故事吗如图, 为了防止羊的再次丢次, 小明爸爸要在 高 0.9m, 宽 1.2m 的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板, 这条木板需 m 长. 20. 如图, 将一根长 24cm 的筷子, 底面直径为 5cm, 高为 12cm 的圆柱形水 杯中, 设筷子露在杯子外面的长度为 h cm, 则 h 的最小值是 cm.

16 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 21. 如图, 一架 10 米长的梯子斜靠在墙上, 刚好梯顶抵达 8 米高的路灯. 当电 工师傅沿梯上去修路灯时, 梯子下滑到了 B 处, 下滑后, 两次梯脚间的距离为 2 米, 则梯顶离路灯米. 22. 如图所示的圆柱体中底面圆的半径是, 高为 2, 若一只小虫从 A 点出发 沿着圆柱体的侧面爬行到 C 点, 则小虫爬行的最短路程是 保留根号 ).( 结果 23. 如图, 有一圆锥形粮堆, 其正视图是边长为 6m 的正三角形 ABC, 粮堆母线 AC 的中点 P 处有一老鼠正在偷吃粮食, 此时, 小猫正在 B 处, 它要沿圆锥侧面到达 P 处捕捉老鼠, 则小猫所经过的最短路程是 m.( 结果不取近似值 )

17 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 24. 如图, 这是一个供滑板爱好者使用的 U 型池, 该 U 型池可以看作是一个长方体去掉一个 半圆柱 而成, 中间可供滑行部分的截面是半径为 4m 的半圆, 其边缘 AB=CD=20m, 点 E 在 CD 上,CE=2m, 一滑板爱好者从 A 点滑到 E 点, 则他滑行的最短距离约为 m.( 边缘部分的厚度忽略不计, 结果保留整数 ) 25. 如图是一个三级台阶, 它的每一级长 宽 高分别是 2 米 0.3 米 0.2 米, A,B 是这个台阶上两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁, 想到 B 点去吃可口的食 物, 则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是米. 26. 一只蚂蚁从长 宽都是 3, 高是 8 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点, 那么它所行的最短路线的长是. 27. 如图, 有一圆柱, 其高为 12cm, 底面半径为 3cm, 在圆柱下底面 A 点处 有一只蚂蚁, 它想得到上底面 B 处的食物, 则蚂蚁经过的最短距离为 cm.(π 取 3)

18 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 28. 如图是一个三级台阶, 它的每一级的长 宽 高分别为 7 寸 5 寸和 3 寸, A 和 B 是这个台阶的两个相对端点,A 点上有一只蚂蚁想到 B 点去吃可口的食物, 则它所走的最短路线长度是寸. 29. 在一个长为 2 米, 宽为 1 米的矩形草地上, 如图堆放着一根长方体的木块, 它的棱长和场地宽 AD 平行且大于 AD, 木块的正视图是边长为 0.2 米的正方形, 一只蚂蚁从点 A 处, 到达 C 处需要走的最短路程是米.( 精确到 0.01 米 ) 30. 如图是一种 羊头 形图案, 其做法是 : 从正方形 1 开始, 以它的一边为斜边, 向外作等腰直角三角形, 然后再以其直角边为边, 分别向外作正方形 2 和 2,, 然后依此类推, 若正方形 1 的边长为 64cm, 则第 4 个正方形的边长为 cm. 31. 如图, 在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中, 若水杯中的水在点 P 与 易拉罐刚好接触, 则此时水杯中的水深为 cm.

19 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 32. 底角等于顶角一半的等腰三角形是三角形 ; 如果一个等腰三 角形的一个顶角为 80, 那么它的一个底角为. 33. 如图, 以等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 为边向内作等边 ABD, 连接 DC, 以 DC 为边作等边 DCE.B E 在 C D 的同侧, 若 AB=, 则 BE=. 34. 已知 : 如图, 以 Rt ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形. 若斜 边 AB=3, 则图中阴影部分的面积为. 35. 如图所示, 在 ABC 中, C=2 B, 点 D 是 BC 上一点,AD=5, 且 AD AB, 点 E 是 BD 的中点,AC=6.5, 则 AB 的长度为. 36. 如图, 一束光线从 y 轴上点 A(0,1) 发出, 经过 x 轴上点 C 反射后, 经过点 B(6,2), 则光线从 A 点到 B 点经过的路线的长度为.( 精确到 0.01)

20 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 37. 把两块含有 30 的相同的直角三角尺按如图所示摆放, 使点 C B E 在同 一直线上, 连接 CD, 若 AC=6cm, 则 BCD 的面积是 cm 如图, 以直角 ABC 的三边向外作正方形, 其面积分别为 S 1,S 2,S 3 且 S 1 =4, S 2 =8, 则 S 3 =. 39. 已知, 如图,O 是 ABC 的 ABC ACB 的角平分线的交点,OD AB 交 BC 于 D,OE AC 交 BC 于 E, 若 BC=10 cm, 则 ODE 的周长 cm. 40. 如图, 图 1 供你参考, 四边形 BDEF 是长方形,AD=5,BF=7,EF=4,CF=10, 图 2 是以三角形 a 的三边为边长向外作正方形, 正方形的面积表示在图中, 则 三角形 a 的面积是. 41. 如图, 已知 ADC 中, ADC=90,AD=DC, 三角形的顶点在相互平行的 三条直线 l 1,l 2,l 3 上, 且 l 1,l 2 之间的距离为 2,l 2,l 3 之间的距离为 3, 则 AC 的长是.

21 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 42. 如图, ABC 中, C=90, 1= B,CD=5,BD=13, 则 AC=. 43. 如图, 分别以直角三角形三边向外作三个半圆, 若 S 1 =30,S 2 =40, 则 S 3 =. 44.P 在 MON 的角平分线上,PA OM 于 A,PB ON 于 B, 若 OA=6cm, OP=10cm, 那么则 PB= cm. 45. 若等腰三角形 ABC 的周长为 16cm, 底边 BC 上高线 AD 长为 4cm, 则三 角形 ABC 的面积是 cm 如图, ABD 和 ACE 都是等腰直角三角形, BAD 和 CAE 是直角, 若 AB=6,BC=5,AC=4, 则 DE 的长为. 47. 如图, 所有的四边形都是正方形, 所有三角形都是直角三角形, 其中最大 的正方形的边长是 a, 则图中四个小正方形 A B C D 的面积之和 是.

22 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 48. 如图,Rt ABC 中, C=90,AC=2,BC=4, 分别以 AC BC 为直径作 半圆, 则图中阴影部分的面积为. 49. 在直线 l 上依次摆放着七个正方形 ( 如图所示 ). 已知斜放置的三个正方形 的面积分别是 1,2,3, 正放置的四个正方形的面积依次是 S 1,S 2,S 3,S 4, 则 S 1 +S 2 +S 3 +S 4 =. 解答 : 1. 如图 1 所示为一上面无盖的正方体纸盒, 现将其剪开展成平面图, 如图 2 所示. 已知展开图中每个正方形的边长为 1. (1) 求在该展开图中可画出最长线段的长度这样的线段可画几条? (2) 试比较立体图中 BAC 与平面展开图中 B A C 的大小关系? 2. 如图, ACB 和 ECD 都是等腰直角三角形, ACB= ECD=90,D 为 AB 边上一点, 求证 : (1) ACE BCD; (2)AD 2 +DB 2 =DE 2.

23 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 3. 如图, 把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠, 使点 B 落在边 AD 上的点 B 处, 点 A 落在点 A 处 ; (1) 求证 :B E=BF; (2) 设 AE=a,AB=b,BF=c, 试猜想 a,b,c 之间的一种关系, 并给予证明. 4. ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c. 若 C=90, 如图 1, 根据勾股定理, 则 a 2 +b 2 =c 2. 若 ABC 不是直角三角形, 如图 2 和图 3, 请你类比勾股定理, 试猜 想 a 2 +b 2 与 c 2 的关系, 并证明你的结论. 5.(1) 四年一度的国际数学家大会于 2002 年 8 月 20 日在北京召开, 大会会标如图 (1). 它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 若大正方形的面积为 13, 每个直角三角形两直角边的和是 5, 求中间小正方形的面积. (2) 现有一张长为 6.5cm, 宽为 2cm 的纸片, 如图 (2), 请你将它分割成 6 块, 再拼合成一个正方形. ( 要求 : 先在图 (2) 中画出分割线, 再画出拼成的正方形并标明相应数据 )

24 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 6. 在 Rt ABC 中, C=90, A B C 的对边长分别为 a b c, 设 ABC 的面积为 S, 周长为 l. (1) 填表 : 三边 a b c a+b-c (2) 如果 a+b-c=m, 观察上表猜想 : =,( 用含有 m 的代数式表示 ); (3) 说出 (2) 中结论成立的理由. 7. 如图所示, 折叠长方形的一边 AD, 使点 D 落在边 BC 的点 F 处, 已知 AB=8cm, BC=10cm, 则 EC 的长为 cm. 8. 如图, 将矩形 ABCD 沿直线 AE 折叠, 顶点 D 恰好落在 BC 边上 F 点处, 已 知 CE=3cm,AB=8cm, 求图中阴影部分的面积. 9. 在学习勾股定理时, 我们学会运用图 (I) 验证它的正确性 ; 图中大正方形的面积可表示为 : (a+b) 2, 也可表示为 :c 2 +4 ( ab), 即 (a+b) 2 =c 2 +4 ( ab) 由此推出勾股定理 a 2 +b 2 =c 2, 这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法, 简称 无字证明.

25 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 (1) 请你用图 (II)(2002 年国际数字家大会会标 ) 的面积表达式验证勾股定理 ( 其中四个直角三角形全等 ); (2) 请你用 (III) 提供的图形进行组合, 用组合图形的面积表达式验证 (x+y) 2 =x 2 +2xy+y 2 ; (3) 请你自己设计图形的组合, 用其面积表达式验证 :(x+p)(x+q) =x 2 +px+qx+pq=x 2 +(p+q)x+pq. 10. 据我国古代 周髀算经 记载, 公元前 1120 年商高对周公说, 将一根直尺折成一个直角, 两端连接得一个直角三角形, 如果勾是三 股是四, 那么弦就等于五. 后人概括为 勾三, 股四, 弦五. (1) 观察 :3,4,5;5,12,13;7,24,25;, 发现这些勾股数的勾都是奇数, 且从 3 起就没有间断过. 计算 (9-1) (9+1) 与 (25-1) (25+1), 并根据你发现的规律, 分别写出能表示 7,24,25 的股和弦的算式 ; (2) 根据 (1) 的规律, 用 n(n 为奇数且 n 3) 的代数式来表示所有这些勾股数的勾 股 弦, 合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明 ; (3) 继续观察 4,3,5;6,8,10;8,15,17;, 可以发现各组的第一个数都是偶数, 且从 4 起也没有间断过. 运用类似上述探索的方法, 直接用 m(m 为偶数且 m>4) 的代数式来表示他们的股和弦. 11. 大家在学完勾股定理的证明后发现运用 同一图形的面积不同表示方式相同 可以证明一类含有线段的等式, 这种解决问题的方法我们称之为面积法. 学有所用 : 在等腰三角形 ABC 中,AB=AC, 其一腰上的高为 h,m 是底边 BC 上的任意一点,M 到腰 AB AC 的距离分别为 h 1 h 2. (1) 请你结合图形来证明 :h 1 +h 2 =h;

26 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 (2) 当点 M 在 BC 延长线上时,h 1 h 2 h 之间又有什么样的结论. 请你画出图形, 并直接写出结论不必证明 ; (3) 利用以上结论解答, 如图在平面直角坐标系中有两条直线 l 1 :y= x+3,l 2 : y= -3x+3, 若 l 2 上的一点 M 到 l 1 的距离是. 求点 M 的坐标. 12. 如图, 正方形 MNPQ 网格中, 每个小方格的边长都相等, 正方形 ABCD 的顶点在正方形 MNPQ 的 4 条边的小方格顶点上. (1) 设正方形 MNPQ 网格内的每个小方格的边长为 1, 求 : 1 ABQ, BCM, CDN, ADP 的面积 ;2 正方形 ABCD 的面积 ; (2) 设 MB=a,BQ=b, 利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系, 你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗? 相信你能给出简明的推理过程. 13. 如图 (1) 所示, 一个梯子 AB 长 2.5 米, 顶端 A 靠在墙 AC 上, 这时梯子 下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米, 梯子滑动后停在 DE 位置上, 如图 (2) 所示, 测得 BD=0.5 米, 求梯子顶端 A 下落了多少米? 14. 如图,A 城气象台测得台风中心在 A 城正西方向 320km 的 B 处, 以每小 时 40km 的速度向北偏东 60 的 BF 方向移动, 距离台风中心 200km 的范围内 是受台风影响的区域.

27 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 (1)A 城是否受到这次台风的影响? 为什么? (2) 若 A 城受到这次台风影响, 那么 A 城遭受这次台风影响有多长时间? 15. 已知某开发区有一块四边形的空地 ABCD, 如图所示, 现计划在空地上种 植草皮, 经测量 A=90,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m, 若每平 方米草皮需要 200 元, 问要多少投入? 16. 为了丰富少年儿童的业余生活, 某社区要在如图所示 AB 所在的直线建一图书室, 本社区有两所学校所在的位置在点 C 和点 D 处,CA AB 于 A,DB AB 于 B, 已知 AB=25km,CA=15km,DB=10km, 试问 : 图书室 E 应该建在距点 A 多少 km 处, 才能使它到两所学校的距离相等? 17. 如图所示的一块地,AD=12m,CD=9m, ADC=90,AB=39m,BC=36m, 求这块地的面积. 18. 如图, 公路 AB 和公路 CD 在点 P 处交会, 且 APC=45, 点 Q 处有一所 小学,PQ=, 假设拖拉机行驶时, 周围 130m 以内会受到噪声的影响,

28 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 那么拖拉机在公路 AB 上沿 PA 方向行驶时, 学校是否会受到噪声影响? 请说明理由 ; 若受影响, 已知拖拉机的速度为 36km/h, 那么学校受影响的时间为多少秒? 19. 甲 乙两位探险者到沙漠进行探险, 没有了水, 需要寻找水源. 为了不致于走散, 他们用两部对话机联系, 已知对话机的有效距离为 15 千米. 早晨 8: 00 甲先出发, 他以 6 千米 / 时的速度向东行走,1 小时后乙出发, 他以 5 千米 / 时的速度向北行进, 上午 10:00, 甲 乙二人相距多远? 还能保持联系吗? 20. 如图, AOB=90,OA=45cm,OB=15cm, 一机器人在点 B 处看见一个小球从点 A 出发沿着 AO 方向匀速滚向点 O, 机器人立即从点 B 出发, 沿直线匀速前进拦截小球, 恰好在点 C 处截住了小球. 如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等, 那么机器人行走的路程 BC 是多少? 21. 印度数学家什迦逻 (1141 年-1225 年 ) 曾提出过 荷花问题 : 平平湖水清可鉴, 面上半尺生红莲 ; 出泥不染亭亭立, 忽被强风吹一边, 渔人观看忙向前, 花离原位二尺远 ; 能算诸君请解题, 湖水如何知深浅 请用学过的数学知识回答这个问题. 22. 如图, 两个小滑块 A B 由一根连杆连接,A B 分别可以在互相垂直的两 个滑道上滑动. 开始时滑块 A 距 O 点 16cm, 滑块 B 距 O 点 12cm. 那么滑块

29 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 A 向下滑动 6cm 时, 求滑块 B 向外滑动了多少 cm?( 结果精确到 0.1cm, 其 中, ) 23. 请阅读下列材料 : 问题 : 如图 (1), 一圆柱的底面半径 高均为 5cm,BC 是底面直径, 求一只蚂蚁从 A 点出发沿圆柱表面爬行到点 C 的最短路线. 小明设计了两条路线 : 路线 1: 侧面展开图中的线段 AC. 如下图 (2) 所示 : 设路线 1 的长度为 l 1, 则 l 2 1 =AC 2 =AB =5 2 +(5π) 2 =25+25π 2 路线 2: 高线 AB+ 底面直径 BC. 如上图 (1) 所示 : 设路线 2 的长度为 l 2, 则 l 2 2 =(AB+BC) 2 =(5+10) 2 =225 l 2 1 -l 2 2 =25+25π 2-225=25π 2-200=25(π 2-8)>0 l 2 1 >l 2 2, l 1 >l 2 所以要选择路线 2 较短. (1) 小明对上述结论有些疑惑, 于是他把条件改成 : 圆柱的底面半径为 1cm, 高 AB 为 5cm 继续按前面的路线进行计算. 请你帮小明完成下面的计算 : 路线 1:l 2 1 =AC 2 = ; 路线 2:l 2 2 =(AB+BC) 2 = l 1 2 l 2 2, l 1 l 2 ( 填 > 或 <) 选择路线 ( 填 1 或 2) 较短.

30 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 (2) 请你帮小明继续研究 : 在一般情况下, 当圆柱的底面半径为 r, 高为 h 时, 应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点 A 出发沿圆柱表面爬行到 C 点的路线最短. 24. 从下面两个题目中任选一题作答 : (A 题 ) 折竹抵地今有竹高一丈, 末折抵地, 去本三尺. 问折者高几何 ( 如图 ) 友情提醒 : 请写出解答这首诗的方法和步骤. (B 题 ) 海岛算经三国魏人刘徽, 自撰 海岛算经, 专论测高望远. 其中有一题, 是数学史上有名的测量问题. 今译如下 : 如图, 要测量海岛上一座山峰 A 的高度 AH, 立两根高三丈的标杆 BC 和 DE, 两竿相距 BD=1 000 步,D B H 成一线, 从 BC 退行 123 步到 F, 人目着地观察 A,A C F 三点共线 ; 从 DE 退行 127 步到 G, 从 G 看 A,A E G 三点也共线. 试算出山峰的高度 AH 及 HB 的距离.( 古制 1 步 =6 尺,1 里 =180 丈 =1 800 尺 =300 步. 结果用里和步来表示 ) 友情提醒 : 请写出必要的算法和过程. 25. 梅华中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时, 测量朝西教学楼 前的旗杆 AB 的高度. 如图, 当阳光从正西方向照射过来时, 旗杆 AB 的顶端 A 的影子落在教学楼前的坪地 C 处, 测得影长 CE=2m,DE=4m,BD=20m,DE 与地面的夹角 α=30 度. 在同一时刻, 测得一根长为 1m 的直立竹竿的影长恰为 4m. 根据这些数据求旗杆 AB 的高度.( 可能用到的数据 : 1.414, 1.732, 结果保留两个有效数字 )

31 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 朱韬老师共享 26. 参照如图, 写出勾股定理的逻辑证明. 27. 利用下面的图形分别给出勾股定理的两种证明. 28. 如图, 在平面内, 把矩形 ABCD 绕点 B 按顺时针方向旋转 90 得到矩形 A BC D. 设 AB=a,BC=b,BD=c. 请利用该图验证勾股定理.

32 解析 : 选择 : 1. 解 : 根据已知条件, ABC 是等腰直角三角形,CD 是中线. BD=DC, B= DCA=45. 又 BDC= EDH=90, 即 BDE+ EDC= EDC+ CDH BDE= CDH DBE DCG(ASA) DE=DG;BE=CG. 同理可证 : DCH DAF, 可得 :DF=DH;AF=CH. BC=AC,CH=AF, BH=CF. 故选 D. 2. 解 : 根据勾股定理, 这边上高线 = =3, 则以这边上高线为边长的 正方形的面积为 27cm 2. 故选 B. 3. 解 : 连接 AP BP CP, 设等边三角形的高为 h 正三角形 ABC 边长为 2 h= S BPC = S APC =,S APB = S ABC= AB=BC=AC S ABC = = PD+PF+PE=h= 故选 A.

33 4. 解 : 此题应分三种情况 : 1 以 AB 为腰, 点 A 为直角顶点 ; 可作 ABC 1 ABC 2, 两个等腰直角三角形 ; 2 以 AB 为腰, 点 B 为直角顶点 ; 可作 BAC 3 BAC 4, 两个等腰直角三角形 ; 3 以 AB 为底, 点 C 为直角顶点 ; 可作 ABC 5 ABC 6, 两个等腰直角三角形 ; 综上可知, 可作 6 个等腰直角三角形, 故选 C. 5. 解 : 如图 ; 连接 AB, 则 AB 必过 C D; Rt ACF 中,AC=AF,CF=10; 则 AC=AF=5 ; 同理可得 BD=5 ; Rt CDE 中,DE=CE=10, 则 CD=10 ; 所以 AB=AC+CD+BD=20 ; 故选 C. 6. 解 :AB 两点可连成一条线段, 当 AB 为左侧直角边时, 其左侧, 右侧各存在一点 C 可满足条件, 同理,AB 为右侧直角边时, 也有两点当为斜边时, 上下两侧也有两点成立. 所以共有 6 个点故选 C.

34 7. 解 : 以线段 AB 为斜边的等腰直角三角形有 2 个, 分别位于线段 AB 的两侧 ; 以 AB 为直角边的等腰直角三角形, 以 A 为直角顶点的有 2 个, 分别位于 AB 的两侧, 同理以 B 为直角顶点的有 2 个. 则以线段 AB 为一边的等腰直角三角形有 6 个. 故选 D. 8. 解 : ABC 是边长为 1 的等腰直角三角形, S ABC = 1 1= =2 1-2 ; AC= =,AD= =2, S ACD = =1=2 2-2 ; S ADE = 2 2=1=2 3-2 第 n 个等腰直角三角形的面积是 2 n-2. 故选 A. 9. 解 : 由等腰三角形的判定知 :A C 正确 ; B 设等腰三角形的底角为 x, 则等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 :90 -x, 顶角为 :180-2x=2(90 -x), 故 B 正确 ; D 有一个角的平分线平分对边的三角形不一定是等腰直角三角形, 故 D 错误. 故选 D. 10. 解 : 根据勾股定理, 正方形 A 的面积是 =625; 故选 C. 11. 解 : 大正方形的面积 13, 小正方形的面积是 1, 四个直角三角形的面积和是 13-1=12, 即 4 ab=12, 即 2ab=12,a 2 +b 2 =13, (a+b) 2 =13+12=25. 故选 B. 12. 解 : 设另一直角边长为 x, 斜边为 y, 根据勾股定理可得 x =y 2, 即 (y+x)(y-x)=169 1 因为 x y 都是连续自然数, 可得, 周长为 =182; 故选 A. 13. 解 : 则可作图如下 :

35 由于此三角形为直角三角形, 可以很直观的看到 x 2 = 所以 x=5. 故选 D. 14. 解 : 当 AB 是斜边时, 则第三个顶点所在的位置有 :C D,E,H 四个 ; 当 AB 是直角边,A 是直角顶点时, 第三个顶点是 F 点 ; 当 AB 是直角边,B 是直角顶点时, 第三个顶点是 G. 因而共有 6 个满足条件的顶点. 故选 D. 15. 解 : 设直角三角形三边分别为 a,b,c, 则三个半圆的半径分别为,, 由勾股定理得 a 2 +b 2 =c 2, 即 ( ) 2 +( ) 2 =( ) 2 两边同时乘以 π 得 π( ) 2 + π( ) 2 = π( ) 2 即 S 1 S 2 S 3 之间的关系是 S 1 +S 2 =S 3 故选 C. 16. 解 : 设另外两边是 a b(a>b) 则根据勾股定理, 得 :a 2 -b 2 =121 另外两边的长都是自然数 (a+b)(a-b)=121=121 1 即另外两边的和是 121, 故三角形的周长是 132. 故选 A. 17. 解 : 如图 ;

36 ABC 中,AB=AC=10,DC=2; AD=AC-DC=8; Rt ABD 中,AB=10,AD=8; 由勾股定理, 得 :BD= =6; 故选 B. 18. 解 :1 当 8 是斜边时, 根据勾股定理得第三边是 = = ; 2 当 8 是直角边时, 第三边是 =10; 故选 D. 19. 解 : 如图所示,AB 为梯子的长,AC 为梯子的顶端距墙脚的距离,BC 为梯足离墙脚的距离. 在 Rt ACB 中,AB=2.5 米,AC=2.4 米, 由勾股定理得, BC= = = =0.7 米. 所以梯足离墙脚的距离为 :0.7 米, 故选 :A. 20. 解 : ABC 是直角三角形, AB= 而 2 是开方开不尽的数, 故是无理数. 所以以上答案都不正确. 选 D. 21. 解 : A: B: C=1:2:3,

37 A=30, B=60, C=90. 设 BC=x, 则 AB=2x, 根据勾股定理, 得 AC= x, BC:AC:AB=1: :2. 故选 D. 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 解析 22. 解 : 作 PC OA 于 C, 由题意可得 OPC 是等腰直角三角形, 因为 OP=6, 根据勾股定理可得 PC=3, 根据角平分线的性质, 点 P 到 OB 的距离为 3. 故选 D. 23. 解 : 设两直角边分别为 :a,b, 斜边为 c, 直角三角形的斜边为 2, 周长为, a+b=, (a+b) 2 =a 2 +b 2 +2ab=c 2 +2ab=4+2ab=6, ab=1, 三角形有面积 = ab=, 故选 A. 24. 解 : c-b=b-a>0 c>b>a,c+a=2b 根据勾股定理得,c 2 -a 2 =b 2,(c+a)(c-a)=b 2, c-a= b =4 故选 C.

38 25. 解 : 过点 B 作 BO AC 于 O, 延长 BO 到 B, 使 OB =OB, 连接 DB, 交 AC 于 E, 此时 DB =DE+EB =DE+BE 的值最小. 连接 CB, 易证 CB BC, 根据勾股定理可得 DB = =2, 则 BDE 周长的最小值为 故选 C. 26. 解 : 根据勾股定理,a 2 +b 2 =c 2. 故选 :D. 27. 解 : 由题意知, 底面圆的直径 AB=4, 故底面周长等于 4π. 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 n, 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 4π=, 解得 n=120, 所以展开图中 APD=120 2=60, 因为半径 PA=PB, APB=60, 故三角形 PAB 为等边三角形, 又 D 为 PB 的中点, 所以 AD PB, 在直角三角形 PAD 中,PA=6,PD=3, 根据勾股定理求得 AD=3, 所以蚂蚁爬行的最短距离为 3. 故选 C.

39 28. 解 : 将长方体展开, 连接 A B, 根据两点之间线段最短, (1) 如图,BD=10+5=15,AD=20, 由勾股定理得 :AB= = = =25. (2) 如图,BC=5,AC=20+10=30, 由勾股定理得,AB= = = =5. (3) 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形, 如图 : 长方体的宽为 10, 高为 20, 点 B 离点 C 的距离是 5, BD=CD+BC=20+5=25,AD=10, 在直角三角形 ABD 中, 根据勾股定理得 : AB= = =5 ; 由于 25<5 <5, 故选 B.

40 29. 解 : 将点 A 和点 B 所在的两个面展开, 则矩形的长和宽分别为 6 和 8, 故矩形对角线长 AB= =10, 即蚂蚁所行的最短路线长是 10. 故选 B. 30. 解 : 因为平面展开图不唯一, 故分情况分别计算, 进行大 小比较, 再从各个路线中确定最短的路线. (1) 展开前面右面由勾股定理得 AB 2 =(2+4) =37; (2) 展开前面上面由勾股定理得 AB 2 =(1+4) =29; (3) 展开左面上面由勾股定理得 AB 2 =(2+1) =25. 所以最短路径的长为 AB= =5cm. 故选 A. 31. 解 : 如图将正方体展开, 根据两点之间, 线段最短, 得 : 最短路程是 =. 故选 B. 32. 解 : 第一种情况 : 把我们所看到的前面和上面组成一个平面, 则这个长方形的长和宽分别是 9 和 4, 则所走的最短线段是 = ; 第二种情况 : 把我们看到的左面与上面组成一个长方形,

41 则这个长方形的长和宽分别是 7 和 6, 所以走的最短线段是 = ; 第三种情况 : 把我们所看到的前面和右面组成一个长方形, 则这个长方形的长和宽分别是 10 和 3, 所以走的最短线段是 = ; 三种情况比较而言, 第二种情况最短. 所以选 C. 33. 解 : 如图,AB= =. 故选 C. 34. 解 : 由题意得, 路径一 :AB= = ; 路径二 :AB= =5; 路径三 :AB= = ; >5, 5 为最短路径. 故选 C. 35. 解 : 将将圆柱体展开, 连接 A C, 根据两点之间线段最短,AC= =4. 故选 B. 36. 解 : 在直角三角形中, 一条直角边长等于棱长, 另一条直角边长等于两条 棱长之和, 利用勾股定理可求得 AB= =2. 故选 D.

42 37. 解 : 依题意知 : 矩形的长是 40, 宽是 20. 根据两点之间线段最短, 知矩形的对角线即蚂蚁所走的最短路程. 运用勾股定理得 : =20 cm. 故选 D. 38. 解 : 展开正方体的点 M 所在的面, BC 的中点为 M, 所以 MC= BC=1, 在直角三角形中 AM= =. 故选 A. 39. 解 : 因为平面展开图不唯一, 故分情况分别计算, 进行大 小比较, 再从各个路线中确定最短的路线. (1) 展开前面 右面, 由勾股定理得 AB 2 =(5+4) =90; (2) 展开前面 上面, 由勾股定理得 AB 2 =(3+4) =74; (3) 展开左面 上面, 由勾股定理得 AB 2 =(3+5) =80; 所以最短路径长为 cm. 故选 B. 40. 解 : 将圆柱体展开, 连接 A C, = = π =4,BC=3, 根据两点之间线段最短,AC= =5. 故选 D. 41. 解 : 可以把 P 和 C 所在的两个平面展开到一个平面内, 则两点之间, 线段最短. 根据勾股定理得 : PC = =. 故选 A. 42. 解 : 有两种展开方法 : 1 将长方体展开成如图所示, 连接 A B,

43 根据两点之间线段最短,AB= = m; 2 将长方体展开成如图所示, 连接 A B, 则 AB= =5< m; 故选 C. 43. 解 :1 因为 A+ B= C, 则 2 C=180, C=90, 所以 ABC 是直角三角形 ; 2 因为 A: B: C=1:2:3, 设 A=x, 则 x+2x+3x=180,x=30, C=30 3=90, 所以 ABC 是直角三角形 ; 3 因为 A=90 - B, 所以 A+ B=90, 则 C= =90, 所以 ABC 是直角三角形 ; 4 因为 A= B= C, 所以三角形为等边三角形. 所以能确定 ABC 是直角三角形的有 123 共 3 个. 故选 :C. 44. 解 : 如图,CA CB 的中点分别为 D E,CA CB 的垂直平分线 OD OE 相交于点 O, 且点 O 落在 AB 边上, 连接 CO, OD 是 AC 的垂直平分线, OC=OA, 同理 OC=OB, OA=OB=OC, A B C 都落在以 O 为圆心, 以 AB 为直径的圆周上, C 是直角. 故选 C.

44 45. 解 : 根据勾股定理的逆定理列出方程解即可, 有第三边是斜边或者是直角 边两种情况. 当第三边是斜边时, 第三边 = = (cm), 当第三边是直角边时, 第三边 = =1(cm). 故选 D. 46. 解 :A =13 2, 根据勾股定理的逆定理, 是直角三角形, 故错误 ; B, 根据勾股定理的逆定理, 是直角三角形, 故错误 ; C , 根据勾股定理的逆定理, 不是直角三角形, 故正确 ; D, 根据勾股定理的逆定理, 是直角三角形, 故错误. 故选 C. 47. 解 :A , 故不符合勾股定理的逆定理, 不能组成直角三角形, 故错误 ; B , 故不符合勾股定理的逆定理, 不能组成直角三角形, 故错误 ; C , 故不符合勾股定理的逆定理, 不能组成直角三角形, 故错误 ; D =25 2, 故符合勾股定理的逆定理, 能组成直角三角形, 故正确. 故选 D. 48. 解 :A , 不能构成直角三角形, 故错误 ; B , 不能构成直角三角形, 故错误 ; C , 不能构成直角三角形, 故错误 ; D 13 2 = , 能构成直角三角形, 故正确. 故选 D 49. 解 : 根据勾股定理的逆定理可知, 当三角形中三边的关系为 :a 2 +b 2 =c 2 时, 则三角形为直角三角形, (a 2 - b 2 ) 2 +(2ab) 2 =(a 2 +b 2 ) 2, 三角形为直角三角形. 故选 A. 50. 解 : (m 2-1) 2 +(2 m) 2 =(m 2 +1) 2, 三角形为直角三角形, 且斜边长为 m 2 +1, A ABC 是直角三角形, 且斜边长为 m 2 +1, 正确 ; B ABC 是直角三角形, 且斜边长为 2m, 错误 ; C ABC 是直角三角形, 但斜边长需由 m 的大小确定, 错误 ; D ABC 是直角三角形, 错误. 故选 A.

45 51. 解 :A , 不符合勾股定理的逆定理, 故正确 ; B =25 2, 符合勾股定理的逆定理, 故错误 ; C =10 2, 符合勾股定理的逆定理, 故错误 ; D =15 2, 符合勾股定理的逆定理, 故错误. 故选 A. 52. 解 :A 根据三角形内角和定理, 可求出角 C 为 90 度, 故正确 ; B 解得应为 B=90 度, 故错误 ; C 化简后有 c 2 =a 2 +b 2, 根据勾股定理, 则 ABC 是直角三角形, 故正确 ; D 设三角分别为 5x,3x,2x, 根据三角形内角和定理可求得三外角分别为 : 90 度,36 度,54 度, 则 ABC 是直角三角形, 故正确. 故选 B. 53. 解 :A, , 不符合 ; B, , 不符合 ; C, , 不符合 ; D, =25 2, 符合. 故选 D 54. 解 : AB 2 +BC 2 =AC 2 ABC 是直角三角形 B=90 ABC 的面积 = AB BC= 12 16=96cm 2. 故选 A. 55. 解 :A ; B ; C =25 2 ; D 根据勾股定理 7,24,25 能组成直角三角形, 故选 C. 56. 解 :A =5 2, 能构成直角三角形, 故符合题意 ; B , 不能构成直角三角形, 故不符合题意 ; C , 不能构成直角三角形, 故不符合题意 ; D , 不能构成直角三角形, 故不符合题意. 故选 A.

46 57. 解 :A 能, 因为 : =10 2 ; B 能, 因为 =25 2 ; C 能, 因为 =15 2 ; D 不能, 因为 故选 D. 58. 解 :A , 不能构成直角三角形, 故错误 ; B , 不能构成直角三角形, 故错误 ; C =13 2, 能构成直角三角形, 故正确 ; D , 不能构成直角三角形, 故错误. 故选 C. 59. 解 :A =5 2, 能构成直角三角形, 故正确 ; B 1 2 +( ) 2 =( ) 2, 能构成直角三角形, 故正确 ; C =15 2, 能构成直角三角形, 故正确 ; D ( ) ( ) 2, 不能构成直角三角形, 故错误. 故选 D. 60. 解 :A , 根据勾股定理, 不是直角三角形, 故错误 ; B , 根据勾股定理, 不是直角三角形, 故错误 ; C , 根据勾股定理, 不是直角三角形, 故错误 ; D, 根据勾股定理, 是直角三角形, 故正确. 故选 D. 61. 解 : 因为 = =25, 所以 =5 2, 所以能构成直角三角形的是 C. 故选 C. 62. 解 : 由题意设三边长分别为 :x,x, x x 2 +x 2 =( x) 2, 三角形一定为直角三角形, 并且是等腰三角形. 故选 D. 63. 解 :1, 根据勾股定理的逆定理不是直角三角形, 故不是 ; 2a=6, A=45 不是成为直角三角形的必要条件, 故不是 ; 3 A=32, B=58 则第三个角度数是 90, 故是 ; =25 2, 根据勾股定理的逆定理是直角三角形, 故是 ; , 根据勾股定理的逆定理不是直角三角形, 故不是. 故选 A.

47 64. 解 :A =41 2, 根据勾股定理的逆定理, 能组成直角三角形, 故 A 选项错误 ; B, 根据勾股定理的逆定理, 能组成直角三角形, 故 B 选项错误 ; C 设 a=3k, 则 b=4k,c=5k, 则 (3k) 2 +(4k) 2 =(5k) 2, 根据勾股定理的逆定理, 能组成直角三角形, 故 C 选项错误 ; D , 根据勾股定理的逆定理, 不能组成直角三角形, 故 D 选项正确. 故选 :D. 65. 解 : 过 D 点作 DE BC 于 E. A=90,AB=4,BD=5, AD= = =3, BD 平分 ABC, A=90, 点 D 到 BC 的距离 =AD=3. 故选 :A. 66. 解 : 图中的直角三角形的两直角边为 1 和 2, 斜边长为 : =, -1 到 A 的距离是, 那么点 A 所表示的数为 : -1. 故选 C. 67. 解 :(1) =2.5 2, 但不是正整数, 故错误 ; (2)( ) 2 +( ) 2 =2 2, 能构成直角三角形, 但不是整数, 故错误 ; (3) =20 2, 三边是整数, 同时能构成直角三角形, 故正确 ; (4) =1.3 2, 但不是正整数, 故错误. 故选 A

48 68. 解 : 如图, 连接 AE, 因为点 C 关于 BD 的对称点为点 A, 所以 PE+PC=PE+AP, 根据两点之间线段最短可得 AE 就是 AP+PE 的最小值, 正方形 ABCD 的边长为 3,BE=2cm, AE= =, PE+PC 的最小值是 cm. 故选 B 填空 : 1. 解 : 设对角线长是 xcm. 则有 x 2 =18, 即 x=6. 2. 解 : 根据勾股定理得 :b= = =12; c= = =30. 故答案为 :12, 解 : Rt ABC, C=90,a=8,b=15 由勾股定理得 c= = = 解 : 根据题意, 设两直角边是 3x 4x, 则 (3x) 2 +(4x) 2 =20 2, 解得 x=4, 所以两直角边为 12,16; 12 16=96, 所以它的面积是 解 : 设 AC=a,BC=b,,, (a+b) 2 =a 2 +b 2 +2ab=12+2ab=16, ab=2, Rt ABC 的面积为 ab= 2=1. 故答案为 :1.

49 6. 解 :4 是直角边时, 则第三边 = =5; 4 是斜边时, 则第三边 = =. 则第三边是 5 或. 7. 解 : 设两条直角边是 a,b, 则 a 2 +b 2 =6 2, 则 S 阴影 = = 18 = = 解 : 设斜边与较小直角边分别是 c,a 由题意可知, 解得 a=3,c=5 由勾股定理可知 b=4. 9. 解 : 设 a=3x,b=4x 根据勾股定理得 :c=5x 又 c=10 所以 x=2 所以 a=6,b= 解 : 由题可知, 在直角三角形中两直角边的平方分别为 25 和 144, 所以斜 边的平方为 =169, 即面积 S 3 为 解 : 设三角形的三边是 3x,4x,5x, 则 3x+4x+5x=24, 解得 x=2 三角形的三边是 6,8,10 三角形的面积 = 6 8= 解 :BD=C D=x, BC D= ADC=45, 可得 C DB=90 ; 故 BC = BC 13. 解 : 已知直角三角形的高是 2 米, 根据三角函数得到 : 水平的直角边是 2cos30 =2, 则地毯水平的部分的和是水平边的和, 竖直的部分的和是竖直边, 则地毯的长是 (2+2 ) 米.

50 14. 解 : 如图所示,AB=6m,AC=10m, 根据勾股定理可得 :BC= = =8m. 故这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部 8m. 15. 解 : 因为 AB=9 米,AC=12 米, 根据勾股定理得 BC= =15 米, 于是折断前树的高度是 15+9=24 米. 故答案为 : 解 : 可设放入长方体盒子中的最大长度是 xcm, 根据题意, 得 x 2 = =5000, 70 2 =4900, 因为 4900<5000, 所以能放进去. 17. 解 : 设旗杆高 xm, 则绳子长为 (x+1)m, 旗杆垂直于地面, 旗杆, 绳子与地面构成直角三角形, 由题意列式为 x =(x+1) 2, 解得 x=12m.

51 18. 解 : 两棵树高度相差为 AE=13-8=5m, 之间的距离为 BD=CE=12m, 即 直角三角形的两直角边, 故斜边长 AC= =13m, 即小鸟至少要飞 13m. 19. 解 : 由图可知这条木板的长为 = =1.5m. 20. 解 : 设杯子底面直径为 a, 高为 b, 筷子在杯中的长度为 c, 根据勾股定理, 得 : c 2 =a 2 +b 2, 故 :c= = =13cm,h=24-13=11cm. 21. 解 : 在直角三角形 AOB 中, 根据勾股定理, 得 : OB=6m, 根据题意, 得 :OB =6+2=8m. 又 梯子的长度不变, 在 Rt A OB 中, 根据勾股定理, 得 :OA =6m. 则 AA =8-6=2m. 22. 解 : 圆柱的侧面展开图是一个矩形, 此矩形的长等于圆柱底面周长,C 是边 的中点, 矩形的宽即高等于圆柱的母线长. AB=π =2,CB=2. AC= = =2, 故答案为 : 解 : 圆锥的底面周长是 6π, 则 6π=, n=180, 即圆锥侧面展开图的圆心角是 180 度.

52 则在圆锥侧面展开图中 AP=3,AB=6, BAP=90 度. 在圆锥侧面展开图中 BP= m. 故小猫经过的最短距离是 m. 故答案是 : 解 : 其侧面展开图如图 :AD=πR=4π,AB=CD=20m.DE=CD-CE=20-2=18m, 在 Rt ADE 中,AE= = m. 故他滑行的最短距离约为 22m. 25. 解 : 三级台阶平面展开图为长方形, 长为 2, 宽为 ( ) 3, 则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长. 可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 x, 由勾股定理得 :x 2 =2 2 +[( ) 3] 2 =2.5 2, 解得 x= 解 : 将点 A 和点 B 所在的两个面展开, 则矩形的长和宽分别为 6 和 8, 故矩形对角线长 AB= =10,

53 即蚂蚁所行的最短路线长是 10. 故答案为 :10. 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 解析 27. 解 : 圆柱展开图为长方形, 则 A,B 所在的长方形的长为圆柱的高 12cm, 宽为底面圆周长的一半为 πrcm, 蚂蚁经过的最短距离为连接 A,B 的线段长, 由勾股定理得 AB= = = =15cm. 故蚂蚁经过的最短距离为 15cm.(π 取 3) 28. 解 : 将台阶展开矩形, 线段 AB 恰好是直角三角形的斜边, 两直角边长分别 为 24 寸,7 寸, 由勾股定理得 AB= =25 寸. 29. 解 : 由题意可知, 将木块展开, 相当于是 AB+2 个正方形的宽, 长为 =2.4 米 ; 宽为 1 米. 于是最短路径为 : =2.60 米. 故答案为 :2.60.

54 30. 解 : 根据题意 : 第一个正方形的边长为 64cm; 第二个正方形的边长为 : 64=32 ; 第三个正方形的边长为 : 32 =32; 此后, 每一个正方形的边长是上一个正方形的边长, 所以第 n 个正方形的边长为 64 ( ) n - 1 cm, 则第 4 个正方形的边长为 64 ( ) 3 =16 cm. 31. 解 : 如图, 依题意得 PBC 是一个斜边为 8cm 的等腰直角三角形, 此三角形中斜边上的高应该为 4cm, 水深至少应为 10-4=6cm. 32. 解 : 设顶角为 x, 则底角为, 2 +x=180, 解得 x=90, 两个底角为 45, 底角等于顶角一半的等腰三角形是等腰直角三角形 ; 底角为 ( ) 2= 解 : 等腰直角三角形 ABC 中,AB=, AC= AB=1, 等边 ABD 和等边 DCE, AD=BD,CD=ED, ADB= CDE, ADC= BDE, 在 ADC 和 BDE 中,, ADC BDE(SAS), BE=AC= 解 : 在 Rt ABC 中,AB 2 =AC 2 +BC 2,AB=3, S 阴影 =S AHC +S BFC +S AEB = + + = (AC 2 +BC 2 +AB 2 )= AB 2,= 3 2 =. 故图中阴影部分的面积为. 35. 解 :Rt ABD 中,E 是 BD 的中点, 则 AE=BE=DE;

55 B= BAE, 即 AED=2 B; C=2 B, AEC= C, 即 AE=AC=6.5; BD=2AE=13; 由勾股定理, 得 :AB= = 解 : 延长 BC 交 y 轴于 D, 过 B 作 BE DE 于 E, 根据光学反射原理得 ACO= BCX, 而 BCX= DCO ACO= DCO ACO DCO AC=DC OD=OA=1. 在直角 DBE 中,BE=6,DE=2+1=3, DB= = 光线从 A 到 B 经过的路线的长度约是 故答案为 : 解 : 两块三角尺是有 30 的相同的直角三角尺, ABC= EBD=30, =,cos ABC=cos30 = =, AB=BE=2AC=2DE=2 6=12,BC= AB= 12=6, BD=6, 过 D 作 DF BE, 在 Rt BDF 中, DBE=30, = =,DF=3, S BCD = BC DF= 6 3 =27cm 2. 故答案为 : 解 : ABC 直角三角形, BC 2 +AC 2 =AB 2, S 1 =BC 2,S 2 =AC 2,S 3 =AB 2,S 1 =4,S 2 =8, S 3 =S 1 +S 2 = 解 : OC OB 分别是 ACB ABC 的角平分线,

56 5= 6, 1= 2, OD AB,OE AC, 4= 6, 1= 3. 4= 5, 2= 3, 即 OD=BD,OE=CE. ODE 的周长 =OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10cm. 故答案为 : 解 : 由题意即求 S AEC =S ABC - S ADE - S EFC - S BFED = = 解 : 如下图所示 : 过点 C 作 CE l 3 于 E, 过点 A 作 AF l 3 于 F, 则 :CE=5,AF=3. 在 ADC 中, ADC=90, ADF+ CDE=90, ADF+ DAF=90, CDE= DAF, 在 ADF 和 DCE 中,, ADF DCE(AAS), DE=AF=3, CD 2 =CE 2 +DE 2, CD=, AC 2 =AD 2 +CD 2,AD=CD= AC=2. 故答案为 : 解 : 1= B, AD=BD=13.

57 在直角三角形 ACD 中, 根据勾股定理, 得 AC= 解 : 设直角三角形三边分别为 a b c, 如图所示 : 则 S 1 = π( ) 2 =,S 2 = π( ) 2 =,S 3 = π( ) 2 =. 因为 a 2 +b 2 =c 2, 所以 + =. 即 S 1 +S 2 =S 3. 所以 S 3 = 解 : P 在 MON 的角平分线上,PA OM 于 A,PB ON 于 B PB=PA 在 Rt AOP 中 OA=6cm,OP=10cm PA=8cm PB=8cm. 45. 解 : 如图, AB=AC,AD BC,AD=4cm BD= BC 等腰三角形 ABC 的周长为 16cm 2AB+2BD=16cm, 即 AB+BD=81, 在 Rt ABD 中, 根据勾股定理得 :BD 2 =AB 2 -AD 2 =AB , 联立 12 方程, 解得,AB=5cm,DB=3cm BC=6cm S ABC = BC AD= 6 4 =12cm 解 : 如图, 连接 BE, 交 CD 于 F.

58 根据 SAS 可以证明 ADC ABE, 则 ADC= ABE. 则 DBF+ BDF=90 则 BFD=90. 根据勾股定理得 : DF 2 =BD 2 -BF 2,EF 2 =CE 2 -CF 2,BF 2 +CF 2 =BC 2. 根据已知条件和勾股定理得 BD=6,CE=4 所以 DE 2 =DF 2 +EF 2 =BD 2 -BF 2 +CE 2 -CF 2 =BD 2 +CE 2 -(BF 2 +CF 2 ) =BD 2 +CE 2 -BC 2 = =79, DE=. 47. 解 : 如图, 由勾股定理可知, 正方形 A 与 B 的面积和等于正方形 M 的面积. 正方形 C 与 D 的面积和等于正方形 N 的面积. 并且正方形 M 与 N 的面积和等于最大的正方形的面积. 因此 A B C D 的面积之和是为最大正方形的面积 =a 解 : 图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积. 即阴影部分的面积 = π 4+ π = π-4. 所以阴影部分的面积是 π

59 解 : 观察发现, AB=BE, ACB= BDE=90, ABC+ BAC=90, ABC+ EBD=90, BAC= EBD, ABC BDE(AAS), BC=ED, AB 2 =AC 2 +BC 2, AB 2 =AC 2 +ED 2 =S 1 +S 2, 即 S 1 +S 2 =1, 同理 S 3 +S 4 =3. 则 S 1 +S 2 +S 3 +S 4 =1+3=4. 故答案为 :4. 解答 : 1. 解 :(1) 在平面展开图中可画出最长的线段长为,(1 分 ) 如图 (1) 中的 A C, 在 Rt A C D 中, C D =1,A D =3, 由勾股定理得,.(3 分 ) 答 : 这样的线段可画 4 条 ( 另三条用虚线标出 ).(4 分 ) (2) 立体图中 BAC 为平面等腰直角三角形的一锐角, BAC=45.(5 分 ) 在平面展开图中, 连接线段 B C, 由勾股定理可得 :A'B'=,B'C'=.(7 分 ) 又 A B 2 +B C 2 =A C 2, 由勾股定理的逆定理可得 A'B'C' 为直角三角形.

60 又 A B =B C, A B C 为等腰直角三角形.(8 分 ) B A C =45.(9 分 ) BAC 与 B A C 相等.(10 分 ) 2. 证明 :(1) ACB= ECD=90, ACD+ BCD= ACD+ ACE, 即 BCD= ACE. BC=AC,DC=EC, ACE BCD. (2) ACB 是等腰直角三角形, B= BAC=45 度. ACE BCD, B= CAE=45 DAE= CAE+ BAC= =90, AD 2 +AE 2 =DE 2. 由 (1) 知 AE=DB, AD 2 +DB 2 =DE 2. 3.(1) 证明 : 由题意得 B F=BF, B FE= BFE, 在矩形 ABCD 中,AD BC, B EF= BFE, B FE= B'EF, B F=B E, B E=BF; (2) 答 :a,b,c 三者关系不唯一, 有两种可能情况 : (ⅰ)a,b,c 三者存在的关系是 a 2 +b 2 =c 2. 证明 : 连接 BE, 由 (1) 知 B E=BF=c, B E=BE, 四边形 BEB F 是平行四边形, BE=c. 在 ABE 中, A=90, AE 2 +AB 2 =BE 2, AE=a,AB=b, a 2 +b 2 =c 2 ; (ⅱ)a,b,c 三者存在的关系是 a+b>c.

61 证明 : 连接 BE, 则 BE=B E. 由 (1) 知 B E=BF=c, BE=c, 在 ABE 中,AE+AB>BE, a+b>c. 勾股定理 145 题 ( 含解析 )--- 解析 4. 解 : 若 ABC 是锐角三角形, 则有 a 2 +b 2 >c 2 (1 分 ) 若 ABC 是钝角三角形, C 为钝角, 则有 a 2 +b 2 <c 2.(2 分 ) 当 ABC 是锐角三角形时, 证明 : 过点 A 作 AD BC, 垂足为 D, 设 CD 为 x, 则有 BD=a-x(3 分 ) 根据勾股定理, 得 b 2 -x 2 =AD 2 =c 2 -(a-x) 2 即 b 2 -x 2 =c 2 -a 2 +2ax-x 2. a 2 +b 2 =c 2 +2ax(5 分 ) a>0,x>0, 2ax>0. a 2 +b 2 >c 2.(6 分 ) 当 ABC 是钝角三角形时, 证明 : 过 B 作 BD AC, 交 AC 的延长线于 D. 设 CD 为 y, 则有 BD 2 =a 2 -y 2 (7 分 ) 根据勾股定理, 得 (b+y) 2 +a 2 -y 2 =c 2. 即 a 2 +b 2 +2by=c 2.(9 分 ) b>0,y>0, 2by>0, a 2 +b 2 <c 2.(10 分 ) 5. 解 :(1) 设直角三角形的两条边分别为 a b(a>b),

62 则依题意有 :, 1 两边平方-2, 得 ab=6, (a-b) 2 =(a+b) 2-4ab=1, a-b=1, 故小正方形的面积为 1. (2) 6. 解 :(1) Rt ABC 的面积 S= ab, 周长 l=a+b+c, 故当 a b c 三边分别为 时,S= 3 4=6,l=3+4+5=12, 故 =, 同理将其余两组数据代入可得为 1,. 应填 :,1, (2) 通过观察以上三组数据, 可得出. (3) l=a+b+c,m=a+b-c, lm=(a+b+c)(a+b-c)=(a+b) 2 -c 2 =a 2 +2ab+b 2 -c 2. C=90, a 2 +b 2 =c 2,s= ab, lm=4s. 即. 7. 解 : D,F 关于 AE 对称, 所以 AED 和 AEF 全等, AF=AD=BC=10,DE=EF, 设 EC=x, 则 DE=8-x. EF=8-x, 在 Rt ABF 中,BF= =6, FC=BC-BF=4. 在 Rt CEF 中, 由勾股定理得 :CE 2 +FC 2 =EF 2, 即 :x =(8-x) 2, 解得 x=3. EC 的长为 3cm. 8. 解 : 由折叠可知 ADE 和 AFE 关于 AE 成轴对称, 故 AF=AD,EF=DE=DC - CE=8-3=5.

63 所以 CF=4, 设 BF=xcm, 则 AF=AD=BC=x+4. 在 Rt ABF 中, 由勾股定理, 得 8 2 +x 2 =(x+4) 2. 解得 x=6, 故 BC=10. 所以阴影部分的面积为 :10 8-2S ADE =80-50=30(cm 2 ). 9. 解 :(1) 大正方形的面积为 :c 2, 中间空白部分正方形面积为 :(b-a) 2 ; 四个阴影部分直角三角形面积和为 :4 ab; 由图形关系可知 : 大正方形面积 = 空白正方形面积 + 四直角三角形面积, 即有 : c 2 =(b-a) 2 +4 ab=b 2-2ab+a 2 +2ab=a 2 +b 2 ; (2) 如图示 : 大正方形边长为 (x+y) 所以面积为 :(x+y) 2, 它的面积也等于 两个边长分别为 x,y 和两个长为 x 宽为 y 的矩形面积之和, 即 x 2 +2xy+y 2 所以有 :(x+y) 2 =x 2 +2xy+y 2 成立 ; (3) 如图示 : 大矩形的长 宽分别为 (x+p),(x+q), 则其面积为 :(x+p) (x+q), 从图形关系上可得大矩形为一个边长为 x 的正方形和三个小矩形构成的则其面积又可表示为 :x 2 +px+qx+pq, 则有 :(x+p)(x+q) =x 2 +px+qx+pq=x 2 +(p+q)x+pq. 10. 解 :(1) (9-1)=4, (9+1)=5; (25-1)=12, (25+1) =13; 7,24,25 的股的算式为 (49-1)= (7 2-1) 弦的算式为 (49+1)= (7 2 +1);(4 分 ) (2) 当 n 为奇数且 n 3, 勾 股 弦的代数式分别为 :n,(n 2-1),(n 2 +1).(7 分 )

64 例如关系式 1: 弦-股 =1; 关系式 2: 勾 2 + 股 2 = 弦 2 (9 分 ) 证明关系式 1: 弦-股 = (n 2 +1) - (n 2-1)= [(n 2 +1) -(n 2-1)]=1 或证明关系式 2: 勾 2 + 股 2 =n 2 +[ (n 2-1)] 2 = n 4 + n 2 + = (n 2 +1) 2 = 弦 2 猜想得证 ;(12 分 ) (3) 例如探索得, 当 m 为偶数且 m>4 时, 股 弦的代数式分别为 :,.(14 分 ) 另加分问题, 例如 : 连接两组勾股数中, 上一组的勾 股与下一组的勾的和等于下一组的股. 即上一组为 :n, (n 2-1), (n 2 +1)(n 为奇数且 n 3), 分别记为 :A 1 B 1 C 1, 下一组为 :n+2, [(n+2) 2-1], [(n+2) 2 +1](n 为奇数且 n 3), 分别记为 :A 2 B 2 C 2, 则 :A 1 +B 1 +A 2 =n+ (n 2-1)+(n+2)= (n 2 +4n+3)= [(n+2) 2-1]=B 2. 或 B 1 +C 2 =B 2 +C 1 ( 证略 ) 等等. 11.(1) 证明 : 连接 AM, 由题意得 h 1 =ME,h 2 =MF,h=BD, S ABC =S ABM +S AMC, S ABM = AB ME= AB h 1, S AMC = AC MF= AC h 2, 又 S ABC = AC BD= AC h,ab=ac, AC h= AB h 1 + AC h 2, h 1 +h 2 =h. (2) 解 : 如图所示 : h 1 - h 2 =h. (3) 解 : 在 y= x+3 中, 令 x=0 得 y=3; 令 y=0 得 x= -4, 所以 A( -4,0),B(0,3) 同理求得 C(1,0). AB= =5,AC=5, 所以 AB=AC,

65 即 ABC 为等腰三角形. (ⅰ) 当点 M 在 BC 边上时, 由 h 1 +h 2 =h 得 : +M y =OB,M y =3- =, 把它代入 y= -3x+3 中求得 :M x =, 所以此时 M(, ). (ⅱ) 当点 M 在 CB 延长线上时, 由 h 1 -h 2 =h 得 :M y - =OB,M y =3+ =, 把它代入 y= -3x+3 中求得 :M x = -, 所以此时 M( -, ). 综合 (ⅰ) (ⅱ) 知 : 点 M 的坐标为 M(, ) 或 (-, ). 12. 解 :(1) 网格中每个小正方形的边长为 1, 由图可知 AQ=3,BQ=4, Q=90. S ABQ = AQ BQ=6; 同理 S BCM =S CDN =S ADP =6. 又 MQ=7 S 正方形 MNPQ=49. S 正方形 ABCD=S 正方形 MNPQ-4S ABQ =49-4 6=25. (2) 勾股定理或完全平方公式. ( 只要给出其一即可得 1 分 ) 验证 : 在 BCM ABQ 中. M= Q= ABC=90, MBC= QAB. 又 AB=BC BCM ABQ 同理 CDN DAP BCM. MB=a,BQ=b,S 正方形 MNPQ=S 正方形 ABCD+4S ABQ (a+b) 2 =a 2 +b 2 +4 ab 即 (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 ( 完全平方公式 )

66 或又 S 正方形 ABCD=S 正方形 MNPQ - 4S ABQ AB 2 =(a+b) 2-4 ab, 即 AB 2 =a 2 +b 2. 设 AB=c, 得 c 2 =a 2 +b 2 ( 勾股定理 ) 13. 解 : 在 Rt ACB 中,AC 2 =AB 2 -BC 2 = =4, AC=2, BD=0.5, CD=2. 在 Rt ECD 中,EC 2 =ED 2 -CD 2 = =2.25, EC=1.5, AE=AC-EC=2-1.5=0.5. 答 : 梯子顶端下滑了 0.5 米. 14. 解 :(1) 由 A 点向 BF 作垂线, 垂足为 C, 在 Rt ABC 中, ABC=30,AB=320km, 则 AC=160km, 因为 160<200, 所以 A 城要受台风影响 ; (2) 设 BF 上点 D,DA=200 千米, 则还有一点 G, 有 AG=200 千米. 因为 DA=AG, 所以 ADG 是等腰三角形, 因为 AC BF, 所以 AC 是 DG 的垂直平分线,CD=GC, 在 Rt ADC 中,DA=200 千米,AC=160 千米, 由勾股定理得,CD= = =120 千米, 则 DG=2DC=240 千米, 遭受台风影响的时间是 :t=240 40=6( 小时 ). 15. 解 : 连接 BD, 在 Rt ABD 中,BD 2 =AB 2 +AD 2 = =5 2, 在 CBD 中,CD 2 =13 2 BC 2 =12 2, 而 =13 2, 即 BC 2 +BD 2 =CD 2,

67 DBC=90, S 四边形 ABCD=S BAD +S DBC =, = =36. 所以需费用 =7200( 元 ). 16. 解 : 设 AE=xkm, 则 BE=(25-x)km; 在 Rt ACE 中, 由勾股定理得 :CE 2 =AE 2 +AC 2 =x ; 同理可得 :DE 2 =(25-x) ; 若 CE=DE, 则 x =(25-x) ; 解得 :x=10km; 答 : 图书室 E 应该建在距 A 点 10km 处, 才能使它到两所学校的距离相等. 17. 解 : 连接 AC, 则在 Rt ADC 中, AC 2 =CD 2 +AD 2 = =225, AC=15, 在 ABC 中,AB 2 =1521, AC 2 +BC 2 = =1521, AB 2 =AC 2 +BC 2, ACB=90, S ABC -S ACD = AC BC- AD CD= =270-54=216. 答 : 这块地的面积是 216 平方米. 18. 解 : 过 Q 作 QH PA 于 H, APC=45, HQP=45. PHQ 为等腰直角三角形. PQ=120 m PH 2 +HQ 2 =PQ 2, PH=HQ=120m<130m. 故学校会受到噪声的影响.

68 设拖拉机行至 E 处开始影响学校, 在 F 处结束影响, 则 QE=QF=130m, 由勾股定理可得 :EH=FH= =50(m) EF=100m, 又 V 拖 =36km/h= =10m/s 学校受影响的时间为 =10(s). 19. 解 : 如图, 甲从上午 8:00 到上午 10:00 一共走了 2 小时, 走了 12 千米, 即 OA=12. 乙从上午 9:00 到上午 10:00 一共走了 1 小时, 走了 5 千米, 即 OB=5. 在 Rt OAB 中,AB 2 =12 2 十 5 2 =169, AB=13, 因此, 上午 10:00 时, 甲 乙两人相距 13 千米. 15>13, 甲 乙两人还能保持联系. 答 : 上午 10:00 甲 乙两人相距 13 千米, 两人还能保持联系. 20. 解 : 小球滚动的速度与机器人行走的速度相等, 运动时间相等, 即 BC=CA, 设 AC 为 x, 则 OC=45-x, 由勾股定理可知 OB 2 +OC 2 =BC 2, 又 OA=45,OB=15, 把它代入关系式 (45-x) 2 =x 2, 解方程得出 x=25(cm). 答 : 如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等, 那么机器人行走的路程 BC 是 25cm. 21. 解 : 设湖水深为 x 尺, 则红莲总长为 (x+0.5) 尺, 根据勾股定理得 : x =(x+0.5) 2, 得 :x=3.75, 即湖水深 3.75 尺. 22. 解 : 在 Rt AOB 中,AB= = =20(cm),

69 AC=6cm, OC=16-6=10(cm), 又 CD=AB=20(cm), 在 Rt COD 中,OD= = = , BD=OD-OB= = (cm). 答 : 滑块 B 向外滑动了 5.3cm. 23. 解 :(1) 路线 1:l 1 2 =AC 2 =25+π 2 ; 路线 2:l 2 2 =(AB+BC) 2 =49. l 1 2 <l 2 2, l 1 <l 2 ( 填 > 或 <), 选择路线 1( 填 1 或 2) 较短. (2)l 2 1 =AC 2 =AB =h 2 +(πr) 2, l 2 2 =(AB+BC) 2 =(h+2r) 2, l 2 1 -l 2 2 =h 2 +(πr) 2 -(h+2r) 2 =r(π 2 r-4r-4h)=r[(π 2-4)r-4h]; r 恒大于 0, 只需看后面的式子即可. 当时,l 2 1 =l 2 2 ; 当 r> 时,l 2 1 >l 2 2 ; 当 r< 时,l 2 1 <l 解 : 方法步骤 : A 题 : 已知 AC+AB=10( 尺 )1, BC=3( 尺 ), AB 2 -AC 2 =BC 2,AB 2 -AC 2 =9, (AB+AC)(AB-AC)=9, 2, 1+2 得 : ( 尺 ), 代入 2 得 :AC=5.45- =4.55( 尺 ), 原处还有 4.55 尺高的竹子. B 题 : 解 : AH BC, BCF HAF, =, 又 DE AH,

70 DEG HAG, =, 又 BC=DE, =, 即 =, BH=30750( 步 ), 又 =, AH=, 即 AH= =1255( 步 ). 25. 解 : 如图, 过点 C,E 分别作 CF AB 于点 F,EH BD 的延长线于 H. 在 Rt DEH 中, DE=4m, EDH=30, EH=2m, DH= =2 m 又 = AF= CF= (EF+CE) = (BD+DH+CE) 6.2. AB=EH+AF 8.2(m). 26. 证明 : 连接 BE.

71 由图形可知 S 梯形 ABCD=S Rt DEA +S Rt ABE +S Rt BCE, 则 b(a+2b)= ab+ c 2 + (a+b)(b - a), ab+b 2 = ab+ c 2 + b 2 - a 2. 因此,a 2 +b 2 =c 证明 : 四边形 HEFM 的面积为 :c 2, 四边形 HEFM 的面积还可以表示为 :4 ab+(b-a) 2 =a 2 +b 2, a 2 +b 2 =c 2 ; 四边形 ABCD 的面积为 :(a+b) 2, 四边形 ABCD 的面积还可以表示为 :4 ab+c 2 =c 2 +2ab, a 2 +b 2 =c 解 : 连接 AD, 依题意, 图中的四边形 DAC D 为直角梯形, DBD 为等腰直角三角形, Rt DAB 和 Rt BC D 的形状和大小完全一样, 设梯形 DAC D 的面积为 S, 则 S= (a+b)(a+b)= (a 2 +b 2 )+ab, 又 S=S RtDBD +2S Rt ABD = c 2 +2 ab= c 2 +ab, (a 2 +b 2 )+ab= c 2 +ab, 因此,a 2 +b 2 =c 2.