2007年全国硕士研究生入学统一考试数学试题数学四试题

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到垣盛
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1 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :6755 网管电话 : 年全国硕士研究生入学统一考试数学试题数学四试题试题详解与评析水木艾迪考研辅导班一选择题本题共小题每小题分满分分在每小题给的四个选项中只有一项符合题目要求把所选项前的字母填在题后括号内当时与等价的无穷小量是 A e B ln C D cos 解答案 B 考点: 等价无穷小量的广义化运用水木艾迪辅导的星级考点参见水木艾迪考研数学 6 计例 - 等题目设函数在处连续下列命题错误的是 : A 若 lim 存在则 B 若 lim 存在则 ' ' C 若 lim 存在则存在 D 若 lim 存在则存在解答案 D 考点: 点连续概念导数定义无穷小量比阶概念与极限运算法则 D 的成立不一定保证导致可导的两个极限存在如图连续函数在敬意周在区间 [ ] [ ] [ ] [ ] 上的图形分别是直径为的上下半圆上的图形分别是直径为的上下半圆周设 F t dt 则下列结论正确的是 5 A F F B F F 5 C F F D F F 解答案 C 利用积分的几何意义并注意代数面积的概念水木艾迪辅导的星级考点设函数连续则二次计分 d d 等于 sin d arcsin d A d B arcsin C arcsin d d D d arcsin d d 解答案:B 二次积分交换积分次序的过程: 二次积分确定区域二重积分二次积分 d d sin d arcsin d arcsin 水木艾迪考试培训网 : 8 清华大学东门外创业大厦 6

2 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :6755 网管电话 : 设某商品的需求函数为 Q 6 P 其中 QP 分别表示需要量和价格如果该商品需求弹性的绝对值等于则商品的价格是 A B C D dq P P 解答案 D 商品需求弹性的绝对值等于则 P dp Q 6 P 本题考点 : 导函与微分应用相同例题参见水木艾迪 7 模拟试题数四 8 题 6 曲线 ln e 渐近线的条数为 A B C D 解答案 D 垂直渐近线水平渐近线斜渐近线特别提示 : 渐近线的实质是极限问题应从单侧极限入手考察单侧渐近线的存在性参见水木艾迪考研数学 6 计例 5- 基础班讲义例 - 强化班第讲例 7 设向量组 a a a 线性无关则下列向量组线性相关... 的是 A a a a a a a B a a a a a a C a a a a a a D a a a a a a 解答案 A 因为 α α α α α α 所以 α α α α α α 线性相关考点 : 线性相关与线性无关的概念参考 : 水木艾迪强化班向量例 7 8 设矩阵 A. 则 A 与 B B A 合同且相似 C 不合同但相似 B 合同但不相似 D 既不合同也不相似解答案 B 因为 A 的特征值为所以 A 和 B 不相似又 A 和 B 的秩都为且正惯性指数也都为所以 A 和 B 合同考点 : 矩阵的相似与合同概念相似矩阵的性质合同矩阵的性质惯性定理等参考 : 水木艾迪基础班二次型例例强化班二次型例冲刺班特征值例 5 6 计之例 -5 9 某人向同一目标独立重复射击每次射击命中目标的概率为 p < p < 则此人第次射击恰好第次命中目标的概率为 : C A p p B 6p p 水木艾迪考试培训网 : 9 清华大学东门外创业大厦 6

3 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :6755 网管电话 : C p p D 6 p p 解析与点评 P{ 第次射击恰好第次命中目标 } P{ 第次射击命中且前次中恰好命中次 } p C p p p p 故选 C 本题是 Bernolli 试验中的典型问题可参见水木艾迪 6 考研数学基础班讲义例. 强化班第一讲问题 7 考研 6 技之例 9-5 等题目和内容设随机变量 X Y 服从二维正态分布且 X 与 Y 不相关分别表示 X Y 的概率密度则在 Y 的条件下 X 的条件概率密度为 A X Y X Y A X B Y C D X Y X Y 解析与点评由于 X Y 服从二维正态分布且 X 与 Y 不相关所以 X 与 Y 相互独立从而 X 故选 A. X Y Y 本题主要考查了二维正态分布的不相关性与独立性的等价关系属于最基本的内容二填空题 :-6 小题每小题分共分请将答案写在答题纸... 指定位置上 lim sin cos 解 lim sin cos lim sin cos 考点 : 无穷大量与无穷小量的比阶概念与方法参见水木艾迪考研数学 6 计例 -- n 设函数则 n n n n 解 n n! n n! n n 考点 : 对特定结构的函数求高阶导数这是水木艾迪考研数学强调的星级考点之一有关处理方法及相同例题相同例题参见水木艾迪考研数学 6 计之计的说明与例题 z z 设是二元可微函数 z 则水木艾迪考试培训网 : 清华大学东门外创业大厦 6

4 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :6755 网管电话 : 解答案 : z z z z 考点 : 具有抽象函数记号的多元复合函数的偏导数计算这是一道很单纯的题目参见水木艾迪基础班第讲 9 题微分方程 d d 满足的特解为解方法方法零次齐次方程 : 令方程变为 : d d ; ln ln c d d 再由 e c c ln 则得特解为 : ln > e 方法贝努利方程 : 原方程化为两边同乘得凑微分得积分 : d 得特解为 : ln ln > e 水木艾迪考试培训网 : 清华大学东门外创业大厦 6

5 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :6755 网管电话 : 或令原方程化为 d C C ln C 特解为 > e ln 考点 : 这是一道微分方程基本题属于基本计算题型是水木艾迪辅导中提出的常考的星级考点之一相同例题参见水木艾迪强化班第 7 讲类型 -8 5 设矩阵 A 则 A 的秩为解 A 所以 r A 考点 : 矩阵的运算和矩阵的秩 6 在区间中随机的取两个数则这两个数之差的绝对值小于 A 解析与点评由几何概型计算见图可知所求概率 S 的概率为 / S / A / 本题是几何概型的典型题目许多几何分布的概率题可以化为几何概型来解决类似的题目可参见水木艾迪 6 考研数学基础班讲义例.8 例. 强化班例. 考研 6 技之例 9- 等题目三解答题 :7- 小题共 86 分请将解答写在答题纸... 指定位置上解答应写出文字说水木艾迪考试培训网 : 清华大学东门外创业大厦 6

6 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :6755 网管电话 : 明过程或演算步骤 7 本题满分分设函数由方程 ln 在点附近的凹凸性解 ln 曲线 ln ln 8 在点附近为上凸的确定试判断曲线考点 : 隐函数的偏导数计算函数曲线的凸性曲线在点附近为凸的也是正确的 8 本题满分分设二元函数 σ dd < 计算二重积分 dσ 其中. D 解 dd 其中 D 为 D 在第一象限部分 D D D dd dd D 其中 D { } dd D { } { } D D dd d d ; D dd 可用两种方法计算 : 直角坐标积分法 : D dd d d d d ln 或极坐标积分法 : 水木艾迪考试培训网 : 清华大学东门外创业大厦 6

7 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :6755 网管电话 : D sinθ cosθ dd dθ dr sinθ cosθ 因此 dd ln D ln 评论 : 分片定义的函数的积分可以分片计算 ; 用极坐标计算会简单一点正确利用对称性可简化计算参见水木艾迪相同例题参见水木艾迪 7 模拟试题一套数二题 7 模拟试题二套数二 9 题数三 8 题 9 本题满分分设函数等的最大值又 a g a b g b Ⅰ 存在 ab Ⅱ 存在 a b g 在 [ a b] 上连续在 b 证明 : η 使得 η g η; '' '' ξ 使得 ξ g ξ a 内二阶可导且存在相证 Ⅰ 移项造辅助函数 h g 则 h a h b 方法一若 g 的最大值在 a b 内同一点取得则存在 η a b 使得 h η 即 η g η 若 g 的最大值在不在同点取得则存在 a 与 a 使 b b 得 ma g ma g [ a b] [ a b] η g η h g 且 h g > < 由连续函数的零点定理存在介于之间的 a b 方法二用反证法也能证明存在 a b 假设不存在 a b η 使 η h η 使得 h η η 使 h η 则 h a b h < a b 不妨假设 h > a b 即 > ; 或设 g 在 a 取到最大值则应有 > g 与已知条件函数 b 水木艾迪考试培训网 : 清华大学东门外创业大厦 6

8 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :6755 网管电话 : g 在 a b 内有相等的最大值矛盾因此假设不成立即存在 η a b 使 h η 其余步骤同方法一 Ⅱ g 二阶可导于是由 Rolle 定理 ξ a 与 ξ η 使得 η b h ξ 与 h ξ 于是 ξ ξ ξ a 使得 h ξ 即 ξ g ξ b 本题考点 : 连续函数性质导函数性质及 Rolle 定理运用移项造辅助函数是水木艾迪考研数学 6 计之一计相同例题参见水木艾迪 7 模拟试题二套数一 9 题考研数学 6 计例 5-7 例 5-8 设函数具有连续的一阶导数且满足表达式解首先 ' t t dt ' ' t dt t t dt t t dt 求解初值问题得到求的 e e d C Ce 由 C 因此 e 本题考点 : 由连续函数的变限积分方程求此连续函数这是水木艾迪考研数学 6 计之七相同例题参见水木艾迪 6 计之例 7- 以及 7 模拟试题二套数二 8 题与数三题本题满分分设线性方程组与方程 a a a 有公共解求 a 的值及所有公共解水木艾迪考试培训网 : 5 清华大学东门外创业大厦 6

9 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :6755 网管电话 : a 解考虑方程组 a a a a L a a a a a 若 a 且 a 时方程组无解即方程组和无公共解当 a 时 L a 齐次线性方程组的基础解系为 : 和的所有公共解为 : k k 为任意常数当 a 时 L 非齐次线性方程组有唯一解 : 和的所有公共解为 : 考点 : 线性方程组有解的判断条件齐次线性方程组的解的理论与性质非齐次线性方程组解的理论与性质用初等变换求方程组的解等参考 : 水木艾迪基础班线性方程组例 9 强化班线性方程组第 5 类问题是 A 的属于 λ 的一个特征向量记 B A A Τ 本题满分分设阶实对称矩阵 A 的特征值 λ λ λ 5 E a 其中 E 为阶单位矩阵 Ⅰ 验证 a 是矩阵 B 的特征向量并求 B 的全部特征值与特征向量 ; Ⅱ 求矩阵 B. 5 解 Ⅰ Bα A A E α α α α α 所以 α 是 B 的属于特征值的特征向量设 α 是 λ 的特征向量则水木艾迪考试培训网 : 6 清华大学东门外创业大厦 6

10 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :6755 网管电话 : B α A A E α α α 5 5 α α 设 α 是 λ 的特征向量则 B α A A E α α α α α 所以 B 的全部特征值为 5 5 设 B 的属于的特征向量为 α 则 α α 即解得和所以 B 的属于特征值的特征向量为 α k k 其中 k k 为不全为零的常数属于特征值的特征向量为 α k 其中 k 是不为零的常数 Ⅱ 令 P 则 P BP 其中 P 则 B P P 考点 : 矩阵的特征值与特征向量实对称矩阵的特征向量的性质矩阵的相似对角化求逆矩阵矩阵的运算等参考 : 水木艾迪基础班特征值例强化班特征值第 6 类问题本题满分分设二维随机变量的概率密度为 < < < < 其他 { Y} Ⅰ 求 P X > ; Ⅱ 求 Z X Y 的概率密度 { 解 Ⅰ P X > Y } dd [ d] d > [ 5 ] d 8 7 水木艾迪考试培训网 : 7 清华大学东门外创业大厦 6

11 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :6755 网管电话 : Ⅱ 解 F z z [ d] d z z z P X Y z P X Y > z [ d] d z z Z 从而 Z z z z F Z z z z < z < 其它. z z < z < z < z. 解由于 Z z z d 其中被积函数为于是 z < < < z < z 其它. Z z z d z z z z d z z z < z < 其它. 解析与点评本题是二维连续型随机变量的典型题目主要考查了二维随机变量的概率的计算和它的函数的分布等基本问题问题 Ⅰ 只要利用公式 P { X Y A} dd 而对问题 Ⅱ 只要大家熟悉二维随机变量的函数的分布的直接求法即解法一就容易求得结果当然此问题也可以用解法二的公式法获得这种类型的题目在水木艾迪各级别的辅导中均为最基本的题型可参见水木艾迪 6 考研数学基础班讲义例强化班的例... 考研 6 技之例 - 至 -7 等等题目设随机变量 X 与 Y 独立同分布且 X 的概率分布为 A X P { } { } 记 U ma X Y V min X Y 水木艾迪考试培训网 : 8 清华大学东门外创业大厦 6

12 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :6755 网管电话 : Ⅰ 求 U V 的概率分布 ; Ⅱ 求 U 与 V 的协方差 Co UV. 解 Ⅰ 由于 U V 可能的取值为且 P U V P X Y P X P Y 9 P U V P U V P X Y P X P Y 9 P U V. 所以 9 U\V /9 /9 /9 6 Ⅱ 由上述 UV 的联合分布可求得 EU EV E UV 从而 Co U V E UV EUEV 8 解析与点评本题属于二维离散型随机变量的函数的分布与相关数字特征的求法的基本题对问题 Ⅰ 只要讨论清楚 U V 的取值与 X Y 的取值的关系就可以求得对问题 Ⅱ 就是最常见的二维离散型随机变量的函数的数字特征的计算问题有统一的计算方法类似的问题可参见水木艾迪 6 考研数学基础班讲义例.. 强化班的例.. 考研 6 技之例 -7 等题目水木艾迪考试培训网 : 9 清华大学东门外创业大厦 6

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学试题数学三试题

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学试题数学三试题 7 年考研数学试题详解与评析水木艾迪考研辅导班教务电话 :6755 网管电话 :67866-4 7 年全国硕士研究生入学统一考试数学试题数学三试题试题详解与评析水木艾迪考研辅导班一选择题本题共小题每小题 4 分满分 4 分在每小题给的四个选项中只有一项符合题目要求把所选项前的字母填在题后括号内当时与等价的无穷小量是 A e B l C D cos 解答案 B 考点 :