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1 範圍 一 單選題 : 每題 分 高雄市明誠中學高三數學平時測驗日期 :98.0. 二為數據 班級三年 座號 班姓名 ( ). 如圖所示, 有 筆 (, ) 資料 試問 : 去掉哪一筆資料後, 剩下來 筆資料的相關係數最大? (A) A (B) B (C)C (D) D (E) E 解答 :D 解析 :() 圖中各點接近斜率正 ( 左下右上 ) 之直線為正相關, 且愈接近直線相關程度愈高 () 圖中各點接近斜率為負 ( 左上右下 ) 之直線為負相關, 且愈接近直線相關程度愈高 () 散布圖中各點愈接近鉛直線或水平線, 相關程度愈接近 0 () 散布圖中各點愈均勻分布在, 所分四個象限, 相關程度愈接近 0 故此散布圖去掉 D (,0) 這筆資料, 剩下 筆資料的相關係數最大 ( ). 下列哪一個圖, 其相關係數最小? (A) (B) (C) (D) (E) 解答 :B 解析 : 由圖中知, 當其迴歸直線的斜率為負, 則其相關係數為負, 若點的排列為對稱, 則其相關係數為 0, 若為鉛直線或水平線其相關係數亦為 0, 又靠迴歸直線的點愈密, 其相關係數愈大 ( ). 有甲 乙兩組資料, 已知甲 :9,9,90,88,86; 乙 :6,6,60,9,7 試問 哪一群資料的變異情形較大? (A) 甲 (B) 乙 (C) 一樣大 (D) 無法比較 解答 :B 解析 : 甲 : 90 (0) 90 (6 0 6) 0 ; CV 00%.% 乙 : 60 ( 0 ) 60 (9 0 9) ; CV 00%.7% 乙組資料變異情形較大 第 頁

2 ( ). 若 (, ) (, ) (, ) (6, 7) 的最佳直線為 a b, 則 b 的最接近值為 : 解答 :A 解析 : (A). (B).7 (C). (D).7 (E).7 6, 7 b 最佳直線的斜率 ( 9 0 ) ( ) ( 9 6) (6). ( ). 某項藝能競賽, 共有甲 乙 丙 丁 戊 己六位參賽者, 下表是 A B C 三位評 審對這六位參賽者的評分資料 : 評審 參賽者 甲 乙 丙 丁 戊 己 A B C 若 A 與 B B 與 C C 與 A 的相關係數分別為 r r r, 則下列哪一個選項為真? (A) 0r (B) r r (C) r r (D) r r (E) r r 解答 :B 解析 : 觀察發現 : B 評審給分都比 A 評審少 分 C 評審給分都是 A 評審的 C 評審給分都是 B 評審的倍再加 故 r, r, r 分 ( ) 6. 給定 與 兩種抽樣數據 (, ), 0 已知 , 0 0 其標準差分別為, 且相關係數為 0.8, 試求 對 的迴歸直線為 (A) 0.8 (B) (C) (D) 0. 8 (E) 解答 :D 解析 : , 對 的迴歸直線為 r ( ), ( 7) 即 0. 8 ( ) 7. 若有 0 筆 (, ) 的資料, 其相關係數為 r, 則下列敘述哪一個為真? 第 頁

3 (A) 當這 0 筆資料完全落在直線 0.上, 表示 r 0. (B) 當 r 時, 則散布圖上所有點均在一直線上 (C) 當 r 0 時, 則散布圖上所有點必成一圓 (D) 當 r 時, 則表示無法由 的值來預測 的值 (E) r 的值可能是. 解答 :B 解析 :(A) r (C) r 0 時, 散布圖也可能是一條水平線 (D) r 時, 表 0 筆資料落在一條斜率為負的直線上, 因此藉由 值來預測 值 (E) r ( ) 8. 研究十位學生某次段考甲 乙兩學科成績的相關性, 設其相關係數為 r 若 r 表完 全正相關 ; r 表完全負相關 ;0.7 r <表高度相關 ;0. r <0.7 表中度相關 ; r < 表低度相關 : r 0 表零相關 已知此十位學生的成績如下 : 學生代號 A B C D E F G H I J 總計 甲科測驗 乙科測驗 則此次甲 乙兩學科測驗成績之相關程度為 (A) 高度相關 (B) 中度相關 (C) 低度相關 (D) 完全正相關 (E) 完全負相關 86 學測 解答 :A 解析 : 甲科測驗 的平均數 6, 乙科測驗 的平均數 7 [( ) ( ) ( ) 9 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 00 ( ) ] 故 r [( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ] 9 [ ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ] O ( )9. 下圖表兩組數據 與 的分布圖, 試問其相關係數 r 最接近下列何值?(A) (B)0. (C)0 (D) 0. (E) 88 日社 解答 :C 解析 : 圖形對稱直線 r 0 第 頁

4 ( )0. 某班 6 位同學期考的數學成績平均成績為 6 分, 今老師將成績做線型調整, 把每位 同學的成績先乘以倍, 再減去 分 設變量 分別表同學的原始成績與調整後 的成績 並設 r 表 與 的相關係數, 則下列何者正確? (A) 0. r 0. (B) 0. r 0.7 (C) 0.7 r 0.9 (D) 0.9 r (E) r 解答 :E 解析 : 由題意已知 資料完全落在直線 上, 斜率 m 0, 資料完全正相關, 相關係數 r ( ). 令 代表每個高中生平均每天研讀數學的時間 ( 以小時計 ), 則 : W 7( ) 代 表每個高中生平均每週花在研讀數學以外的時間 令 代表每個高中生數學學科能力 測驗的成績 設 之相關係數為 R 數之間的關係, 下列選項何者為真?,W 之相關係數為 R W, 則 R 與 R W 兩 (A) RW 7( R ) (B) RW 7R (C) RW 7R (D) RW R (E) RW R 解答 :E 解析 : 若 U a b,v c d, 而 U V 的相關係數為 r UV 又 W 7 68 R W R ( 7 0), 則 r UV r, 當 ac 0 r, 當 ac 0 ( ). 下列有關兩變量 與 之散布圖中, 哪一個相關係數最接近 0.? 解答 :B (A) (B) (C) (D) (E) ( ). 一肥皂廠商欲推出一種新產品, 在上市之前以不同的 單價 ( 單位 : 十元 ), 調查市場的需求量 ( 單位 : 萬盒 ), 調查結果如右表, 試問, 的相關係數最 解答 :E 接近下列哪一個值? (A) (B) (C)0 (D) (E) 解析 : (8 9 0 ) 0 ( 0 8 9) 第 頁

5 r ( ). 若有 0 筆 (, ) 的資料,,, 相關係數 r, 且 對 的迴歸線過 (0,), 則下列何者為真? (A) 組的變異係數小於 組的變異係數 (B) 迴歸線過 (0, ) (C) 組的標準差大於 組的標準差 (D) 迴歸線的斜率為 解答 :C 解析 : r. ( ) ( ) (0, ) 代入 CV CV, 二 多選題 : 每題 0 分 ( ). 某班的 0 名學生參加一項考試, 考題共有 00 題, 全為 選 的單選題, 計分方法 共有 兩種 ; 若某學生有 N 題放棄沒答 R 題答對 W 題答錯, 則 N R, 試問下列敘述哪些是正確的? (A) 同一學生的 分數不可能大於 分數 W R, (B) 全班 分數的算術平均數不可能大於 分數的算術平均數 (C) 任兩學生 分數的差之絕對值不可能大於 分數的差之絕對值 (D) 用 分數將全班排名次的結果與用 分數排名次是完全相同的 (E) 兩種分數的相關係數為 解答 :ABDE W N 解析 : R, R, N 00 R W, 其中 R W N 皆為不小於 0 之整數 N W (A)(B) R R, 故 (A)(B) 皆正確 (C) 設有兩學生其作答情形分別為 R W N R W N W W W W 分數的差之絕對值 R ( R ) RR ( ) N N N N 分數的差之絕對值 R ( R ) RR ( ) 取 R 00, W N 0, R 0, W N, 代入 取 分數的差之絕對值 0 分數的差之絕對值 0 分數的差之絕對值, 故 (C) 錯誤 W 00 R N (D) R R R N ( R N) 第 頁

6 成績整個放大倍再平移 用 分數全班排名次的結果與用 分數排名次是完全相同, 兩種分數的相關係數 ( ). 圖中, 有五組數據, 每組各有六個資料點, 設各組的相關係數由左至右分別為 r, r, r, r, r, 則下列關係式何者為真? (A) r r (B) r r (C) r r (D) r r (E) r r 解答 :ABDE ( ). 空氣品質會受到汙染物排放量及大氣擴散等因素的影響 某一機構為瞭解一特定地區 的空氣品質, 連續 8 天蒐集了該地區早上的平均風速及空氣中某特定氧化物的最大 濃度 再繪製這 8 筆資料的散布圖, 現根據該圖, 可 知 (A) 此筆資料中, 該氧化物最大濃度的標準差大於 (B) 此筆資料中, 該氧化物最大濃度的中位數為 (C) 此筆資料中, 平均風速的中位數介於 與 0 間 (D) 若以最小平方法決定數據集中直線趨勢的直線, 則 該直線的斜率小於 0 解答 :CD 解析 :(A) 最大濃度之平均約在 mg/m, 而所有的點幾乎集中在 ( 0 )mg/m 內 ( 即 mg/m ~mg/m ) 標準差不可能大於 a a (B) 樣本由小到大 a, a,, a 8 共有 8 個 中位數為 a a 由圖形知最大濃度之 a, a,, 中位數小於 a a (C) 平均風速樣本由小到大 a a a 8, 中位數為, 介於 與 0 間 (D) 根據 8 個點之散布圖知平均風速與最大濃度兩者為負相關, 直線之斜率小於 0 ( ). 圖為某年級國文 英文 歷史三科成績分布情形的直方圖 根據該圖, 下列哪些推論 是合理的? (A) 歷史的平均分數比國文的平均分數低 (B) 歷史的平均分數最低 (C) 英文的標準差比國文的標準差很小 (D) 英文的標準差最大 (E) 國文與歷史之相關係數 比 國文與英文之相關係數 高 第 6 頁

7 解答 :ABD ( ). 某次數學考試, 甲組 0 人之平均成績為 70 分, 標準差為 0 分 ; 乙組 0 人之平均成 績為 6 分, 標準差為 8 分, 則 (A) 甲組的數學程度比較平均 (B) 乙組的數學程度比較平均 (C) 兩組合併計算之平均成績為 67 分 (D) 兩組合併計算之平均成績為 69 分 (E) 兩組合併計算之標準差為 8.8 分 解答 :BC 0 8 解析 :CV 甲 00%.9% ;CV 乙 00%.%, 乙組的數學程度較平均 兩組合併後的平均 ; ; 806 ( ) ( ) 6. 下列四個散布圖的相關係數由左至右依序為 r r r r, 則下列哪些敘述是正確? (A) r r 0 (B) r (C) r r (D) 若兩變數 與 的相關係數為 r, 則 與 的相關係數仍為 r (E) 若 對 的迴歸直線為 a b, 則 對 的迴歸直線仍為 a b 解答 :AD 解析 :(B) 0 r ; (C) r r (E) ', ', r r,, r ( ' ) 且 b r 第 7 頁

8 ( ) r ( ) ( ) b 9 9 又 a b, 故 b ( b) b b a b ( ) 7. 如下圖為某年級國文 英文 歷史三科成績分布情形的直方圖 根據該圖, 下列哪 些推論是合理的? (A) 歷史的平均分數比國文的平均分數低 (C) 英文的標準差比國文的標準差小 (B) 歷史的平均分數最低 (D) 英文的標準差最大 (E) 國文與歷史之相關係數 比 國文與英文之相關係數 高 89 學測 解答 :ABD 解析 :(A)(B) 國文成績集中在 0~90 分, 英文成績分散於 0~90 分, 歷史成績集中在 0~0 分 國文成績平均分數最高, 歷史成績平均分數最低 (C)(D) 英文成績最分散 英文的標準差最大 (E) 從三科的成績分布直方圖無法判斷相關係數大小 ( )8. 下列圖中有五組數據, 每組各有 A B C D E F 等六個資料點 : 設各組的相關係數由左至右分別為 r r r r r, 則下列關係式何者為真? (A) r r (B) r r (C) r r (D) r r (E) r r 90 學測 解答 :ABE 解析 : 前兩個的圖形均對稱直線 r r 0 7 計算 r :, 6 6 [( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 第 8 頁

9 r 6 6 ; 同理可得 r, r ( )9. 英國某實驗室研究一金屬圓柱 ( 原高 70. 英寸 ) 在不同負重下對柱高的影響, 其實驗 結果如下 : (0, 70.) (, 69.) (, 68.) (6, 67.) (8, 66.) (0, 6.) (, 6.), 其中測量單位分別為英噸和英寸 將此筆資料的相關係數記為 r, 以最小 平方法決定的直線斜率記為 m 現為提供臺灣廠商資料, 將單位轉換為公噸 ( 英噸 等於.06 公噸 ) 及公分 ( 英寸等於. 公分 ), 若單位換算後該資料的相關係數 記為 R, 以最小平方法決定的直線斜率記為 M 則下列有哪些是正確的? (A) rm 0 (B) r 0 (C) r R (D) m M 9 日自 解答 :AC 解析 : 設原數值資料為,, 其中 表負重, 表柱高則新數值資料.06,. (A)(B) 負重愈大, 柱高愈短, r 0 m 0, 故 rm 0 (C) r R (D) 已知.06,., m r, M R 且 r R.. 故 M r m ( )0. 某校高三共有 00 位學生, 數學科第一次段考 第二次段考成績分別以 表示, 且每位學生的成績用 0 至 00 評分 若這兩次段考數學科成績的相關係數為 0.06, 試問下列哪些選項是正確的? (A) 與 的相關情形可以用散布圖表示 (B) 兩次段考的數學成績適合用直線 a b 表示 與 的相關情形 ( a b 為常數, b 0 ) (C) 與 的相關係數仍為 0.06 (D)0 與 0 的相關係數仍為 0.06 (E) 若, 其中 分別為 的平均數, 分 解答 :ACDE 解析 :(A) 顯然成立 別為 的標準差, 則 與 的相關係數仍為 日自 第 9 頁

10 (B) 相關係數很接近 0, 相關程度小, 不適合用直線 a b, 來表示 與 的相關情形 (C) 0 相關係數仍為 0.06 (D) 00 0 相關係數仍為 0.06 (E), 且 0 與 的相關係數仍為 0.06 ( ). 若有 0 筆資料 (, ), 其相關係數為 r, 則下列何者正確? (A) 當這 0 筆資料完全落在直線, 則 r (B) 當這 0 筆資料完全落在直線, 則 r (C) 當這 0 筆資料完全落在直線 7, 則 對 的迴歸直線為 7 (D) 設 分別為 的算術平均數, 則 對 的迴歸直線必通過點 (, ) 解答 :BCD 解析 :(A): 資料完全落在直線 上 斜率 m 0 完全正相關, 相關係數 r, (B) : 資料完全落在直線 上 斜率 m 0, 完全負相關, 相關係數 r (C) : 當 0 筆資料完全落在直線 7, 則利用 最小平方法 的迴歸直線為 7 (D) : 對 迴歸直線 三 填充題 : 每題 0 分 0 ( )( ) ( ) 0 ( ),. 請排出下面 個散布圖中, 的相關係數之大小次序 : 對 迴歸直線必過點 (, ) (A) (B) (C) (D) (E) 解答 : becd a. 某次民意調查, 從隨機抽樣的 00 人中, 得到對三位臺北縣縣長候選人的支持率如表, 現在 從這 00 人中任選兩人, 則這兩人支持同一候選人的機率為 候選人 甲 乙 丙 支持率 % 0% % 第 0 頁

11 解答 : 98 解析 : 在接受調查的 00 人中, 支持候選人甲 乙 丙的人數分別是 7,90,, 從 人中選出兩人, 選法有 C 80 種又選出兩人支持同一候選人的選法有 7 90 C C C 種 故兩人支持同一候選人的機率為 某公司調查 60 位男 女員工對公司的福利制度是否滿意, 其人數統計如下, 則 : 性別 意見 滿意不滿意合計 男性 6 00 女性 60 合計 () 男性員工滿意的比率是 () 全體員工滿意的比率是 () 滿意的員工中, 男性滿意的比率是 解答 :() 6 00 () 6 ()% 6 解析 :() 男性員工滿意的比率是 8.% 00 () 全體員工滿意的比率是 6 () 滿意的員工中, 男性占的比率是 % %. 對 0 對夫婦年齡做調查, 設先生的年齡為, 太太的年齡為, 其算術平均數分別為 與 且,, 已知 98, 6, 9, 則 0 對夫妻年齡相關係數為 解答 :0.806 解析 : r 含 0 個數值的兩變數 與 的直線相關係數 r 0.7, 變數, 滿足 0,, 則, 的相關係數 r 解答 :0.7 解析 : 當 ac 0 時, ra ( b, cd) r (, ), 與 的相關係數 r r(, ) 0.7 第 頁

12 6. 蒐集臺灣 8 個地點的公告地價與市價 ( 單位 : 萬元 / 坪 ) 如下 : 公告地價 ( ) 市價 ( ) () 試求市價對公告地價的迴歸直線方程式為 () 若某塊土地公告地價是每坪 8 萬元, 利用上面的迴歸式預測其市價為 萬元 0 解答 :() ().7 6 解析 : ( ) ( )( ) r 迴歸直線的斜率 b ( )( ) 96 ( ) 86 ( )( ) ( ) () 迴歸直線方程式為 0 ( 0), 即 () 8 代入迴歸式 得.7 預測市價為每坪約.7 萬元 設有 0 組資料 (, ), 經計算而得 0, 00, 0, 70, 0 900, 則其相關係數為 ; 迴歸直線方程式為, 又當 0 時, 解答 :0.; 0 0.6; 解析 :, 0 r ( ) ( ) 第 頁

13 迴歸直線的斜率 b 迴歸直線必通過點 (, ) (,0) 迴歸直線為 0 0.6, 0 代入, 8. 設三資料 (, ), (, ), (, k ) 的迴歸線方程式為 解答 :, 求 k 7 k 解析 : 迴歸線方程式必經過點 (, ) (, ), 7 k k 9. 設有一隨機樣本包含 00 對父子體重 (, ) 的觀察資料, 且已算出下列的統計量 ( 單位為公 斤 ): 68, 69, 00, 則 : ( ) 90, ( ) 00, ( )( ) 00, 0 () 兩變數 與 的相關係數, a N, 求 a 8 a () 最適合這 00 個資料點的變數 對 之直線方程式為 69 m( 68), 求 m 解答 :()7 () 0 9 解析 :() r ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) () 最佳直線的斜率 ( ) a () 設兩變數 與 的相關係數為 0., 則 6與 6 的相關係數為 () 設兩變數 與 的相關係數為 0.7, 則 與 的相關係數為 解答 :()0. ()0.7 解析 :() 60 所求的相關係數依然是 0. () ( ) 0 所求的相關係數是 ( ) ( 0.7) 0.7. 有五組資料如下表所列 : () 若 的相關係數 r 7 k, 則 k 6 9 第 頁

14 () 若 對 的迴歸直線為 a b, 則 b 解答 :()00 () 7 0 解析 :, 69 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 () r ()b , 即 k 有 筆資料 (, ), 其算術平均數,, 標準差, 已知 對 的迴歸 直線通過 (, 6), 則相關係數 r 為 解答 : 0. 解析 : (, ), (, 6) 在迴歸直線上 由點斜式知 對 的迴歸直線為 又 r r r 0. 6 ( ), 即 8. 設變數 的二維數據 (, ), (, ),, (, ) 第 頁 的樣本相關係數為, 另一組變數 可以變數 表示為,, 則 的樣本相關係數為, 則 c c 解答 : 解析 :, 且 ( ) 0 故 ( 的樣本相關係數 ) ( 的樣本相關係數 ), ( ) c c

15 . 由某學校抽樣 0 位教師的年齡 ( ) 與血壓 ( ) 之資料, 結果算出 0 0, 0 00, 0 0, 0 70, () 則血壓對年齡的迴歸式為 () 若該校一位老師年齡為 0 歲, 預測此教師的血壓為 解答 :() () 0 00 解析 : 對 之迴歸式為 r. ( ),, ( ) 0( ) ( )( ) b () 迴歸直線過 (, ) (, 0), 即為所求 () 0 時, 第 頁

標題

標題 3 變異係數與相關係數 甲 變異係數例子一 : 設某次段考, 高三某班的國文成績的算術平均數與標準差分別為 80 分 0 分 ; 英文成績的算術平均數與標準差分別為 60 分 0 分 ; 雖然國文與英文的標準差相等, 如果我們得到結論是國文與英文成績的差異程度一樣, 顯然不合理 現在我們比較兩科的標準差與算術平均數的比值 : 國文科 : 0 80 8, 英文科 : 0 60 6, 從這兩科的比值來看,

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