Microsoft Word - 數學C_4-2~4-3.doc

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宫颛屠
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1 數學 III_-~- 年班座號姓名一單選題 ( 題每題 0 分共 0 分 ) 總分 ( ). 甲乙二人平時能解出數學題之機率分別為解出幾題? (A)0 (B) () (D) (E)7 今二人合作解 8 題且互不影響, 則可預期他們能甲乙二人合作能將題目解出之機率為 P( 甲乙 ) P( 甲 ) P( 乙 ) P( 甲乙 ) 解 8 題, 則可預期他們能解出 8 題 ( ). 擲一均勻的硬幣二次, 每出現一個正面得元, 一個反面賠元, 則所得總額的期望值為 (A) 元 (B) 7 元 () 元 (D) 9 元 (E) 元 A 機率二正一正一反二反價值 0 元元元所求期望值 0 ( ) ( 元 ) ( ). 擲三枚公正的硬幣, 若出現 x 個正面, 則可獲得 x 元, 若皆未出現正面則輸 8 元, 則期望值為 (A)0 元 (B) 元 () 元 (D) 元 B 出現個正面的機率為 8, 可得元 ; 出現個正面的機率為 8, 可得元 ; 出現個正面的機率為 8, 可得元 ; 皆未出現正面的機率為 8, 要輸 8 元 ; 故期望值為 ( 8) 元

2 ( ). 八人作一直線排列, 其中甲乙二人相鄰的機率為 (A) 8 (B) 7 () (D) (E) D 甲乙二人相鄰的排列為 7! 故二人相鄰的機率為 7! 8! ( ).0 個燈泡中有個是壞的, 今從這 0 個燈泡中任意取出個, 則含有壞燈泡的機率是 (A) (B) () (D) (E) B 取出兩個燈泡都是好的機率 0 所求機率 ( ). 在某次考試中, 有一試題採單選題, 而此題有 (A) (B) () (D) 四個答案, 其中只有一個答案是正確的若答對此題可得分, 答錯則倒扣 S 分假設某考生決定靠運氣瞎猜其中一答案, 為了讓該考生在此題上得分的期望值為 0, 則 S 之值為 (A) (B) () (D) D 猜對的機率為, 可得分 ; 猜錯的機率為, 須倒扣 S 分 ; 故期望值 ( S) 0 S ( )7. 袋中有大小相同的紅球個黑球個白球個, 自袋中一次取一球, 共取二次, 取出不放回, 則二球同色的機率為 (A) (B) 8 () 8 (D) 7 (E) 9 E 兩球為紅球的事件, 其樣本有兩球為黑球的事件, 其樣本有兩球為白球的事件, 其樣本有個個個所求機率 9 ( )8. 設兄弟人擲一骰子, 先擲出么點者可得 00 元, 今由弟弟先擲, 則弟弟得到金額的期望值為 (A)00 元 (B)00 元 ()000 元 (D)00 元 B 全部的情形可分為 - -

3 弟弟先擲出么點種哥哥先擲出么點種弟弟的期望值元 ( )9. 同時擲粒公正的骰子, 則其點數總和的期望值為 (A) 7 (B) () (D)7 B 丟一顆骰子出現點數的期望值 7 7 故丟顆骰子點數和的期望值為 ( )0. 擲四枚公正的硬幣一次, 每出現一個正面可得獎金 0 元, 每出現一個反面則須付 0 元, 則其獎金期望值為 (A)0 元 (B) 元 ()0 元 (D) 元 7 ( ). 設 A B 為二事件, 若機率 PA ( ) PB ( ) PA ( B), 則 P(A B) (A) (B) () (D) (E) E PB ( ) PB ( ) P(AB) P(A) P(B) P(AB) 7 PA ( B) PA ( B) 8 8 PA ( B) PAB ( ) PB ( ) ( ). 設某燈泡工廠生產了 000 個燈泡, 其中含有 8 個不良品, 今從中隨機取出 00 個燈泡, 則含不良品的數學期望值為 (A). (B) (). (D) A 8 8 Ex ( ) ( ). 甲乙二人各擲一公正的骰子且互不影響, 甲乙二人中恰有一人得么點的機率為 (A) (B) 8 () (D) 8 (E)

4 D 甲得么點, 乙不是么點甲不是么點, 乙得么點 ( ) ( ) 故所求機率為 ( ) ( ) 8 ( ). 一筒中裝有號籤枝號籤枝號籤枝 0 號籤 0 枝, 今由筒中任抽出枝籤, 若抽得 r 號籤可得 r 元 (r 0), 則抽出枝籤獲得的期望值為 (A)7. 元 (B)7 元 (). 元 (D) 元 B 0 (0 ) 0 期望值元 ( ). 設 {A, A, A, A } 為樣本空間 S 的一個分割, 若 PA ( ) PA ( A) PA ( A ), 則事件 A 發生的機率 P (A ) (A) (B) () 8 (D) B ( ). 某人同時擲三個公正的硬幣一次, 規定出現 k 個正面可得 k 元 (k ), 若無正面出現則須付元, 則此人作此試驗所得金額的期望值為 (A) 元 (B) 元 () 元 (D) 元 8 ( )7. 設袋中有 0 個球, 分別為 0 等號碼, 自袋中任取球, 則此三球中數字最大者為 8 的機率為 (A) (B) 7 0 () 0 7 (D) 7 0 D ( )8. 同時擲顆公正的骰子一次, 則至少出現個點的機率為 (A) (B) () 9 (D) ( )9. 自裝有元硬幣枚 0 元硬幣枚 0 元硬幣枚的袋中, 隨機取出枚硬幣, 則所取枚硬幣幣值和的期望值為 (A) 元 (B) 元 () 元 (D)0 元 D ( )0. 甲乙丙丁人排成一列, 則甲在乙丙左邊的機率為 (A) (B) () (D) - -

5 ( ). 設袋中有 0 個大小相同的球, 其中個是白球, 個是紅球, 個是黑球, 某人自袋中隨機取球 ( 同時取出 ), 則此球皆異色之機率為 (A) (B) () (D) ( ). 同時擲五個公正的硬幣一次, 每出現一個正面可得獎金 0 元, 則作此試驗獲得獎金的期望值為 (A)0 元 (B) 元 () 元 (D) 元 D 一正面機率 0 二正面機率 0 三正面機率四正面機率五正面機率 0 0 期望值元 ( ). 若 0 個燈泡中有 0 個燈泡是壞的, 今從這 0 個燈泡中任意取出個燈泡, 則含有壞的燈泡的機率是 (A) 7 0 (B) 0 () 7 0 (D) 0 0 B ( ). 自 0 中, 任取相異三數作成三位數, 則此三位數是的倍數之機率為 (A) 9 00 (B) () 00 (D) D 0 任取相異三數作成三位數有種的倍數有以下 : 0 種種 0 種種種 0 種 - -

6 種機率 00 ( ). 設袋中有一元五元十元五十元硬幣各一枚, 問小蓮從袋中任取一個硬幣幣值之數學期望值為多少元? (A). (B) (). (D) A 0 0. ( 元 ) ( ). 安安保險公司銷售一年期之高中學生平安保險, 保險額為萬元, 保費為 00 元, 保險公司根據過去資料顯示, 高中學生不會出意外的機率為 0.99, 則每一投保學生保險公司獲利的期望值為 (A)0 元 (B)00 元 ()00 元 (D)00 元 B ( ) 元 ( )7. 投擲二硬幣, 若均出現正面可得元, 若僅有一正面可得元, 若無正面可得元, 則期望值為 (A) 元 (B) 元 () 7 元 (D) 元 D ( 元 ) ( )8. 若方程式 x ax b 0 的係數 a b, 分別是擲骰子甲與骰子乙所得的點數代入而得, 則方程式恆有二相等實根的機率為何? (A) 8 (B) () (D) A ( )9. 設有編號四杯不同的酒, 如果先飲第杯再飲其他三杯則一定不會醉, 否則依任何其他順序喝完這四杯酒則一定會醉今有一不知情的人連續喝完了四杯酒, 那麼他會喝醉的機率為 (A)!! (B)!! ()! (D)! B ( )0. 設將張卡片分別用自然數編號, 若以抽取張卡片之自然數作為三角形之三個邊, 則能構成三角形之機率為 (A) (B) 0 () (D) B ( ). 在擲單顆骰子遊戲中, 若甲每投一次骰子要先付給乙 x 元, 且出現點數為奇數時, 乙需付給甲 0 元 ; 出現點數為偶數時, 乙需付給甲 0 元, 但出現奇數點的機率為出現偶數點機率的倍, 則 x 應訂為多少元, 此遊戲才是公平的? (A) (B)0 () (D)0 B - -

7 設奇數點的機率為 P (A), 偶數點的機率為 P (B) P (A) P (B) 出現奇數點的機率為出現偶數點機率的倍 P (A) P (B) P (A) P (B) 代入得 P (B) P (B) PB ( ) 則 PA ( ) 為了遊戲公平, 付出的錢得到的期望值 xp( A) 0 P( B) ( 元 ) 故選 (B) ( ). 由的數字中, 任取相異二數, 其和為偶數的機率為 (A) 7 8 (D) 7 (B) () 9 ~9 任取數共種 9 奇數奇數和為偶數偶數偶數 0 共種機率 9 ( ). 庭院深深深幾許七個字重新排列, 三個深字均不相鄰的機率為 (A) 7 (B) () 8 (D) 7 A 7! 全部排法有 80! 三個深不相鄰 :! 0 0 機率 80 7 ( ). 已知 0 個產品中有個為不良品, 今由這 0 個產品隨機抽出個, 則含有不良品的機率為 (A) 9 8 (B) 0 8 () 8 (D) 7 8 D - 7 -

8 ( ). 甲乙各擲一個公正的骰子, 則甲的點數小於乙的點數的機率為 (A) (B) () (D) D 甲的點數乙的點數 ~ ~ ~ 故甲的點數小於乙的點數的機率 ( ). 設 A B 為樣本空間中兩互斥事件, 且 PA ( ), PA ( B), 則 P (A B') (A) 7 (B) () (D) 8 PA ( B) PA ( ) PA ( B) PA ( ) 0 ( )7. 甲乙丙丁四人猜拳 ( 刀石布 ) 一次, 則此四人恰有人勝的機率為 (A) 9 (B) 7 () 7 (D) B 機率 7 ( )8. 自對夫婦中任選人, 則所選人中恰有一對為夫婦的機率為 (A) (B) () (D) ( )9. 擲一公正的骰子 8 次, 恰出現次么點次偶數點的機率為 (A) (B) 8 () 8 (D) 8 機率 8 8 ( )0. 設 A B 為同一樣本空間 S 的二事件, 已知 PA ( ) PB ( ) PA ( B), 則 P (A' B) (A) (B) () (D) - 8 -

9 ( ). 在邊長為的正三角形內部任取一點 P, 則 P 到三頂點的距離皆大於的機率為 (A) 8 (B) 8 () 8 8 (D) 9 9 以為半徑,A B 為圓心畫弧 ( 如圖 ), 則空白部分即是大於的部分 AB 面積 9, 空白部分面積機率 9 8 ( ). 自至的自然數中, 任取相異三數, 則三數成等差的機率為 (A) 8 (B) () 9 (D) 8 A 設取出的三數為 a b c, 其中 a b c, a c b a c 同是奇數或同是偶數, 取法有 7 個 8 故機率為 ( ). 某人投籃平均每五次投中三次, 設此人在 n 次投籃中至少投中一次的機率大於 0.999, 則 n 之最小值為 ( 已知 log 0.00) (A) (B)0 ()9 (D)8 D 投中一次的機率大於相當於投不中的機率小於等於 0.00, 投不中的機率每次為 ( ) n 0.00 log( ) n log 0.00 n(log log) n(log ) n 7. log 0.98 n 之最小值為 8 ( ).A B 為樣本空間 S 之三事件, 若 PA ( ) PB ( ) P ( ), 且 P (A B) P (B ) 0, PA ( ), 8 則 A B 三事件至少有一事件發生的機率為 (A) 7 8 (B) () 8 (D) - 9 -

10 P (A B) P (B ) 0 P (A B ) 0 三事件至少有一事件發生的機率 P (A B ) P (A) P (B) P () P (A B) P (B ) P (A ) P (A B ) ( ).0 件產品中, 有件是不良品, 由產品中隨機抽取件, 其中恰有件不良品的機率為 (A) (B) () 7 (D) 9 B 7 所求機率 0 ( ). 男女排成一列, 其中同性不相鄰的排法, 其機率為 (A) 0 (B) () 0 (D)!! 男女相間的排法有!! 種, 故所求機率為! 0 ( )7. 袋中有大小相同的白球紅球黑球, 任取球, 取出為同色球的機率為 (A) 7 7 (D) 7 8 (B) () 8 0 所求機率為 9 8 ( )8. 擲兩粒骰子, 至少出現一個點的機率為 (A) (B) () (D) A 至少出現一個點的事件全部沒有出現點故所求機率 ( )9. 設自 {,,,, 9} 中取出相異二數, 其積為完全平方數的機率為 (A) 0 (B) 9 () 8 (D) B 樣本空間的樣本有個 9-0 -

11 完全平方的事件 {, 9, 8, 9} 故機率 9 ( )0. 設自 {,,,, 9} 中取出相異二數, 二數之積為完全立方數的機率為 (A) 8 (D) D 完全立方的事件 { 8,, 9} 故機率 (B) () ( ). 張撲克牌任取張, 其為一對的機率為 (A) (B) 7 () 7 (D) B 所求機率 7 ( ). 中山高中一二三年級學生人數的比例分別為 0% % 8%, 而一二三年級男生人數占該年級的比例分別為 0% 0% 0%, 現從全校學生中任意選取人, 則此人為女生的機率為何? (A).% (B).% ()7.8% (D)9.% D 由題意, 樹狀圖如下 : 由知所求機率 0% 0% % 0% 8% 0% 9.% 故選 (D) ( ). 設 S 為一試驗之樣本空間, 集合 A B 皆為 S 中的事件, 且 P (A) 為事件 A 發生的機率下列敘述何者錯誤? (A) 若 A 與 B 為互斥事件, 則 P (A B) P (A) P (B) 恆成立 (B)P (B A) P (B) P (A) 恆成立 ()P (S A) P (A) 恆成立 (D)P (A B) P (A) P (B) P (A B) 恆成立 B (A) 若 A 與 B 為互斥事件, 則 P (A B) 0 故 P (A B) P (A) P (B) P (A B) P (A) P (B) (B) 舉反例 : - -

12 設 S 為擲一公正硬幣之樣本空間,A 為正面的事件,B 為反面的事件則 PB ( A) PB ( ), PB ( ) PA ( ) 0 P(B A) P (B) P (A) 故 P(B A) P (B) P (A) 不一定成立 ()P (S A) P (A' ) P(A) (D) 排容原理恆成立 ( ). 一袋中有大小相同的紅球個白球個黑球個今從袋中一次取球, 則所取球中至少有球顏色相同的機率為何? (A) (B) 0 () 79 0 (D) D 袋中有 0 個球設袋中一次取球的樣本空間為 S 而球顏色均不同的事件為 A 0 則 ns ( ) 0, na ( ) 0 na ( ) 0 PA ( ) ns ( ) 0 故 P( 至少球顏色相同 ) P (A) ( ). 某遊樂場舉辦摸彩活動, 摸彩箱中有 0 號球號球號球各個, 每一球被取出之機率均相同遊客由摸彩箱中同時取出球, 若取出的個球為個號球個 0 號球時, 則此遊客可以免費入場求一遊客經由此摸彩活動得以免費入場的機率為何? (A) 0 (B) 8 () 9 (D) B 設 S 為由摸彩箱中 9 個球同時取球的樣本空間,A 為取出個號球個 0 號球的事件則 n (S) 9 9! 8!! n (A) 9 個球取個個號球取個個 0 號球取個!! 9!!!! na ( ) 9 因此所求 PA ( ) ns ( ) 8 8 二填充題 (8 格每格 0 分共 0 分 ).A B 為同一樣本空間 S 的二事件, 已知 P (A) 0.,P (B' ) 0.,P (A B) 0., 則 ()P (A B), - -

13 ()P (A' B) ()0.7;()0.. 某人擲一公正骰子一次, 若出現奇數點可得 00 元, 若出現點或點可得 00 元, 若出現點則要付出 000 元, 則此人獲得金額的期望值為 0 元 Ex ( ) ( 000) 0 元.x ax b 0 式中的 a b 各由一公正的骰子出現的點數來決定, 則此方程式無實數解的機率為 7 方程式無實數解 D a b 0 a 值,,,,,,,,,,, b 值共 7 組 7 機率為. 某人同時擲枚均勻硬幣一次, 約定出現 k 個正面可得 k 元, 出現 m 個反面須付 m 元, 求此試驗所得金額的期望值為元. 連擲一公正的骰子三次, 則點數積為的機率為 7 點數積 abc! 故機率 7. 連擲一均勻硬幣三次, 若出現一次正面可得 00 元, 出現二次正面可得 00 元, 出現三次正面可得 00 元, 則所得金額的期望值為 00 元 7. 擲三粒公正骰子一次, 若出現個相同點數可得 70 元, 若出現個相同點數可得 8 元, 假設玩此遊戲須先付 0 元, 求獲利的期望值為 0 元 8. 擲枚均勻的硬幣, 恰出現二正面三反面的機率為 (), 至少出現一正面的機率為 () () ;() 0 二正三反的機率 - -

14 至少出現一正面全部沒有正面機率為 9. 自裝有白球紅球的袋子中, 一次取出兩個球, 若每個球被取到的機會相同, 且取出兩球同色可得 00 元, 取出白紅則須付元才算公平 0 0. 任意個人, 恰有個人在同一月份出生的機率為 7 8 0! 00 7 機率 8. 甲乙丙丁人猜拳, 各出剪刀石頭布三者之一, 形成人贏人輸的機率為 9 刀刀石石人贏人輸的情形有種刀刀布布石石布布機率 9. 甲乙丙丁戊己人排成一列, 則甲乙必相鄰且丙丁分離的機率為甲乙相鄰且丙丁分離的事件有!! P 種!! P 故機率!. 以作成數字相異的四位數, 求此四位數為的倍數的機率為當此四個數字和為的倍數時, 此四位數即為的倍數故有 (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) (,,, ) 等組! 機率 P. 從中, 任取相異三數作為三角形的三個邊長, 則能構成三角形的機率為 7 0 三角形任二邊和必須大於第三邊 - -

15 可能三邊長為共 7 種 7 7 機率 0. 一袋中有大小相同的個白球個紅球, 今任意從袋中一次取球 : () 取得紅白球的機率為,() 取得紅球的機率為, () 取得紅球個數的期望值為個 () 0 ;() ;() 0 () 紅白的機率 9 () 紅的機率 9 () 紅白的機率 9. 某人丟一粒公正的骰子 0 紅球個數的期望值 ( 個 ) () 出現偶數點的機率為, () 若出現偶數點, 則可獲得與點數相同的錢, 若出現奇數點, 須賠與點數相同的錢, 擲一次的期望值為元, () 若出現 a 點可得 a 元, 則其期望值為元 () ;() ;() 7 () 機率 () 期望值 ( ) ( 元 ) 7 () 期望值 () ( 元 ) 7. 甲乙人輪擲一公正骰子為戲, 甲先乙後, 先擲得點者為勝, 則甲得勝的機率為甲勝的機率 ( ) ( ) ( ) 8. 一袋中有號與號卡片各張, 一次取出張, 數字積的期望值為 - -

16 8 期望值 () () ( ) 9. 設甲袋有紅球白球, 乙袋有藍球白球, 今由甲袋任取二球放入乙袋, 再由乙袋任取二球放回甲袋, 則紅球藍球都在甲袋的機率為甲袋取紅白乙袋 ( 紅藍白 ) 取紅藍乙袋 ( 藍白 ) 取藍白甲袋取白擲元硬幣個, 若每出現一正面可得元, 則擲一次的期望值為元出現個正面的機率 8 出現個正面的機率 8 出現個正面的機率 8 期望值 ( 元 ) ( x ). 從區間 [, ] 中任取一數 x, 則滿足不等式的機率 x 原式 ( x ) 0 x ( x) x 0 x x 0 x - -

17 (x )(x ) 0 x 機率 ( ). 一袋中有大小相同的白球紅球黃球 : () 今自袋中取出三球, 則三球異色的機率為, () 今自袋中取出一球, 連取三次, 每次取出之球不放回, 則三球異色之機率為 () ;() () 所求機率 () 若取出球依序為 ( 白紅黃 ) 之機率為 0 白紅黃三色作直線排列有! 種故所求機率為! 0. 有大小尺寸不同的球鞋雙, 從中任取隻, () 恰為雙的機率為,() 隻均不成雙的機率為 () ;() () (). 甲生能解某題之機率為, 乙生能解某題之機率為為, 今甲乙二人同解某題且互不影響, 則此題被解出之機率設自 {,,,, 0} 中取出數 : () 一數為另一數的倍之機率為, () 為連續二數的機率為 () 9 ;() () 一數為另一數倍的事件 {(, ), (, ), (, ), (, 8), (, 0)} - 7 -

18 所求機率 0 9 () 連續二數的事件 {(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, 7),(7, 8),(8, 9),(9, 0)} 9 9 所求機率 0. 一筒中有號籤支號籤支號籤支號籤支 : () 由筒中任意抽取支, 則同號之機率為, () 若每次抽支, 抽出之後不放回, 連取次, 則順次抽得號之機率為 () 9 ;() 0 () 所求機率 0 9 () 所求機率 A B D 四人排成一列 : ()A 在 B 前, 在 D 前的機率為, () 自左而右, 照 A B D 的順序排列的機率為 () ;()! () 排列數為!!, 排好後在中依序填入 A B, 中依序填入 D, 即為 A 在 B 之前, 在 D 之前的情況, 共種, 故所求機率! ()ABD 僅有種排法, 故所求機率 8. 投擲二粒公正骰子, 其出現的點數和 : () 為的倍數的機率為, () 為的倍數的機率為 () 7 ;() () 點數和為的倍數和事件 {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} 7 所求機率 () 點數和為的倍數的事件 {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} - 8 -

19 故所求機率三計算題 ( 小題每小題 0 分共 0 分 ). 老闆在一袋中放大小相同的 7 個黑球個白球, 若顧客從袋中取出一球為白球, 則老闆給顧客 00 元, 抽中黑球老闆不給顧客任何錢, 但事先顧客要先付 00 元給老闆, 問顧客獲利的期望值 0( 元 ) 7 抽中黑球的機率為 0, 抽中白球的機率為 0 當抽中白球, 顧客自老闆處賺得 00 元, 但要先扣掉付給老闆的 00 元, 顧客淨得 00 元當抽中黑球, 老闆不用給顧客任何錢, 顧客淨得 00 元 7 顧客獲利的期望值為 00 ( 00) 0 ( 元 ) 0 0 另解 ( 元 ) 0 由結果得知, 此一遊戲對老闆是有利, 對顧客卻不利. 甲乙二人玩一種遊戲, 由甲做莊, 乙先付給甲 0 元, 然後自裝有大小相同的個白球個黑球的袋中拿取一球, 若取出黑球, 則甲給乙元, 否則甲不給乙任何錢, 試問乙的期望值 0( 元 ) 取得黑球的機率為故乙的期望值為 ( 0) 元此遊戲為一公平的遊戲. 大小不同的球鞋雙, 放於一箱中, 任取隻, 求下列各機率 : () 隻均不成雙 () 恰為雙 () 8 ;() () 若隻均不成雙, 則隻必為雙中每雙之任一隻, 其取法有, 但因有左右之分, 其配法又有種 8 故所求機率為 0-9 -

20 () 我們先將每一雙球鞋各自放入盒中, 再從盒中任取盒即可, 但樣本空間仍為 0 隻中取隻鞋, 即為 0 故恰為雙球鞋之機率為 0. 根據統計, 一位 0 歲老人可活過一年的機率為 98%, 若某位滿 0 歲的老人保一年元的壽險, 但須繳保費 000 元, 試問一人投保, 保險公司獲利的期望值為多少? 000( 元 ) 不論是否理賠, 一投保即須先繳保費 000 元故保險公司若有損失為元依題意保險公司獲益 000 元的機率為 98% 而損失元的機率為 %, 故保險公司獲利的期望值為 % ( 97000) % 90 ( 90) 000 此一投保方式, 保險公司獲利的期望值為 000 元另解不論是否理賠, 保險公司皆收到保費 000 元, 若有意外, 保險公司需付保費元, 機率為 %, 故期望值為 000 ( 00000) % ( 元 ). 袋中有同式樣的黑襪雙白襪雙, 自袋中任取隻襪子, 若機會均等, 試求隻恰為雙的機率 0 襪子無左右之分, 因此兩雙襪子的情況分為 : 兩雙皆為黑襪, 有種 ; 兩雙皆為白襪, 有種一雙黑一雙白, 有 90 種故所求機率為 0 0. 袋中有大小相同且編號到 0 的號碼球共 0 個, 今小倩從袋中取一球, 則拿到的球號是的倍數或是的倍數的機率是多少? 令 S 為樣本空間,A 表拿到球號是的倍數的事件,B 表拿到球號是的倍數的事件, 則 S {,,,,9,0},n(S) 0-0 -

21 A {,8,,,,,8},n(A) B {,0,,0,,,0},n(B) 0 AB {0,0},n(AB) 0 所以 PA ( ), PB ( ), PA ( B) 故拿到的球號是的倍數或是的倍數的機率為 0 0 PA ( B) PA ( ) PB ( ) PA ( B) 個樣品中有個不良品, 從 0 個樣品中隨機取出個, 求含有不良品個數的期望值 ( 個 ) 含有個不良品的機率 0 8 含有個不良品的機率所求期望值為 ( 個 ) 另解不良品所占比例為 0 故取個, 其中不良品個數的期望值為 ( 個 ) 0 8. 袋中有大小相同且編號到 0 的號碼球共 0 個, 今小倩從袋中取一球, 小倩拿到的球號是 7 的倍數或是 8 的倍數的機率是多少? 0 令表拿到球號是 7 的倍數之事件 ;D 表拿到球號是 8 的倍數之事件則 {7,,,8,,,9},n() 7 D {8,,,,0,8},n(D) 因 D, 所以與 D 為互斥事件 7 故所求機率為 P ( D) P ( ) PD ( )

22 9. 一次投擲二粒公正的骰子, 試求點數和小於的機率設樣本空間為 S, 則 n(s) A {(,),(,),(,)}, 則 n(a) 所以 PA ( ) 由餘事件機率的性質知 : 所求機率 PA ( ) PA ( ) 0. 袋中有大小相同的紅球個白球個黑球個, 抽獎者自袋中抽出一球, 若抽中紅球可得 0 元, 抽中白球可得 0 元, 抽中黑球可得 80 元, 抽獎者應先付給提供遊戲者多少錢才算公平? 0( 元 ) 抽中紅球的機率為抽中白球的機率為抽中黑球的機率為抽獎者的期望值為 ( 元 ) 故抽獎者應先付 0 元才算公平. 某人擲一公正的骰子, 在玩之前須先付元, 若擲出 x 點, 可得 x 元, 問他擲骰子後可期望淨得多少錢? ( 元 ) 擲一骰子出現點的機率各為所求期望值 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - -

23 ( ) ( 元 ) 另解擲一粒骰子產生的總金額為 9( 元 ) 9 一粒骰子有個面, 故每一個面價值為 9 ( 元 ) 9 所求期望值 ( 元 ). 將一枚均勻硬幣連擲三次, 試求至少有一次正面的機率 7 8 設樣本空間為 S, 則 n(s) 8 三次皆為反面的事件 A {( 反, 反, 反 )},n(a) 7 故所求機率為 PA ( ) 8 8. 五對夫婦坐在客廳內, 試求下列各事件發生的機率 : () 任選二人, 恰為一對夫婦 () 任選四人, 恰為二對夫婦 () 任選四人, 恰有一對夫婦 () 任選四人, 均不是夫婦 () 9 ;() ;() 7 ;() 8 () 任選二人 : 樣本空間有 0 個樣本點恰為一對夫婦 : 從五對夫婦中任選一對 ( ) 故所求機率為 0 9 () 任選四人 : 樣本空間有 0 個樣本點恰為二對夫婦 : 從五對夫婦中任選二對 ( ) 故所求機率為 0 () 任選四人 : 樣本空間有 0 個樣本點恰有一對夫婦 : 五對夫婦中先任選一對 ( ), 再從剩下的四對選出二對 ( ), 選出的二對中每對再各選一人 ( ) - -

24 故所求機率為 0 () 任選四人 : 樣本空間有 7 0 個樣本點均不是夫婦 : 五對夫婦中先選四對 ( ), 再從選出的四對中每對各選一人 ( ), 故所求機率為 8 0. 同時投擲二粒公正的骰子, 試求所得點數和的期望值 7( 點 ) 二粒骰子之點數和與其機率列表如下 : 點數和機率所求期望值 ( ) ( ) 7 ( 點 ) 另解擲一粒骰子所得點數的期望值為 7 () 7 故擲二粒骰子所得點數和的期望值為 7( 點 ). 設個歲的老人買了年期 00 萬的壽險, 須年繳保費 000 元, 假設該年齡的老人年平均存活率約為 98 %, 求保險公司獲利的期望值為多少元? 000 元期望值 % ( ) ( 98%) 元. 從五對夫婦中任選五人, 試求五人中任二人均無夫妻關係的機率 - -

25 8 五對夫婦中任選五人的樣本空間有從每對夫妻中任選一人的方法有種 0 個樣本故所求事件有個樣本 8 所求機率 0 7. 設盒子內有號球一個, 號球二個, 號球三個, 號球四個, 今自盒子中任抽出一球, 若抽得 r 號球可得 r 元, 求抽出一球獎金的期望值元 0 期望值元 0 8. 發行彩券 000 張, 其中有張獎金各 000 元, 張獎金各 00 元, 張獎金各 00 元試求持有此種彩券 0 張獲得獎金的期望值 9 元期望值 0 ( ) 9元設袋中有相同的紅球個白球個, 現自袋中任取球, 若球同色, 則可得 00 元, 試求取一次的獎金期望值 0 元取球同色的機率為 P 0 故取一次的期望值 00 0 ( 元 ) 0 0. 設袋中有大小相同的 0 元元硬幣各枚, 自袋中任取枚, 求其幣值和期望值元此試驗可能發生的結果為 (0 元, 0 元 ) (0 元, 元 ) 與 ( 元, 元 ) 發生的機率分別為,, - -

26 9 期望值 0 0 ( 元 ). 某次段考, 班上同學英文及格的占, 數學及格的占格時, 求其數學也及格的機率, 英文或數學至少有一科及格的占, 若已知某生英文及設 A 表示英文及格的事件,B 表示數學及格的事件則 PA ( ), PB ( ), PA ( B) 又因為 P(AB) P(A) P(B) P(AB) PA ( B) 0 PA ( B) 根據題意, 所求為 PB ( A) 0 PA ( ). 袋中有大小相同的 9 張卡片, 其中張寫上 0 元, 另外張寫上同值的金額, 自袋中任取張卡片, 欲得期望值元, 則另外張上的錢數為何? 元設另外張上的錢數為 x 元 x (0 x) 0 0 x 0(0 x) x 故另外張卡片上的錢數為元. 某次段考, 班上同學英文及格的占, 數學及格的占格時, 試求其英文也及格的機率, 英文或數學至少有一科及格的占, 某生在已知數學及設 A 表示英文及格的事件,B 表示數學及格的事件 - -

27 則 PA ( ), PB ( ), PA ( B) 又因為 P(AB) P(A) P(B) P(AB) PA ( B) 0 PA ( B) 0 PAB ( ) PB ( ). 同時丟擲兩粒公正的骰子, 試求其點數和的期望值 7 點點數和機率期望值 ( 點 ). 袋中有大小相同的紅球個白球個, 由袋中取出球, 求依下列方式取球時, 球都是紅球的機率 : () 一次取球 () 取球後, 不放回, 再取球 () ;() () 本題由古典機率知 : 一次取個紅球的機率為 0 () 設 A 表第一次取到紅球的事件 B 表第二次取到紅球的事件則 PA ( ) 0-7 -

28 PB ( A ) 9 故二次皆為紅球的機率為 PA ( B) PA ( ) PB ( A) 0 9. 袋中有大小相同的紅球個白球 7 個, 一次取球, 連取二次, 取出後不放回袋中, 試求第一次取得紅球, 第二次取得白球的機率 7 0 第一次取得紅球的機率為第二次取得白球的機率為由條件機率的乘法公式知 : 所求機率為枚相同的硬幣丟一次, 個正面可得元, 個正面可得元, 個正面可得元, 全正面或全反面可得元, 試問丟擲一次的期望值元 8 正面數 0 機率期望值 ( 元 ) 8 8. 擲一粒公正的骰子, 考慮以下三事件 : A: 出現奇數點 B: 出現偶數點 : 出現點或點 ()A 與 B 是否為獨立事件? ()A 與是否為獨立事件? () 否 ;() 是 - 8 -

29 ()A {,,}, 則 PA ( ) B {,,}, 則 PB ( ) AB, 則 P(AB) 0 得 P(AB) P(A) P(B) 故 A B 為相關事件 ()A {,,}, 則 PA ( ) {,}, 則 P ( ) A {}, 則 PA ( ) 得 P(A) P(A) P() 故 A 為獨立事件 9. 擲一粒公正的骰子, 考慮以下三事件 : A: 出現奇數點 B: 出現偶數點 : 出現點或點試問 B 與是否為獨立事件? 是 PB ( ), P ( ) B {}, 則 PB ( ) 得 P(B) P(B) P() 故 B 為獨立事件 0. 一題數學題目, 甲生能解出之機率為, 乙生能解出之機率為, 若甲乙同解此題且互不影響 : () 甲乙二人均解出之機率為何? () 甲乙二人恰有一人解出之機率為何? () 此題被解出之機率為何? () ;() ;() 設 A 表甲解出的事件,B 表乙解出的事件 - 9 -

30 根據題意, PA ( ) PB ( ), 且 A 與 B 為獨立事件 () 所求為 PA ( B) PA ( ) PB ( ) () 所求為 P(AB) P(AB) P(A) P(B) P(A) P(B) ( ) ( ) () 所求為 PA ( B) PA ( ) PB ( ) PA ( B) 7. 設 A 與 B 為某試驗可能發生的二事件, 若 PA ( ) PA ( B) P(B) x, 則 : 0 () 當 A 與 B 為獨立事件時, 求 x 值 () 當 A 與 B 為互斥事件時, 求 x 值 () ;() 0 () 因為 P(AB) P(A) P(B) P(AB) 又已知 A 與 B 為獨立事件, 所以 P(AB) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A) P(B) 7 即 x x, 故 x 0 () 因為 A 與 B 為互斥事件, 則 AB P(AB) P() 0 故 P(AB) P(A) P(B) P(AB) 7 x 0 0 x 0. 設 A 與 B 為某試驗可能發生的二事件, 若 P(B) 0.8 P(AB) 0.9,P(A) x, 則 : () 當 A 與 B 為獨立事件時, 求 x 值 () 當 A 與 B 為互斥事件時, 求 x 值 ()0.;()0. () 因為 P(AB) P(A) P(B) P(AB) 已知 A 與 B 為獨立事件, 所以 P(AB) P(A) P(B) - 0 -

31 P(AB) P(A) P(B) P(A) P(B) 即 0.9 x 0.8 x 0.8 x 0. () 因為 A 與 B 為互斥事件, 則 AB P(AB) P() 0 故 P(AB) P(A) P(B) P(AB) 0.9 x x 0.. 設 A 與 B 為樣本空間 S 中之二獨立事件, 且 P(A) 0. P(B) 0., 試求 : ()P(AB) ()P(B A) ()0.7;()0. () 因為 A 與 B 為獨立事件, 所以 P(AB) P(A) P(B) 由於 P(AB) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A) P(B) () 因為 A 與 B 為獨立事件, 則 A 與 B 亦為獨立事件故 P(B A) P(B) P(B) 設 A 與 B 為樣本空間 S 中之二獨立事件, 且 PA ( ) PB ( ), 試求 : 0 ()P(AB) ()P(AB) () 7 0 ;() 0 () A 與 B 為獨立事件 A 與 B 亦為獨立事件 7 7 PA ( B) PA ( ) PB ( ) ( PA ( )) PB ( ) ( ) 0 0 () A 與 B 為獨立事件 A 與 B 亦為獨立事件 P(AB) P(A) P(B) ( P(A)) ( P(B)) 7 ( ) ( ) 0 0. 從至 00 的自然數中任取一數, 設機會均等, 求取得既不是的倍數, 也不是的倍數的機率至 00 中的倍數有個的倍數有 0 個 - -

32 的倍數有個故或的倍數有 0 9 個 9 07 所求機率為如圖, 假設由 A 點至 B 點, 走捷徑的話, 走每條路的機會均等, 求經過點的機率 0 9! A 至 B 的捷徑走法有!! 種!! A--B 的捷徑走法有 0 0 種!!!! 0 0 故所求機率為 7. 打橋牌時, 每人張, 問某人所分的張中有張是黑桃的機率是多少? 張都不是黑桃的機率是多少?( 列出式子即可 ) 9, 9 某人分到張, 樣本空間有個樣本張中有張是黑桃的機率為張都不是黑桃的機率為由 7 七個數字中, 任意取出二數, 設機會均等 : () 求其和為偶數的機率 () 在兩數和為偶數的條件下, 求兩數均為奇數的機率 () 7 ;() - -

33 7 () 樣本空間有個樣本兩數和為偶數有兩種情況 : 偶數偶數有,, 共個樣本奇數奇數有,, 7,, 7, 7 共個樣本故所求機率為 7 () 兩數和為偶數的事件中, 有 9 個樣本和為偶數, 且兩數為奇數的事件中, 有個樣本故所求機率為 9 9. 用 a c h i o n t 七個英文字母排列, 求母音 a i o 任兩不相鄰的機率是多少? 7 樣本空間的樣本有 P 7 7 7! 先將個子音作直線排列, 有! 排法再將個母音分別安插進去, 有種排法故所求機率為! 7! 7 0. 一袋中有 9 個球, 藍黑, 每次取一球, 取出不放回, 共取次 : () 求取出之球, 依次為藍黑之機率 () 求第二次取出之球為黑色球之機率 () 8 ;() 9 () 由條件機率的乘法公式知 : 所求機率為 () 因為取出之球不放回, 故第一次取出之球可能為黑色, 亦可能不是黑色, 分下列二種情形分別加以討論 : 第一次取出黑色球, 第二次取黑色球的機率第一次取出藍色球, 第二次取黑色球的機率

34 0 以上二事件為互斥, 故所求機率為自裝有白球紅球黃球之袋中, 一次任取球, 試求至少含紅球之機率 7 7 至少含紅球的機率 ( 球皆不是紅球的機率 ) 0 7. 設甲袋中有紅球個白球個 ; 乙袋中有紅球個白球個黃球個, 先依機會均等原則選出甲袋或乙袋, 再由選出之袋中任取球, 試求取到白球的機率 9 0 取到白球的機率取到甲袋中的白球的機率取到乙袋中的白球的機率 9 0. 二袋中各有 0 個球, 球上各標有 0, 今隨機從二袋中各取球, 試求所取球號碼差為的機率 0 號碼差表示為 (, ),(, 7),,(, 0) 二號碼球 0 故機率為 0 0. 同時投擲三粒公正的骰子, 則出現點數和為的倍數的機率為何? 點數和為的情形 :(,, ) (,, ) (,, ) 點數和為的情形 :(,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) 點數和為 8 的情形 :(,, ) 其中數相異有種情形, 同異有種, 數皆同有種 - -

35 !!!!! 故其機率. 自然數 x y z 為奇數的機率都是, 試求 xy z 為奇數的機率 xy z 為奇數表示 xy 為奇數,z 為偶數或 xy 為偶數,z 為奇數又 xy 為奇數的機率為,xy 為偶數的機率為 xy z 為奇數的機率為. 同時擲四枚均勻的硬幣, 試求 : () 恰出現一正面的機率 () 至少出現一正面的機率 () ;() 設樣本空間為 S, 恰出現一正面的事件為 A, 均為反面的事件為 B, 至少一正面的事件為 B', 則 n (S), na ( ), nb ( ), 故 () PA ( ),() PB ( ) PB ( ) 0 7. 擲兩粒均勻骰子, 試求 : () 點數和小於 0 的機率 () 點數和為的機率 () ;()0 設樣本空間為 S, 點數和不小於 0 之事件為 A, 則 n (S),A {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} n (A) - -

36 () 點數和小於 0 的機率為 PA ( ) PA ( ) () 點數和為的事件為空事件, 故其機率為 P () 0 8. 袋中有相同的白球紅球, 試求 : () 任取一球, 取到紅球的機率 () 任取二球, 二球同色的機率 () 任取三球, 一白球二紅球的機率 () ;() 7 ;() 0 0 () 設樣本空間為 S, 則 ns ( ) 0 取到紅球之機率為 P 0 () 設樣本空間為 S, 則 ns ( ) 0 取到二球同色之機率為 P 0 7 () 設樣本空間為 S, 則 ns ( ) 0 取到一白二紅之機率為 P 甲袋內有白球個黑球個, 乙袋內有個黑球今自甲袋內取球放入乙袋, 再從乙袋取出球放回甲袋, 求甲袋內白球存在的機率 7 甲袋取黑球放入乙袋甲袋取白黑放乙袋, 又從乙袋取回白黑故所求機率為若甲班學生, 有血型為 O 型 ; 乙班學生, 有血型為 O 型今自甲班 0 人, 乙班人中, 任選一人, 問此人血型為 O 型的機率 - -

37 8 7 O 型共有 0 人 8 故此人 O 型機率為 0 7. 一袋中有白球紅球, 由袋中一次取三球, 試求至少有紅球的機率恰有個紅球的機率為 9 0 恰有個紅球的機率為 9 故所求機率為 0. 一袋中有 0 個球, 球上分別刻有 0 的數字, 同時自袋中取出球, 球中數值最大者設為 x, 試求 x 之機率 0 0 樣本空間的樣本有 (x ) 表示取到個號球, 另兩個球號均小於的事件 nx ( ) 0, 故所求機率

一、是非題(50%) 注意：答錯一題倒扣0

一、是非題(50%) 注意：答錯一題倒扣0 一單選題 ( 第題每題 0 分. 擲個硬幣, 出現正面可得元, 正面可得元, 一正面可得元, 為了公平起見, 出現三反面時, 應賠多少元? (A0 元 (B 元 ( 元 (D0 元 (E 元解答 (D 投個硬幣, 其樣本空間元素個數 ( S 則得款數 x p, 設出現三反面應賠今欲公平, 則必須期望值 E 0 + + + ( x 0 x 0, 即賠 0 元 x 元二多重選擇題