数学（一）试卷（模拟一）参考解答

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数吞鲍
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1 绝密 * 启用前 9 年全国硕士研究生入学统一考试超越考研数学 ( 三 ) 模拟 ( 二 ) ( 科目代码 :) 考生注意事项. 答题前考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名报考单位和考生编号. 答案必须书写在答题纸指定位置的边框区域内写在其他地方无效. 填 ( 书 ) 写必须使用蓝 ( 黑 ) 色字迹钢笔圆珠笔或签字笔 4. 考试结束将答题纸和试题一并装入试题袋中交回数学三模拟二试题第页 ( 共页 )

2 一选择题 :~8 小题每小题 4 分共分. 下列每题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求的. 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. () 答案 : 选 (C). 解由于 lim 所以 ( ) 均为垂直渐近线. lim lim l( si ) lim si k t lim( k) lim[ l( si ) ] lim[ l( si t) ] lim t t l( si t) t t t t cost cos si si cos lim si t t t t t lim lim lim b t t t t( si t) t si t t 所以有一条斜渐近线. 进而知无水平渐近线. 注由于有无穷多条垂直渐近线所以答案在 (C) 和 (D) 之中又 lim lim l( si ) lim si lim lim 故无水平渐近线选 (C). 不需要求斜渐近线. () 答案 : 选 (D). 解当 [ ) 时. 又 / / d ( )( ) ( ) 收敛故 I I 收敛. I d I. ( ) 因为时. 又 d ( ) 收敛故 ( ) d 收敛又 I 收敛所以 I 收敛. () 答案 : 选 (D). 解 cos( ) ( ) l l l { } 单减且 lim 所以收敛 ; l d d 所以 B 选项收敛 ; si 6 所以 C 选项收敛 ; 所以 D 选项发散. e ( ( ) ~ ) ( ) (4) 答案 : 选 (D). 解根据解的结构知 p q ( a b) e 的通解为下列几种情形 : ( A B) e k C e C e ( A B) e ; k r r 数学三模拟二试题第页 ( 共页 )

3 ( A B) e k ( C C ) e ( A B) e k ; ( C cos C si ) e ( A B) e k. r 对照形式 (D) 不可能出现. 注 (A): e 是 ( ) e 解. (B): ( si ) e 是 e 解. (C): ( ) e 是 e 解. (5) 答案 : 选 (B). 解取 A B 可验证 (A)(C)(D) 均不正确 ; r r 由题意知 A B 故选 (B). (6) 答案 : 选 (C). 解若 r( C) 若 r( A) 即 E() A B B A E() 则 AB E( ) 必为正交阵 m 由 m r( C) r( AB) r( A) m 得 r( A) m 取 B O m 则 A 的行向量组线性无关. 则 C O 则 C 的行向量组线性相关故选 (C). (7) 答案 : 选 (B). P( AB) 解 (A) 不正确当 PA ( ) 时有 P( B A). PA ( ) (B) 正确取 C 即得 A B. (C) 不正确 X 和 Y 同分布与 X 和 Y 的取值相同不是一回事. (D) 不正确事实上 F ( ) 单调不减. (8) 答案 : 选 (D) 解设所截三段的长度分别为 XY 和 Z 则 XY 和 Z 同分布且 X Y Z X Y Z D( X Y ) D( Z) DX DY cov( X Y) DZ DX DY cov( X Y) XY 二填空题 :9~4 小题每小题 4 分共 4 分. 请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 答案 :. 解在中令得解得. 两边对求导数得即. 在中令由 () 知 (). 在式两边再对求导得 ( ). 在中令由 () () 得 (). 因此 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim. 数学三模拟二试题第页 ( 共页 )

4 故 () 答案 : ( 8 ) 7!. 解 u t. 由此 f ( ) l( t ) dt l udu f ( ) l( ) l( ) l l l( ) f( ) 所以 ( ) ( ) ( ) f ( ) [ f ( )] ( ) ( )![ ] ( ) (9) f () ( ) 7!. 8 () 答案 : 填 d f ( ) d. () 答案 : 填. 解 f z e z e z z ( ) ( ) f ( ) ( ) z () z (). 又由 z ( ) z z ( ) 得 z () 所以 f ( ). () 答案 : 填 (). 解由题意知 A E A E 即 4 a a b b ab a 5b ab a b b b 解得或由于 ab 为非负实数故 ( ab ) (). a a (4) 答案 : 填 5. a X a a 解 P{ } ( ) 5b X 5b 5b P{ X b} P{ } ( ) 5 a 5b a 故 5. b 三解答题 :5~ 小题共 94 分. 请将解答写在答题纸指定位置上. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. (5) 证 (Ⅰ) 由题意知且故数列 { } 单调下降且有下界. 由单调有界准则知数列 { } 收敛. a 设 lim a 则 a 且 a 解得 a 所以 lim. a 数学三模拟二试题第 4页 ( 共页 )

5 (Ⅱ) 由得所以. 故 lim( ) lim[( ) ( ) ( )] lim( ). (6) 解 (Ⅰ) 由题意可知 f e ( ) 所以 f ( ) ( ) e d ( ) e de ( ) e C( ) f 并由 ( 4 ) e C( ) ( 4 ) e 可得 C( ) C. 代入初始条件可得 f ( ) ( ) e. (Ⅱ) 由解得驻点为 ( ). f ( ) e 代入驻点 ( ) 得 A e ; f ( 4 ) e B e f ( 4 8 ) e C e. 显然 B AC 故在 ( ) 不取极值. 所以 f ( ) 无极值. (7) 解被积函数 ( )sg( ) ( ) 如图所示 I ( )sg( )d D ( )d ( )d ( )d D D D D D O D 其中 D ( )d d r dr 4 si 4 D ( )d d ( )d ( )d D 或者由对称性可知 : 所以所求 I. 4 ( )d ( )d D D 数学三模拟二试题第 5页 ( 共页 )

6 (8) 证 (Ⅰ) 由 f ( ) d f ( ) d 知 ( ) f ( ) d. 令 t 得 tf ( t) dt 即 f ( ) d. 由此知 [( ) f ( ) f ( )] d 由积分中值定理知存在 [] 使 ( ) f( ) f( ). (Ⅱ) 令 ( ) ( t) f ( t) dt 则 () () ( t) f ( t) dt 由 f( ) 在 [] 上连续知 ( ) 在 [] 连续在 () 内可导由罗尔定理知存在 () 使 ( ). 而 ( ) f ( t) dt tf ( t) dt 即 f ( ) d. ( ) f ( t) dt f ( ) f ( ) f ( t) dt (9) 证 (Ⅰ) 由于 d d d 即 a ( ) 且 lim lim 所以由夹逼定理知 ( ) lim a. (Ⅱ) 因为级数 ( ) a 为交错级数 lim a 且 ( ) a a d 即 a a 故由交错级数判别法知级数 ( ) a 收敛. 而 ( ) a a ( ) 且散. ( ) 发散因此由正项级数比较判别法知 ( ) a 发综上可知级数 ( ) a 条件收敛. a () 解设 P b c 由 AP PB 得 d a c a c b d b d 数学三模拟二试题第 6页 ( 共页 )

7 a b a c d a c ab b b d 乘开后得所以 P a b c b d b d c b d P bd b bd b. 由于 P 正定故 b b d b P. b d b 又因为 P 对称且正定所以 P b b 且 b b 故满足题意的所有正定阵为 k 其中 k. () 证 (I) 由题意 A ( i ) 则有 i i i A A 由于互异可知 (II) 因为另解 : A A 4 A A E 故由 () 可得 A A 可逆又因为线性无关所以 4 6 A. 8 A 8 A A A A ( ) A A 线性无关. 数学三模拟二试题第 7页 ( 共页 )

8 8 则 A 8 A A ( A ) A A A A E. () 解设事件 A i 表示从第 i 个箱子中取球则 PA ( i ) 又设 B 表示两个球不同颜色考虑到红球和白球的次序得 i( i) P( B Ai ) i 故由全概率公式 i( i) p P( B) P( Ai ) P( B Ai ). i i i( i) 8 (I) 当时 p ( ) ; i 7 (II) 解法一由定积分定义知 i( i) i i lim p lim lim ( ) ( ) d ( ) i i 解法二故 lim q q ; p i i( i) ( ) ( )( ) [ ] 6. lim p lim 所以 i (III) 解法一设 C 表示两个球均为红球得 P( C Ai ) i 故由全概率公式 i q P( C) P( Ai ) P( C Ai ) i lim d. i i i i ( )( ) ( )() 解法二 q 所以 lim q lim. i 6 6 解法三由对称性 p q ( q ) 其中 q 为两个球均为白球的概率所以 ( p ) 因此 lim q ( lim p lim ) ( ). 数学三模拟二试题第 8页 ( 共页 )

9 () 证 (Ⅰ) X 的密度函数为 f( ) 其它别为所以由代表性知 X 和 X 的密度函数分 f( ) 和其它 f( ) 其它. 由于 X 和 X 相互独立所以 ( X X ) 的密度函数为 f XX ( ) f ( ) f ( ) 其它即得 ( X X ) 服从区域 {( ): } 上的均匀分布. X X ( X X) (Ⅱ) X S ( X i X ) 因此利用几何概型计算得 i P{ X } P{ X X } 4 8 ( X X) P{ S } P{ } P{ X X } (Ⅲ) 由于 { X X } { X X } 故 P{ X S } P{ X X X X } P{ X X } P{ X } P{ S } 所以事件 { X } 和 { S } 不相互独立进而 X 与 S 不相互独立. 4 8 数学三模拟二试题第 9页 ( 共页 )

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10 超越考研集训营系列课程预期目标指导思想课程简介开课时间寒假卓越集完成数学真地毯式学习考研大总结基础题型让学生知训营题试卷上 9 分的基本题纲规定的概念及知识点道考研数学考什么怎么考怎么学等寒假阶段暑期半封闭集训营天带领学生数学飞跃糅合基础知识点与考研重点题型方法题型及思路以基础知识点为纲重点系统讲解考研数学重难点考点题型解题思路重要方法技巧及易错之处 7-8 月暑期全封闭集训营 45 天攻克重难点挑战高分资源优化在强化阶段进行拔高加大难度强度全封闭军事化小班督学班主任 4 小时管理讲练测评答补六位一体教学体系 7-8 月全日制封闭与半封闭结半年集训营攀登考研数学巅峰资源优化在强化及冲刺阶段进行拔高加大难度强度合教学以大量精选的高品质题目为范例对每一种题型的解题思路及方法进行深刻的讲解归 7- 月纳总结全封闭军事化小复试集训营 ( 重点推荐 ) 低分逆袭中分超越高分求稳班督学班主任 4 小时管理讲练测评答补六位一复试专业课辅导面试技巧英语口语听力练习复试课程模拟演练提高综合能力 -4 月体教学体系超越考研 9 考研版工大五套卷答案月 4 日公布关注微信公众号超越考研即可获得数学三模拟二试题第页 ( 共页 )

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