１直線方程式

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1 第 4 章機率與統計 6 4 機率與統計 4- 樣本空間與事件. 集合與元素 : () 一群事物的群體稱為 集合, 通常以大寫字母 A B C 表示集合 () 集合內的事物稱為 元素, 通常以小寫字母 a b c 表示元素. 集合的表示法 : () 列舉法 : 把集合的元素全部寫在大括號 { } 內, 表示一個集合 {, } = {,} = {,, } = {,, } 均為 與 所組成的集合 () 構式法 : 把集合的特性寫在大括號 { } 內, 表示一個集合 { xx= k k }, 表示所有偶數的集合. 屬於與不屬於 : () 若 x 是集合 A 的元素, 記作 x A, 讀作 x 屬於 A () 若 x 不是集合 A 的元素, 記作 x A, 讀作 x 不屬於 A 若集合 A = {,,}, 則 A,4 A 4. 空集合與部分集合 ( 子集合 ): () 若集合內沒有任何元素, 此集合稱為 空集合, 記作 或 { } () 若集合 A 的每個元素都在集合 B 之中, 則稱 A 是 B 的部分集合, 記作 A B, 唸作 A 包含於 B, 或記作 B A, 唸作 B 包含 A 另外規定空集合 為任一集合的部分集合 () 若集合 A 與 B 的元素都相同, 即 A B且 B A, 則稱 兩集合相等, 記作 A= B. 集合的運算 : () 聯集 : 集合 A 與 B 的所有元素所成的集合, 稱為 A 與 B 的聯集, 記作 A B 即 A B= { xx A x B} 或 集合 A = {,,,4}, 集合 B = {, 4,,6} A B= {,,, 4,,6}, 則 () 交集 : 集合 A 與 B 的共同元素所成的集合, 稱為 A 與 B 的交集, 記作 A B

2 64 即 A B= { xx A x B} 且 集合 A = {,,,4}, 集合 B = {, 4,,6}, 則 A B {, 4} =

3 () 差集 : 在集合 A 之中, 刪除集合 B 的元素所剩的集合稱為 A 對 B 的差集, 記作 A B 即 A B= { xx A x B} 但 集合 A = {,,,4}, 集合 B = {, 4,,6}, 則 A B {, } = 6. 宇集與餘集 ( 補集 ): () 宇集 : 當討論的集合都是某個集合 U 的部分集合時, 則稱 U 為 宇集 () 餘集 : 當集合 A 是宇集 U 的部分集合時, 則 U A稱為 A 的餘 A = U A= xx U但 x A 集, 記作 A, 即 { } 設宇集 U = {,,,4}, 若集合 A = {, }, 則 A 的餘集 {, 4} 第 4 章機率與統計 6 A = 0 老師講解學生練習 0 設宇集 U = {,,, 4,,6}, {,,,4} B = {, 4,}, 試求 : A =, () A B () A B () A B (4) B A () A (6) B A B=, 4 () { } () A B= {,,,4,} () A B= {, } (4) B A= { } () A = {,6} (6) B = {,, 6} 設宇集 U = {,,, 4,,6,7,8}, {, 4,6,8} B = {,,,7}, 試求 : A =, () A B () A B () A B (4) B A () A (6) B A B= () { } () A B= {,, 4,,6,7,8} () A B= { 4,6,8} (4) B A= {,,7} () A = {,,,7} (6) B = {, 4,6,8}. 試驗 : 在不確定的現象上求出一個結果的過程, 稱為 試驗. 樣本空間 : () 一項試驗中所有可能發生的結果所形成的集合, 稱為 樣本空間, 記作 S () 樣本空間中每一可能發生的結果, 稱為 樣本點 或 樣本 () 樣本空間中的樣本點個數記作 n( S )

4 66 0 老師講解學生練習 0 投擲三個相同的硬幣一次, 試寫出 : () 樣本空間 S () 至少出現一正面的事件 A () 出現同一面的事件 B () 投擲三個相同硬幣一次, 不需考慮出現正反面的次序, 故樣本空間 S = { 三正, 二正一反, 一正二反, 三反 } () 至少出現一正面事件 A = { 三正, 二正一反, 一正二反 } () 出現同一面事件 B = { 三正, 三反 } 投擲一個硬幣三次, 試寫出 : () 樣本空間 S () 出現兩次反面的事件 A () 至少出現兩反面的事件 B () 投擲一硬幣三次, 需考慮出現正反面的次序, 故樣本空間 S = {( 正正正,, ),( 正正反,, ),( 正反正,, ), ( 反正正,, ),( 正反反,, ),( 反正反,, ), ( 反反正,, ),( 反反反,, )} () 出現兩次反面事件 A = 正反反,,, 反正反,,, 反反正,, { } () 至少出現兩反面事件 B = {( 正反反,, ),( 反正反,, ), ( 反反正,, ),( 反反反,, )} 事件 : 樣本空間 S 的任一子集都叫做一個 事件 () 全事件 : 樣本空間 S 是自己的子集, 稱 S 為 全事件 () 空事件 : 部分集合 不包含任何樣本點, 稱為 空事件 () 基本事件 : 只含一個樣本點的事件稱為 基本事件 (4) 餘事件 : 事件 A 在樣本空間 S 的補集 A 稱為 A 的餘事件 () 和事件 : A B 二事件至少有一事件發生的事件, 記作 A B (6) 積事件 : A 與 B 同時發生的事件, 記作 A B (7) 互斥事件 : 若 A B=, 則稱 A 與 B 兩事件為 互斥事件

5 第 4 章機率與統計 67 0 老師講解學生練習 0 投擲一顆骰子兩次, 試寫出 : () 出現的點數和大於 9 的事件 A () 出現點數相同的事件 B () A 和 B 的和事件 (4) A 和 B 的積事件 () A 和 B 是否為互斥事件 () A = {( 4,6,,,,6,6,4, ) ( 6, ),( 6,6 )} {,,,,,,4,4, () B = (, ),( 6,6 )} {,,,,,,4,4, () A B= (,,6,6,4,6,,6, ) ( 6, 4 ),( 6, )} {,, 6,6 } (4) A B= () 由 (4) 知, A 和 B 不為互斥事件 投擲一顆骰子兩次, 試寫出 : () 出現的點數和為 7 的事件 A () 出現的點數差為 的事件 B () A 和 B 的積事件 (4) A 和 B 是否為互斥事件 () A = {(,6,,,,4,4,, ) (, ),( 6, )} () B = {,,,4,,,4,6, ( 6,4,,,4,,, ) } () A B= (4) 由 () 知, A 和 B 為互斥事件 進階題 0 老師講解學生練習 0 設 A= { x yx, + }, {,} x+ y之值 x y= () x + = x =, y = 6 x+ y= 8 x y= () x + = x =, y = 9 x+ y= 由 ()() 知, x+ y= 8 或 B =, 若 A= B, 求 設 A { yy y 0 y } = + =, 為實數, {, x} B=, 若 A= B, 求 x 之值 y y+ = 0 ( y )( y ) y = 或 = 0 A = {, } B {, x} x = = 又 A= B

6 68 4- 求機率問題 機率的定義 : 在樣本空間 S 之中, 每個基本事件出現的機會均等, 若 A S, 則事件 A 發生的 機率記作 P( A ), 且 P( A) n A 事件 A的元素個數 = = n S 樣本空間 S的元素個數 0 老師講解學生練習 0 投擲一枚公正的硬幣三次, 試求 : () 至少出現一次反面的機率 () 第二次出現正面的機率 樣本空間元素個數 n( S ) = = 8 () 至少出現一次反面事件 A = {( 正正反,, ),( 正反正,, ),( 反正正,, ), ( 正反反,, ),( 反正反,, ),( 反反正,, ), ( 反反反,, )}, n( A ) = 7 n A 7 P( A) = = n S 8 () 第二次出現正面事件 B = {( 正正正,, ),( 正正反,, ), ( 反正正,, ),( 反正反,, )}, n( B ) = 4 P( B) n B = = n S 投擲一枚公正的硬幣四次, 試求 : () 至少出現三次正面的機率 () 出現二次正面二次反面的機率 4 樣本空間元素個數 n( S ) = = 6 () 至少出現三次正面的事件 A = {( 反正正正,,, ),( 正反正正,,, ), ( 正正反正,,, ),( 正正正反,,, ) ( 正正正正,,, )} n( A ) =, 則 P( A) n A = = n S 6 () 出現二次正面二次反面的事件 B = {( 正正反反,,, ),( 正反正反,,, ), ( 正反反正,,, ),( 反正反正,,, ), ( 反正正反,,, ),( 反反正正,,, )} n( B ) = 6, 則 P( B) n B 6 = = = n S 6 8

7 第 4 章機率與統計 69 0 老師講解學生練習 0 投擲一粒公正骰子兩次, 試求 : () 出現點數和大於 8 的機率 () 至少出現一次點數為 4 的機率 樣本空間之元素個數 n( S ) = 6 6 = 6 () 出現點數和大於 8 的事件 A = {(,6,4,,4,6,,4,,, ) (,6 ),( 6, ),( 6, 4 ),( 6, ),( 6,6 )}, n( A ) = 0 n A 0 則 P( A) = = = n S 6 8 () 至少出現一次點數為 4 的事件 B = {(,4,,4,,4,4,4,,4, ) 則 P( B) ( 6, 4 ),( 4, ),( 4, ),( 4, ),( 4, ), ( 4,6 )}, n( B ) = n B = = n S 6 投擲一粒公正骰子兩次, 試求 : () 出現點數差為 的機率 () 第一次點數小於第二次點數的機率 樣本空間的元素個數 n( S ) = 6 6 = 6 () 點數差為 的事件 A = {(,,,4,,,4,6,6,4, ) (,,4,,, ) }, n( A ) = 8 n A 8 則 P( A) = = = n S 6 9 () 第一次點數小於第二次點數的事件 B = {(, ), (, ), (, 4 ), (, ), (, 6 ), (, ),(, 4 ),(, ),(,6 ),(, 4 ), (,,,6,4,,4,6,,6 ) }, n( B ) = 則 P( B) n B = = = n S 6 0 老師講解學生練習 0

8 70 袋中有 個大小相同的球, 其中白球 6 個, 紅球 個, 每球被取出的機會均等從中任取兩球, 試求 : () 取出一白球 一紅球的機率 () 兩球同色的機率同時取出兩球的樣本空間之元素個數 n( S) = C = () 取出一白球一紅球的事件 A, n A = C C = 6 0 n A 0 6 P( A) = = = n S () 取出兩球同色事件 B ( 同為白球有 6 C = 種, 同為紅球有 C = 0 種 ) 6 n( B) C + C P( B) = = n S C + 0 = = = 袋中有 7 個大小相同的球, 其中紅球 4 個, 白球 個, 每球被取出的機會均等從中任取兩球, 試求 : () 兩球均為紅球的機率 () 兩球異色的機率同時取出兩球的樣本空間之元素個數 7 n( S) = C = () 兩球均為紅球的事件 A 4 n( A) = C = 6 n( A) 則 P( A) n( S) 6 = = = 7 () 兩球異色的事件 B n B = C C = 4 則 P( B) n B 4 = = = n S 7 機率的性質 : 設 S 為一試驗的樣本空間, () P( ) = 0, P( S ) = () 若 A S, 則 0 P( A) () 若 A S, 則 P( A ) = P( A) (4) 設 A 與 B 均為 S 的事件, 若 A B, 則 P( A) P( B) () 設 A 與 B 均為 S 的事件, 則 P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) (6) 若 A 與 B 為互斥事件 ( 即 A B= ), 則 P( A B) P( A) P( B) = + 04 老師講解學生練習 04 設 A B 表示二事件, 且 P( A ) =, P( A B) =, 試求 : () P( A ) () P( A B) P B =, 設 A B 表示二事件, 且 ( B) =, P( A B) P A P A =, =, 試求 : 0 P B () P( A ) ()

9 第 4 章機率與統計 7 4 = = = () P( A) P( A) () P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) P A B = + ( ) P( A B) = + = = = = () P( A) P( A ) () P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) = + 0 P B = P( B) 0 老師講解學生練習 0 試回答下列問題 : () 同時投擲兩粒均勻的骰子, 試求至少出現一粒么點的機率 () 袋中有大小相同的紅球 7 個, 白球 個, 從袋中任取 球, 試求至少有 個紅球的機率 () 所求 = P( 沒有么點 ) = = () 所求 = P( 沒有紅球 ) C 4 = = = C 0 試回答下列問題 : () 擲五枚公正的硬幣, 試求至少有一枚是正面的機率 () 袋中有大小相同的紅球 6 個, 白球 4 個, 從袋中任取 球, 試求至少有 個白球的機率 () 所求 = P( 沒有正面 ) = = () 所求 = P( 沒有白球 ) C = = = C 6 0 條件機率 : 設 A 與 B 均為樣本空間 S 的事件, 在事件 A 發生的條件下, 事件 B 發生的機率記作 P( BA ), 稱為 在 A 發生的條件下, B 發生的機率, n( A B) P( A B) 而 P( BA) = = n A P A 06 老師講解學生練習 06 擲一均勻銅板三次, 試求在第一次出現反面的條件下, 總共至少出現二次反面的機率設 A 為第一次出現反面的事件, B 為至少出現二次反面的事件則 A = {( 反正正,, ),( 反正反,, ),( 反反正,, ), ( 反反反,, )} 擲二粒不同的均勻骰子, 在出現點數和為 7 的條件下, 其中有一顆為 4 點的機率為何設 A 為點數和為 7 的事件,B 為一顆為 4 點 的事件 { } {(, 4 ),( 4,) } 則 A = (,6,,,,4,4,,,,6, ) A B=

10 7 {(,, ),(,, ),(,, )} ( B) n( A) 4 A B= 反正反反反正反反反 n A 所求 = = n A B 所求 = = = n A 6 07 老師講解學生練習 07 設 A B 表樣本空間 S 中的兩事件, 已知 8 P( A ) =, P( B ) =, P( A B) =, 試求 P BA P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) 8 = + P A B 得 P( A B) = = P( A B) P( BA) = = = P( A) 設 A B 表樣本空間 S 中的兩事件, 已知 4 P( A ) =, P( A B) = 且 P( A B) =, 試 4 P AB 求 P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) = + P( B) 得 P( AB) P B = 4 P( A B) 4 = = = P( B) 獨立事件 : 在樣本空間 S 之中, 若兩事件 A B 滿足 P( A B) = P( A) P( B) 時, 則稱 A 與 B 為獨立事件, 否則稱為 相關事件 ( 獨立事件的意思為 : 兩事件的發生互不相干 互不影響 ). 獨立事件的性質 : 在樣本空間 S 之中, 若 A 與 B 為獨立事件, 則 A 與 B A 與 B A 與 B P A B P A P B P A B = P A P B 也是獨立事件 即 ( ) = P( A B ) = P( A ) P( B ) 均成立 08 老師講解學生練習 08

11 第 4 章機率與統計 7 甲 乙兩人射擊的命中率分別為 4, 假設兩人彼此互不影響, 今兩人向同一目標靶各射擊一發, 試求 : () 兩人皆命中的機率 () 此靶恰中一彈的機率 () 此靶被擊中的機率 A B 分別表甲 乙命中靶面的事件 互不影響 A B 為獨立事件 P( A ) =, P( A ) = P( A) = P( B ) =, P( B ) = P( B) = 4 4 () 兩人皆命中 : P( A B) = P( A) P( B) = = 4 0 () 此靶恰中一彈 : P ( A' B) + P ( A B' ) = P ( A' ) P ( B) + P ( A) P ( B' ) 9 = + = () 此靶被擊中 : ( 兩人皆未命中機率 ) = P ( A' B' ) = P ( A' ) P ( B' ) = = 4 0 甲 乙兩人參加檢定考試, 若甲通過機率, 乙 通過機率, 甲 乙兩人通過與否不互相影響 : () 甲 乙兩人都通過的機率 () 甲 乙兩人至少一人通過的機率 A B 分別表甲 乙通過的事件 P( A ) =, P( B ) = A B 為獨立事件, A 與 B 也是獨立事件 () P( A B) = P( A) P( B) = = () 至少一人通過的機率 = A與 B 均沒通過的機率 = P A B ( ) ( ) = P A P B 9 = = =

12 74 進階題 0 老師講解學生練習 0 自 位男生 4 位女生中, 選出一個 人排球隊, 問男女生至少各 人的機率? 9 樣本空間為 9 人任意取 人 : n( S) = C 可能的情形為 男 女或 男 女 : 4 4 n( A) = C C + C C 機率 P( A) = = n( S) n A C C + C C 00 0 = = C 自 位男生 4 位女生中, 選出一個 人排球隊, 問男生最多 人的機率? 樣本空間為 9 人任意取 人 : 9 n( S) = C = 6 可能的情形為 男 女或 男 4 女 : 4 4 n( A) = C C + C C 4 機率 P( A) = = n( S) n A C C + C C 4 = = C 0 老師講解學生練習 0 設 P( A ) =, P( A B) =, 則 : () 若 A B 為互斥事件, 求 P( B ) () 若 A B 為獨立事件, 求 P( B ) () A B 為互斥事件 A B= P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) = + P( B) 0 P( B ) = 0 () A B 為獨立事件 P( A B) = P( A) P( B) P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) P B = = + P( B) P( B) 設 P( A ) = 0.4, P( A B) 0.7 () 若 A B 為互斥事件, 求 P( B ) () 若 A B 為獨立事件, 求 P( B ) =, 則 : () A B 為互斥事件 A B= P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) 0.7 = P( B) 0 P( B ) = 0. () A B 為獨立事件 P( A B) = P( A) P( B) P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) 0.7 = P( B) 0.4 P( B) P( B ) = 0.

13 第 4 章機率與統計 7 4- 數學期望值 數學期望值 : 設一試驗有 n 種可能結果, 其發生的機率分別為 p, p,, p n, 各結果所 得報酬為 m, m,, m n, 則 E= pm + pm + + pm n n 稱為此試驗的 數學期望值 0 老師講解學生練習 0 袋中有大小相同紅球 個, 白球 7 個, 若取紅球可得 0 元, 取到白球可得 0 元, 則任取一球可得金額的期望值為多少元? 取出紅球事件機率為 0 7 取出白球事件機率為 0 7 E = = 6 ( 元 ) 0 0 擲一個骰子, 若擲出 或 點可得 0 元, 擲出 4 或 點可得 0 元, 擲出 6 點可得 0 元, 求擲骰子一次所得金額的期望值 擲出 或 點的機率 = = 6 擲出 4 或 點的機率 = = 6 擲出 6 點的機率 = 6 故期望值 E = = 0 ( 元 ) 6 0 老師講解學生練習 0 投擲一個公正硬幣三次, 若得三正面可得 0 元, 若得二正面一反面可得 4 元, 若得一正面二反面可得 元, 若得三反面須賠 元, 則所得金額的期望值為多少? 三正面機率 P =, 8 二正面一反面機率 P =, 8 一正面二反面機率 P =, 8 三反面機率 P 4 = 8 故期望值 E = ( ) 袋中有大小相同紅球 個, 白球 7 個, 若拿 紅球可贏得 0 元, 拿 白球則賠 0 元, 今某人從袋中任取 球, 則期望值為多少元? C 取出 紅球機率 P = =, 可得 60 元 C 0 4 取出 紅球 白球機率 C C P = =, 可得 0 元 C 取出 白球機率 P C = =, 可得 0 元 C 故期望值 E = ( 0) = 4 ( 元 ) 4 4 4

14 76 6 = = ( 元 ) 8 0 老師講解學生練習 0 投擲一顆骰子二次, 若出現的點數兩次均為偶數, 可得 60 元, 其餘情況須賠 60 元, 則所得金額的期望值為多少? 投擲二次均為偶數的機率為 4 其餘事件機率為 = 4 4 E = = 40 4 = ( 元 ) 4 4 投擲一顆骰子二次, 若第二次出現點數大於第一次出現的點數, 可得 0 元, 其餘情況須賠 60 元, 則所得金額的期望值為多少? 投擲骰子, 第二次出現點數大於第一次出現 點數的機率為 6 其餘事件的機率為 = 6 6 E = 0 60 = 0 = ( 元 ) 老師講解學生練習 04 銀行發行彩券 000 張, 其中有 張獎金 元,4 張獎金各 0000 元,7 張獎金各 000 元, 試問銀行發行彩券每張平均獲利 0 元, 至少需定價多少元? 獎金 元中獎機率 獎金 0000 元中獎機率 獎金 000 元中獎機率 000 故每張彩券期望值為 = ( 元 ) 若每張平均獲利 0 元, 則需定價 + 0 = 4( 元 ) 某商人在夜市擺一種遊戲, 每次收費 0 元, 自袋中有紅球 個 白球 個 黑球 個中抽出一球若抽中紅球可得 0 元, 抽中白球可得 0 元, 那麼抽中黑色可得多少元, 此項遊戲才算公平? 抽獎者獲得獎金期望值為 0 才算公平 設抽中黑色可得 x 元 E = x= x =, 得 x = 80 ( 元 ) 0 老師講解學生練習 0 保險公司銷售一天期之高職學生旅遊平安險, 保險額為 萬元, 保費為 0 元因為根據過去資料顯示, 不出意外機率為 0.998, 則保險公司獲利的期望值為多少? 學生不出意外機率 0.998, 可獲利 0 元 學生出意外機率 0.00, 賠償 ( ) 元故保險公司獲利期望值為 保險公司針對機車族銷售一年期強制責任險, 保險額 0 萬元, 保費 00 元依據統計資料顯示 : 一年內出意外的機率為 0.004, 則保險公司獲利的期望值為多少? 騎士出意外機率 0.004, 賠償 ( ) 元 騎士不出意外機率 0.996, 賺進 00 元故保險公司獲利期望值

15 ( ) = ( ) = 0 00 = 0 ( 元 ) 第 4 章機率與統計 ( ) = ( ) = = 700 ( 元 ) 4-4 資料整理與圖表編製. 次數分配表 : 將零散的資料整理成分組的表格, 稱為 次數分配表, 步驟如下 : 求全距 定組數 定組距 定組限 歸類劃記 計算次數 () 求全距 : 全部資料中, 最大與最小數據的差, 稱為 全距 () 定組數 : 依照研究目的或資料特性, 規定適當的組數 () 定組距 : 每一組取相同的範圍, 稱為 組距, 而組距 全距 組數 (4) 定組限 : 每一組的上下界線, 為上限與下限, 而每一組上 下限的平均值稱為 組中點 若相鄰兩組的上 下限相等, 則規定除了最後一組外, 每一組含下限不含上限. 次數分配表的圖示 : () 直方圖 : 各組以組距為寬, 次數為高, 劃出長方形 () 次數分配曲線圖 ( 折線圖 ): 在直方圖中, 把每個長方形的頂邊中點連成折線下表是電機三甲的第一次數學段考成績的次數分配表, 與對應的直方圖與次數分配曲線圖成績 ( 分 ) 次數 ( 人 ) 0~40 40~ ~ ~ 老師講解學生練習 0 下表為國樂社 0 位學生的身高及各組人數表, 試繪出對應的直方圖與次數分配曲線圖 身高 (cm) 人數 ~60 60~6 6~ ~7 0 7~ ~8 機械科 40 位學生參加四技二專考試成績統計如 下表, 試繪出對應的直方圖與次數分配曲線圖 成績 ( 分 ) 人數 ( 人 ) 40~80 80~ ~ ~ ~40 40~80 80~60

16 78. 累積次數分配表 : 在由小到大的組別中, 將次數分配表的各組次數, 由上而下依序累加, 所得數值記入對應組內, 可得 以下累積次數分配表 ; 若改成由下而上依序累加, 可得 以上累積次數分配表 組別次數以下累積次數以上累積次數 L ~U f f f + f + + fn L ~U f f+ f f + f + + fn L ~U f f+ f + f f+ f4 + + fn Ln ~U n f n f+ f + + fn f n L < U L < U L < U L < U 其中 n n. 累積次數分配曲線圖 : () 以下累積次數分配曲線圖 :( 遞增的折線 ) 以各組上限為橫坐標, 該組對應的以下累積次數為縱坐標, 在圖上劃出各點並連接, 且連接始點 ( L,0 ), 其中 L 為最小組的下限 () 以上累積次數分配曲線圖 :( 遞減的折線 ) 以各組下限為橫坐標, 該組對應的以上累積次數為縱坐標, 在圖上劃出各點並連接, 且連接終點 ( U,0 n ), 其中 U n 為最大組的上限 下表是電機三甲的第一次數學段考成績的次數分配表, 成績 ( 分 ) 次數 ( 人 ) 以下累積次數 以上累積次數 0~ = 0 40~ = = 8 60~ = = 80~ = 0 4

17 第 4 章機率與統計 79

18 80 0 老師講解學生練習 0 下表為國樂社 0 位學生的身高及各組人數表, 試完成對應的累積次數分配表與累積次數分配曲線圖 () 累積次數分配表 身高 人數 以下累積 (cm) ( 人 ) 次數 ( 人 ) 以上累積次數 ( 人 ) ~ ~ ~ ~7 0 7~ ~8 0 () 以下累積次數分配曲線圖 機械科 40 位學生參加四技二專考試成績統計如下表, 試完成對應的累積次數分配表與累積次數分配曲線圖 () 累積次數分配表 成績 人數 以下累積 ( 分 ) ( 人 ) 次數 ( 人 ) 以上累積次數 ( 人 ) 40~ ~ ~ ~ ~ ~ ~60 40 () 以下累積次數分配曲線圖 () 以上累積次數分配曲線圖 () 以上累積次數分配曲線圖

19 第 4 章機率與統計 8 0 老師講解學生練習 0 若某班學生之體重累積次數分配曲線圖如下, 試求 : 若電子二甲的數學分數之以下累積次數分配曲線圖如下, 試求 : () 60 分以下有幾人? () 60 分以上有幾人? () 70 ~80 分有幾人? () 公斤以下有幾人? () 6 公斤以上者有幾人? () ~6 公斤者有幾人? () 公斤以下有 人 () 6 公斤以上有 0 6 = 4 人 () ~6 公斤有 6 = 4 人 () 60 分以下有 7 人 () 60 分以上有 40 7 = 人 () 70 ~80 分有 0 = 人 04 老師講解學生練習 04 某校一年級學生某次考試數學的以上累積次數分配曲線圖如下, 試求 : 資訊二甲的週六 日兩天上網時間之以上累積次數分配曲線圖如下, 試問 : () 上網 0 小時以上有幾人? () 上網 0 小時以下有幾人? () 上網 8 ~ 小時有幾人? () 70 分以上有幾人? () 70 分以下有幾人? () 0~60 分有幾人? () 70 分以上有 人 () 70 分以下有 0 = 人 () 0 ~60 分有 4 0 = 人 () 上網 0 小時以上有 8 人 () 上網 0 小時以下有 40 8 = 人 () 上網 8 ~ 小時有 6 = 9 人

20 8 進階題 0 老師講解學生練習 0 某班一年級學生某次考試數學的以上累積次數分配曲線圖如下, 試問 : 某班學生之英文成績以下累積次數分配曲線圖如下, 試問 : () 不及格人數占全班比例為何? () 哪個分數區間人數最多, 占全班比例為何? () 數學成績平均分數為何? () 不及格人數有 0 0 = 0人, 占全班比例 : 0 00% 40% 0 = () 60~ 70 分區間人數最多有 0 = () 人, 占全班比例 : 00% 0% 0 = 分數 ( 分 ) 組中點人數 ( 人 ) 40~0 0~60 60~70 70~80 80~90 90~00 成績平均分數 x = = 64.8 ( 分 ) () 70 分以上有幾人? () 哪個分數區間人數最多, 有多少人? () 英文成績的平均分數為何? () 70 分以上有 0 = 7 人 () 60~ 70 分區間人數最多有 = 人 () 分數 ( 分 ) 組中點人數 ( 人 ) 0~40 40~0 0~60 60~70 70~80 80~90 90~ 英文成績平均分數 x = 0 = 6 ( 分 )

21 第 4 章機率與統計 8 4- 算術平均數 中位數與百分等級. 算術平均數 : () 未分組 : 一群 n 個數 x, x,, x n 的算術平均數記作 x, 且 ( ) n x= x + x + + xn = xk n n k = () 已分組 : 各組組中點乘以該組次數的總和除以總次數. 加權平均數若一群 n 個數 x, x,, x n 的權數分別為 w, w,, w n, 則其加權平均數記作 W, xw + xw + + xw n n 且 W = w+ w + + wn 用來衡量各項資料在全體中輕重關係的數值稱為 權數 0 老師講解學生練習 0 某公司 4 位職員的月薪及人數如下 : 月薪 ( 元 ) 人數 ( 人 ) 試求此公司的平均月薪為多少元? x = = 8000 ( 元 ) 某次數學抽考, 僅考 0 題計算, 全班 40 位同學的成績如下 : 成績 ( 分 ) 人數 ( 人 ) 試求全班的平均分數 x = ( ) = 780 = 69. ( 分 ) 40 0 老師講解學生練習 0 某公司 0 位職員年齡的分組次數分配表如下 : 年齡 ( 歲 ) 0~ ~0 0~ ~40 40~4 4~0 次數 ( 人 ) 試求這 0 位職員的平均年齡先求各組的組中點 :., 7.,., 7.,4.,47. 再求平均年齡 x = 某班學生 40 人數學成績的分組次數分配表如下 : 分數 ( 分 ) 40~0 0~60 60~70 70~80 80~90 人數 ( 人 ) 試求此次數學的平均分數先求各組的組中點 :4,,6,7,8 再求平均分數 x =

22 84 =. ( 歲 ) = 6.( 分 ) 0 老師講解學生練習 0 小王期末考成績及各科每週上課時數如下, 若以上課時數為加權值數, 試求小王期末考成績的加權平均數? 科目 國文 英文 數學 會計 社會 美術 時數 4 4 分數 W = = = 7( 分 ) 0 某生數學成績與加權 ( 比例 ) 如下, 則其數學學期總成績為多少分? 分數權重 平常成績 第一次段考 第二次段考 期末考 % % 0% 0% x = 90 % + 60 % % % = = 78. ( 分 ). 中位數 : 把一群數由小而大排列, 在正中間位置的數稱為 中位數, 記作 Me () 當資料個數為奇數時, 中位數是排序正中間的數 () 當資料個數為偶數時, 中位數是正中間兩數的平均值 的中位數為 6 ; 的中位數為 + = 7. 眾數 : 資料中出現次數最多的數稱為 眾數, 記作 Mo, 而眾數不一定只有一個 4 4 的眾數為 與 4 04 老師講解學生練習 04 分別求下列各組數值資料的中位數及眾數 : () 8,,,,6,,6,0,8,,8 () 7,8,,,4,7,,0,9,4,,7 () 先將所有數由小而大排列 :,,6, 8,8,0,,,,6,8 有奇數個, Me = x + = x6 = 0 共出現 次, 故眾數 Mo = () 先將所有數由小而大排列 :,,, 4,4,,7,7,7,8,9,0 有偶數個, 故中位數 Me = x + x = ( x6 + x7 ) + = ( + 7 ) = 6 與 7 皆出現 次, 故眾數 Mo = 員生消費合作社調查某班所穿制服之尺寸, 其人數統計如下, 試問此班 : () 中位數的尺寸為何種型號? () 眾數的尺寸為何種型號? 尺寸 ( size) S M L XL XLL XL 人數 ( 人 ) () 人數共 = 9 人為奇數 Me = x = x, 尺寸為 XL 的型號 故 9+ 0 () L 尺寸人數有最多 0 人故 Mo 為 L 的型號

23 第 4 章機率與統計 8 和 7 兩個數 百分等級 (Percentile Rank, 簡稱 PR 值 ): N A 將 N 筆資料由大而小的排列, 若其中 x 的排名為 A, 則 x 的百分等級 PR = 00 ( 若有 N 小數, 無條件捨去 ) 在 000 人參加的模擬考之中, 甲的排名為第 7 名, = 64., PR = 64, 其成績高過 64% 的人 000 () 若某一資料的 PR 值為 k, 就表示全體中有 % k 的資料數值小於它, 但有 ( k ) 00 % 的資料 數值大於或等於它 () 相同分數的考生, PR 值會相同 ; 但是相同 PR 值的考生, 不一定同分, 名次也無法確認, 只能大約推算 0 老師講解學生練習 0 某校三年級共有 400 名學生, 小玉在模擬考試中全校排名第 6 名, 試問其百分等級 PR 值為何? PR = = = 86 故 PR 值 = 86 小珉參加今年商業類的統測, 共有 000 名考生參加, 她的成績排名為第 800 名, 則其成績在商業類的百分等級 ( PR 值 ) 為多少? 則百分等級為 9

24 四分位距與標準差. 離差 : 以一個數值來代表資料的分散程度, 此數值稱為 離差 () 離差愈小, 表示資料的數據集中, 平均數的代表性就高 () 離差愈大, 表示資料間的差異愈大, 也就是資料愈分散. 全距 : 一組資料最大數與最小數的差距稱為 全距, 通常以 R 表示. 四分位距 ( IQR ): 如圖, 把一群數由小而大排列並找出中位數 Q, () 比中位數小的數字之中位數, 稱為 第 四分位數, 記作 Q () 比中位數大的數字之中位數, 稱為 第 四分位數, 記作 Q 則四分位距 ( IQR) = Q Q 0 老師講解學生練習 0 一連隊實施戰技演訓, 由 位士兵, 投擲手榴彈測量得資料如下 ( 單位 : 公尺 ):4,40,48,,,6,6,40,,0,6,, 試求投擲成績 () 全距 () 四分位距將資料由小至大排列 :,,6,0,,,6,6, 40,40,4,48 () 全距 = 48 = ( 公尺 ) () 第 四分位數, 即第 個數與第 4 個數平 均 : Q = = 8 ( 公尺 ) 第 四分位數, 即第 9 個數與第 0 個數 平均 : Q = = 40 ( 公尺 ) 故四分位距 IQR = Q Q = 40 8 = ( 公尺 ) 0 位學生經師長訪談, 了解每日上網的時間資料如下 ( 單位 : 分鐘 ):0,,0,80,0, 4,60,90,60,70, 試求上網時間 () 全距 () 四分位距將資料由小至大排列 : 0,,0,4,0,60,60,70, 90,80 () 全距 = 80 0 = 70 ( 分鐘 ) () 第 四分位數, 即第 個數 : Q = 0 ( 分鐘 ) 第 四分位數, 即第 8 個數 : Q = 70 ( 分鐘 ) 故四分位距 IQR = 70 0 = 40 ( 分鐘 )

25 第 4 章機率與統計 87. 離均差 : 已知一群 n 個數 x, x,, x n 的算術平均數為 x, 則 xk x稱為 離均差, n k =,,, n, 而 ( xk x) 其中 = 0 k =. 母體變異數與標準差 : 已知母體中有 n 個數據 x, x,, x n, 其算術平均數為 x, 則 n () 母體變異數 離均差的平方和 σ = xk x ( ) n n k = n xk n k = σ = x ( () 母體標準差 離均差的平方和 ) n. 樣本變異數與標準差 : 已知抽取的樣本有 n 個數據 x, x,, x n, 其算術平均數為 x, 則 n () 樣本變異數 S = ( x ) 離均差的平方和 k x ( ) n n k = n () 樣本標準差 S = 離均差的平方和 xk x ( ) n k = n 4. 標準差的意義 : 在一群數據中, 若數值離平均數愈遠, 標準差就愈大 ; 若數值都很靠近平均數, 標準差就小, 只有在所有數值都完全相等時, 標準差才會等於 0 0 老師講解學生練習 0 小容第一次月考五科成績分別為 與 86 試求此次五科成績的母體變異數 σ 與母體標準差 σ 成績平均 x = ( ) = 8 離均差的平方和 ( 80 8) ( 8 8) ( 8 8) + ( 84 8) + ( 86 8) = + + = 0 母體變異數 σ = 0 = 4 母體標準差 σ = 4 = 橋牌社有社員 6 人, 其體重分別為 與 0 公斤, 試求此 6 人體重的母體變異 數 σ 與母體標準差 σ 體重平均 x = ( ) = 0 6 離均差的平方和 ( 8 0) ( 0 0) ( 0 0) + ( 6 0) + ( 6 0) + ( 0 0) = + + = 6 母體變異數 σ = 6 = 6 6 母體標準差 σ = 6 = 6

26 抽樣方法. 統計 : 收集資料並整理歸納, 透過數字來解釋事情或現象的內在. 統計資料的來源 : () 普查 : 對研究對象的全體作全面的調查工商普查 () 抽樣調查 : 研究對象的全體稱為 母體, 被抽出作為代表的對象稱為 樣本, 從母體抽出樣本的過程就稱為 抽樣調查 學校的作業抽查. 抽樣調查的方法 : () 簡單隨機抽樣 : 即一般的抽籤, 或利用亂數表來抽出樣本, 適用於差異性較小的樣本 () 系統抽樣 : 做第一次隨機抽樣後, 就採取依固定間隔數抽出樣本, 須注意母體的樣本不宜有週期性在調查餐廳的單日營收時, 由於假日的營收較好, 就不適合每隔 7 日調查 () 分層隨機抽樣 : 把母體依某種標準分成幾個不同層級, 按其所佔比例來分配樣本數, 再從每一層級隨機抽樣, 適用於差異性較大的分層勞工的平均月薪 (4) 部落抽樣 : 將母體分成幾個部落, 之間差異很小, 然後以其中一個部落當母體的代表, 進行普查或抽查, 適用於差異性較小的部落抽一班代表全年級測身高 隨機號碼表 老師講解學生練習 0 汽車二甲有 40 位同學, 座號從 0 至 40 號, 利用上方的隨機號碼表, 從第 列第 9 行開始, 由 電腦打字檢定有 000 人參加, 准考證號碼從 000 至 000 號利用上方的隨機號碼表, 從第

27 第 4 章機率與統計 89 左而右, 從中選出 位同學, 試寫出其座號 06, 49,80,8,0,, 47,, 6, 98, 0, 44, 90,40,,, 6, 97,0 所取座號為 列第 行開始, 從中選出 6 位考生, 寫出其中最大與最小的准考證號碼 968, 606, 084, 8947,897, 66, 780,04,4,0649 最大的號碼為 968 最小的號碼為 04 0 老師講解學生練習 0 腳踏車組裝工廠, 一天生產 0 台, 今有一品管 員, 按系統抽樣法在逐一編號的腳踏車中, 抽檢 6 台車子, 已隨機先抽編號 8 號, 問被抽中的 6 台車子編號為何? 0 6 =, 取間距為 可得編號為 8,6,98,,68,0 某班有 6 位同學, 其座號由 到 6, 按系統抽 樣法選出 9 位同學, 若先隨機選得第 號, 則其 餘 8 位同學分別為幾號? =, 取間距為 4 可得座號為 7,,,9,,7,, 0 老師講解學生練習 0

28 90 一腳踏車組裝工廠, 一天生產 00 台, 今有一品 管員, 按系統抽樣法, 在逐一編號的腳踏車中, 抽檢 7 台車子, 若已隨機先抽出編號為 8 號的車子, 問被抽中的 7 台車子編號為何? , 取間距為 8 抽取車子編號 8,,9,67,9,, 超過 00 號者則減 =, 00 = 故這 7 台抽檢車子的編號為,,8,,9,67,9 某班有 7 位同學, 其座號由 到 7, 按系統抽樣法選出 6 位同學, 若先隨機選得第 6 號, 則其餘 位同學分別為幾號? , 取間距為 6 可得座號 :6,,8,4,40, 46 超過 7 號者, 則減 =,46 7 = 9 故其餘 位同學分別為,9,,8,4 04 老師講解學生練習 04 非洲肯亞野生動物園有獅子約 00 頭, 其中母獅子 800 頭, 今利用分層隨機抽樣, 抽出 0 頭獅子, 檢測寄生蟲並追踪, 問公 母獅子各抽幾頭? 母獅子 800 頭公獅子 = 700 頭獅子比例 : 公獅子 : 母獅子 = :4 故抽出公獅子 : 0 = 6 頭 母獅子 : 0 4 = 4 頭 木柵動物園企鵝館有國王企鵝 0 隻, 長冠企鵝 40 隻, 頰帶企鵝 70 隻, 現以種類分層, 依各種類數量比例隨機抽樣, 共抽出 隻, 問各種企鵝應抽出幾隻? 企鵝比例 : 國王 : 長冠 : 頰帶 = 0: 40: 70 = :: 4 7 故抽出國王企鵝 : = 0 隻 長冠企鵝 : = 8 隻 6 7 頰帶企鵝 : = 4 隻 6 0 老師講解學生練習 0

29 第 4 章機率與統計 9 抽樣調查, 因調查對象的性質不同, 而有不同抽樣試就以下情況選擇一種較適合的抽樣方法 : () 某次選舉, 新北市居民來自全台各地, 每個里的投票率幾近開票率, 若欲調查某位候選人之當選率 () 全台的房市, 分台北市 五都, 各縣市房價波動差異大, 若欲調查經濟部所課徵房屋地價稅 () 部落抽樣 () 分層隨機抽樣 試就以下情況, 選擇一種較適合的抽樣方法 : () 老師於課堂抽問, 先任選一座號後, 逐一加 0 選取, 共選出 7,7,7,7 號 4 位學生來作答 () 老師於課堂抽問, 依隨手抽取籤桶號碼選出, 共 4 位學生作答 () 系統抽樣 () 簡單隨機抽樣 4-8 解讀信賴區間與信心水準. 常態分配 : 當資料的次數分配折線圖呈現鐘形, 且左右對稱時, 則稱此資料的分布近似 常態分配, 很多社會與自然科學的資料都近似常態分配. 常態分配的 規則 : 在算術平均數為 µ, 標準差為 σ 的常態分配曲線中, 則 µ σ, µ + σ 內 () 大約有 68% 的資料落在區間 [ ] () 大約有 9% 的資料落在區間 [ µ σ, µ σ] () 大約有 99.7% 的資料落在區間 [ µ σ, µ σ] + 內 + 內 0 老師講解學生練習 0

30 9 衛生署研究台灣人民壽命, 發現呈常態分配, 平均壽命為 7 歲, 標準差 歲, 由上所述, 估計下列各項所占人數比例 : () 壽命超過 7 歲 () 壽命介於 6 到 8 歲 () 壽命不超過 8 歲算術平均數 µ = 7, 標準差 σ = () 壽命超過 7 歲, 約占 0% () 壽命在 6 到 8 歲之間, 約占 9% () 壽命不超過 8 歲, 約占 % =.% = 97.% 根據研究 : 人類智商呈現常態分配, 智商平均數為 0 分, 標準差為 0 分, 由上所述, 估計下列各項所占人數比例 : () 智商介於 8 到 分 () 智商超過 分 () 智商介於 8 分到 9 分 () 智商介於 8~ 分間, 約占 9% () 智商超過 分, 約占 ( 68% ) 6% = () 智商介於 8 分 ~9 分間, 約占 ( 9% 68% ).% = 0 老師講解學生練習 0 某校共有 000 位學生, 若體重呈常態分配, 已知體重平均數 µ = 60 公斤, 標準差 σ = 4 公斤, 則 6 公斤以下約有多少位學生? 6 公斤以下約占有 ( 68% ) 6% = 故約有 000 6% = 0 位 某校共有 000 位學生, 若其身高呈常態分配, 已知身高平均數 µ = 6公分, 標準差 σ = 0 公分, 則 8 公分以上約有多少位學生? 8 公分以上約占有 ( 9% ) = % =.% 故約有 000.% = 0 位 0 老師講解學生練習 0

31 第 4 章機率與統計 9 某校有學生 600 位, 某次數學月考成績呈常態 分配, 已知成績的平均是 68 分, 標準差是 6 分, 則在 68~ 80 分的學生約有多少人? 68~80 分的學生約占 9% 47.% = 約有 % = 760 人 某校有學生 000 人, 某次數學段考成績平均是 64 分, 標準差是 6 分, 已知成績分布呈常態分 配, 試問有多少學生成績介於 70~ 76 分之間? 70 ~76 分的學生約占 ( 9% 68% ).% = 則 70 ~76 分的學生約有 000.% = 70 人. 信賴區間與信心水準 : 在進行調查之後, 調查結果與實際結果的差稱為 抽樣誤差, 通常 會以一個區間來表示調查結果, 這樣的區間就稱為 信賴區間, 其中信賴區間 = 調查結果 ± 抽樣誤差, 而實際結果會落在信賴區間範圍內的機率稱為 信心水準. 信賴區間與信心水準的範例解讀 : 在臺灣居住滿意度的調查中, 成功訪問到 000 位臺灣地區 0 歲以上的成年民眾, 在 9% 的信心水準下, 民眾的滿意度為 %, 抽樣誤差為 ± % () 滿意度為 %: 在 000 位受訪者中, 有 % 000 = 0 位回答滿意 () 信賴區間為 % % ±, 即 :[ ,0. 0.0] [ 0.9,0.] + =, 表示真正的滿意度可能會落在區間 [ 0.9,0. ] 之內 () 9% 的信心水準 : 信賴區間有 9% 的機率會涵蓋真正的滿意度 04 老師講解學生練習 04

32 94 房屋仲介業作市場調查, 對購屋意願作問卷, 回收的有效問卷 40 張中, 其中有 8 張有買房需求, 在 9% 信心水準下, 抽樣誤差為 ± 4%, 則 : () 求欲購屋的比例為何? () 求 9% 信心水準下的信賴區間 8 6 () p = = = () 信賴區間 [ , ] = [ 0.6, 0.64] 某一報紙對 A 候選人作民意調查, 共電話查訪了 00 家住戶, 其中有 0 家支持該候選人, 在 9% 的信心水準下, 抽樣誤差. 百分點, 試求支持此候選人的信賴區間 0 7 p = = = 0.7, 抽樣誤差 = ±.% 則信賴區間 [ , ] = [ 0.7, 0.78] 綜合練習 表挑戰題 4-. 擲一粒骰子兩次, 求兩次均沒出現點數 的事件個數為 4-. 甲 乙 丙 丁 戊五人排成一列, 則甲 乙 丙三人必相鄰的機率為 0. 袋中有 0 個大小相同的球, 其中有 4 個白球 個紅球 個黑球, 某人自袋中隨機取 球 ( 同 P B, 則 時取出 ), 若此 球皆異色之機率為 P( A ), 球皆同色的機率 P( B) P A + = 7 0

33 4. 設 A B 表兩事件, 已知 P( A ) =, P B =, P( AB ) =, 則 第 4 章機率與統計 9 P BA =. 某校學生有 40% 的學生會英語, 有 0% 學生會客家語, 有 % 學生兩種語言都會, 今任選一名 學生, 已知他會英語, 求他也會客語的機率為 6. 甲 乙二位考生參加乙級檢定, 通過的機率分別為, 若二人通過與否互不影響, 現二人 同時參加檢定, 則至少有一人通過的機率為 7. 擲一公正骰子兩次, 則兩粒點數差為 點的機率為 8. 設 P( A ) =, P( B ) =, P( A B) =, 則 P B = 6, P( A B) = 9. 已知 0 個燈泡之中有 個是壞的, 今從這 0 個燈泡中任意取出 4 個, 則含有壞燈泡的機率為 6 0. 投擲一粒公正的骰子兩次, 若已知至少出現一次點數為 的條件下, 則二次點數和小於 6 的機率 為 4-. 市府舉辦籃球賽, 大會頒發獎金給前三名, 冠軍可得 0000 元, 亞軍 000 元, 季軍 000 元, 沒 得名次則需繳交 600 元清潔費 ( 得名則免交 ), 賽前實力評估乖乖隊奪冠機率是 4, 得亞軍機率 是, 得季軍機率是 0, 則此隊得獎金的期望值為 60 元. 有 4 個選項的單選題, 每題答對給 分, 則答錯應倒扣 分, 才公平

34 96. 擲三枚公正的硬幣, 若出現 x 個正面, 則可獲得 x 元, 若皆未出現正面, 則輸 8 元, 則期望值為 元 4. 擲三枚公正的硬幣, 每出現一個正面得 8 元, 每出現一個反面賠 4 元, 則所得金額期望值為 6 元 4-4. 調查國內職棒 0 位選手薪資的次數分配 表, 如表所示, 設其算術平均數為 萬元 / 月, 求 x y = 薪資 ( 萬元 / 月 ) 次數 ( 人 ) x 0 y 6. 某班學生共有 40 人, 全班數學平均成績為 6 分但結算後, 才發覺有 位同學登錄錯誤 : 有一 位是 7 分, 卻登錄 9 分 ; 另一位是 60 分, 卻登錄 68 分問經更正後, 全班平均成績是 64. 分 4-7. 右圖為某公司 40 位職員年齡的以下累積次數分配圖, a 表 年齡在 0~ a+ b= 6 歲的人數,b 表 4 歲以上的人數, 則 8. 臺南區舉辦技能檢定共 00 人參加, 小宋排名第 987 名, 其百分等級為 若有 9 個數值資料由小至大排列 :,4,8,4,4, 48,,,, 則四分位距為 遠哲科學競賽中, 有 7 組隊伍分別製作拋石機, 比射程遠近, 得 7 個數值資料 :,8,,7,,6,8 ( 公尺 ), 求這 7 個數的樣本標準差為 公尺. 下列四組抽樣數據, 何組標準差最小? B (A),6,7,8,9,0 (B) 0,0,0,0,0,0 (C),,,4,,6 (D),,0,,,. 下列四張直方圖所表示的抽樣資料, 何者的標準差最大? B (A) (B) (C) (D) 4-8. 根據研究, 人類智商呈常態分配, 智商平均值為 0 分, 標準差為 0 分依此狀況推估, 在臺 灣總人口數 00 萬人, 約有.4 萬人智商低於 7 分以下

35 第 4 章機率與統計 97 考古觀摩題 4- ( B ). 設甲袋有 紅球 白球 黑球 ; 乙袋有 紅球 白球 黑球, 今隨機任選一袋, 再 從袋中取出一球, 試求取出為白球的機率為何? (A) (B) (C) (D) 4 [97 統測 ] ( D ). 一袋中有大小相同的紅球 個 白球 個 黑球 個今從袋中一次取 球, 則所取 球 中至少有兩球顏色相同的機率為何? (A) 4 (B) 4 0 (C) 79 0 (D) 4 [98 統測數 (C)] ( D ). 中山高中一 二 三年級學生人數的比例分別為 40% % 8%, 而一 二 三年 級男生人數佔該年級的比例分別為 0% 60% 40%, 現從全校學生中任意選取 人, 則此人為女生的機率為何? (A) 4.% (B) 4.4% (C) 47.8% (D) 49.6% [99 統測數 (C)] ( B ) 4. 某遊樂場舉辦摸彩活動, 摸彩箱中有 0 號球 號球 號球各 個, 每一球被取出之機 率均相同遊客由摸彩箱中同時取出 球, 若取出 個球為 個 號球 個 0 號球時, 則 此遊客可以免費入場求一遊客經由此摸彩活動得以免費入場的機率為何? (A) 60 (B) 8 (C) 9 (D) [00 統測數 (C)] ( D ). 箱子裡有 顆紅球及 顆白球假設每一顆球的大小完全相同, 且被取出的機率一樣 今取出一顆球之後將球放回, 再取一顆球若兩次取球互不影響, 則兩次取球結果為不 同顏色的機率為何? (A) 0.6 (B) 0.6 (C) 0.4 (D) 0.48 [00 統測數 (B)] ( C ) 6. 連續投擲一粒公正骰子三次, 則三次點數和為 的機率為何? (A) (B) 4 6 (C) (D) [0 統測數 (C)] ( C ) 7. 已知甲 乙 丙三人搭同一班次火車, 此班火車有 節車廂若每人選擇搭乘各車廂的 機率均為, 則此三人分別在不同車廂的機率為何? (A) (B) (C) (D) 4 [0 統測數 (C)] ( C ) 8. 已知一袋中有大小相同的球共 00 顆, 每顆球上都印有一個不同的號碼, 分別是 至 00 號, 今從袋中隨機抽出一球, 假設每球被抽中的機會均等, 則下列敘述何者正確? 94 (A) 被抽中的球號是 的倍數或者是 的倍數的機率為 (B) 被抽中的球號不是 的 00 0 倍數而且是 的倍數的機率為 (C) 被抽中的球號是 的倍數而且不是 的倍數的機 00 率為 (D) 被抽中的球號不是 的倍數而且不是 的倍數的機率為 00 00

36 98 [0 統測數 (C)] ( D ) 9. 從,,,4,,6,7,8 這八個數字中, 任取 個相異數字, 若每個數字被取中 的機會均相等, 則取出之 個數字中, 最大的數字大於 6 的機率為何? (A) 4 (C) 7 (B) (D) 9 4 [04 統測數 (C)] ( A ) 0. 設一個隨機實驗的樣本空間 S 中有 00 個樣本點, 每一個樣本點出現的機會均相等, 已 知事件 A 中有 個樣本點, 事件 B 中有 4 個樣本點若事件 A B中有 00 個樣本點 時, 則發生事件 A B的機率為 (A) 0.6 (B) 0. (C) 0.8 (D) 0.6 [0 統測數 (A)] ( A ). 已知某病患藥袋中, 有 包白包, 4 包黃包以及 包紅包若任意從藥袋中一次取 包, 每包被取出的機率相同, 則取到的 包中至少有兩包是黃包的機率為 (A) (C) 7 (B) 7 0 (D) 9 0 [0 統測數 (A)] ( B ). 箱子裡有 4 個相同之紅球及 6 個相同之白球今連續抽出 個球 ( 抽出之球不放回箱 子 ), 若每次抽球時箱子裡的球被抽中的機率均相等, 則抽出之結果是只有一個紅球之機率為何? (A) 0.4 (B) 0. (C) 0.6 (D) 0.7 [0 統測數 (B)] ( C ). 若同時擲兩粒公正的骰子, 則下列何者正確? (A) 點數和等於 的機率大於點數和等於 8 的機率 (B) 點數和等於 6 的機率大於點數和等於 7 的機率 (C) 點數和等於 7 的機率大於點數和等於 9 的機率 (D) 點數和等於 9 的機率大於點數和等於 8 的機率 [0 統測數 (C)] ( D ) 4. 連續投擲一公正硬幣四次, 觀察其出現正反面的情形已知 E 為第二次投擲出現正面的事件, F 為第三次投擲出現正面的事件,G 為四次投擲中至少出現兩次正面的事件若 P( A ) 表示事件 A 發生的機率, 則下列敘述何者正確? (A) P( E ) = 8 (B) P( E G ) = (C) P( F E ) = (D) P( G ) = [0 統測數 (C)] ( B ). 設袋中有大小相同的紅球 個 白球 7 個現自袋中任取一球, 若取到紅球得 0 元, 取到白球可得 0 元, 試問任取一球可得金額的期望值為多少元? (A) (B) (C)0 (D) 4 [9 統測 ] ( B ) 6. 同時投擲二粒公正的骰子一次, 若二粒骰子出現的點數相同可得 0 元, 否則需賠 0 元, 則此次投擲所得金額的期望值為多少元? (A) 8 (B) (C) (D)8 [9 統測 ] ( C ) 7. 若袋中有 0 元硬幣 枚及 0 元硬幣 7 枚, 且每枚硬幣被取出的機率均等, 今某人自此袋中同時任取 枚硬幣, 則此人所得金額的期望值為多少元? (A) 0 (B) 6 (C) 44 (D)0 [9 統測 ] ( D ) 8. 袋中有大小完全相同的 0 個球, 其中 6 個紅球 4 個綠球假設每一個球被取出的機會均等, 現在從袋中任意取出 個球 ( 同時取出 ), 並規定 : 取出之 個球中, 恰好出現一個綠球之彩金為 0 元, 恰好出現二個綠球之彩金為 0 元, 三個都是綠球之彩金為 0 元時, 則期望值為何? (A) 4 元 (B) 6 元 (C)8 元 (D) 元 [98 統測數 (B)]

37 第 4 章機率與統計 99 ( B ) 9. 在擲單顆骰子遊戲中, 若甲每投一次骰子要先付給乙 x 元, 且出現點數為奇數時, 乙需付給甲 0 元 ; 出現點數為偶數時, 乙需付給甲 40 元 ; 但出現奇數點的機率為出現偶數點機率的 倍, 則 x 應訂為多少元, 此遊戲才是公平的? (A) (B) 0 (C) (D)0 [99 統測數 (C)] ( B ) 0. 設袋中有 0 元硬幣 枚 0 元硬幣 枚若由袋中任取二枚, 且每枚硬幣被取出的機會均等, 則所得硬幣金額總和的期望值為 (A) (B) 40 (C)60 (D) 6 [0 統測數 (A)] 4- ( B ). 已知有 0 個數據為 :0,40,40,0,6,7,00,90,80 及 x 若它們的中位數為 60, 則 x = (A)0 (B) (C) 60 (D) 6 [98 統測數 (B)] ( C ). 某次段考英英的英文 自然及數學之分數分別為 7,8 及 a 若三科之權數分別為 4 及, 且三科之加權平均分數為 7, 則 a = (A) 6 (B) 70 (C) 7 (D) 78 [00 統測數 (B)] ( C ). 已知 位遊客在科學教育館參觀, 他們的年齡及人數分布如表若這群遊客年齡的中位數為 歲, 則這群遊客中哪個年齡的人數最多? (A)8 (B) (C)4 (D) 60 年齡 ( 歲 ) 人數 ( 人 ) 7 a b [04 統測數 (C)] ( C ) 4. 已知某次段考後, 全班 0 位同學在學科 健康與護理 中, 平均為 80 分, 中位數為 7 分若該科成績由高到低排序, 則下列何者恆正確? (A) 第 名同學該科成績大於 7 分 (B) 第 6 名同學該科成績等於 7 分 (C) 第 名同學該科成績大於 80 分 (D) 最後 名同學該科成績小於 60 分 [0 統測數 (A)] ( D ). 已知某一族群有 0 名成員, 該 0 名成員之平均月薪是 7000 元若其中七人之平均月薪是 7000 元, 則其他三人之平均月薪為多少元? (A) 0000 (B) 4000 (C) (D)7000 [0 統測數 (B)] 4-6 ( A ) 6. 已知一組數值資料 4,6,6,6,6 共五個, 試問該組數值資料之母群體變異數為何? (A)8 (B)6 (C)7 (D)90 [0 統測數 (B)] ( C ) 7. 下列各選項的抽樣資料中, 何者的樣本標準差最小? (A) (B) (C) (D) 9 [0 統測數 (C)] 4-8 ( B ) 8. 某校全體新生測量身高結果近似常態分配, 如圖若身高的平均數 µ 為 70 公分, 標準 差 σ 為 4 公分, 且全體新生中身高小於 66 公分的人數約為 0 人, 則此校新生人數與下列何者最接近? (A)7 (B)70 (C) (D)00 [0 統測數 (C)]