基礎數學複習第四冊

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1 基礎數學復習四 排列組合機率敘述統計 賴瑞楓老師編 姓名

2 排列組合 基本範例. 每次用 0 根相同的火材棒圍成一個三角形, 共可圍成 種不全等的三角 形 [8 種 ]. 在牆上有一寬 寸, 長 9 寸的空白長方形, 若有許多紅色及綠色長方形的磁磚, 紅磁 磚的寬 公寸, 長 公寸, 綠磁磚的寬 公寸, 長 6 公寸, 用這些磁磚填滿此長方形, 則可填出 種不同的圖形 [9]. 甲乙丙等 7 人排成一列, 下列各種排法若干? () 甲不排首位, 乙必排尾 [600] () 甲, 乙, 丙, 三人不可分離 [70] () 甲, 乙, 丙, 三人必須分離 [440] (4) 甲, 乙相鄰, 丙, 丁不相鄰 [960] (5) 甲, 乙, 丙, 三人中恰有二人相鄰 [880] (6) 甲, 乙, 丙, 三人中至少有二人相鄰 [600] (7) 甲, 乙, 丙, 三人中至多有二人相鄰 [40] (8) 甲不排首, 乙不排尾 [7! 6! + 5! ] (9) 甲不排首, 乙不排中, 丙不排尾 [7! 6! + 5! 4! ] 4. 由甲, 乙, 丙, 等 7 人中選 5 人作直線排列 : () 排法若干? [50] ()5 人中必含甲之排法若干? 6 [5 P 4 ] ()5 人中不含甲之排法若干? [P 6 5 ] 5 (4)5 人中必含甲不含乙之排法若干? [5 P 4 ] (5)5 人中恰含有甲, 乙二人中之一人之排法若干? [00] 5. 我國自用小汽車的牌照號碼, 第一位為大寫英文字母, 第二位為大寫英文字母或 至 9( 不為 0) 的阿拉伯數字, 後四位為 0 至 9 的數字, 且最後一位數字不用 4, 例如 NT-677. 請問我國可能有的自用小汽車牌照號碼共有多少個?(A) (B) (C) (D) (E) [D]

3 6. 用 0,,,,4,5 等六個數字所排成的三位數中, 數字不重覆者共有 個, 其中可被 整除的共有 個 [00 個,40 個 ] 7. 從 到 000 的自然數中, 數字內含有 的數 ( 如 4,5 等 ), 共有多少個? 如果從,,,4,.., 一直寫到 000, 共寫了多少個? [7,00] 8. 把 庭院深深深幾許 依下列各方式排列之, 問其排列法各有多少種? () 任意排列 [840] () 三個 深 完全相鄰 [0] () 三個 深 不完全相鄰 [70] (4) 三個 深 全不相鄰 [40] (5) 三個 深 至少有二個相鄰 [600] (6) 三個 深 恰有二個相鄰 [480] 9. 個相同之紅球, 個相同之白球, 分給兒童, 每人至多得一個, 下列各種情形分法若干? () 分給 5 童 () 分給 6 童 () 分給 7 童 [0,60,0] 0. 三件相同之玩具, 五個相同之球, 分給十位兒童, 每人至多得一個 ( 或一件 ) 之方法? [50]. 設有一樓梯共 0 級, 今有一人登樓, 若每步走一級或二級, 則上樓之方法有幾種? [89 種 ]. 如圖由 A 到 B 走捷徑, 但不走斜線部份區域 ( 禁區 ) 之路徑, 依下列情形求走法數? () 經 C [8] B () 經 D [8] D () 自由走 ( 不經禁區 ) [4] A C

4 . 下圖所示為一含有斜線的棋盤形街道圖, 今某人欲 從 A 取捷徑走到 B, 共有 種走法 [0 種 ] A 4. 將 大道之行也天下為公 九個字全取排列, 若規 定 天下為公 四個字的前後順序不變, 但不一定相鄰, 試求其排列數 [50 種 ] B 5. 由 0,,,,,,,,,4 按下列條件可構成多少十位數, 又當其中三個 相鄰 且恰有三個 相鄰的十位數有 [680,408] 6. 將 pallmall 一字中之字母全取而排列之, 依下敘條件, 求其排列數 : () 任意排列 [840] () 其中所有之 l 均相鄰 [60] () 其中所有之 l 皆須分開 [60] (4) 其中 m 與 a 相鄰 [90] (5) 其中同字母不相鄰 [54] 7. 在坐標平面上, 由 A( 4, ) 沿各線段移到 B(, ) 取捷徑, 依下列情形求其走法數 : () 過原點 [50] () 經第二象限 [8] () 經第四象限 [] 8. 由,,,4,5,6, 六個數字所組成 ( 數字可以重複 ) 的四位數中含有奇數個 的共有 (A) 60 個 (B) 68 個 (C) 486 個 (D) 50 個 (E) 648 個 [D] 9. 渡船三艘, 每艘可載 6 人, 試依下列條件分別求不超載渡過的方法數 : () 6 人同時過渡 [79] () 7 人同時過渡 [84] () 8 人同時過渡 [650] (4) 9 人同時過渡 [994] 0. 將 5 封不同的信件, 投入 4 個不同的郵筒 ( 分別稱為甲, 乙, 丙, 丁 ), 則甲, 乙, 丙三郵筒 均至少一封的投法有 種 [90]

5 . 以 0,,,,4 不重複作五位數, 此五位數之排列依由小而大之順序排列, 第一個為 04, 最後一個為 40 時, () 則第 0 個數為 [04] () 其中 40 為第幾個 [4]. 一對主人夫婦邀宴四對夫婦 ( 共 0 人 ), 圍坐一圓桌, 求下列各種排列數 : () 夫婦相鄰 [768] () 男女相間且夫婦相鄰 [48] () 主人夫婦相對而坐 [400] (4) 每對夫婦相對而坐 [84] (5) 五男不分開, 五女不分開 [4400] (6) 其中陳姓夫婦必相鄰 [80640] (7) 羅姓夫婦相鄰, 主人夫婦相對 [8640]. 爸爸, 媽媽, 哥哥, 與妹妹四人參加喜宴, 與其他客人坐滿一張 個座位的圓桌, 若 四人座位相鄰, 且哥哥, 妹妹夾坐於爸爸, 媽媽中間, 則共有 種不同坐法 [680] 4. 人圍坐下列各種形狀之桌子, 每邊所坐人數相同, 則坐法數若干? () 正三角形桌 [ 4!] () 正方形桌 [!] () 正六角形桌 [!] (4) 長方形桌長邊四人, 短邊二人 [ 6!] 5. 由 0 顆不同的珠鍊中,() 串成一項鍊 () 取出 6 顆串成一項練 () 取出 6 顆於桌面排成一環, 各有多少種? [() 9! ()600 () 500] 6.A,B,C,D 等 8 人成環狀排列 ()A,B 相鄰,C,D 不相鄰 ()A,B 不相鄰,C,D 不相鄰 ()A 恰與 B,C 之一相鄰之方法? [()960 ()640 ()400] 7. 八人圍方桌而坐, 再以八道不同的菜餚放在前面可旋轉之小圓架 ( 作環狀排列 ), 可有多少種不同的情況? [ 8! 8! 種 ] 4 8 4

6 8. 五位男同學, 三位女同學, 今此八位同學排成一列, 而三位女同學都不相鄰的排法有 種, 如果從八位同學中選五人圍圓桌而坐, 其中女同學至少兩位且選出的女同學相鄰的坐法有 種 [4400,480] 9. 垃圾車從村落的入口 A 處進來, 從出口處 B 出去, 要走過所有巷路 ( 如圖所示 ), 但走過的路不該再走, 試問有幾種走法? [6,6,6] A A A B 0. 用四種顏色圖如圖的小丑面具, 每個區域恰塗一種顏色, 但相鄰部份不得同色, 試問有 種塗法 [6] B B. 用 5 種不同之顏色選出若干色, 塗右圖之 A,B,C,D,E 五部份, 每一部份限用一色, 且同色可重複使用, 但相鄰部份必須不同顏色, 則其塗法有 種 [540] C A D B E. 試用 4 種不同的顏色著於下列空白區域, 但相鄰不著同色, 則著色方法有 種. [79 種 ]. 有 0 種不同之顏料供應, 試塗下列各立體表面, 每一面限用一種顏色, 且每一面皆 異色, 試求其方法數 () 四等分球面. () 正三角錐. () 直圓柱.(4) 正四角錐台. 0! [C 4, C 4!, C, C 6 65!] (5) 正立方體. (6) 上下底皆為正方形的長方體. (7) 直圓錐. (8) 直三角柱. [C !, C6 C!, 90, C5 C!] 5

7 4. 考慮如圖的街道圖, 其中 A,B,C,D, 為四個站, 警察在巡邏時, 必須走過所有的街道, 但是不 重複走過同一條街, 因此派出所只能設在 A 站或 D 站, 從 A 站出發要完成一次巡邏, 可以 有 N 個不同的巡邏路線 ( 試求出 N), 則 N= [70] 5. 用 5 種不同的顏色著如圖 ABCDE A B 五區域. 同色不相鄰, 但顏色可重複使用有 種塗法 [780] E D A B C D C 6. 如圖是懸掛於天花板上電風扇之平面圖形, 中間部份是圓形, 其餘四個部份是全等的葉片, 今用五種顏色分別塗這五個部份 ( 五個部份各 有不同顏色 ), 則共有 種著色法. [0 ] n n n 7. 已知 n 及 k 為正整數, 且 n>k, 若 Ck : Ck : Ck + = : :, 則 (n,k)= [(4,5)] n n n 8. 證明巴斯卡定理 : C m + Cm = Cm, 其中 m n 9. 某拳擊比賽, 規定每位選手必須和所有其他選手各比賽一場, 賽程總計為 78 場, 則 選手人數為 [] 40. 兄弟二人在排成一列的 0 個空位中, 選坐不相鄰的兩個坐位, 有多少種不同的坐 法? [4] 4. 右圖中, 至少包含 A 或 B 兩點之一 的長方形共有 個 [5] 4. 本不相同的參考書依下列分法, 求其方法數 () 平分三堆 [ C C 8 C ]! () 平分給甲, 乙, 丙三人 [ C C 8 C !]! A B 6

8 () 按 6 本, 本, 本, 分成 堆 [ C C 6 C 6 ]! (4) 按 6 本給甲, 本給乙, 本給丙 [ C C 6 C 6!]! (5) 按 6,, 自由分配給 人 [ C C 6 C 6!]! (6) 按 6,4, 分成 堆 6 [C C C ] (7) 按 6 本給甲,4 本給乙, 本給丙 (8) 依 6,4, 自由分配給甲, 乙, 丙 人 [C C C ] [C C C! ] 4.() 將 7 件相異的東西, 放入 個相同的箱子, 各放 4 件, 件, 件, 其法有幾種? [05] () 將 7 件相異的東西, 放入 個相同的箱子, 各放 件, 件, 件, 其法有幾種?[05] () 將 7 件相異的東西, 放入 5 個相同的箱子, 其中有二個箱子各放 件, 三個箱子 各放 件, 其法有幾種? [05] (4)6 件不同的物品, 分給甲, 乙, 丙三人, 規定甲至少得一件, 乙至少得二件, 求其方 法有 種 [46] 44.() 將 6 件相異物品, 放入 個相異的箱子, 每箱各放 件, 件, 件, 其法有幾? [60] () 將 7 件相異物品, 放入 個相異的箱子, 每箱各放 件, 件, 件, 其法有幾? [60] () 將 9 件相異物品, 放入 個相異的箱子, 每箱各放 件, 其法有幾? [680] (4) 將 5 件相異物品, 放入 4 個相異的箱子, 每箱至少一件, 其法有幾種? [40] (5) 七件不同的玩具分給 人, 每人至少二件之給法共有幾種? [60] 45. 自 [independence] 一字之字母中選取四字母之組合法與排列法各有幾種?. 6 [59,779] n n 46. 二次方程式 0 x Cr x Pn r= 60的二根為 8 及 0, 求 n,r? [n=0,r=7] 47. 一列火車從第一車到第十車共十節車廂, 要指定其中三節車廂准許吸煙, 則共有 種指定方法, 若更要求此三節准許吸煙車廂兩兩不相銜接, 則共有 種指定方法 [0,56] 48.6 件不同的獎品. 求下列各款之方法 : () 分給 人, 每人至少得一件 [540] () 分給 4 人, 每人至少得一件 [560] 7

9 () 分給 5 人, 每人至少得一件 [800] (4) 分給 6 人, 每人至少得一件 [70] 49. 由 therefore 一字中取 4 個字母排成一列, 相同文字不相鄰的排列數為 ; 將此九個字中任取三個字的組合數為 [48, ] 50. 在 (x+ y+ z+ u+ t) 6 展開式中, 合併同類項後, 試求 : () 不同類項共有 項 [0] () 上述展開式中, x y ut 項的係數為 [80] () 上述展開式中, x y ut 項的同型項, 共有 項 [0] (4) 上述展開式中, 含 x 者共有 項 [0] 5. 設 x+y+z+u=, 求合於以下條件各有幾組整數解 () 非負整數解 [C 5 組 ] () 正整數解 [C 組 ] () 均大於 [C 7 組 ] 9 (4) x 0, y, z, u [C 組 ] (5)x>0,y>,z>,u> [C 5 組 ] 6 (6) x, y, z, u 0 [C 組 ] 5. 方程式 xyz=44 的正整數解共有 組 [90] 5. 將 6 件物品, 任意放入 4 個箱子, 求下列各種放法數 : () 物品相同, 箱子相同, 可兼得 [9] () 物品相同, 箱子不同, 可兼得 [84] () 物品相同, 箱子不同, 每箱至少放一件 [0] (4) 物品不同, 箱子相同, 可兼得 [87] (5) 物品不同, 箱子不同, 可兼得 [4096] (6) 物品不同, 箱子不同, 每箱至少放一件 [560] 54. 某企業公司設有四個部門, 每個部門均有經理一人, 另有總經理一人管理四個部 門之業務, 年終時董事會發放同面額之禮卷 0 張給總經理及四部門經理, 總經理 至少取得三張, 其餘經理每人至少一張, 問共有多少種發放的方法?( 多選 ) (A) C (B) H 0 (C) P 5 (D) H (E) C [DE] 8

10 x, y, z, u 四個變數之五次齊次式至多幾項? 五次式至多有幾項? [H, H ] 56.() A= {( xyz,, ) xyz,, 9, xyz,, N, 且 x,y,z 互異 }, 則 n(a)= [ P 9 ] () B= {( xyz,, ) xyz,, 9, xyz,, N}, 則 n(b)= [ 9 ] () C = {( x, y, z) x < y < z 9, x, y, z N } 則 n(c)= [ C 9 ] (4) D= {( xyz,, ) x y z 9, xyz,, N} 則 n(d)= [ H 9 ] (5) E= {( xyz,, ) < x< y< z 9, xyz,, N} 則 n(e)= [ C 8 ] 57. 將 ( + x+ x x 8 )( + y+ y y 0 )( z+ z +... z ) 完全乘開來, 其中七次 項共有 項 [8 項 ] 58. 四位正整數中, 設千位數字為 a, 百位數字為 b 十位數字為 c, 個位數字為 d () a, b, c, d 中, 至少有一個為 的數有 個 [68] () 滿足 a>b>c>d 的數有 個 [0] () 滿足 a b c d 的數有 個 [74] (4) 滿足 a<b<c<d 的數有 個 [6] (5) 滿足 a b c d 的數有 個 [495] 方程式 x + y + z+ u (A) H k (B) + H k 4 k = k = 之正整數解之個數為 (C) 9! 5! (D) 56 (E) 6 [E] 60. 若 ( ax 4 + ) 之展開式中 x 項之係數為 6, 求 a 值 [± x ] 0 6. 求 ( + x ) + ( + x ) + ( + x ) ( + x ) 之展式中, x 4 的係數為? [0] 6. 已知 log=0.00,log=0.477, 求滿足 n n n n n C + ( ) C + ( ) C ( ) Cn < 的最小正整數 n [] () 試證 C, k = 0,,,,..., 0中最大為 C 5 = 5 k () 求 (. 0) 0 的近似值至小數點後第二位 ( 小數點後第三位四捨五入 ) [.] 9

11 64. 試證 : n () C n n n + C + C C = () C n + C n + C n +... = C + C + C () n 0 n n n n n = n n k n n n n n n Ck = C0 + C + C Cn = 4 k = 0 65.[ a+ ( b+ c) ] 8 展式中共有 項, 其中 abc 5 4 之係數為 [8,840] 66. 求 (+ x x ) 6 中 x 5 之係數. [ 68 ] 67. 展開 ( + 0 x+ y z ), 合併同類項後, 可得 個次數為 4 的單項式 [7] 試求 ( + x+ x + 4x + 5x 4 + 6x 5 + 7x 6 + 8x 7 + 9x 8 + 0x 9 ) 展式中, x 之係數 為 [6] n 69. 利用二項式定理, 求 C n C n C n n n C 之和 [n ] 70. 求 ( x + + ) 5 展式中 x 的係數為 [ 5 x ] 7. ( x + ) 展式中之常數項為 [ 0 ] x 6 7. 在 ( x + + y ) 展開式中, 試求 x y () 所有的係數和. () x y 項的係數. [64, 60 ] 7. 將五枝相同的紅筆及四枝相同的藍筆全部分給三個學生, 若任意分, 則有多少種 分法? (A) 5 (B) 5 (C) 5 (D) 45 (E) 55 若每生至少分有一枝, 則有多少種分法? (A) 08 (B) 8 (C) 8 (D) 8 (E) 48 n [A] [C] 0

12 綜合練習 :. 甲 乙 丙三人在排成一列的七個座位中, 選座相連的三個座位, 共有種座法.. 不大於 800 的自然數中, 是 或 4 的倍數者共有個.. 不大於 800 的自然數中, 是 或 5 的倍數, 但不為 4 的倍數者共有個. 4. 已知 P n+ 4 = 0 P, 則 n 之值為. n 5. 從 0,,,, 4, 5 六個數字中, 每次取三個不同的數字排成一列, 可以構成個三位數, 其中為奇數者有個. 6. 從 0,,,, 4, 5, 6 七個數字中, 選三個相異數字, 可排成個三位數, 又這些三位數的總和為. 7. 甲乙丙丁等七人排成一列, 則甲乙不相鄰, 丙丁也不相鄰的排法有種. 8. 甲乙丙丁等七人排成一列, 則甲不排 位且乙不排 4 位的排法有種. 9. 甲乙丙丁戊己庚七人排成一列, 則甲不排首位 乙不排末位 丙不排中間的排法有種. 0. 甲乙丙丁戊五對夫婦跳舞 ( 男女 ), 則每位先生皆不以其妻為舞伴的方法有種.. 設 a, a, a {,,, 4, 5, 6 } 且 a, a, a 相異, 則 () 數對 ( a, a, a ) 中, 滿足 () 數對 ( a, a, a ) 中, 滿足 ( a )( a ) ( a )( a )( a ) =0 者有種. 0 者有種.. 將 庭院深深深幾許 七字全取排列之, 則 () 排法有 種. () 使三個 深 字完全不相鄰的排法有 種. () 使三個 深 字恰有兩個相鄰的排法有 種.

13 . 如右圖所示為一棋盤形街道圖今某人欲 從 A 取捷徑走到 B, 但不可經過斜線區域, 共有種走法. B A 4. 在座標平面上, 自 A(,) 沿座標方格邊線取捷徑到 B( 4, ) () 若不經過原點, 走法有 種. () 若需經過第四象限, 走法有 種. 5. 某次選舉張三得 5 票, 李四得 4 票, 今將選票一張一張開出, 若在開票的過程中, 李四得票數恆不得多於張三得票數, 有 種不同的開票方法. 6. 有 0 個人排隊買電影票, 票價每張 50 元, 若這 0 個人中有 6 人身上帶有 50 元鈔票, 其餘 4 人只帶有 00 元鈔票, 今每個人限購一張票, 問售票員不備零錢將票順利售完不發生找錢困難的售票法共有 種. B B 7. 由 A 到 B, 走過的不可再走, 只准向右或向上, 向下, 其走法各有幾種? () 圖 ( 一 ) 種. () 圖 ( 二 ) 種. A 圖 ( 一 ) A 圖 ( 二 ) 8. 甲, 乙, 丙, 丁, 戊等五人排成一列, 求下列之排法 : () 甲在乙之前的排列法有 種. () 甲在乙之前, 乙又在丙之前的排列法有 種. () 甲在乙丙之前的排列法有 種. 9. 甲, 乙, 丙, 丁, 戊, 五人圍成一桌, 則 () 甲乙二人坐一起, 其法有 種. () 今甲乙二人坐一起, 而丙丁二人不相鄰, 其坐法有 種. 0. 從 a, a, e, m, m, m, p, r, t, t 中任取 4 個字母排成一列, 求其排列數為.. 渡船 艘, 每船最多可載 4 人,6 人同時過渡, 方法有.

14 . 以 6 種不同顏色塗右之圖形, 每個區域 只塗一色, 顏色可重複, 但相鄰的區域不 得同色, 共有種塗法 ( 圖形固定 ).. 有一長方體, 上下底為正方形, 高與正方形邊長不相等,( 即長, 寬等長, 高與長, 寬不 等長 ) 今從 8 種不顏色中, 選顏色塗各面, 各面異色, 方法 種. n n n+ 4. 設 C : C : C = : 7 : 4, 求 r =, n =. r r r n 5. 若 C + C + C + + C + C = C r, 且 r < 5, 則 n + r = C + C + C + + C = 把 9 個學生分為 5 人, 人, 人的三個小組 ( 不分組別 ) 之分法有 種. 8. 將 7 件相異物分成 堆 ( 不分組別 ), 分別有,, 件, 方法有 種, 將此 堆東西分給甲乙丙, 每人一堆, 方法 種. 9. 設有一樓梯共 階, 某人上樓每步跨二階或三階, 則上樓方法有 種. 0. 設 n 階樓梯, 一次跨一階或二階的上樓方法數為 a n, () 求 a, a, a=. () 求 a =.. 以汽笛鳴放信號, 短鳴一次 秒, 長鳴一次 秒, 鳴後休息 秒再鳴, 問在 5 秒內可 鳴放 種不同的信號.. 給予方程式 u + v + w + x + y + z = 0, 則 () 有多少組非負整數解?. () 有多少組正整數解?.. x + x + x + x4 + x5 0 中的正整數解有多少?. 4. 設 x + y + z+ u =, 求 () x, y 為正奇數 z, u 為正偶數之解有 組. () 滿足 x, y, z >, u > 之整數解有 組.

15 5. 方程式 x + y + z+ u = 8, () x, y, z, u 均為正整數之解共有 組. () 滿足 x, y, z, u 4 之整數解共有 組. () x, y 為正偶數 z, u 為正奇數之整數解共有 組. 6. x + y + z+ u 0 之整數解中, 求 () 非負整數解有 組. () 正整數解有 組. 7. 將 件相同物品分給甲, 乙, 丙三人, 其中一人至少得一件, 一人至少得兩件, 另一 人至少得三件, 問有 種分法. 8. 將 4 本相同書, 個相同玩具, 全分給甲, 乙, 丙三人, 每人不限一件 () 分法有 種. () 若每人至少分得一件, 分法有 種. 9. x y z =600 共有正整數解 組. 40. 設 a, b, c 為整數, 且 abc = 44, 則其解 ( a, b, c ) 有 組. 4. 元 張,5 元 張,0 元 張,5 角 張, 問可構成 種不同款項. 4. 設 A={,,,4}, B={a,b,c}, 則可定義從 A 到 B 的映成函數 個. 4. 設 A={,,}, B={,,,4,5,6}, 則 () A 映射到 B 的函數, 共有 個. () B 到 A 的蓋射函數有 個. () A 到 B 的一對一函數有 個. 44. 設 A={,,,4,5}, B={,,,4,5,6}, 則 A 映射到 B 的函數中, 滿足 f ( ) f ( ) f ( ) f ( 4) f (5) 共有 個 在 ( x ) 展開式中, x 4 項的係數為. x 4

16 6 46. 在 ( + x) 展開式中, 常數項為 x. 47. 已知 log=0.00, log=0.477, 求滿足 C n + C n + C n + + n n ( ) ( )... ( ) Cn < 5000 的最小自然數 n =. 48. 滿足不等式 000 < C n + C n + C n n C < 00 的自然數 n = n 49. 若 C C + C C + C C C C = C k, 則 ( n, k )= 在 ( x+ y + z) 展開式中, 4 () x y z項的係數為 () 展開合併同類項後, 次數為 0 的單項式共有幾個? 在 (x+ y z) 展開式中, () x yz 項的係數為 () x y z 項的係數為. 5. 用五種不同顏色塗右圖中五個空白區域, 相鄰的區域塗不同顏色, 則共有 種塗法 8 5. 從一個 0 人的俱樂部, 選出一位主任, 一位公關和一位會計, 且均由不同人出.. 任, 如果 0 人中的甲君和乙君不能同時被選上, 那麼總共有種選法. 54. 甲 乙 丙 丁 戊 己等 6 人排隊從 個不同的通道走出火車站, 每個通道每 次最多只能走一個人, 問共有種不同的方法. 55. 古代的足球運動, 有一種計分法, 規定踢進一球得 6 分, 犯規後的罰踢, 進一 球得 6 分 請問下列哪些得分數有可能在計分板上出現? () 6 () 8 () 8 (4) 0 (5) 籃球 人鬥牛賽, 共有甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 9 人參加, 組成 隊, 且甲 乙兩人不在同一隊的組隊方法有多少種? 答 : 種 9 n 5

17 57. 有 6 男 4 女共 0 名學生擔任本週值日生, 導師規定在本週 5 個上課日中, 每天 兩名值日生, 且至少須有 名男生, 試問本週安排值日生的方式共有種. 58. 正立方體 ABCD-EFGH 由任二頂點連直線, 所連直線有對歪斜線 6

18 機率 基本範例 :. 甲, 乙兩人分別從 0 至 99 的 00 個數中. 各自選出 個不同的數, 則兩人所選的數 完全相同的機率為 ; 至少有一數相同的機率為 ( 請以最簡分數表 7 示之 ) [ ; ] 十二張分別標以,,.., 的卡片, 任意分成兩疊, 每疊各六張, () 求,, 三張在同一疊的機率為 [ ] () 求,,,4 四張中, 每疊各有兩張的機率為 [ 5 ]. 一盒中有 0 個球, 球上分別印有號碼 到 0, 今由盒中取 4 球, 則 4 球之號碼中第二大數目是 7 的機率為 [ 4 ] 4. 5 個人同時玩猜拳 ( 剪刀, 石頭, 布 ) 遊戲一次, 則 () 恰有一人勝的機率 [ 5 8 ] () 恰有 人勝的機率 [ 0 8 ] () 恰有 人勝的機率 [ 0 8 ] (4) 恰有 4 人勝的機率 [ 5 8 ] (5) 無人得勝的機率是 [ 7 7 ] 5. 六對夫婦坐在一客廳內, 試求下列各情形的機率 : () 任選二人, 恰為一對夫婦 [ ] () 任選四人, 恰為二對夫婦 [ ] 7

19 () 任選四人, 恰有一對夫婦 [ 6 ] (4) 任選四人, 均不是夫婦 [ 6 ] (5) 將此 人分成 6 組, 每組 人, 且每組均是同性 [ 5 ] 6. 某學校將新生 0 名分配於甲, 乙及丙三室居住, 甲室 4 人, 乙, 丙室各 人, 則其中 A,B 兩人同住於一室的機率為 [ 4 5 ] 7. 老師將 枝相同的鉛筆分給甲, 乙, 丙, 丁, 戊與己六位小朋友, 其中有兩位各分得 4 枝, 兩位各分得 枝, 而有 位沒有分到, 則共有 種分法, 在這種分法下, 戊與己兩位都穫得 4 枝的機率為 [90, 5 ] 8. 投擲三粒公正的骰子, 其出現點數最大者為奇數的機率為 [ 8 ] 9.() 從一副撲克牌任取 5 張, 則 5 張中 4 張點數相同的機率為 [ 465 ] () 設有 0 到 9 的卡片各 4 張, 共 40 張, 從中任取 5 張, 其中有 張相同, 另 張相同 0 ( 例 66777) 的機率為 [ 99 ] 0. 有 8 位旅客, 搭乘一列掛有 4 節車廂的火車, 則 () 第一節車廂恰有其中 位旅客的機率為 [ 7 6 ] 4 () 每節車廂皆有其中 位旅客的機率為 [ 5 7 ]. 設有 5 對夫婦, 共 0 人, 將這 0 人按每組 5 人分成 組, 則每對夫婦不在同一組 的機率為 [ 8 6 ]. 有兩個不同形狀的公正骰子, 一個是正四面體, 一個是正立方體, 四面體上各面的 點數分別是,,,4; 正立方體上各面的點數分別是,,,4,5,6, 同時投擲這兩個骰 8

20 子一次, 點數的乘積小於 7 的可能情形有 種? 而立方體骰子的點數較四面體骰子的點數大的機率為 [ 種, 7 ].5 張撲克牌 (4 種花式 ) 任取二張 () 為一對 ( 同點數 ) 的機率為 [ 7 ] () 為同花式的機率為 [ 4 7 ] () 為異花式的機率為 [ 7 ] 4. 在 至 9999 之整數中求下列個情形之機率 : () 恰含一個 0 之機率為 [ ] () 恰含二個 0 之機率為 [ ] () 恰含三個 0 之機率為 [ ] (4) 不含 0 之機率為 [ 80 ] 5. 在一個袋子裡有同形同質的卡片 5 張,, 每張卡片上面各有 至 5 的不同號碼, 今自袋中任意同時抽出 張卡片, 若卡片上兩個號碼的和為 6 的機率是 P, 則為 P [78] 6. 甲, 乙, 丙, 丁,.. 共 人, 分住三房間, 每間住 4 人, 則甲, 乙兩人不住同一房間內的 機率為 [ 8 ] 7. 擲三粒均勻骰子, 計其點數總和, 試求總和為 5 的倍數之機率 [ 4 6 ] 8. 某次考試共有 0 道是非題, 每題答對得 分, 答錯倒扣 分, 不作答得 0 分, 設甲生 確定會作答的有 4 題, 其餘 6 題都不經考慮隨意猜答, 如果甲生確定會的 4 題都答 9

21 對了, 那麼甲生得分超過 4 分的機率為 [ ] 9.() 線段 AB 長等於, 在線段上任取一點 P, 則兩線段 AP,PB 長度的積 f(p) 之極大 值 M 為 [6] M () 承上題,P 為任意取, 試計算 f ( P) > 的機率為 [ ] 0. 從 < x < 的範圍內任取出一個實數 x, 假設 x 會落在一個更小的區間內的機 5 7x x 率和區間的長度成正比, 試求 : 這個 x 滿足了不等式 < 的機率為 7x + 6x [ 5 48 ]. 設正整數 x,y,z 為偶數的機率依次為,, 4, 試求在 xy 為偶數的條件下, x + y + z 為奇數的機率為 [ 8 ].() 連續拋擲銅板 4 次, 出現偶數次 ( 包括零次 ) 正面的機率為 [ ] () 連續拋擲銅板 0 次, 如果已經知道前面的 4 次中出現了偶數次 ( 包括零次 ) 正面那麼全部 0 次拋擲中出現 6 次正面的條件機率為 [ 5 56 ]. 設一個袋中有 個蘋果, 其中有 4 個是壞的, 今由此袋中一次任取一個, 連取 4 次, 但每次不放回, 則 : () 試求第四次取得是壞蘋果的機率為 [ ] () 試求在取得 個好的蘋果的條件下, 第三次取得是好蘋果的機率 [ 4 ] 4. 某品牌之燈炮由 A 廠及 B 廠各生產 0% 及 70%,A 廠生產的產品中有 % 瑕疵 品 ;B 廠生產的產品中有 5% 瑕疵品, 某日退貨部門回收一件瑕疵品, 則下列敘述那 些是正確的? (A) 猜此瑕疵品是由 A 廠製造的, 猜對的機率較大 (B) 猜此瑕疵品是 由 B 廠製造的, 猜對的機率較大 (C) 此瑕疵品由 A 廠製造的機率為 8 (D) 此瑕疵 0

22 0 品由 A 廠製造的機率為 0000 (E) 50 此瑕疵品由 B 廠製造的機率為 0000 [BC] 5. 據調查統計結果 : 甲地血型 O 的人有, 乙地血型 O 的人有 4, 今從甲地的人 5 人, 乙地的人 5 人中, () 任選 人, 此人血型是 O 型的機率為 [ 9 ] () 任選 人, 此二人都是 O 型的機率為 [ ] 7 6. 甲說實話機率 0, 9 乙說實話機率 0, 今有一袋內藏 白球,7 黑球, 自袋中任取一 球, 甲. 乙二人均說白球, 則此球確為白球之機率為 [ 9 0 ] 7. 老羅 5 次中有 次忘記將雨傘帶回家, 今年元旦老羅帶雨傘出去, 順次到過 A,B,C 三家, 在忘記帶回雨傘的情形下, 則此次雨傘放在 B 家的機率為 [ 0 6 ] 8. 某種疾病的檢驗方法不是百分之百正確 : 依過去之經驗知道, 患有此疾病的人檢 驗能正確判斷的可能性為 0.9; 不患有此疾病的人, 則檢驗做了錯誤判斷的可能性 為 0.04, 假設一群人中已知 0% 患有此疾病, 而從這一群人中任取一人加以檢驗, 則檢驗判定患有此疾病的機率為 [0.6] 9. 設 A 袋中有 白 5 黑球,B 袋有 白 黑球,C 袋有 白 黑球, 今自 A 袋中任取 球放入 B 袋, 再從 B 袋中取出 球放入 C 袋, 求 B 袋中仍恰有 黑球的機率 [ 5 56 ] 0. 設某藥物對一般病人有過敏反應之機率為 0., 今有三位病人接受此藥物之治療, 如果此三位病人是否有過敏反應, 相互不影響, 試求至少有一位病人有過敏反應的機率為 [0.7]. 甲, 乙, 丙三袋中, 甲袋有 黑球 白球, 乙袋有 黑球 白球, 丙袋有 黑球 白球, 今自甲乙丙三袋中各任取一球, 則至少取出 黑球的機率為 [ 0 ]

23 . 一袋中有三個白球, 二個黑球, 甲, 乙二人輪流自其中取出一個球, 今約定先得白球 者為勝 () 若取出的球不放回袋中時, 各人穫勝之機率為 [ 甲 : 7 0, 乙 : 0 ] () 若取出的球再放回袋中時, 各人穫勝之機率為 [ 甲 : 5 7, 乙 : 7 ]. 投擲兩顆骰子若干次, 若有同樣點數出現即停止, 若投擲次數在 n 次以下的機率超過 0.9 時, 則最小 n 值為 (log=0.00,log=0.477) A [] 4.() 平面上有二市 A,B, 其間之通道如圖所示, 今有甲乙二人同時同速自 A,B 出發相向而行, 問二人相遇之機率如何?( 但二人行至分點時, 選走何路機會均等 ) [ 5 7 ] B () 今有路徑如右, 其中 M 為線段 NS 之中點及三同心圓之圓心, 甲自 S 往 N, 乙自 N 往 S, 二人同時出發, 以等速前進, 在 M 之前 的每個分歧點, 選擇各個前進方向的機率相同, 則二人相遇之 機率為 [ 6 4 ] N M S 5. 有街道圖如圖 ( 每一小方格皆為正方形 ), 甲自 P 往 Q, 乙自 Q 往 P, 兩人同時出發, 以相同速度, 沿最短路線前進, 假設在每一分叉路口時, 選擇前進方向的機率都相 a 等, 問甲, 乙二人在路上相遇的機率有多大? 將所求的機率化為形如的最簡分數 ( 即既約分數 ), 其中 n 及 a 皆為正整數, 則 n=,a= [8,9] Q P 6. 設 A,B,C 為三獨立事件, 若 P( A) =, P( A B C) =, P( A B C ) = 6 n 6, 則 P( B) + P( C) = [ 5 6 ] 7. 甲, 乙兩人輪流擲一均勻骰子, 言明先擲出 點者獲勝, 如果由甲先擲, 那麼甲

24 在擲完第二次時獲勝的機率為 [ 5 6 ] 8. 甲乙丙三人射擊命中同一目標的機率依次為 α, β, γ ( 假設三人彼此互不影響, 且 0< α, β, γ <), 試求下列各題 : () 甲射擊 5 發子彈, 恰中 發的機率為 ( 以 α 的升冪形式表示之 ) [0α 0α + 0α 4 0α () 甲乙丙三人向同一目標各射擊一發子彈, 此目標恰中一彈的機率為 l( αβγ ) + m( αβ + βγ + γα) + n( α + β + γ ), 求 l,m,n [l =, m=, n = ] 9. 某項考試共有是非題十題 ( 每題 0 分 ), 若完全利用猜題, 試求成績在 70 分 ( 含 70 分 ) 以上的機率為 ( 假設答錯不倒扣 ) [ 64 ] 40. 甲, 乙, 丙三人打靶, 命中率依次為 4,,, 今三人對同一靶射擊, 且三人彼此獨立 : () 各射擊一發, 求此靶被射中二發之機率為 [ 4 ] () 各射擊二發, 求此靶被射中二發之機率為 [ 9 88 ] 5 ] 4. 烏龍公司製造的飛機引擎, 每具的損壞率為 P,( P <), 若各個引擎是否損壞 互不影響, 而且一架飛機上若有超過半數之引擎正常運轉, 則飛機可正常飛行, 問五個引擎之飛機是否比三個引擎之飛機更能正常飛行? 試詳述理由 [ 否 ] 4. 擲一均勻硬幣三次, 每出現一個正面得 5 元, 一個反面賠 元, 則所得總額之期望值為 元 [ 9 ] 4.0 支籤中 支有獎, 支獎 00 元, 支獎 50 元, 支獎 0 元 () 任抽一支的期望值為 [7] () 任抽二支的期望值為 [4] 44. 袋中有壹元鈔票 4 張, 伍元鈔票 張, 拾元鈔票 5 張, 伍拾元鈔票 張, 百元鈔票 張, 今自袋中任意取出 張, 其值為 X 元, 求 X 之期望值為 [ 69 8 ]

25 45. 市面上有一種遊戲, 莊家在桌上畫有六個方格, 方格上分別標有,,,4,5,,6 之數 字, 賭客可在任何一格下注, 某賭客在 6 號下注 00 元, 莊家丟三粒骰子, 若三粒都不 出現 6 點則莊家贏它的賭注, 反之其中有 n 粒是 6 點, 就賠 n 倍並退還賭注, 已知 6 點出現 個, 個, 個的機率分別為 0.5, 0.069, 0.004, 則賭客輸的期望值為若干? [7.7 元 ] 46. 袋中有 5 個紅球,4 個白球, 從其中任意取出二球, 若二球皆為紅色, 可得 0 元, 若二球皆為白色, 可得 0 元求其期望值為 元 [ 65 9 ] 47. 某次考試中一部份試題採用多重選擇題, 每題有五個敘述, 其中正確的敘述可能 不止一個, 但至少有一個, 必須完全選對,( 不能多也不得少 ) 才得分數 5 分, 否則倒扣 S 分, 設某考生決定 靠運氣瞎猜, 令該生在此部份得分的數學期望值為 0 分, 又令他對單獨一題猜對的機率為 P, 則 P=,S= [ 5, ] 一人擲三個公正的銅幣, 若出現 k 個正面可得 k 元 (k=,,) 若不出現正面則 輸 5 元, 則贏錢之期望值為 [ 7 4 元 ] 49. 如圖電路 A,B 間各開關通電機率為, 若 A,B 間通電可得 4 元, 則期望值為 元 [5] A B 50. 甲, 乙二人作對局遊戲, 二人獲勝的機會均等, 誰先勝三局可得 5600 元, 進行至二局且二局皆甲勝時, 發生緊急事故遊戲必須中止, 現依誰先勝三局的機會來分 5600 元, 則甲應分得 元, 乙應分得 元 [4900,700] 5.T 市的市民徹底實行家庭計劃, 每個家庭假若第一胎生雙胞胎或三胞胎, 就不再生了, 否則一定要生第二胎, 但一定不生第三胎, 假設生雙胞胎的機率為 α, 生三胞胎的機率為 α, 生多於三胞胎的機率為 0, 問 T 市每個家庭平均有幾個小孩?( 請將 4 答案按 α 的升冪排列 ) [+ α + α α α ] 5. 設有一不公平的骰子, 其出現 i 點機率為 i n, n N,i=,,,4,5,6 4

26 () 投此骰子三次, 則恰有二次出現 6 點之機率為 [ 60 4 ] () 每投一次, 若出現 i 點, 則可得 ( 00 i ) 元, 今連投二次, 試問, 所得的期望值為 元 [ 408 ] 5.() 同時擲出三粒均勻骰子, 出現三個連續正整數的事件為 A, A 發生的機率為 [ 9 ] () 若將 () 中的試驗做了四次, 在四次中 A 發生了 x 次, 則 x 的期望值 E(x)=? [ 4 9 ] 54. 某人先投擲一粒公正骰子一次, 若出現之點數為 a,(a 的可能值為,,,4,5,6) 就再投 a 個公正的硬幣一次, 則此人恰得四個硬幣為正面的機率為 [ 9 84 ] 55. 設一袋中裝有 個 號球, 個 號球,..,n 個 n 號球,..,5 個 5 號球, n 5, 現自袋中任取一球, 設每一個球被取到的機會都相等, 而取得 n 號球可得 ( 00 n) 9 元, 則取到 9 號球的機率為, 而任取一球的期望值為 [ 5,8] 56. 設 A,B 二箱中,A 箱內有兩球, 一黑一白,B 箱內有一白球, 甲, 乙二人輪流取球, 每次先由甲自 A 箱內任取一球, 放入 B 箱內, 再由乙自 B 箱內任取一球, 放入 A 箱內, 這樣稱為一局, 那麼當第一局結束時,A 箱內兩球為一黑一白的機率為, 當第三局結束時,A 箱內兩球為一黑一白之機率為 [ 4, ] 袋中有六個乒乓球, 分別編號為,,,4,5,6 每次自袋中隨機抽取一球, 然後將袋中編號為該球號碼之因數或倍數者一併自袋中取出 ( 例如第一次抽中 號球, 則將 號 號 4 號 6 號四球皆取出 ), 再進行下一次的抽取 試問最後一次抽取時, 袋中只剩 5 號球的機率是多少? (A) (B) (C) (D) (E)

27 綜合練習 :. 若 A = { x < x 4, x R}, B = { x x < 5, x R}, 試在數線上圖示 A B, A B, A B, B A 設樣本空間 S = {,,, 4, 5 }, 則 S 的事件共有個.. 投擲一粒公正的骰子 :A 表出現奇數點的事件, B 表出現偶數點的事件, C 表出現 點或 點或 點的事件, D 表出現 4 點或 5 點或 6 點的事件, E 表出現 點或 點的事件, F 表出現 5 點或 6 點的事件, 則對上述六事件而言, () 互餘且又互斥的兩事件為. () 互斥而非互餘的兩事件為. () 是否有互餘而非互斥的兩事件存在. 4. 設 A, B 為兩事件, 且 P( A B ) =, P( A) = 4, 則 P( A B) =. P( A B ) =. 5. 設 A, B 為兩事件, 且 P( A B) =, P( A ) =, P( A B) = 4 則 P( B)=. P( A B) =. 6. 投擲一粒公正的骰子三次, 設三次中至少出現一次 6 點的事件為 A, 三次中至少 出現一次么點的事件為 B, 求事件 A 和 B 至少有一發生的機率. 7. 投擲一粒公正的骰子 8 次, 得到 次 點, 次 點, 其他各點均出現 次的機率 4, n 為, 則 n = 將 6 封寫好的信, 任意放入 6 個寫好收信人的信封內, 每個信封恰放一封信, 則恰有 封信放對了信封的機率為. 9. 設 A ={,,, 4, 5 }, B ={ 6, 7, 8 } 問自 A 映至 B 的函數中, 任取其一設為 f, 則 f 為映成的機率為. 6

28 0. 設 A ={,,, 4, 5 }, 自 A 映至 A 的一對一函數 f 中, 滿足 f ( x) x ( x A) 的 機率為.. 擲一粒公正的骰子連續 4 次, 其出現的點數依序為 a, b, c, d, 則滿足 ( a b)( b c)( c d) 0 的機率為.. 擲一粒公正的骰子連續 次, 其出現的點數依序為 a, b, c, 則滿足 a b c的機 率為.. 袋中有 紅球, 4 白球, 每次取出一球, 不放回, 問白球先取完的機率為. 4. 袋中有 紅球, 4 白球, 5 黑球每次取出一球, 不放回, 問白球先取完的機率 為. 5. 擲一粒公正的骰子, 已知其出現奇數點, 求其出現的點數正好是 5 的機率為. 6. 某一家庭有兩個小孩, 若已知兩個小孩中至少有一女孩, 則另一孩子為男孩的機 率為.( 是男孩或女孩的機率相等 ) 7. 設 A, B 為兩事件, 且 P( A) =, P( B) =, P( A B) = 4 5, 則 P( A B ) =. 8. 設 A, B 為兩事件, 且 P( A B) =, P( A ) =, P( A B) = 4 則 P( A B)=. PB ( A) =. 9. A 袋中有白球 5 個黑球 5 個, B 袋中有白球 6 個黑球 4 個, 現擲一粒公正的骰子, 若點數為, 則自 A 袋中任取一球, 若點數為, 4, 5, 6 則自 B 袋中任取一球, 則取得白球的機率為. 0. 某燈泡公司有甲 乙 丙三廠, 產量比率依序為 0%, 0%, 50%, 各廠產品不合格之比率依序為.5%, %, 0.7%, 今由總倉庫中, 任意抽查一產品, 問 () 此產品為不合格之機率為. () 若經檢驗此產品為不合格, 則此產品為乙廠出品的機率為. 4, 7

29 . 設 A, B 為樣本空間 S 之兩事件, 且 P( A) =, P( B) = 4 () 當 A, B 為互斥時, P( A B) =. () 當 A, B 為獨立時, P( A B) =., 則. 設 A, B 為獨立事件, 且 P( A) =, P( A B) =, 則 P( B A)=.. 若 A 與 B 為獨立事件, 試證明 A 與 B 亦為獨立事件. 4. 甲 乙兩生平時做數學題目, 甲生平均每 6 題可做出 5 題, 乙生平均每 題可做出 題, 今有一數學題目由他們二人各別獨自做, 則此題被解出的機率為. 5. 設 A, B, C 為三獨立事件, 且 P( A) =, P( A B C) =, P( A B C ) = 6 則 P( B) + P( C) =. 6. 一火箭命中目標的機率每發皆為 0., 若每發皆為獨立事件, 則 ( 但 log=0.00, log=0.477) () 求發射 n 次中至少命中一發之機率為. () 求至少要發射發, 才能使至少命中一發之機率大於 甲 乙兩人圍棋技術相當, 今二人比賽規定七局中先勝四局者為勝, 今已賽完三局, 甲二勝一負, 那麼甲獲勝的機率為. A B E 8. 如右圖有 5 個開關, 以 A, B, C, D, E 表示, L C D R 7 電流通過各開關的機率依序為 0 5 5, 若各開關的操作獨立, 求電流可由 L 流至 R 的機率為. A 9. 如右圖有 4 個開關, 以 A, B, C, D 表示, 電流 B 通過各開關的機率均為, D 若各開關的操作 L R C 獨立, 求電流可由 L 流至 R 的機率為. 6 8

30 0. 擲三個硬幣, 出現 正面可得 元, 正面可得 8 元, 正面可得 4 元, 為了公平起 見出現 個反面時應賠多少元?.. 一袋中有 0 元硬幣 枚, 5 元硬幣 枚, 元硬幣 5 枚, 今自袋中取出兩枚,( 設每 個硬幣被取的機會相等 ) 則其期望值為元.. 由 到 50 的自然數中任取相異兩數 a, b, 求 a b 的期望值.. 袋中有 號球 個, 號球 個, 號球 個,., n 號球 n 個, 今自袋中任取一 球, 若取到 k 號球可得 k 元, 問期望值為. 4. 有五個選擇項的選擇題 : () 若單選每題答對給 8 分, 則答錯應扣分才公平. () 若複選 ( 至少要選一個選擇項 ) 每題答對給 分, 則答錯應扣分才公平. 5. 甲 乙二人技能相當, 約定先勝 局者可得賭金 64 元 比賽開始後, 甲先勝一局, 但有事不克完成賭局, 請問該如何分配賭注? 甲應得元. 6. 交通規則測驗時, 答對有兩種可能, 一種是會做而答對, 一種是不會做但猜對 已知小華練習交通規則筆試測驗, 會做的機率是 0.8 現有一題 5 選 l 的交通規則 選擇題, 設小華會做就答對, 不會做就亂猜 已知此題小華答對, 試問在此條 件之下, 此題小華是因會做而答對 ( 不是亂猜 ) 的機率是 7. 設 P : 表示丟 個公正硬幣時, 恰好出現 l 個正面的機率,P : 表示擲 個均勻骰 子, 恰好出現 l 個偶數點的機率,P : 表示丟 4 個公正硬幣時, 恰好出現 個正 面的機率 試問下列選項何者為真? (A) P = P = P (B) P = P > P (C) P = P < P (D) P = P > P (E) P > P > P 8. 某課外活動社團共有 0 位同學參加, 已知其中高一 高二 高三同學所佔比例 分別為 55% 5% 0%, 若由該社團中任選兩人, 則此兩人是不同年級學生的機 率是. 9. 假設有一種特製的骰子, 其六個面上的點數各為,,4,5,6,7, 現在同時投擲兩顆公正的這種骰子, 則其點數和為幾點時機率最大? (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 0 9

31 40. 根據過去紀錄知, 某電腦工廠檢驗其產品的過程中, 將良品檢驗為不良品的機 率為 0.0, 將不良品檢驗為良品的機率為 0.6 又知該產品中, 不良品佔 5%, 良品佔 95% 若一件產品被檢驗為良品, 但該產品實際上為不良品之機率 為 ( 小數點後第三位四捨五入 ) 4. 從,,,4,5,6,7,8,9 中, 任取兩相異數, 則其積為完全立方數的機率為. 4. 調查某新興工業都市的市民對市長施政的滿意情況, 依據隨機抽樣, 共抽樣男 性 600 人 女性 400 人, 由甲 乙兩組人分別調查男性與女性市民 調查結果 男性中有 6% 滿意市長的施政, 女性市民中有 46% 滿意市長的施政, 則滿意市 長施政的樣本佔全體樣本的百分比為 % 4. 袋中有七個白球, 若干個黑球 今從袋中一次取出兩個球, 已知此兩球同為白 7 球的機率是, 請問袋中有幾個黑球? 44. 醫療主管機關在持續追蹤某傳染病多年後, 發現如果體檢受檢人感染該傳染 病, 就一定可以檢測出來 但是卻有 4% 的機率, 將一不患該傳染病之受檢者誤 檢為患有該病 已知全部男性人口中有 0.% 的機率患有此病 現於兵役體檢時 進行檢測, 若該梯次役男共有十萬人受檢, 而且某役男被告知患有該病 請問 下列哪些敘述為真? () 該役男確實染病的機率大於 % () 該役男確實染病的機率大於 4% () 該役男確實染病的機率大於 5% (4) 該役男確實染病的機率大於 90% 45. 某課外活動社團共有 0 位同學參加, 已知其中高一 高二 高三同學所佔比例分別為 55% 5% 0%, 若由該社團中任選兩人, 則此兩人是不同年級學生的機率是. 46. 彩票公司每天開獎一次, 從 三個號碼中隨機開出一個 開獎時, 如果開出的號碼和前一天相同, 就要重開, 直到開出與前一天不同的號碼為止 如果在第一天開出的號碼是, 則在第五天開出號碼同樣是 的機率是 0

32 敘述統計 基本範例 : 以 50. 右圖是高三某班 50 位同學第二月考下數學成績之以下累積次數分配曲線累 48 4 圖樣 ( 不含上限 ) 積次 試求全班數學成績的數 8 () 次數分配表. 0 () 算術平均數 X. 4 () 標準差 S 分數 ( 取至小數點後第一位, 第二位四捨五入 ) [() 略 () 64. () 5.5]. 已知 5 個數值之平均數為 60, 後來發現其中 85 一數須悌除, 如不改變其他的原始資料, 試求悌除 85 一數後, 所餘 50 個數值之平均數為 [59.5]. 投骰子 00 次, 將其結果記錄如表, 若算術平均數為 a, 中位數為 b, 則 a b =? [0.4] 點數 次數 擲骰子 60 次, 將其結果記錄如下 : 點數 次數 () 求算術平均數 X= [.5] () 中位數 M e = [.5] 5. 在國際跳水比賽中, 幾位裁判各給運動員一個成績, 為了避免偏激裁判影響運動員成績, 規定要把所有裁判所給同一運動員的成績中, 最高和最低成績各去掉一

33 個, 再以其餘成績的算術平均數作為該運動員的成績, 設某次比賽中, 七位裁判給熊選手的成績分別是 9,86,80,84,9,78,84, 則熊選手該次成績為 [85.] 6. 某班一次數學測驗, 其成績的次數分配如下 : 分數 0~0 0~0 0~0 0~40 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90 90~00 人數 根據上表, 下列敘述那些是正確的?(A) 組距是 0 分 (B) 全距是 00 分 (C)50~60 這一組的以下累積次數是 8 人 (D) 中位數落在 70~80 這一組內 (E) 算術平均數在 60~70 的範圍內 [ADE] 7. 九位學生的數學抽考成績分數分別為 : 0,40,60,50,70,80,60,90,60 () 這九個分數的中位數為 [60] () 這九個分數的抽樣標準差為 [5 4] 現在使用簡單隨機抽樣法, 從這九個分數中取出三個, 請回答下面三個小題 () 所取出三個分數中至少有一個為 60 分的取法有 種 [64] (4) 所取出三個分數的中位數等於 60 分的取法有 種 [46] (5) 若已知所取出三個分數中有一個為 70 分, 則在此條件下, 此三個分數的中位數 為 60 分的機率為 [ 7 ] 8. 高二某班第二次月考的數學成績統計如右表, 試求下列各值 :( 小數點以下取一位, 第二位四捨五入 ) 分數 0~0 0~40 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90 90~00 人數 () 算術平均數 X = [7] () 中位數 M e = [7.] () 四分位差 Q.D.= [0] (4) 標準差 S= [6.4]

34 9. 高中某班學生數學月考的成績皆為 0 的倍數, 採用組距 0, 並且組中點是各組上, 下限之平均數, 將該班數學成績做成如下直方圖, 則該班數學月考成績之標準差 為 ( 求至個位數 ) 變異係數為 %( 求至個位數 ) [5,9] 某班學生 50 人, 分甲, 乙兩組, 甲組 0 人的數學平均成績為 80 分, 母體標準差 分, 乙組 0 人的數學平均成績為 75 分, 母體標準差 4 分, 試求 : () 全班 50 人的數學平均為 分 [77] () 又其母體標準差為 分 [4]. 某班 40 人參加考試, 老師改完了卷子後計算全班之平均分數為 5 分, 母體標準差為 分, 但教務處通知考生阿猜因作弊, 該生原分數 40 分應改為 0 分, 請你幫老師算算, 這班同學之真正母體標準差應為 分 [ 65 ]. 設 n 個數值 x, x,..., x n 的算數平均數是 x, 標準差是 S X, 則 ax + b, ax +b, ax + b,..., axn + b 的算數平均數是, 標準差是 [ax + b, a S X ].0 個人參加考試, 得平均分數 56, 母體標準差 4, 其中 8 個人的成績是 50,5,5,54,56,57,60,6, 設其他兩個人的分數是 x,y, 求 x,y=? [54,6] 4. 已知 4 個人的得點為 4,,6,5, 今有 A 君不知其得點, 若 5 個人得點的母體標準差為, 則 A 君的得點為 [8 或 ]

35 5. 某班學生 60 人分為甲, 乙兩組, 甲組 0 人之平均成績為 76 分, 標準差為 8 分, 乙組 40 人之平均成績為 70 分, 標準差為 0 分, 試求全班 60 人的成績之標準差 [9.80] 6. 以 50 分為滿分時, 全班平均 6 分, 標準差 分, 今決定每人先加 分, 再將分數加 倍, 若全班新的平均分為 a 分, 新的標準差為 b 分, 求數對 (a,b)= [(78,4)] n 7. 將,,..., 等 n 個數的算術平均數記為 a n, 其標準差記為 b n, 則 n n n lima n =, limb n = [, ] n n 6 8. 十位考生之國文與數學成績列表如下 : 考生編號 國文 數學 今已算出國文成績之標準差為 8.9 分 ( 取至小數點第一位 ), 數學成績之標準差為 7.5 ( 取至小數點第一位 ), 則此十位考生兩科成績之相關係數最接近 (A) 085. (B) 0.5 (C) 0.66 (D) 0.78 (E) 0.85 [C] 9. 研究十位學生某次段考甲, 乙兩學科測試成績的相關性, 設其相關係數為 r, 若 r= 表完全正相關, r = 表完全負相關, 0.7 r 表高度相關, 0. r < 0. 7 表中度相關, 0 < r < 0. 表低度相關,r =0 表零相關, 已知此十位學生的成績如下 : 學生代號 A B C D E F G H I J 總計 甲科測驗 乙科測驗 則此次甲, 乙兩學科測驗成績之相關程度為 [A] (A) 高度相關 (B) 中度相關 (C) 低度相關 (D) 完全正相關 (E) 完全負相關 4

36 0. 有兩組變量 X 與 Y, 現在得之 0 個數據 x, y ) 已知 ( k k k k k k k = k = k = k = k = x =, x =., y = 4, y = 9. 6, x y = 8, () 試求 X 的母體變異數 S x ( 就是母體標準差的平方 ) [] () 試比較 X,Y 的變異情形 [X 的變異較大 ] () 試求 X 與 Y 的直線相關係數 r [0.6]. 兩組變量 X,Y 各有 n 個數值資料 ( x, x,..., x ; y, y,..., y ), 若變量 X 之算術平 n 均數為 X, 標準差為 S X, 變量 Y 之算術平均數為 Y, 標準差為 () 寫出 X,Y 之直線相關係數 r = ( 以 n, X,Y, x, y 各符號作答 ) () 試證 () 中之 r 滿足 k k i i n S Y ( xi X)( yi Y) r i= [ r = ( n ) S S ] n X Y. 下列各敘述何者正確? [ACE] (A) 欲檢驗某工廠出品的燈泡耐用時間是否符合要求, 應該使用抽樣調查 (B) 某次考試若甲班成績的平均數高於乙班的平均數, 則甲班成績的中位數也高於乙班的中位數 (C) 設有 50 個整數值成績的資料, 其中位數為 75 分, 四分位差為 7 分, 則其中至少有 7 個成績不低於 60 分 (D) 某次考試, 甲班的平均分數為 70 分, 標準差為 0 分 ; 乙班的平均分數為 40 分, 標準差為 8 分, 由此可知甲單非數的變異大於乙班分數的變造 (E) 某班共有 50 位同學, 以簡單隨機抽樣抽出 5 位同學為樣本, 若將各位同學從 0 到 50 編號, 則第 0 號同學在第一次被抽中的機率與第 5 號同學在第四次抽中的機率相等. 某系甲, 乙, 丙三班微積分考試, 統計結果如下 : () 該系 00 人的平均成績 X 為 [80] () 那一班程度比較平均? 用數據說明 [ 乙班 ] () 該系 00 人的標準差為多少分?( 求至小數一位 ) [9.0] (4) 該系的變異係數為 [.5%] 班別 甲班乙班丙班 平均成績 80 分 75 分 85 分 標準差 8 分 6 分 0 分 人數 40 人 0 人 0 人 5

37 4. 有 0 個數值, 其中 6 個數值的平均數是, 變異數是 9; 剩下的 4 個數的平均數是 8, 變異數是 4, 試求 : () 全體的平均數為 [5] () 全體的變異數為 [7] 綜合練習. 有一種丟銅板的遊戲, 其規則為 : 出現正面則繼續丟, 出現反面就出局 那麼 連續丟 5 次後還可繼續丟的機率為 ( ) 5 = 某班有 40 名學生, 每人各玩一 局, 設班上至少有一人連續丟 5 次後還可繼續丟的機率為 p 則. (A) 0.4 p < 0.5 (B) 0.5 p < 0. 6 (C) 0.6 p < 0. 7 (D) 0.7 p < 0.8 (E) 0.8 p < 0.9. 下圖中, 有五組數據, 每組各有六個資料點, 設各組的相關係數由左至右分別為 r, r, r, r r 則下列關係式何者為真? 4, 5 (A) r = r (B) r < r (C)r > r 4 (D) r < r5 (E) r 4 = r5 y y y y y x x x x x. 某人上班有甲 乙兩條路線可供選擇 早上定時從家裡出發, 走甲路線有 機率會遲到, 走乙路線有的機率會遲到 無論走哪一條路線, 只要不遲到, 下 5 次就走同一路線, 否則就換另一條路線 假設他第一天走甲路線, 則第三天也走甲路線的機率為. 0 的 4. 有一種遊戲, 每次輸贏規則如下 : 先從 至 6 中選定一個號碼 n, 再擲三粒均勻的骰子 若三粒骰子的點數全都是 n, 則可贏 元 ; 恰有兩個點數為 n, 則可贏 元 ; 恰有一個點數為 n, 則可贏 元 ; 而沒有點數為 n, 則輸 元 如此, 玩一次的期望值 ( 贏為正, 輸為負 ) 為. 6

38 5. 設事件 A 發生的機率為, 事件 B 發生的機率為 發生的機率, 則 p 值的範圍為何?. (A) p (B) < p (C) < p < (D) 長方體中, 互為歪斜線的稜線共有對 若以 p 表事件 A 或事件 B 5 p (E) 6 5 p > 6 7. 某次數學考試共有 0 題, 每題 5 分, 每答對 題得 5 分, 答錯不倒扣 今有 8 位同學參與考試, 平均成績 60 分, 全距 40 分, 試問下列選項哪些正確?. () 沒有人得滿分 () 若有人得 95 分, 則中位數小於 60 分 () 若有人得 95 分, 則母群體標準差小於 5 分 (4) 若有人得 90 分, 則不及格人數比及格的人數多 (5) 若甲 乙二人的成績分別為 90 分 85 分, 則其他人的成績皆不及格 8. 測量一物件的長度 9 次, 得其長 ( 公尺 ) 為.4,.46,.4,.45,.44,.48,.46,.47,.45 將上面的數據每一個都乘以 00, 再減去 40 得一組新數據為,6,,5,4,8,6,7,5 問下列選項, 何者為真?. (A) 新數據的算術平均數為 5 (B) 新數據的標準差為 (C) 原數據的算術平均數為.45 (D) 原數據的標準差為 0. (E) 原數據的中位數為 袋子裡有 個球, 個球上標 元, 個球上標 5 元 從袋中任取 個球, 即可得到兩個球所標錢數的總和, 則此玩法所得錢數的期望值是元 0. 有一片長方形牆壁, 尺寸為 ( 即 : 長 單位長, 寬 單位長 ) 若有許多白色及咖啡色壁磚, 白色壁磚尺寸為, 咖啡色壁磚尺寸為 4, 用這些壁磚貼滿此長方形, 問可貼成幾種不同的圖案? 種. 擲 粒公正的骰子, 問恰好有兩粒點數相同的機率為.. 爸爸 媽媽 哥哥與妹妹四人參加喜宴, 與其他客人坐滿一張 個坐位的圓桌, 若四人坐位相鄰, 且哥哥與妹妹夾坐於爸爸 媽媽之間, 則共有 種不同坐法. 7

39 . 老師將 枝相同的鉛筆, 分給甲 乙 丙 丁 戊與己六位小朋友, 其中有兩位各分得 4 枝, 兩位各分得 枝, 而有兩位沒有分到, 則共有 種分法, 在這種分法之下, 戊與己兩位都分得 4 枝的機率為. 4. 調查某班 40 名學生每週使用電腦時數, 統計結果如下 : 算術平均數標準差第 四分位數第 四分位數 8. 小時. 小時 7.0 小時 0.0 小時 下列關於該班學生每週使用電腦時數的敘述, 何者可由上列結果判斷為正確? () 四分位差為.5 小時 ()7.0 小時 中位數 0.0 小時 () 約有 0 名學生每週使用電腦時數超過 0.0 小時 (4) 該班學生每週使用電腦時數最多者每週約使用電腦 =. 5 小時 (5) 約有 0 名學生每週使用電腦時數在 7 到 0 小時之間 5. 有學生十人 ( 甲 乙 癸 ) 其期考數學成績與該學期數學課缺課數, 如下表所示 學生甲乙丙丁戊己庚辛壬癸 缺課數 成績 設兩者的相關係數為 r 則 (A) r 0.6 (B) 0.6 < r < 0. (C) 0. r 0. (D) 0. < r < 0.6 (E) 0.6 r 8

40 6. 擲三粒均勻骰子一次, 則在至少出現一粒 4 點的條件下, 其點數和為偶數的機 率為 7. 某年聯考甲 乙兩科成績的直方圖如圖所示 ( 由於考生人數眾多, 成績分布的直方圖可視為平滑的曲線 ), 則下列那些敘述是正確的? 人(A) 甲的算術平均數比乙的算術平均數大數(B) 甲的中位數比乙的中位數大 (C) 甲的全距比乙的全距大乙甲 (D) 甲的標準差比乙的標準差大 (E) 甲的變異係數比乙的變異係數大 分數 8. 甲 乙兩人各擲一均勻骰子, 約定如下 : 乙得 6 點時乙就贏 ; 兩人同點時 ( 非 6 點 ), 甲贏 ; 其餘情形, 則以點數多者為贏 則甲贏的機率為 9. 某班數學老師算出學生學期成績後, 鑑於學生平時都很用功, 決定每人各加 5 分 ( 加分後沒人超過 00 分 ), 則加分前與加分後, 學生成績統計數值絕對不會改變的有.(A) 算術平均數 (B) 中位數 (C) 標準差 (D) 變異係數 (E) 全距 0. 由,,,4,5,6, 六個數字所組成 ( 數字可以重複 ) 的四位數中含有奇數個 的共有 (A)60 個 (B) 68 個 (C)486 個 (D) 50 個 (E)648 個. 已知編號為,,,,0 的十盞路燈中, 有三盞是故障的, 則編號 4 與編號 5 都是故障的機率為.. 設甲組 4 人的數學成績依次為 x > x > x >, 乙組 4 人的數學成績依次為 y > > y > y y4 x4, 這 8 人的成績全部相異 則甲組相對於乙組同名次, 甲組的 數學成績均高於乙組 ( 即 x > y, x > y, x > y且 x4 > y4) 的機率為. 袋中有七個相同的球, 分別標示 號 號 7 號 若自袋中隨機取出四個球 ( 取出之球不再放回 ), 則取出之球上的標號和為奇數的機率為 4. 某生第一次月考六科的平均成績 ( 算數平均 ) 為 80 分, 若已知其中五科的成績為 68, 80, 80, 80, 86 則其成績的母體標準差為分 9

41 5. 欲將八位新生平均分發到甲 乙 丙 丁四班, 共有種分法 6. 某市為了籌措經費而發行彩券 該市決定每張彩券的售價為 0 元 ; 且每發行一百萬張彩券, 即附有壹佰萬元獎 張, 拾萬元獎 9 張, 壹萬元獎 90 張, 壹仟元獎 900 張 假設某次彩券共發行三百萬張 試問當你購買一張彩券時 你預期會損失元 y 7. 右圖表兩組數據 x, y 的分佈圖, 試問其相關係數 r 最接近下列何值? (A) (B) 0.5 (C) 0 (D) 0. 5 (E) x 8. 某班 50 位同學數學科成績的以下累積次數分配曲線如下圖所示, 則其成績的中位數為 ( 取到整數, 小數點以下四捨五入 ) 當使用一儀器去測量一個高為 70 單位長的建築物 50 次, 所得數據為 測量值 68 單位長 69 單位長 70 單位長 7 單位長 7 單位長 次數 根據此數據推測, 假如再用此儀器測量該建築物三次, 則三次測得的平均值為 7 單位長的機率為 40

42 0. 體操委員會由 0 位女性委員與 5 位男性委員組成 委員會要由 6 位委員組團出 國考察, 如以性別做分層, 並在各層依比例隨機抽樣, 試問此考察團共有多少種組成方式? 答 : 種. 下列 5 組資料 ( 每組各有 0 筆 ) (A) l, l, l, l, l, 0, 0, 0, 0, 0 (B),,,,, 5, 5, 5, 5, 5 (C) 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6 (D) l, l,,,,, 4, 4, 5, 5 (E),,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 Y 試問哪一組資料的標準差最大? D(,0) E(0,). 如圖所示有 5 筆 (X,Y) 資料 試問 : 去掉哪一筆資料後, 剩下來 4 筆資料的相關係數最大? B(,4) A(,) C(4,5) X. 某班有 48 名學生, 某次數學考試之成績, 經計算得算數平均數為 70 分, 標準差為 S 分 後來發現成績登錄有誤, 某甲得 80 分卻誤記為 50 分某乙得 70 分卻誤記為 00 分, 更正後重算得標準差為 S 分, 試問 S 與 S 之間, 有下列哪種大小關係? (A) S < S 5 (B) S 5 S < S (C) S = S (D) S < S S + 5 (E) S + 5 < S 4. 某校高三甲乙丙三班各有 50 位同學, 數學科模擬考成績的 50 以下累積次數折線圖如下 ( 各組不含上限 ) 45 根據上圖的資料, 選出下列正確的選項 : 40 (A) 各班成績的中位數, 甲班最高 (B) 各班的及格人數, 丙班最多 5 丙 (60 分 ( 含 ) 以上及格 ) 0 (C) 各班 80 分 ( 含 ) 以上的人數, 乙班最多 (D) 各班的平均成績, 丙班最差 5 (E) 此次模擬考最高分, 出現在乙班 5. 令 X 代表每個高中生平均每天研讀數學的時間 ( 以小時計 ), 則 W = 7(4 X ) 代表每個高中生平均每週花在研讀數學以外的時間 令 Y 代表每個高中生數學學科能力測驗的成績 設 X,Y 之相關係數為 R XY,W,Y 之相關係數為 R WY, 則 R XY 與 R WY 兩數之間的關係, 下列選項何者為真? () RWY = 7(4 RXY ) () RWY = 7RXY () RWY = 7RXY (4) R WY = R XY 乙 甲

43 (5) R = WY R XY 6. 某班的 50 名學生參加一項考試, 考題共有 00 題, 全為 5 選 l 的單選題, 計分方法共有 X Y 兩種 ; 若某學生有 N 題放棄沒答,R 題答對,W 題答錯, 則 W N X = R, Y = R +, 試問下列敘述哪些是正確的?. 4 5 (A) 同一學生的 X 分數不可能大於 Y 分數 (B) 全班 X 分數的算術平均數不可能大於 Y 分數的算術平均數 (C) 任兩學生 X 分數的差之絕對值不可能大於 Y 分數的差之絕對值 (D) 用 X 分數將全班排名次的結果與用 Y 分數排名次是完全相同的 (E) 兩種分數的相關係數為 l 7. 某校想要瞭解全校同學是否知道中央政府五院院長的姓名, 出了一份考卷 該 卷共有五個單選題, 滿分 00 分, 每題答對得 0 分, 答錯得零分, 不倒扣 閱 卷完畢後, 校方公佈每題的答對率如下 : 題號一二三四五 答對率 80% 70% 60% 50% 40% 請問此次測驗全體受測同學的平均分數是. (00 數學甲 ) ()70 分 ()65 分 ()60 分 (4)55 分 8. 下圖顯示民國 及 90 年三個年度所調查之台灣北 中 南 東部地區國民對自己生活的滿意程度 ( 資料來源 : 內政部統計處 國民生活狀況調查報告 ) 北中南東北中南東北中南東 88 年度 89 年度 90 年度 為比較各地區國民對自己生活滿意程度的差異, 以東部地區國民之滿意度為基準, 計算各年度中其他三地相對於當年度東部地區國民的 相對生活滿意度 4

44 74.6 例如 :88 年度中部地區的相對生活滿意度為 94.% 79. ;89 年度北部地區的 7. 相對生活滿意度為 00.4% 7. 下列關於各地區國民生活滿意度的敘述, 何者正確?. (00 數學乙 ) () 北部地區國民的 相對生活滿意度 在 88 ~ 90 年三年中, 以 90 年度為最低 () 中部地區國民的 相對生活滿意度 在 88 ~ 90 年三年中逐年降低 () 南部地區國民的 相對生活滿意度 在 88 ~ 90 年三年中, 以 90 年度為最低 (4) 在 88 ~ 90 年三年中, 四地區國民間生活滿意度的差異在 90 年度達到最低 (5) 在 88 ~ 90 年三年中, 四地區國民間生活滿意度的差異逐年增加 9. 空氣品質會受到污染物排放量及大氣擴散等因素的影響 某一機構為瞭解一特定地區的空氣品質, 連續二十八天蒐集了該地區早上的平均風速及空氣中某特定氧化物的最大濃度 再繪製這二十八筆資料的散佈圖 ( 見下圖 ), 現根據該圖, 可知. (00 數學甲 ) () 此筆資料中, 該氧化物最大濃度的標準差大於 5 () 此筆資料中, 該氧化物最大濃度的中位數為 5 () 此筆資料中, 平均風速的中位數介於 45 與 50 間 (4) 若以最小平方法決定數據集中直線趨勢的直線氧, 則該直線的斜率小於 0 化物最5 大濃度0 ( 豪克\ 立方公尺) 平均風速 ( 公里 / 小時 ) 40. 定義一組資料的第一十分位數 w 為 至少有 ( 含 ) 9 有 ( 含 ) 0 () 任一組資料都恰有一個第一十分位數 的資料不大於 0 w, 且至少 的資料不小於 w, 試問下列敘述何者為真?. (005 數學乙 ) 4

45 () 若將原資料每個數據分別乘以 5, 則原資料的第一十分位數乘以 5 也會是新資料的第一十分位數 () 若將原資料每個數據分別加 5, 則原資料的第一十分位數加 5 也是此新資料的第一十分位數 (4) 若有 A,B 兩組資料其第一十分位數分別為 w,, 則 w + w 也是此兩組資 A wb A B 料合併成一組後的第一十分位數 (5) 任一組資料的第一十分位數必小於該組資料之算術平均數 4. 某校高一第一次段考數學成績不太理想, 多數同學成績偏低 ; 考慮到可能是同學們適應不良所致, 數學老師決定將每人的原始成績取平方根後再乘以 0 作為正式紀錄的成績 今隨機抽選 00 位同學, 發現調整後的成績其平均為 65 分, 標準差為 5 分 ; 試問這 00 位同學未調整前的成績之平均 M 介於哪兩個連續正整數之間?. (005 推甄 ) () 40 M < 4 () 4 M < 4 () 4 M < 4 (4) 4 M < 44 (5) 44 M < 下列五個直方圖表示的資料, 何者之標準差最大?. (005 數學乙 ) () 50 () 00 () 50 (4) 50 (5) 宴會在場的 50 位賓客有人偷了主人的珠寶, 由於賓客身上都沒有珠寶, 而且他們都不承認偷竊 警方決定動用測謊器, 並且只問客人一個問題 : 你有沒有偷珠寶? 已知若某人說謊, 則測謊器顯示他說謊的機率為 0.99; 若某人誠實, 則測謊器顯示他誠實的機率是 0.9 下列敘述何者正確 : () 設竊賊只有一人, 當賓客受測時, 測謊器顯示賓客說謊的機率大於 0. () 設竊賊只有一人, 當測謊器顯示一賓客說謊時, 該賓客正是竊賊的機率大於 0.5 () 設竊賊只有一人, 當測謊器顯示一賓客誠實時, 該賓客卻是竊賊的機率小於 0. (4) 當測謊器顯示一賓客說謊時, 該賓客是竊賊的機率, 並不因竊賊人數多少而改變 (005 數學甲 ) 44. 有一筆統計資料, 共有 個數據如下 ( 不完全依大小排列 ):, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 8,, x 和 y, 已知這些數據的算術平均數和中位數都是 6, 且 x 小於 y 請選出正確的選項. (00 數學甲 ) 44

46 () x+ y = 4 () y < 9 () y > 8 (4) 標準差至少是 45. SARS 疫情期間, 為了建立指標顯示疫情已受控制, 以便向國人宣示可以過正常生活, 有位公共衛生專家建議的指標是 連續 7 天, 每天新增的可能病例都不超過 ( 小於或等於 )5 人 根據連續 7 天的新增病例計算, 下列各選項, 哪些必定符合此指標?. (00 數學乙 ) () 平均數 () 標準差 () 平均數 且標準差 (4) 平均數 且全距 (5) 眾數 = 且全距 某大學數學系甄選入學的篩選方式如下 : 先就學科能力測驗國文 英文和社會這三科成績 ( 級分 ) 加總做第一次篩選 然後從通過篩選的學生當中, 以自然科的成績做第二次篩選 最後再從通過的學生當中, 以數學科的成績做第三次篩選, 選出一些學生參加面試 現在有五位報名該系的學生的學科能力測驗成績如下表 : 學生國文級分 英文級分 數學級分 社會級分 自然級分 甲 乙 丙 丁 0 戊 5 7 已知這五位學生當中, 通過第一次篩選的有四位, 通過第二次篩選的有三位, 通過第三次篩選可以參加面試的只剩下一位 請問哪一位學生參加面試? () 甲 () 乙 () 丙 (4) 丁 (5) 戊 (006 數學乙 ) 某次數學測驗分為選擇題與非選擇題兩部分 下列的散佈圖中每個點 (X,Y ) 45 分別代表一位學生於此兩部分的得分, 40 其中 X 表該生選擇題的得分,Y 表該生 5 非選擇題的得分 設 Z = X + Y為各生 0 在該測驗的總分 共有 位學生的得 5 分數據 試問以下哪些選項是正確的? 0 () X 的中位數 > Y 的中位數 Y 5 () X 的標準差 > Y 的標準差 0 () X 的全距 > Y 的全距 5 (4) Z 的中位數 = X 的中位數 + Y 的中位數 0 (006 數學乙 ) X

47 48. 右圖是根據 00 名婦女的體重所作出的直方圖 ( 圖中百分比數字代表各體重區間的相對次數, 其中各區間不包含左端點而包含右端點 ) 該 00 名婦女體重的平均數為 55 公斤, 標準差為.5 公斤 曲線 N 代表一常態分佈, 其平均數與標準差與樣本值相同 在此樣本中, 若定義 體重過重 的標準為體重超過樣本平均數 個標準差以上 ( 即體重超過 80 公斤以上 ), 則下列敘述哪些正確?. (006 學測 ) 體重 ( 公斤 ) () 曲線 N( 常態分佈 ) 中, 在 55 公斤以上所佔的比例約為 50% () 曲線 N( 常態分佈 ) 中, 在 80 公斤以上所佔的比例約為.5% () 該樣本中, 體重的中位數大於 55 公斤 (4) 該樣本中, 體重的第一四分位數大於 45 公斤 (5) 該樣本中, 體重過重 ( 體重超過 80 公斤以上 ) 的比例大於或等於 5% 相對次數0% % N 4% % 6% 5%

48 排列組合 , , () 6 () 7. () 840 () 40 () () () () 5 () 0 8. () 60 () 0 () () () , , (),, () () 00 () () 0 () () 680 () 65 () () 00 () () 50 () () 6 () 540 () (8,8), (8,0) 50.() 440 () 5. () 80 () 機率. 略.. () AB, CD () CF, DE, EF () 無 4. 4, 5 5., , ()0.0 (). () 7 (). 7. 略 n 6. () (0.9) () n + 4. () () B D ()()

49 敘述統計 :. D. ABE D ()()()(5) 8. ABCE , 5 4. ()()(5) 5.A CDE CE 0. D C A. D. B 4. ACDE ABDE 7.() 8.() 9.()(4) 40.()() 4.(5) 4.(4) 4.()() 44.()() 45.(4)(5) 46.(4) 47.()()() 48.()()(4)(5) 48